Mix Examples - Pair of Linear Equations in Two Variables Questions in Hindi

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$5x - 15y = 8$ --- $(1)$
$3x - 9y = \frac{24}{5}$ --- $(2)$
इनकी तुलना मानक रूप $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ से करने पर:
$a_1 = 5, b_1 = -15, c_1 = 8$
$a_2 = 3, b_2 = -9, c_2 = \frac{24}{5}$
अब,अनुपातों की गणना करते हैं:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-15}{-9} = \frac{5}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{8}{24/5} = \frac{8 \times 5}{24} = \frac{40}{24} = \frac{5}{3}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{5}{3}$ है,इसलिए रेखाएं संपाती हैं।
अतः,समीकरणों के इस युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

(B) माना कि दहाई का अंक $x$ है और इकाई का अंक $y$ है। संख्या $10x + y$ है।
प्रश्न के अनुसार,अंकों का योग $x + y = 9$ है (समीकरण $1$)।
जब संख्या में $27$ जोड़ा जाता है,तो अंक उलट जाते हैं,इसलिए नई संख्या $10y + x$ हो जाती है।
अतः,$(10x + y) + 27 = 10y + x$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $10x - x + y - 10y = -27$,जो सरल होकर $9x - 9y = -27$ बनता है।
$9$ से भाग देने पर,हमें $x - y = -3$ प्राप्त होता है (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर: $(x + y) + (x - y) = 9 + (-3)$,जिससे $2x = 6$ प्राप्त होता है,अतः $x = 3$।
$x = 3$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $3 + y = 9$,अतः $y = 6$।
अतः,वह संख्या $10(3) + 6 = 36$ है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$6x - 3y + 10 = 0$ ... $(1)$
$2x - y + 9 = 0$ ... $(2)$
इन्हें व्यापक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_1 = 6, b_1 = -3, c_1 = 10$
$a_2 = 2, b_2 = -1, c_2 = 9$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{6}{2} = 3$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-1} = 3$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{10}{9}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए ये रेखाएं एक-दूसरे के समांतर हैं और कहीं भी प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

(D) दिए गए समीकरण $x + 2y + 5 = 0$ और $-3x - 6y + 1 = 0$ हैं।
इन्हें मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = 5$
$a_2 = -3, b_2 = -6, c_2 = 1$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{5}{1} = 5$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएं समांतर हैं।
अतः,समीकरणों के इस युग्म का कोई हल नहीं है।

(A) रैखिक समीकरणों के एक युग्म को संगत कहा जाता है यदि उसका कम से कम एक हल हो।
$1$. यदि रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,तो निकाय का एक अद्वितीय हल होता है,और इसकी शर्त $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ है।
$2$. यदि रेखाएँ संपाती हैं,तो निकाय के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं,और इसकी शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
चूंकि दोनों स्थितियों में कम से कम एक हल प्राप्त होता है,इसलिए रेखाएँ या तो प्रतिच्छेदी होंगी या संपाती।

(B) दिए गए समीकरणों का युग्म $y=0$ और $y=-7$ है।
$y=0$ $x$-अक्ष को दर्शाता है।
$y=-7$ $x$-अक्ष के समांतर एक रेखा को दर्शाता है जो उससे $7$ इकाई नीचे स्थित है।
चूंकि दोनों रेखाएं एक-दूसरे के समांतर हैं,इसलिए वे कभी भी प्रतिच्छेद नहीं करेंगी।
अतः,समीकरणों के इस युग्म का कोई हल नहीं है।

(C) समीकरण $x=a$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा को दर्शाता है जो $y$-अक्ष के समांतर है और $x$-अक्ष पर बिंदु $(a, 0)$ से होकर गुजरती है।
समीकरण $y=b$ एक क्षैतिज रेखा को दर्शाता है जो $x$-अक्ष के समांतर है और $y$-अक्ष पर बिंदु $(0, b)$ से होकर गुजरती है।
जब इन दोनों रेखाओं को एक ही कार्तीय तल पर आलेखित किया जाता है,तो ऊर्ध्वाधर रेखा $x=a$ और क्षैतिज रेखा $y=b$ एक-दूसरे को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु का $x$-निर्देशांक $a$ है और $y$-निर्देशांक $b$ है।
अतः,ये रेखाएँ बिंदु $(a, b)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।

(D) दो रेखाओं $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के संपाती होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण $3x - y + 8 = 0$ और $6x - ky + 16 = 0$ हैं।
मानक रूप से तुलना करने पर,$a_1 = 3, b_1 = -1, c_1 = 8$ और $a_2 = 6, b_2 = -k, c_2 = 16$ प्राप्त होते हैं।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$\frac{3}{6} = \frac{-1}{-k} = \frac{8}{16}$.
अनुपातों को सरल करने पर:
$\frac{1}{2} = \frac{1}{k} = \frac{1}{2}$.
$\frac{1}{k} = \frac{1}{2}$ से,हमें $k = 2$ प्राप्त होता है।

