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Mix Examples - Pair of Linear Equations in Two Variables Questions in Hindi
Class 10 Mathematics · Pair of Linear Equations in Two Variables · Mix Examples - Pair of Linear Equations in Two Variables
360+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 360 questions in Hindi
51
DifficultMCQ
निम्नलिखित समीकरण युग्मों को हल कीजिए:
$43x + 67y = -24$
$67x + 43y = 24$
$43x + 67y = -24$
$67x + 43y = 24$
A
$1, 0$
B
$-1, 1$
C
$1, -1$
D
$2, -3$
Solution
(C) दिए गए रैखिक समीकरण युग्म हैं:
$43x + 67y = -24 .....(i)$
$67x + 43y = 24 .....(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(43 + 67)x + (67 + 43)y = -24 + 24$
$110x + 110y = 0$
$110(x + y) = 0$
$x + y = 0 \Rightarrow x = -y .....(iii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(67 - 43)x + (43 - 67)y = 24 - (-24)$
$24x - 24y = 48$
$24(x - y) = 48$
$x - y = 2 .....(iv)$
समीकरण $(iii)$ से $x = -y$ का मान $(iv)$ में रखने पर:
$-y - y = 2$
$-2y = 2$
$y = -1$
$y = -1$ का मान $(iii)$ में रखने पर:
$x = -(-1) = 1$
अतः,हल $x = 1$ और $y = -1$ है।
$43x + 67y = -24 .....(i)$
$67x + 43y = 24 .....(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(43 + 67)x + (67 + 43)y = -24 + 24$
$110x + 110y = 0$
$110(x + y) = 0$
$x + y = 0 \Rightarrow x = -y .....(iii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(67 - 43)x + (43 - 67)y = 24 - (-24)$
$24x - 24y = 48$
$24(x - y) = 48$
$x - y = 2 .....(iv)$
समीकरण $(iii)$ से $x = -y$ का मान $(iv)$ में रखने पर:
$-y - y = 2$
$-2y = 2$
$y = -1$
$y = -1$ का मान $(iii)$ में रखने पर:
$x = -(-1) = 1$
अतः,हल $x = 1$ और $y = -1$ है।
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DifficultMCQ
निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिए:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = a + b$
$\frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{b^{2}} = 2, \quad a, b \neq 0$
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = a + b$
$\frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{b^{2}} = 2, \quad a, b \neq 0$
A
$a^{2}, b^{2}$
B
$a^{-2}, b^{2}$
C
$a^{3}, b^{3}$
D
$a^{2}, b^{-2}$
Solution
(A) दिए गए रैखिक समीकरण युग्म हैं:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = a + b \quad .....(i)$
$\frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{b^{2}} = 2, \quad a, b \neq 0 \quad .....(ii)$
समीकरण $(i)$ को $\frac{1}{a}$ से गुणा करने पर:
$\frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{ab} = 1 + \frac{b}{a} \quad .....(iii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(iii)$ को घटाने पर:
$\left( \frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{b^{2}} \right) - \left( \frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{ab} \right) = 2 - \left( 1 + \frac{b}{a} \right)$
$\frac{y}{b^{2}} - \frac{y}{ab} = 1 - \frac{b}{a}$
$y \left( \frac{a - b}{ab^{2}} \right) = \frac{a - b}{a}$
$(a - b)$ को काटने पर:
$\frac{y}{ab^{2}} = \frac{1}{a}$
$y = b^{2}$
$y = b^{2}$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$\frac{x}{a^{2}} + \frac{b^{2}}{b^{2}} = 2$
$\frac{x}{a^{2}} + 1 = 2$
$\frac{x}{a^{2}} = 1$
$x = a^{2}$
अतः,हल $x = a^{2}$ और $y = b^{2}$ है।
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = a + b \quad .....(i)$
$\frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{b^{2}} = 2, \quad a, b \neq 0 \quad .....(ii)$
समीकरण $(i)$ को $\frac{1}{a}$ से गुणा करने पर:
$\frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{ab} = 1 + \frac{b}{a} \quad .....(iii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(iii)$ को घटाने पर:
$\left( \frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{b^{2}} \right) - \left( \frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{ab} \right) = 2 - \left( 1 + \frac{b}{a} \right)$
$\frac{y}{b^{2}} - \frac{y}{ab} = 1 - \frac{b}{a}$
$y \left( \frac{a - b}{ab^{2}} \right) = \frac{a - b}{a}$
$(a - b)$ को काटने पर:
$\frac{y}{ab^{2}} = \frac{1}{a}$
$y = b^{2}$
$y = b^{2}$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$\frac{x}{a^{2}} + \frac{b^{2}}{b^{2}} = 2$
$\frac{x}{a^{2}} + 1 = 2$
$\frac{x}{a^{2}} = 1$
$x = a^{2}$
अतः,हल $x = a^{2}$ और $y = b^{2}$ है।
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DifficultMCQ
निम्नलिखित समीकरण युग्मों को हल कीजिए:
$\frac{2xy}{x+y} = \frac{3}{2}$
$\frac{xy}{2x-y} = \frac{-3}{10}, \quad x+y \neq 0, 2x-y \neq 0$
$\frac{2xy}{x+y} = \frac{3}{2}$
$\frac{xy}{2x-y} = \frac{-3}{10}, \quad x+y \neq 0, 2x-y \neq 0$
A
$\frac{1}{2}, \frac{-3}{2}$
B
$\frac{-1}{2}, \frac{-3}{2}$
C
$\frac{-1}{2}, \frac{3}{2}$
D
$\frac{1}{4}, \frac{-3}{4}$
Solution
(A) दिए गए समीकरण युग्म हैं:
$\frac{2xy}{x+y} = \frac{3}{2} \implies \frac{x+y}{2xy} = \frac{2}{3} \implies \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{4}{3} \quad ...(i)$
$\frac{xy}{2x-y} = \frac{-3}{10} \implies \frac{2x-y}{xy} = \frac{-10}{3} \implies \frac{2}{y} - \frac{1}{x} = \frac{-10}{3} \quad ...(ii)$
माना $\frac{1}{x} = u$ और $\frac{1}{y} = v$. तब समीकरण इस प्रकार होंगे:
$v + u = \frac{4}{3} \quad ...(iii)$
$2v - u = \frac{-10}{3} \quad ...(iv)$
समीकरण $(iii)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर:
$(v + u) + (2v - u) = \frac{4}{3} - \frac{10}{3}$
$3v = \frac{-6}{3} = -2 \implies v = \frac{-2}{3}$
$v = \frac{-2}{3}$ का मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर:
$u + (\frac{-2}{3}) = \frac{4}{3} \implies u = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} = 2$
चूंकि $u = \frac{1}{x} = 2$,इसलिए $x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $v = \frac{1}{y} = \frac{-2}{3}$,इसलिए $y = \frac{-3}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,हल $x = \frac{1}{2}, y = \frac{-3}{2}$ है।
$\frac{2xy}{x+y} = \frac{3}{2} \implies \frac{x+y}{2xy} = \frac{2}{3} \implies \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{4}{3} \quad ...(i)$
$\frac{xy}{2x-y} = \frac{-3}{10} \implies \frac{2x-y}{xy} = \frac{-10}{3} \implies \frac{2}{y} - \frac{1}{x} = \frac{-10}{3} \quad ...(ii)$
माना $\frac{1}{x} = u$ और $\frac{1}{y} = v$. तब समीकरण इस प्रकार होंगे:
$v + u = \frac{4}{3} \quad ...(iii)$
$2v - u = \frac{-10}{3} \quad ...(iv)$
समीकरण $(iii)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर:
$(v + u) + (2v - u) = \frac{4}{3} - \frac{10}{3}$
$3v = \frac{-6}{3} = -2 \implies v = \frac{-2}{3}$
$v = \frac{-2}{3}$ का मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर:
$u + (\frac{-2}{3}) = \frac{4}{3} \implies u = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} = 2$
चूंकि $u = \frac{1}{x} = 2$,इसलिए $x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $v = \frac{1}{y} = \frac{-2}{3}$,इसलिए $y = \frac{-3}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,हल $x = \frac{1}{2}, y = \frac{-3}{2}$ है।
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DifficultMCQ
समीकरणों के युग्म $\frac{x}{10} + \frac{y}{5} - 1 = 0$ और $\frac{x}{8} + \frac{y}{6} = 15$ का हल ज्ञात कीजिए। अतः,यदि $y = \lambda x + 5$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$x = -340, y = -165, \lambda = -\frac{1}{2}$
B
$x = 340, y = -165, \lambda = -\frac{1}{2}$
C
$x = 340, y = 165, \lambda = -\frac{1}{2}$
D
$x = 340, y = -165, \lambda = \frac{1}{2}$
Solution
(B) दिए गए समीकरणों का युग्म है:
$\frac{x}{10} + \frac{y}{5} = 1 \dots (i)$
$\frac{x}{8} + \frac{y}{6} = 15 \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को $10$ से गुणा करने पर,हमें $x + 2y = 10 \dots (iii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(ii)$ को $24$ से गुणा करने पर,हमें $3x + 4y = 360 \dots (iv)$ प्राप्त होता है।
$y$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(iii)$ को $2$ से गुणा करें:
$2x + 4y = 20 \dots (v)$
समीकरण $(iv)$ में से समीकरण $(v)$ को घटाने पर:
$(3x + 4y) - (2x + 4y) = 360 - 20$
$x = 340$
$x = 340$ का मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर:
$340 + 2y = 10$
$2y = -330$
$y = -165$
संबंध $y = \lambda x + 5$ में $x = 340$ और $y = -165$ रखने पर:
$-165 = \lambda(340) + 5$
$-170 = 340\lambda$
$\lambda = -\frac{170}{340} = -\frac{1}{2}$
अतः,हल $x = 340, y = -165$ है और $\lambda = -\frac{1}{2}$ है।
$\frac{x}{10} + \frac{y}{5} = 1 \dots (i)$
$\frac{x}{8} + \frac{y}{6} = 15 \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को $10$ से गुणा करने पर,हमें $x + 2y = 10 \dots (iii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(ii)$ को $24$ से गुणा करने पर,हमें $3x + 4y = 360 \dots (iv)$ प्राप्त होता है।
$y$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(iii)$ को $2$ से गुणा करें:
$2x + 4y = 20 \dots (v)$
समीकरण $(iv)$ में से समीकरण $(v)$ को घटाने पर:
$(3x + 4y) - (2x + 4y) = 360 - 20$
$x = 340$
$x = 340$ का मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर:
$340 + 2y = 10$
$2y = -330$
$y = -165$
संबंध $y = \lambda x + 5$ में $x = 340$ और $y = -165$ रखने पर:
$-165 = \lambda(340) + 5$
$-170 = 340\lambda$
$\lambda = -\frac{170}{340} = -\frac{1}{2}$
अतः,हल $x = 340, y = -165$ है और $\lambda = -\frac{1}{2}$ है।
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Difficult
आलेखीय विधि द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित समीकरण युग्म संगत हैं या नहीं। यदि संगत हैं,तो उन्हें हल कीजिए।
$3x + y + 4 = 0$
$6x - 2y + 4 = 0$
$3x + y + 4 = 0$
$6x - 2y + 4 = 0$
Solution
(A) दिए गए समीकरण युग्म हैं:
$3x + y + 4 = 0 .....(i)$
$6x - 2y + 4 = 0 .....(ii)$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 3, b_1 = 1, c_1 = 4$
$a_2 = 6, b_2 = -2, c_2 = 4$
अनुपातों की गणना:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$,रेखाएं एक अद्वितीय बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। अतः,यह निकाय संगत है।
समीकरण $(i)$ के लिए,$y = -3x - 4$:
समीकरण $(ii)$ के लिए,$2y = 6x + 4 \Rightarrow y = 3x + 2$:
इन रेखाओं को ग्राफ पर आलेखित करने पर,वे $(-1, -1)$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। अतः,हल $x = -1, y = -1$ है।
$3x + y + 4 = 0 .....(i)$
$6x - 2y + 4 = 0 .....(ii)$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 3, b_1 = 1, c_1 = 4$
$a_2 = 6, b_2 = -2, c_2 = 4$
अनुपातों की गणना:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$,रेखाएं एक अद्वितीय बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। अतः,यह निकाय संगत है।
समीकरण $(i)$ के लिए,$y = -3x - 4$:
| $x$ | $0$ | $-1$ | $-2$ |
| $y$ | $-4$ | $-1$ | $2$ |
समीकरण $(ii)$ के लिए,$2y = 6x + 4 \Rightarrow y = 3x + 2$:
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
| $y$ | $-1$ | $2$ | $5$ |
इन रेखाओं को ग्राफ पर आलेखित करने पर,वे $(-1, -1)$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। अतः,हल $x = -1, y = -1$ है।
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Medium
आलेखीय विधि द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित समीकरण युग्म संगत हैं या नहीं। यदि संगत हैं,तो उन्हें हल कीजिए।
$x - 2y = 6$
$3x - 6y = 0$
$x - 2y = 6$
$3x - 6y = 0$
Solution
(D) दिया गया समीकरण युग्म है:
$x - 2y = 6$ ..... $(i)$
$3x - 6y = 0$ ..... $(ii)$
इनकी तुलना मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_1 = 1, b_1 = -2, c_1 = -6$
$a_2 = 3, b_2 = -6, c_2 = 0$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-6}{0}$ (जो अपरिभाषित है)
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएं एक-दूसरे के समांतर हैं।
चूंकि रेखाएं समांतर हैं,वे किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।
अतः,दिया गया समीकरण युग्म असंगत है और इसका कोई हल नहीं है।
$x - 2y = 6$ ..... $(i)$
$3x - 6y = 0$ ..... $(ii)$
इनकी तुलना मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_1 = 1, b_1 = -2, c_1 = -6$
$a_2 = 3, b_2 = -6, c_2 = 0$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-6}{0}$ (जो अपरिभाषित है)
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएं एक-दूसरे के समांतर हैं।
चूंकि रेखाएं समांतर हैं,वे किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।
