Mix Examples - Introduction to Trigonometry Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે,$\cos A = \frac{4}{5}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$,તેથી $\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A}$.
$\cos A$ ની કિંમત મૂકતા:
$\sin A = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25 - 16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
હવે,$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$.
$\sin A$ અને $\cos A$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\tan A = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$.
આમ,$\tan A$ ની જરૂરી કિંમત $\frac{3}{4}$ છે.

(B) આપેલ છે કે,$\sin A = \frac{1}{2}$.
નિત્યસમ $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\cos A$ મળે છે:
$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
હવે,$\cot A$ ની કિંમત નીચે મુજબ મળે છે:
$\cot A = \frac{\cos A}{\sin A} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $E = \operatorname{cosec}(75^{\circ}+\theta) - \sec(15^{\circ}-\theta) - \tan(55^{\circ}+\theta) + \cot(35^{\circ}-\theta)$
કોટીકોણના નિત્યસમ $\operatorname{cosec}(90^{\circ}-A) = \sec A$ અને $\cot(90^{\circ}-A) = \tan A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1$. $\operatorname{cosec}(75^{\circ}+\theta) = \operatorname{cosec}(90^{\circ}-(15^{\circ}-\theta)) = \sec(15^{\circ}-\theta)$
$2$. $\cot(35^{\circ}-\theta) = \cot(90^{\circ}-(55^{\circ}+\theta)) = \tan(55^{\circ}+\theta)$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = \sec(15^{\circ}-\theta) - \sec(15^{\circ}-\theta) - \tan(55^{\circ}+\theta) + \tan(55^{\circ}+\theta)$
$E = 0$
આમ,આપેલ પદાવલિની કિંમત $0$ છે.

(D) આપેલ છે,$\sin \theta = \frac{a}{b}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ કે $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^{2} \theta}$.
$\sin \theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$\cos \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{a}{b}\right)^{2}}$
$\cos \theta = \sqrt{1 - \frac{a^{2}}{b^{2}}}$
$\cos \theta = \sqrt{\frac{b^{2} - a^{2}}{b^{2}}}$
$\cos \theta = \frac{\sqrt{b^{2} - a^{2}}}{b}$.

(A) આપેલ છે કે,$\cos (\alpha+\beta)=0=\cos 90^{\circ}$ $\left[\because \cos 90^{\circ}=0\right]$
$\Rightarrow \alpha+\beta=90^{\circ}$
$\Rightarrow \alpha=90^{\circ}-\beta$ ......$(i)$
હવે,$\sin (\alpha-\beta)=\sin (90^{\circ}-\beta-\beta)$ [સમીકરણ $(i)$ માંથી કિંમત મૂકતા]
$= \sin (90^{\circ}-2 \beta)$
$= \cos 2 \beta$ $\left[\because \sin (90^{\circ}-\theta)=\cos \theta\right]$
આમ,$\sin (\alpha-\beta)$ ને $\cos 2 \beta$ માં ઘટાડી શકાય છે.

(B) આપણી પાસે પદાવલિ છે: $P = \tan 1^{\circ} \cdot \tan 2^{\circ} \cdot \tan 3^{\circ} \ldots \tan 89^{\circ}$.
ગુણધર્મ $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ કે $\tan 89^{\circ} = \cot 1^{\circ}$,$\tan 88^{\circ} = \cot 2^{\circ}$,વગેરે.
કારણ કે $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$,તેથી $\tan 89^{\circ} = \frac{1}{\tan 1^{\circ}}$,$\tan 88^{\circ} = \frac{1}{\tan 2^{\circ}}$,વગેરે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$P = (\tan 1^{\circ} \cdot \cot 1^{\circ}) \cdot (\tan 2^{\circ} \cdot \cot 2^{\circ}) \ldots (\tan 44^{\circ} \cdot \cot 44^{\circ}) \cdot \tan 45^{\circ}$.
કારણ કે $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$ અને $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી પદાવલિનું મૂલ્ય:
$P = 1 \cdot 1 \cdot 1 \ldots \cdot 1 = 1$.

(C) આપેલ છે કે,$\cos 9 \alpha = \sin \alpha$ અને $9 \alpha < 90^{\circ},$ જેનો અર્થ છે કે $9 \alpha$ એ લઘુકોણ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos A = \sin(90^{\circ} - A)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
$\sin(90^{\circ} - 9 \alpha) = \sin \alpha$
જેથી,
$90^{\circ} - 9 \alpha = \alpha$
$\alpha$ માટે ઉકેલતા:
$10 \alpha = 90^{\circ}$
$\alpha = 9^{\circ}$
હવે,$\tan 5 \alpha$ ની કિંમત શોધીએ:
$\tan 5 \alpha = \tan(5 \times 9^{\circ}) = \tan 45^{\circ}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 45^{\circ} = 1,$ તેથી જવાબ $1$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\triangle ABC$ માં ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
એટલે કે,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
અહીં $C$ આગળ કાટખૂણો હોવાથી,$\angle C = 90^{\circ}$ (આપેલ છે).
આ કિંમત મૂકતા,$\angle A + \angle B + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.
તેથી,$A + B = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
હવે,આપણે $\cos(A + B)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$A + B = 90^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $\cos(90^{\circ}) = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે,$\sin A + \sin^2 A = 1$.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $\sin A = 1 - \sin^2 A$.
નિત્યસમ $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $1 - \sin^2 A = \cos^2 A$.
તેથી,$\sin A = \cos^2 A$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે $\sin^2 A = (\cos^2 A)^2 = \cos^4 A$.
હવે,સમીકરણમાં $\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$ મૂકતા:
$1 - \cos^2 A = \cos^4 A$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે $\cos^2 A + \cos^4 A = 1$.