(A) दो रेखाओं $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के समांतर होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण:
$3x + 2ky - 2 = 0$
$2x + 5y + 1 = 0$
यहाँ,$a_1 = 3, b_1 = 2k, c_1 = -2$ और $a_2 = 2, b_2 = 5, c_2 = 1$ है।
रेखाओं के समांतर होने के लिए,$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ होना चाहिए।
मान रखने पर,हमें $\frac{3}{2} = \frac{2k}{5}$ प्राप्त होता है।
वज्र-गुणन करने पर,$3 \times 5 = 2 \times 2k$,जिसका अर्थ है $15 = 4k$।
अतः,$k = \frac{15}{4}$।

(B) रैखिक समीकरणों के युग्म $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के अपरिमित रूप से अनेक हल होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण $cx - y - 2 = 0$ और $6x - 2y - 3 = 0$ हैं।
यहाँ,$a_1 = c, b_1 = -1, c_1 = -2$ और $a_2 = 6, b_2 = -2, c_2 = -3$ है।
शर्त लागू करने पर: $\frac{c}{6} = \frac{-1}{-2} = \frac{-2}{-3}$।
यह $\frac{c}{6} = \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $\frac{1}{2} \neq \frac{2}{3}$,इसलिए $c$ का कोई ऐसा मान नहीं है जो दोनों समानताओं को एक साथ संतुष्ट करे।
अतः,$c$ के किसी भी मान के लिए समीकरणों के इस युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल नहीं होंगे।

(C) रैखिक समीकरणों के एक युग्म के आश्रित होने के लिए,उन्हें एक ही रेखा का प्रतिनिधित्व करना चाहिए,जिसका अर्थ है कि उनके गुणांक समानुपाती होने चाहिए: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k$।
दिया गया समीकरण: $-5x + 7y - 2 = 0$।
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a_1 = -5, b_1 = 7, c_1 = -2$ प्राप्त होता है।
दूसरे समीकरण के लिए,हम दिए गए समीकरण को एक स्थिरांक $k$ से गुणा करते हैं। मान लीजिए $k = 2$:
$2(-5x + 7y - 2) = 2(0)$
$-10x + 14y - 4 = 0$
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $10x - 14y + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना विकल्प $(C)$ से करने पर: $10x - 14y = -4$ समीकरण $10x - 14y + 4 = 0$ के समतुल्य है।

(C) यदि किसी रैखिक समीकरण युग्म का अद्वितीय हल $(x=2, y=-3)$ है,तो ये मान दोनों समीकरणों को संतुष्ट करने चाहिए।
आइए विकल्पों की जाँच करें:
विकल्प $(A): x+y=1 \implies 2+(-3) = -1 \neq 1$. (गलत)
विकल्प $(B): 2x-y=1 \implies 2(2)-(-3) = 4+3 = 7 \neq 1$. (गलत)
विकल्प $(C): x-4y-14=0 \implies 2-4(-3)-14 = 2+12-14 = 0$. (संतुष्ट)
$5x-y-13=0 \implies 5(2)-(-3)-13 = 10+3-13 = 0$. (संतुष्ट)
चूंकि विकल्प $(C)$ के दोनों समीकरण $(x=2, y=-3)$ द्वारा संतुष्ट होते हैं और रेखाएं संपाती नहीं हैं,इसलिए हल अद्वितीय है।
नोट: विकल्प $(D)$ संपाती रेखाओं को दर्शाता है,जिनके अनंत हल होते हैं,न कि अद्वितीय।

(A) दिया गया है कि $(x=a, y=b)$ रैखिक समीकरणों के निकाय का हल है:
$x-y=2$ $\cdots$ $(i)$
$x+y=4$ $\cdots$ $(ii)$
चूंकि $(a, b)$ दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है,इसलिए हम $x=a$ और $y=b$ को समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं:
$a-b=2$ $\cdots$ $(iii)$
$a+b=4$ $\cdots$ $(iv)$
समीकरण $(iii)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर:
$(a-b) + (a+b) = 2 + 4$
$2a = 6$
$a = 3$
अब $a=3$ का मान समीकरण $(iv)$ में रखने पर:
$3 + b = 4$
$b = 4 - 3$
$b = 1$
अतः,$a$ और $b$ के मान क्रमशः $3$ और $1$ हैं।

(B) माना $Rs. 1$ के सिक्कों की संख्या $x$ है और $Rs. 2$ के सिक्कों की संख्या $y$ है।
दी गई शर्तों के अनुसार,सिक्कों की कुल संख्या $50$ है,इसलिए $x + y = 50$ (समीकरण $i$)।
कुल राशि $Rs. 75$ है,इसलिए $1x + 2y = 75$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण $ii$ में से समीकरण $i$ को घटाने पर:
$(x + 2y) - (x + y) = 75 - 50$
$y = 25$।
अब,$y = 25$ का मान समीकरण $i$ में रखने पर:
$x + 25 = 50$
$x = 25$।
अतः,$Rs. 1$ के सिक्कों की संख्या $25$ है और $Rs. 2$ के सिक्कों की संख्या $25$ है।