अतः,दिया गया समीकरण युग्म असंगत है और इसका कोई हल नहीं है।
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Difficult
आलेखीय विधि द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित समीकरण युग्म संगत है या नहीं। यदि संगत है,तो उन्हें हल कीजिए:
$x+y=3$
$3x+3y=9$
$x+y=3$
$3x+3y=9$
Solution
(CONSISTENT) दिए गए समीकरण युग्म हैं:
$x+y=3 .....(i)$
$3x+3y=9 .....(ii)$
$ax+by+c=0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_1=1, b_1=1, c_1=-3$ [समीकरण $(i)$ से]
$a_2=3, b_2=3, c_2=-9$ [समीकरण $(ii)$ से]
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}, \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{3}, \frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए दी गई रेखाएं संपाती हैं। अतः,इन रेखाओं के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। इसलिए,दिया गया रैखिक समीकरण युग्म संगत है।
अब,$x+y=3 \Rightarrow y=3-x$ के लिए:
और $3x+3y=9 \Rightarrow y = \frac{9-3x}{3} = 3-x$ के लिए:
बिंदुओं $A(0,3)$ और $B(3,0)$ को आलेख पर अंकित करने पर,हमें रेखा $AB$ प्राप्त होती है। इसी प्रकार,बिंदुओं $C(0,3), D(1,2)$ और $E(3,0)$ को अंकित करने पर,हमें वही रेखा प्राप्त होती है। हम देखते हैं कि समीकरण $(i)$ और $(ii)$ द्वारा निरूपित रेखाएं संपाती हैं।
$x+y=3 .....(i)$
$3x+3y=9 .....(ii)$
$ax+by+c=0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_1=1, b_1=1, c_1=-3$ [समीकरण $(i)$ से]
$a_2=3, b_2=3, c_2=-9$ [समीकरण $(ii)$ से]
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}, \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{3}, \frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए दी गई रेखाएं संपाती हैं। अतः,इन रेखाओं के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। इसलिए,दिया गया रैखिक समीकरण युग्म संगत है।
अब,$x+y=3 \Rightarrow y=3-x$ के लिए:
| $x$ | $0$ | $3$ |
| $y$ | $3$ | $0$ |
| बिंदु | $A$ | $B$ |
और $3x+3y=9 \Rightarrow y = \frac{9-3x}{3} = 3-x$ के लिए:
| $x$ | $0$ | $1$ | $3$ |
| $y$ | $3$ | $2$ | $0$ |
| बिंदु | $C$ | $D$ | $E$ |
बिंदुओं $A(0,3)$ और $B(3,0)$ को आलेख पर अंकित करने पर,हमें रेखा $AB$ प्राप्त होती है। इसी प्रकार,बिंदुओं $C(0,3), D(1,2)$ और $E(3,0)$ को अंकित करने पर,हमें वही रेखा प्राप्त होती है। हम देखते हैं कि समीकरण $(i)$ और $(ii)$ द्वारा निरूपित रेखाएं संपाती हैं।
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Difficult
समीकरणों के युग्म $2x + y = 4$ और $2x - y = 4$ का ग्राफ खींचिए। इन रेखाओं और $y$-अक्ष द्वारा बने त्रिभुज के शीर्ष लिखिए। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
Solution
(A) दिए गए रैखिक समीकरणों के युग्म $2x + y = 4$ और $2x - y = 4$ हैं।
रेखा $2x + y = 4$ के लिए तालिका:
रेखा $2x - y = 4$ के लिए तालिका:
इन बिंदुओं को ग्राफ पर आलेखित करने पर,हम देखते हैं कि दोनों रेखाएं बिंदु $B(2, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं और $y$-अक्ष को बिंदुओं $A(0, 4)$ और $C(0, -4)$ पर काटती हैं।
इन रेखाओं और $y$-अक्ष द्वारा बना त्रिभुज $\triangle ABC$ है।
त्रिभुज के शीर्ष $A(0, 4)$,$B(2, 0)$ और $C(0, -4)$ हैं।
त्रिभुज का आधार $y$-अक्ष पर स्थित है,जिसकी लंबाई $AC = |4 - (-4)| = 8$ इकाई है।
त्रिभुज की ऊंचाई बिंदु $B(2, 0)$ से $y$-अक्ष की लंबवत दूरी है,जो $2$ इकाई है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 8 \times 2 = 8$ वर्ग इकाई।
अतः,शीर्ष $(0, 4), (2, 0), (0, -4)$ हैं और क्षेत्रफल $8$ वर्ग इकाई है।
रेखा $2x + y = 4$ के लिए तालिका:
| $x$ | $0$ | $2$ |
| $y = 4 - 2x$ | $4$ | $0$ |
| बिंदु | $A(0, 4)$ | $B(2, 0)$ |
रेखा $2x - y = 4$ के लिए तालिका:
| $x$ | $0$ | $2$ |
| $y = 2x - 4$ | $-4$ | $0$ |
| बिंदु | $C(0, -4)$ | $B(2, 0)$ |
इन बिंदुओं को ग्राफ पर आलेखित करने पर,हम देखते हैं कि दोनों रेखाएं बिंदु $B(2, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं और $y$-अक्ष को बिंदुओं $A(0, 4)$ और $C(0, -4)$ पर काटती हैं।
इन रेखाओं और $y$-अक्ष द्वारा बना त्रिभुज $\triangle ABC$ है।
त्रिभुज के शीर्ष $A(0, 4)$,$B(2, 0)$ और $C(0, -4)$ हैं।
त्रिभुज का आधार $y$-अक्ष पर स्थित है,जिसकी लंबाई $AC = |4 - (-4)| = 8$ इकाई है।
त्रिभुज की ऊंचाई बिंदु $B(2, 0)$ से $y$-अक्ष की लंबवत दूरी है,जो $2$ इकाई है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 8 \times 2 = 8$ वर्ग इकाई।
अतः,शीर्ष $(0, 4), (2, 0), (0, -4)$ हैं और क्षेत्रफल $8$ वर्ग इकाई है।
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Easy
रैखिक समीकरणों के युग्म $x+y=2$ और $2x-y=1$ के हल को निरूपित करने वाले बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण लिखिए। हम ऐसी कितनी रेखाएँ ज्ञात कर सकते हैं?
Solution
(D) सबसे पहले,हम रैखिक समीकरणों के युग्म को हल करते हैं:
$x + y = 2$ --- $(i)$
$2x - y = 1$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (2x - y) = 2 + 1$
$3x = 3$
$x = 1$
$x = 1$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$1 + y = 2$
$y = 1$
हल बिंदु $(1, 1)$ है।
$(1, 1)$ से गुजरने वाली किसी भी रेखा को $y - 1 = m(x - 1)$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $m$ ढाल (slope) है। उदाहरण के लिए,यदि $m = 1$ है,तो समीकरण $y - 1 = x - 1$ होगा,जिसे सरल करने पर $y = x$ प्राप्त होता है।
चूँकि ढाल $m$ के अनंत मान संभव हैं,इसलिए बिंदु $(1, 1)$ से होकर गुजरने वाली ऐसी अनंत रेखाएँ हो सकती हैं।
$x + y = 2$ --- $(i)$
$2x - y = 1$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (2x - y) = 2 + 1$
$3x = 3$
$x = 1$
$x = 1$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$1 + y = 2$
$y = 1$
हल बिंदु $(1, 1)$ है।
$(1, 1)$ से गुजरने वाली किसी भी रेखा को $y - 1 = m(x - 1)$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $m$ ढाल (slope) है। उदाहरण के लिए,यदि $m = 1$ है,तो समीकरण $y - 1 = x - 1$ होगा,जिसे सरल करने पर $y = x$ प्राप्त होता है।
चूँकि ढाल $m$ के अनंत मान संभव हैं,इसलिए बिंदु $(1, 1)$ से होकर गुजरने वाली ऐसी अनंत रेखाएँ हो सकती हैं।
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DifficultMCQ
यदि $x+1$,$2x^{3}+ax^{2}+2bx+1$ का एक गुणनखंड है,तो $a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए,जबकि $2a-3b=4$ दिया गया है।
A
$2, 9$
B
$10, 19$
C
$6, 7$
D
$5, 2$
Solution
(D) दिया गया है कि $(x+1)$,$f(x) = 2x^{3} + ax^{2} + 2bx + 1$ का एक गुणनखंड है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार $f(-1) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2(-1)^{3} + a(-1)^{2} + 2b(-1) + 1 = 0$
$-2 + a - 2b + 1 = 0$
$a - 2b = 1$ ... $(i)$
हमें दूसरा समीकरण $2a - 3b = 4$ ... $(ii)$ भी दिया गया है।
समीकरण $(i)$ से,$a = 2b + 1$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$2(2b + 1) - 3b = 4$
$4b + 2 - 3b = 4$
$b + 2 = 4$
$b = 2$
अब,$b = 2$ का मान $a = 2b + 1$ में रखने पर:
$a = 2(2) + 1 = 5$.
अतः,$a$ और $b$ के अभीष्ट मान क्रमशः $5$ और $2$ हैं।
बहुपद में $x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2(-1)^{3} + a(-1)^{2} + 2b(-1) + 1 = 0$
$-2 + a - 2b + 1 = 0$
$a - 2b = 1$ ... $(i)$
हमें दूसरा समीकरण $2a - 3b = 4$ ... $(ii)$ भी दिया गया है।
समीकरण $(i)$ से,$a = 2b + 1$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$2(2b + 1) - 3b = 4$
$4b + 2 - 3b = 4$
$b + 2 = 4$
$b = 2$
अब,$b = 2$ का मान $a = 2b + 1$ में रखने पर:
$a = 2(2) + 1 = 5$.
अतः,$a$ और $b$ के अभीष्ट मान क्रमशः $5$ और $2$ हैं।
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MediumMCQ
एक त्रिभुज के कोण $x, y$ और $40^{\circ}$ हैं। दो कोणों $x$ और $y$ के बीच का अंतर $30^{\circ}$ है। $x$ और $y$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$85^{\circ}$ और $55^{\circ}$
B
$80^{\circ}$ और $55^{\circ}$
C
$85^{\circ}$ और $50^{\circ}$
D
$80^{\circ}$ और $50^{\circ}$
Solution
(A) दिया गया है कि $x, y$ और $40^{\circ}$ एक त्रिभुज के कोण हैं।
चूंकि त्रिभुज के सभी कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए:
$x + y + 40^{\circ} = 180^{\circ}$
$\Rightarrow x + y = 140^{\circ} \quad \dots(i)$
साथ ही,दो कोणों के बीच का अंतर दिया गया है:
$x - y = 30^{\circ} \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (x - y) = 140^{\circ} + 30^{\circ}$
$2x = 170^{\circ}$
$x = 85^{\circ}$
$x = 85^{\circ}$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$85^{\circ} + y = 140^{\circ}$
$y = 140^{\circ} - 85^{\circ} = 55^{\circ}$
अतः,$x$ और $y$ के मान क्रमशः $85^{\circ}$ और $55^{\circ}$ हैं।
चूंकि त्रिभुज के सभी कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए:
$x + y + 40^{\circ} = 180^{\circ}$
$\Rightarrow x + y = 140^{\circ} \quad \dots(i)$
साथ ही,दो कोणों के बीच का अंतर दिया गया है:
$x - y = 30^{\circ} \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (x - y) = 140^{\circ} + 30^{\circ}$
$2x = 170^{\circ}$
$x = 85^{\circ}$
$x = 85^{\circ}$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$85^{\circ} + y = 140^{\circ}$
$y = 140^{\circ} - 85^{\circ} = 55^{\circ}$
अतः,$x$ और $y$ के मान क्रमशः $85^{\circ}$ और $55^{\circ}$ हैं।
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DifficultMCQ
दो वर्ष पहले,सलीम की आयु अपनी पुत्री की आयु की तीन गुनी थी और छह वर्ष बाद,उसकी आयु अपनी पुत्री की आयु के दोगुने से चार वर्ष अधिक होगी। उनकी वर्तमान आयु क्या है? ($year$ में)
A
$36, 14$
B
$38, 14$
C
$38, 18$
D
$30, 10$
Solution
(B) माना सलीम की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है और उसकी पुत्री की वर्तमान आयु $y$ वर्ष है।
प्रथम शर्त के अनुसार,दो वर्ष पहले:
$x - 2 = 3(y - 2)$
$x - 2 = 3y - 6$
$x - 3y = -4$ --- $(i)$
दूसरी शर्त के अनुसार,छह वर्ष बाद:
$x + 6 = 2(y + 6) + 4$
$x + 6 = 2y + 12 + 4$
$x - 2y = 10$ --- $(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(x - 2y) - (x - 3y) = 10 - (-4)$
$x - 2y - x + 3y = 10 + 4$
$y = 14$
$y = 14$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$x - 2(14) = 10$
$x - 28 = 10$
$x = 38$
अतः,सलीम की वर्तमान आयु $38$ वर्ष और उसकी पुत्री की वर्तमान आयु $14$ वर्ष है।
प्रथम शर्त के अनुसार,दो वर्ष पहले:
$x - 2 = 3(y - 2)$
$x - 2 = 3y - 6$
$x - 3y = -4$ --- $(i)$
दूसरी शर्त के अनुसार,छह वर्ष बाद:
$x + 6 = 2(y + 6) + 4$
$x + 6 = 2y + 12 + 4$
$x - 2y = 10$ --- $(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(x - 2y) - (x - 3y) = 10 - (-4)$
$x - 2y - x + 3y = 10 + 4$
$y = 14$
$y = 14$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$x - 2(14) = 10$
$x - 28 = 10$
$x = 38$
अतः,सलीम की वर्तमान आयु $38$ वर्ष और उसकी पुत्री की वर्तमान आयु $14$ वर्ष है।
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MediumMCQ
पिता की आयु उनके दो बच्चों की आयु के योग की दोगुनी है। $20$ वर्ष बाद,उनकी आयु उनके बच्चों की आयु के योग के बराबर हो जाएगी। पिता की आयु ज्ञात कीजिए (वर्षों में)।
A
$10$
B
$20$
C
$40$
D
$30$
Solution
(C) माना पिता की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है और उनके दो बच्चों की वर्तमान आयु का योग $S$ वर्ष है।
पहली शर्त के अनुसार: $x = 2S$ ... $(i)$
$20$ वर्ष बाद,पिता की आयु $(x + 20)$ वर्ष होगी।
$20$ वर्ष बाद,प्रत्येक बच्चे की आयु में $20$ वर्ष की वृद्धि होगी,इसलिए उनकी आयु का योग $(S + 20 + 20) = (S + 40)$ वर्ष होगा।
दूसरी शर्त के अनुसार: $x + 20 = S + 40$
समीकरण $(i)$ से $S = x/2$ का मान दूसरी शर्त में रखने पर:
$x + 20 = x/2 + 40$
$x - x/2 = 40 - 20$
$x/2 = 20$
$x = 40$
अतः,पिता की वर्तमान आयु $40$ वर्ष है।
पहली शर्त के अनुसार: $x = 2S$ ... $(i)$
$20$ वर्ष बाद,पिता की आयु $(x + 20)$ वर्ष होगी।
$20$ वर्ष बाद,प्रत्येक बच्चे की आयु में $20$ वर्ष की वृद्धि होगी,इसलिए उनकी आयु का योग $(S + 20 + 20) = (S + 40)$ वर्ष होगा।
दूसरी शर्त के अनुसार: $x + 20 = S + 40$
समीकरण $(i)$ से $S = x/2$ का मान दूसरी शर्त में रखने पर:
$x + 20 = x/2 + 40$
$x - x/2 = 40 - 20$
$x/2 = 20$
$x = 40$
अतः,पिता की वर्तमान आयु $40$ वर्ष है।
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DifficultMCQ
दो संख्याएँ $5:6$ के अनुपात में हैं। यदि प्रत्येक संख्या में से $8$ घटाया जाए,तो अनुपात $4:5$ हो जाता है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
A
$60$ और $68$
B
$40$ और $58$
C
$50$ और $48$
D
$40$ और $48$
Solution
(D) माना कि दो संख्याएँ $5x$ और $6x$ हैं,जो दिए गए अनुपात $5:6$ पर आधारित हैं।
दूसरी शर्त के अनुसार,यदि प्रत्येक संख्या में से $8$ घटाया जाए,तो अनुपात $4:5$ हो जाता है।
अतः,$\frac{5x - 8}{6x - 8} = \frac{4}{5}$.
तिर्यक गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $5(5x - 8) = 4(6x - 8)$.
$25x - 40 = 24x - 32$.
$25x - 24x = 40 - 32$.
$x = 8$.
