Mix Examples - Arithmetic Progressions Questions in Hindi

(C) माना कि दिए गए $AP$ का प्रथम पद $a$, सार्व अंतर $d$ और पदों की संख्या $n$ है।
दिया गया $AP$ है: $7, 10, 13, \dots$
यहाँ, $a = 7$ और $d = 10 - 7 = 3$ है।
माना कि $n$ वाँ पद $T_n = 55$ है।
$AP$ के $n$ वें पद का सूत्र $T_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है: $55 = 7 + (n - 1) \times 3$.
$55 - 7 = (n - 1) \times 3$.
$48 = (n - 1) \times 3$.
$n - 1 = 48 / 3 = 16$.
$n = 16 + 1 = 17$.
चूँकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है, इसलिए $55$ दिए गए $AP$ का $17$ वाँ पद है।

(D) चूंकि पद $k^{2}+4k+8, 2k^{2}+3k+6$ और $3k^{2}+4k+4$ एक समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं,इसलिए क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान होना चाहिए।
मान लीजिए पद $a_1, a_2, a_3$ हैं।
अतः,$a_2 - a_1 = a_3 - a_2$ होगा।
मान रखने पर:
$(2k^{2}+3k+6) - (k^{2}+4k+8) = (3k^{2}+4k+4) - (2k^{2}+3k+6)$
दोनों पक्षों को सरल करने पर:
$k^{2} - k - 2 = k^{2} + k - 2$
दोनों पक्षों से $k^{2}$ घटाने और $2$ जोड़ने पर:
$-k = k$
$2k = 0$
$k = 0$

(A) माना कि $207$ के तीन भाग $(a - d)$,$a$ और $(a + d)$ हैं,जो $AP$ में हैं।
दी गई शर्त के अनुसार:
इन भागों का योग $= 207$
$(a - d) + a + (a + d) = 207$
$3a = 207$
$a = 69$
दिया गया है कि दो छोटे भागों का गुणनफल $4623$ है:
$a(a - d) = 4623$
$69(69 - d) = 4623$
$69 - d = \frac{4623}{69}$
$69 - d = 67$
$d = 69 - 67 = 2$
अतः,तीन भाग इस प्रकार हैं:
पहला भाग $= a - d = 69 - 2 = 67$
दूसरा भाग $= a = 69$
तीसरा भाग $= a + d = 69 + 2 = 71$
इस प्रकार,अभीष्ट तीन भाग $67, 69, 71$ हैं।

(B) माना त्रिभुज के कोण $AP$ में $a-d, a, a+d$ हैं।
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$(a-d) + a + (a+d) = 180^{\circ}$
$3a = 180^{\circ} \Rightarrow a = 60^{\circ}$.
अतः कोण $60^{\circ}-d, 60^{\circ}, 60^{\circ}+d$ हैं।
दिया गया है कि सबसे बड़ा कोण सबसे छोटे कोण का दोगुना है:
$60^{\circ}+d = 2(60^{\circ}-d)$
$60^{\circ}+d = 120^{\circ}-2d$
$3d = 60^{\circ} \Rightarrow d = 20^{\circ}$.
$d = 20^{\circ}$ का मान कोणों में रखने पर:
सबसे छोटा कोण: $60^{\circ}-20^{\circ} = 40^{\circ}$.
मध्यम कोण: $60^{\circ}$.
सबसे बड़ा कोण: $60^{\circ}+20^{\circ} = 80^{\circ}$.
अतः,त्रिभुज के कोण $80^{\circ}, 60^{\circ}, 40^{\circ}$ हैं।

(N/A) प्रथम $AP$: $9, 7, 5, \ldots$ के लिए
प्रथम पद $a_1 = 9$,सार्व अंतर $d_1 = 7 - 9 = -2$ है।
$n$वाँ पद $T_n = a_1 + (n - 1)d_1 = 9 + (n - 1)(-2) = 9 - 2n + 2 = 11 - 2n$ है।
द्वितीय $AP$: $24, 21, 18, \ldots$ के लिए
प्रथम पद $a_2 = 24$,सार्व अंतर $d_2 = 21 - 24 = -3$ है।
$n$वाँ पद $T_n = a_2 + (n - 1)d_2 = 24 + (n - 1)(-3) = 24 - 3n + 3 = 27 - 3n$ है।
दिया गया है कि $n$वें पद समान हैं:
$11 - 2n = 27 - 3n$
$3n - 2n = 27 - 11$
$n = 16$.
$n = 16$ का मान $n$वें पद के किसी भी समीकरण में रखने पर:
$T_{16} = 11 - 2(16) = 11 - 32 = -21$.
अतः,$n$ का मान $16$ है और वह पद $-21$ है।

