Mix Examples - Introduction to Trigonometry Questions in Hindi

(D) समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $\angle A = 90^\circ$ है:
कोण $C$ के लिए,सम्मुख भुजा $AB = 5$ है और आसन्न भुजा $AC = 12$ है। कर्ण $BC = 13$ है।
त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करते हुए:
$\sin C = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{13}$
$\cos C = \frac{\text{आसन्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{AC}{BC} = \frac{12}{13}$
अतः,$\sin C + \cos C = \frac{5}{13} + \frac{12}{13} = \frac{5 + 12}{13} = \frac{17}{13}$.

(A) $\Delta ABC$ में,$m \angle B = 90^{\circ}$,इसलिए $\overline{AC}$ कर्ण (hypotenuse) है।
दिया गया है $BC = 3$ और $AC = 5$।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$।
$AB^{2} + 3^{2} = 5^{2}$
$AB^{2} + 9 = 25$
$AB^{2} = 25 - 9 = 16$
$AB = \sqrt{16} = 4$।
अब,$\tan A = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{BC}{AB}$।
$\tan A = \frac{3}{4}$।

(B) हमें दिया गया है कि $\operatorname{cosec} A = \sqrt{10}$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार,$\sin A$,$\operatorname{cosec} A$ का व्युत्क्रम होता है,इसलिए $\sin A = \frac{1}{\operatorname{cosec} A}$ होता है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sin A = \frac{1}{\sqrt{10}}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $5 \cos A = 4 \sin A$.
$\tan A$ ज्ञात करने के लिए,हम जानते हैं कि $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$.
समीकरण के दोनों पक्षों को $\cos A$ से विभाजित करने पर:
$\frac{5 \cos A}{\cos A} = \frac{4 \sin A}{\cos A}$
$5 = 4 \tan A$
अब,दोनों पक्षों को $4$ से विभाजित करने पर:
$\tan A = \frac{5}{4}$.

(C) दिया गया है,$\tan \theta = \frac{4}{3}$।
व्यंजक $\frac{5 \sin \theta + 2 \cos \theta}{3 \sin \theta - \cos \theta}$ का मान ज्ञात करने के लिए,अंश और हर दोनों को $\cos \theta$ से विभाजित करें (जहाँ $\cos \theta \neq 0$):
$= \frac{\frac{5 \sin \theta}{\cos \theta} + \frac{2 \cos \theta}{\cos \theta}}{\frac{3 \sin \theta}{\cos \theta} - \frac{\cos \theta}{\cos \theta}}$
$= \frac{5 \tan \theta + 2}{3 \tan \theta - 1}$
अब $\tan \theta = \frac{4}{3}$ का मान रखने पर:
$= \frac{5(\frac{4}{3}) + 2}{3(\frac{4}{3}) - 1}$
$= \frac{\frac{20}{3} + 2}{4 - 1}$
$= \frac{\frac{20 + 6}{3}}{3}$
$= \frac{26}{3 \times 3} = \frac{26}{9}$।

(C) हम जानते हैं कि सेकेंट और कोसाइन के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ है।
दिया गया है कि $\sec \theta = \frac{13}{5}$ है।
इसलिए,$\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta} = \frac{1}{\frac{13}{5}} = \frac{5}{13}$ होगा।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया है कि $3 \cot \theta = 4$,इसलिए $\cot \theta = \frac{4}{3}$ है।
चूंकि $\tan \theta = \frac{1}{\cot \theta}$,इसलिए $\tan \theta = \frac{3}{4}$ होगा।
अब,$\tan \theta$ का मान व्यंजक में रखने पर:
$\frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{1 - (\frac{3}{4})^2}{1 + (\frac{3}{4})^2}$
$= \frac{1 - \frac{9}{16}}{1 + \frac{9}{16}}$
$= \frac{\frac{16 - 9}{16}}{\frac{16 + 9}{16}}$
$= \frac{7}{25}$.

