Mix Examples - Pair of Linear Equations in Two Variables Questions in Hindi

(A) $x+y=7$
$\therefore y=7-x$
$x=0$ के लिए,$y=7-0=7$
$x=7$ के लिए,$y=7-7=0$

$x$	$0$	$7$
$y$	$7$	$0$

$\therefore$ ग्राफ पेपर पर $x+y=7$ के हल समुच्चय के क्रमित युग्मों $(0, 7)$ और $(7, 0)$ को आलेखित कीजिए और उन्हें जोड़कर रेखा खींचिए।
$5x+2y=20$
$\therefore 2y=20-5x \quad \therefore y=\frac{20-5x}{2}$
$x=0$ के लिए,$y=\frac{20-0}{2}=10$
$x=4$ के लिए,$y=\frac{20-20}{2}=0$

$x$	$0$	$4$
$y$	$10$	$0$

$\therefore$ ग्राफ पेपर पर $5x+2y=20$ के हल समुच्चय के क्रमित युग्मों $(0, 10)$ और $(4, 0)$ को आलेखित कीजिए और उन्हें जोड़कर रेखा खींचिए।
इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु (उभयनिष्ठ बिंदु) $(2, 5)$ है,जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है।
अतः,रैखिक समीकरण युग्म का हल $(2, 5)$ है।

(N/A) समीकरण $3x + 6y = 3900$ के लिए:
$3$ से भाग देने पर,हमें $x + 2y = 1300$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y = \frac{1300 - x}{2}$।
यदि $x = 0$ है,तो $y = 650$। यदि $x = 1300$ है,तो $y = 0$।

$x$	$0$	$1300$
$y$	$650$	$0$

बिंदुओं $(0, 650)$ और $(1300, 0)$ को आलेख पत्र पर अंकित करके रेखा खींचिए।
समीकरण $x + 3y = 1300$ के लिए:
इसका अर्थ है $y = \frac{1300 - x}{3}$।
यदि $x = 1300$ है,तो $y = 0$। यदि $x = 100$ है,तो $y = 400$।

$x$	$1300$	$100$
$y$	$0$	$400$

बिंदुओं $(1300, 0)$ और $(100, 400)$ को आलेख पत्र पर अंकित करके रेखा खींचिए।
इन दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(1300, 0)$ है,जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है।
अतः,रैखिक समीकरण युग्म का हल $x = 1300, y = 0$ है।

(D) समीकरण $3x + 4y = 6$ के लिए:
$4y = 6 - 3x$
$y = \frac{6 - 3x}{4}$
यदि $x = -2$,तो $y = \frac{6 - 3(-2)}{4} = \frac{12}{4} = 3$।
यदि $x = 2$,तो $y = \frac{6 - 3(2)}{4} = \frac{0}{4} = 0$।

$x$	$-2$	$2$
$y$	$3$	$0$

बिंदुओं $(-2, 3)$ और $(2, 0)$ को आलेख पत्र पर अंकित करके रेखा खींचिए।
समीकरण $3x + 4y = 19$ के लिए:
$4y = 19 - 3x$
$y = \frac{19 - 3x}{4}$
यदि $x = 5$,तो $y = \frac{19 - 3(5)}{4} = \frac{4}{4} = 1$।
यदि $x = 1$,तो $y = \frac{19 - 3(1)}{4} = \frac{16}{4} = 4$।

$x$	$5$	$1$
$y$	$1$	$4$

बिंदुओं $(5, 1)$ और $(1, 4)$ को आलेख पत्र पर अंकित करके रेखा खींचिए।
चूंकि ये रेखाएं समांतर हैं और एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं,इसलिए समीकरणों के इस युग्म का कोई हल नहीं है। हल समुच्चय $\varnothing$ है।

(N/A) यहाँ,$3x+3y=15$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करने पर,हमें समीकरण $x+y=5$ प्राप्त होता है।
अतः,युग्म के दोनों समीकरण समान हैं।
इसलिए,हम कह सकते हैं कि दोनों रेखाएँ एक ही हैं।
अतः,वे संपाती हैं। इसका अर्थ है कि इसके अनंत हल हैं। ग्राफ खींचने के लिए,हम निम्नलिखित तालिका बनाते हैं:
$x+y=5$
$\therefore y=5-x$
$x=0$ के लिए,$y=5-0=5$
$x=5$ के लिए,$y=5-5=0$
और
$3x+3y=15$
$\therefore 3y=15-3x$
$\therefore y=\frac{15-3x}{3}$
$\therefore y=5-x$
$\therefore$ दोनों तालिकाएँ समान हैं।