(D) माना कि $AP$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
प्रश्न के अनुसार,
$a_{3} + a_{8} = 7$ और $a_{7} + a_{14} = -3$
सूत्र $a_{n} = a + (n - 1)d$ का उपयोग करने पर:
$(a + 2d) + (a + 7d) = 7 \Rightarrow 2a + 9d = 7$ ....$(i)$
$(a + 6d) + (a + 13d) = -3 \Rightarrow 2a + 19d = -3$ ....$(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(2a + 19d) - (2a + 9d) = -3 - 7$
$10d = -10 \Rightarrow d = -1$
$d = -1$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$2a + 9(-1) = 7$
$2a - 9 = 7 \Rightarrow 2a = 16 \Rightarrow a = 8$
$10^{\text{th}}$ पद $a_{10} = a + 9d = 8 + 9(-1) = 8 - 9 = -1$ है।

(A) दिया गया $AP: -2, -4, -6, \ldots, -100$ है।
यहाँ,प्रथम पद $(a) = -2$,सार्व अंतर $(d) = -4 - (-2) = -2$ और अंतिम पद $(l) = -100$ है।
हम जानते हैं कि $AP$ के अंत से $n$ वाँ पद ज्ञात करने का सूत्र $a_n = l - (n - 1)d$ है,जहाँ $l$ अंतिम पद है और $d$ सार्व अंतर है।
अतः,अंत से $12$ वाँ पद:
$a_{12} = -100 - (12 - 1)(-2)$
$a_{12} = -100 - (11)(-2)$
$a_{12} = -100 + 22$
$a_{12} = -78$.
अतः,अंत से $12$ वाँ पद $-78$ है।

(B) दिया गया $A.P.$ है: $53, 48, 43, \ldots$
प्रथम पद $(a) = 53$ और सार्व अंतर $(d) = 48 - 53 = -5$ है।
माना कि $A.P.$ का $n$-वाँ पद प्रथम ऋणात्मक पद है।
अतः,$T_n < 0$ होगा।
$A.P.$ के $n$-वें पद का सूत्र $T_n = a + (n - 1)d$ का उपयोग करने पर:
मान रखने पर:
$53 + (n - 1)(-5) < 0$
$53 - 5n + 5 < 0$
$58 - 5n < 0$
$5n > 58$
$n > 11.6$
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $11.6$ से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक $12$ है।
अतः,$12$-वाँ पद प्रथम ऋणात्मक पद है।
सत्यापन: $T_{12} = 53 + (12 - 1)(-5) = 53 + 11(-5) = 53 - 55 = -2$,जो $0$ से छोटा है।

(C) $10$ और $300$ के बीच की वे संख्याएँ जिन्हें $4$ से विभाजित करने पर $3$ शेषफल बचता है,एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती हैं।
$10$ से बड़ी पहली संख्या जो इस शर्त को पूरा करती है वह $11$ है (क्योंकि $11 = 4 \times 2 + 3$)।
$300$ से छोटी अंतिम संख्या जो इस शर्त को पूरा करती है वह $299$ है (क्योंकि $299 = 4 \times 74 + 3$)।
अतः,अनुक्रम $11, 15, 19, 23, \dots, 299$ है।
इस समांतर श्रेणी में,प्रथम पद $a = 11$,सार्व अंतर $d = 4$,और अंतिम पद $a_n = 299$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद का सूत्र उपयोग करने पर: $a_n = a + (n - 1)d$.
मान रखने पर: $299 = 11 + (n - 1)4$.
$299 - 11 = (n - 1)4$.
$288 = (n - 1)4$.
$n - 1 = 288 / 4$.
$n - 1 = 72$.
$n = 73$.
अतः,ऐसी कुल $73$ संख्याएँ हैं।

(D) यहाँ,प्रथम पद $(a) = -\frac{4}{3}$,सार्व अंतर $(d) = -1 - (-\frac{4}{3}) = -1 + \frac{4}{3} = \frac{1}{3}$ और अंतिम पद $(l) = 4 \frac{1}{3} = \frac{13}{3}$ है।
चूंकि समांतर श्रेणी का $n$ वां पद $l = a_n = a + (n - 1)d$ होता है,इसलिए:
$\frac{13}{3} = -\frac{4}{3} + (n - 1) \frac{1}{3}$
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर:
$13 = -4 + (n - 1)$
$13 + 4 = n - 1$
$n - 1 = 17$
$n = 18$ (जो एक सम संख्या है)।
चूंकि $n$ सम है,इसलिए दो मध्य पद $(\frac{n}{2})$ वां और $(\frac{n}{2} + 1)$ वां पद होंगे,अर्थात $9$ वां और $10$ वां पद।
$a_9 = a + 8d = -\frac{4}{3} + 8(\frac{1}{3}) = \frac{-4 + 8}{3} = \frac{4}{3}$.
$a_{10} = a + 9d = -\frac{4}{3} + 9(\frac{1}{3}) = \frac{-4 + 9}{3} = \frac{5}{3}$.
दो मध्य पदों का योग $= a_9 + a_{10} = \frac{4}{3} + \frac{5}{3} = \frac{9}{3} = 3$.