(D) $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ के लिए:
$1$. $\cos \theta$ का मान $0$ और $1$ के बीच होता है $(0 < \cos \theta < 1)$। अतः,$\cos \theta > 1$ असत्य है।
$2$. $\operatorname{cosec} \theta$ का मान हमेशा $1$ से बड़ा होता है $(\operatorname{cosec} \theta > 1)$। अतः,$\operatorname{cosec} \theta < 1$ असत्य है।
$3$. प्रथम चतुर्थांश में $\tan \theta$ का मान हमेशा धनात्मक होता है $(\tan \theta > 0)$। अतः,$\tan \theta < 0$ असत्य है।
$4$. $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ के लिए $\sec \theta$ का मान हमेशा $1$ से बड़ा होता है $(\sec \theta > 1)$। अतः,$\sec \theta > 1$ सत्य है।
इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(A) दिया गया है कि $\sin \theta = \frac{1}{2}$ है।
हम त्रिकोणमितीय सारणी से जानते हैं कि $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ होता है।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $\theta = 30^\circ$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}.$
त्रिकोणमितीय सारणी से हम जानते हैं कि $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}.$
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $\theta = 45^\circ$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $\tan \theta = \sqrt{3}$ है।
त्रिकोणमितीय सारणी से हम जानते हैं कि $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ होता है।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $\theta = 60^\circ$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $\operatorname{cosec} \theta = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
चूंकि $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$,इसलिए $\sin \theta = \frac{1}{\operatorname{cosec} \theta} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
त्रिकोणमितीय मानक मानों से हम जानते हैं कि $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $\theta = 60^\circ$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $\sec \theta = 1$ है।
हम जानते हैं कि $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ होता है।
अतः,$\frac{1}{\cos \theta} = 1$,जिसका अर्थ है कि $\cos \theta = 1$ है।
चूंकि $\cos 0^{\circ} = 1$ होता है,इसलिए $\theta = 0^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(C) हम त्रिकोणमितीय मान जानते हैं: $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,और $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin 60^{\circ} \sin 45^{\circ} + \cos 60^{\circ} \cos 45^{\circ} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + \left( \frac{1}{2} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$= \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}}$
$= \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$
हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
$= \frac{(\sqrt{3} + 1) \times \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2 \times 2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

(D) हम त्रिकोणमितीय मान जानते हैं: $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,और $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\sin 60^{\circ} + \cos 30^{\circ}}{1 + \sin 30^{\circ} + \cos 60^{\circ}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$
$= \frac{\frac{2\sqrt{3}}{2}}{1 + 1}$
$= \frac{\sqrt{3}}{2}$

(B) दिया गया समीकरण: $\sin x = \sin 60^{\circ} \cdot \cos 30^{\circ} - \cos 60^{\circ} \cdot \sin 30^{\circ}$.
त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करने पर: $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,और $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\sin x = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \left( \frac{1}{2} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} \right)$
$\sin x = \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$
$\sin x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\sin x = \sin 30^{\circ}$.
अतः,$x = 30^{\circ}$.

(D) दिया गया है कि $\cot \theta = \frac{a}{b}$।
हम जानते हैं कि $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$,इसलिए $\frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{a}{b}$।
$\frac{\cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta}$ का मान ज्ञात करने के लिए,अंश और हर दोनों को $\sin \theta$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta} - \frac{\sin \theta}{\sin \theta}}{\frac{\cos \theta}{\sin \theta} + \frac{\sin \theta}{\sin \theta}} = \frac{\cot \theta - 1}{\cot \theta + 1}$।
$\cot \theta = \frac{a}{b}$ रखने पर:
$\frac{\frac{a}{b} - 1}{\frac{a}{b} + 1} = \frac{\frac{a-b}{b}}{\frac{a+b}{b}} = \frac{a-b}{a+b}$।