(B) આપેલ છે,$\sin \alpha = \frac{1}{2} = \sin 30^{\circ}$ $\left[\because \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}\right]$
$\Rightarrow \alpha = 30^{\circ}$
અને,$\cos \beta = \frac{1}{2} = \cos 60^{\circ}$ $\left[\because \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}\right]$
$\Rightarrow \beta = 60^{\circ}$
તેથી,$\alpha + \beta = 30^{\circ} + 60^{\circ} = 90^{\circ}$

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sin ^{2} 22^{\circ}+\sin ^{2} 68^{\circ}}{\cos ^{2} 22^{\circ}+\cos ^{2} 68^{\circ}}+\sin ^{2} 63^{\circ}+\cos 63^{\circ} \sin 27^{\circ}$
નિત્યસમ $\sin(90^{\circ}-\theta) = \cos \theta$ અને $\cos(90^{\circ}-\theta) = \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
પગલું $1$: અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપો.
$\sin 68^{\circ} = \sin(90^{\circ}-22^{\circ}) = \cos 22^{\circ}$
$\cos 22^{\circ} = \cos(90^{\circ}-68^{\circ}) = \sin 68^{\circ}$
તેથી,અપૂર્ણાંક $\frac{\sin ^{2} 22^{\circ}+\cos ^{2} 22^{\circ}}{\sin ^{2} 68^{\circ}+\cos ^{2} 68^{\circ}} = \frac{1}{1} = 1$ થશે.
પગલું $2$: બાકીના પદોનું સાદું રૂપ આપો.
$\sin 27^{\circ} = \sin(90^{\circ}-63^{\circ}) = \cos 63^{\circ}$
તેથી,$\sin ^{2} 63^{\circ}+\cos 63^{\circ} \sin 27^{\circ} = \sin ^{2} 63^{\circ}+\cos 63^{\circ} \cdot \cos 63^{\circ} = \sin ^{2} 63^{\circ}+\cos ^{2} 63^{\circ} = 1$ થશે.
પગલું $3$: પરિણામોનો સરવાળો કરો.
$1 + 1 = 2$.

(D) આપેલ છે,$4 \tan \theta = 3$
$\Rightarrow \tan \theta = \frac{3}{4}$ ..........$(i)$
પદાવલિ $\frac{4 \sin \theta - \cos \theta}{4 \sin \theta + \cos \theta}$ ની કિંમત શોધવા માટે,અંશ અને છેદ બંનેને $\cos \theta$ વડે ભાગતા:
$= \frac{\frac{4 \sin \theta}{\cos \theta} - \frac{\cos \theta}{\cos \theta}}{\frac{4 \sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\cos \theta}}$
$= \frac{4 \tan \theta - 1}{4 \tan \theta + 1}$
હવે,સમીકરણ $(i)$ માંથી $\tan \theta = \frac{3}{4}$ ની કિંમત મૂકતા:
$= \frac{4(\frac{3}{4}) - 1}{4(\frac{3}{4}) + 1}$
$= \frac{3 - 1}{3 + 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

(A) આપેલ છે,$\sin \theta - \cos \theta = 0$.
$\sin \theta = \cos \theta \Rightarrow \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 1$.
$\tan \theta = 1$ $[\because \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ અને $\tan 45^{\circ} = 1]$.
$\tan \theta = \tan 45^{\circ}$.
$\theta = 45^{\circ}$.
હવે,$\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = \sin^4 45^{\circ} + \cos^4 45^{\circ}$.
$= (\frac{1}{\sqrt{2}})^4 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^4$ $[\because \sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}]$.
$= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin (90^{\circ}-\theta) = \cos \theta$ અને $\cos (90^{\circ}-\theta) = \sin \theta$.
આપેલ પદાવલિ: $\sin (45^{\circ}+\theta)-\cos (45^{\circ}-\theta)$
નિત્યસમ $\sin A = \cos (90^{\circ}-A)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin (45^{\circ}+\theta) = \cos (90^{\circ}-(45^{\circ}+\theta))$
$= \cos (90^{\circ}-45^{\circ}-\theta)$
$= \cos (45^{\circ}-\theta)$
આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cos (45^{\circ}-\theta)-\cos (45^{\circ}-\theta) = 0$