(A) माना कि $AP$ का प्रथम पद,सार्व अंतर और पदों की संख्या क्रमशः $a$,$d$ और $n$ है।
दिया गया है कि,प्रथम पद $(a) = -5$ और अंतिम पद $(l) = 45$ है।
$AP$ के पदों का योग $= 120 \Rightarrow S_n = 120$ है।
हम जानते हैं कि,यदि $AP$ का अंतिम पद ज्ञात हो,तो $n$ पदों का योग इस प्रकार होता है:
$S_n = \frac{n}{2}(a + l)$
$120 = \frac{n}{2}(-5 + 45)$
$120 \times 2 = 40 \times n$
$240 = 40n \Rightarrow n = 6$ है।
अब,सार्व अंतर ज्ञात करने के लिए,हम $n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करेंगे:
$l = a + (n - 1)d$
$45 = -5 + (6 - 1)d$
$45 + 5 = 5d$
$50 = 5d \Rightarrow d = 10$ है।
अतः,पदों की संख्या $6$ है और सार्व अंतर $10$ है।

(B) दी गई श्रेणी एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है जहाँ प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d = -2 - 1 = -3$ है।
अंतिम पद $l = a_n = -236$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करते हुए: $a_n = a + (n - 1)d$।
$-236 = 1 + (n - 1)(-3)$
$-237 = (n - 1)(-3)$
$n - 1 = 79$
$n = 80$।
अब,समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योगफल $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ द्वारा दिया जाता है।
$S_{80} = \frac{80}{2}(1 + (-236))$
$S_{80} = 40 \times (-235)$
$S_{80} = -9400$।

(C) दी गई श्रेणी $4-\frac{1}{n}, 4-\frac{2}{n}, 4-\frac{3}{n}, \ldots$ $n$ पदों तक है।
यह एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है जहाँ प्रथम पद $a = 4 - \frac{1}{n}$ है।
सार्व अंतर $d = (4 - \frac{2}{n}) - (4 - \frac{1}{n}) = -\frac{2}{n} + \frac{1}{n} = -\frac{1}{n}$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योगफल $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$a$ और $d$ के मान रखने पर:
$S_n = \frac{n}{2} [2(4 - \frac{1}{n}) + (n-1)(-\frac{1}{n})]$
$S_n = \frac{n}{2} [8 - \frac{2}{n} - 1 + \frac{1}{n}]$
$S_n = \frac{n}{2} [7 - \frac{1}{n}]$
$S_n = \frac{n}{2} [\frac{7n-1}{n}]$
$S_n = \frac{7n-1}{2}$.

(D) दी गई श्रेणी एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है,जिसका प्रथम पद $A = \frac{a-b}{a+b}$ है।
सार्व अंतर $D$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$D = \frac{3a-2b}{a+b} - \frac{a-b}{a+b} = \frac{3a-2b-a+b}{a+b} = \frac{2a-b}{a+b}$.
समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2A + (n-1)D]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$n = 11$ के लिए:
$S_{11} = \frac{11}{2} \left[ 2 \left( \frac{a-b}{a+b} \right) + (11-1) \left( \frac{2a-b}{a+b} \right) \right]$
$S_{11} = \frac{11}{2} \left[ \frac{2a-2b}{a+b} + \frac{10(2a-b)}{a+b} \right]$
$S_{11} = \frac{11}{2} \left[ \frac{2a-2b + 20a - 10b}{a+b} \right]$
$S_{11} = \frac{11}{2} \left[ \frac{22a - 12b}{a+b} \right]$
$S_{11} = \frac{11 \cdot 2(11a - 6b)}{2(a+b)} = \frac{11(11a - 6b)}{a+b} = \frac{121a - 66b}{a+b}$.