इसलिए,पहली संख्या $5x = 5 \times 8 = 40$ है।
दूसरी संख्या $6x = 6 \times 8 = 48$ है।
अतः,अभीष्ट संख्याएँ $40$ और $48$ हैं।
दूसरी शर्त के अनुसार,यदि प्रत्येक संख्या में से $8$ घटाया जाए,तो अनुपात $4:5$ हो जाता है।
अतः,$\frac{5x - 8}{6x - 8} = \frac{4}{5}$.
तिर्यक गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $5(5x - 8) = 4(6x - 8)$.
$25x - 40 = 24x - 32$.
$25x - 24x = 40 - 32$.
$x = 8$.
इसलिए,पहली संख्या $5x = 5 \times 8 = 40$ है।
दूसरी संख्या $6x = 6 \times 8 = 48$ है।
अतः,अभीष्ट संख्याएँ $40$ और $48$ हैं।
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MediumMCQ
दो परीक्षा हॉल $A$ और $B$ में कुछ छात्र हैं। प्रत्येक हॉल में छात्रों की संख्या समान करने के लिए,$A$ से $B$ में $10$ छात्र भेजे जाते हैं। लेकिन यदि $B$ से $A$ में $20$ छात्र भेजे जाते हैं,तो $A$ में छात्रों की संख्या $B$ में छात्रों की संख्या की दोगुनी हो जाती है। दोनों हॉल में छात्रों की संख्या ज्ञात कीजिए।
A
हॉल $A = 100$,हॉल $B = 80$
B
हॉल $A = 80$,हॉल $B = 100$
C
हॉल $A = 120$,हॉल $B = 100$
D
हॉल $A = 100$,हॉल $B = 120$
Solution
(A) माना हॉल $A$ और $B$ में छात्रों की संख्या क्रमशः $x$ और $y$ है।
पहली शर्त के अनुसार,यदि $A$ से $B$ में $10$ छात्र भेजे जाते हैं,तो छात्रों की संख्या समान हो जाती है:
$x - 10 = y + 10$
$\Rightarrow x - y = 20$ ---$(i)$
दूसरी शर्त के अनुसार,यदि $B$ से $A$ में $20$ छात्र भेजे जाते हैं,तो $A$ में छात्रों की संख्या $B$ में छात्रों की संख्या की दोगुनी हो जाती है:
$x + 20 = 2(y - 20)$
$x + 20 = 2y - 40$
$\Rightarrow x - 2y = -60$ ---(ii)
समीकरण $(i)$ में से समीकरण (ii) को घटाने पर:
$(x - y) - (x - 2y) = 20 - (-60)$
$x - y - x + 2y = 80$
$y = 80$
$y = 80$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$x - 80 = 20$
$x = 100$
अतः,हॉल $A$ में $100$ छात्र और हॉल $B$ में $80$ छात्र हैं।
पहली शर्त के अनुसार,यदि $A$ से $B$ में $10$ छात्र भेजे जाते हैं,तो छात्रों की संख्या समान हो जाती है:
$x - 10 = y + 10$
$\Rightarrow x - y = 20$ ---$(i)$
दूसरी शर्त के अनुसार,यदि $B$ से $A$ में $20$ छात्र भेजे जाते हैं,तो $A$ में छात्रों की संख्या $B$ में छात्रों की संख्या की दोगुनी हो जाती है:
$x + 20 = 2(y - 20)$
$x + 20 = 2y - 40$
$\Rightarrow x - 2y = -60$ ---(ii)
समीकरण $(i)$ में से समीकरण (ii) को घटाने पर:
$(x - y) - (x - 2y) = 20 - (-60)$
$x - y - x + 2y = 80$
$y = 80$
$y = 80$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$x - 80 = 20$
$x = 100$
अतः,हॉल $A$ में $100$ छात्र और हॉल $B$ में $80$ छात्र हैं।
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MediumMCQ
एक दुकानदार पढ़ने के लिए किताबें किराए पर देती है। वह पहले दो दिनों के लिए एक निश्चित शुल्क लेती है,और उसके बाद प्रत्येक दिन के लिए एक अतिरिक्त शुल्क लेती है। लतिका ने छह दिनों तक रखी गई किताब के लिए $Rs. 22$ का भुगतान किया,जबकि आनंद ने चार दिनों तक रखी गई किताब के लिए $Rs. 16$ का भुगतान किया। निश्चित शुल्क और प्रत्येक अतिरिक्त दिन का शुल्क ज्ञात कीजिए ($Rs.$ में)।
A
$11, 5$
B
$10, 3$
C
$14, 1$
D
$19, 8$
Solution
(B) माना पहले दो दिनों के लिए निश्चित शुल्क $Rs. x$ है और उसके बाद प्रत्येक दिन के लिए अतिरिक्त शुल्क $Rs. y$ है।
पहली शर्त के अनुसार,लतिका ने छह दिनों तक रखी गई किताब के लिए $Rs. 22$ का भुगतान किया (पहले $2$ दिन + $4$ अतिरिक्त दिन):
$x + 4y = 22$ --- $(i)$
दूसरी शर्त के अनुसार,आनंद ने चार दिनों तक रखी गई किताब के लिए $Rs. 16$ का भुगतान किया (पहले $2$ दिन + $2$ अतिरिक्त दिन):
$x + 2y = 16$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(x + 4y) - (x + 2y) = 22 - 16$
$2y = 6$
$y = 3$
$y = 3$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$x + 2(3) = 16$
$x + 6 = 16$
$x = 10$
अतः,निश्चित शुल्क $Rs. 10$ है और प्रत्येक अतिरिक्त दिन का शुल्क $Rs. 3$ है।
पहली शर्त के अनुसार,लतिका ने छह दिनों तक रखी गई किताब के लिए $Rs. 22$ का भुगतान किया (पहले $2$ दिन + $4$ अतिरिक्त दिन):
$x + 4y = 22$ --- $(i)$
दूसरी शर्त के अनुसार,आनंद ने चार दिनों तक रखी गई किताब के लिए $Rs. 16$ का भुगतान किया (पहले $2$ दिन + $2$ अतिरिक्त दिन):
$x + 2y = 16$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(x + 4y) - (x + 2y) = 22 - 16$
$2y = 6$
$y = 3$
$y = 3$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$x + 2(3) = 16$
$x + 6 = 16$
$x = 10$
अतः,निश्चित शुल्क $Rs. 10$ है और प्रत्येक अतिरिक्त दिन का शुल्क $Rs. 3$ है।
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MediumMCQ
एक प्रतियोगी परीक्षा में,प्रत्येक सही उत्तर के लिए एक अंक दिया जाता है जबकि प्रत्येक गलत उत्तर के लिए $\frac{1}{2}$ अंक काट लिया जाता है। जयंती ने $120$ प्रश्नों के उत्तर दिए और $90$ अंक प्राप्त किए। उसने कितने प्रश्नों के सही उत्तर दिए?
A
$50$
B
$75$
C
$100$
D
$155$
Solution
(C) माना कि सही उत्तरों की संख्या $x$ है और गलत उत्तरों की संख्या $(120-x)$ है।
प्रश्न के अनुसार,प्राप्त कुल अंक $90$ हैं।
समीकरण इस प्रकार है: $x \times 1 - (120 - x) \times \frac{1}{2} = 90$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $x - 60 + \frac{x}{2} = 90$.
दोनों पक्षों में $60$ जोड़ने पर: $x + \frac{x}{2} = 150$.
पदों को जोड़ने पर: $\frac{3x}{2} = 150$.
$x$ का मान ज्ञात करने पर: $x = \frac{150 \times 2}{3} = 100$.
अतः,जयंती ने $100$ प्रश्नों के सही उत्तर दिए।
प्रश्न के अनुसार,प्राप्त कुल अंक $90$ हैं।
समीकरण इस प्रकार है: $x \times 1 - (120 - x) \times \frac{1}{2} = 90$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $x - 60 + \frac{x}{2} = 90$.
दोनों पक्षों में $60$ जोड़ने पर: $x + \frac{x}{2} = 150$.
पदों को जोड़ने पर: $\frac{3x}{2} = 150$.
$x$ का मान ज्ञात करने पर: $x = \frac{150 \times 2}{3} = 100$.
अतः,जयंती ने $100$ प्रश्नों के सही उत्तर दिए।
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Difficult
एक चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ के कोण $\angle A = (6x + 10)^{\circ}$,$\angle B = (5x)^{\circ}$,$\angle C = (x + y)^{\circ}$ और $\angle D = (3y - 10)^{\circ}$ हैं। $x$ और $y$ का मान ज्ञात कीजिए और चारों कोणों के मान भी ज्ञात कीजिए।
Solution
(A) हम जानते हैं कि चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle A + \angle C = (6x + 10)^{\circ} + (x + y)^{\circ} = 180^{\circ}$
$\Rightarrow 7x + y = 170 \quad \dots(i)$
इसी प्रकार,$\angle B + \angle D = (5x)^{\circ} + (3y - 10)^{\circ} = 180^{\circ}$
$\Rightarrow 5x + 3y = 190 \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ को $3$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $21x + 3y = 510 \quad \dots(iii)$
समीकरण $(iii)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(21x + 3y) - (5x + 3y) = 510 - 190$
$16x = 320 \Rightarrow x = 20$
$x = 20$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$7(20) + y = 170 \Rightarrow 140 + y = 170 \Rightarrow y = 30$
अब,कोणों की गणना:
$\angle A = 6(20) + 10 = 130^{\circ}$
$\angle B = 5(20) = 100^{\circ}$
$\angle C = 20 + 30 = 50^{\circ}$
$\angle D = 3(30) - 10 = 80^{\circ}$
अतः,$x = 20$,$y = 30$ और कोण $130^{\circ}, 100^{\circ}, 50^{\circ}, 80^{\circ}$ हैं।
$\angle A + \angle C = (6x + 10)^{\circ} + (x + y)^{\circ} = 180^{\circ}$
$\Rightarrow 7x + y = 170 \quad \dots(i)$
इसी प्रकार,$\angle B + \angle D = (5x)^{\circ} + (3y - 10)^{\circ} = 180^{\circ}$
$\Rightarrow 5x + 3y = 190 \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ को $3$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $21x + 3y = 510 \quad \dots(iii)$
समीकरण $(iii)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(21x + 3y) - (5x + 3y) = 510 - 190$
$16x = 320 \Rightarrow x = 20$
$x = 20$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$7(20) + y = 170 \Rightarrow 140 + y = 170 \Rightarrow y = 30$
अब,कोणों की गणना:
$\angle A = 6(20) + 10 = 130^{\circ}$
$\angle B = 5(20) = 100^{\circ}$
$\angle C = 20 + 30 = 50^{\circ}$
$\angle D = 3(30) - 10 = 80^{\circ}$
अतः,$x = 20$,$y = 30$ और कोण $130^{\circ}, 100^{\circ}, 50^{\circ}, 80^{\circ}$ हैं।
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Medium
रेखाओं $x=-2$ और $y=3$ के आलेख खींचिए। इन रेखाओं,$x$-अक्ष और $y$-अक्ष द्वारा बनी आकृति के शीर्ष लिखिए। साथ ही,आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution
(N/A) हम जानते हैं कि $x=-2$ का आलेख $y$-अक्ष के समांतर और उससे बाईं ओर $2$ इकाई की दूरी पर स्थित एक रेखा है।
$y=3$ का आलेख $x$-अक्ष के समांतर और उससे ऊपर $3$ इकाई की दूरी पर स्थित एक रेखा है।
रेखाओं $x=-2$,$y=3$,$x$-अक्ष और $y$-अक्ष द्वारा परिबद्ध आकृति $OABC$ है,जो एक आयत है।
$A$,$y$-अक्ष पर स्थित एक बिंदु है जो $x$-अक्ष से $3$ इकाई ऊपर है। अतः,$A$ के निर्देशांक $(0, 3)$ हैं।
$C$,$x$-अक्ष पर स्थित एक बिंदु है जो $y$-अक्ष से बाईं ओर $2$ इकाई की दूरी पर है। अतः,$C$ के निर्देशांक $(-2, 0)$ हैं।
$B$,रेखाओं $x=-2$ और $y=3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। अतः,$B$ के निर्देशांक $(-2, 3)$ हैं।
मूल बिंदु $O$ $(0, 0)$ है।
इस प्रकार,आयत $OABC$ के शीर्ष $O(0, 0)$,$A(0, 3)$,$B(-2, 3)$ और $C(-2, 0)$ हैं।
इस आयत की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः $2$ इकाई और $3$ इकाई हैं।
चूंकि आयत का क्षेत्रफल $=$ लंबाई $\times$ चौड़ाई होता है,
आयत $OABC$ का क्षेत्रफल $= 2 \times 3 = 6 \text{ वर्ग इकाई}$ है।
$y=3$ का आलेख $x$-अक्ष के समांतर और उससे ऊपर $3$ इकाई की दूरी पर स्थित एक रेखा है।
रेखाओं $x=-2$,$y=3$,$x$-अक्ष और $y$-अक्ष द्वारा परिबद्ध आकृति $OABC$ है,जो एक आयत है।
$A$,$y$-अक्ष पर स्थित एक बिंदु है जो $x$-अक्ष से $3$ इकाई ऊपर है। अतः,$A$ के निर्देशांक $(0, 3)$ हैं।
$C$,$x$-अक्ष पर स्थित एक बिंदु है जो $y$-अक्ष से बाईं ओर $2$ इकाई की दूरी पर है। अतः,$C$ के निर्देशांक $(-2, 0)$ हैं।
$B$,रेखाओं $x=-2$ और $y=3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। अतः,$B$ के निर्देशांक $(-2, 3)$ हैं।
मूल बिंदु $O$ $(0, 0)$ है।
इस प्रकार,आयत $OABC$ के शीर्ष $O(0, 0)$,$A(0, 3)$,$B(-2, 3)$ और $C(-2, 0)$ हैं।
इस आयत की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः $2$ इकाई और $3$ इकाई हैं।
चूंकि आयत का क्षेत्रफल $=$ लंबाई $\times$ चौड़ाई होता है,
आयत $OABC$ का क्षेत्रफल $= 2 \times 3 = 6 \text{ वर्ग इकाई}$ है।
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View Solution70
DifficultMCQ
$5x - y = 5$,$x + 2y = 1$ और $6x + y = 17$ रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज के शीर्षों को बीजगणितीय रूप से ज्ञात कीजिए।
A
$(-1, 0), (3, 1), (2, -5)$
B
$(1, 0), (3, -1), (2, 5)$
C
$(1, 0), (-3, -1), (2, -5)$
D
$(-1, 0), (-3, 1), (-2, 5)$
Solution
(B) त्रिभुज के शीर्ष उसकी भुजाओं को बनाने वाली रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु होते हैं। इन बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए हम समीकरणों को युग्मों में हल करते हैं।
युग्म $1$: $5x - y = 5$ और $x + 2y = 1$.
प्रथम समीकरण से,$y = 5x - 5$. दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x + 2(5x - 5) = 1 \implies x + 10x - 10 = 1 \implies 11x = 11 \implies x = 1$. अतः $y = 5(1) - 5 = 0$. शीर्ष: $(1, 0)$.
युग्म $2$: $x + 2y = 1$ और $6x + y = 17$.
दूसरे समीकरण से,$y = 17 - 6x$. प्रथम समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x + 2(17 - 6x) = 1 \implies x + 34 - 12x = 1 \implies -11x = -33 \implies x = 3$. अतः $y = 17 - 6(3) = -1$. शीर्ष: $(3, -1)$.