$x$	$0$	$5$
$y$	$5$	$0$

$\therefore$ ग्राफ पेपर पर $x+y=5$ (या $3x+3y=15$,अर्थात $x+y=5$) के हल समुच्चय के दो बिंदुओं $(0, 5)$ और $(5, 0)$ को अंकित करें और उन्हें जोड़कर रेखा खींचें।
यहाँ,दोनों समीकरणों के ग्राफ समान हैं। साथ ही,हम देख सकते हैं कि रेखा पर अनंत बिंदु हैं,और वे सभी हल समुच्चय बनाते हैं। अतः,रैखिक समीकरण युग्म का हल समुच्चय ${(x, y) \mid x+y=5, x, y \in R}$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$1) \, y + x = 5 \implies y = 5 - x$
$2) \, y - x = 9 \implies y = 9 + x$
आलेख खींचने के लिए, हम प्रत्येक रेखा के लिए बिंदु ज्ञात करते हैं:
$y = 5 - x$ के लिए: यदि $x = 0, y = 5$; यदि $x = 5, y = 0$। बिंदु $(0, 5)$ और $(5, 0)$ हैं।
$y = 9 + x$ के लिए: यदि $x = 0, y = 9$; यदि $x = -9, y = 0$। बिंदु $(0, 9)$ और $(-9, 0)$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए बीजगणितीय रूप से हल करने पर:
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(y + x) + (y - x) = 5 + 9 \implies 2y = 14 \implies y = 7$।
$y = 7$ को $y + x = 5$ में रखने पर: $7 + x = 5 \implies x = -2$।
अतः, प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, 7)$ है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$1) 3x + 6y = 4$
$2) 2x + 4y = \frac{8}{3}$
समीकरण $(2)$ को $\frac{3}{2}$ से गुणा करने पर:
$\frac{3}{2}(2x + 4y) = \frac{3}{2} \times \frac{8}{3}$
$3x + 6y = 4$
चूंकि दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं,इसलिए ये संपाती रेखाएं हैं।
अतः,इस निकाय के अनंत हल हैं। हल समुच्चय $\{(x, y) \mid 3x + 6y = 4; x, y \in R \}$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$1) 2x + y = 7 \implies y = 7 - 2x$
$x = 0$ के लिए,$y = 7$। $x = 2$ के लिए,$y = 3$। $x = 3$ के लिए,$y = 1$।
$2) x - 2y = 6 \implies x = 6 + 2y$
$y = 0$ के लिए,$x = 6$। $y = -1$ के लिए,$x = 4$। $y = -2$ के लिए,$x = 2$।
इन बिंदुओं को ग्राफ पर आलेखित करने पर,दोनों रेखाएं $(4, -1)$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,हल $x = 4$ और $y = -1$ है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$1) y = 2$
$2) x + 4y = 10$
चरण $1$: पहला समीकरण $y = 2$ एक क्षैतिज रेखा को दर्शाता है जो उन सभी बिंदुओं से गुजरती है जहाँ $y$-निर्देशांक $2$ है।
चरण $2$: दूसरे समीकरण $x + 4y = 10$ के लिए,समीकरण में $y = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x + 4(2) = 10$
$x + 8 = 10$
$x = 10 - 8$
$x = 2$
चरण $3$: दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 2)$ है।
आलेखीय रूप से,रेखा $y = 2$ एक क्षैतिज रेखा है,और $x + 4y = 10$ एक रेखा है जो $(10, 0)$ और $(2, 2)$ से होकर गुजरती है। दोनों रेखाएँ $(2, 2)$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$1) x + y = 5$
$2) 5x - 2y = 4$
समीकरण $(1)$ के लिए,यदि $x = 0$,तो $y = 5$। यदि $y = 0$,तो $x = 5$। बिंदु $(0, 5)$ और $(5, 0)$ हैं।
समीकरण $(2)$ के लिए,यदि $x = 0$,तो $-2y = 4 \implies y = -2$। यदि $y = 0$,तो $5x = 4 \implies x = 0.8$। बिंदु $(0, -2)$ और $(0.8, 0)$ हैं।
इन रेखाओं को ग्राफ पर आलेखित करने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 3)$ प्राप्त होता है।
सत्यापन: $2 + 3 = 5$ (सही) और $5(2) - 2(3) = 10 - 6 = 4$ (सही)।
अतः,हल $(2, 3)$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$1) \, 2x - 3y = 5$
$2) \, 4x - 6y = -13$
इन्हें मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 2, b_1 = -3, c_1 = -5$
$a_2 = 4, b_2 = -6, c_2 = 13$
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-5}{13}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएं एक-दूसरे के समानांतर हैं।
समानांतर रेखाएं किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करती हैं,जिसका अर्थ है कि समीकरणों के इस निकाय का कोई हल नहीं है $(\varnothing)$.

