Mix Examples - Pair of Linear Equations in Two Variables Questions in Hindi

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) \quad 4x - 3y = 8$
$(2) \quad 6x - y = \frac{29}{3}$
$y$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करें:
$18x - 3y = 29 \quad (3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(18x - 3y) - (4x - 3y) = 29 - 8$
$14x = 21$
$x = \frac{21}{14} = \frac{3}{2}$
$x = \frac{3}{2}$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$6(\frac{3}{2}) - y = \frac{29}{3}$
$9 - y = \frac{29}{3}$
$y = 9 - \frac{29}{3} = \frac{27 - 29}{3} = -\frac{2}{3}$
अतः,हल $(x, y) = (\frac{3}{2}, -\frac{2}{3})$ है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) \ 5x - 3y = 1$
$(2) \ 2x + 5y = 19$
$y$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $5$ से और समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$25x - 15y = 5 \quad (3)$
$6x + 15y = 57 \quad (4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$(25x + 6x) + (-15y + 15y) = 5 + 57$
$31x = 62$
$x = 2$
$x = 2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$5(2) - 3y = 1$
$10 - 3y = 1$
$-3y = -9$
$y = 3$
अतः,हल $(x, y) = (2, 3)$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $x + 2y = \frac{3}{2}$
$(2)$ $2x + y = \frac{3}{2}$
$y$ का विलोपन करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $1$ से और समीकरण $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$x + 2y = \frac{3}{2}$
$4x + 2y = 3$
दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर:
$(4x - x) + (2y - 2y) = 3 - \frac{3}{2}$
$3x = \frac{6 - 3}{2} = \frac{3}{2}$
$x = \frac{3}{2 \times 3} = \frac{1}{2}$
$x = \frac{1}{2}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\frac{1}{2} + 2y = \frac{3}{2}$
$2y = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$y = \frac{1}{2}$
अतः,हल $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) \ 2x + y = 35$
$(2) \ 3x + 4y = 65$
समीकरण $(1)$ से,हम $y$ को $x$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:
$y = 35 - 2x$
$y$ के इस मान को समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3x + 4(35 - 2x) = 65$
$3x + 140 - 8x = 65$
$-5x = 65 - 140$
$-5x = -75$
$x = 15$
अब,$x = 15$ के मान को $y$ के व्यंजक में रखने पर:
$y = 35 - 2(15)$
$y = 35 - 30$
$y = 5$
अंत में,अनुपात $\frac{x}{y}$ की गणना करने पर:
$\frac{x}{y} = \frac{15}{5} = 3$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना कि $25$ पैसे के सिक्कों की संख्या $x$ है और $50$ पैसे के सिक्कों की संख्या $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,सिक्कों की कुल संख्या $100$ है,इसलिए $x + y = 100$ (समीकरण $1$)।
$25$ पैसे के $x$ सिक्कों का मूल्य $0.25x$ रुपये है और $50$ पैसे के $y$ सिक्कों का मूल्य $0.50y$ रुपये है।
कुल राशि रु. $42.50$ है,इसलिए $0.25x + 0.50y = 42.50$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ को $0.25$ से गुणा करने पर: $0.25x + 0.25y = 25$ (समीकरण $3$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $3$ को घटाने पर: $(0.25x + 0.50y) - (0.25x + 0.25y) = 42.50 - 25$।
इसे सरल करने पर $0.25y = 17.50$ प्राप्त होता है,इसलिए $y = 17.50 / 0.25 = 70$।
$y = 70$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $x + 70 = 100$,इसलिए $x = 30$।
अतः,थैली में $25$ पैसे के $30$ सिक्के और $50$ पैसे के $70$ सिक्के हैं।

(D) माना इकाई का अंक $x$ है और दहाई का अंक $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,दहाई का अंक इकाई के अंक का दोगुना है,इसलिए $y = 2x$ है।
मूल संख्या को $10y + x$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
$y = 2x$ रखने पर,मूल संख्या $10(2x) + x = 20x + x = 21x$ है।
जब अंकों को आपस में बदल दिया जाता है,तो नई संख्या $10x + y$ हो जाती है।
$y = 2x$ रखने पर,नई संख्या $10x + 2x = 12x$ है।
प्रश्न के अनुसार,नई संख्या मूल संख्या से $27$ कम है,इसलिए $21x - 12x = 27$ है।
$9x = 27$,जिससे $x = 3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y = 2x$ है,इसलिए $y = 2(3) = 6$ है।
अतः,मूल संख्या $10(6) + 3 = 63$ है।

(A) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,संख्याओं का योग $9$ है,इसलिए $x + y = 9$ (समीकरण $1$)।
पहली संख्या के पाँच गुने और दूसरी संख्या के तीन गुने का अंतर $5$ है,इसलिए $5x - 3y = 5$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ से,हमें $y = 9 - x$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण $2$ में प्रतिस्थापित करने पर: $5x - 3(9 - x) = 5$.
$5x - 27 + 3x = 5$.
$8x = 32$.
$x = 4$.
अब,$x = 4$ को $y = 9 - x$ में रखने पर: $y = 9 - 4 = 5$.
अतः,वे संख्याएँ $4$ और $5$ हैं।

(B) माना कि दहाई का अंक $x$ है और इकाई का अंक $y$ है। संख्या $10x + y$ है।
प्रश्न के अनुसार,अंकों का योग $x + y = 13$ है (समीकरण $1$)।
अंकों को आपस में बदलने पर प्राप्त संख्या $10y + x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$(10y + x) = (10x + y) + 9$ है।
इसे सरल करने पर,$9y - 9x = 9$,जिससे $y - x = 1$ प्राप्त होता है (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर: $(x + y) + (y - x) = 13 + 1$,अतः $2y = 14$,जिसका अर्थ है $y = 7$।
$y = 7$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $x + 7 = 13$,अतः $x = 6$।
अतः मूल संख्या $10x + y = 10(6) + 7 = 67$ है।