युग्म $3$: $5x - y = 5$ और $6x + y = 17$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(5x - y) + (6x + y) = 5 + 17 \implies 11x = 22 \implies x = 2$. $x = 2$ को $5x - y = 5$ में रखने पर: $5(2) - y = 5 \implies 10 - y = 5 \implies y = 5$. शीर्ष: $(2, 5)$.
अतः,त्रिभुज के शीर्ष $(1, 0), (3, -1)$ और $(2, 5)$ हैं।
युग्म $1$: $5x - y = 5$ और $x + 2y = 1$.
प्रथम समीकरण से,$y = 5x - 5$. दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x + 2(5x - 5) = 1 \implies x + 10x - 10 = 1 \implies 11x = 11 \implies x = 1$. अतः $y = 5(1) - 5 = 0$. शीर्ष: $(1, 0)$.
युग्म $2$: $x + 2y = 1$ और $6x + y = 17$.
दूसरे समीकरण से,$y = 17 - 6x$. प्रथम समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x + 2(17 - 6x) = 1 \implies x + 34 - 12x = 1 \implies -11x = -33 \implies x = 3$. अतः $y = 17 - 6(3) = -1$. शीर्ष: $(3, -1)$.
युग्म $3$: $5x - y = 5$ और $6x + y = 17$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(5x - y) + (6x + y) = 5 + 17 \implies 11x = 22 \implies x = 2$. $x = 2$ को $5x - y = 5$ में रखने पर: $5(2) - y = 5 \implies 10 - y = 5 \implies y = 5$. शीर्ष: $(2, 5)$.
अतः,त्रिभुज के शीर्ष $(1, 0), (3, -1)$ और $(2, 5)$ हैं।
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DifficultMCQ
जमीला ने एक मेज और एक कुर्सी $Rs.\, 1050$ में बेची,जिससे उसे मेज पर $10\%$ और कुर्सी पर $25\%$ का लाभ हुआ। यदि उसने मेज पर $25\%$ और कुर्सी पर $10\%$ का लाभ लिया होता,तो उसे $Rs.\, 1065$ मिलते। प्रत्येक का क्रय मूल्य ज्ञात कीजिए ($Rs.$ में)।
A
$100, 900$
B
$100, 300$
C
$500, 400$
D
$600, 800$
Solution
(C) माना मेज का क्रय मूल्य $Rs.\, x$ है और कुर्सी का क्रय मूल्य $Rs.\, y$ है।
$10\%$ लाभ पर मेज का विक्रय मूल्य $x + 0.10x = 1.10x$ है।
$25\%$ लाभ पर कुर्सी का विक्रय मूल्य $y + 0.25y = 1.25y$ है।
दिया है,$1.10x + 1.25y = 1050$। $100$ से गुणा करने पर,हमें $110x + 125y = 105000$ प्राप्त होता है ....$(1)$
यदि मेज को $25\%$ लाभ पर और कुर्सी को $10\%$ लाभ पर बेचा जाता है,तो विक्रय मूल्य $1.25x + 1.10y = 1065$ है।
$100$ से गुणा करने पर,हमें $125x + 110y = 106500$ प्राप्त होता है ....$(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$235x + 235y = 211500 \implies x + y = 900$ ....$(3)$
$(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$-15x + 15y = -1500 \implies x - y = 100$ ....$(4)$
$(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$2x = 1000 \implies x = 500$।
$(3)$ में $x = 500$ रखने पर:
$500 + y = 900 \implies y = 400$।
अतः,मेज का क्रय मूल्य $Rs.\, 500$ और कुर्सी का क्रय मूल्य $Rs.\, 400$ है।
$10\%$ लाभ पर मेज का विक्रय मूल्य $x + 0.10x = 1.10x$ है।
$25\%$ लाभ पर कुर्सी का विक्रय मूल्य $y + 0.25y = 1.25y$ है।
दिया है,$1.10x + 1.25y = 1050$। $100$ से गुणा करने पर,हमें $110x + 125y = 105000$ प्राप्त होता है ....$(1)$
यदि मेज को $25\%$ लाभ पर और कुर्सी को $10\%$ लाभ पर बेचा जाता है,तो विक्रय मूल्य $1.25x + 1.10y = 1065$ है।
$100$ से गुणा करने पर,हमें $125x + 110y = 106500$ प्राप्त होता है ....$(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$235x + 235y = 211500 \implies x + y = 900$ ....$(3)$
$(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$-15x + 15y = -1500 \implies x - y = 100$ ....$(4)$
$(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$2x = 1000 \implies x = 500$।
$(3)$ में $x = 500$ रखने पर:
$500 + y = 900 \implies y = 400$।
अतः,मेज का क्रय मूल्य $Rs.\, 500$ और कुर्सी का क्रय मूल्य $Rs.\, 400$ है।
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Difficult
दो पाइपों का उपयोग करके एक स्विमिंग पूल को भरने में $12$ घंटे लगते हैं। यदि बड़े व्यास वाले पाइप का उपयोग $4$ घंटे और छोटे व्यास वाले पाइप का उपयोग $9$ घंटे किया जाता है,तो पूल का केवल आधा हिस्सा ही भर पाता है। प्रत्येक पाइप को अलग से पूल भरने में कितना समय लगेगा?
Solution
(D) माना कि बड़े पाइप द्वारा पूल को भरने में लिया गया समय $x$ घंटे है और छोटे पाइप द्वारा लिया गया समय $y$ घंटे है।
$1$ घंटे में,बड़ा पाइप पूल का $1/x$ भाग भरता है और छोटा पाइप $1/y$ भाग भरता है।
पहली शर्त के अनुसार,यदि दोनों पाइपों का उपयोग किया जाता है,तो वे $12$ घंटे में पूल भर देते हैं:
$1/x + 1/y = 1/12$ --- (समीकरण $1$)
दूसरी शर्त के अनुसार,बड़ा पाइप $4$ घंटे और छोटा पाइप $9$ घंटे काम करता है तो आधा पूल भर जाता है:
$4/x + 9/y = 1/2$ --- (समीकरण $2$)
माना $u = 1/x$ और $v = 1/y$। समीकरण इस प्रकार होंगे:
$u + v = 1/12$ --- (समीकरण $3$)
$4u + 9v = 1/2$ --- (समीकरण $4$)
समीकरण $3$ को $4$ से गुणा करने पर: $4u + 4v = 4/12 = 1/3$।
इसे समीकरण $4$ से घटाने पर: $(4u + 9v) - (4u + 4v) = 1/2 - 1/3$।
$5v = 1/6$,इसलिए $v = 1/30$।
$v = 1/30$ को समीकरण $3$ में रखने पर: $u + 1/30 = 1/12$।
$u = 1/12 - 1/30 = (5 - 2)/60 = 3/60 = 1/20$।
चूंकि $u = 1/x = 1/20$,इसलिए $x = 20$ घंटे।
चूंकि $v = 1/y = 1/30$,इसलिए $y = 30$ घंटे।
अतः,बड़े पाइप को $20$ घंटे और छोटे पाइप को $30$ घंटे का समय अलग से पूल भरने में लगेगा।
$1$ घंटे में,बड़ा पाइप पूल का $1/x$ भाग भरता है और छोटा पाइप $1/y$ भाग भरता है।
पहली शर्त के अनुसार,यदि दोनों पाइपों का उपयोग किया जाता है,तो वे $12$ घंटे में पूल भर देते हैं:
$1/x + 1/y = 1/12$ --- (समीकरण $1$)
दूसरी शर्त के अनुसार,बड़ा पाइप $4$ घंटे और छोटा पाइप $9$ घंटे काम करता है तो आधा पूल भर जाता है:
$4/x + 9/y = 1/2$ --- (समीकरण $2$)
माना $u = 1/x$ और $v = 1/y$। समीकरण इस प्रकार होंगे:
$u + v = 1/12$ --- (समीकरण $3$)
$4u + 9v = 1/2$ --- (समीकरण $4$)
समीकरण $3$ को $4$ से गुणा करने पर: $4u + 4v = 4/12 = 1/3$।
इसे समीकरण $4$ से घटाने पर: $(4u + 9v) - (4u + 4v) = 1/2 - 1/3$।
$5v = 1/6$,इसलिए $v = 1/30$।
$v = 1/30$ को समीकरण $3$ में रखने पर: $u + 1/30 = 1/12$।
$u = 1/12 - 1/30 = (5 - 2)/60 = 3/60 = 1/20$।
चूंकि $u = 1/x = 1/20$,इसलिए $x = 20$ घंटे।
चूंकि $v = 1/y = 1/30$,इसलिए $y = 30$ घंटे।
अतः,बड़े पाइप को $20$ घंटे और छोटे पाइप को $30$ घंटे का समय अलग से पूल भरने में लगेगा।
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Difficult
आलेखीय विधि से निम्नलिखित समीकरण युग्म को हल कीजिए:
$2x + y = 6$
$2x - y + 2 = 0$
इन समीकरणों को निरूपित करने वाली रेखाओं द्वारा $x$-अक्ष के साथ और $y$-अक्ष के साथ बनने वाले दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
$2x + y = 6$
$2x - y + 2 = 0$
इन समीकरणों को निरूपित करने वाली रेखाओं द्वारा $x$-अक्ष के साथ और $y$-अक्ष के साथ बनने वाले दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Solution
(4:1) दिए गए समीकरण $2x + y = 6$ और $2x - y + 2 = 0$ हैं।
समीकरण $2x + y = 6$ के लिए सारणी:
समीकरण $2x - y + 2 = 0$ के लिए सारणी:
माना $A_1$ और $A_2$ क्रमशः $\triangle ACE$ और $\triangle BDE$ के क्षेत्रफल हैं।
अब,$A_1 = \triangle ACE$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AC \times PE = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$.
और $A_2 = \triangle BDE$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times BD \times QE = \frac{1}{2} \times 4 \times 1 = 2$.
अतः,$A_1 : A_2 = 8 : 2 = 4 : 1$.
इस प्रकार,समीकरण युग्म आलेख पर बिंदु $E(1, 4)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,अर्थात $x = 1$ और $y = 4$।
समीकरण $2x + y = 6$ के लिए सारणी:
| $x$ | $0$ | $3$ |
| $y$ | $6$ | $0$ |
| बिंदु | $B$ | $A$ |
समीकरण $2x - y + 2 = 0$ के लिए सारणी:
| $x$ | $0$ | $-1$ |
| $y$ | $2$ | $0$ |
| बिंदु | $D$ | $C$ |
माना $A_1$ और $A_2$ क्रमशः $\triangle ACE$ और $\triangle BDE$ के क्षेत्रफल हैं।
अब,$A_1 = \triangle ACE$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AC \times PE = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$.
और $A_2 = \triangle BDE$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times BD \times QE = \frac{1}{2} \times 4 \times 1 = 2$.
अतः,$A_1 : A_2 = 8 : 2 = 4 : 1$.
इस प्रकार,समीकरण युग्म आलेख पर बिंदु $E(1, 4)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,अर्थात $x = 1$ और $y = 4$।
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Difficult
आलेखीय विधि से $y=x$,$3y=x$ और $x+y=8$ रेखाओं द्वारा बने त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात कीजिए।
Solution
(O(0,0), Q(4,4), D(6,2)) दिए गए रैखिक समीकरण हैं:
$y=x \quad (i)$
$3y=x \quad (ii)$
$x+y=8 \quad (iii)$
शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम इन रेखाओं के युग्मों के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करते हैं।
$1$. $(i)$ और $(ii)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
$y=x$ को $3y=x$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3x=x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2x=0$,इसलिए $x=0$. अतः,$y=0$. प्रतिच्छेदन बिंदु $O(0,0)$ है।
$2$. $(i)$ और $(iii)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
$y=x$ को $x+y=8$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x+x=8$ प्राप्त होता है,इसलिए $2x=8$,जिसका अर्थ है $x=4$. अतः,$y=4$. प्रतिच्छेदन बिंदु $Q(4,4)$ है।
$3$. $(ii)$ और $(iii)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
$(ii)$ से,$x=3y$. इसे $(iii)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3y+y=8$ प्राप्त होता है,इसलिए $4y=8$,जिसका अर्थ है $y=2$. तब $x=3(2)=6$. प्रतिच्छेदन बिंदु $D(6,2)$ है।
अतः,रेखाओं द्वारा बने त्रिभुज के शीर्ष $O(0,0)$,$Q(4,4)$ और $D(6,2)$ हैं।
$y=x \quad (i)$
$3y=x \quad (ii)$
$x+y=8 \quad (iii)$
शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम इन रेखाओं के युग्मों के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करते हैं।
$1$. $(i)$ और $(ii)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
$y=x$ को $3y=x$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3x=x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2x=0$,इसलिए $x=0$. अतः,$y=0$. प्रतिच्छेदन बिंदु $O(0,0)$ है।
$2$. $(i)$ और $(iii)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
$y=x$ को $x+y=8$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x+x=8$ प्राप्त होता है,इसलिए $2x=8$,जिसका अर्थ है $x=4$. अतः,$y=4$. प्रतिच्छेदन बिंदु $Q(4,4)$ है।
$3$. $(ii)$ और $(iii)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
$(ii)$ से,$x=3y$. इसे $(iii)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3y+y=8$ प्राप्त होता है,इसलिए $4y=8$,जिसका अर्थ है $y=2$. तब $x=3(2)=6$. प्रतिच्छेदन बिंदु $D(6,2)$ है।
अतः,रेखाओं द्वारा बने त्रिभुज के शीर्ष $O(0,0)$,$Q(4,4)$ और $D(6,2)$ हैं।
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Difficult
$x=3, x=5$ और $2x-y-4=0$ समीकरणों के आलेख खींचिए। इन रेखाओं और $x$-अक्ष द्वारा बने चतुर्भुज का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
Solution
(8) दी गई रेखाओं के समीकरण $2x-y-4=0$,$x=3$ और $x=5$ हैं।
रेखा $2x-y-4=0$ के लिए,हम दो बिंदु ज्ञात करते हैं:
बिंदुओं $P(0, -4)$ और $Q(2, 0)$ को आलेख पर अंकित कीजिए और उनसे होकर जाने वाली रेखा खींचिए। साथ ही,ऊर्ध्वाधर रेखाएँ $x=3$ और $x=5$ खींचिए।
रेखाओं $x=3$,$x=5$,$x$-अक्ष और रेखा $2x-y-4=0$ द्वारा बना चतुर्भुज एक समलंब चतुर्भुज है,जिसमें $x=3$ और $x=5$ पर स्थित भुजाएँ समांतर हैं।
$x=3$ के लिए,$y = 2(3)-4 = 2$ है। अतः,बिंदु $D$ $(3, 2)$ है।
$x=5$ के लिए,$y = 2(5)-4 = 6$ है। अतः,बिंदु $C$ $(5, 6)$ है।
समलंब चतुर्भुज की समांतर भुजाएँ $AD = 2$ इकाई और $BC = 6$ इकाई हैं। उनके बीच की दूरी $AB = 5-3 = 2$ इकाई है。
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times (\text{ऊँचाई})$
$= \frac{1}{2} \times (AD + BC) \times AB$
$= \frac{1}{2} \times (2 + 6) \times 2$
$= 8 \text{ वर्ग इकाई}$.
