Mix Examples - Triangles Questions in Gujarati

(A) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ છે,આપણે ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય (અથવા સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મો) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં વેધના ગુણધર્મ મુજબ,કાટખૂણો બનાવતી બાજુનો વર્ગ એ તેની પાસેના કર્ણના ભાગ અને આખા કર્ણના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
ખાસ કરીને,$BC^2 = CM \times AC$.
અહીં $AM = 7$ અને $CM = 9$ આપેલ છે,તેથી કર્ણ $AC$ ની કુલ લંબાઈ $AC = AM + CM = 7 + 9 = 16$ થાય.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $BC^2 = 9 \times 16$.
$BC^2 = 144$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$BC = \sqrt{144} = 12$.

(B) $\Delta ABC$ માં,$m \angle A = 90^\circ$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કર્ણ $a$ એ $\angle A$ ની સામેની બાજુ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$a^2 = b^2 + c^2$.
અહીં $b = 12$ અને $c = 35$ આપેલ છે.
$a^2 = 12^2 + 35^2$
$a^2 = 144 + 1225$
$a^2 = 1369$
$a = \sqrt{1369} = 37$.
તેથી,$a = 37$.

(C) આપેલ છે કે $\Delta PQR$ માં,$m \angle Q = 90^\circ$ છે,તેથી આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
ધારો કે $PQ = x$ અને $QR = x$ (કારણ કે $PQ : QR = 1 : 1$ છે).
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$PR^2 = PQ^2 + QR^2$.
કિંમતો મૂકતા,$PR^2 = x^2 + x^2 = 2x^2$.
તેથી,$PR = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}$.
આપણે $PQ : PR$ ગુણોત્તર શોધવાનો છે.
$PQ : PR = x : x\sqrt{2} = 1 : \sqrt{2}$.

(D) આપેલ છે કે $\Delta XYZ$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $m\angle X = 90^{\circ}$ છે.
અહીં,$YZ$ એ કર્ણ છે અને $XY$ એ એક બાજુ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $XY^2 + XZ^2 = YZ^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $8^2 + XZ^2 = 17^2$.
$64 + XZ^2 = 289$.
$XZ^2 = 289 - 64 = 225$.
$XZ = \sqrt{225} = 15$.
કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times XY \times XZ$.
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 8 \times 15 = 4 \times 15 = 60$.

(A) $\Delta MNP$ માટે એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ,જ્યાં $\overline{MX}$ એ બાજુ $\overline{NP}$ પરની મધ્યગા છે:
$MN^2 + MP^2 = 2(MX^2 + NX^2)$
આપેલ છે કે $MN^2 + MP^2 = 50$ અને $MX = 3$,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$50 = 2(3^2 + NX^2)$
$50 = 2(9 + NX^2)$
$25 = 9 + NX^2$
$NX^2 = 25 - 9 = 16$
$NX = \sqrt{16} = 4$
$\overline{MX}$ મધ્યગા હોવાથી,$X$ એ $\overline{NP}$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $NP = 2 \times NX$.
$NP = 2 \times 4 = 8$.

(B) $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ છે.
$\Delta ABM$ અને $\Delta ABC$ ને ધ્યાનમાં લો.
$\Delta ABM$ માં,$\angle AMB = 90^{\circ}$ છે. તેથી,$\angle BAM + \angle ABM = 90^{\circ}$.
$\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ છે. તેથી,$\angle BAM + \angle C = 90^{\circ}$.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $\angle ABM = \angle C$ (અથવા $\angle MCB$) મળે છે.
વળી,$\Delta BMC$ માં,$\angle BMC = 90^{\circ}$ છે,તેથી $\angle MBC + \angle C = 90^{\circ}$.
કારણ કે $\angle BAM + \angle C = 90^{\circ}$ અને $\angle MBC + \angle C = 90^{\circ}$,તેથી સાબિત થાય છે કે $\angle BAM = \angle MBC$.