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$1) 4x + y = 7$
$2) 16x + 4y = 28$
समीकरण $(2)$ को $4$ से विभाजित करने पर:
$4x + y = 7$
चूंकि दोनों समीकरण समान हैं,वे आलेख पर एक ही रेखा को दर्शाते हैं।
$x$ के किसी भी मान के लिए,हम $y$ का संगत मान ज्ञात कर सकते हैं ताकि $y = 7 - 4x$ हो।
अतः,इस निकाय के अनंत अनेक हल हैं।
हल समुच्चय ${(x, y) \mid 4x + y = 7; x, y \in R}$ है।

(D) समीकरणों $x + 2y = -4$ और $3x + 4y = -6$ को आलेखीय रूप से हल करने के लिए:
$1$. पहले समीकरण $x + 2y = -4$ के लिए,यदि $x = 0$ है,तो $y = -2$ है। यदि $y = 0$ है,तो $x = -4$ है। रेखा $(0, -2)$ और $(-4, 0)$ से होकर गुजरती है।
$2$. दूसरे समीकरण $3x + 4y = -6$ के लिए,यदि $x = 0$ है,तो $y = -1.5$ है। यदि $y = 0$ है,तो $x = -2$ है। रेखा $(0, -1.5)$ और $(-2, 0)$ से होकर गुजरती है।
$3$. बीजगणितीय रूप से हल करने पर: पहले समीकरण को $2$ से गुणा करने पर: $2x + 4y = -8$। इसे दूसरे समीकरण से घटाने पर: $(3x + 4y) - (2x + 4y) = -6 - (-8)$,जिससे $x = 2$ प्राप्त होता है।
$4$. $x = 2$ को $x + 2y = -4$ में रखने पर: $2 + 2y = -4 \implies 2y = -6 \implies y = -3$।
$5$. प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, -3)$ है।

(A) आलेखीय विधि से समीकरणों $x + y = 8$ और $x - y = 2$ को हल करने के लिए:
$1$. समीकरण $x + y = 8$ के लिए,दो बिंदु ज्ञात करें: यदि $x = 0$ है,तो $y = 8$; यदि $x = 8$ है,तो $y = 0$ है। यह रेखा $(0, 8)$ और $(8, 0)$ से होकर गुजरती है।
$2$. समीकरण $x - y = 2$ के लिए,दो बिंदु ज्ञात करें: यदि $x = 0$ है,तो $y = -2$; यदि $x = 2$ है,तो $y = 0$ है। यह रेखा $(0, -2)$ और $(2, 0)$ से होकर गुजरती है।
$3$. इन दोनों रेखाओं को कार्तीय तल पर आलेखित करने पर,वे बिंदु $(5, 3)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
$4$. अतः,अभीष्ट हल $x = 5$ और $y = 3$ है।

(B) दिए गए समीकरण:
$1) \ 2x + 3y = 12$
$2) \ 2x + 3y = 6$
इन समीकरणों की तुलना मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से करने पर:
$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = -12$
$a_2 = 2, b_2 = 3, c_2 = -6$
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{2} = 1$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{3} = 1$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-12}{-6} = 2$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए रेखाएं एक-दूसरे के समांतर हैं।
समांतर रेखाएं किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करती हैं,जिसका अर्थ है कि समीकरणों के इस निकाय का कोई हल नहीं है।
अतः,हल समुच्चय $\varnothing$ है।

(C) $1$. समीकरण $x+y=10$ के लिए,यदि $x=0$ तो $y=10$; यदि $y=0$ तो $x=10$। रेखा $(0,10)$ और $(10,0)$ से होकर गुजरती है।
$2$. समीकरण $x-y=4$ के लिए,यदि $x=0$ तो $y=-4$; यदि $y=0$ तो $x=4$। रेखा $(0,-4)$ और $(4,0)$ से होकर गुजरती है।
$3$. समीकरणों को हल करने पर: $(x+y=10)$ और $(x-y=4)$ को जोड़ने पर $2x=14$ प्राप्त होता है,अतः $x=7$। $x=7$ को $x+y=10$ में रखने पर $y=3$ प्राप्त होता है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(7,3)$ है।
$4$. त्रिभुज दोनों रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु $(7,3)$ और $X$-अक्ष के साथ उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं $(4,0)$ और $(10,0)$ द्वारा बनता है।
$5$. अतः,त्रिभुज के शीर्ष $(7,3), (4,0)$ और $(10,0)$ हैं।

(D) $1$. समीकरण $x + 3y = 6$ के लिए: यदि $x = 0$,तो $3y = 6 \implies y = 2$. यदि $y = 0$,तो $x = 6$. बिंदु $(0, 2)$ और $(6, 0)$ हैं।
$2$. समीकरण $2x - 3y = 12$ के लिए: यदि $x = 0$,तो $-3y = 12 \implies y = -4$. यदि $y = 0$,तो $2x = 12 \implies x = 6$. बिंदु $(0, -4)$ और $(6, 0)$ हैं।
$3$. समीकरणों को हल करने पर: दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,$(x + 3y) + (2x - 3y) = 6 + 12 \implies 3x = 18 \implies x = 6$. $x = 6$ को $x + 3y = 6$ में रखने पर,$6 + 3y = 6 \implies y = 0$. प्रतिच्छेदन बिंदु $(6, 0)$ है।
$4$. त्रिभुज इन दो रेखाओं और $Y$-अक्ष द्वारा बनता है। शीर्ष दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(6, 0)$,पहली रेखा का $Y$-अंतःखंड $(0, 2)$ और दूसरी रेखा का $Y$-अंतःखंड $(0, -4)$ हैं।
$5$. अतः,शीर्ष $(6, 0), (0, 2), (0, -4)$ हैं।