(C) माना पिता की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है और पुत्र की वर्तमान आयु $y$ वर्ष है।
पहली शर्त के अनुसार,पिता की आयु पुत्र की आयु की छह गुनी है:
$x = 6y$ --- $(i)$
दूसरी शर्त के अनुसार,चार वर्ष बाद,पिता की आयु पुत्र की आयु की चार गुनी होगी:
$(x + 4) = 4(y + 4)$
$x + 4 = 4y + 16$
$x - 4y = 12$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ से $x$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$6y - 4y = 12$
$2y = 12$
$y = 6$
अब,$y = 6$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$x = 6(6) = 36$
अतः,पुत्र की वर्तमान आयु $6$ वर्ष और पिता की वर्तमान आयु $36$ वर्ष है।

(A) हाँ,यह सत्य है।
दिए गए समीकरण हैं:
$1) -x + 2y + 2 = 0$
$2) \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}y - 1 = 0$
इनकी तुलना मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से करने पर:
$a_1 = -1, b_1 = 2, c_1 = 2$
$a_2 = \frac{1}{2}, b_2 = -\frac{1}{4}, c_2 = -1$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{-1}{1/2} = -2$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{-1/4} = -8$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (अर्थात $-2 \neq -8$),इसलिए समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$4x + 3y - 1 = 5 \implies 4x + 3y = 6$
$12x + 9y = 15$
इन समीकरणों की तुलना मानक रूप $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ से करने पर:
$a_1 = 4, b_1 = 3, c_1 = 6$
$a_2 = 12, b_2 = 9, c_2 = 15$
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$
चूँकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए ये रेखाएँ समांतर हैं और संपाती नहीं हैं। अतः,उत्तर 'नहीं' है।

(A) दिए गए समीकरण $x+2y-3=0$ और $3x+6y-9=0$ हैं।
इन्हें मानक रूप $a_1x+b_1y+c_1=0$ और $a_2x+b_2y+c_2=0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_1=1, b_1=2, c_1=-3$
$a_2=3, b_2=6, c_2=-9$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए रेखाएं संपाती हैं।
अतः,समीकरणों के इस युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं और यह संगत है।

(B) रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल न होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण हैं:
$2x + 4y - 3 = 0$
$x - 2y = 0$
यहाँ,$a_1 = 2, b_1 = 4, c_1 = -3$ और $a_2 = 1, b_2 = -2, c_2 = 0$ है।
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{1} = 2$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{4}{-2} = -2$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ $(2 \neq -2)$,रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है,'कोई हल नहीं' नहीं है।

(B) रैखिक समीकरण युग्म $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के लिए कोई हल न होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण हैं:
$6x + y - 6 = 0$ --- $(i)$
$2x - y = 0$ --- $(ii)$
यहाँ,$a_1 = 6, b_1 = 1, c_1 = -6$ और $a_2 = 2, b_2 = -1, c_2 = 0$ है।
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{6}{2} = 3$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-1} = -1$
चूँकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ $(3 \neq -1)$,इसलिए ये रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है,'कोई हल नहीं' नहीं है।

(B) नहीं,दिए गए समीकरण युग्म इस प्रकार हैं:
$3x + y - 3 = 0$ और $2x + \frac{2}{3}y - 2 = 0$
यहाँ,गुणांक इस प्रकार हैं:
$a_1 = 3, b_1 = 1, c_1 = -3$
$a_2 = 2, b_2 = \frac{2}{3}, c_2 = -2$
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$
चूँकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{3}{2}$ है,इसलिए रेखाएँ संपाती हैं।
अतः,दिए गए रैखिक समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं,न कि कोई हल नहीं।

(B) दो रेखाओं के संपाती होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म:
$3x + \frac{1}{7}y - 3 = 0$
$7x + 3y - 7 = 0$
यहाँ,गुणांक इस प्रकार हैं:
$a_1 = 3, b_1 = \frac{1}{7}, c_1 = -3$
$a_2 = 7, b_2 = 3, c_2 = -7$
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{7}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1/7}{3} = \frac{1}{21}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-7} = \frac{3}{7}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ है,इसलिए रेखाएं संपाती नहीं हैं। वे एक अद्वितीय बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

(A) दो रेखाओं के संपाती होने की शर्त उनके गुणांकों के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
सबसे पहले,दिए गए समीकरणों को मानक रूप $ax + by + c = 0$ में लिखें:
$1) -2x - 3y - 1 = 0$
$2) 4x + 6y + 2 = 0$
यहाँ,गुणांक हैं:
$a_1 = -2, b_1 = -3, c_1 = -1$
$a_2 = 4, b_2 = 6, c_2 = 2$
अब,अनुपातों की गणना करें:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$
चूँकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = -\frac{1}{2}$,इसलिए दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म संपाती रेखाओं को निरूपित करता है।