(A) माना कि आयत की चौड़ाई $x \,cm$ है।
प्रश्न के अनुसार, लंबाई चौड़ाई की $1.5$ गुनी है, इसलिए लंबाई $= 1.5x \,cm$ होगी।
आयत का परिमाप $P = 2 \times (\text{लंबाई} + \text{चौड़ाई})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $P = 100 \,cm$, इसलिए $100 = 2 \times (1.5x + x)$.
$100 = 2 \times (2.5x)$.
$100 = 5x$.
$x = 20 \,cm$.
अतः, चौड़ाई $20 \,cm$ है और लंबाई $1.5 \times 20 = 30 \,cm$ है।

(A) माना राजन और जय की वर्तमान आयु क्रमशः $3x$ और $2x$ है।
पाँच वर्ष बाद,उनकी आयु $(3x + 5)$ और $(2x + 5)$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,पाँच वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात $4:3$ है,अतः:
$\frac{3x + 5}{2x + 5} = \frac{4}{3}$
तिर्यक गुणा करने पर: $3(3x + 5) = 4(2x + 5)$
$9x + 15 = 8x + 20$
$9x - 8x = 20 - 15$
$x = 5$
अतः,राजन की वर्तमान आयु $3 \times 5 = 15$ वर्ष और जय की वर्तमान आयु $2 \times 5 = 10$ वर्ष है।

(A) माना कि एक पेन की कीमत Rs. $x$ है और एक पेंसिल की कीमत Rs. $y$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार,हमारे पास रैखिक समीकरणों का निकाय इस प्रकार है:
$3x + 4y = 23$ --- $(1)$
$2x + 3y = 16$ --- $(2)$
इसे हल करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $2$ से और समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करें:
$6x + 8y = 46$ --- $(3)$
$6x + 9y = 48$ --- $(4)$
समीकरण $(4)$ में से समीकरण $(3)$ को घटाने पर:
$(6x + 9y) - (6x + 8y) = 48 - 46$
$y = 2$
$y = 2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$3x + 4(2) = 23$
$3x + 8 = 23$
$3x = 15$
$x = 5$
अतः,एक पेन की कीमत Rs. $5$ और एक पेंसिल की कीमत Rs. $2$ है।

(A) माना कि $25$ पैसे के सिक्कों की संख्या $x$ है और $50$ पैसे के सिक्कों की संख्या $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,सिक्कों की कुल संख्या $20$ है,इसलिए $x + y = 20$ (समीकरण $1$)।
सिक्कों का कुल मूल्य $7$ रुपये है,जो $700$ पैसे के बराबर है। अतः,$25x + 50y = 700$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ को $25$ से भाग देने पर,हमें $x + 2y = 28$ प्राप्त होता है (समीकरण $3$)।
समीकरण $3$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर: $(x + 2y) - (x + y) = 28 - 20$,जिससे $y = 8$ प्राप्त होता है।
$y = 8$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $x + 8 = 20$,जिससे $x = 12$ प्राप्त होता है।
अतः,$25$ पैसे के $12$ सिक्के और $50$ पैसे के $8$ सिक्के हैं।

(N/A) दिए गए समीकरण हैं:
$1) 0.3 x + 0.4 y = 1$
$2) 6 x + 8 y = 20$
दशमलव हटाने के लिए समीकरण $(1)$ को $10$ से गुणा करने पर: $3 x + 4 y = 10$ (समीकरण $3$)।
अब,समीकरण $(3)$ को $2$ से गुणा करने पर: $6 x + 8 y = 20$ (समीकरण $4$)।
समीकरण $(2)$ और समीकरण $(4)$ की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि वे समान हैं: $6 x + 8 y = 20$।
चूंकि दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं,इसलिए इसके अनंत हल हैं।
हल समुच्चय $\{(x, y) \mid 3 x + 4 y = 10, x, y \in R \}$ है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$2x + 5y = 7$ --- $(i)$
$4x + 10y = 12$ --- $(ii)$
$x$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(i)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$4x + 10y = 14$ --- $(iii)$
अब,समीकरण $(iii)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(4x + 10y) - (4x + 10y) = 14 - 12$
$0 = 2$
चूँकि $0 = 2$ एक असत्य कथन है,इसलिए दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है। अतः,यह निकाय असंगत है।

(A) माना $12 \%$ की दर पर निवेश की गई राशि $x$ रुपये है और $10 \%$ की दर पर निवेश की गई राशि $y$ रुपये है।
प्रश्न के अनुसार,कुल ब्याज $130$ रुपये है:
$0.12x + 0.10y = 130$ --- (समीकरण $1$)
यदि राशियों को आपस में बदल दिया जाए,तो ब्याज में $4$ रुपये की वृद्धि होती है,इसलिए नया ब्याज $134$ रुपये है:
$0.10x + 0.12y = 134$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर:
$0.22x + 0.22y = 264 \implies x + y = 1200$ --- (समीकरण $3$)
समीकरण $1$ में से समीकरण $2$ को घटाने पर:
$0.02x - 0.02y = -4 \implies x - y = -200$ --- (समीकरण $4$)
समीकरण $3$ और समीकरण $4$ को जोड़ने पर:
$2x = 1000 \implies x = 500$
समीकरण $3$ में $x = 500$ रखने पर:
$500 + y = 1200 \implies y = 700$
अतः,राजवंश ने $12 \%$ की दर पर $500$ रुपये और $10 \%$ की दर पर $700$ रुपये का निवेश किया।

(B) दिए गए समीकरणों की तुलना मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से करने पर:
$a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = 1$
$a_2 = 2, b_2 = -3, c_2 = -12$
वज्र-गुणन सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
मान रखने पर:
$\frac{x}{(2)(-12) - (-3)(1)} = \frac{y}{(1)(2) - (-12)(1)} = \frac{1}{(1)(-3) - (2)(2)}$
$\frac{x}{-24 + 3} = \frac{y}{2 + 12} = \frac{1}{-3 - 4}$
$\frac{x}{-21} = \frac{y}{14} = \frac{1}{-7}$
अब,$x$ के लिए हल करने पर:
$\frac{x}{-21} = \frac{1}{-7} \implies x = \frac{-21}{-7} = 3$
$y$ के लिए हल करने पर:
$\frac{y}{14} = \frac{1}{-7} \implies y = \frac{14}{-7} = -2$
अतः,हल $x = 3, y = -2$ है।