$(A)$ माना लड़कों की संख्या $x$ है और लड़कियों की संख्या $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,कुल छात्रों की संख्या $6$ है,इसलिए $x + y = 6$ है।
लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से $2$ कम है,इसलिए $y = x - 2$,जिसे $x - y = 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
समीकरणों के निकाय को हल करने पर:
$1) x + y = 6$
$2) x - y = 2$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(x + y) + (x - y) = 6 + 2 \rightarrow 2x = 8 \rightarrow x = 4$ है।
पहले समीकरण में $x = 4$ रखने पर: $4 + y = 6 \rightarrow y = 2$ है।
अतः,$4$ लड़के और $2$ लड़कियाँ हैं।

(A) यह जाँचने के लिए कि समीकरणों का युग्म संगत है या नहीं,हम गुणांकों के अनुपात की तुलना करते हैं:
$a_1 = 2, b_1 = 4, c_1 = -9$
$a_2 = 3, b_2 = 6, c_2 = -\frac{27}{2}$
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-9}{-27/2} = \frac{9 \times 2}{27} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$
चूँकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{3}$ है,इसलिए रेखाएँ संपाती हैं।
संपाती रेखाओं के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं,इसलिए यह निकाय संगत है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$2x + 3y = 11$ .......... $(i)$
$2x - y = -1$ .......... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ से,हम $y$ को $x$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:
$y = 2x + 1$ .......... $(iii)$
समीकरण $(iii)$ से $y$ का मान समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2x + 3(2x + 1) = 11$
$2x + 6x + 3 = 11$
$8x + 3 = 11$
$8x = 8$
$x = 1$
अब,$x = 1$ का मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर:
$y = 2(1) + 1$
$y = 2 + 1$
$y = 3$
अतः,हल $(x, y) = (1, 3)$ है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$3x - 7y = 18$ ..... $(1)$
$6x - 14y = 12$ ..... $(2)$
समीकरण $(2)$ को $2$ से विभाजित करने पर:
$3x - 7y = 6$ ..... $(3)$
समीकरण $(1)$ से,हमें $3x = 18 + 7y$ प्राप्त होता है। इस मान को समीकरण $(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(18 + 7y) - 7y = 6$
$18 = 6$
यह एक विरोधाभास है,क्योंकि $18$ कभी भी $6$ के बराबर नहीं हो सकता।
अतः,दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है,जिसका अर्थ है कि हल समुच्चय $\varnothing$ है।

(A) माना कि भिन्न का अंश $x$ है और हर $y$ है।
पहली शर्त के अनुसार,यदि अंश में से $2$ घटाया जाए और हर में $3$ जोड़ा जाए,तो भिन्न $\frac{1}{4}$ हो जाती है।
$\frac{x-2}{y+3} = \frac{1}{4}$
$4(x-2) = y+3$
$4x - 8 = y + 3$
$4x - y = 11$ .......... $(1)$
दूसरी शर्त के अनुसार,यदि अंश में $6$ जोड़ा जाए और हर को $3$ से गुणा किया जाए,तो भिन्न $\frac{2}{3}$ हो जाती है।
$\frac{x+6}{3y} = \frac{2}{3}$
$3(x+6) = 2(3y)$
$3x + 18 = 6y$
$3x - 6y = -18$
$3$ से भाग देने पर,$x - 2y = -6$ .......... $(2)$
समीकरण $(1)$ से,$y = 4x - 11$. इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$x - 2(4x - 11) = -6$
$x - 8x + 22 = -6$
$-7x = -28$
$x = 4$
अब,$x = 4$ का मान $y = 4x - 11$ में रखने पर:
$y = 4(4) - 11 = 16 - 11 = 5$
अतः,मूल भिन्न $\frac{x}{y} = \frac{4}{5}$ है।