(B) दी गई व्यंजक: $2 \sin ^{2} 30^{\circ} \cot 30^{\circ}-3 \cos ^{2} 60^{\circ} \sec ^{2} 30^{\circ}$
त्रिकोणमितीय मान रखने पर: $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\cot 30^{\circ} = \sqrt{3}$,$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\sec 30^{\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
$= 2 \left(\frac{1}{2}\right)^{2} (\sqrt{3}) - 3 \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}$
$= 2 \times \frac{1}{4} \times \sqrt{3} - 3 \times \frac{1}{4} \times \frac{4}{3}$
$= \frac{\sqrt{3}}{2} - 1$
$= \frac{\sqrt{3}-2}{2}$

(D) दिया गया है कि $\cos \theta = \sin \theta.$
दोनों पक्षों को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\cos \theta}{\cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}.$
अतः,$1 = \tan \theta.$
चूँकि $\theta$ एक न्यूनकोण है,इसलिए $\theta = 45^{\circ}.$
अब,$2 \tan^{2} \theta + \sin^{2} \theta + 1$ में $\theta = 45^{\circ}$ रखने पर,
$2 \tan^{2} 45^{\circ} + \sin^{2} 45^{\circ} + 1 = 2(1)^{2} + (\frac{1}{\sqrt{2}})^{2} + 1.$
$= 2(1) + \frac{1}{2} + 1.$
$= 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}.$

(B) $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ के अंतराल में:
$1$. जैसे-जैसे $\theta$ का मान $0^{\circ}$ से $90^{\circ}$ तक बढ़ता है,$\sin \theta$ का मान $0$ से $1$ तक बढ़ता है।
$2$. जैसे-जैसे $\theta$ का मान $0^{\circ}$ से $90^{\circ}$ तक बढ़ता है,$\cos \theta$ का मान $1$ से $0$ तक घटता है।
$3$. जैसे-जैसे $\theta$ का मान $0^{\circ}$ से $90^{\circ}$ तक बढ़ता है,$\operatorname{cosec} \theta$ का मान $\infty$ से $1$ तक घटता है।
$4$. जैसे-जैसे $\theta$ का मान $0^{\circ}$ से $90^{\circ}$ तक बढ़ता है,$\cot \theta$ का मान $\infty$ से $0$ तक घटता है।
अतः,दिए गए विकल्पों में से केवल $\sin \theta$ का मान $\theta$ के बढ़ने के साथ बढ़ता है।

(A) त्रिकोणमिति में,पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात इस प्रकार परिभाषित किए जाते हैं:
$\sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta$
$\cos (90^\circ - \theta) = \sin \theta$
$\tan (90^\circ - \theta) = \cot \theta$
$\cot (90^\circ - \theta) = \tan \theta$
$\sec (90^\circ - \theta) = \operatorname{cosec} \theta$
$\operatorname{cosec} (90^\circ - \theta) = \sec \theta$
अतः,पूरक कोणों के लिए मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के आधार पर,$\sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta$ होता है।

(B) त्रिकोणमिति में,पूरक कोण सर्वसमिकाओं के अनुसार,$(90^\circ - \theta)$ कोण के त्रिकोणमितीय फलन $\theta$ के सह-फलन (co-functions) से संबंधित होते हैं।
विशेष रूप से,सेकेंट (secant) फलन के लिए,सर्वसमिका $\sec (90^\circ - \theta) = \operatorname{cosec} \theta$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) त्रिकोणमिति में,पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात इस प्रकार परिभाषित किए जाते हैं:
$\sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta$
$\cos (90^\circ - \theta) = \sin \theta$
$\tan (90^\circ - \theta) = \cot \theta$
$\cot (90^\circ - \theta) = \tan \theta$
$\sec (90^\circ - \theta) = \operatorname{cosec} \theta$
$\operatorname{cosec} (90^\circ - \theta) = \sec \theta$
अतः,$\tan (90^\circ - \theta) = \cot \theta$ होता है।

(B) हम पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका जानते हैं: $\cos \theta = \sin(90^{\circ} - \theta)$.
इस सर्वसमिका में $\theta = 35^{\circ}$ रखने पर:
$\cos 35^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 35^{\circ})$.
$\cos 35^{\circ} = \sin 55^{\circ}$.