(C) दिए गए समीकरणों को मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ में बदलने पर:
$2x + y - 35 = 0$ ........ $(1)$
$3x + 4y - 65 = 0$ ........ $(2)$
मानक रूप से तुलना करने पर:
$a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = -35$
$a_2 = 3, b_2 = 4, c_2 = -65$
वज्र-गुणन सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
मान रखने पर:
$\frac{x}{(1)(-65) - (4)(-35)} = \frac{y}{(-35)(3) - (-65)(2)} = \frac{1}{(2)(4) - (3)(1)}$
$\frac{x}{-65 + 140} = \frac{y}{-105 + 130} = \frac{1}{8 - 3}$
$\frac{x}{75} = \frac{y}{25} = \frac{1}{5}$
अब,$x$ के लिए हल करने पर:
$\frac{x}{75} = \frac{1}{5} \implies x = \frac{75}{5} = 15$
$y$ के लिए हल करने पर:
$\frac{y}{25} = \frac{1}{5} \implies y = \frac{25}{5} = 5$
अतः,हल $(x, y) = (15, 5)$ है।

(D) समीकरणों को मानक रूप $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ में बदलने पर:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$ से,$bx + ay = 2ab$,अतः $bx + ay - 2ab = 0$ ... $(1)$
$ax - by = a^{2} - b^{2}$ से,$ax - by - (a^{2} - b^{2}) = 0$ ... $(2)$
मानक रूप से तुलना करने पर:
$a_{1} = b, b_{1} = a, c_{1} = -2ab$
$a_{2} = a, b_{2} = -b, c_{2} = -(a^{2} - b^{2}) = b^{2} - a^{2}$
वज्र गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{b_{1}c_{2} - b_{2}c_{1}} = \frac{y}{c_{1}a_{2} - c_{2}a_{1}} = \frac{1}{a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1}}$
$\frac{x}{a(b^{2} - a^{2}) - (-b)(-2ab)} = \frac{y}{(-2ab)(a) - (b^{2} - a^{2})(b)} = \frac{1}{b(-b) - a(a)}$
$\frac{x}{ab^{2} - a^{3} - 2ab^{2}} = \frac{y}{-2a^{2}b - b^{3} + a^{2}b} = \frac{1}{-b^{2} - a^{2}}$
$\frac{x}{-a^{3} - ab^{2}} = \frac{y}{-a^{2}b - b^{3}} = \frac{1}{-(a^{2} + b^{2})}$
$\frac{x}{-a(a^{2} + b^{2})} = \frac{y}{-b(a^{2} + b^{2})} = \frac{1}{-(a^{2} + b^{2})}$
अचर पद के साथ तुलना करने पर:
$x = \frac{-a(a^{2} + b^{2})}{-(a^{2} + b^{2})} = a$
$y = \frac{-b(a^{2} + b^{2})}{-(a^{2} + b^{2})} = b$
अतः,हल $(x, y) = (a, b)$ है।

(A) दिए गए समीकरणों की तुलना मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से करने पर:
$a_1 = 1, b_1 = 1, c_1 = -(a + b) = -a - b$
$a_2 = a, b_2 = -b, c_2 = -(a^2 - b^2) = -a^2 + b^2$
वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
मान रखने पर:
$\frac{x}{(1)(-a^2 + b^2) - (-b)(-a - b)} = \frac{y}{(-a - b)(a) - (-a^2 + b^2)(1)} = \frac{1}{(1)(-b) - (a)(1)}$
हरों को सरल करने पर:
$\frac{x}{-a^2 + b^2 - (ab + b^2)} = \frac{y}{-a^2 - ab + a^2 - b^2} = \frac{1}{-b - a}$
$\frac{x}{-a^2 - ab} = \frac{y}{-b^2 - ab} = \frac{1}{-(a + b)}$
अब,$x$ के लिए हल करने पर:
$x = \frac{-a^2 - ab}{-(a + b)} = \frac{-a(a + b)}{-(a + b)} = a$
$y$ के लिए हल करने पर:
$y = \frac{-b^2 - ab}{-(a + b)} = \frac{-b(b + a)}{-(a + b)} = b$
अतः,हल $(x, y) = (a, b)$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$ax + by + (-a + b) = 0$
$bx - ay + (-a - b) = 0$
मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = a, b_1 = b, c_1 = -a + b$
$a_2 = b, b_2 = -a, c_2 = -a - b$
वज्र गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
मान रखने पर:
$\frac{x}{b(-a - b) - (-a)(-a + b)} = \frac{y}{(-a + b)(b) - (-a - b)(a)} = \frac{1}{a(-a) - b(b)}$
$\frac{x}{-ab - b^2 - (a^2 - ab)} = \frac{y}{-ab + b^2 - (-a^2 - ab)} = \frac{1}{-a^2 - b^2}$
$\frac{x}{-ab - b^2 - a^2 + ab} = \frac{y}{-ab + b^2 + a^2 + ab} = \frac{1}{-a^2 - b^2}$
$\frac{x}{-(a^2 + b^2)} = \frac{y}{a^2 + b^2} = \frac{1}{-(a^2 + b^2)}$
अब,$x$ और $y$ के लिए हल करने पर:
$x = \frac{-(a^2 + b^2)}{-(a^2 + b^2)} = 1$
$y = \frac{a^2 + b^2}{-(a^2 + b^2)} = -1$
अतः,हल $(x, y) = (1, -1)$ है।