(B) ખોટું.
પદાવલિ $\sin \theta + \cos \theta$ ને $\sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta) = \sqrt{2} \sin(\theta + 45^{\circ})$ તરીકે લખી શકાય છે.
$\theta = 0^{\circ}$ માટે,તેનું મૂલ્ય $\sin 0^{\circ} + \cos 0^{\circ} = 0 + 1 = 1$ થાય છે.
કારણ કે આ મૂલ્ય $1$ ની બરાબર હોઈ શકે છે (દા.ત.,$\theta = 0^{\circ}$ અથવા $\theta = 90^{\circ}$ પર),તેથી 'હંમેશા $1$ કરતા વધારે હોય છે' તેવું વિધાન ખોટું છે.

(TRUE) સાચું (True)
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$.
તેથી,$\tan 47^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 43^{\circ}) = \cot 43^{\circ}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\tan 47^{\circ}}{\cot 43^{\circ}} = \frac{\cot 43^{\circ}}{\cot 43^{\circ}} = 1$.
આમ,આપેલ વિધાન સાચું છે.

(B) False (ખોટું)
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$.
તેથી,$\sin 67^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 23^{\circ}) = \cos 23^{\circ}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cos^{2} 23^{\circ} - \sin^{2} 67^{\circ} = \cos^{2} 23^{\circ} - (\cos 23^{\circ})^{2}$
$= \cos^{2} 23^{\circ} - \cos^{2} 23^{\circ}$
$= 0$.
$0$ એ ધન કે ઋણ નથી,તેથી વિધાન કે તેનું મૂલ્ય ધન છે તે ખોટું છે.

(B) આ વિધાન ખોટું (False) છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ અંતરાલમાં,$\sin \theta$ એ વધતું વિધેય છે,જ્યારે $\cos \theta$ એ ઘટતું વિધેય છે.
$\theta = 45^{\circ}$ માટે,$\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય છે.
કોઈપણ ખૂણા $\theta$ માટે જ્યાં $45^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ હોય,ત્યાં $\sin \theta > \cos \theta$ થાય છે.
અહીં $80^{\circ}$ એ $(45^{\circ}, 90^{\circ})$ અંતરાલમાં આવેલું હોવાથી,$\sin 80^{\circ} > \cos 80^{\circ}$ થાય.
તેથી,$(\sin 80^{\circ} - \cos 80^{\circ}) > 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે આ મૂલ્ય ધન છે,ઋણ નથી.

(A) સાચું.
આપેલ પદાવલિ: $\sqrt{(1-\cos^2 \theta) \sec^2 \theta}$
નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $\sqrt{\sin^2 \theta \cdot \sec^2 \theta}$
કારણ કે $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$,આપણે લખી શકીએ: $\sqrt{\sin^2 \theta \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta}} = \sqrt{\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}}$
નિત્યસમ $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $\sqrt{\tan^2 \theta} = \tan \theta$.
આમ,આપેલ વિધાન સાચું છે.

(A) સાચું.
આપેલ છે કે $\cos A + \cos^2 A = 1$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે $\cos A = 1 - \cos^2 A$.
નિત્યસમ $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $1 - \cos^2 A = \sin^2 A$.
તેથી,$\cos A = \sin^2 A$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે $\cos^2 A = (\sin^2 A)^2 = \sin^4 A$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$.
આ કિંમતને $\cos^2 A = \sin^4 A$ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $1 - \sin^2 A = \sin^4 A$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે $\sin^2 A + \sin^4 A = 1$.