(D) दिया गया $AP: -2, -7, -12, \ldots$
माना कि $AP$ का $n$ वां पद $T_n = -77$ है।
प्रथम पद $a = -2$ और सार्व अंतर $d = -7 - (-2) = -5$ है।
$n$ वें पद का सूत्र $T_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $-77 = -2 + (n - 1)(-5)$.
$-77 + 2 = (n - 1)(-5) \Rightarrow -75 = (n - 1)(-5)$.
$n - 1 = \frac{-75}{-5} = 15 \Rightarrow n = 16$.
अतः,$AP$ का $16$ वां पद $-77$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[a + l]$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ अंतिम पद है।
$S_{16} = \frac{16}{2}[-2 + (-77)] = 8[-79] = -632$.
इस प्रकार,इस $AP$ का $-77$ पद तक का योग $-632$ है।

(B) दिया गया है कि श्रेणी का $n$ वां पद $a_{n} = 3 - 4n$ है।
$n = 1$ के लिए,$a_{1} = 3 - 4(1) = 3 - 4 = -1$.
$n = 2$ के लिए,$a_{2} = 3 - 4(2) = 3 - 8 = -5$.
$n = 3$ के लिए,$a_{3} = 3 - 4(3) = 3 - 12 = -9$.
$n = 4$ के लिए,$a_{4} = 3 - 4(4) = 3 - 16 = -13$.
अतः,श्रेणी $-1, -5, -9, -13, \ldots$ है।
यहाँ सार्व अंतर $d$ इस प्रकार है:
$a_{2} - a_{1} = -5 - (-1) = -4$
$a_{3} - a_{2} = -9 - (-5) = -4$
$a_{4} - a_{3} = -13 - (-9) = -4$
चूंकि क्रमिक पदों के बीच का अंतर समान $(d = -4)$ है,इसलिए यह श्रेणी एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती है।
समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$n = 20$,$a = -1$,और $d = -4$ रखने पर:
$S_{20} = \frac{20}{2}[2(-1) + (20 - 1)(-4)]$
$S_{20} = 10[-2 + (19)(-4)]$
$S_{20} = 10[-2 - 76]$
$S_{20} = 10 \times (-78) = -780$.
अतः,$20$ पदों का योग $-780$ है।

(A) हम जानते हैं कि $AP$ का $n$ वाँ पद $a_{n} = S_{n} - S_{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $S_{n} = n(4n + 1) = 4n^{2} + n$.
अब,$S_{n-1} = (n-1)(4(n-1) + 1) = (n-1)(4n - 4 + 1) = (n-1)(4n - 3) = 4n^{2} - 3n - 4n + 3 = 4n^{2} - 7n + 3$.
अतः,$a_{n} = (4n^{2} + n) - (4n^{2} - 7n + 3) = 4n^{2} + n - 4n^{2} + 7n - 3 = 8n - 3$.
$AP$ ज्ञात करने के लिए,हम $n$ के मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$n = 1$ के लिए,$a_{1} = 8(1) - 3 = 5$.
$n = 2$ के लिए,$a_{2} = 8(2) - 3 = 16 - 3 = 13$.
$n = 3$ के लिए,$a_{3} = 8(3) - 3 = 24 - 3 = 21$.
अतः,अभीष्ट $AP$ $5, 13, 21, \ldots$ है।

(D) $AP$ का $n$ वां पद $a_{n} = S_{n} - S_{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $S_{n} = 3n^{2} + 5n$ है।
तब $S_{n-1} = 3(n-1)^{2} + 5(n-1) = 3(n^{2} - 2n + 1) + 5n - 5 = 3n^{2} - 6n + 3 + 5n - 5 = 3n^{2} - n - 2$ है।
अब,$a_{n} = (3n^{2} + 5n) - (3n^{2} - n - 2) = 3n^{2} + 5n - 3n^{2} + n + 2 = 6n + 2$ है।
चूंकि $a_{k} = 164$ है,हम $a_{n}$ के व्यंजक में $n = k$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$6k + 2 = 164$ है।
$6k = 164 - 2 = 162$ है।
$k = 162 / 6 = 27$ है।

$AP$ के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र: $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ ... $(i)$
$S_{8}$ की गणना:
$S_{8} = \frac{8}{2}[2a + (8 - 1)d] = 4(2a + 7d) = 8a + 28d$
$S_{4}$ की गणना:
$S_{4} = \frac{4}{2}[2a + (4 - 1)d] = 2(2a + 3d) = 4a + 6d$
अब,अंतर $(S_{8} - S_{4})$ की गणना:
$S_{8} - S_{4} = (8a + 28d) - (4a + 6d) = 4a + 22d$ ... $(ii)$
$S_{12}$ की गणना:
$S_{12} = \frac{12}{2}[2a + (12 - 1)d] = 6(2a + 11d) = 12a + 66d$
समीकरण $(ii)$ से,हम देख सकते हैं कि $3(S_{8} - S_{4}) = 3(4a + 22d) = 12a + 66d$।
चूंकि $S_{12} = 12a + 66d$ और $3(S_{8} - S_{4}) = 12a + 66d$,अतः यह सिद्ध होता है कि $S_{12} = 3(S_{8} - S_{4})$।