(C) माना कि दो अंकों की मूल संख्या में दहाई का अंक $x$ और इकाई का अंक $y$ है।
अतः,मूल संख्या $= 10x + y$ होगी।
अंकों का योग $x + y = 9$ है ......... $(1)$
अंकों के स्थान बदलने पर प्राप्त नई संख्या $= 10y + x$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,नई संख्या मूल संख्या से $45$ अधिक है:
$10y + x = (10x + y) + 45$
$10y + x - 10x - y = 45$
$-9x + 9y = 45$
$9$ से भाग देने पर,हमें $-x + y = 5$ प्राप्त होता है ......... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (-x + y) = 9 + 5$
$2y = 14$
$y = 7$
$y = 7$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$x + 7 = 9$
$x = 2$
अतः,मूल संख्या $= 10x + y = 10(2) + 7 = 27$ है।

(D) सबसे पहले,समीकरणों को मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ में लिखें:
$1$) $x - 3y + 5 = 0$
$2$) $3x - 7y + 13 = 0$
यहाँ,$a_1 = 1, b_1 = -3, c_1 = 5$ और $a_2 = 3, b_2 = -7, c_2 = 13$ है।
वज्र-गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
मान रखने पर:
$\frac{x}{(-3)(13) - (-7)(5)} = \frac{y}{(5)(3) - (13)(1)} = \frac{1}{(1)(-7) - (3)(-3)}$
$\frac{x}{-39 + 35} = \frac{y}{15 - 13} = \frac{1}{-7 + 9}$
$\frac{x}{-4} = \frac{y}{2} = \frac{1}{2}$
$x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{-4}{2} = -2$
$y$ के लिए हल करने पर: $y = \frac{2}{2} = 1$
अतः,हल $(-2, 1)$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$3x - 4y - 17 = 0$ --- $(1)$
$4x - 5y - 21 = 0$ --- $(2)$
वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{(-4)(-21) - (-5)(-17)} = \frac{y}{(-17)(4) - (-21)(3)} = \frac{1}{(3)(-5) - (4)(-4)}$
$\frac{x}{84 - 85} = \frac{y}{-68 + 63} = \frac{1}{-15 + 16}$
$\frac{x}{-1} = \frac{y}{-5} = \frac{1}{1}$
अतः,$x = -1$ और $y = -5$ प्राप्त होता है।
हल $(-1, -5)$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$3x + y - 7 = 0$ --- $(i)$
$2x + 3y - 14 = 0$ --- $(ii)$
वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर,सूत्र है:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
यहाँ,$a_1 = 3, b_1 = 1, c_1 = -7$ और $a_2 = 2, b_2 = 3, c_2 = -14$ है।
मान रखने पर:
$\frac{x}{(1)(-14) - (3)(-7)} = \frac{y}{(-7)(2) - (-14)(3)} = \frac{1}{(3)(3) - (2)(1)}$
$\frac{x}{-14 + 21} = \frac{y}{-14 + 42} = \frac{1}{9 - 2}$
$\frac{x}{7} = \frac{y}{28} = \frac{1}{7}$
$x$ के लिए: $\frac{x}{7} = \frac{1}{7} \implies x = 1$
$y$ के लिए: $\frac{y}{28} = \frac{1}{7} \implies y = 4$
अतः,हल $(1, 4)$ है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$3x + y - 5 = 0$ --- $(1)$
$5x + 3y - 3 = 0$ --- $(2)$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 3, b_1 = 1, c_1 = -5$
$a_2 = 5, b_2 = 3, c_2 = -3$
वज्र-गुणन सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
मान रखने पर:
$\frac{x}{(1)(-3) - (3)(-5)} = \frac{y}{(-5)(5) - (-3)(3)} = \frac{1}{(3)(3) - (5)(1)}$
$\frac{x}{-3 + 15} = \frac{y}{-25 + 9} = \frac{1}{9 - 5}$
$\frac{x}{12} = \frac{y}{-16} = \frac{1}{4}$
$x$ के लिए: $\frac{x}{12} = \frac{1}{4} \implies x = 3$
$y$ के लिए: $\frac{y}{-16} = \frac{1}{4} \implies y = -4$
अतः,हल $(3, -4)$ है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$4x + 6y - 11 = 0$ ... $(i)$
$5x - 8y - 6 = 0$ ... $(ii)$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के लिए वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
यहाँ,$a_1 = 4, b_1 = 6, c_1 = -11$ और $a_2 = 5, b_2 = -8, c_2 = -6$ है।
$\frac{x}{(6)(-6) - (-8)(-11)} = \frac{y}{(-11)(5) - (-6)(4)} = \frac{1}{(4)(-8) - (5)(6)}$
$\frac{x}{-36 - 88} = \frac{y}{-55 + 24} = \frac{1}{-32 - 30}$
$\frac{x}{-124} = \frac{y}{-31} = \frac{1}{-62}$
$x$ के लिए: $x = \frac{-124}{-62} = 2$
$y$ के लिए: $y = \frac{-31}{-62} = \frac{1}{2}$
अतः,हल $(x, y) = (2, \frac{1}{2})$ है।