(A) माना पिता की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है और पुत्र की वर्तमान आयु $y$ वर्ष है।
पहली शर्त के अनुसार: $x + 2y = 70$ --- $(1)$
दूसरी शर्त के अनुसार: $2x + y = 95$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से,हमें $x = 70 - 2y$ प्राप्त होता है।
$x$ का यह मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(70 - 2y) + y = 95$
$140 - 4y + y = 95$
$140 - 3y = 95$
$-3y = 95 - 140$
$-3y = -45$
$y = 15$
अब,$y = 15$ का मान $x = 70 - 2y$ में रखने पर:
$x = 70 - 2(15)$
$x = 70 - 30 = 40$
अतः,पिता की वर्तमान आयु $40$ वर्ष और पुत्र की वर्तमान आयु $15$ वर्ष है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$1) x + y = 7$
$2) 5x + 12y = 7$
समीकरण $(1)$ से,हम $x$ को $y$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:
$x = 7 - y$ $(3)$
समीकरण $(3)$ का मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$5(7 - y) + 12y = 7$
$35 - 5y + 12y = 7$
$35 + 7y = 7$
$7y = 7 - 35$
$7y = -28$
$y = -4$
अब,$y = -4$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$x = 7 - (-4)$
$x = 7 + 4$
$x = 11$
अतः,हल $(x, y) = (11, -4)$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$1) 5x - 3y = 1$
$2) 2x + 5y = 19$
समीकरण $(1)$ से,$5x = 1 + 3y$,इसलिए $x = \frac{1 + 3y}{5}$.
$x$ का यह मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(\frac{1 + 3y}{5}) + 5y = 19$
हर को हटाने के लिए $5$ से गुणा करने पर:
$2(1 + 3y) + 25y = 95$
$2 + 6y + 25y = 95$
$31y = 93$
$y = 3$
अब,$y = 3$ का मान $x$ के व्यंजक में रखने पर:
$x = \frac{1 + 3(3)}{5} = \frac{1 + 9}{5} = \frac{10}{5} = 2$.
अतः,हल $(x, y) = (2, 3)$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $2x - y + 3 = 0$
$(2)$ $y = 2x - \frac{3}{2}$
समीकरण $(2)$ से $y$ का मान समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2x - (2x - \frac{3}{2}) + 3 = 0$
$2x - 2x + \frac{3}{2} + 3 = 0$
$\frac{3}{2} + 3 = 0$
$\frac{3 + 6}{2} = 0$
$\frac{9}{2} = 0$
चूंकि $\frac{9}{2} \neq 0$,यह कथन एक विरोधाभास है।
अतः,दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है,जिसका अर्थ है कि रेखाएं समांतर हैं। सही विकल्प $A$ है।

(N/A) दिए गए समीकरण हैं:
$1) \, 2x - 3y = -11$
$2) \, 4x - 6y + 22 = 0$
समीकरण $(2)$ से,हम लिख सकते हैं $4x - 6y = -22$,जिसे सरल करने पर $2(2x - 3y) = -22$ प्राप्त होता है,अर्थात $2x - 3y = -11$.
चूंकि दोनों समीकरण समान हैं,वे एक ही रेखा को दर्शाते हैं।
इसका अर्थ है कि इस निकाय के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
$2x - 3y = -11$ को संतुष्ट करने वाला कोई भी युग्म $(x, y)$ एक हल है।
अतः,हल समुच्चय $\{(x, y) \mid 2x - 3y = -11; \, x, y \in R \}$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $3x + y + 1 = 0$
$(2)$ $2x - 3y + 8 = 0$
समीकरण $(1)$ से,हम $y$ को $x$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:
$y = -3x - 1$ $(3)$
समीकरण $(3)$ से $y$ का मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2x - 3(-3x - 1) + 8 = 0$
$2x + 9x + 3 + 8 = 0$
$11x + 11 = 0$
$11x = -11$
$x = -1$
अब,$x = -1$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$y = -3(-1) - 1$
$y = 3 - 1$
$y = 2$
अतः,हल $(x, y) = (-1, 2)$ है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$1) 8x - 3y = 1$
$2) 34x - 3y = 14$
समीकरण $(1)$ से,हम $3y$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$3y = 8x - 1$
$y = (8x - 1) / 3$
$y$ का यह मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$34x - 3((8x - 1) / 3) = 14$
$34x - (8x - 1) = 14$
$34x - 8x + 1 = 14$
$26x = 13$
$x = 13 / 26 = 1/2$
अब,$x = 1/2$ का मान $y$ के व्यंजक में रखने पर:
$y = (8(1/2) - 1) / 3$
$y = (4 - 1) / 3$
$y = 3 / 3 = 1$
अतः,हल $(x, y) = (1/2, 1)$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) x + 8y = 19$
$(2) 2x + 11y = 28$
समीकरण $(1)$ से,हम $x$ को $y$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:
$x = 19 - 8y$
$x$ के इस मान को समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(19 - 8y) + 11y = 28$
$38 - 16y + 11y = 28$
$38 - 5y = 28$
$-5y = 28 - 38$
$-5y = -10$
$y = 2$
अब,$y = 2$ का मान $x$ के व्यंजक में रखने पर:
$x = 19 - 8(2)$
$x = 19 - 16$
$x = 3$
अतः,हल $(x, y) = (3, 2)$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$1) \, 2x + 3y = 7$
$2) \, 6x + 9y = 23$
गुणांकों के अनुपात की जाँच करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{7}{23}$
चूँकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए रेखाएँ एक-दूसरे के समांतर हैं।
अतः,समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है,जिसे $\varnothing$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) x + 11y = 1$
$(2) 8x + 13y = 2$
समीकरण $(1)$ से,हमें $x = 1 - 11y$ प्राप्त होता है।
$x$ के इस मान को समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$8(1 - 11y) + 13y = 2$
$8 - 88y + 13y = 2$
$8 - 75y = 2$
$-75y = 2 - 8$
$-75y = -6$
$y = \frac{-6}{-75} = \frac{2}{25}$.
अब,$y = \frac{2}{25}$ का मान $x$ के व्यंजक में रखने पर:
$x = 1 - 11(\frac{2}{25})$
$x = 1 - \frac{22}{25} = \frac{25 - 22}{25} = \frac{3}{25}$.
अतः,हल $(x, y) = (\frac{3}{25}, \frac{2}{25})$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $8x + 5y = 9$
$(2)$ $3x + 2y = 4$
समीकरण $(2)$ से,हम $y$ को $x$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:
$2y = 4 - 3x$
$y = \frac{4 - 3x}{2}$
$y$ के इस मान को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$8x + 5(\frac{4 - 3x}{2}) = 9$
भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर:
$16x + 5(4 - 3x) = 18$
$16x + 20 - 15x = 18$
$x + 20 = 18$
$x = 18 - 20$
$x = -2$
अब,$x = -2$ का मान $y$ के व्यंजक में रखने पर:
$y = \frac{4 - 3(-2)}{2}$
$y = \frac{4 + 6}{2}$
$y = \frac{10}{2}$
$y = 5$
अतः,हल $(x, y) = (-2, 5)$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$1) 2x + y = 40$
$2) x + y = 30$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(2x + y) - (x + y) = 40 - 30$
$x = 10$
$x = 10$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$10 + y = 30$
$y = 20$
अतः,हल $(x, y) = (10, 20)$ है।
अब,इन मानों को समीकरण $y = mx + 6$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$20 = m(10) + 6$
$20 - 6 = 10m$
$14 = 10m$
$m = \frac{14}{10} = 1.4$.

