Mix Examples - Triangles Questions in Gujarati

(C) સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે $(90^{\circ})$ દુભાગે છે.
ધારો કે વિકર્ણો $PR$ અને $QS$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે.
વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગતા હોવાથી,$PO = OR = \frac{PR}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$ અને $QO = OS = \frac{QS}{2} = \frac{12}{2} = 6$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle POQ$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PQ^2 = PO^2 + QO^2$
$PQ^2 = (4.5)^2 + (6)^2$
$PQ^2 = 20.25 + 36 = 56.25$
$PQ = \sqrt{56.25} = 7.5$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,પરિમિતિ $= 4 \times PQ$ થાય.
પરિમિતિ $= 4 \times 7.5 = 30$.

(D) સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે. ધારો કે $AM = x$ અને $DM = y$.
વિકર્ણો $M$ બિંદુએ $90^{\circ}$ ના ખૂણે છેદે છે,તેથી $\triangle AMB$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AM^2 + BM^2 = AB^2$.
આપેલ છે કે $AM + DM = 17$,તેથી $x + y = 17$,એટલે કે $y = 17 - x$.
$\triangle AMB$ માં,$x^2 + BM^2 = 13^2 = 169$.
$\triangle AMD$ માં,$x^2 + y^2 = AD^2$. સમબાજુ ચતુષ્કોણની બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,$AD = AB = 13$.
તેથી,$x^2 + y^2 = 169$.
$y = 17 - x$ મૂકતા: $x^2 + (17 - x)^2 = 169$.
$x^2 + 289 - 34x + x^2 = 169$.
$2x^2 - 34x + 120 = 0$.
$x^2 - 17x + 60 = 0$.
$(x - 12)(x - 5) = 0$.
તેથી,$x = 12$ અથવા $x = 5$.
જો $x = 12$ હોય,તો $y = 17 - 12 = 5$.
જો $x = 5$ હોય,તો $y = 17 - 5 = 12$.
$AC > BD$ હોવાથી,$AM > DM$,એટલે કે $x > y$. તેથી,$x = 12$ અને $y = 5$.
$DM = y = 5$.
વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગતા હોવાથી,$BD = 2 \times DM = 2 \times 5 = 10$.

(A) ધારો કે $AB = x$ અને $BC = y$ છે.
લંબચોરસ $ABCD$ માં,$\triangle ABC$ એ $\angle B = 90^\circ$ વાળો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 + BC^2 = AC^2$.
આપેલ છે કે $x^2 + y^2 = 29^2 = 841$.
વળી,$x + y = 41$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.
કિંમતો મૂકતા: $41^2 = 841 + 2xy$.
$1681 = 841 + 2xy$.
$2xy = 1681 - 841 = 840$.
$xy = 420$.
હવે,આપણી પાસે $x + y = 41$ અને $xy = 420$ છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ ના બીજ છે.
$t^2 - 41t + 420 = 0$.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t - 21)(t - 20) = 0$.
તેથી,$t = 21$ અથવા $t = 20$.
$AB > BC$ હોવાથી,$AB = 21$ અને $BC = 20$ મળે.
આમ,$AB = 21$.

(B) સમબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિ $P = 3a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $a$ એ બાજુની લંબાઈ છે。
આપેલ છે કે $P = 30$, તેથી $3a = 30$, જેનો અર્થ છે કે $a = 10$.
સમબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $Area = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે。
સૂત્રમાં $a = 10$ મૂકતા:
$Area = \frac{\sqrt{3}}{4} (10)^2$
$Area = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 100$
$Area = 25 \sqrt{3}$.

(A) ધારો કે $AB = x$.
આપેલ છે કે $BC - AB = 4$,તેથી $BC = x + 4$.
આપેલ છે કે $AC - BC = 4$,તેથી $AC = BC + 4 = (x + 4) + 4 = x + 8$.
$\Delta ABC$ એ $\angle B = 90^{\circ}$ વાળો કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AB^2 + BC^2 = AC^2$.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 + (x + 4)^2 = (x + 8)^2$.
$x^2 + x^2 + 8x + 16 = x^2 + 16x + 64$.
$x^2 - 8x - 48 = 0$.
$(x - 12)(x + 4) = 0$.
$x$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $x = 12$.
આમ,$AB = 12$,$BC = 12 + 4 = 16$,અને $AC = 16 + 4 = 20$.

(B) $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ અને $BM \perp AC$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં ભૂમિતિ મધ્યક પ્રમેય મુજબ,$BM^2 = AM \cdot CM$.
અહીં $BM = 10$ અને $CM = 5$ આપેલ છે,તેથી $10^2 = AM \cdot 5$,જે આપણને $100 = 5 \cdot AM$ આપે છે,એટલે કે $AM = 20$.
કર્ણ $AC = AM + CM = 20 + 5 = 25$.
$\Delta BMC$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$BC^2 = BM^2 + CM^2 = 10^2 + 5^2 = 100 + 25 = 125$,તેથી $BC = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$.
$\Delta AMB$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$AB^2 = BM^2 + AM^2 = 10^2 + 20^2 = 100 + 400 = 500$,તેથી $AB = \sqrt{500} = 10\sqrt{5}$.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ = $AB + BC + AC = 10\sqrt{5} + 5\sqrt{5} + 25 = 25 + 15\sqrt{5}$.