अतः,चतुर्भुज का क्षेत्रफल $8 \text{ वर्ग इकाई}$ है。
रेखा $2x-y-4=0$ के लिए,हम दो बिंदु ज्ञात करते हैं:
| $x$ | $0$ | $2$ |
| $y=2x-4$ | $-4$ | $0$ |
बिंदुओं $P(0, -4)$ और $Q(2, 0)$ को आलेख पर अंकित कीजिए और उनसे होकर जाने वाली रेखा खींचिए। साथ ही,ऊर्ध्वाधर रेखाएँ $x=3$ और $x=5$ खींचिए।
रेखाओं $x=3$,$x=5$,$x$-अक्ष और रेखा $2x-y-4=0$ द्वारा बना चतुर्भुज एक समलंब चतुर्भुज है,जिसमें $x=3$ और $x=5$ पर स्थित भुजाएँ समांतर हैं।
$x=3$ के लिए,$y = 2(3)-4 = 2$ है। अतः,बिंदु $D$ $(3, 2)$ है।
$x=5$ के लिए,$y = 2(5)-4 = 6$ है। अतः,बिंदु $C$ $(5, 6)$ है।
समलंब चतुर्भुज की समांतर भुजाएँ $AD = 2$ इकाई और $BC = 6$ इकाई हैं। उनके बीच की दूरी $AB = 5-3 = 2$ इकाई है。
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times (\text{ऊँचाई})$
$= \frac{1}{2} \times (AD + BC) \times AB$
$= \frac{1}{2} \times (2 + 6) \times 2$
$= 8 \text{ वर्ग इकाई}$.
अतः,चतुर्भुज का क्षेत्रफल $8 \text{ वर्ग इकाई}$ है。
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MediumMCQ
$4$ पेन और $4$ पेंसिल बॉक्स की कीमत $Rs.\, 100$ है। पेन की कीमत का तीन गुना,पेंसिल बॉक्स की कीमत से $Rs.\, 15$ अधिक है। उपरोक्त स्थिति के लिए रैखिक समीकरणों का युग्म बनाइए। पेन और पेंसिल बॉक्स की कीमत ज्ञात कीजिए ($Rs.$ में)।
A
$5, 12$
B
$12, 5$
C
$15, 10$
D
$10, 15$
Solution
(D) माना कि एक पेन की कीमत $Rs.\, x$ है और एक पेंसिल बॉक्स की कीमत $Rs.\, y$ है।
पहली शर्त के अनुसार,$4x + 4y = 100$,जिसे सरल करने पर $x + y = 25$ प्राप्त होता है (समीकरण $i$)।
दूसरी शर्त के अनुसार,$3x = y + 15$,जिसे $3x - y = 15$ के रूप में लिखा जा सकता है (समीकरण $ii$)।
समीकरण $(i)$ और समीकरण $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (3x - y) = 25 + 15$
$4x = 40$
$x = 10$
$x = 10$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$10 + y = 25$
$y = 15$
अतः,पेन की कीमत $Rs.\, 10$ और पेंसिल बॉक्स की कीमत $Rs.\, 15$ है।
पहली शर्त के अनुसार,$4x + 4y = 100$,जिसे सरल करने पर $x + y = 25$ प्राप्त होता है (समीकरण $i$)।
दूसरी शर्त के अनुसार,$3x = y + 15$,जिसे $3x - y = 15$ के रूप में लिखा जा सकता है (समीकरण $ii$)।
समीकरण $(i)$ और समीकरण $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (3x - y) = 25 + 15$
$4x = 40$
$x = 10$
$x = 10$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$10 + y = 25$
$y = 15$
अतः,पेन की कीमत $Rs.\, 10$ और पेंसिल बॉक्स की कीमत $Rs.\, 15$ है।
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Difficult
बीजगणितीय रूप से,दी गई रेखाओं द्वारा बनने वाले त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात कीजिए:
$3x - y = 3$
$2x - 3y = 2$
$x + 2y = 8$
$3x - y = 3$
$2x - 3y = 2$
$x + 2y = 8$
Solution
(A) रेखाओं के दिए गए समीकरण हैं:
$3x - y = 3 \quad ...(i)$
$2x - 3y = 2 \quad ...(ii)$
$x + 2y = 8 \quad ...(iii)$
मान लीजिए कि रेखाएं $(i), (ii),$ और $(iii)$ क्रमशः $\triangle ABC$ की भुजाओं $AB, BC,$ और $CA$ को दर्शाती हैं।
$1$. शीर्ष $B$ ज्ञात करने के लिए,रेखाओं $(i)$ और $(ii)$ को हल करें:
समीकरण $(i)$ को $3$ से गुणा करने पर: $9x - 3y = 9$
इसमें से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर: $(9x - 3y) - (2x - 3y) = 9 - 2 \Rightarrow 7x = 7 \Rightarrow x = 1$.
$x = 1$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर: $3(1) - y = 3 \Rightarrow y = 0$.
अतः,शीर्ष $B$ के निर्देशांक $(1, 0)$ हैं।
$2$. शीर्ष $C$ ज्ञात करने के लिए,रेखाओं $(ii)$ और $(iii)$ को हल करें:
समीकरण $(iii)$ को $2$ से गुणा करने पर: $2x + 4y = 16$.
इसमें से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर: $(2x + 4y) - (2x - 3y) = 16 - 2 \Rightarrow 7y = 14 \Rightarrow y = 2$.
$y = 2$ का मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर: $x + 2(2) = 8 \Rightarrow x = 4$.
अतः,शीर्ष $C$ के निर्देशांक $(4, 2)$ हैं।
$3$. शीर्ष $A$ ज्ञात करने के लिए,रेखाओं $(iii)$ और $(i)$ को हल करें:
समीकरण $(i)$ को $2$ से गुणा करने पर: $6x - 2y = 6$.
इसमें समीकरण $(iii)$ को जोड़ने पर: $(6x - 2y) + (x + 2y) = 6 + 8 \Rightarrow 7x = 14 \Rightarrow x = 2$.
$x = 2$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर: $3(2) - y = 3 \Rightarrow 6 - y = 3 \Rightarrow y = 3$.
अतः,शीर्ष $A$ के निर्देशांक $(2, 3)$ हैं।
इस प्रकार,त्रिभुज के शीर्ष $A(2, 3), B(1, 0),$ और $C(4, 2)$ हैं।
$3x - y = 3 \quad ...(i)$
$2x - 3y = 2 \quad ...(ii)$
$x + 2y = 8 \quad ...(iii)$
मान लीजिए कि रेखाएं $(i), (ii),$ और $(iii)$ क्रमशः $\triangle ABC$ की भुजाओं $AB, BC,$ और $CA$ को दर्शाती हैं।
$1$. शीर्ष $B$ ज्ञात करने के लिए,रेखाओं $(i)$ और $(ii)$ को हल करें:
समीकरण $(i)$ को $3$ से गुणा करने पर: $9x - 3y = 9$
इसमें से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर: $(9x - 3y) - (2x - 3y) = 9 - 2 \Rightarrow 7x = 7 \Rightarrow x = 1$.
$x = 1$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर: $3(1) - y = 3 \Rightarrow y = 0$.
अतः,शीर्ष $B$ के निर्देशांक $(1, 0)$ हैं।
$2$. शीर्ष $C$ ज्ञात करने के लिए,रेखाओं $(ii)$ और $(iii)$ को हल करें:
समीकरण $(iii)$ को $2$ से गुणा करने पर: $2x + 4y = 16$.
इसमें से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर: $(2x + 4y) - (2x - 3y) = 16 - 2 \Rightarrow 7y = 14 \Rightarrow y = 2$.
$y = 2$ का मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर: $x + 2(2) = 8 \Rightarrow x = 4$.
अतः,शीर्ष $C$ के निर्देशांक $(4, 2)$ हैं।
$3$. शीर्ष $A$ ज्ञात करने के लिए,रेखाओं $(iii)$ और $(i)$ को हल करें:
समीकरण $(i)$ को $2$ से गुणा करने पर: $6x - 2y = 6$.
इसमें समीकरण $(iii)$ को जोड़ने पर: $(6x - 2y) + (x + 2y) = 6 + 8 \Rightarrow 7x = 14 \Rightarrow x = 2$.
$x = 2$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर: $3(2) - y = 3 \Rightarrow 6 - y = 3 \Rightarrow y = 3$.
अतः,शीर्ष $A$ के निर्देशांक $(2, 3)$ हैं।
इस प्रकार,त्रिभुज के शीर्ष $A(2, 3), B(1, 0),$ और $C(4, 2)$ हैं।
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DifficultMCQ
अंकिता अपने घर जाने के लिए $14 \,km$ की दूरी तय करती है,जिसका कुछ भाग रिक्शा से और कुछ भाग बस से तय करती है। यदि वह $2 \,km$ रिक्शा से और शेष दूरी बस से तय करती है,तो उसे आधा घंटा $(30 \,minutes)$ लगता है। दूसरी ओर,यदि वह $4 \,km$ रिक्शा से और शेष दूरी बस से तय करती है,तो उसे $9 \,\text{मिनट}$ अधिक लगते हैं। रिक्शा और बस की गति ज्ञात कीजिए (in $km/h$).
A
$20, 30$
B
$10, 40$
C
$50, 60$
D
$70, 90$
Solution
(B) माना रिक्शा की गति $x \,km/h$ है और बस की गति $y \,km/h$ है।
रिक्शा द्वारा $2 \,km$ तय करने में लगा समय $t_1 = \frac{2}{x} \,h$ है।
शेष दूरी $(14 - 2) = 12 \,km$ बस द्वारा तय करने में लगा समय $t_2 = \frac{12}{y} \,h$ है।
पहली शर्त के अनुसार: $\frac{2}{x} + \frac{12}{y} = \frac{1}{2} \quad ...(i)$
रिक्शा द्वारा $4 \,km$ तय करने में लगा समय $t_3 = \frac{4}{x} \,h$ है।
शेष दूरी $(14 - 4) = 10 \,km$ बस द्वारा तय करने में लगा समय $t_4 = \frac{10}{y} \,h$ है।
चूंकि उसे $9 \,\text{मिनट}$ अधिक लगते हैं,कुल समय $\frac{1}{2} + \frac{9}{60} = \frac{1}{2} + \frac{3}{20} = \frac{13}{20} \,h$ है।
दूसरी शर्त के अनुसार: $\frac{4}{x} + \frac{10}{y} = \frac{13}{20} \quad ...(ii)$
माना $u = \frac{1}{x}$ और $v = \frac{1}{y}$। समीकरण इस प्रकार होंगे:
$2u + 12v = \frac{1}{2} \quad ...(iii)$
$4u + 10v = \frac{13}{20} \quad ...(iv)$
समीकरण $(iii)$ को $2$ से गुणा करने पर: $4u + 24v = 1 \quad ...(v)$
समीकरण $(v)$ से $(iv)$ घटाने पर:
$(4u + 24v) - (4u + 10v) = 1 - \frac{13}{20}$
$14v = \frac{7}{20} \Rightarrow v = \frac{7}{20 \times 14} = \frac{1}{40}$।
अतः,$y = 40 \,km/h$।
$v = \frac{1}{40}$ का मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर:
$2u + 12(\frac{1}{40}) = \frac{1}{2} \Rightarrow 2u + \frac{3}{10} = \frac{1}{2}$
$2u = \frac{1}{2} - \frac{3}{10} = \frac{5-3}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$u = \frac{1}{10}$। अतः,$x = 10 \,km/h$।
रिक्शा की गति $10 \,km/h$ और बस की गति $40 \,km/h$ है।
रिक्शा द्वारा $2 \,km$ तय करने में लगा समय $t_1 = \frac{2}{x} \,h$ है।
शेष दूरी $(14 - 2) = 12 \,km$ बस द्वारा तय करने में लगा समय $t_2 = \frac{12}{y} \,h$ है।
पहली शर्त के अनुसार: $\frac{2}{x} + \frac{12}{y} = \frac{1}{2} \quad ...(i)$
रिक्शा द्वारा $4 \,km$ तय करने में लगा समय $t_3 = \frac{4}{x} \,h$ है।
शेष दूरी $(14 - 4) = 10 \,km$ बस द्वारा तय करने में लगा समय $t_4 = \frac{10}{y} \,h$ है।
चूंकि उसे $9 \,\text{मिनट}$ अधिक लगते हैं,कुल समय $\frac{1}{2} + \frac{9}{60} = \frac{1}{2} + \frac{3}{20} = \frac{13}{20} \,h$ है।
दूसरी शर्त के अनुसार: $\frac{4}{x} + \frac{10}{y} = \frac{13}{20} \quad ...(ii)$
माना $u = \frac{1}{x}$ और $v = \frac{1}{y}$। समीकरण इस प्रकार होंगे:
$2u + 12v = \frac{1}{2} \quad ...(iii)$
$4u + 10v = \frac{13}{20} \quad ...(iv)$
समीकरण $(iii)$ को $2$ से गुणा करने पर: $4u + 24v = 1 \quad ...(v)$
समीकरण $(v)$ से $(iv)$ घटाने पर:
$(4u + 24v) - (4u + 10v) = 1 - \frac{13}{20}$
$14v = \frac{7}{20} \Rightarrow v = \frac{7}{20 \times 14} = \frac{1}{40}$।
अतः,$y = 40 \,km/h$।
$v = \frac{1}{40}$ का मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर:
$2u + 12(\frac{1}{40}) = \frac{1}{2} \Rightarrow 2u + \frac{3}{10} = \frac{1}{2}$
$2u = \frac{1}{2} - \frac{3}{10} = \frac{5-3}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$u = \frac{1}{10}$। अतः,$x = 10 \,km/h$।
रिक्शा की गति $10 \,km/h$ और बस की गति $40 \,km/h$ है।
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DifficultMCQ
एक व्यक्ति,जो स्थिर जल में $5 \, km/h$ की दर से नाव चलाता है,उसे $40 \, km$ धारा के प्रतिकूल जाने में,$40 \, km$ धारा के अनुकूल जाने की तुलना में तीन गुना समय लगता है। धारा की गति $km/h$ में ज्ञात कीजिए।
A
$1.5$
B
$3.5$
C
$2.5$
D
$4$
Solution
(C) माना कि धारा की गति $v \, km/h$ है।
दिया गया है कि स्थिर जल में व्यक्ति की गति $5 \, km/h$ है।
धारा के अनुकूल व्यक्ति की गति $(5 + v) \, km/h$ होगी।
धारा के प्रतिकूल व्यक्ति की गति $(5 - v) \, km/h$ होगी।
धारा के अनुकूल $40 \, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $t_1 = \frac{40}{5 + v} \, h$ है।
धारा के प्रतिकूल $40 \, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $t_2 = \frac{40}{5 - v} \, h$ है।
प्रश्न के अनुसार,प्रतिकूल दिशा में लगा समय अनुकूल दिशा में लगे समय का तीन गुना है,इसलिए $t_2 = 3 \times t_1$.
मान रखने पर: $\frac{40}{5 - v} = 3 \times \frac{40}{5 + v}$.
दोनों पक्षों को $40$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{5 - v} = \frac{3}{5 + v}$.
वज्र गुणन करने पर: $5 + v = 3(5 - v)$.
$5 + v = 15 - 3v$.
$4v = 10$.
$v = 2.5 \, km/h$.
अतः,धारा की गति $2.5 \, km/h$ है।
दिया गया है कि स्थिर जल में व्यक्ति की गति $5 \, km/h$ है।
धारा के अनुकूल व्यक्ति की गति $(5 + v) \, km/h$ होगी।
धारा के प्रतिकूल व्यक्ति की गति $(5 - v) \, km/h$ होगी।
धारा के अनुकूल $40 \, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $t_1 = \frac{40}{5 + v} \, h$ है।
धारा के प्रतिकूल $40 \, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $t_2 = \frac{40}{5 - v} \, h$ है।
प्रश्न के अनुसार,प्रतिकूल दिशा में लगा समय अनुकूल दिशा में लगे समय का तीन गुना है,इसलिए $t_2 = 3 \times t_1$.
