Textbook - Pair of Linear Equations in Two Variables Questions in Hindi

(N/A) प्राप्त समीकरणों का युग्म है:
$y = \frac{1}{2}x$
अर्थात,$x - 2y = 0$ ......$(1)$
$3x + 4y = 20$ ......$(2)$
आइए इन समीकरणों को ग्राफीय रूप में निरूपित करें। इसके लिए,हमें प्रत्येक समीकरण के लिए कम से कम दो हलों की आवश्यकता है। हम इन हलों को नीचे दी गई सारणियों में देते हैं:

$x$	$0$	$2$
$y = \frac{x}{2}$	$0$	$1$

$x$	$0$	$\frac{20}{3}$	$4$
$y = \frac{20 - 3x}{4}$	$5$	$0$	$2$

कक्षा $IX$ से याद करें कि प्रत्येक रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं। इसलिए,आप में से प्रत्येक कोई भी दो मान चुन सकता है,जो हमारे द्वारा चुने गए मानों से भिन्न हो सकते हैं। जब एक चर शून्य होता है,तो समीकरण एक चर वाले रैखिक समीकरण में बदल जाता है,जिसे आसानी से हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए,समीकरण $(2)$ में $x = 0$ रखने पर,हमें $4y = 20$ प्राप्त होता है,अर्थात $y = 5$। इसी प्रकार,समीकरण $(2)$ में $y = 0$ रखने पर,हमें $3x = 20$ प्राप्त होता है,अर्थात $x = \frac{20}{3}$। लेकिन चूंकि $\frac{20}{3}$ एक पूर्णांक नहीं है,इसलिए इसे ग्राफ पेपर पर सटीक रूप से अंकित करना आसान नहीं होगा। इसलिए,हम $y = 2$ चुनते हैं,जो $x = 4$ देता है,जो एक पूर्णांक मान है।
सारणियों में दिए गए हलों के संगत बिंदुओं $A(0, 0), B(2, 1)$ और $P(0, 5), Q(4, 2)$ को आलेखित करें। अब रेखाएं $AB$ और $PQ$ खींचें,जो समीकरणों $x - 2y = 0$ और $3x + 4y = 20$ को निरूपित करती हैं।

(N/A) माना कि $1$ पेंसिल का मूल्य ₹ $x$ है और $1$ रबर का मूल्य ₹ $y$ है। बीजगणितीय निरूपण निम्नलिखित समीकरणों द्वारा दिया गया है:
$2x + 3y = 9$ $.......(1)$
$4x + 6y = 18$ $.......(2)$
इसे ग्राफीय रूप में दर्शाने के लिए,हम प्रत्येक रेखा के लिए बिंदु ज्ञात करते हैं:
समीकरण $(1)$ के लिए,$y = \frac{9 - 2x}{3}$:

$x$	$0$	$4.5$
$y$	$3$	$0$

समीकरण $(2)$ के लिए,$y = \frac{18 - 4x}{6}$:

$x$	$0$	$3$
$y$	$3$	$1$

जब हम इन बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर आलेखित करते हैं,तो हम पाते हैं कि दोनों रेखाएँ संपाती (coincide) हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि दोनों समीकरण समतुल्य हैं,अर्थात समीकरण $(2)$,समीकरण $(1)$ का $2$ गुना है।

(N/A) समीकरणों को ज्यामितीय रूप से निरूपित करने के लिए,हम प्रत्येक समीकरण के लिए दो हल ज्ञात करते हैं।
समीकरण $x+2y-4=0$ के लिए:

$x$	$0$	$4$
$y = \frac{4-x}{2}$	$2$	$0$

हम बिंदुओं $R(0, 2)$ और $S(4, 0)$ को आलेखित करके $x+2y-4=0$ को निरूपित करने वाली रेखा प्राप्त करते हैं।
समीकरण $2x+4y-12=0$ के लिए:

$x$	$0$	$6$
$y = \frac{12-2x}{4}$	$3$	$0$

हम बिंदुओं $P(0, 3)$ और $Q(6, 0)$ को आलेखित करके $2x+4y-12=0$ को निरूपित करने वाली रेखा प्राप्त करते हैं।
ग्राफ का अवलोकन करने पर,हम देखते हैं कि दोनों रेखाएं कहीं भी प्रतिच्छेद नहीं करती हैं,जिसका अर्थ है कि वे एक-दूसरे के समांतर हैं।

(N/A) माना आफताब की वर्तमान आयु $x$ है और उसकी पुत्री की वर्तमान आयु $y$ है।
सात वर्ष पूर्व:
आफताब की आयु $= x - 7$
पुत्री की आयु $= y - 7$
प्रश्न के अनुसार,$(x - 7) = 7(y - 7) \implies x - 7 = 7y - 49 \implies x - 7y = -42$ $...(1)$
तीन वर्ष बाद:
आफताब की आयु $= x + 3$
पुत्री की आयु $= y + 3$
प्रश्न के अनुसार,$(x + 3) = 3(y + 3) \implies x + 3 = 3y + 9 \implies x - 3y = 6$ $...(2)$
बीजगणितीय निरूपण:
$x - 7y = -42$
$x - 3y = 6$
$x - 7y = -42$ के लिए,$x = 7y - 42$:

$x$	$-7$	$0$	$7$
$y$	$5$	$6$	$7$

$x - 3y = 6$ के लिए,$x = 3y + 6$:

$x$	$6$	$3$	$0$
$y$	$0$	$-1$	$-2$

(N/A) माना कि एक बल्ले का मूल्य ₹ $x$ है और एक गेंद का मूल्य ₹ $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,बीजगणितीय निरूपण इस प्रकार है:
$3x + 6y = 3900$
$x + 3y = 1300$
प्रथम समीकरण $3x + 6y = 3900$ के लिए,इसे सरल करके $x + 2y = 1300$ लिखा जा सकता है,अतः $x = 1300 - 2y$।
| $x$ | $300$ | $100$ | $-100$ |
| $y$ | $500$ | $600$ | $700$ |
दूसरे समीकरण $x + 3y = 1300$ के लिए,$x = 1300 - 3y$।
| $x$ | $400$ | $700$ | $1000$ |
| $y$ | $300$ | $200$ | $100$ |
ज्यामितीय निरूपण दिए गए ग्राफ में दर्शाया गया है।

(N/A) माना $1\, kg$ सेब का मूल्य ₹ $x$ है और $1\, kg$ अंगूर का मूल्य ₹ $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,बीजगणितीय निरूपण इस प्रकार है:
$2x + y = 160$
$4x + 2y = 300$
समीकरण $2x + y = 160$ के लिए,$y = 160 - 2x$। हल सारणी:

$x$	$50$	$60$	$70$
$y$	$60$	$40$	$20$

समीकरण $4x + 2y = 300$ के लिए,$y = \frac{300 - 4x}{2} = 150 - 2x$। हल सारणी:

$x$	$70$	$80$	$75$
$y$	$10$	$-10$	$0$

ज्यामितीय निरूपण में दो समांतर रेखाएँ प्राप्त होती हैं,जो दर्शाती हैं कि इस समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है।

(N/A) आइए समीकरण $(1)$ और $(2)$ के आलेख खींचते हैं। इसके लिए,हम प्रत्येक समीकरण के लिए दो हल ज्ञात करते हैं,जो नीचे दी गई तालिकाओं में दिए गए हैं:
समीकरण $(1)$ के लिए: $x+3y=6$

$x$	$0$	$6$
$y = \frac{6-x}{3}$	$2$	$0$

समीकरण $(2)$ के लिए: $2x-3y=12$

$x$	$0$	$3$
$y = \frac{2x-12}{3}$	$-4$	$-2$

ग्राफ पेपर पर रेखा $(1)$ के लिए बिंदु $A(0, 2), B(6, 0)$ और रेखा $(2)$ के लिए $P(0, -4), Q(3, -2)$ को आलेखित कीजिए। बिंदुओं को मिलाकर रेखाएँ $AB$ और $PQ$ खींचिए।
हम देखते हैं कि रेखाओं $AB$ और $PQ$ दोनों में एक बिंदु $B(6, 0)$ उभयनिष्ठ है। चूँकि रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए रैखिक समीकरणों का यह युग्म संगत है। हल $x=6$ और $y=0$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$5x - 8y + 1 = 0$ $...(1)$
$3x - \frac{24}{5}y + \frac{3}{5} = 6$ $...(2)$
समीकरण $(2)$ को $\frac{5}{3}$ से गुणा करने पर:
$\frac{5}{3} \times (3x - \frac{24}{5}y + \frac{3}{5}) = \frac{5}{3} \times 6$
$5x - 8y + 1 = 10$
अतः,$5x - 8y - 9 = 0$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ यानी $5x - 8y + 1 = 0$ और समीकरण $(2)$ यानी $5x - 8y - 9 = 0$ की तुलना करने पर,$x$ और $y$ के गुणांक समान हैं लेकिन अचर पद भिन्न हैं।
इसलिए,ये रेखाएँ समांतर हैं और इनका कोई हल नहीं है।

(A) मान लीजिए कि पैंट की संख्या $x$ है और स्कर्ट की संख्या $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,बनने वाले समीकरण हैं:
$y = 2x - 2$ $...(1)$
$y = 4x - 4$ $...(2)$
रैखिक समीकरणों के इस युग्म को आलेखीय रूप से हल करने के लिए,हम प्रत्येक समीकरण के लिए दो हल ज्ञात करते हैं:
समीकरण $(1)$,$y = 2x - 2$ के लिए:

$x$	$2$	$0$
$y$	$2$	$-2$

समीकरण $(2)$,$y = 4x - 4$ के लिए:

$x$	$0$	$1$
$y$	$-4$	$0$

इन बिंदुओं को ग्राफ पर अंकित करके और रेखाएँ खींचने पर,हम पाते हैं कि दोनों रेखाएँ बिंदु $(1, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,हल $x = 1$ और $y = 0$ है।
इसलिए,चंपा ने $1$ पैंट और $0$ स्कर्ट खरीदी।

(N/A) माना लड़कियों की संख्या $x$ है और लड़कों की संख्या $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,बीजगणितीय निरूपण इस प्रकार है:
$x + y = 10$
$x - y = 4$
$x + y = 10$ के लिए,$x = 10 - y$:

$x$	$5$	$4$	$6$
$y$	$5$	$6$	$4$

$x - y = 4$ के लिए,$x = 4 + y$:

$x$	$5$	$4$	$3$
$y$	$1$	$0$	$-1$

इन बिंदुओं को ग्राफ पर आलेखित करने पर,हम देखते हैं कि रेखाएँ बिंदु $(7, 3)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,लड़कियों की संख्या $7$ है और लड़कों की संख्या $3$ है।

(N/A) माना कि $1$ पेंसिल का मूल्य ₹ $x$ है और $1$ कलम का मूल्य ₹ $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,बीजगणितीय निरूपण इस प्रकार है:
$5x + 7y = 50$
$7x + 5y = 46$
$5x + 7y = 50$ के लिए,$x = \frac{50 - 7y}{5}$ है।

$x$	$3$	$10$	$-4$
$y$	$5$	$0$	$10$

$7x + 5y = 46$ के लिए,$x = \frac{46 - 5y}{7}$ है।

$x$	$8$	$3$	$-2$
$y$	$-2$	$5$	$12$

इन बिंदुओं को ग्राफ पर आलेखित करने पर,हम देखते हैं कि रेखाएं बिंदु $(3, 5)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,एक पेंसिल का मूल्य ₹ $3$ और एक कलम का मूल्य ₹ $5$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$5x - 4y + 8 = 0$
$7x + 6y - 9 = 0$
इन समीकरणों की तुलना मानक रूप $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_{1} = 5, b_{1} = -4, c_{1} = 8$
$a_{2} = 7, b_{2} = 6, c_{2} = -9$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{5}{7}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$
चूँकि $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ है,अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$9x + 3y + 12 = 0$
$18x + 6y + 24 = 0$
इन समीकरणों की तुलना मानक रूप $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_{1} = 9, b_{1} = 3, c_{1} = 12$
$a_{2} = 18, b_{2} = 6, c_{2} = 24$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$
चूँकि $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ है,इसलिए दिए गए समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ संपाती हैं और इनके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$6x - 3y + 10 = 0$
$2x - y + 9 = 0$
इन समीकरणों की तुलना मानक रूप $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_{1} = 6, b_{1} = -3, c_{1} = 10$
$a_{2} = 2, b_{2} = -1, c_{2} = 9$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{6}{2} = \frac{3}{1} = 3$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{-3}{-1} = \frac{3}{1} = 3$
$\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{10}{9}$
चूंकि $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ है,इसलिए दिए गए समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक-दूसरे के समांतर हैं। अतः,ये रेखाएँ कभी भी एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करेंगी और इस समीकरण युग्म का कोई हल संभव नहीं है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$3x + 2y - 5 = 0$
$2x - 3y - 7 = 0$
इनकी तुलना मानक रूप $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ से करने पर:
$a_{1} = 3, b_{1} = 2, c_{1} = -5$
$a_{2} = 2, b_{2} = -3, c_{2} = -7$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{3}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$
चूंकि $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$,रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,रैखिक समीकरणों का यह युग्म एक अद्वितीय हल रखता है और यह संगत है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$2x - 3y = 8$ (या $2x - 3y - 8 = 0$)
$4x - 6y = 9$ (या $4x - 6y - 9 = 0$)
$a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ से तुलना करने पर:
$a_{1} = 2, b_{1} = -3, c_{1} = -8$
$a_{2} = 4, b_{2} = -6, c_{2} = -9$
अनुपातों की गणना:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{-8}{-9} = \frac{8}{9}$
चूंकि $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$,इसलिए इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएं समांतर हैं।
अतः,रैखिक समीकरणों के इस युग्म का कोई हल नहीं है और यह असंगत है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$1) \frac{3}{2} x + \frac{5}{3} y = 7 \implies \frac{3}{2} x + \frac{5}{3} y - 7 = 0$
$2) 9 x - 10 y = 14 \implies 9 x - 10 y - 14 = 0$
$a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ और $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ से तुलना करने पर:
$a_{1} = \frac{3}{2}, b_{1} = \frac{5}{3}, c_{1} = -7$
$a_{2} = 9, b_{2} = -10, c_{2} = -14$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{3/2}{9} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{5/3}{-10} = \frac{5}{-30} = -\frac{1}{6}$
चूंकि $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$,रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,रैखिक समीकरणों का यह युग्म संगत है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$5x - 3y = 11$ (समीकरण $1$)
$-10x + 6y = -22$ (समीकरण $2$)
मानक रूप $a_{1}x + b_{1}y = c_{1}$ और $a_{2}x + b_{2}y = c_{2}$ से तुलना करने पर:
$a_{1} = 5, b_{1} = -3, c_{1} = 11$
$a_{2} = -10, b_{2} = 6, c_{2} = -22$
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{5}{-10} = -\frac{1}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$
$\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{11}{-22} = -\frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} = -\frac{1}{2}$ है,इसलिए रेखाएं संपाती हैं।
चूंकि रेखाएं संपाती हैं,इसलिए इनके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
अतः,रैखिक समीकरणों का यह युग्म संगत है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$1) \frac{4}{3} x + 2 y - 8 = 0$
$2) 2 x + 3 y - 12 = 0$
मानक रूप $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ से तुलना करने पर:
$a_{1} = \frac{4}{3}, b_{1} = 2, c_{1} = -8$
$a_{2} = 2, b_{2} = 3, c_{2} = -12$
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{4/3}{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{2}{3}$
$\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{-8}{-12} = \frac{2}{3}$
चूंकि $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$,रेखाएं संपाती हैं।
चूंकि रेखाएं संपाती हैं,इसलिए इनके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
अतः,रैखिक समीकरणों का यह युग्म संगत है।