(A) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $AB = AC$. ધારો કે $AB = AC = x$ અને $BC = y$.
પરિમિતિ $AB + AC + BC = 50$ છે,તેથી $2x + y = 50$,જેનો અર્થ છે કે $y = 50 - 2x$.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં $\overline{AM}$ એ પાયા $\overline{BC}$ પરનો વેધ હોવાથી,તે પાયાને દુભાગે છે. તેથી,$BM = MC = y/2 = (50 - 2x)/2 = 25 - x$.
કાટકોણ $\Delta ABM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AM^2 + BM^2 = AB^2$.
કિંમતો મૂકતા: $15^2 + (25 - x)^2 = x^2$.
$225 + 625 - 50x + x^2 = x^2$.
$850 - 50x = 0$,તેથી $50x = 850$,જે આપણને $x = 17$ આપે છે.
હવે,પાયો $y$ શોધો: $y = 50 - 2(17) = 50 - 34 = 16$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times BC \times AM$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 16 \times 15 = 8 \times 15 = 120$.

(B) $\Delta ABC$ માં,$AB = AC = 37$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\Delta ABC$ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં પાયા $BC$ પરની મધ્યગા $\overline{AM}$ એ પાયા પરનો વેધ પણ હોય છે.
તેથી,$\overline{AM} \perp \overline{BC}$ અને $M$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$BC = 70$ હોવાથી,$BM = MC = \frac{70}{2} = 35$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 = AM^2 + BM^2$
$37^2 = AM^2 + 35^2$
$1369 = AM^2 + 1225$
$AM^2 = 1369 - 1225 = 144$
$AM = \sqrt{144} = 12$.

(C) ધારો કે $AB = x$.
આપેલ છે કે $BC - AB = 7$,તેથી $BC = x + 7$.
આપેલ છે કે $AC - BC = 2$,તેથી $AC = BC + 2 = (x + 7) + 2 = x + 9$.
$\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
$x^2 + (x + 7)^2 = (x + 9)^2$
$x^2 + x^2 + 14x + 49 = x^2 + 18x + 81$
$2x^2 + 14x + 49 = x^2 + 18x + 81$
$x^2 - 4x - 32 = 0$
$(x - 8)(x + 4) = 0$
લંબાઈ હંમેશા ધન હોય,તેથી $x = 8$.
આમ,$AB = 8$,$BC = 15$,અને $AC = 17$.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ = $AB + BC + AC = 8 + 15 + 17 = 40$.

(D) લંબચોરસ $\square ABCD$ માં,સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે,તેથી $AB = CD$ અને $BC = DA$.
આપેલ સમીકરણ: $AB^{2} + BC^{2} + CD^{2} + DA^{2} = 128$.
સમાન બાજુઓ મૂકતા,આપણને મળે છે: $AB^{2} + BC^{2} + AB^{2} + BC^{2} = 128$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $2(AB^{2} + BC^{2}) = 128$.
$2$ વડે ભાગતા: $AB^{2} + BC^{2} = 64$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$.
તેથી,$AC^{2} = 64$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$AC = \sqrt{64} = 8$.

(A) ધારો કે લંબચોરસની બાજુઓ $AB = x$ અને $BC = y$ છે.
લંબચોરસની પરિમિતિ $2(x + y) = 28$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y = 14$ થાય છે.
લંબચોરસમાં,વિકર્ણ $AC$ એ બાજુઓ $AB$ અને $BC$ સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ બનાવે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$x^2 + y^2 = AC^2 = 10^2 = 100$.
આપણી પાસે સમીકરણોની જોડી છે:
$1) x + y = 14$
$2) x^2 + y^2 = 100$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$y = 14 - x$. આ કિંમતને $(2)$ માં મૂકતા:
$x^2 + (14 - x)^2 = 100$
$x^2 + 196 - 28x + x^2 = 100$
$2x^2 - 28x + 96 = 0$
$x^2 - 14x + 48 = 0$
$(x - 6)(x - 8) = 0$
તેથી,$x = 6$ અથવા $x = 8$.
જો $x = 6$ હોય,તો $y = 14 - 6 = 8$. અહીં $AB < BC$ $(6 < 8)$ હોવાથી,આ ઉકેલ માન્ય છે.
જો $x = 8$ હોય,તો $y = 14 - 8 = 6$. આ $AB < BC$ ની શરતનું ઉલ્લંઘન કરે છે.
તેથી,બાજુઓના માપ $AB = 6$ અને $BC = 8$ છે.

(B) સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે,જ્યાં $a$ એ બાજુની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $36 \sqrt{3}$ છે,તેથી આપણે સમીકરણ બનાવી શકીએ:
$\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 36 \sqrt{3}$.
બંને બાજુને $\sqrt{3}$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{4} a^2 = 36$.
બંને બાજુને $4$ વડે ગુણતા:
$a^2 = 36 \times 4 = 144$.
બંને બાજુનું વર્ગમૂળ લેતા:
$a = \sqrt{144} = 12$.
તેથી,તેની બાજુનું માપ $12$ છે.