(B) हम जानते हैं कि पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\operatorname{cosec} \theta = \sec(90^{\circ} - \theta)$ होती है।
इस सर्वसमिका में $\theta = 40^{\circ}$ रखने पर:
$\operatorname{cosec} 40^{\circ} = \sec(90^{\circ} - 40^{\circ})$
$\operatorname{cosec} 40^{\circ} = \sec 50^{\circ}$

(C) हम पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका जानते हैं: $\sin(90^{\circ} - A) = \cos A$ और $\cos(90^{\circ} - A) = \sin A$.
दिया गया समीकरण: $\sin 70^{\circ} = \cos \theta$.
हम $\sin 70^{\circ}$ को $\cos(90^{\circ} - 70^{\circ})$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\cos(90^{\circ} - 70^{\circ}) = \cos \theta$.
इसे सरल करने पर $\cos 20^{\circ} = \cos \theta$ प्राप्त होता है।
कोणों की तुलना करने पर,हमें $\theta = 20^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(C) हम पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $\cos \theta = \sin(90^{\circ} - \theta)$ और $\sin \theta = \cos(90^{\circ} - \theta)$.
प्रथम पद के लिए: $\cos 50^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 50^{\circ}) = \sin 40^{\circ}$.
अतः,$\frac{\cos 50^{\circ}}{\sin 40^{\circ}} = \frac{\sin 40^{\circ}}{\sin 40^{\circ}} = 1$.
द्वितीय पद के लिए: $\cos 75^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 75^{\circ}) = \sin 15^{\circ}$.
अतः,$\frac{\sin 15^{\circ}}{\cos 75^{\circ}} = \frac{\sin 15^{\circ}}{\sin 15^{\circ}} = 1$.
दोनों परिणामों को जोड़ने पर: $1 + 1 = 2$.

(A) दिया गया है कि $\sin \theta + \sin^2 \theta = 1$ है।
हम इसे $\sin \theta = 1 - \sin^2 \theta$ के रूप में लिख सकते हैं।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$ होता है।
इसलिए,$\sin \theta = \cos^2 \theta$ है।
अब,हमें $\cos^2 \theta + \cos^4 \theta$ का मान ज्ञात करना है।
इस व्यंजक में $\cos^2 \theta = \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos^2 \theta + \cos^4 \theta = \sin \theta + (\cos^2 \theta)^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos^2 \theta = \sin \theta$,इसलिए $(\cos^2 \theta)^2 = \sin^2 \theta$ होगा।
अतः,व्यंजक $\sin \theta + \sin^2 \theta$ बन जाता है।
दिया गया है कि $\sin \theta + \sin^2 \theta = 1$,इसलिए अंतिम मान $1$ है।

(A) दी गई व्यंजक $\sin 60^{\circ} \cdot \cos 30^{\circ} + \cos 60^{\circ} \cdot \sin 30^{\circ}$ है।
हम त्रिकोणमितीय मान जानते हैं: $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,और $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2})$
$= \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$
$= \frac{4}{4} = 1$।
वैकल्पिक रूप से,सर्वसमिका $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = 60^{\circ}$ और $B = 30^{\circ}$ है:
$= \sin(60^{\circ} + 30^{\circ}) = \sin 90^{\circ} = 1$।