(N/A) दिए गए समीकरण:
$x+y=5$
$2x+2y=10$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{c_1}{c_2} = \frac{-5}{-10} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए ये रैखिक समीकरण संपाती रेखाओं को दर्शाते हैं और इनके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। अतः,रैखिक समीकरणों का यह युग्म संगत है।
$x+y=5$ के लिए,$x = 5-y$:

$x$	$4$	$3$	$2$
$y$	$1$	$2$	$3$

$2x+2y=10$ के लिए,$x = \frac{10-2y}{2} = 5-y$:

$x$	$4$	$3$	$2$
$y$	$1$	$2$	$3$

ग्राफ़ से यह देखा जा सकता है कि ये रेखाएं एक-दूसरे के ऊपर स्थित हैं। इसलिए,दिए गए समीकरणों के युग्म के लिए अपरिमित रूप से अनेक हल संभव हैं।

(N/A) दिए गए समीकरण $x-y=8$ और $3x-3y=16$ हैं।
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 1, b_1 = -1, c_1 = -8$
$a_2 = 3, b_2 = -3, c_2 = -16$
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएं एक-दूसरे के समांतर हैं।
अतः,रेखाओं के बीच कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है,जिसका अर्थ है कि रैखिक समीकरणों का यह युग्म असंगत है।

(A) दिए गए समीकरण $2x + y - 6 = 0$ और $4x - 2y - 4 = 0$ हैं।
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = -6$
$a_2 = 4, b_2 = -2, c_2 = -4$
अनुपातों की गणना:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$,रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए समीकरण युग्म संगत है।
$2x + y - 6 = 0 \implies y = 6 - 2x$ के लिए:
यदि $x=0, y=6$; यदि $x=1, y=4$; यदि $x=2, y=2$.
$4x - 2y - 4 = 0 \implies y = 2x - 2$ के लिए:
यदि $x=0, y=-2$; यदि $x=1, y=0$; यदि $x=2, y=2$.
अतः,रेखाएं $(2, 2)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$2x - 2y - 2 = 0$ (समीकरण $1$)
$4x - 4y - 5 = 0$ (समीकरण $2$)
इन्हें मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 2, b_1 = -2, c_1 = -2$
$a_2 = 4, b_2 = -4, c_2 = -5$
अब,अनुपातों की तुलना करते हैं:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-2}{-5} = \frac{2}{5}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए रेखाएं एक-दूसरे के समांतर हैं।
अतः,रैखिक समीकरणों का यह युग्म असंगत है और इसका कोई हल नहीं है।

(N/A) माना बगीचे की चौड़ाई $x$ है और लंबाई $y$ है।
प्रश्न के अनुसार:
$y - x = 4$ $...(1)$
$y + x = 36$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ से,$y = x + 4$। मानों की सारणी इस प्रकार है:

$x$	$0$	$8$	$12$
$y$	$4$	$12$	$16$

समीकरण $(2)$ से,$y = 36 - x$। मानों की सारणी इस प्रकार है:

$x$	$0$	$36$	$16$
$y$	$36$	$0$	$20$

इन रेखाओं को ग्राफ पर आलेखित करने पर,हम देखते हैं कि वे $(16, 20)$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,बगीचे की चौड़ाई $16\, m$ और लंबाई $20\, m$ है।

(N/A) दो रैखिक समीकरणों $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के प्रतिच्छेदी रेखाएँ होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ है।
दी गई समीकरण $2x + 3y - 8 = 0$ में,$a_1 = 2$ और $b_1 = 3$ है।
हमें $a_2$ और $b_2$ को इस प्रकार चुनना है कि $\frac{2}{a_2} \neq \frac{3}{b_2}$ हो।
यदि हम $a_2 = 3$ और $b_2 = 2$ लेते हैं,तो $\frac{2}{3} \neq \frac{3}{2}$ होता है,जो शर्त को पूरा करता है।
अतः,एक ऐसी समीकरण $3x + 2y - 5 = 0$ है (या शर्त को पूरा करने वाली कोई अन्य समीकरण)।

(A) दो रेखाओं $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के समांतर होने के लिए शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण $2x + 3y - 8 = 0$ के लिए,$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = -8$ है।
इस शर्त को पूरा करने के लिए,हम $a_2 = 4$ और $b_2 = 6$ चुन सकते हैं (जिससे $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$ हो जाए) और $c_2$ को इस प्रकार चुनें कि $\frac{c_1}{c_2} \neq \frac{1}{2}$ हो।
माना $c_2 = -10$ है। अतः समीकरण $4x + 6y - 10 = 0$ प्राप्त होता है।
शर्त की जाँच करने पर: $\frac{2}{4} = \frac{3}{6} \neq \frac{-8}{-10}$,जो सरल करने पर $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq \frac{4}{5}$ होता है।
अतः,$4x + 6y - 10 = 0$ एक सही उत्तर है।