(C) ધારો કે બે થાંભલા $AB = 6 \, m$ અને $CD = 11 \, m$ સપાટ જમીન પર ઉભેલા છે.
તેમના પાયા વચ્ચેનું અંતર $BD = 12 \, m$ છે.
$BD$ ને સમાંતર રેખાખંડ $AE$ દોરો જેથી $E$ એ $CD$ પર હોય.
તેથી $AE = BD = 12 \, m$ અને $ED = AB = 6 \, m$ થાય.
હવે,$CE = CD - ED = 11 \, m - 6 \, m = 5 \, m$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AEC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AC^2 = AE^2 + CE^2$
$AC^2 = (12)^2 + (5)^2$
$AC^2 = 144 + 25 = 169$
$AC = \sqrt{169} = 13 \, m$.
આમ,તેમની ટોચ વચ્ચેનું અંતર $13 \, m$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $AB = AC = 25$ અને પાયો $BC = 14$ છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં,શિરોબિંદુમાંથી પાયા પર દોરેલો વેધ $\overline{AM}$ એ મધ્યગા તરીકે પણ કાર્ય કરે છે.
તેથી,$M$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
આમ,$BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 = AM^2 + BM^2$
$25^2 = AM^2 + 7^2$
$625 = AM^2 + 49$
$AM^2 = 625 - 49 = 576$
$AM = \sqrt{576} = 24$.
આમ,વેધ $AM$ ની લંબાઈ $24$ છે.

(A) ધારો કે નિસરણીની લંબાઈ $L$ છે. નિસરણી, દીવાલ અને જમીન એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ, $L^2 = (\text{ઊંચાઈ})^2 + (\text{પાયો})^2$.
પ્રથમ કિસ્સામાં, ઊંચાઈ $= 8 \, m$ અને પાયો $= 6 \, m$ છે.
તેથી, $L^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.
આમ, $L = \sqrt{100} = 10 \, m$.
બીજા કિસ્સામાં, તે જ $L = 10 \, m$ લંબાઈની નિસરણીનો ઉપયોગ થાય છે અને નવી ઊંચાઈ $6 \, m$ છે.
ધારો કે નવો પાયો $x$ છે.
ફરીથી પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $L^2 = (\text{નવી ઊંચાઈ})^2 + x^2$.
$10^2 = 6^2 + x^2$.
$100 = 36 + x^2$.
$x^2 = 100 - 36 = 64$.
$x = \sqrt{64} = 8 \, m$.
તેથી, નિસરણીના નીચેના છેડાનું દીવાલના પાયાથી અંતર $8 \, m$ છે.

(A) સમબાજુ ચતુષ્કોણ એ એવો ચતુષ્કોણ છે જેમાં બધી બાજુઓ સમાન હોય છે અને વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે $(90^{\circ})$ દુભાગે છે.
ધારો કે વિકર્ણો $d_1 = AC = 24$ અને $d_2 = BD = 70$ છે.
વિકર્ણો એકબીજાને બિંદુ $O$ પર દુભાગે છે. તેથી,રેખાખંડો $AO = OC = \frac{24}{2} = 12$ અને $BO = OD = \frac{70}{2} = 35$ થશે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AOB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$
$AB^2 = 12^2 + 35^2$
$AB^2 = 144 + 1225 = 1369$
$AB = \sqrt{1369} = 37$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ $4 \times \text{બાજુ} = 4 \times 37 = 148$ થાય.

(A) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરનો વેધ મૂળ ત્રિકોણને બે સમાન ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
વેધ માટેના ભૂમિતિ મધ્યક પ્રમેય મુજબ: $BM^2 = AM \cdot CM$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $BM^2 = 4 \cdot 5 = 20$.
તેથી,$BM = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$\Delta ABM$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $AB^2 = AM^2 + BM^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2 = 16 + 20 = 36$.
તેથી,$AB = \sqrt{36} = 6$.
$\Delta CBM$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $BC^2 = CM^2 + BM^2 = 5^2 + (2\sqrt{5})^2 = 25 + 20 = 45$.
તેથી,$BC = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.

(N/A) $\Delta PQR$ માં,$\angle Q = 90^{\circ}$ અને $QS \perp PR$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં વેધના ગુણધર્મ મુજબ,$PQ^2 = PS \cdot PR$ થાય.
અહીં $PQ = 6$ અને $PS = 4$ આપેલ છે,તેથી $6^2 = 4 \cdot PR$,જેનો અર્થ છે કે $36 = 4 \cdot PR$,એટલે કે $PR = 9$.
$PR = PS + RS$ હોવાથી,$9 = 4 + RS$,તેથી $RS = 5$.
વેધના પ્રમેય મુજબ,$QS^2 = PS \cdot RS = 4 \cdot 5 = 20$,તેથી $QS = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$\Delta QSR$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$QR^2 = QS^2 + RS^2 = 20 + 5^2 = 20 + 25 = 45$.
આમ,$QR = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.

(A) $\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કર્ણ $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ બે રીતે શોધી શકાય છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 7 \times 24 = 84$.
વળી,$AC$ ને પાયો અને $BM$ ને વેધ લેતા,ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AC \times BM = \frac{1}{2} \times 25 \times BM$.
બંને ક્ષેત્રફળને સરખાવતા: $\frac{1}{2} \times 25 \times BM = 84$.
$25 \times BM = 168$.
$BM = \frac{168}{25} = 6.72$.

