Mix Examples - Introduction to Trigonometry Questions in Hindi

(D) दिया गया है कि $\sin \theta = \frac{3}{5}$।
हम जानते हैं कि $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ होता है।
$\cos^2 \theta = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$।
अतः,$\cos \theta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$।
अब,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$।

(C) दिया गया है कि $\sec \theta = \frac{5}{3}$.
हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$ का उपयोग करेंगे।
$\sec \theta$ का मान रखने पर:
$\tan^2 \theta = \left(\frac{5}{3}\right)^2 - 1$
$\tan^2 \theta = \frac{25}{9} - 1$
$\tan^2 \theta = \frac{25 - 9}{9} = \frac{16}{9}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\tan \theta = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}$.

(A) हम जानते हैं कि $\frac{1}{\cos ^{2} \theta} = \sec ^{2} \theta$ और $\frac{1}{\cot ^{2} \theta} = \tan ^{2} \theta$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \tan ^{2} \theta = \sec ^{2} \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $\sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta = 1$ प्राप्त होता है।

(B) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को जानते हैं:
$1 + \tan^{2} \theta = \sec^{2} \theta$ और $1 - \cos^{2} \theta = \sin^{2} \theta$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1 + \tan^{2} \theta)(1 - \cos^{2} \theta) = \sec^{2} \theta \cdot \sin^{2} \theta$.
चूंकि $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$,इसलिए:
$\sec^{2} \theta \cdot \sin^{2} \theta = \frac{1}{\cos^{2} \theta} \cdot \sin^{2} \theta = \frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} = \tan^{2} \theta$.

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$a \sin \theta = 3$ --- $(1)$
$a \cos \theta = 4$ --- $(2)$
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर:
$(a \sin \theta)^2 = 3^2 \implies a^2 \sin^2 \theta = 9$ --- $(3)$
$(a \cos \theta)^2 = 4^2 \implies a^2 \cos^2 \theta = 16$ --- $(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$a^2 \sin^2 \theta + a^2 \cos^2 \theta = 9 + 16$
$a^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 25$
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए:
$a^2 (1) = 25$
$a^2 = 25$
चूँकि $a > 0$,इसलिए धनात्मक वर्गमूल लेने पर:
$a = 5$.

(B) दिया गया समीकरण: $\sin 5 \theta = \cos 5 \theta$
दोनों पक्षों को $\cos 5 \theta$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $\cos 5 \theta \neq 0$):
$\frac{\sin 5 \theta}{\cos 5 \theta} = 1$
$\tan 5 \theta = 1$
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$ होता है,इसलिए:
$5 \theta = 45^{\circ}$
$\theta = \frac{45^{\circ}}{5} = 9^{\circ}$
अतः,$\theta$ का मान $9$ है।

(C) दिया गया है कि $\cos \theta = \frac{15}{17}$ है।
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$\sin^2 \theta = 1 - \left(\frac{15}{17}\right)^2 = 1 - \frac{225}{289} = \frac{289 - 225}{289} = \frac{64}{289}$.
अतः,$\sin \theta = \sqrt{\frac{64}{289}} = \frac{8}{17}$.
अब,$\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{17}{8}$ और $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{15/17}{8/17} = \frac{15}{8}$.
अंत में,$\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta = \frac{17}{8} + \frac{15}{8} = \frac{32}{8} = 4$.

(D) हम जानते हैं कि $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ और $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $\tan \theta + \cot \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ प्राप्त होता है।
हर समान करने पर: $\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta}$ मिलता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर: $\frac{1}{\sin \theta \cos \theta}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{1}{\sin \theta} = \operatorname{cosec} \theta$ और $\frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta$ होता है,इसलिए व्यंजक का सरल रूप $\operatorname{cosec} \theta \cdot \sec \theta$ है।

(B) हमें दिया गया व्यंजक है: $(\sin \theta + \cos \theta)^2 + (\sin \theta - \cos \theta)^2$.
बीजगणितीय सर्वसमिकाओं $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ और $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ का उपयोग करके विस्तार करने पर:
$= (\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta) + (\sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)$.
समान पदों को जोड़ने पर,$2 \sin \theta \cos \theta$ और $-2 \sin \theta \cos \theta$ कट जाएंगे:
$= \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta + \cos^2 \theta$.
$= 2 \sin^2 \theta + 2 \cos^2 \theta$.
$= 2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$.
चूंकि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ होती है,इसलिए यह मान रखने पर:
$= 2(1) = 2$.