(D) हम जानते हैं कि $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ और $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ होता है।
साथ ही,$\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ और $\cos(90^{\circ} - \theta) = \sin \theta$ होता है।
दी गई अभिव्यक्ति: $\sec 55^{\circ} \cdot \sin 35^{\circ} + \cos 35^{\circ} \cdot \operatorname{cosec} 55^{\circ}$।
$55^{\circ}$ को $(90^{\circ} - 35^{\circ})$ के रूप में लिखने पर:
$= \sec(90^{\circ} - 35^{\circ}) \cdot \sin 35^{\circ} + \cos 35^{\circ} \cdot \operatorname{cosec}(90^{\circ} - 35^{\circ})$
$= \operatorname{cosec} 35^{\circ} \cdot \sin 35^{\circ} + \cos 35^{\circ} \cdot \sec 35^{\circ}$
चूंकि $\operatorname{cosec} 35^{\circ} = \frac{1}{\sin 35^{\circ}}$ और $\sec 35^{\circ} = \frac{1}{\cos 35^{\circ}}$ है:
$= \left(\frac{1}{\sin 35^{\circ}}\right) \cdot \sin 35^{\circ} + \cos 35^{\circ} \cdot \left(\frac{1}{\cos 35^{\circ}}\right)$
$= 1 + 1 = 2$।

(D) दी गई व्यंजक: $(1-\cos \theta)(1+\cos \theta)$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर:
$(1-\cos \theta)(1+\cos \theta) = 1^2 - \cos^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ प्राप्त होता है।
मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ के अनुसार,हम $1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ लिख सकते हैं।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ होता है।
इसलिए,$\sin 80^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 10^{\circ}) = \cos 10^{\circ}$।
इस मान को दी गई व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\cos 10^{\circ} + \cos 10^{\circ})(\cos 10^{\circ} - \cos 10^{\circ})$
$= (2 \cos 10^{\circ})(0)$
$= 0$।

(C) दिया गया समीकरण: $\tan ^{2} \theta = \sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta$ है।
हम जानते हैं कि आधारभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका: $\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1$ होती है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\tan ^{2} \theta = 1$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\tan \theta = 1$ (न्यून कोण के लिए)।
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$ होता है,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$।

(D) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta}$ ($c$ से मेल खाता है)
$2$. $\tan \theta = \frac{1}{\cot \theta}$ ($d$ से मेल खाता है)
$3$. $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ ($a$ से मेल खाता है)
$4$. $\sin \theta = \frac{1}{\csc \theta}$ ($b$ से मेल खाता है)
अतः,सही मिलान $(1-c), (2-d), (3-a), (4-b)$ है।

(A) पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करते हुए:
$1$. $\cos(90^\circ - \theta) = \sin \theta$. अतः,$1$ का मिलान $b$ के साथ होता है।
$2$. $\cot(90^\circ - \theta) = \tan \theta$. अतः,$2$ का मिलान $d$ के साथ होता है।
$3$. $\operatorname{cosec}(90^\circ - \theta) = \sec \theta$. अतः,$3$ का मिलान $a$ के साथ होता है।
इसलिए,सही मिलान $(1-b), (2-d), (3-a)$ है।

(D) हम जानते हैं कि $\tan \theta = \cot(90^{\circ} - \theta)$.
इस सर्वसमिका का उपयोग करते हुए:
$\tan 48^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 42^{\circ}) = \cot 42^{\circ}$
$\tan 67^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 23^{\circ}) = \cot 23^{\circ}$
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan 23^{\circ} \tan 42^{\circ} \tan 48^{\circ} \tan 67^{\circ} = \tan 23^{\circ} \tan 42^{\circ} \cot 42^{\circ} \cot 23^{\circ}$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$= (\tan 23^{\circ} \cot 23^{\circ}) \times (\tan 42^{\circ} \cot 42^{\circ})$
चूंकि $\tan \theta \times \cot \theta = 1$ होता है:
$= 1 \times 1 = 1$

(D) दिया गया है: $\sec 4A = \operatorname{cosec}(A - 20^\circ)$
हम जानते हैं कि $\sec \theta = \operatorname{cosec}(90^\circ - \theta)$.
अतः,$\operatorname{cosec}(90^\circ - 4A) = \operatorname{cosec}(A - 20^\circ)$.
कोणों की तुलना करने पर: $90^\circ - 4A = A - 20^\circ$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $90^\circ + 20^\circ = A + 4A$.
$110^\circ = 5A$.
$A = \frac{110^\circ}{5} = 22^\circ$.