(B) माना कि समांतर श्रेणी का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
समांतर श्रेणी का $n$ वाँ पद $T_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है,$T_4 = -15$:
$a + 3d = -15$ --- $(i)$
दिया है,$T_9 = -30$:
$a + 8d = -30$ --- $(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(a + 8d) - (a + 3d) = -30 - (-15)$
$5d = -15$
$d = -3$
$d = -3$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$a + 3(-3) = -15$
$a - 9 = -15$
$a = -6$
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ होता है।
$n = 17$ के लिए:
$S_{17} = \frac{17}{2}[2(-6) + (17 - 1)(-3)]$
$S_{17} = \frac{17}{2}[-12 + 16(-3)]$
$S_{17} = \frac{17}{2}[-12 - 48]$
$S_{17} = \frac{17}{2}[-60]$
$S_{17} = 17 \times (-30) = -510$.
अतः,प्रथम $17$ पदों का योग $-510$ है।

(A) माना कि $AP$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
$AP$ के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $S_6 = 36$:
$\frac{6}{2}[2a + (6-1)d] = 36$
$3[2a + 5d] = 36$
$2a + 5d = 12$ ....$(i)$
दिया गया है $S_{16} = 256$:
$\frac{16}{2}[2a + (16-1)d] = 256$
$8[2a + 15d] = 256$
$2a + 15d = 32$ ....$(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(2a + 15d) - (2a + 5d) = 32 - 12$
$10d = 20$
$d = 2$
$d = 2$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$2a + 5(2) = 12$
$2a + 10 = 12$
$2a = 2$
$a = 1$
अब,प्रथम $10$ पदों का योग $(S_{10})$ ज्ञात करते हैं:
$S_{10} = \frac{10}{2}[2a + (10-1)d]$
$S_{10} = 5[2(1) + 9(2)]$
$S_{10} = 5[2 + 18]$
$S_{10} = 5 \times 20 = 100$.
अतः,प्रथम $10$ पदों का योग $100$ है।

(B) पदों की कुल संख्या $n = 11$ है,जो कि विषम है।
इसलिए,मध्य पद $\left(\frac{n+1}{2}\right)^{th}$ पद होगा,जो कि $\left(\frac{11+1}{2}\right)^{th} = 6^{th}$ पद है।
दिया गया है कि $6^{th}$ पद $a_6 = 30$ है।
$AP$ के $n^{th}$ पद के सूत्र $a_n = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर,हमें $a + 5d = 30$ प्राप्त होता है ... $(i)$।
$AP$ के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 11$ के लिए,$S_{11} = \frac{11}{2}[2a + (11-1)d] = \frac{11}{2}[2a + 10d]$।
$2$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $S_{11} = 11(a + 5d)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ से मान रखने पर,$S_{11} = 11 \times 30 = 330$।

(C) अंतिम दस पदों का योग ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए $AP$ को उल्टे क्रम में लिख सकते हैं।
दिया गया $AP$ है: $8, 10, 12, \ldots, 126$।
उल्टा $AP$ है: $126, 124, 122, \ldots, 10, 8$।
इस उल्टे $AP$ में,प्रथम पद $(a) = 126$ और सार्व अंतर $(d) = 124 - 126 = -2$ है।
हमें इस उल्टे $AP$ के प्रथम $10$ पदों का योग सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ का उपयोग करके ज्ञात करना है।
$n = 10$ के लिए:
$S_{10} = \frac{10}{2} [2(126) + (10 - 1)(-2)]$
$S_{10} = 5 [252 + 9(-2)]$
$S_{10} = 5 [252 - 18]$
$S_{10} = 5 \times 234 = 1170$।
अतः,अंतिम दस पदों का योग $1170$ है।

(D) $2$ और $9$ दोनों के गुणज होने वाली प्रथम सात संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए,हम पहले $2$ और $9$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करेंगे।
चूंकि $2$ और $9$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए उनका $LCM = 2 \times 9 = 18$ है।
$2$ और $9$ दोनों के गुणज होने वाली संख्याएं $18$ के गुणज हैं,जो एक समांतर श्रेणी बनाती हैं: $18, 36, 54, \ldots$
यहाँ,प्रथम पद $a = 18$ और सार्व अंतर $d = 18$ है।
हमें $n = 7$ पदों का योग ज्ञात करने के लिए सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ का उपयोग करना होगा।
मान रखने पर: $S_7 = \frac{7}{2}[2(18) + (7 - 1)18]$.
$S_7 = \frac{7}{2}[36 + 6 \times 18] = \frac{7}{2}[36 + 108] = \frac{7}{2}[144]$.
$S_7 = 7 \times 72 = 504$.