(C) हम जानते हैं कि सर्वसमिका $\sec^{2} \theta = 1 + \tan^{2} \theta$ होती है।
दी गई मान रखने पर: $\sec^{2} \theta = 1 + (\frac{5}{12})^{2}$.
$\sec^{2} \theta = 1 + \frac{25}{144} = \frac{144 + 25}{144} = \frac{169}{144}$.
वर्गमूल लेने पर,$\sec \theta = \frac{13}{12}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta}$,इसलिए $\cos \theta = \frac{12}{13}$ होगा।

(C) दिया गया है कि $A = 30^{\circ}$ है।
हमें $\cos 2A$ का मान ज्ञात करना है।
व्यंजक में $A$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos 2A = \cos(2 \times 30^{\circ})$
$\cos 2A = \cos 60^{\circ}$
चूँकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ होता है,इसलिए इसका मान $\frac{1}{2}$ है।

(B) हम पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका जानते हैं: $\tan \theta = \cot(90^{\circ} - \theta)$.
इस सर्वसमिका में $\theta = 15^{\circ}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan 15^{\circ} = \cot(90^{\circ} - 15^{\circ})$.
$\tan 15^{\circ} = \cot 75^{\circ}$.
अतः,$\tan 15^{\circ}$ का मान $\cot 75^{\circ}$ के बराबर है।

(A) हम मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका जानते हैं: $\sin ^{2} A + \cos ^{2} A = 1$।
दिए गए समीकरण $\sin ^{2} 35^{\circ} + \cos ^{2} \theta = 1$ की तुलना सर्वसमिका $\sin ^{2} A + \cos ^{2} A = 1$ से करने पर,हम देख सकते हैं कि योग $1$ होने के लिए कोण समान होने चाहिए।
अतः,$\theta = 35^{\circ}$।

(B) हम जानते हैं कि पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos (90^\circ - \theta) = \sin \theta$ होती है।
इस मान को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin \theta \cdot \cos (90^\circ - \theta) = \sin \theta \cdot \sin \theta$.
अतः,व्यंजक का सरल रूप $\sin^2 \theta$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan ^{2} \theta = \sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta$
हम जानते हैं कि आधारभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका: $\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1$
इस सर्वसमिका को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\tan ^{2} \theta = 1$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर और $0 < \theta < 90^{\circ}$ (जहाँ $\tan \theta$ धनात्मक है) को ध्यान में रखते हुए: $\tan \theta = 1$
चूँकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$ है।

(B) दिया गया समीकरण $\sin ^{2}(3 x+30^{\circ})+\cos ^{2}(2 x+45^{\circ})=1$ है।
हम जानते हैं कि मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1$ होती है।
दिए गए समीकरण की तुलना सर्वसमिका से करने पर,हमें $3 x+30^{\circ} = 2 x+45^{\circ}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $2x$ घटाने पर,$x+30^{\circ} = 45^{\circ}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $30^{\circ}$ घटाने पर,$x = 15^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय मान: $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\tan 45^{\circ} = 1$,$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,और $\cot 90^{\circ} = 0$ हैं।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin^{2} 60^{\circ} - \tan 45^{\circ} + \cos^{2} 30^{\circ} - \cot 90^{\circ} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} - 1 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} - 0$
$= \frac{3}{4} - 1 + \frac{3}{4} - 0$
$= \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 1$
$= \frac{6}{4} - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.

(D) हम पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को जानते हैं: $\tan(90^\circ - A) = \cot A$ और $\sec(90^\circ - A) = \operatorname{cosec} A$.
सबसे पहले,पद $\tan(65^\circ - \theta)$ पर विचार करें:
$\tan(65^\circ - \theta) = \cot(90^\circ - (65^\circ - \theta)) = \cot(25^\circ + \theta)$.
इसके बाद,पद $\sec(55^\circ - \theta)$ पर विचार करें:
$\sec(55^\circ - \theta) = \operatorname{cosec}(90^\circ - (55^\circ - \theta)) = \operatorname{cosec}(35^\circ + \theta)$.
अब,इन मानों को दी गई व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$\tan(65^\circ - \theta) - \cot(25^\circ + \theta) - \sec(55^\circ - \theta) + \operatorname{cosec}(35^\circ + \theta)$
$= \cot(25^\circ + \theta) - \cot(25^\circ + \theta) - \operatorname{cosec}(35^\circ + \theta) + \operatorname{cosec}(35^\circ + \theta)$
$= 0$.