(B) ખોટું (False).
$L$.$H$.$S$. $= (\tan \theta + 2)(2 \tan \theta + 1)$
$= 2 \tan^2 \theta + \tan \theta + 4 \tan \theta + 2$
$= 2 \tan^2 \theta + 5 \tan \theta + 2$
નિત્યસમ $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 2(\sec^2 \theta - 1) + 5 \tan \theta + 2$
$= 2 \sec^2 \theta - 2 + 5 \tan \theta + 2$
$= 2 \sec^2 \theta + 5 \tan \theta$
અહીં $2 \sec^2 \theta + 5 \tan \theta \neq 5 \tan \theta + \sec^2 \theta$ હોવાથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(B) ખોટું.
આપેલ છે કે $a$ એ ધન સંખ્યા છે અને $a \neq 1,$ તેથી આપણે સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક $(AM-GM)$ અસમતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કોઈપણ બે ધન સંખ્યાઓ $a$ અને $\frac{1}{a}$ માટે,$AM = \frac{a + \frac{1}{a}}{2}$ અને $GM = \sqrt{a \cdot \frac{1}{a}} = 1$ થાય.
જ્યારે $a \neq 1$ હોય ત્યારે $AM > GM$ હોવાથી,$\frac{a + \frac{1}{a}}{2} > 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $(a + \frac{1}{a}) > 2.$
જો આપણે ધારીએ કે $2 \sin \theta = a + \frac{1}{a},$ તો $2 \sin \theta > 2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta > 1.$
જોકે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી $\sin \theta$ ની કિંમત ક્યારેય $1$ થી મોટી હોઈ શકે નહીં.
તેથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(B) ખોટું.
આપેલ છે કે $a$ અને $b$ બે ભિન્ન સંખ્યાઓ છે જેથી $ab > 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ભિન્ન ધન સંખ્યાઓ માટે,સમાંતર મધ્યક $(AM)$ એ ગુણોત્તર મધ્યક $(GM)$ કરતા હંમેશા મોટો હોય છે.
$AM > GM$
$\frac{a^2 + b^2}{2} > \sqrt{a^2 b^2}$
$\frac{a^2 + b^2}{2} > ab$
બંને બાજુને $ab$ વડે ભાગતા (કારણ કે $ab > 0$):
$\frac{a^2 + b^2}{2ab} > 1$
કારણ કે $\cos \theta = \frac{a^2 + b^2}{2ab}$,આનો અર્થ એ થાય કે $\cos \theta > 1$.
જોકે,$\cos \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\cos \theta$ ની કિંમત $1$ થી મોટી હોઈ શકે નહીં.
તેથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે મૂળભૂત ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ: $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$ છે.
બંને બાજુ ઘન લેતા,આપણને મળે છે:
$(\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta)^{3} = (1)^{3}$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \sin^{2} \theta$ અને $b = \cos^{2} \theta$ છે:
$(\sin^{2} \theta)^{3} + (\cos^{2} \theta)^{3} + 3(\sin^{2} \theta)(\cos^{2} \theta)(\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta) = 1$
કારણ કે $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$ હોવાથી,સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$\sin^{6} \theta + \cos^{6} \theta + 3 \sin^{2} \theta \cos^{2} \theta (1) = 1$
આમ,$\sin^{6} \theta + \cos^{6} \theta + 3 \sin^{2} \theta \cos^{2} \theta = 1$. જે સાબિત થાય છે.

(N/A) $L$.$H$.$S$. $= (\sin^{4} \theta - \cos^{4} \theta + 1) \operatorname{cosec}^{2} \theta$
$= [(\sin^{2} \theta - \cos^{2} \theta)(\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta) + 1] \operatorname{cosec}^{2} \theta$
કારણ કે $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$,તેથી:
$= (\sin^{2} \theta - \cos^{2} \theta + 1) \operatorname{cosec}^{2} \theta$
$1 - \cos^{2} \theta = \sin^{2} \theta$ મૂકતા:
$= (\sin^{2} \theta + \sin^{2} \theta) \operatorname{cosec}^{2} \theta$
$= (2 \sin^{2} \theta) \operatorname{cosec}^{2} \theta$
$= 2 (\sin^{2} \theta \cdot \operatorname{cosec}^{2} \theta)$
કારણ કે $\sin \theta \cdot \operatorname{cosec} \theta = 1$,તેથી:
$= 2(1) = 2 = \text{R.H.S.}$

(N/A) આપેલ છે કે $\alpha + \beta = 90^{\circ}$,તેથી $\beta = 90^{\circ} - \alpha$ થાય.
પદમાં $\beta$ ની કિંમત મૂકતા:
$\sqrt{\cos \alpha \operatorname{cosec} \beta - \cos \alpha \sin \beta} = \sqrt{\cos \alpha \operatorname{cosec}(90^{\circ} - \alpha) - \cos \alpha \sin(90^{\circ} - \alpha)}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\operatorname{cosec}(90^{\circ} - \alpha) = \sec \alpha$ અને $\sin(90^{\circ} - \alpha) = \cos \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \sqrt{\cos \alpha \sec \alpha - \cos \alpha \cos \alpha}$
કારણ કે $\cos \alpha \sec \alpha = 1$ અને $\cos \alpha \cos \alpha = \cos^{2} \alpha$:
$= \sqrt{1 - \cos^{2} \alpha}$
નિત્યસમ $1 - \cos^{2} \alpha = \sin^{2} \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \sqrt{\sin^{2} \alpha} = \sin \alpha$.
આમ,પદ સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\sqrt{3})^2$
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = 3$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી:
$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = 3$
$2 \sin \theta \cos \theta = 2$
$\sin \theta \cos \theta = 1$.
હવે,પદ $\tan \theta + \cot \theta$ ને ધ્યાનમાં લેતા:
$\tan \theta + \cot \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta}$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ અને $\sin \theta \cos \theta = 1$ ની કિંમત મૂકતા:
$\tan \theta + \cot \theta = \frac{1}{1} = 1$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) ડા.બા. $= \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} + \frac{1+\cos \theta}{\sin \theta}$
$= \frac{\sin^2 \theta + (1+\cos \theta)^2}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$
$= \frac{\sin^2 \theta + 1 + \cos^2 \theta + 2 \cos \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$ $\quad [\because (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab]$
$= \frac{(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) + 1 + 2 \cos \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$
$= \frac{1 + 1 + 2 \cos \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$ $\quad [\because \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1]$
$= \frac{2 + 2 \cos \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$
$= \frac{2(1+\cos \theta)}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$
$= \frac{2}{\sin \theta} = 2 \operatorname{cosec} \theta = \text{જ.બા.}$ $\quad [\because \operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}]$