(N/A) दो रेखाओं $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के संपाती होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण हैं:
$1) \frac{1}{2}x + 1y + \frac{2}{5} = 0$
$2) 4x + 8y + \frac{5}{16} = 0$
यहाँ,$a_1 = \frac{1}{2}, b_1 = 1, c_1 = \frac{2}{5}$ और $a_2 = 4, b_2 = 8, c_2 = \frac{5}{16}$ है।
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1/2}{4} = \frac{1}{8}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{8}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{2/5}{5/16} = \frac{2}{5} \times \frac{16}{5} = \frac{32}{25}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए रेखाएं समांतर हैं,संपाती नहीं। अतः,दिए गए समीकरण संपाती रेखाओं का युग्म निरूपित नहीं करते हैं।

(B) रैखिक समीकरण युग्म संगत तब होता है जब उसका कम से कम एक हल हो। यह निम्नलिखित स्थितियों में होता है:
$1$. $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (अद्वितीय हल)
$2$. $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ (अपरिमित रूप से अनेक हल)
दिए गए समीकरण:
$-3x - 4y - 12 = 0$
$3x + 4y - 12 = 0$
यहाँ,$a_1 = -3, b_1 = -4, c_1 = -12$ और $a_2 = 3, b_2 = 4, c_2 = -12$ है।
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{-3}{3} = -1$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-4}{4} = -1$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-12}{-12} = 1$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए रेखाएं समांतर हैं और एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।
अतः,रैखिक समीकरणों का यह युग्म असंगत है।

(A) रैखिक समीकरणों का एक युग्म संगत होता है यदि उसका कम से कम एक हल हो। इसकी शर्तें हैं:
$1$. $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (अद्वितीय हल)
$2$. $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ (अपरिमित रूप से अनेक हल)
दिए गए समीकरण:
$Eq_1: \frac{3}{5} x - y - \frac{1}{2} = 0$
$Eq_2: \frac{1}{5} x - 3 y - \frac{1}{6} = 0$
$a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ और $a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = \frac{3}{5}, b_1 = -1, c_1 = -\frac{1}{2}$
$a_2 = \frac{1}{5}, b_2 = -3, c_2 = -\frac{1}{6}$
अनुपातों की गणना:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3/5}{1/5} = 3$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ $(3 \neq \frac{1}{3})$,इसलिए निकाय का एक अद्वितीय हल है।
अतः,दिया गया रैखिक समीकरण युग्म संगत है।

(A) रैखिक समीकरणों का एक युग्म संगत होता है यदि उसका कम से कम एक हल हो। इसकी शर्तें निम्नलिखित हैं:
$1$. $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (अद्वितीय हल)
$2$. $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ (अपरिमित रूप से अनेक हल)
दिए गए समीकरण:
$2ax + by - a = 0$
$4ax + 2by - 2a = 0$
यहाँ,$a_1 = 2a, b_1 = b, c_1 = -a$ और $a_2 = 4a, b_2 = 2b, c_2 = -2a$ है।
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2a}{4a} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{b}{2b} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-a}{-2a} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{2}$ है,इसलिए इस निकाय के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। अतः,रैखिक समीकरणों का यह युग्म संगत है।

(B) रैखिक समीकरणों का एक युग्म संगत होता है यदि उसका कम से कम एक हल हो। यह तब होता है जब:
$1$. $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (अद्वितीय हल)
$2$. $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ (अपरिमित रूप से अनेक हल)
दिए गए समीकरण:
$x + 3y = 11$ (समीकरण $1$)
$2(2x + 6y) = 22 \implies 4x + 12y = 22 \implies 2x + 6y = 11$ (समीकरण $2$)
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
समीकरण $1$ के लिए: $a_1 = 1, b_1 = 3, c_1 = -11$
समीकरण $2$ के लिए: $a_2 = 2, b_2 = 6, c_2 = -11$
अनुपातों की गणना:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-11}{-11} = 1$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए रेखाएं समांतर हैं और इनका कोई हल नहीं है।
अतः,दिया गया रैखिक समीकरण युग्म असंगत है।

(B) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म $\lambda x + 3y + 7 = 0$ और $2x + 6y - 14 = 0$ है।
रैखिक समीकरणों के युग्म $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के अपरिमित रूप से अनेक हल होने के लिए शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
यहाँ,$a_1 = \lambda, b_1 = 3, c_1 = 7$ और $a_2 = 2, b_2 = 6, c_2 = -14$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर,हमें $\frac{\lambda}{2} = \frac{3}{6} = \frac{7}{-14}$ प्राप्त होता है।
अनुपातों को सरल करने पर,$\frac{\lambda}{2} = \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\frac{1}{2} \neq -\frac{1}{2}$,इसलिए $\lambda$ के किसी भी मान के लिए शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ को संतुष्ट नहीं किया जा सकता है।
अतः,यह कथन असत्य है।

(B) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म है:
$x - 2y = 8$
$5x - 10y = c$
इन्हें मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 1, b_1 = -2, c_1 = -8$
$a_2 = 5, b_2 = -10, c_2 = -c$
रैखिक समीकरणों के युग्म का अद्वितीय हल होने के लिए शर्त $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ है।
यहाँ,$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{5}$ और $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-10} = \frac{1}{5}$ है।
चूँकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ है,इसलिए $c$ के किसी भी मान के लिए इस प्रणाली का अद्वितीय हल नहीं हो सकता है।
यदि $c = 40$ है,तो $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{5}$ होगा,जिसका अर्थ है कि प्रणाली के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
यदि $c \neq 40$ है,तो प्रणाली का कोई हल नहीं है।
अतः,दिया गया कथन असत्य है।