(B) दिया गया व्यंजक: $8 \sin^{2} 45^{\circ} - 2 \tan^{2} 60^{\circ} + 3 \cot^{2} 30^{\circ} - 2 \cos^{2} 45^{\circ}$
त्रिकोणमितीय मान रखने पर:
$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,$\cot 30^{\circ} = \sqrt{3}$,$\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$= 8 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{2} - 2 (\sqrt{3})^{2} + 3 (\sqrt{3})^{2} - 2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{2}$
$= 8 \left( \frac{1}{2} \right) - 2 (3) + 3 (3) - 2 \left( \frac{1}{2} \right)$
$= 4 - 6 + 9 - 1$
$= 6$

(C) हम जानते हैं कि $\frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta$ होता है।
अतः,$\frac{1}{\cos ^{2} \theta} = \sec ^{2} \theta$ होगा।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \tan ^{2} \theta = \sec ^{2} \theta$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं कि $\sec ^{2} \theta - 1 = \tan ^{2} \theta$।
इस प्रकार,$\frac{1}{\cos ^{2} \theta} - 1 = \tan ^{2} \theta$ होगा।

(B) हम जानते हैं कि $\frac{1}{\sin \theta} = \operatorname{cosec} \theta$ होता है।
इसलिए,$\frac{1}{\sin ^{2} \theta} = \operatorname{cosec}^{2} \theta$ होगा।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $\operatorname{cosec}^{2} \theta - 1$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \cot^{2} \theta = \operatorname{cosec}^{2} \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $\operatorname{cosec}^{2} \theta - 1 = \cot^{2} \theta$ प्राप्त होता है।

(A) हम मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका जानते हैं: $\sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta = 1$.
$\tan ^{2} \theta - \sec ^{2} \theta$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम सर्वसमिका को $-1$ से गुणा कर सकते हैं।
$-1 \times (\sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta) = -1 \times 1$.
अतः,$\tan ^{2} \theta - \sec ^{2} \theta = -1$.

(B) हम जानते हैं कि बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ होती है।
इस सर्वसमिका को $\sec ^{4} \theta-\tan ^{4} \theta$ व्यंजक पर लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sec ^{4} \theta-\tan ^{4} \theta = (\sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta)(\sec ^{2} \theta + \tan ^{2} \theta)$.
त्रिकोणमितीय मूल सर्वसमिका से,हम जानते हैं कि $\sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta = 1$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sec ^{4} \theta - \tan ^{4} \theta = (1) \times \left(\frac{13}{12}\right) = \frac{13}{12}$.

(C) दिया गया है कि $\tan \theta = 1$ है।
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$ होता है,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$ होगा।
अब,$\theta = 45^{\circ}$ का मान $\sin \theta \cdot \cos \theta$ में रखने पर:
$\sin 45^{\circ} \cdot \cos 45^{\circ} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{2}$.

(D) हमें व्यंजक $\frac{\sec \theta-1}{\sec \theta+1}$ दिया गया है।
चूंकि $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$,हम अंश और हर को $\cos \theta$ से गुणा कर सकते हैं:
$\frac{\sec \theta-1}{\sec \theta+1} = \frac{(\sec \theta-1) \cdot \cos \theta}{(\sec \theta+1) \cdot \cos \theta}$
$= \frac{\sec \theta \cdot \cos \theta - \cos \theta}{\sec \theta \cdot \cos \theta + \cos \theta}$
$= \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}$ (क्योंकि $\sec \theta \cdot \cos \theta = 1$)
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) हम जानते हैं कि $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\cot \theta \cdot \tan \theta = \left( \frac{1}{\tan \theta} \right) \cdot \tan \theta = 1$.

(C) दिया गया समीकरण: $\cos \theta = \sin 5 \theta$
हम जानते हैं कि $\sin(90^{\circ} - A) = \cos A$,इसलिए $\sin 5 \theta = \cos(90^{\circ} - 5 \theta)$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\cos \theta = \cos(90^{\circ} - 5 \theta)$।
चूंकि न्यून कोणों के लिए कोसाइन फलन एकैकी (one-to-one) होता है,इसलिए हम कोणों की तुलना कर सकते हैं:
$\theta = 90^{\circ} - 5 \theta$
$\theta + 5 \theta = 90^{\circ}$
$6 \theta = 90^{\circ}$
$\theta = \frac{90^{\circ}}{6} = 15^{\circ}$।

(A) दिया गया व्यंजक: $\sin^{2} 30^{\circ} - \tan 45^{\circ} + \cos^{2} 60^{\circ} - \cot 90^{\circ}$
त्रिकोणमितीय मान रखने पर:
$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\tan 45^{\circ} = 1$,$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,और $\cot 90^{\circ} = 0$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= (\frac{1}{2})^{2} - 1 + (\frac{1}{2})^{2} - 0$
$= \frac{1}{4} - 1 + \frac{1}{4}$
$= \frac{2}{4} - 1$
$= \frac{1}{2} - 1$
$= -\frac{1}{2}$