(A) दो रैखिक समीकरणों $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के संपाती रेखाएँ होने के लिए शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण $2x + 3y - 8 = 0$ के लिए,$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = -8$ है।
दूसरा समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए समीकरण को किसी भी शून्येतर अचर $k$ से गुणा कर सकते हैं। मान लीजिए $k = 2$ है।
समीकरण को $2$ से गुणा करने पर,हमें $2(2x + 3y - 8) = 2(0)$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $4x + 6y - 16 = 0$ हो जाता है।
शर्त की जाँच करने पर: $\frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2}$।
चूँकि अनुपात समान हैं,इसलिए रेखाएँ संपाती हैं। अतः,$4x + 6y - 16 = 0$ एक सही उत्तर है।

(N/A) समीकरण $x-y+1=0$ के लिए,हम $x=y-1$ लिख सकते हैं। मानों की तालिका इस प्रकार है:

$x$	$0$	$1$	$2$
$y$	$1$	$2$	$3$

समीकरण $3x+2y-12=0$ के लिए,हम $x=\frac{12-2y}{3}$ लिख सकते हैं। मानों की तालिका इस प्रकार है:

$x$	$4$	$2$	$0$
$y$	$0$	$3$	$6$

इन बिंदुओं को ग्राफ पर आलेखित करने पर,हमें दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ प्राप्त होती हैं। ये रेखाएँ एक-दूसरे को $(2,3)$ बिंदु पर काटती हैं और $x$-अक्ष को $(-1,0)$ और $(4,0)$ पर काटती हैं।
अतः,इन रेखाओं और $x$-अक्ष द्वारा बने त्रिभुज के शीर्ष $(2,3)$,$(-1,0)$ और $(4,0)$ हैं।

(N/A) चरण $1:$ हम किसी भी एक समीकरण को चुनते हैं और एक चर को दूसरे चर के पदों में लिखते हैं। आइए समीकरण $(2)$ पर विचार करें।
$x + 2y = 3$
इसे $x = 3 - 2y$ $...(3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चरण $2:$ समीकरण $(3)$ से $x$ का मान समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$7(3 - 2y) - 15y = 2$
$21 - 14y - 15y = 2$
$-29y = 2 - 21$
$-29y = -19$
अतः,$y = \frac{19}{29}$
चरण $3:$ $y$ के इस मान को समीकरण $(3)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = 3 - 2\left(\frac{19}{29}\right)$
$x = 3 - \frac{38}{29}$
$x = \frac{87 - 38}{29} = \frac{49}{29}$
अतः,हल $x = \frac{49}{29}, y = \frac{19}{29}$ है।

(N/A) माना आफताब की वर्तमान आयु $s$ वर्ष और उसकी पुत्री की वर्तमान आयु $t$ वर्ष है।
प्रथम शर्त के अनुसार,सात वर्ष पूर्व:
$(s - 7) = 7(t - 7)$
$s - 7 = 7t - 49$
$s - 7t = -42$ $...(1)$
दूसरी शर्त के अनुसार,तीन वर्ष बाद:
$(s + 3) = 3(t + 3)$
$s + 3 = 3t + 9$
$s - 3t = 6$ $...(2)$
समीकरण $(2)$ से,हमें $s = 3t + 6$ प्राप्त होता है।
$s$ का यह मान समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(3t + 6) - 7t = -42$
$-4t + 6 = -42$
$-4t = -48$
$t = 12$
अब,$t = 12$ का मान $s = 3t + 6$ में रखने पर:
$s = 3(12) + 6 = 36 + 6 = 42$
अतः,आफताब की वर्तमान आयु $42$ वर्ष और उसकी पुत्री की आयु $12$ वर्ष है।

(D) माना कि एक पेंसिल की कीमत ₹ $x$ है और एक रबर की कीमत ₹ $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,निर्मित रैखिक समीकरणों का युग्म है:
$2x + 3y = 9$ $...(1)$
$4x + 6y = 18$ $...(2)$
हम देखते हैं कि समीकरण $(2)$,समीकरण $(1)$ का ठीक $2$ गुना है।
समीकरण $(2)$ को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $2x + 3y = 9$ प्राप्त होता है,जो समीकरण $(1)$ के समान है।
चूंकि दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं,इसलिए ये संपाती रेखाएं हैं।
अतः,$x$ और $y$ के लिए अनंत हल मौजूद हैं जो इन समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। इसलिए,हम प्रत्येक पेंसिल और रबर की एक अद्वितीय कीमत निर्धारित नहीं कर सकते हैं।

(B) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म है:
$x + 2y - 4 = 0$ $...(1)$
$2x + 4y - 12 = 0$ $...(2)$
इन समीकरणों की तुलना मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = -4$
$a_2 = 2, b_2 = 4, c_2 = -12$
अब,गुणांकों का अनुपात ज्ञात करते हैं:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-4}{-12} = \frac{1}{3}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$,इसलिए इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएँ समांतर हैं।
अतः,पटरियाँ एक-दूसरे को नहीं काटेंगी।

(A) $x+y=14$ $....(1)$
$x-y=4$ $....(2)$
समीकरण $(1)$ से,हम $x$ को $y$ के पदों में व्यक्त करते हैं:
$x=14-y$ $....(3)$
समीकरण $(3)$ से $x$ का मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(14-y)-y=4$
$14-2y=4$
$14-4=2y$
$10=2y$
$y=5$ $....(4)$
अब,$y=5$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$x=14-5$
$x=9$
अतः,हल $x=9$ और $y=5$ है।