(B) આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે કુલ $4$ પગથિયાં છે.
કુલ આડી લંબાઈ (પાયો) $= 4 \times 20 \, cm = 80 \, cm = 0.8 \, m$.
કુલ ઊભી લંબાઈ (ઊંચાઈ) $= 4 \times 15 \, cm = 60 \, cm = 0.6 \, m$.
બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર એ કાટકોણ ત્રિકોણનો કર્ણ બનાવે છે,જેમાં પાયો $0.8 \, m$ અને ઊંચાઈ $0.6 \, m$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $AB = \sqrt{(0.8)^2 + (0.6)^2} = \sqrt{0.64 + 0.36} = \sqrt{1.00} = 1 \, m$.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$. $N$ એ $AB$ પરનું બિંદુ છે અને $M$ એ $BC$ પરનું બિંદુ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $AM^{2} + CN^{2} = AC^{2} + MN^{2}$.
સાબિતી:
$1$. કાટકોણ $\Delta ABM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AM^{2} = AB^{2} + BM^{2}$.
$2$. કાટકોણ $\Delta CBN$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $CN^{2} = CB^{2} + BN^{2}$.
$3$. આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $AM^{2} + CN^{2} = AB^{2} + BM^{2} + CB^{2} + BN^{2}$.
$4$. પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $AM^{2} + CN^{2} = (AB^{2} + BC^{2}) + (BM^{2} + BN^{2})$.
$5$. $\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$.
$6$. કાટકોણ $\Delta MBN$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $MN^{2} = BM^{2} + BN^{2}$.
$7$. આ કિંમતોને સ્ટેપ $4$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $AM^{2} + CN^{2} = AC^{2} + MN^{2}$.
આમ,વિધાન સાબિત થાય છે.

(A) $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ અને $BE \perp AC$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પર વેધ દોરવામાં આવે,તો વેધની બંને બાજુના ત્રિકોણો મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે અને પરસ્પર પણ સમરૂપ હોય છે.
$1$. $\Delta ABE \sim \Delta ABC$ ($AA$ સમરૂપતા મુજબ).
તેથી,$\frac{AB}{AC} = \frac{AE}{AB}$,જેનો અર્થ છે કે $AB^2 = AE \cdot AC$ --- $(1)$.
$2$. $\Delta CBE \sim \Delta ABC$ ($AA$ સમરૂપતા મુજબ).
તેથી,$\frac{BC}{AC} = \frac{CE}{BC}$,જેનો અર્થ છે કે $BC^2 = CE \cdot AC$ --- $(2)$.
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AE \cdot AC}{CE \cdot AC}$.
અંશ અને છેદમાંથી $AC$ ઉડાડતા,આપણને મળે છે:
$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AE}{CE}$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) $\Delta PQR$ માં,$\angle Q = 90^{\circ}$ અને $QD \perp PR$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં ભૂમિતિના મધ્યક (geometric mean) ના ગુણધર્મ મુજબ,$\Delta PDQ \sim \Delta QDR$ થાય.
ત્રિકોણની સમરૂપતાના આધારે,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે: $\frac{PQ}{QR} = \frac{PD}{QD} = \frac{QD}{DR}$.
$\frac{PQ}{QR} = \frac{QD}{DR}$ પરથી,આપણને મળે છે $PQ^2 = QR^2 \cdot \frac{PD}{DR}$.
આપેલ છે કે $PD = 25 DR$,તેથી $\frac{PD}{DR} = 25$.
આ કિંમત મૂકતા,$PQ^2 = QR^2 \cdot 25$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$PQ = 5 QR$ સાબિત થાય છે.

(N/A) $1$. $\Delta PQR$ માં,$\angle Q = 90^{\circ}$ અને $\overline{QD} \perp \overline{PR}$ છે.
$2$. કાટકોણ ત્રિકોણમાં સમરૂપતાના ગુણધર્મ મુજબ,$\Delta PDQ \sim \Delta QDR \sim \Delta PQR$ થાય.
$3$. $\Delta PDQ \sim \Delta QDR$ પરથી,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર: $\frac{PD}{QD} = \frac{QD}{RD} = \frac{PQ}{QR}$ મળે.
$4$. ગુણોત્તર $\frac{PD}{QD} = \frac{PQ}{QR}$ પરથી,$PD = QD \cdot \frac{PQ}{QR}$ મળે.
$5$. ગુણોત્તર $\frac{QD}{RD} = \frac{PQ}{QR}$ પરથી,$QD = RD \cdot \frac{PQ}{QR}$ મળે.
$6$. $PD$ ના સમીકરણમાં $QD$ ની કિંમત મૂકતા: $PD = (RD \cdot \frac{PQ}{QR}) \cdot \frac{PQ}{QR} = RD \cdot (\frac{PQ}{QR})^2$.
$7$. આપેલ છે કે $PQ = 4QR$,તેથી $\frac{PQ}{QR} = 4$.
$8$. આમ,$PD = RD \cdot (4)^2 = 16RD$ સાબિત થાય છે.