(N/A) ડા.બા. $= \frac{\tan A}{1+\sec A} + \frac{\tan A}{\sec A-1}$
$= \tan A \left( \frac{\sec A - 1 + 1 + \sec A}{(\sec A + 1)(\sec A - 1)} \right)$
$= \tan A \left( \frac{2 \sec A}{\sec^2 A - 1} \right)$
$= \tan A \left( \frac{2 \sec A}{\tan^2 A} \right) \quad [\because \sec^2 A - 1 = \tan^2 A]$
$= \frac{2 \sec A}{\tan A} = \frac{2 \cdot \frac{1}{\cos A}}{\frac{\sin A}{\cos A}} = \frac{2}{\sin A} = 2 \operatorname{cosec} A = \text{જ.બા.}$

(N/A) આપેલ છે,$\tan A = \frac{3}{4} = \frac{P}{B} = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}}$.
ધારો કે $P = 3k$ અને $B = 4k$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,
$H^2 = P^2 + B^2 = (3k)^2 + (4k)^2$
$H^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2$
$\Rightarrow H = 5k$ [કારણ કે,બાજુની લંબાઈ ઋણ ન હોઈ શકે].
હવે,$\sin A = \frac{P}{H} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}$ અને $\cos A = \frac{B}{H} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}$.
તેથી,$\sin A \cos A = \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{12}{25}$.
આમ,સાબિત થાય છે.

ડા.બા. $= (\sin \alpha + \cos \alpha)(\tan \alpha + \cot \alpha)$
$= (\sin \alpha + \cos \alpha) \left( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \right)$ $\left[ \because \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \text{ અને } \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \right]$
$= (\sin \alpha + \cos \alpha) \left( \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} \right)$
$= (\sin \alpha + \cos \alpha) \cdot \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}$ $\left[ \because \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \right]$
$= \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$
$= \frac{1}{\cos \alpha} + \frac{1}{\sin \alpha}$
$= \sec \alpha + \operatorname{cosec} \alpha = \text{જ.બા.}$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતીય મૂલ્યો: $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,અને $\cot 30^{\circ} = \sqrt{3}$ છે.
પ્રથમ,જમણી બાજુ ($R$.$H$.$S$.) ની ગણતરી કરીએ:
$\text{R.H.S.} = \tan^{3} 60^{\circ} - 2 \sin 60^{\circ} = (\sqrt{3})^{3} - 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
હવે,ડાબી બાજુ ($L$.$H$.$S$.) ની ગણતરી કરીએ:
$\text{L.H.S.} = (\sqrt{3} + 1)(3 - \cot 30^{\circ}) = (\sqrt{3} + 1)(3 - \sqrt{3})$.
બીજા કૌંસમાંથી $\sqrt{3}$ સામાન્ય લેતા:
$\text{L.H.S.} = (\sqrt{3} + 1) \sqrt{3}(\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)$.
નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\text{L.H.S.} = \sqrt{3}((\sqrt{3})^2 - 1^2) = \sqrt{3}(3 - 1) = \sqrt{3}(2) = 2\sqrt{3}$.
આમ,$\text{L.H.S.} = \text{R.H.S.}$ હોવાથી,સાબિત થાય છે.

(N/A) $L$.$H$.$S$. $= 1 + \frac{\cot^{2} \alpha}{1 + \operatorname{cosec} \alpha}$
$= 1 + \frac{\cos^{2} \alpha / \sin^{2} \alpha}{1 + 1 / \sin \alpha} \quad [\because \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \text{ અને } \operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}]$
$= 1 + \frac{\cos^{2} \alpha}{\sin \alpha(1 + \sin \alpha)} = \frac{\sin \alpha(1 + \sin \alpha) + \cos^{2} \alpha}{\sin \alpha(1 + \sin \alpha)}$
$= \frac{\sin \alpha + (\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha)}{\sin \alpha(1 + \sin \alpha)} \quad [\because \sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1]$
$= \frac{\sin \alpha + 1}{\sin \alpha(1 + \sin \alpha)} = \frac{1}{\sin \alpha} \quad [\because \operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}]$
$= \operatorname{cosec} \alpha = \text{R.H.S.}$

(N/A) ડા.બા. $= \tan \theta + \tan (90^{\circ} - \theta)$
કારણ કે $\tan (90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$,તેથી:
$= \tan \theta + \cot \theta$
$= \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$
$= \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta}$
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી:
$= \frac{1}{\sin \theta \cos \theta}$
$= \frac{1}{\cos \theta} \cdot \frac{1}{\sin \theta}$
$= \sec \theta \operatorname{cosec} \theta$
કારણ કે $\operatorname{cosec} \theta = \sec (90^{\circ} - \theta)$,તેથી:
$= \sec \theta \sec (90^{\circ} - \theta) = \text{જ.બા.}$