(C) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta PQR$ માં જ્યાં $m \angle Q = 90^{\circ}$ છે,$\overline{QD}$ એ કર્ણ $\overline{PR}$ પરનો વેધ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં સમરૂપતાના ગુણધર્મ મુજબ,કર્ણ પરનો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
ખાસ કરીને,$\Delta PQD \sim \Delta QRD$.
$\Delta PQD$ માં,ખૂણાઓ $\angle P$,$\angle PQD$ અને $\angle PDQ = 90^{\circ}$ છે.
$\Delta QRD$ માં,ખૂણાઓ $\angle R$,$\angle RQD$ અને $\angle RDQ = 90^{\circ}$ છે.
કારણ કે $\angle P + \angle R = 90^{\circ}$ અને $\angle P + \angle PQD = 90^{\circ}$,તેથી $\angle PQD = \angle R$ થાય.
આપેલા વિકલ્પો જોતા,$\angle DRQ$ (જે $\angle R$ સમાન છે) એ $\angle PQD$ ને અનુરૂપ ખૂણો છે.

(D) $\Delta PQR$ માં,$\angle Q = 90^{\circ}$ અને $\overline{QD} \perp \overline{PR}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં વેધના ગુણધર્મ મુજબ,$QD^2 = PD \times DR$ થાય.
વળી,$\Delta PQD$ અને $\Delta PQR$ ની સમરૂપતા મુજબ,$PQ^2 = PD \times PR$ થાય.
આપેલ છે કે $PD = 9 DR$,તેથી $PR = PD + DR = 9 DR + DR = 10 DR$ થાય.
આ કિંમતો $PQ^2$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$PQ^2 = (9 DR) \times (10 DR) = 90 DR^2$.
તે જ રીતે,$\Delta QDR$ અને $\Delta PQR$ માટે,$QR^2 = DR \times PR$ થાય.
$QR^2 = DR \times (10 DR) = 10 DR^2$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{PQ^2}{QR^2} = \frac{90 DR^2}{10 DR^2} = 9$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{PQ}{QR} = \sqrt{9} = 3$ મળે.
તેથી,$PQ = 3 \times QR$ થાય.

(A) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $\angle B = 90^{\circ}$ હોય અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ હોય,ત્યારે $\Delta AMB \sim \Delta BMC$ થાય છે.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AM}{BM} = \frac{BM}{CM}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $BM^2 = AM \cdot CM$ મળે છે.
તેથી,$BM = \sqrt{AM \cdot CM}$,જેનો અર્થ છે કે $BM$ એ $AM$ અને $CM$ નો ગુણોત્તર મધ્યક છે.

(B) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ છે,ત્યારે આ ત્રિકોણ બે ત્રિકોણો $\Delta AMB$ અને $\Delta BMC$ માં વિભાજિત થાય છે,જે મૂળ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ ને સમરૂપ છે.
સમરૂપતાના ગુણધર્મ મુજબ,$\Delta AMB \sim \Delta ABC$.
આનો અર્થ એ છે કે અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન છે: $\frac{AM}{AB} = \frac{AB}{AC}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $AB^2 = AM \cdot AC$ મળે છે.
તેથી,$AB$ એ $AM$ અને $AC$ નો ગુણોત્તર મધ્યક છે.

(C) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $\angle B = 90^{\circ}$ હોય અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $AC$ પરનો વેધ હોય,તો સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મો મુજબ $(\Delta BMC \sim \Delta BCA)$:
$\frac{BC}{AC} = \frac{MC}{BC}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$BC^2 = MC \cdot AC$
આ દર્શાવે છે કે $BC$ એ $CM$ અને $AC$ નો સમગુણોત્તર મધ્યક છે.

(D) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પર દોરેલો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે અને એકબીજાને પણ સમરૂપ હોય છે.
ખાસ કરીને,$\Delta AMB \sim \Delta BMC$.
આ ત્રિકોણોની સમરૂપતા પરથી,આપણને અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર મળે છે:
$\frac{AM}{BM} = \frac{BM}{CM}$.
આના પરથી ભૂમિતિ મધ્યકનું પ્રમેય મળે છે: $BM^2 = AM \times CM$.
અહીં $AM = 8$ અને $CM = 2$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$BM^2 = 8 \times 2 = 16$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$BM = \sqrt{16} = 4$.
તેથી,$BM$ ની લંબાઈ $4$ છે.