(A) त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। इसलिए,$x + 3x + y = 180$,जो सरल होकर $4x + y = 180$ हो जाता है।
इससे हमें $y = 180 - 4x$ प्राप्त होता है।
इस मान को दिए गए समीकरण $3y - 5x = 30$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3(180 - 4x) - 5x = 30$
$540 - 12x - 5x = 30$
$540 - 17x = 30$
$17x = 510$
$x = 30^{\circ}$।
अब,$y$ ज्ञात करें:
$y = 180 - 4(30) = 180 - 120 = 60^{\circ}$।
कोणों की जाँच करने पर: $m \angle A = 30^{\circ}$,$m \angle B = 3(30) = 90^{\circ}$,और $m \angle C = 60^{\circ}$।
चूँकि एक कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए त्रिभुज समकोण त्रिभुज है।
तीनों कोण $30^{\circ}, 90^{\circ}, 60^{\circ}$ हैं।

(C) माना कि भिन्न $\frac{x}{y}$ है।
प्रथम शर्त के अनुसार: $\frac{x+1}{y+1} = \frac{4}{5}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $5(x+1) = 4(y+1) \implies 5x + 5 = 4y + 4 \implies 5x - 4y = -1$ (समीकरण $1$).
दूसरी शर्त के अनुसार: $\frac{x-5}{y-5} = \frac{1}{2}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $2(x-5) = 1(y-5) \implies 2x - 10 = y - 5 \implies 2x - y = 5$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ से,$y = 2x - 5$. इस मान को समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$5x - 4(2x - 5) = -1$
$5x - 8x + 20 = -1$
$-3x = -21 \implies x = 7$.
अब,$y$ का मान ज्ञात करें: $y = 2(7) - 5 = 14 - 5 = 9$.
अतः,वह भिन्न $\frac{7}{9}$ है।

(A) मान लीजिए कि अहमदाबाद से नडियाद के टिकट की लागत रु. $x$ है और अहमदाबाद से वडोदरा के टिकट की लागत रु. $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,हमारे पास दो समीकरण हैं:
$1) 5x + 10y = 1050$
$5$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $x + 2y = 210$
$2) x + y = 130$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(x + 2y) - (x + y) = 210 - 130$
$y = 80$
समीकरण $(2)$ में $y = 80$ रखने पर:
$x + 80 = 130$
$x = 130 - 80 = 50$
अतः,अहमदाबाद से नडियाद के टिकट की लागत रु. $50$ है और अहमदाबाद से वडोदरा के टिकट की लागत रु. $80$ है।