(N/A) ધારો કે ચતુષ્કોણ $\square XYZW$ ના વિકર્ણો $XZ$ અને $YW$ બિંદુ $O$ પર કાટખૂણે $(90^{\circ})$ છેદે છે.
$\triangle XOY$,$\triangle YOZ$,$\triangle ZOW$ અને $\triangle WOX$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$XY^{2} = XO^{2} + YO^{2}$ $(1)$
$YZ^{2} = YO^{2} + ZO^{2}$ $(2)$
$ZW^{2} = ZO^{2} + WO^{2}$ $(3)$
$XW^{2} = WO^{2} + XO^{2}$ $(4)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$XY^{2} + ZW^{2} = (XO^{2} + YO^{2}) + (ZO^{2} + WO^{2})$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$XY^{2} + ZW^{2} = (YO^{2} + ZO^{2}) + (WO^{2} + XO^{2})$
સમીકરણ $(2)$ અને $(4)$ ની કિંમત મૂકતા:
$XY^{2} + ZW^{2} = YZ^{2} + XW^{2}$
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક લંબચોરસ છે જેની બાજુઓ $AB = CD = l$ અને $BC = DA = b$ છે. ધારો કે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ છે.
લંબચોરસમાં,બધા આંતરિક ખૂણા $90^{\circ}$ હોય છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ ધ્યાનમાં લો. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = l^2 + b^2$
તે જ રીતે,કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle BCD$ માં:
$BD^2 = BC^2 + CD^2 = b^2 + l^2$
વિકર્ણોના વર્ગોનો સરવાળો:
$AC^2 + BD^2 = (l^2 + b^2) + (b^2 + l^2) = 2l^2 + 2b^2$
બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો:
$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = l^2 + b^2 + l^2 + b^2 = 2l^2 + 2b^2$
આમ,બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો એ વિકર્ણોના વર્ગોના સરવાળા જેટલો છે.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta PQR$ માં,$\overline{QM} \perp \overline{PR}$. ધારો કે $PM = x$. તો $PQ = 2x$ અને $RM = 3x$.
કાટકોણ $\Delta QMP$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $PQ^2 = PM^2 + QM^2 \implies (2x)^2 = x^2 + QM^2 \implies 4x^2 = x^2 + QM^2 \implies QM^2 = 3x^2$.
કાટકોણ $\Delta QMR$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $QR^2 = QM^2 + RM^2 \implies QR^2 = 3x^2 + (3x)^2 \implies QR^2 = 3x^2 + 9x^2 = 12x^2$.
હવે,$\Delta PQR$ ની બાજુઓ ધ્યાનમાં લો: $PR = PM + RM = x + 3x = 4x$. તેથી,$PR^2 = (4x)^2 = 16x^2$.
ચકાસો કે $PQ^2 + QR^2 = PR^2$: $PQ^2 + QR^2 = (2x)^2 + 12x^2 = 4x^2 + 12x^2 = 16x^2$.
કારણ કે $PQ^2 + QR^2 = PR^2$,પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપ મુજબ,$\Delta PQR$ એ $\angle PQR = 90^\circ$ વાળો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(N/A) $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં વેધના ગુણધર્મ મુજબ,$BM^2 = AM \cdot CM$ થાય.
આપેલ છે કે $BM = 2 CM$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2 CM)^2 = AM \cdot CM$
$4 CM^2 = AM \cdot CM$
અહીં $CM \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુ $CM$ વડે ભાગતા $AM = 4 CM$ મળે.
હવે,કર્ણ $AC$ એ રેખાખંડ $AM$ અને $CM$ નો સરવાળો છે:
$AC = AM + CM$
$AC = 4 CM + CM$
$AC = 5 CM$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta PQR$ માં,$\overline{PM} \perp \overline{QR}$ અને $PM^2 = QM \times RM$.
પગલું $1$: આપેલ સમીકરણ પરથી,આપણને $\frac{PM}{QM} = \frac{RM}{PM}$ મળે છે.
પગલું $2$: $\Delta PMQ$ અને $\Delta RMP$ માં,$\angle PMQ = \angle RMP = 90^\circ$ (કારણ કે $\overline{PM}$ વેધ છે).
પગલું $3$: $SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta PMQ \sim \Delta RMP$.
પગલું $4$: ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન છે: $\angle QPM = \angle PRM$ અને $\angle PQM = \angle RPM$.
પગલું $5$: $\Delta PQR$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ થાય છે. તેથી,$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^\circ$.
પગલું $6$: ખૂણાઓની કિંમત મૂકતા,$\angle QPM + \angle RPM + \angle Q + \angle R = 180^\circ$.
પગલું $7$: $\angle QPM = \angle R$ અને $\angle RPM = \angle Q$ હોવાથી,$\angle R + \angle Q + \angle Q + \angle R = 180^\circ$,જેનું સાદું રૂપ $2(\angle Q + \angle R) = 180^\circ$ થાય છે,તેથી $\angle Q + \angle R = 90^\circ$.
પગલું $8$: તેથી,$\angle P = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. આમ,$\Delta PQR$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(N/A) $1$. $\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ થાય.
$2$. કાટકોણ $\Delta ABD$ માં,$AD^{2} = AB^{2} + BD^{2}$ થાય. $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$BD = \frac{1}{2} BC$. તેથી,$AD^{2} = AB^{2} + (\frac{1}{2} BC)^{2} = AB^{2} + \frac{1}{4} BC^{2}$.
$3$. કાટકોણ $\Delta CBF$ માં,$CF^{2} = BC^{2} + BF^{2}$ થાય. $F$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$BF = \frac{1}{2} AB$. તેથી,$CF^{2} = BC^{2} + (\frac{1}{2} AB)^{2} = BC^{2} + \frac{1}{4} AB^{2}$.
$4$. બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $AD^{2} + CF^{2} = (AB^{2} + \frac{1}{4} BC^{2}) + (BC^{2} + \frac{1}{4} AB^{2})$.
$5$. સાદુંરૂપ આપતા: $AD^{2} + CF^{2} = (1 + \frac{1}{4}) AB^{2} + (1 + \frac{1}{4}) BC^{2} = \frac{5}{4} AB^{2} + \frac{5}{4} BC^{2}$.
$6$. $\frac{5}{4}$ સામાન્ય લેતા: $AD^{2} + CF^{2} = \frac{5}{4} (AB^{2} + BC^{2})$.
$7$. $AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$ હોવાથી,આપણને $AD^{2} + CF^{2} = \frac{5}{4} AC^{2}$ મળે છે.