मान रखने पर: $\frac{40}{5 - v} = 3 \times \frac{40}{5 + v}$.
दोनों पक्षों को $40$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{5 - v} = \frac{3}{5 + v}$.
वज्र गुणन करने पर: $5 + v = 3(5 - v)$.
$5 + v = 15 - 3v$.
$4v = 10$.
$v = 2.5 \, km/h$.
अतः,धारा की गति $2.5 \, km/h$ है।
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DifficultMCQ
एक मोटर बोट $30 \, km$ धारा के प्रतिकूल और $28 \, km$ धारा के अनुकूल $7 \, \text{घंटे}$ में यात्रा कर सकती है। यह $21 \, km$ धारा के प्रतिकूल और वापस आने में $5 \, \text{घंटे}$ लेती है। स्थिर जल में नाव की गति और धारा की गति ज्ञात कीजिए (in $km/h$).
A
$5, 6$
B
$11, 19$
C
$21, 32$
D
$10, 4$
Solution
(D) माना स्थिर जल में मोटर बोट की गति $u \, km/h$ है और धारा की गति $v \, km/h$ है।
तब,धारा के अनुकूल नाव की गति $(u+v) \, km/h$ और धारा के प्रतिकूल नाव की गति $(u-v) \, km/h$ होगी।
पहली शर्त के अनुसार,$30 \, km$ धारा के प्रतिकूल और $28 \, km$ धारा के अनुकूल यात्रा करने में लगा समय $7 \, \text{घंटे}$ है:
$\frac{30}{u-v} + \frac{28}{u+v} = 7 \quad ...(i)$
दूसरी शर्त के अनुसार,$21 \, km$ धारा के प्रतिकूल और $21 \, km$ वापस आने में लगा समय $5 \, \text{घंटे}$ है:
$\frac{21}{u-v} + \frac{21}{u+v} = 5 \quad ...(ii)$
माना $x = \frac{1}{u+v}$ और $y = \frac{1}{u-v}$ है।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ में मान प्रतिस्थापित करने पर:
$30y + 28x = 7 \quad ...(iii)$
$21y + 21x = 5 \Rightarrow x + y = \frac{5}{21} \quad ...(iv)$
समीकरण $(iv)$ से,$x = \frac{5}{21} - y$। इसे $(iii)$ में रखने पर:
$30y + 28(\frac{5}{21} - y) = 7$
$30y + \frac{20}{3} - 28y = 7$
$2y = 7 - \frac{20}{3} = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{1}{6}$
अब,$x = \frac{5}{21} - \frac{1}{6} = \frac{10-7}{42} = \frac{3}{42} = \frac{1}{14}$।
चूंकि $y = \frac{1}{u-v} = \frac{1}{6}$,इसलिए $u-v = 6 \quad ...(v)$
चूंकि $x = \frac{1}{u+v} = \frac{1}{14}$,इसलिए $u+v = 14 \quad ...(vi)$
समीकरण $(v)$ और $(vi)$ को जोड़ने पर:
$2u = 20 \Rightarrow u = 10 \, km/h$।
$u=10$ का मान $(vi)$ में रखने पर:
$10 + v = 14 \Rightarrow v = 4 \, km/h$।
अतः,स्थिर जल में नाव की गति $10 \, km/h$ है और धारा की गति $4 \, km/h$ है।
तब,धारा के अनुकूल नाव की गति $(u+v) \, km/h$ और धारा के प्रतिकूल नाव की गति $(u-v) \, km/h$ होगी।
पहली शर्त के अनुसार,$30 \, km$ धारा के प्रतिकूल और $28 \, km$ धारा के अनुकूल यात्रा करने में लगा समय $7 \, \text{घंटे}$ है:
$\frac{30}{u-v} + \frac{28}{u+v} = 7 \quad ...(i)$
दूसरी शर्त के अनुसार,$21 \, km$ धारा के प्रतिकूल और $21 \, km$ वापस आने में लगा समय $5 \, \text{घंटे}$ है:
$\frac{21}{u-v} + \frac{21}{u+v} = 5 \quad ...(ii)$
माना $x = \frac{1}{u+v}$ और $y = \frac{1}{u-v}$ है।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ में मान प्रतिस्थापित करने पर:
$30y + 28x = 7 \quad ...(iii)$
$21y + 21x = 5 \Rightarrow x + y = \frac{5}{21} \quad ...(iv)$
समीकरण $(iv)$ से,$x = \frac{5}{21} - y$। इसे $(iii)$ में रखने पर:
$30y + 28(\frac{5}{21} - y) = 7$
$30y + \frac{20}{3} - 28y = 7$
$2y = 7 - \frac{20}{3} = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{1}{6}$
अब,$x = \frac{5}{21} - \frac{1}{6} = \frac{10-7}{42} = \frac{3}{42} = \frac{1}{14}$।
चूंकि $y = \frac{1}{u-v} = \frac{1}{6}$,इसलिए $u-v = 6 \quad ...(v)$
चूंकि $x = \frac{1}{u+v} = \frac{1}{14}$,इसलिए $u+v = 14 \quad ...(vi)$
समीकरण $(v)$ और $(vi)$ को जोड़ने पर:
$2u = 20 \Rightarrow u = 10 \, km/h$।
$u=10$ का मान $(vi)$ में रखने पर:
$10 + v = 14 \Rightarrow v = 4 \, km/h$।
अतः,स्थिर जल में नाव की गति $10 \, km/h$ है और धारा की गति $4 \, km/h$ है।
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DifficultMCQ
दो अंकों की एक संख्या,अंकों के योग को $8$ से गुणा करके $5$ घटाने पर या अंकों के अंतर को $16$ से गुणा करके $3$ जोड़ने पर प्राप्त होती है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
A
$83$
B
$87$
C
$92$
D
$105$
Solution
(A) माना कि दो अंकों की संख्या $10x + y$ है,जहाँ $x$ दहाई का अंक है और $y$ इकाई का अंक है।
स्थिति $I$: अंकों के योग को $8$ से गुणा करके $5$ घटाने पर संख्या प्राप्त होती है:
$8(x + y) - 5 = 10x + y$
$8x + 8y - 5 = 10x + y$
$2x - 7y = -5$ ... $(i)$
स्थिति $II$: अंकों के अंतर को $16$ से गुणा करके $3$ जोड़ने पर संख्या प्राप्त होती है:
$16(x - y) + 3 = 10x + y$
$16x - 16y + 3 = 10x + y$
$6x - 17y = -3$ ... $(ii)$
समीकरणों को हल करने के लिए,समीकरण $(i)$ को $3$ से गुणा करें:
$6x - 21y = -15$ ... $(iii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(iii)$ को घटाने पर:
$(6x - 17y) - (6x - 21y) = -3 - (-15)$
$4y = 12$
$y = 3$
$y = 3$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$2x - 7(3) = -5$
$2x - 21 = -5$
$2x = 16$
$x = 8$
अतः,अभीष्ट संख्या $10x + y = 10(8) + 3 = 83$ है।
स्थिति $I$: अंकों के योग को $8$ से गुणा करके $5$ घटाने पर संख्या प्राप्त होती है:
$8(x + y) - 5 = 10x + y$
$8x + 8y - 5 = 10x + y$
$2x - 7y = -5$ ... $(i)$
स्थिति $II$: अंकों के अंतर को $16$ से गुणा करके $3$ जोड़ने पर संख्या प्राप्त होती है:
$16(x - y) + 3 = 10x + y$
$16x - 16y + 3 = 10x + y$
$6x - 17y = -3$ ... $(ii)$
समीकरणों को हल करने के लिए,समीकरण $(i)$ को $3$ से गुणा करें:
$6x - 21y = -15$ ... $(iii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(iii)$ को घटाने पर:
$(6x - 17y) - (6x - 21y) = -3 - (-15)$
$4y = 12$
$y = 3$
$y = 3$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$2x - 7(3) = -5$
$2x - 21 = -5$
$2x = 16$
$x = 8$
अतः,अभीष्ट संख्या $10x + y = 10(8) + 3 = 83$ है।
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DifficultMCQ
रेलवे की आधी टिकट की कीमत पूरे किराए की आधी होती है,लेकिन आधी टिकट और पूरी टिकट के लिए आरक्षण शुल्क (reservation charges) समान होते हैं। स्टेशन $A$ से $B$ तक एक आरक्षित प्रथम श्रेणी (first class) टिकट की कीमत $Rs. 2530$ है। साथ ही,स्टेशन $A$ से $B$ तक एक आरक्षित प्रथम श्रेणी टिकट और एक आरक्षित प्रथम श्रेणी आधी टिकट की कीमत $Rs. 3810$ है। स्टेशन $A$ से $B$ तक का प्रथम श्रेणी का पूरा किराया और प्रति टिकट आरक्षण शुल्क ज्ञात कीजिए (Rs. में)।
A
$30, 2500$
B
$2500, 30$
C
$2600, 45$
D
$50, 80$
Solution
(B) माना कि प्रथम श्रेणी का पूरा किराया $x$ है और प्रति टिकट आरक्षण शुल्क $y$ है।
स्थिति $I$: स्टेशन $A$ से $B$ तक एक आरक्षित प्रथम श्रेणी टिकट की कीमत $Rs. 2530$ है।
$x + y = 2530$ ... $(i)$
स्थिति $II$: स्टेशन $A$ से $B$ तक एक आरक्षित प्रथम श्रेणी टिकट और एक आरक्षित प्रथम श्रेणी आधी टिकट की कीमत $Rs. 3810$ है।
आधी टिकट की कीमत $\frac{x}{2} + y$ होगी।
अतः,$(x + y) + (\frac{x}{2} + y) = 3810$
$\frac{3x}{2} + 2y = 3810$
$3x + 4y = 7620$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ को $4$ से गुणा करने पर:
$4x + 4y = 10120$ ... $(iii)$
समीकरण $(iii)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(4x + 4y) - (3x + 4y) = 10120 - 7620$
$x = 2500$
$x = 2500$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$2500 + y = 2530$
$y = 30$
अतः,प्रथम श्रेणी का पूरा किराया $Rs. 2500$ है और आरक्षण शुल्क $Rs. 30$ है।
स्थिति $I$: स्टेशन $A$ से $B$ तक एक आरक्षित प्रथम श्रेणी टिकट की कीमत $Rs. 2530$ है।
$x + y = 2530$ ... $(i)$
स्थिति $II$: स्टेशन $A$ से $B$ तक एक आरक्षित प्रथम श्रेणी टिकट और एक आरक्षित प्रथम श्रेणी आधी टिकट की कीमत $Rs. 3810$ है।
आधी टिकट की कीमत $\frac{x}{2} + y$ होगी।
अतः,$(x + y) + (\frac{x}{2} + y) = 3810$
$\frac{3x}{2} + 2y = 3810$
$3x + 4y = 7620$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ को $4$ से गुणा करने पर:
$4x + 4y = 10120$ ... $(iii)$
समीकरण $(iii)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(4x + 4y) - (3x + 4y) = 10120 - 7620$
$x = 2500$
$x = 2500$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$2500 + y = 2530$
$y = 30$
अतः,प्रथम श्रेणी का पूरा किराया $Rs. 2500$ है और आरक्षण शुल्क $Rs. 30$ है।
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DifficultMCQ
एक दुकानदार एक साड़ी को $8 \%$ लाभ पर और एक स्वेटर को $10 \%$ छूट पर बेचता है,जिससे उसे $Rs. 1008$ प्राप्त होते हैं। यदि उसने साड़ी को $10 \%$ लाभ पर और स्वेटर को $8 \%$ छूट पर बेचा होता,तो उसे $Rs. 1028$ प्राप्त होते। साड़ी का क्रय मूल्य और स्वेटर का अंकित मूल्य (छूट से पहले की कीमत) ज्ञात कीजिए ($Rs.$ में)।
A
$200, 300$
B
$300, 400$
C
$600, 400$
D
$400, 600$
Solution
(C) माना साड़ी का क्रय मूल्य $Rs. x$ है और स्वेटर का अंकित मूल्य $Rs. y$ है।
स्थिति $I$: साड़ी को $8 \%$ लाभ पर और स्वेटर को $10 \%$ छूट पर बेचने पर,कुल राशि $= Rs. 1008$।
$1.08x + 0.90y = 1008$ --- $(i)$
स्थिति $II$: साड़ी को $10 \%$ लाभ पर और स्वेटर को $8 \%$ छूट पर बेचने पर,कुल राशि $= Rs. 1028$।
$1.10x + 0.92y = 1028$ --- $(ii)$
$y$ को विलुप्त करने के लिए समीकरण $(i)$ को $92$ से और $(ii)$ को $90$ से गुणा करने पर:
$99.36x + 82.8y = 92736$ --- $(iii)$
$99x + 82.8y = 92520$ --- $(iv)$
समीकरण $(iii)$ में से $(iv)$ को घटाने पर:
$0.36x = 216$
$x = 600$
$x = 600$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$1.08(600) + 0.9y = 1008$
$648 + 0.9y = 1008$
$0.9y = 360$
$y = 400$
अतः,साड़ी का क्रय मूल्य $Rs. 600$ और स्वेटर का अंकित मूल्य $Rs. 400$ है।
स्थिति $I$: साड़ी को $8 \%$ लाभ पर और स्वेटर को $10 \%$ छूट पर बेचने पर,कुल राशि $= Rs. 1008$।
$1.08x + 0.90y = 1008$ --- $(i)$
स्थिति $II$: साड़ी को $10 \%$ लाभ पर और स्वेटर को $8 \%$ छूट पर बेचने पर,कुल राशि $= Rs. 1028$।
$1.10x + 0.92y = 1028$ --- $(ii)$
$y$ को विलुप्त करने के लिए समीकरण $(i)$ को $92$ से और $(ii)$ को $90$ से गुणा करने पर:
$99.36x + 82.8y = 92736$ --- $(iii)$
$99x + 82.8y = 92520$ --- $(iv)$
समीकरण $(iii)$ में से $(iv)$ को घटाने पर:
$0.36x = 216$
$x = 600$
$x = 600$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$1.08(600) + 0.9y = 1008$
$648 + 0.9y = 1008$
$0.9y = 360$
$y = 400$
अतः,साड़ी का क्रय मूल्य $Rs. 600$ और स्वेटर का अंकित मूल्य $Rs. 400$ है।
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Difficult
सुज़ैन ने दो योजनाओं $A$ और $B$ में कुछ धनराशि का निवेश किया,जो क्रमशः $8 \%$ और $9 \%$ प्रति वर्ष की दर से ब्याज प्रदान करती हैं। उसे वार्षिक ब्याज के रूप में $Rs.\, 1860$ प्राप्त हुए। हालाँकि,यदि उसने दोनों योजनाओं में निवेश की गई राशि को आपस में बदल दिया होता,तो उसे वार्षिक ब्याज के रूप में $Rs.\, 20$ अधिक प्राप्त होते। उसने प्रत्येक योजना में कितनी धनराशि का निवेश किया?
Solution
(A) माना योजना $A$ और $B$ में निवेश की गई राशि क्रमशः $Rs.\, x$ और $Rs.\, y$ है।
$\text{स्थिति }\, I$: योजना $A$ पर $8 \%$ वार्षिक ब्याज + योजना $B$ पर $9 \%$ वार्षिक ब्याज = $1860$.