(A) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta PQR$ માં જ્યાં $\angle Q = 90^{\circ}$ છે,$\overline{QM}$ એ કર્ણ $PR$ પરનો વેધ છે.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,$QM^2 = PM \times MR$.
અહીં $QM = 6$ અને $MR = 9$ આપેલ છે,તેથી $6^2 = PM \times 9$.
$36 = PM \times 9$,જેનો અર્થ છે કે $PM = 36 / 9 = 4$.
આમ,કર્ણ $PR$ ની લંબાઈ $PR = PM + MR = 4 + 9 = 13$ થાય.

(B) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પર દોરેલો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે અને એકબીજાને પણ સમરૂપ હોય છે.
ખાસ કરીને,$\Delta AMB \sim \Delta BMC$.
આ ત્રિકોણોની સમરૂપતા મુજબ,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AM}{BM} = \frac{BM}{CM}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{12}{BM} = \frac{BM}{3}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$BM^2 = 12 \times 3$.
$BM^2 = 36$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$BM = \sqrt{36} = 6$.
તેથી,$BM$ ની લંબાઈ $6$ છે.

(C) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પર દોરેલો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
ખાસ કરીને,$\Delta AMB \sim \Delta BMC$.
સમરૂપતાના ગુણધર્મ મુજબ,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AM}{BM} = \frac{BM}{CM}$.
આથી $BM^2 = AM \times CM$ મળે.
અહીં $AM = 4$ અને $CM = 6$ આપેલ છે,તેથી:
$BM^2 = 4 \times 6 = 24$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$BM = \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$.

(D) $\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $m\angle B = 90^\circ$ હોવાથી,આપણે પાયથાગોરસનો પ્રમેય લાગુ કરી શકીએ છીએ.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $(AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2$.
અહીં $AB = 12$ અને $BC = 5$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(AC)^2 = (12)^2 + (5)^2$.
$(AC)^2 = 144 + 25 = 169$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $AC = \sqrt{169} = 13$.
આમ,કર્ણ $AC$ ની લંબાઈ $13$ છે.

(A) $\Delta PQR$ માં,$m \angle Q = 90^{\circ}$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કર્ણનો વર્ગ એ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
અહીં,$PR$ એ કર્ણ છે (જે $90^{\circ}$ ના ખૂણાની સામેની બાજુ છે).
તેથી,$PR^{2} = PQ^{2} + QR^{2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $17^{2} = 8^{2} + QR^{2}$.
$289 = 64 + QR^{2}$.
$QR^{2} = 289 - 64$.
$QR^{2} = 225$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$QR = \sqrt{225} = 15$.

(B) લંબચોરસ $ABCD$ માં,બધા ખૂણાઓ $90^{\circ}$ ના હોય છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle BCD$ (અથવા $\triangle ABD$) ને ધ્યાનમાં લો.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$\triangle BCD$ માં,$BD^2 = BC^2 + CD^2$ થાય.
$ABCD$ લંબચોરસ હોવાથી,$CD = AB = 9$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$BD^2 = 12^2 + 9^2$.
$BD^2 = 144 + 81 = 225$.
વર્ગમૂળ લેતા,$BD = \sqrt{225} = 15$.

(C) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $m\angle B = 90^{\circ}$ છે,બાજુ $b$ એ કર્ણ દર્શાવે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$b^2 = a^2 + c^2$.
અહીં $a = 16$ અને $c = 12$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $b^2 = 16^2 + 12^2$.
$b^2 = 256 + 144$.
$b^2 = 400$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$b = \sqrt{400} = 20$.

(D) $\Delta PQR$ માં,$m\angle Q = 90^\circ$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કર્ણનો વર્ગ એ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
અહીં,$PR$ એ કર્ણ છે.
તેથી,$PR^2 = PQ^2 + QR^2$.
આપેલ છે કે $PQ = 8$ અને $QR = 15$.
$PR^2 = 8^2 + 15^2$.
$PR^2 = 64 + 225$.
$PR^2 = 289$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$PR = \sqrt{289} = 17$.