(C) આપેલ છે કે,$\sqrt{3} \tan \theta = 1$.
$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\theta = 30^{\circ}$ મળે.
હવે,$\theta = 30^{\circ}$ ની કિંમત $\sin^{2} \theta - \cos^{2} \theta$ માં મૂકતા:
$\sin^{2} 30^{\circ} - \cos^{2} 30^{\circ} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$.
$= \frac{1}{4} - \frac{3}{4}$.
$= \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $(1+\tan ^{2} \theta)(1-\sin \theta)(1+\sin \theta)$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a-b)(a+b) = a^{2}-b^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$(1-\sin \theta)(1+\sin \theta) = 1-\sin ^{2} \theta$ મળે.
તેથી,પદાવલિ $(1+\tan ^{2} \theta)(1-\sin ^{2} \theta)$ બને છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1+\tan ^{2} \theta = \sec ^{2} \theta$ અને $1-\sin ^{2} \theta = \cos ^{2} \theta$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\sec ^{2} \theta \cdot \cos ^{2} \theta$ મળે છે.
કારણ કે $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$,તેથી $\sec ^{2} \theta = \frac{1}{\cos ^{2} \theta}$.
આમ,$\frac{1}{\cos ^{2} \theta} \cdot \cos ^{2} \theta = 1$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $2 \sin^{2} \theta - \cos^{2} \theta = 2$
નિત્યસમ $\cos^{2} \theta = 1 - \sin^{2} \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2 \sin^{2} \theta - (1 - \sin^{2} \theta) = 2$
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$2 \sin^{2} \theta - 1 + \sin^{2} \theta = 2$
$3 \sin^{2} \theta - 1 = 2$
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા:
$3 \sin^{2} \theta = 3$
$3$ વડે ભાગતા:
$\sin^{2} \theta = 1$
વર્ગમૂળ લેતા:
$\sin \theta = 1$ (મુખ્ય કિંમત ધ્યાનમાં લેતા)
કારણ કે $\sin 90^{\circ} = 1$,તેથી:
$\theta = 90^{\circ}$

(N/A) ડા.બા. $= \frac{\cos ^{2}\left(45^{\circ}+\theta\right)+\cos ^{2}\left(45^{\circ}-\theta\right)}{\tan \left(60^{\circ}+\theta\right) \cdot \tan \left(30^{\circ}-\theta\right)}$
નિત્યસમ $\cos \theta = \sin(90^{\circ}-\theta)$ અને $\tan \theta = \cot(90^{\circ}-\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
અંશ: $\cos ^{2}\left(45^{\circ}+\theta\right) + \sin ^{2}\left(90^{\circ}-(45^{\circ}-\theta)\right) = \cos ^{2}\left(45^{\circ}+\theta\right) + \sin ^{2}\left(45^{\circ}+\theta\right) = 1$
છેદ: $\tan \left(60^{\circ}+\theta\right) \cdot \cot \left(90^{\circ}-(30^{\circ}-\theta)\right) = \tan \left(60^{\circ}+\theta\right) \cdot \cot \left(60^{\circ}+\theta\right) = \tan \left(60^{\circ}+\theta\right) \cdot \frac{1}{\tan \left(60^{\circ}+\theta\right)} = 1$
તેથી,$\frac{1}{1} = 1 = \text{જ.બા.}$

(N/A) ડા.બા. ($L$.$H$.$S$.) $= \tan ^{4} \theta + \tan ^{2} \theta$
$= \tan ^{2} \theta (\tan ^{2} \theta + 1)$
$= \tan ^{2} \theta \cdot \sec ^{2} \theta$ (કારણ કે $\sec ^{2} \theta = \tan ^{2} \theta + 1$)
$= (\sec ^{2} \theta - 1) \cdot \sec ^{2} \theta$ (કારણ કે $\tan ^{2} \theta = \sec ^{2} \theta - 1$)
$= \sec ^{4} \theta - \sec ^{2} \theta = \text{જ.બા. (R.H.S.)}$

(N/A) આપેલ છે,$\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta = p$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ અને $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે $\frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} = p$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $\frac{(1 + \cos \theta)^{2}}{\sin^{2} \theta} = p^{2}$.
નિત્યસમ $\sin^{2} \theta = 1 - \cos^{2} \theta = (1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(1 + \cos \theta)^{2}}{(1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)} = p^{2} \Rightarrow \frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta} = p^{2}$.
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) લાગુ પાડતા:
$\frac{p^{2} - 1}{p^{2} + 1} = \frac{(1 + \cos \theta) - (1 - \cos \theta)}{(1 + \cos \theta) + (1 - \cos \theta)}$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{p^{2} - 1}{p^{2} + 1} = \frac{1 + \cos \theta - 1 + \cos \theta}{1 + \cos \theta + 1 - \cos \theta} = \frac{2 \cos \theta}{2} = \cos \theta$.
આમ,$\cos \theta = \frac{p^{2} - 1}{p^{2} + 1}$. આમ સાબિત થાય છે.