(S=9, T=6) $s-t=3$ $...(1)$
$\frac{s}{3}+\frac{t}{2}=6$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ से,हम $s$ को $t$ के पदों में व्यक्त करते हैं:
$s = t + 3$ $...(3)$
समीकरण $(3)$ से $s$ का मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{t+3}{3} + \frac{t}{2} = 6$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $6$ ($3$ और $2$ का ल.स.प.) से गुणा करने पर:
$2(t+3) + 3t = 36$
$2t + 6 + 3t = 36$
$5t + 6 = 36$
$5t = 30$
$t = 6$ $...(4)$
अब,$t = 6$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$s = 6 + 3$
$s = 9$
अतः,हल $s = 9$ और $t = 6$ है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$3x - y = 3$ $...(1)$
$9x - 3y = 9$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ से,हम $y$ को $x$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:
$y = 3x - 3$ $...(3)$
समीकरण $(3)$ से $y$ का मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$9x - 3(3x - 3) = 9$
$9x - 9x + 9 = 9$
$9 = 9$
चूंकि $9 = 9$ एक सत्य कथन है जो $x$ के सभी मानों के लिए मान्य है,अतः ये दोनों समीकरण संपाती रेखाएं हैं।
इसलिए,दिए गए रैखिक समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
चरों के बीच का संबंध $y = 3x - 3$ द्वारा दिया गया है।

(N/A) दिए गए समीकरण हैं:
$0.2 x + 0.3 y = 1.3$ $...(1)$
$0.4 x + 0.5 y = 2.3$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ से,$x$ को $y$ के पदों में व्यक्त करने पर:
$0.2 x = 1.3 - 0.3 y$
$x = \frac{1.3 - 0.3 y}{0.2}$ $...(3)$
समीकरण $(3)$ से $x$ का मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$0.4 \left( \frac{1.3 - 0.3 y}{0.2} \right) + 0.5 y = 2.3$
$2(1.3 - 0.3 y) + 0.5 y = 2.3$
$2.6 - 0.6 y + 0.5 y = 2.3$
$2.6 - 0.1 y = 2.3$
$2.6 - 2.3 = 0.1 y$
$0.3 = 0.1 y$
$y = \frac{0.3}{0.1} = 3$
अब,$y = 3$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$x = \frac{1.3 - 0.3(3)}{0.2}$
$x = \frac{1.3 - 0.9}{0.2}$
$x = \frac{0.4}{0.2} = 2$
अतः,हल $x = 2$ और $y = 3$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$\sqrt{2} x + \sqrt{3} y = 0$ $...(1)$
$\sqrt{3} x - \sqrt{8} y = 0$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ से,$x$ को $y$ के पदों में व्यक्त करने पर:
$x = -\frac{\sqrt{3} y}{\sqrt{2}}$ $...(3)$
समीकरण $(3)$ से $x$ का मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sqrt{3} \left( -\frac{\sqrt{3} y}{\sqrt{2}} \right) - \sqrt{8} y = 0$
$-\frac{3 y}{\sqrt{2}} - 2\sqrt{2} y = 0$
$y$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$y \left( -\frac{3}{\sqrt{2}} - 2\sqrt{2} \right) = 0$
चूंकि कोष्ठक में दी गई राशि शून्य नहीं है,इसलिए $y = 0$ होगा।
$y = 0$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$x = -\frac{\sqrt{3} (0)}{\sqrt{2}} = 0$
अतः,हल $x = 0$ और $y = 0$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) \frac{3x}{2} - \frac{5y}{3} = -2$
$(2) \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = \frac{13}{6}$
चरण $1$: समीकरणों को सरल कीजिए।
समीकरण $(1)$ को $6$ से गुणा करने पर: $9x - 10y = -12$ --- $(3)$
समीकरण $(2)$ को $6$ से गुणा करने पर: $2x + 3y = 13$ --- $(4)$
चरण $2$: समीकरण $(4)$ से $x$ को $y$ के पदों में व्यक्त कीजिए:
$2x = 13 - 3y$
$x = \frac{13 - 3y}{2}$ --- $(5)$
चरण $3$: समीकरण $(5)$ का मान $(3)$ में प्रतिस्थापित कीजिए:
$9(\frac{13 - 3y}{2}) - 10y = -12$
$2$ से गुणा करने पर: $9(13 - 3y) - 20y = -24$
$117 - 27y - 20y = -24$
$-47y = -24 - 117$
$-47y = -141$
$y = \frac{141}{47} = 3$
चरण $4$: $y = 3$ का मान $(5)$ में रखिए:
$x = \frac{13 - 3(3)}{2} = \frac{13 - 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$
अतः,हल $x = 2, y = 3$ है।

(M = -1) दिए गए समीकरण हैं:
$2x + 3y = 11$ $...(1)$
$2x - 4y = -24$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ से,हम $x$ को $y$ के पदों में व्यक्त करते हैं:
$2x = 11 - 3y$
$x = \frac{11 - 3y}{2}$ $...(3)$
समीकरण $(3)$ से $x$ का मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2\left(\frac{11 - 3y}{2}\right) - 4y = -24$
$11 - 3y - 4y = -24$
$11 - 7y = -24$
$-7y = -24 - 11$
$-7y = -35$
$y = 5$
अब,$x$ का मान ज्ञात करने के लिए $y = 5$ को समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$x = \frac{11 - 3(5)}{2} = \frac{11 - 15}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
अतः,हल $x = -2$ और $y = 5$ है।
अब,$m$ का मान ज्ञात करने के लिए इन मानों को $y = mx + 3$ में रखने पर:
$5 = m(-2) + 3$
$5 - 3 = -2m$
$2 = -2m$
$m = -1$