(A) $\Delta DEF$ માં,$m \angle D = 90^{\circ}$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કર્ણનો વર્ગ એ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
અહીં,$EF$ એ કર્ણ છે કારણ કે તે ખૂણા $D$ ની સામેની બાજુ છે.
તેથી,$EF^2 = DE^2 + DF^2$.
આપેલ છે કે $EF = 6$ અને $DF = 4$,આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$6^2 = DE^2 + 4^2$
$36 = DE^2 + 16$
$DE^2 = 36 - 16$
$DE^2 = 20$
$DE = \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2 \sqrt{5}$.

(B) આપેલ છે કે $\Delta XYZ$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $m\angle Y = 90^{\circ}$ છે.
અહીં $XY = YZ$ આપેલ છે,તેથી ધારો કે $XY = YZ = x$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$XY^2 + YZ^2 = XZ^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$x^2 + x^2 = 10^2$.
$2x^2 = 100$.
$x^2 = 50$.
$x = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$.
તેથી,$XY = 5\sqrt{2}$.

(C) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે।
ચોરસમાં, વિકર્ણ $d$ અને બાજુ $a$ વચ્ચેનો સંબંધ $d = a \sqrt{2}$ છે।
અહીં આપેલ છે કે વિકર્ણ $d = 6$, તેથી:
$a \sqrt{2} = 6$
$a = \frac{6}{\sqrt{2}}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે, અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
$a = \frac{6 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{6 \sqrt{2}}{2} = 3 \sqrt{2}$.
આમ, ચોરસની બાજુની લંબાઈ $3 \sqrt{2}$ છે।

(D) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ચોરસના વિકર્ણ $d$ નું સૂત્ર $d = a \sqrt{2}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે વિકર્ણ $d = 5 \sqrt{2}$ છે.
બંને પદોને સરખાવતા: $a \sqrt{2} = 5 \sqrt{2}$.
બંને બાજુ $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા,આપણને $a = 5$ મળે છે.
તેથી,ચોરસની બાજુની લંબાઈ $5$ છે.

(A) લંબચોરસમાં,દરેક ખૂણો કાટખૂણો $(90^{\circ})$ હોય છે.
ધારો કે લંબચોરસની બાજુઓ $a = 12$ અને $b = 35$ છે.
લંબચોરસનો વિકર્ણ $d$ એ બે પાસપાસેની બાજુઓ સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$d^2 = a^2 + b^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $d^2 = 12^2 + 35^2$.
$d^2 = 144 + 1225$.
$d^2 = 1369$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $d = \sqrt{1369} = 37$.
તેથી,વિકર્ણની લંબાઈ $37$ છે.

(B) લંબચોરસ $ABCD$ માં,ખૂણો $\angle B = 90^{\circ}$ હોય છે.
તેથી,$\triangle ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $AB$ અને $BC$ બાજુઓ છે અને $AC$ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2$.
અહીં $AB = 2.4$ અને $BC = 3.2$ આપેલ છે.
$AC^2 = (2.4)^2 + (3.2)^2$.
$AC^2 = 5.76 + 10.24$.
$AC^2 = 16$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$AC = \sqrt{16} = 4$.

(C) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરની મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતા અડધી હોય છે.
આપેલ છે કે $\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $m\angle B = 90^{\circ}$ છે,તેથી બાજુ $\overline{AC}$ એ કર્ણ છે.
$\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરની મધ્યગા છે.
તેથી,$BM = \frac{1}{2} \times AC$.
$AC = 20$ આપેલ હોવાથી,$BM = \frac{1}{2} \times 20 = 10$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરની મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતા અડધી હોય છે.
આપેલ છે કે $\Delta XYZ$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $m\angle Y = 90^{\circ}$ છે,તેથી બાજુ $XZ$ એ કર્ણ છે.
$\overline{YP}$ એ કર્ણ $XZ$ પરની મધ્યગા છે.
તેથી,$YP = \frac{1}{2} \times XZ$.
અહીં $YP = 6$ આપેલ છે,તેથી $6 = \frac{1}{2} \times XZ$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,આપણને $XZ = 6 \times 2 = 12$ મળે છે.