$\Rightarrow \frac{8x}{100} + \frac{9y}{100} = 1860 \Rightarrow 8x + 9y = 186000 \quad \dots(i)$
$\text{स्थिति }\, II$: यदि राशियों को आपस में बदल दिया जाए,तो ब्याज $1860 + 20 = 1880$ होगा।
$\Rightarrow \frac{9x}{100} + \frac{8y}{100} = 1880 \Rightarrow 9x + 8y = 188000 \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ को $8$ से और $(ii)$ को $9$ से गुणा करने पर:
$64x + 72y = 1488000 \quad \dots(iii)$
$81x + 72y = 1692000 \quad \dots(iv)$
समीकरण $(iv)$ में से $(iii)$ को घटाने पर:
$(81x - 64x) = 1692000 - 1488000$
$17x = 204000 \Rightarrow x = 12000$
$x = 12000$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$8(12000) + 9y = 186000$
$96000 + 9y = 186000$
$9y = 90000 \Rightarrow y = 10000$
अतः,उसने योजना $A$ में $Rs.\, 12000$ और योजना $B$ में $Rs.\, 10000$ का निवेश किया था।
$\text{स्थिति }\, I$: योजना $A$ पर $8 \%$ वार्षिक ब्याज + योजना $B$ पर $9 \%$ वार्षिक ब्याज = $1860$.
$\Rightarrow \frac{8x}{100} + \frac{9y}{100} = 1860 \Rightarrow 8x + 9y = 186000 \quad \dots(i)$
$\text{स्थिति }\, II$: यदि राशियों को आपस में बदल दिया जाए,तो ब्याज $1860 + 20 = 1880$ होगा।
$\Rightarrow \frac{9x}{100} + \frac{8y}{100} = 1880 \Rightarrow 9x + 8y = 188000 \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ को $8$ से और $(ii)$ को $9$ से गुणा करने पर:
$64x + 72y = 1488000 \quad \dots(iii)$
$81x + 72y = 1692000 \quad \dots(iv)$
समीकरण $(iv)$ में से $(iii)$ को घटाने पर:
$(81x - 64x) = 1692000 - 1488000$
$17x = 204000 \Rightarrow x = 12000$
$x = 12000$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$8(12000) + 9y = 186000$
$96000 + 9y = 186000$
$9y = 90000 \Rightarrow y = 10000$
अतः,उसने योजना $A$ में $Rs.\, 12000$ और योजना $B$ में $Rs.\, 10000$ का निवेश किया था।
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DifficultMCQ
विजय के पास कुछ केले थे,और उसने उन्हें दो भागों $A$ और $B$ में विभाजित किया। उसने पहले भाग को $3$ केले के $Rs. 2$ की दर से और दूसरे भाग को $1$ केला $Rs. 1$ की दर से बेचा,और कुल $Rs. 400$ प्राप्त किए। यदि उसने पहले भाग को $1$ केला $Rs. 1$ की दर से और दूसरे भाग को $5$ केले के $Rs. 4$ की दर से बेचा होता,तो उसकी कुल कमाई $Rs. 460$ होती। उसके पास केलों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए।
A
$500$
B
$550$
C
$575$
D
$475$
Solution
(A) माना कि भाग $A$ और $B$ में केलों की संख्या क्रमशः $x$ और $y$ है।
स्थिति $I$: पहले भाग की कीमत $3$ केले के $Rs. 2$ की दर से $+$ दूसरे भाग की कीमत $1$ केला $Rs. 1$ की दर से $=$ प्राप्त कुल राशि।
$\frac{2}{3}x + y = 400$
$2x + 3y = 1200 \dots (i)$
स्थिति $II$: पहले भाग की कीमत $1$ केला $Rs. 1$ की दर से $+$ दूसरे भाग की कीमत $5$ केले के $Rs. 4$ की दर से $=$ प्राप्त कुल राशि।
$x + \frac{4}{5}y = 460$
$5x + 4y = 2300 \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को $4$ से और समीकरण $(ii)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$8x + 12y = 4800$
$15x + 12y = 6900$
दूसरे समीकरण में से पहले को घटाने पर:
$(15x - 8x) + (12y - 12y) = 6900 - 4800$
$7x = 2100$
$x = 300$
अब,$x$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$2(300) + 3y = 1200$
$600 + 3y = 1200$
$3y = 600$
$y = 200$
केलों की कुल संख्या $= x + y = 300 + 200 = 500$.
स्थिति $I$: पहले भाग की कीमत $3$ केले के $Rs. 2$ की दर से $+$ दूसरे भाग की कीमत $1$ केला $Rs. 1$ की दर से $=$ प्राप्त कुल राशि।
$\frac{2}{3}x + y = 400$
$2x + 3y = 1200 \dots (i)$
स्थिति $II$: पहले भाग की कीमत $1$ केला $Rs. 1$ की दर से $+$ दूसरे भाग की कीमत $5$ केले के $Rs. 4$ की दर से $=$ प्राप्त कुल राशि।
$x + \frac{4}{5}y = 460$
$5x + 4y = 2300 \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को $4$ से और समीकरण $(ii)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$8x + 12y = 4800$
$15x + 12y = 6900$
दूसरे समीकरण में से पहले को घटाने पर:
$(15x - 8x) + (12y - 12y) = 6900 - 4800$
$7x = 2100$
$x = 300$
अब,$x$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$2(300) + 3y = 1200$
$600 + 3y = 1200$
$3y = 600$
$y = 200$
केलों की कुल संख्या $= x + y = 300 + 200 = 500$.
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Medium
एक दिन $2\,kg$ सेब और $1\,kg$ अंगूर का मूल्य Rs. $160$ था। एक महीने बाद,$4\,kg$ सेब और $2\,kg$ अंगूर का मूल्य Rs. $300$ हो जाता है। इस स्थिति को दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए।
Solution
(N/A) माना कि $1\,kg$ सेब का मूल्य Rs. $x$ है और $1\,kg$ अंगूर का मूल्य Rs. $y$ है।
प्रथम शर्त के अनुसार,$2\,kg$ सेब और $1\,kg$ अंगूर का कुल मूल्य Rs. $160$ है।
अतः,समीकरण है: $2x + y = 160$ $... (1)$
दूसरी शर्त के अनुसार,$4\,kg$ सेब और $2\,kg$ अंगूर का कुल मूल्य Rs. $300$ है।
अतः,समीकरण है: $4x + 2y = 300$ $... (2)$
इस प्रकार,दी गई स्थिति को निरूपित करने वाले दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म $2x + y = 160$ और $4x + 2y = 300$ है।
प्रथम शर्त के अनुसार,$2\,kg$ सेब और $1\,kg$ अंगूर का कुल मूल्य Rs. $160$ है।
अतः,समीकरण है: $2x + y = 160$ $... (1)$
दूसरी शर्त के अनुसार,$4\,kg$ सेब और $2\,kg$ अंगूर का कुल मूल्य Rs. $300$ है।
अतः,समीकरण है: $4x + 2y = 300$ $... (2)$
इस प्रकार,दी गई स्थिति को निरूपित करने वाले दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म $2x + y = 160$ और $4x + 2y = 300$ है।
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Medium
कुशान एक पुस्तक विक्रेता की दुकान पर गया और गणित $IX$ की $2$ पाठ्यपुस्तकें और गणित $X$ की $3$ पाठ्यपुस्तकें Rs. $250$ में खरीदीं। उसके मित्र राजन ने भी उसी प्रकार की गणित $IX$ की $4$ पाठ्यपुस्तकें और गणित $X$ की $6$ पाठ्यपुस्तकें Rs. $500$ में खरीदीं। इस स्थिति को दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म के रूप में निरूपित कीजिए।
Solution
माना कि गणित $IX$ की एक पाठ्यपुस्तक का मूल्य Rs. $x$ है और गणित $X$ की एक पाठ्यपुस्तक का मूल्य Rs. $y$ है।
कुशान ने गणित $IX$ की $2$ पाठ्यपुस्तकें और गणित $X$ की $3$ पाठ्यपुस्तकें खरीदीं। कुल मूल्य को $(2x + 3y)$ व्यंजक द्वारा दर्शाया गया है।
दिया गया है कि कुल मूल्य Rs. $250$ है,इसलिए:
$2x + 3y = 250$ ........ $(1)$
राजन ने गणित $IX$ की $4$ पाठ्यपुस्तकें और गणित $X$ की $6$ पाठ्यपुस्तकें खरीदीं। कुल मूल्य को $(4x + 6y)$ व्यंजक द्वारा दर्शाया गया है।
दिया गया है कि कुल मूल्य Rs. $500$ है,इसलिए:
$4x + 6y = 500$ ........ $(2)$
अतः,समीकरण $(1)$ और $(2)$ दी गई स्थिति को दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म के रूप में निरूपित करते हैं।
कुशान ने गणित $IX$ की $2$ पाठ्यपुस्तकें और गणित $X$ की $3$ पाठ्यपुस्तकें खरीदीं। कुल मूल्य को $(2x + 3y)$ व्यंजक द्वारा दर्शाया गया है।
दिया गया है कि कुल मूल्य Rs. $250$ है,इसलिए:
$2x + 3y = 250$ ........ $(1)$
राजन ने गणित $IX$ की $4$ पाठ्यपुस्तकें और गणित $X$ की $6$ पाठ्यपुस्तकें खरीदीं। कुल मूल्य को $(4x + 6y)$ व्यंजक द्वारा दर्शाया गया है।
दिया गया है कि कुल मूल्य Rs. $500$ है,इसलिए:
$4x + 6y = 500$ ........ $(2)$
अतः,समीकरण $(1)$ और $(2)$ दी गई स्थिति को दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म के रूप में निरूपित करते हैं।
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Medium
कक्षा $10$ की गणित की वार्षिक परीक्षा में देवरषि को महर्षि द्वारा प्राप्त अंकों से तीन गुना अंक मिले। उनके द्वारा प्राप्त अंकों का योग $150$ था। इस स्थिति को दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म के रूप में निरूपित कीजिए।
Solution
(N/A) मान लीजिए कि कक्षा $10$ की वार्षिक गणित परीक्षा में देवरषि के अंक $x$ हैं और महर्षि के अंक $y$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,देवरषि को महर्षि द्वारा प्राप्त अंकों से तीन गुना अंक मिले:
$x = 3y$
$\therefore x - 3y = 0$ .......... $(1)$
देवरषि और महर्षि द्वारा प्राप्त अंकों का योग $150$ है:
$x + y = 150$ .......... $(2)$
अतः,दी गई स्थिति को निरूपित करने वाले दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म है:
$x - 3y = 0$
$x + y = 150$
प्रश्न के अनुसार,देवरषि को महर्षि द्वारा प्राप्त अंकों से तीन गुना अंक मिले:
$x = 3y$
$\therefore x - 3y = 0$ .......... $(1)$
देवरषि और महर्षि द्वारा प्राप्त अंकों का योग $150$ है:
$x + y = 150$ .......... $(2)$
अतः,दी गई स्थिति को निरूपित करने वाले दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म है:
$x - 3y = 0$
$x + y = 150$
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Medium
दो लड़कियों की आयु का अनुपात $5:7$ है। आठ वर्ष पहले,उनकी आयु का अनुपात $7:13$ था। इस स्थिति को दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म के रूप में निरूपित कीजिए।
Solution
(N/A) मान लीजिए कि पहली लड़की की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है और दूसरी लड़की की वर्तमान आयु $y$ वर्ष है।
उनकी वर्तमान आयु का अनुपात $x:y = 5:7$ है।
इसका अर्थ है $\frac{x}{y} = \frac{5}{7}$,जिसे सरल करने पर $7x = 5y$ या $7x - 5y = 0$ प्राप्त होता है ......... $(1)$
आठ वर्ष पहले,पहली लड़की की आयु $(x - 8)$ वर्ष थी और दूसरी लड़की की आयु $(y - 8)$ वर्ष थी।
आठ वर्ष पहले उनकी आयु का अनुपात $(x - 8) : (y - 8) = 7 : 13$ था।
इसका अर्थ है $\frac{x - 8}{y - 8} = \frac{7}{13}$।
तिर्यक गुणा करने पर $13(x - 8) = 7(y - 8)$ प्राप्त होता है।
$13x - 104 = 7y - 56$।
$13x - 7y = 104 - 56$।
$13x - 7y = 48$ ......... $(2)$
अतः,दी गई स्थिति को निरूपित करने वाले दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म $7x - 5y = 0$ और $13x - 7y = 48$ है।
उनकी वर्तमान आयु का अनुपात $x:y = 5:7$ है।
इसका अर्थ है $\frac{x}{y} = \frac{5}{7}$,जिसे सरल करने पर $7x = 5y$ या $7x - 5y = 0$ प्राप्त होता है ......... $(1)$
आठ वर्ष पहले,पहली लड़की की आयु $(x - 8)$ वर्ष थी और दूसरी लड़की की आयु $(y - 8)$ वर्ष थी।
आठ वर्ष पहले उनकी आयु का अनुपात $(x - 8) : (y - 8) = 7 : 13$ था।
इसका अर्थ है $\frac{x - 8}{y - 8} = \frac{7}{13}$।
तिर्यक गुणा करने पर $13(x - 8) = 7(y - 8)$ प्राप्त होता है।
$13x - 104 = 7y - 56$।
$13x - 7y = 104 - 56$।
$13x - 7y = 48$ ......... $(2)$
अतः,दी गई स्थिति को निरूपित करने वाले दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म $7x - 5y = 0$ और $13x - 7y = 48$ है।
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एक आयताकार बगीचे की अर्ध-परिमाप $36 \, m$ है,जिसकी लंबाई उसकी चौड़ाई से $4 \, m$ अधिक है। इस स्थिति को दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म के रूप में निरूपित कीजिए।
Solution
(N/A) माना कि आयताकार बगीचे की लंबाई $x \, m$ और चौड़ाई $y \, m$ है।
प्रश्न के अनुसार,लंबाई उसकी चौड़ाई से $4 \, m$ अधिक है:
$x = y + 4$
$x - y = 4$ ...... $(1)$
आयताकार बगीचे का परिमाप $2(x + y)$ होता है।
अतः,अर्ध-परिमाप $\frac{2(x + y)}{2} = x + y$ होगा।
दिया गया है कि अर्ध-परिमाप $36 \, m$ है:
$x + y = 36$ ...... $(2)$
इस प्रकार,दी गई स्थिति को निरूपित करने वाले दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म हैं:
$x - y = 4$
$x + y = 36$
प्रश्न के अनुसार,लंबाई उसकी चौड़ाई से $4 \, m$ अधिक है:
$x = y + 4$
$x - y = 4$ ...... $(1)$
आयताकार बगीचे का परिमाप $2(x + y)$ होता है।
अतः,अर्ध-परिमाप $\frac{2(x + y)}{2} = x + y$ होगा।
दिया गया है कि अर्ध-परिमाप $36 \, m$ है:
$x + y = 36$ ...... $(2)$
इस प्रकार,दी गई स्थिति को निरूपित करने वाले दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म हैं:
$x - y = 4$
$x + y = 36$
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Medium
एक दुकानदार $4$ पैंट और $3$ शर्ट $5000$ रुपये में बेचता है। एक पैंट और एक शर्ट की जोड़ी की कीमत $750$ रुपये है। इस स्थिति को दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म के रूप में निरूपित कीजिए।
Solution
(N/A) माना कि एक पैंट की कीमत $x$ है और एक शर्ट की कीमत $y$ है।
पहली शर्त के अनुसार,$4$ पैंट और $3$ शर्ट की कुल कीमत $5000$ रुपये है,जिसे $4x + 3y = 5000$ के रूप में निरूपित किया जा सकता है।
दूसरी शर्त के अनुसार,एक पैंट और एक शर्ट की कीमत $750$ रुपये है,जिसे $x + y = 750$ के रूप में निरूपित किया जा सकता है।
अतः,दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म $4x + 3y = 5000$ और $x + y = 750$ है।
पहली शर्त के अनुसार,$4$ पैंट और $3$ शर्ट की कुल कीमत $5000$ रुपये है,जिसे $4x + 3y = 5000$ के रूप में निरूपित किया जा सकता है।
दूसरी शर्त के अनुसार,एक पैंट और एक शर्ट की कीमत $750$ रुपये है,जिसे $x + y = 750$ के रूप में निरूपित किया जा सकता है।
अतः,दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म $4x + 3y = 5000$ और $x + y = 750$ है।
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MediumMCQ
एक पिता और उसके पुत्र का कुल वजन $70 \, kg$ है। पुत्र का वजन उसके पिता के वजन का छठा हिस्सा है। पिता और पुत्र का वजन ज्ञात कीजिए।
A
पिता: $60 \, kg$,पुत्र: $10 \, kg$
B
पिता: $50 \, kg$,पुत्र: $20 \, kg$
C
पिता: $55 \, kg$,पुत्र: $15 \, kg$
D
पिता: $65 \, kg$,पुत्र: $5 \, kg$
Solution
(A) माना पिता का वजन $x \, kg$ है और पुत्र का वजन $y \, kg$ है।
प्रश्न के अनुसार,कुल वजन $x + y = 70$ है (समीकरण $1$)।
पुत्र का वजन पिता के वजन का छठा हिस्सा है,इसलिए $y = \frac{1}{6}x$,जिसका अर्थ है $x = 6y$ या $x - 6y = 0$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ में $x = 6y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$6y + y = 70$
$7y = 70$
$y = 10 \, kg$.