(N/A) यह कथन असत्य है।
कार्तीय तल का अवलोकन करने पर,समीकरण $x=7$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा को दर्शाता है जो $x$-अक्ष पर बिंदु $(7, 0)$ से होकर गुजरती है।
चूंकि रेखा ऊर्ध्वाधर है,इसलिए यह $y$-अक्ष के समांतर है और $x$-अक्ष पर लंबवत है।
अतः,दिया गया कथन गलत है।

(D) रैखिक समीकरण युग्म $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ के अपरिमित रूप से अनेक हल होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण $4x + 5y = 2$ और $(2p + 7q)x + (p + 8q)y = 2q - p + 1$ हैं।
यहाँ,$\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{2p + 7q}$,$\frac{b_1}{b_2} = \frac{5}{p + 8q}$,और $\frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{2q - p + 1}$ है।
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ को बराबर करने पर:
$\frac{4}{2p + 7q} = \frac{5}{p + 8q} \implies 4(p + 8q) = 5(2p + 7q) \implies 4p + 32q = 10p + 35q \implies 6p + 3q = 0 \implies q = -2p$ (समीकरण $1$)।
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{c_1}{c_2}$ को बराबर करने पर:
$\frac{4}{2p + 7q} = \frac{2}{2q - p + 1} \implies 4(2q - p + 1) = 2(2p + 7q) \implies 8q - 4p + 4 = 4p + 14q \implies 8p + 6q = 4 \implies 4p + 3q = 2$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ से $q = -2p$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर:
$4p + 3(-2p) = 2 \implies 4p - 6p = 2 \implies -2p = 2 \implies p = -1$।
अब,$q = -2(-1) = 2$।
अतः,$p = -1$ और $q = 2$ के लिए दिए गए समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$21x + 47y = 110$ --- $(1)$
$47x + 21y = 162$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(21x + 47x) + (47y + 21y) = 110 + 162$
$68x + 68y = 272$
$68$ से भाग देने पर:
$x + y = 4$ --- $(3)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$(47x - 21x) + (21y - 47y) = 162 - 110$
$26x - 26y = 52$
$26$ से भाग देने पर:
$x - y = 2$ --- $(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (x - y) = 4 + 2$
$2x = 6$
$x = 3$
$x = 3$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$3 + y = 4$
$y = 1$
अतः,हल $x = 3, y = 1$ है।

(B) दिए गए समीकरणों के आलेख खींचने के लिए,हम प्रत्येक समीकरण के लिए दो हल ज्ञात करते हैं:
$x-y+2=0$ के लिए:

$x$	$0$	$-2$
$y=x+2$	$2$	$0$

$4x-y-4=0$ के लिए:

$x$	$0$	$1$
$y=4x-4$	$-4$	$0$

ग्राफ पेपर पर बिंदुओं $A(0, 2)$,$B(-2, 0)$,$P(0, -4)$ और $Q(1, 0)$ को अंकित कीजिए और रेखाएं $AB$ और $PQ$ खींचिए। ये रेखाएं बिंदु $R(2, 4)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
इन रेखाओं और $x$-अक्ष द्वारा बना त्रिभुज $\triangle BQR$ है,जिसके शीर्ष $B(-2, 0)$,$Q(1, 0)$ और $R(2, 4)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$.
यहाँ,आधार $= BQ = |1 - (-2)| = 3$ इकाई।
ऊंचाई $= R$ का $y$-निर्देशांक $= 4$ इकाई।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ वर्ग इकाई।

(A) दिए गए रैखिक समीकरण युग्म $\lambda x + y = \lambda^2$ और $x + \lambda y = 1$ हैं।
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर,$a_1 = \lambda, b_1 = 1, c_1 = -\lambda^2$ और $a_2 = 1, b_2 = \lambda, c_2 = -1$ प्राप्त होते हैं।
$(i)$ कोई हल न होने के लिए,शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है।
$\frac{\lambda}{1} = \frac{1}{\lambda} \neq \frac{-\lambda^2}{-1} \Rightarrow \lambda^2 = 1$ और $\lambda^2 \neq 1$। $\lambda = 1$ के लिए यह संभव नहीं है। $\lambda = -1$ के लिए,$\frac{-1}{1} = \frac{1}{-1} \neq \frac{-(-1)^2}{-1} \Rightarrow -1 = -1 \neq 1$। अतः,$\lambda = -1$ के लिए कोई हल नहीं है।
$(ii)$ अपरिमित रूप से अनेक हल के लिए,शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
$\frac{\lambda}{1} = \frac{1}{\lambda} = \frac{-\lambda^2}{-1} \Rightarrow \lambda^2 = 1$ और $\lambda = \lambda^3$। यह $\lambda = 1$ के लिए सत्य है।
$(iii)$ अद्वितीय हल के लिए,शर्त $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ है।
$\frac{\lambda}{1} \neq \frac{1}{\lambda} \Rightarrow \lambda^2 \neq 1 \Rightarrow \lambda \neq \pm 1$। अतः,$\pm 1$ को छोड़कर $\lambda$ के सभी वास्तविक मानों के लिए अद्वितीय हल प्राप्त होता है।