(A) $\Delta ABC$ માં મધ્યગા $\overline{AD}$ માટે એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
અહીં $\overline{AD}$ એ બાજુ $\overline{BC}$ પરની મધ્યગા હોવાથી,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$BD = DC = \frac{BC}{2} = \frac{18}{2} = 9$.
આ કિંમતો પ્રમેયમાં મૂકતા:
$8^2 + AC^2 = 2(7^2 + 9^2)$
$64 + AC^2 = 2(49 + 81)$
$64 + AC^2 = 2(130)$
$64 + AC^2 = 260$
$AC^2 = 260 - 64$
$AC^2 = 196$
$AC = \sqrt{196} = 14$.

(B) $\Delta ABC$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
અહીં $m \angle B = 90^{\circ}$ અને $m \angle C = 30^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $m \angle A = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$ મળે.
આ એક $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ માપનો ત્રિકોણ છે.
$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ ત્રિકોણમાં,$30^{\circ}$ ના ખૂણાની સામેની બાજુ કર્ણ કરતા અડધી હોય છે.
અહીં $30^{\circ}$ ના ખૂણાની સામેની બાજુ $AB$ છે.
કર્ણ $AC = 10$ છે.
તેથી,$AB = \frac{1}{2} \times AC = \frac{1}{2} \times 10 = 5$.

(C) $\triangle PQR$ માં,આપણને $PQ = 10$,$QR = 10$ અને $PR = 10\sqrt{2}$ આપેલ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપનો ઉપયોગ કરીને તપાસો કે શું $\triangle PQR$ કાટકોણ ત્રિકોણ છે:
$PQ^2 + QR^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200$.
$PR^2 = (10\sqrt{2})^2 = 100 \times 2 = 200$.
અહીં $PQ^2 + QR^2 = PR^2$ હોવાથી,$\triangle PQR$ એ $\angle PQR = 90^\circ$ વાળો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
ચતુષ્કોણમાં,જો બે પાસપાસેની બાજુઓ સમાન હોય અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ હોય,તો તે ચોરસ હોવાની શક્યતા છે.

(D) ધારો કે વાંસની લંબાઈ કર્ણ $c = 15 \, m$ છે.
દીવાલ પર પહોંચેલી ઊંચાઈ એક બાજુ $a = 12 \, m$ છે.
દીવાલના પાયાથી અંતર બીજી બાજુ $b$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$a^2 + b^2 = c^2$.
કિંમતો મૂકતા,$(12)^2 + b^2 = (15)^2$.
$144 + b^2 = 225$.
$b^2 = 225 - 144 = 81$.
$b = \sqrt{81} = 9 \, m$.
આમ,વાંસનો નીચેનો છેડો દીવાલના પાયાથી $9 \, m$ દૂર છે.

(A) લંબચોરસ $HIJK$ માં,$HJ$ એ વિકર્ણ છે અને $HI$ એ એક બાજુ છે.
ધારો કે બાજુઓ $HI = l = 5$ અને $IJ = w$ છે. વિકર્ણ $HJ$ એ બાજુઓ $HI$ અને $IJ$ સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle HIJ$ બનાવે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$HI^2 + IJ^2 = HJ^2$.
$5^2 + IJ^2 = 13^2$.
$25 + IJ^2 = 169$.
$IJ^2 = 169 - 25 = 144$.
$IJ = \sqrt{144} = 12$.
હવે,લંબચોરસની પરિમિતિ $P = 2(l + w)$ દ્વારા મળે છે.
$P = 2(5 + 12) = 2(17) = 34$.