(N/A) $1$. $\Delta PQR$ માં,$\angle Q = 90^{\circ}$ છે. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$PR^{2} = PQ^{2} + QR^{2}$.
$2$. $\overline{PM}$ એ બાજુ $\overline{QR}$ પરની મધ્યગા હોવાથી,$M$ એ $\overline{QR}$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$QM = RM = \frac{1}{2} QR$,જેનો અર્થ છે કે $QR = 2RM$.
$3$. કાટકોણ $\Delta PQM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$PM^{2} = PQ^{2} + QM^{2}$. તેથી,$PQ^{2} = PM^{2} - QM^{2}$.
$4$. $PQ^{2} = PM^{2} - QM^{2}$ અને $QR = 2RM$ ની કિંમતો પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $PR^{2} = (PM^{2} - QM^{2}) + (2RM)^{2}$.
$5$. $QM = RM$ હોવાથી,$QM$ ની જગ્યાએ $RM$ મૂકતા: $PR^{2} = PM^{2} - RM^{2} + 4RM^{2}$.
$6$. પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $PR^{2} = PM^{2} + 3RM^{2}$ મળે છે. આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) ધારો કે $BC$ નું બિંદુઓ $D$ અને $E$ દ્વારા ત્રણ સમાન ભાગમાં વિભાજન થાય છે. ધારો કે $BD = DE = EC = x$. તેથી $BE = 2x$ અને $BC = 3x$ થાય.
કાટકોણ $\Delta ABE$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AE^{2} = AB^{2} + BE^{2} = AB^{2} + (2x)^{2} = AB^{2} + 4x^{2}$.
બંને બાજુ $8$ વડે ગુણતા: $8AE^{2} = 8AB^{2} + 32x^{2}$.
કાટકોણ $\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} = AB^{2} + (3x)^{2} = AB^{2} + 9x^{2}$.
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા: $3AC^{2} = 3AB^{2} + 27x^{2}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $8AE^{2} - 3AC^{2} = (8AB^{2} + 32x^{2}) - (3AB^{2} + 27x^{2}) = 5AB^{2} + 5x^{2}$.
અહીં $DE = x$ હોવાથી,$DE^{2} = x^{2}$ થાય. આમ,$8AE^{2} - 3AC^{2} = 5AB^{2} + 5DE^{2}$.

(N/A) ધારો કે સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર કાટખૂણે દુભાગે છે,તેથી $AO = OC = \frac{AC}{2}$ અને $BO = OD = \frac{BD}{2}$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AOB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^{2} = AO^{2} + BO^{2}$
$AO$ અને $BO$ ની કિંમતો મૂકતા:
$AB^{2} = (\frac{AC}{2})^{2} + (\frac{BD}{2})^{2}$
$AB^{2} = \frac{AC^{2}}{4} + \frac{BD^{2}}{4}$
$AB^{2} = \frac{AC^{2} + BD^{2}}{4}$
બંને બાજુ $4$ વડે ગુણતા:
$4AB^{2} = AC^{2} + BD^{2}$
આમ,સાબિત થાય છે કે $AC^{2} + BD^{2} = 4AB^{2}$.

(A) $1$. $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ (સમીકરણ $1$).
$2$. $\overline{AD}$ એ બાજુ $\overline{BC}$ પરની મધ્યગા હોવાથી,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$BD = DC = \frac{1}{2} BC$,જેનો અર્થ છે કે $BC = 2BD$.
$3$. $\Delta ABD$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AD^{2} = AB^{2} + BD^{2}$.
$4$. $BD^{2}$ ને કર્તા બનાવતા,$BD^{2} = AD^{2} - AB^{2}$ મળે.
$5$. $BC = 2BD$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $AC^{2} = AB^{2} + (2BD)^{2} = AB^{2} + 4BD^{2}$.
$6$. $BD^{2} = AD^{2} - AB^{2}$ ની કિંમત મૂકતા: $AC^{2} = AB^{2} + 4(AD^{2} - AB^{2})$.
$7$. સાદું રૂપ આપતા: $AC^{2} = AB^{2} + 4AD^{2} - 4AB^{2} = 4AD^{2} - 3AB^{2}$.
$8$. આમ,$AC^{2} = 4AD^{2} - 3AB^{2}$ સાબિત થાય છે.