(D) दिया गया समीकरण: $\tan 7 \theta \cdot \tan 3 \theta = 1$
हम जानते हैं कि $\tan 3 \theta = \frac{1}{\cot 3 \theta}$,इसलिए $\tan 7 \theta = \frac{1}{\tan 3 \theta} = \cot 3 \theta$ होगा।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cot \alpha = \tan(90^{\circ} - \alpha)$ का उपयोग करते हुए:
$\tan 7 \theta = \tan(90^{\circ} - 3 \theta)$
कोणों की तुलना करने पर:
$7 \theta = 90^{\circ} - 3 \theta$
दोनों पक्षों में $3 \theta$ जोड़ने पर:
$10 \theta = 90^{\circ}$
$10$ से भाग देने पर:
$\theta = 9^{\circ}$

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $\tan 5^{\circ} \cdot \tan 25^{\circ} \cdot \tan 45^{\circ} \cdot \tan 65^{\circ} \cdot \tan 85^{\circ}$
हम जानते हैं कि $\tan 45^{\circ} = 1$ और $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= \tan 5^{\circ} \cdot \tan 25^{\circ} \cdot 1 \cdot \tan(90^{\circ} - 25^{\circ}) \cdot \tan(90^{\circ} - 5^{\circ})$
$= \tan 5^{\circ} \cdot \tan 25^{\circ} \cdot 1 \cdot \cot 25^{\circ} \cdot \cot 5^{\circ}$
चूंकि $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$ होता है,इसलिए पदों को समूहबद्ध करने पर:
$= (\tan 5^{\circ} \cdot \cot 5^{\circ}) \cdot (\tan 25^{\circ} \cdot \cot 25^{\circ}) \cdot 1$
$= 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

(A) हम जानते हैं कि $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$.
अतः,$\sin 75^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 15^{\circ}) = \cos 15^{\circ}$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin^{2} 15^{\circ} + \sin^{2} 75^{\circ} = \sin^{2} 15^{\circ} + (\cos 15^{\circ})^{2}$
$= \sin^{2} 15^{\circ} + \cos^{2} 15^{\circ}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= 1$.

(C) हमें दिया गया व्यंजक है: $\sin ^{2} 1^{\circ} + \sin ^{2} 3^{\circ} + \sin ^{2} 87^{\circ} + \sin ^{2} 89^{\circ}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ का उपयोग करते हुए:
$\sin ^{2} 87^{\circ} = \sin ^{2}(90^{\circ} - 3^{\circ}) = \cos ^{2} 3^{\circ}$
$\sin ^{2} 89^{\circ} = \sin ^{2}(90^{\circ} - 1^{\circ}) = \cos ^{2} 1^{\circ}$
इन मानों को मूल व्यंजक में रखने पर:
$= \sin ^{2} 1^{\circ} + \sin ^{2} 3^{\circ} + \cos ^{2} 3^{\circ} + \cos ^{2} 1^{\circ}$
समान कोण वाले पदों को एक साथ रखने पर:
$= (\sin ^{2} 1^{\circ} + \cos ^{2} 1^{\circ}) + (\sin ^{2} 3^{\circ} + \cos ^{2} 3^{\circ})$
सर्वसमिका $\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$= 1 + 1 = 2$.

(D) दिया गया समीकरण: $3 \sin \theta = 4 \cos \theta$
दोनों पक्षों को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $\cos \theta \neq 0$):
$\frac{3 \sin \theta}{\cos \theta} = 4$
अब,दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{4}{3}$
चूंकि $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\tan \theta = \frac{4}{3}$

(C) हम जानते हैं कि $\tan \theta$ का व्युत्क्रम $\cot \theta$ होता है,इसलिए $\frac{1}{\tan \theta} = \cot \theta$ है।
अतः,$\frac{1}{\tan^{2} \theta} = \cot^{2} \theta$ होगा।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $\cot^{2} \theta + 1$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \cot^{2} \theta = \operatorname{cosec}^{2} \theta$ का उपयोग करने पर,अंतिम परिणाम $\operatorname{cosec}^{2} \theta$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ न्यूनकोण हैं।
चूंकि $\tan A = 1,$ हम जानते हैं कि $\tan 45^{\circ} = 1,$ इसलिए $A = 45^{\circ}.$
चूंकि $\sin B = \frac{1}{\sqrt{2}},$ हम जानते हैं कि $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}},$ इसलिए $B = 45^{\circ}.$
अब,हमें $\cos (A + B)$ का मान ज्ञात करना है।
$A$ और $B$ के मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos (45^{\circ} + 45^{\circ}) = \cos 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos 90^{\circ} = 0,$ इसलिए अंतिम उत्तर $0$ है।