(B) લંબચોરસ $ABCD$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ છે.
$\triangle ABC$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ થાય.
આપેલ છે કે $AB^{2} + BC^{2} = 64$.
તેથી,$AC^{2} = 64$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$AC = \sqrt{64} = 8$ મળે.
આમ,વિકર્ણ $AC$ ની લંબાઈ $8$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,$\Delta ABC$ ની સૌથી મોટી બાજુ નક્કી કરો. અહીં $AB = 4$,$BC = 2\sqrt{3} \approx 3.46$ અને $AC = 2\sqrt{7} \approx 5.29$ છે. તેથી,$AC$ એ સૌથી મોટી બાજુ છે,આપણે બાજુ $AC$ પર દોરેલી મધ્યગા $BD$ ની લંબાઈ શોધવાની છે.
$\Delta ABC$ માટે એપોલોનિયસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$AB^2 + BC^2 = 2(BD^2 + AD^2)$
અહીં $D$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AD = AC/2 = (2\sqrt{7})/2 = \sqrt{7}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $4^2 + (2\sqrt{3})^2 = 2(BD^2 + (\sqrt{7})^2)$
$16 + 12 = 2(BD^2 + 7)$
$28 = 2(BD^2 + 7)$
$14 = BD^2 + 7$
$BD^2 = 7$
$BD = \sqrt{7}$.

(D) $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં ભૂમિતિ મધ્યકના ગુણધર્મ મુજબ,$BM^2 = AM \cdot MC$.
અહીં $BM = 12$ અને $AM = 9$ આપેલ છે,તેથી $12^2 = 9 \cdot MC$.
$144 = 9 \cdot MC \implies MC = \frac{144}{9} = 16$.
$\Delta ABM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 = AM^2 + BM^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$.
તેથી,$AB = \sqrt{225} = 15$.
$\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2$.
પહેલા $\Delta BMC$ માં $BC^2$ શોધીએ: $BC^2 = BM^2 + MC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$.
આમ,$AC^2 = 225 + 400 = 625$.
$AC = \sqrt{625} = 25$.
અથવા,$AC = AM + MC = 9 + 16 = 25$.

(A) $\Delta PQR$ માં,$\angle P = 90^{\circ}$ અને $\overline{PX} \perp \overline{QR}$ છે.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય (અથવા કર્ણ પરના વેધના ગુણધર્મ) મુજબ,કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પરનો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
ખાસ કરીને,$\Delta QXP \sim \Delta QPR$ થાય.
સમરૂપતા $\Delta QXP \sim \Delta QPR$ પરથી,આપણને મળે છે કે $\frac{QX}{PQ} = \frac{PQ}{QR}$.
તેથી,$PQ^2 = QX \cdot QR$.
અહીં $QX = 4$ અને $RX = 5$ આપેલ છે,તેથી $QR = QX + RX = 4 + 5 = 9$.
આ કિંમતો મૂકતા,$PQ^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
તેથી,$PQ = \sqrt{36} = 6$.

(B) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ચોરસનો વિકર્ણ $d$ શોધવાનું સૂત્ર $d = a \sqrt{2}$ છે.
અહીં વિકર્ણ $d = 12$ આપેલ છે,તેથી:
$12 = a \sqrt{2}$
$a = \frac{12}{\sqrt{2}}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
$a = \frac{12 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}$
$a = \frac{12 \sqrt{2}}{2}$
$a = 6 \sqrt{2}$
તેથી,ચોરસની દરેક બાજુની લંબાઈ $6 \sqrt{2}$ છે.

(C) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
ચોરસના વિકર્ણની લંબાઈ શોધવાનું સૂત્ર $d = a \sqrt{2}$ છે.
અહીં વિકર્ણ $d = 8 \sqrt{2}$ આપેલ છે.
બંનેને સરખાવતા,$a \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}$ મળે છે.
બંને બાજુ $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા,બાજુની લંબાઈ $a = 8$ મળે છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = a^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,$\text{Area} = 8^2 = 64$ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ચોરસનું ક્ષેત્રફળ વિકર્ણ $d$ નો ઉપયોગ કરીને $\text{Area} = \frac{1}{2} \times d^2$ દ્વારા પણ શોધી શકાય છે.
$d = 8 \sqrt{2}$ મૂકતા,$\text{Area} = \frac{1}{2} \times (8 \sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \times (64 \times 2) = \frac{1}{2} \times 128 = 64$ થાય છે.