(A) माना भिन्न का अंश $x$ है और हर $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,हर अंश से $6$ अधिक है: $y = x + 6$.
यदि अंश में $1$ जोड़ा जाए और हर में से $3$ घटाया जाए,तो भिन्न $\frac{3}{4}$ हो जाती है: $\frac{x + 1}{y - 3} = \frac{3}{4}$.
दूसरे समीकरण में $y = x + 6$ रखने पर: $\frac{x + 1}{(x + 6) - 3} = \frac{3}{4}$.
$\frac{x + 1}{x + 3} = \frac{3}{4}$.
वज्र-गुणन करने पर: $4(x + 1) = 3(x + 3)$.
$4x + 4 = 3x + 9$.
$4x - 3x = 9 - 4$.
$x = 5$.
अब,$y$ का मान ज्ञात करें: $y = x + 6 = 5 + 6 = 11$.
अतः,भिन्न $\frac{x}{y} = \frac{5}{11}$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$2x + y = 4$ --- $(1)$
$x + 3y = 7$ --- $(2)$
$x$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$2(x + 3y) = 2(7) \implies 2x + 6y = 14$ --- $(3)$
अब,समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(2x + 6y) - (2x + y) = 14 - 4$
$5y = 10$
$y = 2$
$y = 2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$2x + 2 = 4$
$2x = 2$
$x = 1$
अतः,हल $(x, y) = (1, 2)$ है।

(C) सबसे पहले,हम समीकरण $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 2$ को $12$ से गुणा करते हैं ताकि इसे पूर्णांक गुणांक वाले समीकरण में बदला जा सके:
$3x + 4y = 24$ .......... $(1)$
$4x + 3y = 25$ .......... $(2)$
$x$ को विलुप्त करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $4$ से और समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करते हैं:
$12x + 16y = 96$ .......... $(3)$
$12x + 9y = 75$ .......... $(4)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(4)$ को घटाने पर:
$(12x - 12x) + (16y - 9y) = 96 - 75$
$7y = 21$
$y = 3$
$y = 3$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$3x + 4(3) = 24$
$3x + 12 = 24$
$3x = 12$
$x = 4$
अतः,दिए गए समीकरण युग्म का हल $(x, y) = (4, 3)$ है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$5x + 6y = 14$ ............ $(1)$
$3x - 2y = -14$ ............ $(2)$
$y$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$3(3x - 2y) = 3(-14) \implies 9x - 6y = -42$ ............ $(3)$
अब,समीकरण $(1)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(5x + 6y) + (9x - 6y) = 14 + (-42)$
$14x = -28$
$x = \frac{-28}{14} = -2$
$x = -2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$5(-2) + 6y = 14$
$-10 + 6y = 14$
$6y = 14 + 10$
$6y = 24$
$y = \frac{24}{6} = 4$
अतः,हल $(x, y) = (-2, 4)$ है।

(A) दशमलव हटाने के लिए दोनों समीकरणों को $10$ से गुणा करने पर:
$4x + 3y = 17$ ............. $(1)$
$7x - 2y = 8$ ............. $(2)$
$y$ का विलोपन करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $2$ से और समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$8x + 6y = 34$
$21x - 6y = 24$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(8x + 21x) + (6y - 6y) = 34 + 24$
$29x = 58$
$x = \frac{58}{29} = 2$
$x = 2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$4(2) + 3y = 17$
$8 + 3y = 17$
$3y = 17 - 8$
$3y = 9$
$y = 3$
अतः,हल $(x, y) = (2, 3)$ है।

(A) मान लीजिए कि थैली में $50$ पैसे के $x$ सिक्के और $25$ पैसे के $y$ सिक्के हैं।
सिक्कों की कुल संख्या $x + y = 150$ है। ....... $(1)$
$50$ पैसे के $x$ सिक्कों का मूल्य $50x$ पैसे है और $25$ पैसे के $y$ सिक्कों का मूल्य $25y$ पैसे है।
कुल राशि $50x + 25y$ पैसे है।
चूंकि कुल राशि $55$ रुपये है,जो कि $5500$ पैसे के बराबर है,इसलिए:
$50x + 25y = 5500$
समीकरण को $25$ से विभाजित करने पर:
$2x + y = 220$ ....... $(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(2x + y) - (x + y) = 220 - 150$
$x = 70$
$x = 70$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$70 + y = 150$
$y = 80$
अतः,$50$ पैसे के सिक्कों की संख्या $70$ है और $25$ पैसे के सिक्कों की संख्या $80$ है।