(N/A) $\Delta ABC$ માં,$\overline{AM}$ એ બાજુ $\overline{BC}$ પરનો વેધ છે,તેથી $\angle AMB = 90^{\circ}$ અને $\angle AMC = 90^{\circ}$ થાય.
$\Delta AMC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^{2} = AM^{2} + MC^{2}$.
અહીં $M$ એ $BC$ પર આવેલું હોવાથી,$MC = BC - BM$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $AC^{2} = AM^{2} + (BC - BM)^{2}$.
કૌંસનું વિસ્તરણ કરતા: $AC^{2} = AM^{2} + BC^{2} + BM^{2} - 2 \cdot BC \cdot BM$.
$\Delta AMB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AB^{2} = AM^{2} + BM^{2}$.
સમીકરણમાં $AM^{2} + BM^{2} = AB^{2}$ મૂકતા: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2 \cdot BC \cdot BM$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ અને $AD^{2} = AB^{2} + BC^{2} + CD^{2}$.
સાબિત કરવાનું છે: $\angle ACD = 90^{\circ}$.
સાબિતી: $AC$ ને જોડો. $\triangle ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ થાય.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $AD^{2} = (AB^{2} + BC^{2}) + CD^{2}$.
તેથી,$AD^{2} = AC^{2} + CD^{2}$ મળે.
$\triangle ACD$ માં,$AD^{2} = AC^{2} + CD^{2}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપ મુજબ,જો એક બાજુનો વર્ગ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય,તો તે બાજુની સામેનો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે.
તેથી,$\angle ACD = 90^{\circ}$ થાય.

(N/A) $\Delta AMC$ માં,$\angle AMC = 90^{\circ}$ છે. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^{2} = AM^{2} + MC^{2}$.
અહીં $MC = MB + BC$ હોવાથી,$AC^{2} = AM^{2} + (MB + BC)^{2}$ થાય.
કૌંસનું વિસ્તરણ કરતા,$AC^{2} = AM^{2} + MB^{2} + BC^{2} + 2 \cdot MB \cdot BC$.
$\Delta AMB$ માં,$\angle AMB = 90^{\circ}$ છે. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AB^{2} = AM^{2} + MB^{2}$.
આ કિંમત ઉપરના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} + 2 \cdot BC \cdot BM$ મળે છે.

(D) ધારો કે શરૂઆતનું બિંદુ $A$ કાર્ટેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
ઉત્તર દિશામાં $800 \, m$ ચાલતા વ્યક્તિ બિંદુ $B(0, 800)$ પર પહોંચે છે.
$B$ થી પૂર્વ દિશામાં $500 \, m$ ચાલતા વ્યક્તિ બિંદુ $C(500, 800)$ પર પહોંચે છે.
$C$ થી ઉત્તર દિશામાં $400 \, m$ ચાલતા વ્યક્તિ બિંદુ $D(500, 800 + 400) = D(500, 1200)$ પર પહોંચે છે.
$A(0, 0)$ થી $D(500, 1200)$ વચ્ચેનું સીધું અંતર અંતરના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$d = \sqrt{(500 - 0)^2 + (1200 - 0)^2} = \sqrt{500^2 + 1200^2}$.
$d = \sqrt{250000 + 1440000} = \sqrt{1690000}$.
$d = 1300 \, m$.

(A) ધારો કે એરપોર્ટ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
$t = 1.5 \, \text{કલાક}$ પછી,ઉત્તર દિશામાં ગતિ કરતા પ્રથમ વિમાને કાપેલું અંતર $d_1 = 800 \times 1.5 = 1200 \, km$ છે.
પૂર્વ દિશામાં ગતિ કરતા બીજા વિમાને કાપેલું અંતર $d_2 = 840 \times 1.5 = 1260 \, km$ છે.
ઉત્તર અને પૂર્વ દિશાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,બે વિમાનો વચ્ચેનું અંતર કાટકોણ ત્રિકોણના કર્ણ તરીકે મળે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,અંતર $D = \sqrt{d_1^2 + d_2^2}$.
$D = \sqrt{1200^2 + 1260^2} = \sqrt{1440000 + 1587600} = \sqrt{3027600}$.
$D = 1740 \, km$.

(N/A) ધારો કે લંબચોરસ $ABCD$ કાર્તેઝિયન સમતલમાં છે. ધારો કે $A = (0, b)$,$B = (a, b)$,$C = (a, 0)$,અને $D = (0, 0)$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,અંતરના વર્ગો નીચે મુજબ છે:
$PA^2 = (x - 0)^2 + (y - b)^2 = x^2 + y^2 - 2by + b^2$
$PC^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2$
$PB^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2$
$PD^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$
હવે,સરવાળાની ગણતરી કરીએ:
$PA^2 + PC^2 = (x^2 + y^2 - 2by + b^2) + (x^2 - 2ax + a^2 + y^2) = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$
$PB^2 + PD^2 = (x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2) + (x^2 + y^2) = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$
બંને સરવાળા સમાન હોવાથી,$PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2$ સાબિત થાય છે.

(N/A) $\Delta ABM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AB^{2} = AM^{2} + BM^{2}$ $(1)$.
$\Delta ACM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^{2} = AM^{2} + MC^{2}$ $(2)$.
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $AB^{2} - AC^{2} = BM^{2} - MC^{2} = (BM - MC)(BM + MC)$.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$BD = DC = \frac{BC}{2}$ થાય.
આપણે $BM$ ને $BD + DM$ તરીકે અને $MC$ ને $DC - DM = BD - DM$ તરીકે લખી શકીએ.
આ કિંમતો મૂકતા: $BM - MC = (BD + DM) - (BD - DM) = 2DM$.
વળી,$BM + MC = BC$ થાય.
તેથી,$AB^{2} - AC^{2} = (2DM)(BC) = 2 \cdot BC \cdot DM$.