(A) सबसे पहले,समीकरणों को सरल करें:
$1$) पहले समीकरण को $20$ से गुणा करने पर: $4x - 5y = 4.5$ या $8x - 10y = 9$,अतः $8x - 10y - 9 = 0$.
$2$) दूसरे समीकरण को $12$ से गुणा करने पर: $4x - 6y = 5$,अतः $4x - 6y - 5 = 0$.
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के लिए वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
यहाँ,$a_1 = 8, b_1 = -10, c_1 = -9$ और $a_2 = 4, b_2 = -6, c_2 = -5$.
$\frac{x}{(-10)(-5) - (-6)(-9)} = \frac{y}{(-9)(4) - (-5)(8)} = \frac{1}{(8)(-6) - (4)(-10)}$
$\frac{x}{50 - 54} = \frac{y}{-36 + 40} = \frac{1}{-48 + 40}$
$\frac{x}{-4} = \frac{y}{4} = \frac{1}{-8}$
$x = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2}$ और $y = \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}$.
अतः,हल $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$5x + 2y - 10 = 0$ ---$(1)$
$4x + 3y - 1 = 0$ ---$(2)$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 5, b_1 = 2, c_1 = -10$
$a_2 = 4, b_2 = 3, c_2 = -1$
वज्र गुणन सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
$\frac{x}{(2)(-1) - (3)(-10)} = \frac{y}{(-10)(4) - (-1)(5)} = \frac{1}{(5)(3) - (4)(2)}$
$\frac{x}{-2 + 30} = \frac{y}{-40 + 5} = \frac{1}{15 - 8}$
$\frac{x}{28} = \frac{y}{-35} = \frac{1}{7}$
$x$ के लिए: $\frac{x}{28} = \frac{1}{7} \implies x = \frac{28}{7} = 4$
$y$ के लिए: $\frac{y}{-35} = \frac{1}{7} \implies y = \frac{-35}{7} = -5$
अतः,हल $(4, -5)$ है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$4x - 19y + 13 = 0$ ... $(i)$
$13x - 23y + 19 = 0$ ... $(ii)$
वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
यहाँ,$a_1 = 4, b_1 = -19, c_1 = 13$ और $a_2 = 13, b_2 = -23, c_2 = 19$ है।
$\frac{x}{(-19)(19) - (-23)(13)} = \frac{y}{(13)(13) - (19)(4)} = \frac{1}{(4)(-23) - (13)(-19)}$
$\frac{x}{-361 + 299} = \frac{y}{169 - 76} = \frac{1}{-92 + 247}$
$\frac{x}{-62} = \frac{y}{93} = \frac{1}{155}$
$x = -62 / 155 = -2 / 5$
$y = 93 / 155 = 3 / 5$
अतः,हल $(-2/5, 3/5)$ है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$1$) $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} - (a + b) = 0$
$2$) $\frac{x}{a^2} + \frac{y}{b^2} - 2 = 0$
वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{B_1C_2 - B_2C_1} = \frac{y}{C_1A_2 - C_2A_1} = \frac{1}{A_1B_2 - A_2B_1}$
यहाँ,$A_1 = \frac{1}{a}, B_1 = \frac{1}{b}, C_1 = -(a + b)$
$A_2 = \frac{1}{a^2}, B_2 = \frac{1}{b^2}, C_2 = -2$
मान रखने पर:
$\frac{x}{\frac{-2}{b} + \frac{a+b}{b^2}} = \frac{y}{\frac{-(a+b)}{a^2} + \frac{2}{a}} = \frac{1}{\frac{1}{ab^2} - \frac{1}{a^2b}}$
सरल करने पर:
$\frac{x}{\frac{a-b}{b^2}} = \frac{y}{\frac{a-b}{a^2}} = \frac{a^2b^2}{a-b}$
अतः,$x = a^2$ और $y = b^2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,हल $(a^2, b^2)$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$ax - by - \frac{a-b}{2} = 0$ --- $(1)$
$x + 3y - 2 = 0$ --- $(2)$
वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
यहाँ,$a_1 = a, b_1 = -b, c_1 = -\frac{a-b}{2}$ और $a_2 = 1, b_2 = 3, c_2 = -2$ है।
मान रखने पर:
$\frac{x}{2b + \frac{3a-3b}{2}} = \frac{y}{-\frac{a-b}{2} + 2a} = \frac{1}{3a + b}$
सरल करने पर:
$\frac{x}{\frac{3a+b}{2}} = \frac{y}{\frac{3a+b}{2}} = \frac{1}{3a+b}$
अतः,$x = \frac{1}{2}$ और $y = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः हल $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$1$) $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0 \implies bx - ay = 0$
$2$) $ax + by = a^2 + b^2 \implies ax + by - (a^2 + b^2) = 0$
वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
यहाँ,$a_1 = b, b_1 = -a, c_1 = 0$ और $a_2 = a, b_2 = b, c_2 = -(a^2 + b^2)$ है।
$\frac{x}{(-a)(-(a^2 + b^2)) - (b)(0)} = \frac{y}{(0)(a) - (-(a^2 + b^2))(b)} = \frac{1}{(b)(b) - (a)(-a)}$
$\frac{x}{a(a^2 + b^2)} = \frac{y}{b(a^2 + b^2)} = \frac{1}{b^2 + a^2}$
$x = \frac{a(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = a$
$y = \frac{b(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = b$
अतः,हल $(a, b)$ है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$1$) $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0 \implies bx + ay = 0$
$2$) $(a+b)x + (a-b)y = a^2 + b^2$
मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ में लिखने पर:
$1$) $bx + ay + 0 = 0$
$2$) $(a+b)x + (a-b)y - (a^2 + b^2) = 0$
वज्र-गुणन विधि $\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{a(-(a^2+b^2)) - (a-b)(0)} = \frac{y}{0(a+b) - (- (a^2+b^2))b} = \frac{1}{b(a-b) - a(a+b)}$
$\frac{x}{-a(a^2+b^2)} = \frac{y}{b(a^2+b^2)} = \frac{1}{ab - b^2 - a^2 - ab}$
$\frac{x}{-a(a^2+b^2)} = \frac{y}{b(a^2+b^2)} = \frac{1}{-(a^2+b^2)}$
$x$ के लिए: $x = \frac{-a(a^2+b^2)}{-(a^2+b^2)} = a$
$y$ के लिए: $y = \frac{b(a^2+b^2)}{-(a^2+b^2)} = -b$
अतः,हल $(a, -b)$ है।

(D) दिए गए समीकरण:
$0.5x + 0.3y - 0.1 = 0$ --- $(1)$
$0.6x + 0.3y - 0.3 = 0$ --- $(2)$
समीकरणों को सरल बनाने के लिए $10$ से गुणा करने पर:
$5x + 3y - 1 = 0$
$6x + 3y - 3 = 0$
वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
यहाँ,$a_1 = 5, b_1 = 3, c_1 = -1$ और $a_2 = 6, b_2 = 3, c_2 = -3$ है।
$\frac{x}{(3)(-3) - (3)(-1)} = \frac{y}{(-1)(6) - (-3)(5)} = \frac{1}{(5)(3) - (6)(3)}$
$\frac{x}{-9 + 3} = \frac{y}{-6 + 15} = \frac{1}{15 - 18}$
$\frac{x}{-6} = \frac{y}{9} = \frac{1}{-3}$
$x = \frac{-6}{-3} = 2$
$y = \frac{9}{-3} = -3$
अतः,हल $(2, -3)$ है।