(N/A) माना कि पहली संख्या $x$ है और दूसरी संख्या $y$ है,जहाँ $y > x$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
$y = 3x$ $...(1)$
$y - x = 26$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ से $y$ का मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3x - x = 26$
$2x = 26$
$x = 13$ $...(3)$
$x$ का यह मान समीकरण $(1)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = 3(13) = 39$
अतः,वे दो संख्याएँ $13$ और $39$ हैं।

(A) माना कि बड़ा कोण $x$ है और छोटा कोण $y$ है।
हम जानते हैं कि संपूरक कोणों के युग्म के मापों का योग हमेशा $180^{\circ}$ होता है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
$x + y = 180^{\circ}$ $...(1)$
$x - y = 18^{\circ}$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$x = 180^{\circ} - y$ $...(3)$
$x$ का मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(180^{\circ} - y) - y = 18^{\circ}$
$180^{\circ} - 2y = 18^{\circ}$
$180^{\circ} - 18^{\circ} = 2y$
$162^{\circ} = 2y$
$y = 81^{\circ}$ $...(4)$
$y$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = 180^{\circ} - 81^{\circ}$
$x = 99^{\circ}$
अतः,दोनों कोण $99^{\circ}$ और $81^{\circ}$ हैं।

(A) माना कि एक बल्ले का मूल्य $x$ है और एक गेंद का मूल्य $y$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
$7x + 6y = 3800$ $...(1)$
$3x + 5y = 1750$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ से,$y$ को $x$ के पदों में व्यक्त करने पर:
$6y = 3800 - 7x$
$y = \frac{3800 - 7x}{6}$ $...(3)$
$y$ का यह मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3x + 5\left(\frac{3800 - 7x}{6}\right) = 1750$
समीकरण को सरल बनाने के लिए पूरे समीकरण को $6$ से गुणा करने पर:
$18x + 5(3800 - 7x) = 10500$
$18x + 19000 - 35x = 10500$
$-17x = 10500 - 19000$
$-17x = -8500$
$x = 500$
अब,$x = 500$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$y = \frac{3800 - 7(500)}{6}$
$y = \frac{3800 - 3500}{6}$
$y = \frac{300}{6} = 50$
अतः,एक बल्ले का मूल्य ₹ $500$ है और एक गेंद का मूल्य ₹ $50$ है।

(D) माना कि नियत भाड़ा ₹ $x$ है और प्रति $km$ भाड़ा ₹ $y$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
$x + 10y = 105$ $(1)$
$x + 15y = 155$ $(2)$
समीकरण $(1)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$x = 105 - 10y$ $(3)$
समीकरण $(3)$ से $x$ का मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(105 - 10y) + 15y = 155$
$105 + 5y = 155$
$5y = 155 - 105$
$5y = 50$
$y = 10$
$y = 10$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$x = 105 - 10(10)$
$x = 105 - 100$
$x = 5$
अतः,नियत भाड़ा ₹ $5$ है और प्रति $km$ भाड़ा ₹ $10$ है।
$25 \, km$ की दूरी के लिए कुल भाड़ा:
$x + 25y = 5 + 25(10) = 5 + 250 = ₹ 255$.

(A) माना कि भिन्न का अंश $x$ है और हर $y$ है। अतः भिन्न $\frac{x}{y}$ है।
प्रथम शर्त के अनुसार: $\frac{x+2}{y+2} = \frac{9}{11}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $11(x+2) = 9(y+2) \implies 11x + 22 = 9y + 18 \implies 11x - 9y = -4$ (समीकरण $1$).
दूसरी शर्त के अनुसार: $\frac{x+3}{y+3} = \frac{5}{6}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $6(x+3) = 5(y+3) \implies 6x + 18 = 5y + 15 \implies 6x - 5y = -3$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ से,$5y = 6x + 3 \implies y = \frac{6x+3}{5}$.
इस मान को समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करने पर: $11x - 9(\frac{6x+3}{5}) = -4$.
$5$ से गुणा करने पर: $55x - 9(6x+3) = -20 \implies 55x - 54x - 27 = -20 \implies x = 7$.
अब,$y$ का मान ज्ञात करें: $y = \frac{6(7)+3}{5} = \frac{42+3}{5} = \frac{45}{5} = 9$.
अतः,अभीष्ट भिन्न $\frac{7}{9}$ है।