(N/A) $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BD} \perp \overline{AC}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં ભૂમિતિ મધ્યકના ગુણધર્મ મુજબ,$BD^2 = AD \cdot CD$ થાય.
આપેલ છે કે $AC = 5 CD$. કારણ કે $AC = AD + CD$,તેથી $AD + CD = 5 CD$,જેનો અર્થ છે કે $AD = 4 CD$.
$AD = 4 CD$ ને ભૂમિતિ મધ્યકના સમીકરણમાં મૂકતા:
$BD^2 = (4 CD) \cdot CD$
$BD^2 = 4 CD^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$BD = \sqrt{4 CD^2} = 2 CD$.
આમ,સાબિત થાય છે કે $BD = 2 CD$.

(A) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ માં,$m\angle A + m\angle C = m\angle B$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $m\angle A + m\angle B + m\angle C = 180^{\circ}$.
સમીકરણમાં $m\angle A + m\angle C = m\angle B$ મૂકતા,આપણને $m\angle B + m\angle B = 180^{\circ}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2m\angle B = 180^{\circ}$,તેથી $m\angle B = 90^{\circ}$.
ચૂકવણી મુજબ $\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $AC$ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$AC^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$.
તેથી,$AC = \sqrt{625} = 25$.

(B) ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે અને વિકર્ણ $d$ છે.
ચોરસના વિકર્ણનું સૂત્ર $d = a\sqrt{2}$ છે.
આપેલ છે કે $d = 10$,તેથી $a\sqrt{2} = 10$.
તેથી,$a = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $Area = a^2$ દ્વારા મળે છે.
$Area = (5\sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50$.
વૈકલ્પિક રીતે,ચોરસનું ક્ષેત્રફળ વિકર્ણનો ઉપયોગ કરીને $Area = \frac{1}{2} \times d^2$ તરીકે ગણી શકાય છે.
$Area = \frac{1}{2} \times (10)^2 = \frac{1}{2} \times 100 = 50$.

(C) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરનો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને અને એકબીજાને સમરૂપ હોય છે.
ખાસ કરીને,$\Delta AMB \sim \Delta BMC$.
સમરૂપતા $\Delta AMB \sim \Delta ABC$ પરથી,આપણી પાસે ગુણધર્મ છે: $BM^2 = AM \cdot MC$.
અહીં $AC = 25$ અને $AM = 16$ આપેલ છે,તેથી $MC = AC - AM = 25 - 16 = 9$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $BM^2 = 16 \cdot 9$.
$BM^2 = 144$.
વર્ગમૂળ લેતા,$BM = \sqrt{144} = 12$.

(D) $\Delta PQR$ માં,$\angle P = 90^{\circ}$ અને $\overline{PM} \perp \overline{QR}$ છે.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય (અથવા કર્ણ પરના વેધના ગુણધર્મ) મુજબ,$PQ^2 = QM \cdot QR$.
અહીં $PQ = \sqrt{20}$ આપેલ છે,તેથી $PQ^2 = 20$.
કિંમતો મૂકતા: $20 = 4 \cdot QR$.
તેથી,$QR = \frac{20}{4} = 5$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $QR = QM + RM$,તેથી $5 = 4 + RM$.
આમ,$RM = 5 - 4 = 1$.

(A) ધારો કે સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે જેના વિકર્ણો $AC = 24$ અને $BD = 10$ છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે $(90^{\circ})$ દુભાગે છે.
ધારો કે છેદબિંદુ $O$ છે.
તેથી,$AO = AC / 2 = 24 / 2 = 12$ અને $BO = BD / 2 = 10 / 2 = 5$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AOB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$
$AB^2 = 12^2 + 5^2$
$AB^2 = 144 + 25 = 169$
$AB = \sqrt{169} = 13$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,દરેક બાજુની લંબાઈ $13$ છે.

(B) $\Delta XYZ$ માં,$m\angle Y = 90^{\circ}$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$XZ^2 = XY^2 + YZ^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$XZ^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
તેથી,$XZ = \sqrt{25} = 5$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પર દોરેલી મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતા અડધી હોય છે.
અહીં $M$ એ $\overline{XZ}$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\overline{YM}$ એ કર્ણ $\overline{XZ}$ પરની મધ્યગા છે.
તેથી,$YM = \frac{1}{2} \times XZ = \frac{1}{2} \times 5 = 2.5$.

(C) ધારો કે સીડીની લંબાઈ $L = 17 \, m$ છે.
ધારો કે સીડીના પાયાનું દીવાલથી અંતર $b = 8 \, m$ છે.
ધારો કે સીડી દીવાલ પર $h$ ઊંચાઈ સુધી પહોંચે છે.
દીવાલ,જમીન અને સીડી એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે જેમાં સીડી કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $h^2 + b^2 = L^2$.
કિંમતો મૂકતા: $h^2 + 8^2 = 17^2$.
$h^2 + 64 = 289$.
$h^2 = 289 - 64 = 225$.
$h = \sqrt{225} = 15 \, m$.
આમ,સીડીનો ઉપરનો છેડો દીવાલ પર $15 \, m$ ની ઊંચાઈ સુધી પહોંચે છે.

(D) જો ત્રિકોણની સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય (પાયથાગોરસનો પ્રમેય: $a^2 + b^2 = c^2$),તો તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$. આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$. આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$. આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $8^2 + 24^2 = 64 + 576 = 640$,જ્યારે $26^2 = 676$. અહીં $640 \neq 676$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ નથી.