(A) माना कि बड़ी संख्या $x$ है और छोटी संख्या $y$ है।
पहली शर्त के अनुसार,$x = y + 3$ या $x - y = 3$ (समीकरण $1$)।
दूसरी शर्त के अनुसार,$2x + 17 = 3y$ या $2x - 3y = -17$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ से $x = y + 3$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर:
$2(y + 3) - 3y = -17$
$2y + 6 - 3y = -17$
$-y + 6 = -17$
$-y = -23$
$y = 23$।
अब,$x = y + 3$ का उपयोग करके $x$ का मान ज्ञात करें:
$x = 23 + 3 = 26$।
अतः,वे संख्याएँ $26$ और $23$ हैं।

(B) माना पंक्तियों की संख्या $x$ है और प्रत्येक पंक्ति में छात्रों की संख्या $y$ है। छात्रों की कुल संख्या $xy$ है।
पहली शर्त के अनुसार: $(x - 2)(y + 1) = xy$
$xy + x - 2y - 2 = xy$
$x - 2y = 2$ --- $(1)$
दूसरी शर्त के अनुसार: $(x + 3)(y - 1) = xy$
$xy - x + 3y - 3 = xy$
$-x + 3y = 3$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(x - 2y) + (-x + 3y) = 2 + 3$
$y = 5$
समीकरण $(1)$ में $y = 5$ रखने पर:
$x - 2(5) = 2$
$x - 10 = 2$
$x = 12$
छात्रों की कुल संख्या $= xy = 12 \times 5 = 60$.

(C) माना दहाई का अंक $x$ है और इकाई का अंक $y$ है। मूल संख्या $10x + y$ है।
अंकों को उलटने पर प्राप्त संख्या $10y + x$ है।
पहली शर्त के अनुसार: $(10x + y) + (10y + x) = 110$.
$11x + 11y = 110 \implies x + y = 10$ (समीकरण $1$).
दूसरी शर्त के अनुसार: $(10x + y - 10) = 5(x + y) + 4$.
समीकरण में $x + y = 10$ रखने पर: $10x + y - 10 = 5(10) + 4$.
$10x + y - 10 = 54 \implies 10x + y = 64$ (समीकरण $2$).
$x + y = 10$ और $10x + y = 64$ से,समीकरणों को घटाने पर: $(10x + y) - (x + y) = 64 - 10$.
$9x = 54 \implies x = 6$.
$x = 6$ को $x + y = 10$ में रखने पर,हमें $y = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल संख्या $10(6) + 4 = 64$ है।

(A) एक चक्रीय चतुर्भुज में,सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$m \angle A + m \angle C = 180^{\circ}$ और $m \angle B + m \angle D = 180^{\circ}$.
कोण $A$ और $C$ के लिए: $(2x + 4) + (2y + 10) = 180 \implies 2x + 2y + 14 = 180 \implies 2x + 2y = 166 \implies x + y = 83$ (समीकरण $1$).
कोण $B$ और $D$ के लिए: $(y + 3) + (4x - 5) = 180 \implies 4x + y - 2 = 180 \implies 4x + y = 182$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर: $(4x + y) - (x + y) = 182 - 83 \implies 3x = 99 \implies x = 33$.
$x = 33$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $33 + y = 83 \implies y = 50$.
कोणों के माप की गणना:
$m \angle A = 2(33) + 4 = 66 + 4 = 70^{\circ}$.
$m \angle B = 50 + 3 = 53^{\circ}$.
$m \angle C = 2(50) + 10 = 100 + 10 = 110^{\circ}$.
$m \angle D = 4(33) - 5 = 132 - 5 = 127^{\circ}$.

(A) माना आयत की चौड़ाई $x$ है और लंबाई $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,लंबाई चौड़ाई के दोगुने से $5$ कम है: $y = 2x - 5$,जिसे $2x - y - 5 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
आयत का परिमाप $2(l + b) = 110$ है,इसलिए $l + b = 55$,जिसका अर्थ है $x + y = 55$,या $x + y - 55 = 0$.
हमारे पास समीकरणों का निकाय है:
$2x - y - 5 = 0$
$x + y - 55 = 0$
वज्र-गुणन विधि का उपयोग करते हुए:
$\frac{x}{(-1)(-55) - (1)(-5)} = \frac{-y}{(2)(-55) - (1)(-5)} = \frac{1}{(2)(1) - (1)(-1)}$
$\frac{x}{55 + 5} = \frac{-y}{-110 + 5} = \frac{1}{2 + 1}$
$\frac{x}{60} = \frac{-y}{-105} = \frac{1}{3}$
$x = \frac{60}{3} = 20$ और $y = \frac{105}{3} = 35$.
आयत का क्षेत्रफल $l \times b = 35 \times 20 = 700$ वर्ग इकाई है।

(N/A) दिए गए समीकरण $2x + y = \frac{7xy}{3}$ और $x + 3y = \frac{11xy}{3}$ हैं।
यह स्पष्ट है कि $x = 0$ और $y = 0$ दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। अतः,$(0, 0)$ एक हल है।
मान लीजिए $x \neq 0$ और $y \neq 0$,दोनों समीकरणों को $xy$ से विभाजित करने पर:
प्रथम समीकरण के लिए: $\frac{2x}{xy} + \frac{y}{xy} = \frac{7}{3} \implies \frac{2}{y} + \frac{1}{x} = \frac{7}{3} \implies \frac{6}{y} + \frac{3}{x} = 7$ ... $(1)$
द्वितीय समीकरण के लिए: $\frac{x}{xy} + \frac{3y}{xy} = \frac{11}{3} \implies \frac{1}{y} + \frac{3}{x} = \frac{11}{3} \implies \frac{3}{y} + \frac{9}{x} = 11$ ... $(2)$
माना $u = \frac{1}{x}$ और $v = \frac{1}{y}$। समीकरण इस प्रकार होंगे:
$3u + 6v = 7$ ... $(3)$
$9u + 3v = 11$ ... $(4)$
समीकरण $(4)$ को $2$ से गुणा करने पर: $18u + 6v = 22$ ... $(5)$
समीकरण $(5)$ में से $(3)$ को घटाने पर: $(18u - 3u) + (6v - 6v) = 22 - 7 \implies 15u = 15 \implies u = 1$.
$u = 1$ को समीकरण $(3)$ में रखने पर: $3(1) + 6v = 7 \implies 6v = 4 \implies v = \frac{2}{3}$.
अतः $u = \frac{1}{x} = 1 \implies x = 1$ और $v = \frac{1}{y} = \frac{2}{3} \implies y = \frac{3}{2}$.
इस प्रकार,हल $(x, y) = (0, 0)$ और $(x, y) = (1, \frac{3}{2})$ हैं।