(C) माना दहाई का अंक $y$ है और इकाई का अंक $x$ है।
मूल संख्या $10y + x$ है।
प्रश्न के अनुसार,अंकों का योग $6$ है:
$x + y = 6$ ............ $(1)$
जब अंकों को आपस में बदल दिया जाता है,तो नई संख्या $10x + y$ प्राप्त होती है।
प्रश्न के अनुसार,नई संख्या मूल संख्या से $18$ कम है:
$(10y + x) - (10x + y) = 18$
$9y - 9x = 18$
$9$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y - x = 2$ ............ $(2)$
समीकरण $(1)$ और समीकरण $(2)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (y - x) = 6 + 2$
$2y = 8$
$y = 4$
$y = 4$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$x + 4 = 6$
$x = 2$
अतः,मूल संख्या $10(4) + 2 = 42$ है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) x + 3y = 6$
$(2) 2x - y = 5$
$y$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करें:
$3(2x - y) = 3(5) \implies 6x - 3y = 15$ $(3)$
अब,समीकरण $(1)$ और समीकरण $(3)$ को जोड़ें:
$(x + 3y) + (6x - 3y) = 6 + 15$
$7x = 21$
$x = 3$
$x = 3$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$2(3) - y = 5$
$6 - y = 5$
$y = 1$
अतः,हल $(x, y) = (3, 1)$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) \quad 4x - 3y = 5$
$(2) \quad \frac{5}{2}x - y = 4$
$y$ को विलोपित करने के लिए समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$3 \times (\frac{5}{2}x - y) = 3 \times 4$
$\frac{15}{2}x - 3y = 12 \quad (3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(\frac{15}{2}x - 3y) - (4x - 3y) = 12 - 5$
$\frac{15}{2}x - 4x = 7$
$\frac{15x - 8x}{2} = 7$
$\frac{7x}{2} = 7$
$x = 2$
$x = 2$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$\frac{5}{2}(2) - y = 4$
$5 - y = 4$
$y = 1$
अतः,हल $(x, y) = (2, 1)$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$1) \frac{x}{2} + \frac{3y}{5} = -1$
$2) \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = \frac{1}{3}$
$x$ को विलोपित करने के लिए समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से घटाने पर:
$(\frac{x}{2} + \frac{3y}{5}) - (\frac{x}{2} + \frac{y}{3}) = -1 - \frac{1}{3}$
$\frac{3y}{5} - \frac{y}{3} = -\frac{4}{3}$
$\frac{9y - 5y}{15} = -\frac{4}{3}$
$\frac{4y}{15} = -\frac{4}{3}$
$y = -\frac{4}{3} \times \frac{15}{4} = -5$
$y = -5$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$\frac{x}{2} + \frac{-5}{3} = \frac{1}{3}$
$\frac{x}{2} = \frac{1}{3} + \frac{5}{3} = \frac{6}{3} = 2$
$x = 4$
अतः,हल $(x, y) = (4, -5)$ है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) \ 9x + 7y = 55$
$(2) \ 7x + 9y = 57$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(9x + 7x) + (7y + 9y) = 55 + 57$
$16x + 16y = 112$
$16$ से भाग देने पर:
$x + y = 7 \quad (3)$
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$(9x - 7x) + (7y - 9y) = 55 - 57$
$2x - 2y = -2$
$2$ से भाग देने पर:
$x - y = -1 \quad (4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (x - y) = 7 + (-1)$
$2x = 6 \implies x = 3$
$x = 3$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$3 + y = 7 \implies y = 4$
अतः,हल $(x, y) = (3, 4)$ है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) \ 11x + 13y = 61$
$(2) \ 13x + 11y = 59$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(11x + 13x) + (13y + 11y) = 61 + 59$
$24x + 24y = 120$
$24$ से भाग देने पर:
$x + y = 5$ --- $(3)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$(13x - 11x) + (11y - 13y) = 59 - 61$
$2x - 2y = -2$
$2$ से भाग देने पर:
$x - y = -1$ --- $(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (x - y) = 5 + (-1)$
$2x = 4 \implies x = 2$
$x = 2$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$2 + y = 5 \implies y = 3$
अतः,हल $(x, y) = (2, 3)$ है।

(A) सबसे पहले,दिए गए समीकरणों को सरल कीजिए:
$1$) $5(x-2) + 3y = 1 \implies 5x - 10 + 3y = 1 \implies 5x + 3y = 11$ (समीकरण $1$)
$2$) $3(x+1) + 5(y-3) = 1 \implies 3x + 3 + 5y - 15 = 1 \implies 3x + 5y = 13$ (समीकरण $2$)
$y$ को विलुप्त करने के लिए,समीकरण $1$ को $5$ से और समीकरण $2$ को $3$ से गुणा कीजिए:
$25x + 15y = 55$ (समीकरण $3$)
$9x + 15y = 39$ (समीकरण $4$)
समीकरण $3$ में से समीकरण $4$ को घटाने पर:
$(25x - 9x) + (15y - 15y) = 55 - 39$
$16x = 16 \implies x = 1$
$x = 1$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$5(1) + 3y = 11$
$5 + 3y = 11$
$3y = 6 \implies y = 2$
अतः,हल $(x, y) = (1, 2)$ है।

(B) सबसे पहले,दिए गए समीकरणों को सरल करें:
समीकरण $1$: $7y + 21 - 2x - 4 = 14 \implies -2x + 7y = -3$
समीकरण $2$: $4y - 8 + 3x - 9 = 2 \implies 3x + 4y = 19$
$x$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $1$ को $3$ से और समीकरण $2$ को $2$ से गुणा करें:
$-6x + 21y = -9$
$6x + 8y = 38$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $29y = 29 \implies y = 1$
$y = 1$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर: $3x + 4(1) = 19 \implies 3x = 15 \implies x = 5$
अतः,हल $(x, y) = (5, 1)$ है।