(B) दिया गया है कि $A+B+C=180^{\circ}$ है।
हम $A+B = 180^{\circ}-C$ लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{A+B}{2} = \frac{180^{\circ}-C}{2} = 90^{\circ}-\frac{C}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर: $\tan \left(\frac{A+B}{2}\right) = \tan \left(90^{\circ}-\frac{C}{2}\right)$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan(90^{\circ}-\theta) = \cot \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $\tan \left(\frac{A+B}{2}\right) = \cot \frac{C}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि $\sin(90^{\circ}-A) = \cos A$ होता है।
अतः,$\sin(50^{\circ}+\theta) = \cos(90^{\circ}-(50^{\circ}+\theta))$।
$= \cos(90^{\circ}-50^{\circ}-\theta) = \cos(40^{\circ}-\theta)$।
इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos(40^{\circ}-\theta) - \sin(50^{\circ}+\theta) = \cos(40^{\circ}-\theta) - \cos(40^{\circ}-\theta) = 0$।

(C) हम जानते हैं कि $\cos(90^{\circ}-\theta) = \sin \theta$ और $\sin(90^{\circ}-\theta) = \cos \theta$ होता है।
इसलिए,$\cos^{2} 50^{\circ} = \cos^{2}(90^{\circ}-40^{\circ}) = \sin^{2} 40^{\circ}$।
इसी प्रकार,$\sin^{2} 50^{\circ} = \sin^{2}(90^{\circ}-40^{\circ}) = \cos^{2} 40^{\circ}$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\cos^{2} 40^{\circ} + \sin^{2} 40^{\circ}}{\sin^{2} 40^{\circ} + \cos^{2} 40^{\circ}}$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{1} = 1$।

(A) दी गई व्यंजक: $\sin 48^{\circ} \sec 42^{\circ} + \cos 48^{\circ} \operatorname{cosec} 42^{\circ}$
पूरक कोण सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए: $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ और $\cos(90^{\circ} - \theta) = \sin \theta$।
हम लिख सकते हैं:
$\sin 48^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 42^{\circ}) = \cos 42^{\circ}$
$\cos 48^{\circ} = \cos(90^{\circ} - 42^{\circ}) = \sin 42^{\circ}$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \cos 42^{\circ} \sec 42^{\circ} + \sin 42^{\circ} \operatorname{cosec} 42^{\circ}$
चूंकि $\cos \theta \sec \theta = 1$ और $\sin \theta \operatorname{cosec} \theta = 1$:
$= 1 + 1 = 2$

(A) हम पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं:
$\cos (90^{\circ}- A ) = \sin A$
$\sin (90^{\circ}- A ) = \cos A$
$\tan (90^{\circ}- A ) = \cot A$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\cos (90^{\circ}- A ) \sin (90^{\circ}- A )}{\tan (90^{\circ}- A )} = \frac{\sin A \cdot \cos A}{\cot A}$
चूंकि $\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}$,इसलिए:
$= \frac{\sin A \cdot \cos A}{\frac{\cos A}{\sin A}}$
$= \sin A \cdot \cos A \cdot \frac{\sin A}{\cos A}$
$= \sin A \cdot \sin A = \sin ^{2} A$

(C) दिया गया है कि $\sin 3 \theta = \cos (\theta - 26^{\circ})$.
हम जानते हैं कि $\sin A = \cos (90^{\circ} - A)$.
इसलिए,$\cos (90^{\circ} - 3 \theta) = \cos (\theta - 26^{\circ})$.
कोणों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $90^{\circ} - 3 \theta = \theta - 26^{\circ}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$90^{\circ} + 26^{\circ} = \theta + 3 \theta$.
$116^{\circ} = 4 \theta$.
$\theta = \frac{116^{\circ}}{4} = 29^{\circ}$.
अतः,$\theta$ का मान $29^{\circ}$ है।