(C) माना $\frac{1}{a} = x$ और $\frac{1}{b} = y$ है। समीकरण इस प्रकार होंगे:
$2x + 3y = 1$ ....... $(1)$
$x + y = 1$ ........... $(2)$
समीकरण $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर $2x + 2y = 2$ प्राप्त होता है ....... $(3)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(3)$ को घटाने पर:
$(2x + 3y) - (2x + 2y) = 1 - 2$
$y = -1$
$y = -1$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$x + (-1) = 1$
$x = 2$
चूंकि $x = \frac{1}{a} = 2$,इसलिए $a = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y = \frac{1}{b} = -1$,इसलिए $b = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,हल $(a, b) = \left(\frac{1}{2}, -1\right)$ है।

(D) माना $\frac{1}{a} = x$ और $\frac{1}{b} = y$ है। समीकरण इस प्रकार हो जाते हैं:
$5x + \frac{3}{2}y = 1$ और $\frac{1}{2}x - 3y = 1$
पहले समीकरण को $2$ से गुणा करने पर,हमें $10x + 3y = 2$ प्राप्त होता है ... $(1)$
दूसरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर,हमें $x - 6y = 2$ प्राप्त होता है ... $(2)$
$y$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $2$ से गुणा करके समीकरण $(2)$ में जोड़ने पर:
$20x + 6y = 4$
$x - 6y = 2$
जोड़ने पर $21x = 6$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$।
$x = \frac{2}{7}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$10(\frac{2}{7}) + 3y = 2$
$\frac{20}{7} + 3y = 2$
$3y = 2 - \frac{20}{7} = \frac{14 - 20}{7} = -\frac{6}{7}$
$y = -\frac{6}{7} \times \frac{1}{3} = -\frac{2}{7}$।
चूंकि $x = \frac{1}{a} = \frac{2}{7}$ है,इसलिए $a = \frac{7}{2}$।
चूंकि $y = \frac{1}{b} = -\frac{2}{7}$ है,इसलिए $b = -\frac{7}{2}$।
अतः,हल $(a, b) = (\frac{7}{2}, -\frac{7}{2})$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$\frac{2}{a} + \frac{3}{b} = -1$ --- $(1)$
$\frac{4}{a} - \frac{9}{b} = -7$ --- $(2)$
माना $\frac{1}{a} = x$ और $\frac{1}{b} = y$ है। तब समीकरण इस प्रकार होंगे:
$2x + 3y = -1$ --- $(3)$
$4x - 9y = -7$ --- $(4)$
$y$ को विलोपित करने के लिए समीकरण $(3)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$6x + 9y = -3$ --- $(5)$
समीकरण $(4)$ और $(5)$ को जोड़ने पर:
$(4x - 9y) + (6x + 9y) = -7 + (-3)$
$10x = -10$
$x = -1$
चूंकि $x = \frac{1}{a}$,इसलिए $\frac{1}{a} = -1$,जिससे $a = -1$ प्राप्त होता है।
$x = -1$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$2(-1) + 3y = -1$
$-2 + 3y = -1$
$3y = 1$
$y = \frac{1}{3}$
चूंकि $y = \frac{1}{b}$,इसलिए $\frac{1}{b} = \frac{1}{3}$,जिससे $b = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,हल $(a, b) = (-1, 3)$ है।

(A) माना स्थिर जल में नाव की गति $x \, km/hr$ है और धारा की गति $y \, km/hr$ है। यह आवश्यक है कि $x > y$ हो।
धारा के अनुकूल नाव की गति $(x+y) \, km/hr$ और धारा के प्रतिकूल नाव की गति $(x-y) \, km/hr$ होती है।
सूत्र $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}}$ का उपयोग करते हुए:
प्रथम स्थिति के लिए: $\frac{32}{x-y} + \frac{36}{x+y} = 7$ --- $(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $\frac{40}{x-y} + \frac{48}{x+y} = 9$ --- $(2)$
माना $\frac{1}{x-y} = a$ और $\frac{1}{x+y} = b$। समीकरण इस प्रकार होंगे:
$32a + 36b = 7$ --- $(3)$
$40a + 48b = 9$ --- $(4)$
इन रैखिक समीकरणों को विलोपन विधि से हल करने पर:
समीकरण $(3)$ को $4$ से और $(4)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$128a + 144b = 28$
$120a + 144b = 27$
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $8a = 1 \implies a = \frac{1}{8}$.
$a = \frac{1}{8}$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$32(\frac{1}{8}) + 36b = 7 \implies 4 + 36b = 7 \implies 36b = 3 \implies b = \frac{1}{12}$.
अब,$x-y = 8$ और $x+y = 12$.
दोनों को जोड़ने पर: $2x = 20 \implies x = 10$.
दोनों को घटाने पर: $2y = 4 \implies y = 2$.
अतः,स्थिर जल में नाव की गति $10 \, km/hr$ और धारा की गति $2 \, km/hr$ है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $x + y = 5xy$
$(2)$ $3x + 2y = 13xy$
दोनों समीकरणों को $xy$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0, y \neq 0$ मानते हुए):
$(1)$ से: $1/y + 1/x = 5$ => $1/x + 1/y = 5$ --- $(3)$
$(2)$ से: $3/y + 2/x = 13$ => $2/x + 3/y = 13$ --- $(4)$
माना $u = 1/x$ और $v = 1/y$ है। समीकरण इस प्रकार होंगे:
$(3)$ $u + v = 5$
$(4)$ $2u + 3v = 13$
समीकरण $(3)$ को $2$ से गुणा करने पर: $2u + 2v = 10$ --- $(5)$
समीकरण $(4)$ में से $(5)$ को घटाने पर: $(2u + 3v) - (2u + 2v) = 13 - 10$ => $v = 3$
$v = 3$ का मान $(3)$ में रखने पर: $u + 3 = 5$ => $u = 2$
चूंकि $u = 1/x = 2$,इसलिए $x = 1/2$ है।
चूंकि $v = 1/y = 3$,इसलिए $y = 1/3$ है।
साथ ही,यदि $x=0$ और $y=0$ हो,तो दोनों समीकरण संतुष्ट होते हैं $(0=0)$।
अतः,हल $(0, 0)$ और $(1/2, 1/3)$ हैं।