(D) આપેલ છે કે $\Delta PQR$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $m\angle Q = 90^{\circ}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$PR^2 = PQ^2 + QR^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$PR^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
તેથી,$PR = \sqrt{100} = 10$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પર દોરેલી મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતાં અડધી હોય છે.
અહીં $T$ એ $\overline{PR}$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\overline{QT}$ એ કર્ણ $\overline{PR}$ પરની મધ્યગા છે.
તેથી,$QT = \frac{1}{2} \times PR = \frac{1}{2} \times 10 = 5$.

(A) ધારો કે સીડીની લંબાઈ કર્ણ $h = 2.6 \,m$ છે.
ધારો કે સીડીના નીચેના છેડાનું દીવાલથી અંતર પાયો $b = 1 \,m$ છે.
ધારો કે સીડી દીવાલ પર $a$ ઊંચાઈ સુધી પહોંચે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$a^2 + b^2 = h^2$.
કિંમતો મૂકતા: $a^2 + (1)^2 = (2.6)^2$.
$a^2 + 1 = 6.76$.
$a^2 = 6.76 - 1 = 5.76$.
$a = \sqrt{5.76} = 2.4 \,m$.
આમ,સીડીનો ઉપરનો છેડો દીવાલ પર $2.4 \,m$ ની ઊંચાઈ સુધી પહોંચશે.

(B) જો ત્રિકોણની સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય,તો તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે (પાયથાગોરસનો પ્રમેય).
વિકલ્પ $A$ માટે: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$,જ્યારે $12^2 = 144$. $100 \neq 144$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ નથી.
વિકલ્પ $B$ માટે: $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$,અને $25^2 = 625$. $625 = 625$ હોવાથી,તે પાયથાગોરસના પ્રમેયનું પાલન કરે છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $7^2 + 15^2 = 49 + 225 = 274$,જ્યારે $17^2 = 289$. $274 \neq 289$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ નથી.
વિકલ્પ $D$ માટે: $3^2 + 7^2 = 9 + 49 = 58$,જ્યારે $9^2 = 81$. $58 \neq 81$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ નથી.
તેથી,$7, 24, 25$ બાજુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(A) $\Delta XYZ$ માં,ખૂણાઓનો ગુણોત્તર $m \angle X : m \angle Y : m \angle Z = 2 : 3 : 5$ છે.
ધારો કે ખૂણાઓ $2k, 3k, 5k$ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$2k + 3k + 5k = 180^{\circ}$,જે આપણને $10k = 180^{\circ}$ આપે છે,તેથી $k = 18^{\circ}$.
આમ,$m \angle X = 2(18^{\circ}) = 36^{\circ}$,$m \angle Y = 3(18^{\circ}) = 54^{\circ}$,અને $m \angle Z = 5(18^{\circ}) = 90^{\circ}$.
સંગતતા $XYZ \leftrightarrow EFD$ સમરૂપતા છે,જેનો અર્થ છે કે $\Delta XYZ \sim \Delta EFD$.
તેથી,અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય છે: $m \angle X = m \angle E$,$m \angle Y = m \angle F$,અને $m \angle Z = m \angle D$.
કારણ કે $m \angle Z = 90^{\circ}$ છે,તેથી $m \angle D = 90^{\circ}$ થાય.
આમ,$\angle D$ એ કાટખૂણો છે.

(C) આપેલ છે કે સંગતતા $ABC \leftrightarrow ZXY$ માટે $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન છે:
$\frac{AB}{ZX} = \frac{BC}{XY} = \frac{CA}{YZ}$.
ગુણોત્તરના ગુણધર્મો મુજબ,$\frac{AB}{ZX} = \frac{BC + CA}{XY + YZ}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $AB = 12, BC = 8, CA = 10, ZX = 10$.
$\frac{12}{10} = \frac{8 + 10}{XY + YZ}$.
$\frac{6}{5} = \frac{18}{XY + YZ}$.
$XY + YZ = \frac{18 \times 5}{6} = 3 \times 5 = 15$.
આમ,$XY + YZ = 15$.