(A) माना कि योग $-55$ प्राप्त करने के लिए $n$ पदों की आवश्यकता है।
यहाँ,प्रथम पद $(a) = -15$ और सार्व अंतर $(d) = -13 - (-15) = 2$ है।
$AP$ के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $-55 = \frac{n}{2}[2(-15) + (n-1)2]$.
$-55 = \frac{n}{2}[-30 + 2n - 2] = \frac{n}{2}[2n - 32] = n(n - 16)$.
$n^2 - 16n + 55 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $n^2 - 11n - 5n + 55 = 0 \Rightarrow n(n - 11) - 5(n - 11) = 0$.
$(n - 5)(n - 11) = 0$,अतः $n = 5$ या $n = 11$.
दो उत्तर मिलने का कारण यह है कि $6^{th}$ पद से $11^{th}$ पद तक का योग शून्य है। पद इस प्रकार हैं: $-15, -13, -11, -9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5$। $6^{th}$ से $11^{th}$ पदों का योग $(-5) + (-3) + (-1) + 1 + 3 + 5 = 0$ है। इसलिए,प्रथम $5$ पदों के योग में इन पदों को जोड़ने पर कुल योग में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

(B) दिया गया है कि,प्रथम $AP$ के लिए,प्रथम पद $a = 8$ और सार्व अंतर $d = 20$ है।
माना पदों की संख्या $n$ है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ होता है।
$S_n = \frac{n}{2}[2(8) + (n-1)20] = \frac{n}{2}[16 + 20n - 20] = \frac{n}{2}[20n - 4] = n(10n - 2) = 10n^2 - 2n$ .....$(i)$
दूसरी $AP$ के लिए,प्रथम पद $a' = -30$ और सार्व अंतर $d' = 8$ है।
प्रथम $2n$ पदों का योग $S'_{2n} = \frac{2n}{2}[2a' + (2n-1)d']$ होता है।
$S'_{2n} = n[2(-30) + (2n-1)8] = n[-60 + 16n - 8] = n[16n - 68] = 16n^2 - 68n$ .....$(ii)$
प्रश्न के अनुसार,$S_n = S'_{2n}$ है।
$10n^2 - 2n = 16n^2 - 68n$
$6n^2 - 66n = 0$
$6n(n - 11) = 0$
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 11$।

(C) माना कि उसकी पॉकेट मनी $Rs.\, x$ है।
वह अपनी गुल्लक में इस प्रकार पैसे डालती है: $1, 2, 3, \dots, 31$ (चूंकि जनवरी में $31$ दिन होते हैं)।
यह एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती है जहाँ प्रथम पद $a = 1$,सार्व अंतर $d = 1$,और पदों की संख्या $n = 31$ है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$S_{31} = \frac{31}{2}[2(1) + (31 - 1)(1)] = \frac{31}{2}[2 + 30] = \frac{31 \times 32}{2} = 31 \times 16 = 496$.
अतः,उसने अपनी गुल्लक में $Rs.\, 496$ डाले।
उसने $Rs.\, 204$ खर्च किए और उसके पास $Rs.\, 100$ बचे थे।
कुल पॉकेट मनी $x$ गुल्लक में डाली गई राशि,खर्च की गई राशि और शेष राशि का योग है:
$x = 496 + 204 + 100 = 800$.
इसलिए,उस महीने के लिए उसकी पॉकेट मनी $Rs.\, 800$ थी।

(D) दिया गया है कि,यासमीन की बचत एक समांतर श्रेणी $(AP)$ में है।
प्रथम पद $(a) = 32$.
सार्व अंतर $(d) = 36 - 32 = 4$.
कुल बचत $(S_n) = 2000$.
समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योगफल का सूत्र: $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$.
मान रखने पर: $2000 = \frac{n}{2}[2(32) + (n - 1)4]$.
$2000 = \frac{n}{2}[64 + 4n - 4]$.
$2000 = \frac{n}{2}[60 + 4n]$.
$2000 = n(30 + 2n)$.
$2000 = 30n + 2n^2$.
$2$ से भाग देने पर: $n^2 + 15n - 1000 = 0$.
द्विघात समीकरण के गुणनखंड करने पर: $n^2 + 40n - 25n - 1000 = 0$.
$n(n + 40) - 25(n + 40) = 0$.
$(n + 40)(n - 25) = 0$.
चूंकि $n$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $n = 25$.
अतः,वह $25$ महीनों में $Rs.\, 2000$ की बचत कर लेगी।