अब,$y = 10$ को $x = 6y$ में रखने पर:
$x = 6 \times 10 = 60 \, kg$.
अतः,पिता का वजन $60 \, kg$ और पुत्र का वजन $10 \, kg$ है।
प्रश्न के अनुसार,कुल वजन $x + y = 70$ है (समीकरण $1$)।
पुत्र का वजन पिता के वजन का छठा हिस्सा है,इसलिए $y = \frac{1}{6}x$,जिसका अर्थ है $x = 6y$ या $x - 6y = 0$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ में $x = 6y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$6y + y = 70$
$7y = 70$
$y = 10 \, kg$.
अब,$y = 10$ को $x = 6y$ में रखने पर:
$x = 6 \times 10 = 60 \, kg$.
अतः,पिता का वजन $60 \, kg$ और पुत्र का वजन $10 \, kg$ है।
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View Solution93
MediumMCQ
दो धनात्मक संख्याओं का योग $25$ है। छोटी संख्या का पाँच गुना,बड़ी संख्या के तीन गुने से $5$ अधिक है। इसे दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म के रूप में निरूपित कीजिए।
A
Let the larger number be $x$ and the smaller number be $y$. The equations are $x+y=25$ and $5y=3x+5$.
B
Let the larger number be $x$ and the smaller number be $y$. The equations are $x+y=25$ and $3x-5y=5$.
C
Let the larger number be $x$ and the smaller number be $y$. The equations are $x+y=25$ and $5y-3x=5$.
D
Let the larger number be $x$ and the smaller number be $y$. The equations are $x+y=25$ and $3x+5y=5$.
Solution
(B) माना कि बड़ी संख्या $x$ है और छोटी संख्या $y$ है।
पहली शर्त के अनुसार,दो संख्याओं का योग $25$ है,इसलिए:
$x+y=25$ --- $(1)$
दूसरी शर्त के अनुसार,छोटी संख्या का पाँच गुना $(5y)$,बड़ी संख्या के तीन गुने $(3x)$ से $5$ अधिक है:
$5y = 3x + 5$
पदों को मानक रूप $(ax+by+c=0)$ में व्यवस्थित करने पर:
$3x - 5y + 5 = 0$ --- $(2)$
अतः,रैखिक समीकरणों का युग्म $x+y=25$ और $3x-5y+5=0$ है।
पहली शर्त के अनुसार,दो संख्याओं का योग $25$ है,इसलिए:
$x+y=25$ --- $(1)$
दूसरी शर्त के अनुसार,छोटी संख्या का पाँच गुना $(5y)$,बड़ी संख्या के तीन गुने $(3x)$ से $5$ अधिक है:
$5y = 3x + 5$
पदों को मानक रूप $(ax+by+c=0)$ में व्यवस्थित करने पर:
$3x - 5y + 5 = 0$ --- $(2)$
अतः,रैखिक समीकरणों का युग्म $x+y=25$ और $3x-5y+5=0$ है।
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MediumMCQ
पुत्र और पिता की आयु के व्युत्क्रमों का योग और अंतर क्रमशः $\frac{5}{40}$ और $\frac{3}{40}$ है। इसे दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म के रूप में निरूपित कीजिए,जहाँ $x$ पुत्र की आयु है और $y$ पिता की आयु है।
A
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{40}, \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{3}{40}$
B
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{40}, \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{5}{40}$
C
$x + y = \frac{5}{40}, x - y = \frac{3}{40}$
D
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{40}{5}, \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{40}{3}$
Solution
(A) माना पुत्र की आयु $x$ है और पिता की आयु $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,उनकी आयु के व्युत्क्रम $\frac{1}{x}$ और $\frac{1}{y}$ हैं।
व्युत्क्रमों का योग $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{40}$ दिया गया है।
व्युत्क्रमों का अंतर $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{3}{40}$ दिया गया है।
अतः,दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{40}$ और $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{3}{40}$ है।
प्रश्न के अनुसार,उनकी आयु के व्युत्क्रम $\frac{1}{x}$ और $\frac{1}{y}$ हैं।
व्युत्क्रमों का योग $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{40}$ दिया गया है।
व्युत्क्रमों का अंतर $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{3}{40}$ दिया गया है।
अतः,दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{40}$ और $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{3}{40}$ है।
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MediumMCQ
एक आयत में,लंबाई उसकी चौड़ाई के दोगुने से $3$ कम है। आयत का परिमाप $100$ है। इस स्थिति को दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म के रूप में निरूपित कीजिए।
A
$x - 2y + 3 = 0, x + y = 50$
B
$x - 2y - 3 = 0, x + y = 50$
C
$x + 2y - 3 = 0, x + y = 100$
D
$x - 2y + 3 = 0, x + y = 100$
Solution
(A) माना आयत की लंबाई $x$ है और चौड़ाई $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,लंबाई चौड़ाई के दोगुने से $3$ कम है,इसलिए $x = 2y - 3$,जिसे $x - 2y + 3 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
आयत का परिमाप $2(x + y) = 100$ होता है।
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $x + y = 50$ प्राप्त होता है।
अतः,दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म $x - 2y + 3 = 0$ और $x + y = 50$ है।
प्रश्न के अनुसार,लंबाई चौड़ाई के दोगुने से $3$ कम है,इसलिए $x = 2y - 3$,जिसे $x - 2y + 3 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
आयत का परिमाप $2(x + y) = 100$ होता है।
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $x + y = 50$ प्राप्त होता है।
अतः,दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म $x - 2y + 3 = 0$ और $x + y = 50$ है।
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View Solution96
MediumMCQ
एक माँ अपने बेटे से कहती है,"पाँच साल पहले,मैं तुम्हारी उम्र से पाँच गुना बड़ी थी। दस साल बाद,मैं तुम्हारी उम्र से दो गुना बड़ी हो जाऊँगी।" इस स्थिति को दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म के रूप में निरूपित कीजिए।
A
$x - 5y + 20 = 0$ और $x - 2y - 30 = 0$
B
$x - 5y + 28 = 0$ और $x - 2y - 30 = 0$
C
$x - 5y + 20 = 0$ और $x - 2y - 10 = 0$
D
$x - 5y + 28 = 0$ और $x - 2y - 3 = 0$
Solution
(C) माना कि माँ की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है और बेटे की वर्तमान आयु $y$ वर्ष है।
स्थिति $1$: पाँच साल पहले,माँ की आयु $(x - 5)$ थी और बेटे की आयु $(y - 5)$ थी।
प्रश्न के अनुसार: $(x - 5) = 5(y - 5)$
$x - 5 = 5y - 25$
$x - 5y + 20 = 0$
स्थिति $2$: दस साल बाद,माँ की आयु $(x + 10)$ होगी और बेटे की आयु $(y + 10)$ होगी।
प्रश्न के अनुसार: $(x + 10) = 2(y + 10)$
$x + 10 = 2y + 20$
$x - 2y - 10 = 0$
अतः,दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म $x - 5y + 20 = 0$ और $x - 2y - 10 = 0$ है।
स्थिति $1$: पाँच साल पहले,माँ की आयु $(x - 5)$ थी और बेटे की आयु $(y - 5)$ थी।
प्रश्न के अनुसार: $(x - 5) = 5(y - 5)$
$x - 5 = 5y - 25$
$x - 5y + 20 = 0$
स्थिति $2$: दस साल बाद,माँ की आयु $(x + 10)$ होगी और बेटे की आयु $(y + 10)$ होगी।
प्रश्न के अनुसार: $(x + 10) = 2(y + 10)$
$x + 10 = 2y + 20$
$x - 2y - 10 = 0$
अतः,दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म $x - 5y + 20 = 0$ और $x - 2y - 10 = 0$ है।
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View Solution97
MediumMCQ
प्रशांत $2$ मोबाइल और $3$ मेमोरी कार्ड Rs. $6500$ में खरीदता है। एक मोबाइल और एक मेमोरी कार्ड की कीमत Rs. $2950$ है। इसे दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म के रूप में निरूपित कीजिए।
A
$2x + 3y = 6500, x + y = 2950$
B
$3x + 2y = 6500, x + y = 2950$
C
$2x + 3y = 2950, x + y = 6500$
D
$x + y = 6500, 2x + 3y = 2950$
Solution
(A) माना कि एक मोबाइल की कीमत $x$ है और एक मेमोरी कार्ड की कीमत $y$ है।
पहली शर्त के अनुसार,$2$ मोबाइल और $3$ मेमोरी कार्ड की कुल कीमत Rs. $6500$ है,जिसे समीकरण के रूप में $2x + 3y = 6500$ लिखा जा सकता है।
दूसरी शर्त के अनुसार,एक मोबाइल और एक मेमोरी कार्ड की कुल कीमत Rs. $2950$ है,जिसे समीकरण के रूप में $x + y = 2950$ लिखा जा सकता है।
अतः,दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म $2x + 3y = 6500$ और $x + y = 2950$ है।
पहली शर्त के अनुसार,$2$ मोबाइल और $3$ मेमोरी कार्ड की कुल कीमत Rs. $6500$ है,जिसे समीकरण के रूप में $2x + 3y = 6500$ लिखा जा सकता है।
दूसरी शर्त के अनुसार,एक मोबाइल और एक मेमोरी कार्ड की कुल कीमत Rs. $2950$ है,जिसे समीकरण के रूप में $x + y = 2950$ लिखा जा सकता है।
अतः,दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म $2x + 3y = 6500$ और $x + y = 2950$ है।
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MediumMCQ
गणित की वार्षिक परीक्षा में राज ने नील द्वारा प्राप्त अंकों के $\frac{3}{4}$ गुना अंक प्राप्त किए। उनके अंकों का योग $140$ है। इसे दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म के रूप में निरूपित कीजिए।
A
Let $x$ be the marks of Raj and $y$ be the marks of Nil.
B
The equations are $x = \frac{3}{4}y$ and $x + y = 140$.
C
The equations are $3x - 4y = 0$ and $x + y = 140$.
D
The equations are $4x - 3y = 0$ and $x + y = 140$.
Solution
(D) माना राज द्वारा प्राप्त अंक $x$ हैं और नील द्वारा प्राप्त अंक $y$ हैं।
पहली शर्त के अनुसार,राज ने नील के अंकों का $\frac{3}{4}$ गुना प्राप्त किया,इसलिए $x = \frac{3}{4}y$,जिसे सरल करने पर $4x = 3y$ या $4x - 3y = 0$ प्राप्त होता है।
दूसरी शर्त के अनुसार,उनके अंकों का योग $140$ है,इसलिए $x + y = 140$.
अतः,दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म $4x - 3y = 0$ और $x + y = 140$ है।
पहली शर्त के अनुसार,राज ने नील के अंकों का $\frac{3}{4}$ गुना प्राप्त किया,इसलिए $x = \frac{3}{4}y$,जिसे सरल करने पर $4x = 3y$ या $4x - 3y = 0$ प्राप्त होता है।
दूसरी शर्त के अनुसार,उनके अंकों का योग $140$ है,इसलिए $x + y = 140$.
अतः,दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म $4x - 3y = 0$ और $x + y = 140$ है।
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Medium
$3 \,kg$ आम और $1 \,kg$ अनार की कुल कीमत $200$ रुपये है और $1 \,kg$ आम और $1 \,kg$ अनार की कुल कीमत $80$ रुपये है। इस स्थिति को दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म के रूप में निरूपित कीजिए।
Solution
(N/A) माना कि $1 \,kg$ आम की कीमत $x$ है और $1 \,kg$ अनार की कीमत $y$ है।
पहली शर्त के अनुसार: $3x + y = 200$।
दूसरी शर्त के अनुसार: $x + y = 80$।
अतः,दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म $3x + y = 200$ और $x + y = 80$ है।
पहली शर्त के अनुसार: $3x + y = 200$।
दूसरी शर्त के अनुसार: $x + y = 80$।
अतः,दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म $3x + y = 200$ और $x + y = 80$ है।
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Medium
$7$ पेन और $5$ पेंसिल का कुल मूल्य $50$ रुपये है और $5$ पेन और $7$ पेंसिल का कुल मूल्य $46$ रुपये है। इसे दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म के रूप में निरूपित कीजिए।
Solution
(A) माना कि एक पेन का मूल्य $x$ है और एक पेंसिल का मूल्य $y$ है।
पहली शर्त के अनुसार,$7$ पेन और $5$ पेंसिल का कुल मूल्य $50$ रुपये है,जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $7x + 5y = 50$.
दूसरी शर्त के अनुसार,$5$ पेन और $7$ पेंसिल का कुल मूल्य $46$ रुपये है,जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $5x + 7y = 46$.
अतः,दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म है:
$7x + 5y = 50$
$5x + 7y = 46$
पहली शर्त के अनुसार,$7$ पेन और $5$ पेंसिल का कुल मूल्य $50$ रुपये है,जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $7x + 5y = 50$.
दूसरी शर्त के अनुसार,$5$ पेन और $7$ पेंसिल का कुल मूल्य $46$ रुपये है,जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $5x + 7y = 46$.
अतः,दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म है:
$7x + 5y = 50$
$5x + 7y = 46$
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View SolutionPair of Linear Equations in Two Variables — Mix Examples - Pair of Linear Equations in Two Variables · Frequently Asked Questions
1Are these Pair of Linear Equations in Two Variables questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
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