(A) $L.H.S. = \sqrt{\sec ^{2} \theta+\operatorname{cosec}^{2} \theta}$
$= \sqrt{\frac{1}{\cos ^{2} \theta}+\frac{1}{\sin ^{2} \theta}}$ $\left[\because \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} \text{ અને } \operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}\right]$
$= \sqrt{\frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\sin ^{2} \theta \cdot \cos ^{2} \theta}} = \sqrt{\frac{1}{\sin ^{2} \theta \cdot \cos ^{2} \theta}}$ $\left[\because \sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta = 1\right]$
$= \frac{1}{\sin \theta \cdot \cos \theta} = \frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\sin \theta \cdot \cos \theta}$ $\left[\because 1 = \sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta\right]$
$= \frac{\sin ^{2} \theta}{\sin \theta \cdot \cos \theta} + \frac{\cos ^{2} \theta}{\sin \theta \cdot \cos \theta}$
$= \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ $\left[\because \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \text{ અને } \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right]$
$= \tan \theta + \cot \theta = R.H.S.$

(A) આપેલ સમીકરણ: $1+\sin ^{2} \theta=3 \sin \theta \cos \theta$
બંને બાજુ $\cos^{2} \theta$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\cos^{2} \theta} + \frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} = \frac{3 \sin \theta \cos \theta}{\cos^{2} \theta}$
નિત્યસમ $\sec^{2} \theta = \frac{1}{\cos^{2} \theta}$,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$,અને $\sec^{2} \theta = 1 + \tan^{2} \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1 + \tan^{2} \theta) + \tan^{2} \theta = 3 \tan \theta$
પદોને ગોઠવીને દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવતા:
$2 \tan^{2} \theta - 3 \tan \theta + 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$2 \tan^{2} \theta - 2 \tan \theta - \tan \theta + 1 = 0$
$2 \tan \theta (\tan \theta - 1) - 1 (\tan \theta - 1) = 0$
$(2 \tan \theta - 1) (\tan \theta - 1) = 0$
તેથી,$\tan \theta - 1 = 0$ અથવા $2 \tan \theta - 1 = 0$
$\tan \theta = 1$ અથવા $\tan \theta = \frac{1}{2}$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે,$\sin \theta + 2 \cos \theta = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$(\sin \theta + 2 \cos \theta)^2 = 1^2$
$\sin^2 \theta + 4 \cos^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta = 1$
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ અને $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1 - \cos^2 \theta) + 4(1 - \sin^2 \theta) + 4 \sin \theta \cos \theta = 1$
$1 - \cos^2 \theta + 4 - 4 \sin^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta = 1$
$5 - (\cos^2 \theta + 4 \sin^2 \theta - 4 \sin \theta \cos \theta) = 1$
પદોને ગોઠવતા:
$4 \sin^2 \theta + \cos^2 \theta - 4 \sin \theta \cos \theta = 5 - 1$
$4 \sin^2 \theta + \cos^2 \theta - 4 \sin \theta \cos \theta = 4$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$ ને ઓળખતા,જ્યાં $a = 2 \sin \theta$ અને $b = \cos \theta$ છે:
$(2 \sin \theta - \cos \theta)^2 = 4$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$2 \sin \theta - \cos \theta = 2$
આમ,સાબિત થાય છે.