(2, 6, 10, 14) माना कि $AP$ में चार क्रमागत संख्याएँ $(a-3d), (a-d), (a+d), (a+3d)$ हैं।
दिया गया है कि उनका योग $32$ है:
$(a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 32$
$4a = 32$
$a = 8$
दिया गया है कि पहली और अंतिम पद के गुणनफल का मध्य पदों के गुणनफल से अनुपात $7:15$ है:
$\frac{(a-3d)(a+3d)}{(a-d)(a+d)} = \frac{7}{15}$
$\frac{a^2 - 9d^2}{a^2 - d^2} = \frac{7}{15}$
$a = 8$ रखने पर:
$\frac{64 - 9d^2}{64 - d^2} = \frac{7}{15}$
$15(64 - 9d^2) = 7(64 - d^2)$
$960 - 135d^2 = 448 - 7d^2$
$512 = 128d^2$
$d^2 = 4$
$d = \pm 2$
यदि $a = 8$ और $d = 2$ है,तो संख्याएँ $(8-6), (8-2), (8+2), (8+6)$ अर्थात $2, 6, 10, 14$ हैं।
यदि $a = 8$ और $d = -2$ है,तो संख्याएँ $(8+6), (8+2), (8-2), (8-6)$ अर्थात $14, 10, 6, 2$ हैं।

(B) दी गई श्रेणी $1, 4, 7, 10, \ldots, x$ एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है जहाँ प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d = 4 - 1 = 3$ है।
माना पदों की संख्या $n$ है। $n$-वाँ पद $a_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$x = 1 + (n - 1) \times 3 = 3n - 2$.
समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ होता है,जहाँ $l$ अंतिम पद $x$ है।
$S_n = 287$ दिया गया है,इसलिए $287 = \frac{n}{2}(1 + x)$.
$x = 3n - 2$ को समीकरण में रखने पर:
$287 = \frac{n}{2}(1 + 3n - 2)$
$574 = n(3n - 1)$
$3n^2 - n - 574 = 0$.
द्विघात सूत्र $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$n = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(3)(-574)}}{2(3)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 6888}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{6889}}{6} = \frac{1 \pm 83}{6}$.
चूँकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = \frac{84}{6} = 14$.
अब,$x$ ज्ञात करें: $x = 3n - 2 = 3(14) - 2 = 42 - 2 = 40$.

(C) माना कि $AP$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
प्रथम पाँच पदों के लिए: $S_5 = \frac{5}{2}[2a + 4d] = 5(a + 2d) = 5a + 10d$.
प्रथम सात पदों के लिए: $S_7 = \frac{7}{2}[2a + 6d] = 7(a + 3d) = 7a + 21d$.
दिया गया है कि $S_5 + S_7 = 167$,अतः $(5a + 10d) + (7a + 21d) = 167$,जो सरल होकर $12a + 31d = 167$ (समीकरण $1$) देता है।
दिया गया है कि प्रथम दस पदों का योग $S_{10} = 235$,अतः $\frac{10}{2}[2a + 9d] = 235$,जो सरल होकर $5(2a + 9d) = 235$ यानी $2a + 9d = 47$ (समीकरण $2$) देता है।
समीकरण $2$ को $6$ से गुणा करने पर,$12a + 54d = 282$ (समीकरण $3$) प्राप्त होता है।
समीकरण $3$ में से समीकरण $1$ घटाने पर: $(12a + 54d) - (12a + 31d) = 282 - 167$,जिससे $23d = 115$ प्राप्त होता है,अतः $d = 5$ है।
$d = 5$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर: $2a + 9(5) = 47 \Rightarrow 2a + 45 = 47 \Rightarrow 2a = 2 \Rightarrow a = 1$ प्राप्त होता है।
प्रथम बीस पदों का योग $S_{20} = \frac{20}{2}[2a + (20-1)d] = 10[2(1) + 19(5)] = 10[2 + 95] = 10[97] = 970$ है।