(N/A) माना जैकब की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है और उसके पुत्र की वर्तमान आयु $y$ वर्ष है।
स्थिति $1$: पाँच वर्ष बाद,जैकब की आयु $(x + 5)$ होगी और उसके पुत्र की आयु $(y + 5)$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,$(x + 5) = 3(y + 5) \implies x + 5 = 3y + 15 \implies x - 3y = 10$ (समीकरण $1$)।
स्थिति $2$: पाँच वर्ष पूर्व,जैकब की आयु $(x - 5)$ थी और उसके पुत्र की आयु $(y - 5)$ थी।
प्रश्न के अनुसार,$(x - 5) = 7(y - 5) \implies x - 5 = 7y - 35 \implies x - 7y = -30$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ से,$x = 3y + 10$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण $2$ में प्रतिस्थापित करने पर: $(3y + 10) - 7y = -30 \implies -4y = -40 \implies y = 10$।
$y = 10$ को $x = 3y + 10$ में रखने पर: $x = 3(10) + 10 = 40$।
अतः,जैकब की वर्तमान आयु $40$ वर्ष है और उसके पुत्र की वर्तमान आयु $10$ वर्ष है।

(A) माना कि दो व्यक्तियों की आय क्रमशः ₹ $9x$ और ₹ $7x$ है और उनके खर्च क्रमशः ₹ $4y$ और ₹ $3y$ हैं।
चूंकि $\text{आय} - \text{खर्च} = \text{बचत}$,इसलिए:
$9x - 4y = 2000$ $...(1)$
$7x - 3y = 2000$ $...(2)$
इन समीकरणों को हल करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $3$ से और समीकरण $(2)$ को $4$ से गुणा करें:
$27x - 12y = 6000$ $...(3)$
$28x - 12y = 8000$ $...(4)$
समीकरण $(4)$ में से समीकरण $(3)$ को घटाने पर:
$(28x - 27x) - (12y - 12y) = 8000 - 6000$
$x = 2000$
$x = 2000$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$9(2000) - 4y = 2000$
$18000 - 4y = 2000$
$4y = 16000$
$y = 4000$
अतः,उनकी मासिक आय $9x = 9 \times 2000 = ₹ 18,000$ और $7x = 7 \times 2000 = ₹ 14,000$ है।

(D) चरण $1$: $x$ के गुणांकों को समान करने के लिए समीकरण $(1)$ को $2$ से और समीकरण $(2)$ को $1$ से गुणा करें। तब हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होते हैं:
$4x + 6y = 16$ $...(3)$
$4x + 6y = 7$ $...(4)$
चरण $2$: समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(4)$ को घटाने पर:
$(4x - 4x) + (6y - 6y) = 16 - 7$
अर्थात,$0 = 9$,जो कि एक असत्य कथन है।
अतः,रैखिक समीकरणों के इस युग्म का कोई हल नहीं है।

(A) माना दहाई का अंक $x$ है और इकाई का अंक $y$ है। संख्या $10x + y$ है।
जब अंकों को उलट दिया जाता है,तो नई संख्या $10y + x$ होती है।
प्रश्न के अनुसार,$(10x + y) + (10y + x) = 66$ है।
$11x + 11y = 66$,जो सरल होकर $x + y = 6$ हो जाता है $...(1)$।
यह दिया गया है कि अंकों का अंतर $2$ है,इसलिए दो स्थितियाँ संभव हैं:
स्थिति $1$: $x - y = 2$ $...(2)$।
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर: $2x = 8 \implies x = 4$। $(1)$ में $x=4$ रखने पर,$y = 2$ प्राप्त होता है। संख्या $42$ है।
स्थिति $2$: $y - x = 2$ $...(3)$।
$(1)$ और $(3)$ को जोड़ने पर: $2y = 8 \implies y = 4$। $(1)$ में $y=4$ रखने पर,$x = 2$ प्राप्त होता है। संख्या $24$ है।
अतः,ऐसी दो संख्याएँ हैं: $42$ और $24$।

(N/A) विलोपन विधि द्वारा:
$x+y=5$ $...(1)$
$2x-3y=4$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ को $2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x+2y=10$ $...(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(2x+2y) - (2x-3y) = 10 - 4$
$5y = 6$
$y = \frac{6}{5}$ $...(4)$
$y$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x + \frac{6}{5} = 5$
$x = 5 - \frac{6}{5} = \frac{25-6}{5} = \frac{19}{5}$
अतः,$x = \frac{19}{5}, y = \frac{6}{5}$।
प्रतिस्थापन विधि द्वारा:
समीकरण $(1)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$x = 5 - y$ $...(5)$
इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2(5-y) - 3y = 4$
$10 - 2y - 3y = 4$
$10 - 5y = 4$
$-5y = 4 - 10$
$-5y = -6$
$y = \frac{6}{5}$
$y$ का मान समीकरण $(5)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = 5 - \frac{6}{5} = \frac{19}{5}$
अतः,$x = \frac{19}{5}, y = \frac{6}{5}$।

(N/A) विलोपन विधि द्वारा:
$3x + 4y = 10$ $...(1)$
$2x - 2y = 2$ $...(2)$
समीकरण $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$4x - 4y = 4$ $...(3)$
समीकरण $(1)$ और $(3)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$7x = 14$
$x = 2$ $...(4)$
$x = 2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3(2) + 4y = 10$
$6 + 4y = 10$
$4y = 4$
$y = 1$
अतः,$x = 2, y = 1$।
प्रतिस्थापन विधि द्वारा:
समीकरण $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$2x = 2 + 2y$
$x = 1 + y$ $...(5)$
इस मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3(1 + y) + 4y = 10$
$3 + 3y + 4y = 10$
$7y = 7$
$y = 1$
$y = 1$ का मान समीकरण $(5)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = 1 + 1 = 2$
इसलिए,$x = 2, y = 1$।