(D) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म है:
$kx + 3y = k - 3$
$12x + ky = k$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_1 = k, b_1 = 3, c_1 = -(k - 3)$
$a_2 = 12, b_2 = k, c_2 = -k$
रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल न होने की शर्त है:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
$\frac{k}{12} = \frac{3}{k} \neq \frac{-(k - 3)}{-k}$
पहले दो भागों को लेने पर:
$\frac{k}{12} = \frac{3}{k} \Rightarrow k^2 = 36 \Rightarrow k = \pm 6$
अब,शर्त $\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ की जाँच करने पर:
यदि $k = 6$ है,तो $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ और $\frac{k-3}{k} = \frac{6-3}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. चूँकि $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$,इसलिए $k = 6$ के लिए अनंत हल प्राप्त होते हैं।
यदि $k = -6$ है,तो $\frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}$ और $\frac{k-3}{k} = \frac{-6-3}{-6} = \frac{-9}{-6} = \frac{3}{2}$. चूँकि $-\frac{1}{2} \neq \frac{3}{2}$,इसलिए यह शर्त संतुष्ट होती है।
अतः,$k$ का वह मान जिसके लिए कोई हल नहीं है,वह $-6$ है।

(A) दिए गए रैखिक समीकरण युग्म हैं:
$x + 2y - 1 = 0$ .....$(i)$
$(a - b)x + (a + b)y - (a + b - 2) = 0$ .....$(ii)$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = -1$
$a_2 = (a - b), b_2 = (a + b), c_2 = -(a + b - 2)$
अपरिमित रूप से अनेक हल होने के लिए शर्त है:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
$\frac{1}{a - b} = \frac{2}{a + b} = \frac{-1}{-(a + b - 2)}$
पहले दो भागों को लेने पर:
$\frac{1}{a - b} = \frac{2}{a + b} \Rightarrow a + b = 2a - 2b \Rightarrow a = 3b$ .....$(iii)$
अंतिम दो भागों को लेने पर:
$\frac{2}{a + b} = \frac{1}{a + b - 2} \Rightarrow 2a + 2b - 4 = a + b \Rightarrow a + b = 4$ .....$(iv)$
समीकरण $(iii)$ से $a$ का मान समीकरण $(iv)$ में रखने पर:
$3b + b = 4 \Rightarrow 4b = 4 \Rightarrow b = 1$
$b = 1$ का मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर:
$a = 3(1) = 3$
अतः,$a = 3$ और $b = 1$ के लिए दिए गए समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।

(B) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म है:
$3x - y - 5 = 0$ ... $(i)$
$6x - 2y - p = 0$ ... $(ii)$
इन्हें व्यापक रूप $ax + by + c = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 3, b_1 = -1, c_1 = -5$
$a_2 = 6, b_2 = -2, c_2 = -p$
दो रेखाओं के समांतर होने की शर्त है: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$।
मान रखने पर:
$\frac{3}{6} = \frac{-1}{-2} \neq \frac{-5}{-p}$
$\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq \frac{5}{p}$
रेखाओं के समांतर होने के लिए,$\frac{1}{2} \neq \frac{5}{p}$ होना चाहिए।
वज्र-गुणन करने पर,$p \neq 10$ प्राप्त होता है।
अतः,$p$ के $10$ को छोड़कर सभी वास्तविक मानों के लिए रेखाएँ समांतर होंगी।

(C) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म है:
$-x + py - 1 = 0 \quad ...(i)$
$px - y - 1 = 0 \quad ...(ii)$
इन्हें मानक रूप $ax + by + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_1 = -1, b_1 = p, c_1 = -1$ (समीकरण $i$ से)
$a_2 = p, b_2 = -1, c_2 = -1$ (समीकरण $ii$ से)
रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल न होने के लिए,रेखाएं समांतर होनी चाहिए,जिसका अर्थ है:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
मान रखने पर:
$\frac{-1}{p} = \frac{p}{-1} \neq \frac{-1}{-1}$
पहले दो भागों को लेने पर:
$\frac{-1}{p} = \frac{p}{-1} \Rightarrow p^2 = 1 \Rightarrow p = \pm 1$
शर्त $\frac{p}{-1} \neq \frac{-1}{-1}$ को लेने पर:
$\frac{p}{-1} \neq 1 \Rightarrow p \neq -1$
अतः,$p = \pm 1$ और $p \neq -1$ होने के कारण,$p$ का केवल एक ही मान $p = 1$ संभव है।