(A) આપેલ છે: $\tan \theta + \sec \theta = l$ .....$(i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ: $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \theta = 1$.
આને $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$ તરીકે લખી શકાય છે.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(\sec \theta + \tan \theta)$ ની કિંમત મૂકતા:
$(\sec \theta - \tan \theta) \cdot l = 1$
$\sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{l}$ .....$(ii)$
હવે,સમીકરણ $(i)$ અને સમીકરણ $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(\tan \theta + \sec \theta) + (\sec \theta - \tan \theta) = l + \frac{1}{l}$
$2 \sec \theta = \frac{l^{2} + 1}{l}$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા:
$\sec \theta = \frac{l^{2} + 1}{2l}$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે કે,$\sin \theta + \cos \theta = p$ ......$(i)$
અને $\sec \theta + \operatorname{cosec} \theta = q$
$\Rightarrow \frac{1}{\cos \theta} + \frac{1}{\sin \theta} = q$ $\left[\because \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} \text{ અને } \operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}\right]$
$\Rightarrow \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta \cdot \cos \theta} = q$
$\Rightarrow \frac{p}{\sin \theta \cdot \cos \theta} = q$ [સમીકરણ $(i)$ પરથી]
$\Rightarrow \sin \theta \cdot \cos \theta = \frac{p}{q}$ ......$(ii)$
હવે,સમીકરણ $(i)$ ની બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = p^2$
$\Rightarrow (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) + 2 \sin \theta \cdot \cos \theta = p^2$ $\left[\because (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\right]$
$\Rightarrow 1 + 2 \sin \theta \cdot \cos \theta = p^2$ $\left[\because \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\right]$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $\sin \theta \cdot \cos \theta = \frac{p}{q}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\Rightarrow 1 + 2 \left(\frac{p}{q}\right) = p^2$
$\Rightarrow 1 + \frac{2p}{q} = p^2$
બંને બાજુ $q$ વડે ગુણતા:
$\Rightarrow q + 2p = p^2 q$
$\Rightarrow 2p = p^2 q - q$
$\Rightarrow 2p = q(p^2 - 1)$
આમ,$q(p^2 - 1) = 2p$ સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $a \sin \theta + b \cos \theta = c$ $(1)$
ધારો કે $x = a \cos \theta - b \sin \theta$ $(2)$
બંને સમીકરણો $(1)$ અને $(2)$ નો વર્ગ કરીને તેમનો સરવાળો કરતા:
$(a \sin \theta + b \cos \theta)^2 + (a \cos \theta - b \sin \theta)^2 = c^2 + x^2$
$a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta + 2ab \sin \theta \cos \theta + a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta - 2ab \sin \theta \cos \theta = c^2 + x^2$
$a^2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) + b^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = c^2 + x^2$
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી:
$a^2(1) + b^2(1) = c^2 + x^2$
$a^2 + b^2 = c^2 + x^2$
$x^2 = a^2 + b^2 - c^2$
$x = \pm \sqrt{a^2 + b^2 - c^2}$
તેથી,$a \cos \theta - b \sin \theta = \pm \sqrt{a^2 + b^2 - c^2}$ સાબિત થાય છે.

(A) $L$.$H$.$S$. $= \frac{1+\sec \theta-\tan \theta}{1+\sec \theta+\tan \theta}$
$= \frac{1+\frac{1}{\cos \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{1+\frac{1}{\cos \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}$ $\left[\because \sec \theta=\frac{1}{\cos \theta} \text{ અને } \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right]$
$= \frac{\cos \theta+1-\sin \theta}{\cos \theta+1+\sin \theta} = \frac{(\cos \theta+1)-\sin \theta}{(\cos \theta+1)+\sin \theta}$
નિત્યસમ $1 = \sec^2 \theta - \tan^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{(\sec^2 \theta - \tan^2 \theta) + (\sec \theta - \tan \theta)}{1 + \sec \theta + \tan \theta}$
$= \frac{(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) + (\sec \theta - \tan \theta)}{1 + \sec \theta + \tan \theta}$
$= \frac{(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta + 1)}{1 + \sec \theta + \tan \theta}$
$= \sec \theta - \tan \theta$
$= \frac{1}{\cos \theta} - \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{1-\sin \theta}{\cos \theta} = \text{R.H.S.}$
આમ,સાબિત થાય છે.

(B) $\Delta ABC$ માં, $AC = 5$ અને કર્ણ $BC = 13$ છે, જ્યાં $m \angle A = 90^\circ$ છે。
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 = BC^2 - AC^2$
$AB^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
$AB = \sqrt{144} = 12$
હવે, $\tan B = \frac{\text{$\angle B$ ની સામેની બાજુ}}{\text{$\angle B$ ની પાસેની બાજુ}} = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{12}$.

(C) આપેલ છે: $\tan A = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$\tan A = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{BC}{AC}$.
તેથી,$\frac{BC}{AC} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
ધારો કે $BC = k$ અને $AC = \sqrt{3}k$,જ્યાં $k > 0$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AB^2 = BC^2 + AC^2$.
$AB^2 = k^2 + (\sqrt{3}k)^2 = k^2 + 3k^2 = 4k^2$.
તેથી,$AB = 2k$.
હવે,$\sin A = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{BC}{AB} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$.
વૈકલ્પિક રીતે,કારણ કે $\tan A = \frac{1}{\sqrt{3}}$,આપણે જાણીએ છીએ કે $A = 30^{\circ}$.
તેથી,$\sin A = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.

(D) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ માં,$m \angle C = 90^{\circ}$ અને $\cos B = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos B = \frac{\angle B \text{ ની પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{BC}{AB}$.
તેથી,$\frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}$. ધારો કે $BC = k$ અને $AB = 2k$,જ્યાં $k > 0$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 + BC^2 = AB^2$.
$AC^2 + k^2 = (2k)^2 = 4k^2$.
$AC^2 = 3k^2 \implies AC = k\sqrt{3}$.
હવે,$\operatorname{cosec} A = \frac{\text{કર્ણ}}{\angle A \text{ ની સામેની બાજુ}} = \frac{AB}{BC}$.
$\operatorname{cosec} A = \frac{2k}{k} = 2$.