(A) दिया गया है कि $\sin \theta = \cos 30$.
हम जानते हैं कि $\cos 30 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूंकि $\sin 60 = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\theta = 60$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $2 \tan^2 \theta - 1$ में $\theta = 60$ रखने पर:
$2 \tan^2 60 - 1 = 2(\sqrt{3})^2 - 1$.
$= 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5$.

(C) दिया गया है कि $\tan A = \cot B$ है।
हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cot B = \tan(90^\circ - B)$ जानते हैं।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $\tan A = \tan(90^\circ - B)$ प्राप्त होता है।
कोणों की तुलना करने पर,$A = 90^\circ - B$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$A + B = 90^\circ$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $\sec 2A = \operatorname{cosec}(A - 42^\circ)$.
हम जानते हैं कि $\sec \theta = \operatorname{cosec}(90^\circ - \theta)$.
अतः,$\sec 2A = \operatorname{cosec}(90^\circ - 2A)$.
इस मान को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\operatorname{cosec}(90^\circ - 2A) = \operatorname{cosec}(A - 42^\circ)$.
कोणों की तुलना करने पर:
$90^\circ - 2A = A - 42^\circ$.
$A$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$90^\circ + 42^\circ = A + 2A$.
$132^\circ = 3A$.
$A = \frac{132^\circ}{3} = 44^\circ$.

(D) दिया गया है कि $\sec \theta = \operatorname{cosec} 60^\circ$.
हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec} A = \sec(90^\circ - A)$.
अतः,$\sec \theta = \sec(90^\circ - 60^\circ) = \sec 30^\circ$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $\theta = 30^\circ$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $2 \cos^2 \theta - 1$ में $\theta = 30^\circ$ रखने पर:
$2 \cos^2 30^\circ - 1 = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 - 1$.
$= 2 \left( \frac{3}{4} \right) - 1$.
$= \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.

(D) दिया गया व्यंजक: $2 \sin ^{2} \theta+4 \sec ^{2} \theta+5 \cot ^{2} \theta+2 \cos ^{2} \theta-4 \tan ^{2} \theta-5 \operatorname{cosec}^{2} \theta$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके पदों को व्यवस्थित करने पर:
$= 2(\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta) + 4(\sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta) - 5(\operatorname{cosec}^{2} \theta - \cot ^{2} \theta)$
मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए:
$1) \sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1$
$2) \sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta = 1$
$3) \operatorname{cosec}^{2} \theta - \cot ^{2} \theta = 1$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= 2(1) + 4(1) - 5(1)$
$= 2 + 4 - 5$
$= 1$

(B) दिया गया है कि $\operatorname{cosec} \theta = \sqrt{2}$।
हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec} 45^{\circ} = \sqrt{2}$,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$।
अब,हमें $\tan \theta$ का मान ज्ञात करना है।
$\tan \theta = \tan 45^{\circ}$।
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $\tan \theta$ का मान $1$ है।

(A) हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका: $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ है।
इसलिए,$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ होगा।
$\cos \theta = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ का मान रखने पर:
$\sin^2 \theta = 1 - \left( \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2 + b^2}$ प्राप्त होता है।
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर:
$\sin^2 \theta = \frac{(a^2 + b^2) - b^2}{a^2 + b^2} = \frac{a^2}{a^2 + b^2}$ होगा।
चूंकि $0 < \theta < 90^\circ$ है,इसलिए $\sin \theta$ धनात्मक होगा।
अतः,$\sin \theta = \sqrt{\frac{a^2}{a^2 + b^2}} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$।