(D) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है:
$-3x + 5y - 7 = 0 \dots (i)$
$2px - 3y - 1 = 0 \dots (ii)$
इन्हें मानक रूप $ax + by + c = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = -3, b_1 = 5, c_1 = -7$
$a_2 = 2p, b_2 = -3, c_2 = -1$
रेखाओं के एक अद्वितीय बिंदु पर प्रतिच्छेद करने के लिए शर्त है:
$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
मान रखने पर:
$\frac{-3}{2p} \neq \frac{5}{-3}$
वज्र गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$(-3) \times (-3) \neq 5 \times (2p)$
$9 \neq 10p$
$p \neq \frac{9}{10}$
अतः,$p$ के $\frac{9}{10}$ को छोड़कर सभी वास्तविक मानों के लिए रेखाएं एक अद्वितीय बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

(B) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म है:
$2x + 3y - 5 = 0$ ... $(i)$
$px - 6y - 8 = 0$ ... $(ii)$
इन्हें मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = -5$
$a_2 = p, b_2 = -6, c_2 = -8$
रैखिक समीकरणों के युग्म का अद्वितीय हल होने के लिए शर्त है:
$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
मान रखने पर:
$\frac{2}{p} \neq \frac{3}{-6}$
$\frac{2}{p} \neq -\frac{1}{2}$
वज्र-गुणन करने पर:
$p \neq -4$
अतः,$p$ के $-4$ को छोड़कर सभी वास्तविक मानों के लिए समीकरणों के युग्म का एक अद्वितीय हल है,अर्थात $p \in \mathbb{R} - \{-4\}$।

(B) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म है:
$2x + 3y = 7$ ... $(i)$
$2px + py = 28 - qy$ ... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$2px + (p + q)y = 28$
रैखिक समीकरणों के युग्म $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के अपरिमित रूप से अनेक हल होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरणों की तुलना मानक रूप से करने पर:
$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = -7$
$a_2 = 2p, b_2 = (p + q), c_2 = -28$
शर्त लागू करने पर:
$\frac{2}{2p} = \frac{3}{p + q} = \frac{-7}{-28}$
$\frac{1}{p} = \frac{3}{p + q} = \frac{1}{4}$
पहले और तीसरे भाग को लेने पर:
$\frac{1}{p} = \frac{1}{4} \Rightarrow p = 4$
दूसरे और तीसरे भाग को लेने पर:
$\frac{3}{p + q} = \frac{1}{4} \Rightarrow p + q = 12$
$p = 4$ को $p + q = 12$ में रखने पर:
$4 + q = 12 \Rightarrow q = 8$
अतः,$p = 4$ और $q = 8$ प्राप्त होते हैं।

(B) दिए गए रैखिक समीकरण हैं:
$x-3y-2=0$ ..... $(i)$
$-2x+6y-5=0$ ..... $(ii)$
इन समीकरणों की तुलना व्यापक रूप $ax+by+c=0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
समीकरण $(i)$ के लिए: $a_1=1, b_1=-3, c_1=-2$
समीकरण $(ii)$ के लिए: $a_2=-2, b_2=6, c_2=-5$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-2}{-5} = \frac{2}{5}$
चूँकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए रेखाएँ समांतर हैं।
अतः,दिए गए समीकरणों द्वारा दर्शाए गए दो सीधे पथ कभी भी एक-दूसरे को नहीं काटते हैं।

(N/A) दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म इस प्रकार है:
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$
$a_2x + b_2y + c_2 = 0$
इस निकाय का अद्वितीय हल होने के लिए शर्त $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ है।
चूंकि $x = -1$ और $y = 3$ दिए गए समीकरणों का हल है,इसलिए ये मान दोनों समीकरणों को संतुष्ट करेंगे:
$1$) $a_1(-1) + b_1(3) + c_1 = 0 \Rightarrow -a_1 + 3b_1 + c_1 = 0$
$2$) $a_2(-1) + b_2(3) + c_2 = 0 \Rightarrow -a_2 + 3b_2 + c_2 = 0$
हम गुणांकों के लिए ऐसे मान चुन सकते हैं जो इन शर्तों को पूरा करते हों। उदाहरण के लिए,यदि $a_1 = 1, b_1 = 1$ लें,तो $-1 + 3(1) + c_1 = 0 \Rightarrow c_1 = -2$। अतः,$x + y - 2 = 0$।
यदि $a_2 = 1, b_2 = 2$ लें,तो $-1 + 3(2) + c_2 = 0 \Rightarrow -1 + 6 + c_2 = 0 \Rightarrow c_2 = -5$। अतः,$x + 2y - 5 = 0$।
चूंकि $a_1, b_1, c_1$ और $a_2, b_2, c_2$ के अनंत संयोजन संभव हैं जो दिए गए हल और अद्वितीय हल की शर्त को संतुष्ट करते हैं,इसलिए हम ऐसे अनंत युग्म लिख सकते हैं।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$2x + y = 23$ $(i)$
$4x - y = 19$ $(ii)$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(2x + y) + (4x - y) = 23 + 19$
$6x = 42$
$x = 7$
समीकरण $(i)$ में $x = 7$ रखने पर:
$2(7) + y = 23$
$14 + y = 23$
$y = 23 - 14 = 9$
अब,आवश्यक मानों की गणना करने पर:
$5y - 2x = 5(9) - 2(7) = 45 - 14 = 31$
$\frac{y}{x} - 2 = \frac{9}{7} - 2 = \frac{9 - 14}{7} = -\frac{5}{7}$
अतः,मान $31$ और $-\frac{5}{7}$ हैं।