(A) माना कि $u = \frac{1}{x-1}$ और $v = \frac{1}{y-2}$ है।
इन मानों को दिए गए समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
$5u + v = 2$ --- $(1)$
$6u - 3v = 1$ --- $(2)$
$v$ को विलुप्त करने के लिए समीकरण $(1)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$15u + 3v = 6$ --- $(3)$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(6u - 3v) + (15u + 3v) = 1 + 6$
$21u = 7$
$u = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$
$u = \frac{1}{3}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$5(\frac{1}{3}) + v = 2$
$v = 2 - \frac{5}{3} = \frac{6-5}{3} = \frac{1}{3}$
अब,$x$ और $y$ के लिए हल करने पर:
$\frac{1}{x-1} = \frac{1}{3} \implies x-1 = 3 \implies x = 4$
$\frac{1}{y-2} = \frac{1}{3} \implies y-2 = 3 \implies y = 5$
अतः,हल $(x, y) = (4, 5)$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$1) 2(3u - v) = 5uv \implies 6u - 2v = 5uv$
$2) 2(u + 3v) = 5uv \implies 2u + 6v = 5uv$
दोनों समीकरणों को $uv$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $u, v \neq 0$):
$1) \frac{6}{v} - \frac{2}{u} = 5$
$2) \frac{2}{v} + \frac{6}{u} = 5$
माना $x = \frac{1}{u}$ और $y = \frac{1}{v}$। समीकरण इस प्रकार होंगे:
$1) -2x + 6y = 5$
$2) 6x + 2y = 5$
समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर: $18x + 6y = 15$। इसमें से समीकरण $(1)$ घटाने पर:
$(18x + 6y) - (-2x + 6y) = 15 - 5 \implies 20x = 10 \implies x = \frac{1}{2}$.
$x = \frac{1}{2}$ का मान $6x + 2y = 5$ में रखने पर:
$6(\frac{1}{2}) + 2y = 5 \implies 3 + 2y = 5 \implies 2y = 2 \implies y = 1$.
चूंकि $x = \frac{1}{u} = \frac{1}{2} \implies u = 2$ और $y = \frac{1}{v} = 1 \implies v = 1$.
अतः,$(u, v) = (2, 1)$.

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = \frac{9}{xy}$
$(2)$ $\frac{4}{x} + \frac{9}{y} = \frac{21}{xy}$
दोनों समीकरणों को $xy$ से गुणा करने पर $(x \neq 0, y \neq 0)$:
$(1)$ $2y + 3x = 9 \implies 3x + 2y = 9$
$(2)$ $4y + 9x = 21 \implies 9x + 4y = 21$
$y$ को विलोपित करने के लिए पहले समीकरण को $2$ से गुणा करने पर:
$2(3x + 2y) = 2(9) \implies 6x + 4y = 18$
अब इसे दूसरे समीकरण से घटाने पर:
$(9x + 4y) - (6x + 4y) = 21 - 18$
$3x = 3 \implies x = 1$
$x = 1$ का मान $3x + 2y = 9$ में रखने पर:
$3(1) + 2y = 9$
$3 + 2y = 9 \implies 2y = 6 \implies y = 3$
अतः,हल $(x, y) = (1, 3)$ है।

(C) माना कि $x = \frac{1}{a}$ और $y = \frac{1}{b}$ है।
समीकरण इस प्रकार हो जाएंगे:
$5x - 6y = 3$ --- $(1)$
$x + 4y = 11$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ से,$x = 11 - 4y$ प्राप्त होता है।
$x$ का मान समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$5(11 - 4y) - 6y = 3$
$55 - 20y - 6y = 3$
$55 - 26y = 3$
$26y = 52$
$y = 2$.
चूँकि $y = \frac{1}{b} = 2$,इसलिए $b = \frac{1}{2}$ है।
$y = 2$ का मान $x = 11 - 4y$ में रखने पर:
$x = 11 - 4(2) = 11 - 8 = 3$.
चूँकि $x = \frac{1}{a} = 3$,इसलिए $a = \frac{1}{3}$ है।
अतः,$(a, b) = \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right)$।

(D) माना $x = \frac{1}{a}$ और $y = \frac{1}{b}$ है।
समीकरण इस प्रकार हो जाते हैं:
$9x + 8y = 7$ --- $(1)$
$2x - 3y = -8$ --- $(2)$
$y$ को विलुप्त करने के लिए समीकरण $(1)$ को $3$ से और समीकरण $(2)$ को $8$ से गुणा करने पर:
$27x + 24y = 21$ --- $(3)$
$16x - 24y = -64$ --- $(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$43x = -43 \implies x = -1$.
चूंकि $x = \frac{1}{a} = -1$,इसलिए $a = -1$ प्राप्त होता है।
$x = -1$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$2(-1) - 3y = -8$
$-2 - 3y = -8$
$-3y = -6 \implies y = 2$.
चूंकि $y = \frac{1}{b} = 2$,इसलिए $b = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(a, b) = \left(-1, \frac{1}{2}\right)$।