(B) બે સમરૂપ ત્રિકોણ માટે,તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ બરાબર હોય છે.
ધારો કે ક્ષેત્રફળ $A_1 = 25$ અને $A_2 = 16$ છે.
ધારો કે અનુરૂપ બાજુઓ $s_1$ અને $s_2$ છે.
તેથી,$\frac{A_1}{A_2} = (\frac{s_1}{s_2})^2$.
$\frac{25}{16} = (\frac{s_1}{s_2})^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{s_1}{s_2} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.
બે સમરૂપ ત્રિકોણની પરિમિતિનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તર જેટલો જ હોય છે.
તેથી,તેમની પરિમિતિનો ગુણોત્તર $5: 4$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ એ $ABC \leftrightarrow PQR$ સંગતતા માટે છે.
સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના પ્રમેય મુજબ,બે સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ બરાબર હોય છે.
તેથી,$\frac{\text{Area}(\Delta ABC)}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \left(\frac{AB}{PQ}\right)^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{36}{64} = \left(\frac{12}{PQ}\right)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\sqrt{\frac{36}{64}} = \frac{12}{PQ}$.
$\frac{6}{8} = \frac{12}{PQ}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{3}{4} = \frac{12}{PQ}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $3 \times PQ = 12 \times 4$.
$3 \times PQ = 48$.
$PQ = \frac{48}{3} = 16$.

(D) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ એ સંગતતા $ABC \leftrightarrow XYZ$ માટે છે.
સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના પ્રમેય મુજબ,બે સમરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
તેથી,$\frac{\text{Area}(\Delta ABC)}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \left(\frac{BC}{YZ}\right)^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{72}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \left(\frac{6}{10}\right)^2$.
$\frac{72}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \frac{36}{100}$.
$\text{Area}(\Delta XYZ) = \frac{72 \times 100}{36}$.
$\text{Area}(\Delta XYZ) = 2 \times 100 = 200$.

(C) $\Delta ABC$ માં,$D$,$E$,અને $F$ એ અનુક્રમે $\overline{AB}$,$\overline{BC}$ અને $\overline{CA}$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$EF \parallel AB$ અને $EF = \frac{1}{2} AB$,$DF \parallel BC$ અને $DF = \frac{1}{2} BC$,તથા $DE \parallel AC$ અને $DE = \frac{1}{2} AC$.
તેથી,$\frac{DE}{AC} = \frac{EF}{AB} = \frac{DF}{BC} = \frac{1}{2}$.
$SSS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta DEF \sim \Delta CAB$ (કારણ કે $D$ ને સંગત $C$,$E$ ને સંગત $A$,અને $F$ ને સંગત $B$ છે).
આમ,સંગતતા $DEF \leftrightarrow CAB$ એ સમરૂપતા છે.

(A) $\Delta ADB$ અને $\Delta BDC$ માં:
$\angle ADB = \angle BDC = 90^{\circ}$ (કારણ કે $\overline{BD} \perp \overline{AC}$).
$\Delta ABC$ માં,$\angle A + \angle C = 90^{\circ}$.
$\Delta ADB$ માં,$\angle A + \angle ABD = 90^{\circ}$.
તેથી,$\angle ABD = \angle C$.
$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$A \leftrightarrow B$,$D \leftrightarrow D$,અને $B \leftrightarrow C$ ની સંગતતા મળે છે.
આમ,$ADB \leftrightarrow BDC$ એ સાચી સંગતતા છે.

(A) આપેલ છે કે સંગતતા $ABC \leftrightarrow BAC$ અને $ABC \leftrightarrow ACB$ સમરૂપતા છે.
$ABC \leftrightarrow BAC$ પરથી,આપણને મળે છે કે $\angle A = \angle B$,$\angle B = \angle A$ અને $\angle C = \angle C$.
$ABC \leftrightarrow ACB$ પરથી,આપણને મળે છે કે $\angle A = \angle A$,$\angle B = \angle C$ અને $\angle C = \angle B$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $\angle A = \angle B$ અને $\angle B = \angle C$ મળે છે.
તેથી,$\angle A = \angle B = \angle C$.
ત્રણેય ખૂણા સમાન હોવાથી,ત્રિકોણ સમકોણ છે.
સમકોણ ત્રિકોણ હંમેશા સમબાજુ ત્રિકોણ હોય છે.
આમ,$\Delta ABC$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.