(B) आयत के गुणधर्म के अनुसार,सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
लंबाई के लिए: $x + 3y = 13$ --- $(i)$
चौड़ाई के लिए: $3x + y = 7$ --- $(ii)$
रैखिक समीकरणों के इस युग्म को हल करने के लिए,समीकरण $(ii)$ को $3$ से गुणा करें:
$9x + 3y = 21$ --- $(iii)$
अब,समीकरण $(iii)$ में से समीकरण $(i)$ को घटाएं:
$(9x + 3y) - (x + 3y) = 21 - 13$
$8x = 8$
$x = 1$
$x = 1$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$1 + 3y = 13$
$3y = 12$
$y = 4$
अतः,$x$ और $y$ के अभीष्ट मान क्रमशः $1$ और $4$ हैं।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$(i) \ x + y = 3.3$
$(ii) \ \frac{0.6}{3x - 2y} = -1$
समीकरण $(ii)$ से:
$0.6 = -1(3x - 2y)$
$0.6 = -3x + 2y$
$3x - 2y = -0.6 \quad (iii)$
समीकरणों को हल करने के लिए,समीकरण $(i)$ को $2$ से गुणा करें:
$2x + 2y = 6.6 \quad (iv)$
समीकरण $(iii)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर:
$(3x - 2y) + (2x + 2y) = -0.6 + 6.6$
$5x = 6$
$x = \frac{6}{5} = 1.2$
$x = 1.2$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$1.2 + y = 3.3$
$y = 3.3 - 1.2$
$y = 2.1$
अतः,हल $x = 1.2$ और $y = 2.1$ है।

(D) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है:
$\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 4$ $(i)$
दोनों पक्षों को $LCM(3, 4) = 12$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$4x + 3y = 48$ $(iii)$
और दूसरा समीकरण है:
$\frac{5x}{6} - \frac{y}{8} = 4$ $(ii)$
दोनों पक्षों को $LCM(6, 8) = 24$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$20x - 3y = 96$ $(iv)$
अब,समीकरण $(iii)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर:
$(4x + 3y) + (20x - 3y) = 48 + 96$
$24x = 144$
$x = \frac{144}{24} = 6$
अब,$x = 6$ का मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर:
$4(6) + 3y = 48$
$24 + 3y = 48$
$3y = 48 - 24$
$3y = 24$
$y = 8$
अतः,हल $x = 6$ और $y = 8$ है।

(A) दिए गए रैखिक समीकरण युग्म हैं:
$4x + \frac{6}{y} = 15$ ..... $(i)$
$6x - \frac{8}{y} = 14, y \neq 0$ ..... $(ii)$
मान लीजिए $u = \frac{1}{y}$,तो समीकरण इस प्रकार होंगे:
$4x + 6u = 15$ ..... $(iii)$
$6x - 8u = 14$ ..... $(iv)$
$u$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(iii)$ को $4$ से और समीकरण $(iv)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$16x + 24u = 60$ ..... $(v)$
$18x - 24u = 42$ ..... $(vi)$
समीकरण $(v)$ और $(vi)$ को जोड़ने पर:
$(16x + 18x) + (24u - 24u) = 60 + 42$
$34x = 102$
$x = \frac{102}{34} = 3$
$x = 3$ का मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर:
$4(3) + 6u = 15$
$12 + 6u = 15$
$6u = 15 - 12 = 3$
$u = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
चूंकि $u = \frac{1}{y}$,इसलिए $\frac{1}{y} = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $y = 2$.
अतः,हल $x = 3$ और $y = 2$ है।

(B) दिए गए रैखिक समीकरण युग्म हैं:
$\frac{1}{2x} - \frac{1}{y} = -1$ ........ $(i)$
$\frac{1}{x} + \frac{1}{2y} = 8$ ........ $(ii)$
माना $u = \frac{1}{x}$ और $v = \frac{1}{y}$। इन मानों को समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{u}{2} - v = -1 \Rightarrow u - 2v = -2$ ........ $(iii)$
$u + \frac{v}{2} = 8 \Rightarrow 2u + v = 16$ ........ $(iv)$
$v$ को विलुप्त करने के लिए समीकरण $(iv)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$4u + 2v = 32$ ........ $(v)$
समीकरण $(iii)$ और $(v)$ को जोड़ने पर:
$(u - 2v) + (4u + 2v) = -2 + 32$
$5u = 30 \Rightarrow u = 6$
$u = 6$ का मान समीकरण $(iv)$ में रखने पर:
$2(6) + v = 16 \Rightarrow 12 + v = 16 \Rightarrow v = 4$
चूंकि $u = \frac{1}{x} = 6$,इसलिए $x = \frac{1}{6}$।
चूंकि $v = \frac{1}{y} = 4$,इसलिए $y = \frac{1}{4}$।
अतः,हल $x = \frac{1}{6}$ और $y = \frac{1}{4}$ है।