(D) $1$ और $500$ के बीच के वे पूर्णांक जो $2$ और $5$ दोनों के गुणज हैं, वे $LCM(2, 5) = 10$ के गुणज होने चाहिए।
इन पूर्णांकों की श्रृंखला $10, 20, 30, \dots, 490$ है।
यह एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती है जहाँ प्रथम पद $a = 10$, सार्व अंतर $d = 10$ और अंतिम पद $l = 490$ है।
पदों की संख्या $(n)$ ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ का उपयोग करते हैं:
$490 = 10 + (n - 1)10$
$480 = (n - 1)10$
$n - 1 = 48$
$n = 49$.
समांतर श्रेणी का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ द्वारा दिया जाता है:
$S_{49} = \frac{49}{2}(10 + 490)$
$S_{49} = \frac{49}{2} \times 500$
$S_{49} = 49 \times 250 = 12250$.

(A) $1$ से $500$ तक के वे पूर्णांक जो $2$ और $5$ दोनों के गुणज हैं,वे $\text{lcm}(2, 5) = 10$ के गुणज होंगे।
ये पूर्णांक एक समांतर श्रेणी बनाते हैं: $10, 20, 30, \ldots, 500$.
यहाँ,प्रथम पद $a = 10$,सार्व अंतर $d = 10$ और अंतिम पद $l = 500$ है।
$n$-वें पद के सूत्र का उपयोग करने पर: $a_n = a + (n - 1)d = l$.
$10 + (n - 1)10 = 500$.
$(n - 1)10 = 490$.
$n - 1 = 49$,अतः $n = 50$.
$n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$S_{50} = \frac{50}{2}(10 + 500) = 25 \times 510 = 12750$.

(B) $1$ से $500$ तक के $2$ या $5$ के गुणजों का योग ज्ञात करने के लिए, हम समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हैं:
योग $= (\text{2 के गुणजों का योग}) + (\text{5 के गुणजों का योग}) - (\text{LCM}(2, 5) = 10 \text{ के गुणजों का योग})$.
$1$. $2$ के गुणज: $2, 4, 6, \dots, 500$. यह एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है जहाँ $a=2, l=500, d=2$.
पदों की संख्या $n_1$: $500 = 2 + (n_1 - 1)2 \Rightarrow 498 = 2(n_1 - 1) \Rightarrow n_1 - 1 = 249 \Rightarrow n_1 = 250$.
योग $S_1 = \frac{250}{2}(2 + 500) = 125 \times 502 = 62750$.
$2$. $5$ के गुणज: $5, 10, 15, \dots, 500$. यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ $a=5, l=500, d=5$.
पदों की संख्या $n_2$: $500 = 5 + (n_2 - 1)5 \Rightarrow 495 = 5(n_2 - 1) \Rightarrow n_2 - 1 = 99 \Rightarrow n_2 = 100$.
योग $S_2 = \frac{100}{2}(5 + 500) = 50 \times 505 = 25250$.
$3$. $10$ के गुणज: $10, 20, 30, \dots, 500$. यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ $a=10, l=500, d=10$.
पदों की संख्या $n_3$: $500 = 10 + (n_3 - 1)10 \Rightarrow 490 = 10(n_3 - 1) \Rightarrow n_3 - 1 = 49 \Rightarrow n_3 = 50$.
योग $S_3 = \frac{50}{2}(10 + 500) = 25 \times 510 = 12750$.
कुल योग $= S_1 + S_2 - S_3 = 62750 + 25250 - 12750 = 88000 - 12750 = 75250$.

(C) माना $AP$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
$AP$ का $n$वां पद $a_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
पहली शर्त के अनुसार,$a_8 = \frac{1}{2} a_2$.
$a + 7d = \frac{1}{2}(a + d)$
$2a + 14d = a + d$
$a + 13d = 0$ --- $(i)$
दूसरी शर्त के अनुसार,$a_{11} = \frac{1}{3} a_4 + 1$.
$a + 10d = \frac{1}{3}(a + 3d) + 1$
$3a + 30d = a + 3d + 3$
$2a + 27d = 3$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ से,$a = -13d$। इस मान को समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$2(-13d) + 27d = 3$
$-26d + 27d = 3$
$d = 3$
$d = 3$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$a + 13(3) = 0$
$a = -39$
अब,$15$वां पद $(a_{15})$ ज्ञात कीजिए:
$a_{15} = a + 14d$
$a_{15} = -39 + 14(3)$
$a_{15} = -39 + 42 = 3$.

(A) दिया गया है कि,कुल पदों की संख्या $n = 37$ है।
मध्य पद $\left(\frac{37+1}{2}\right)$-वां पद है,जो कि $19$-वां पद है।
अतः,तीन मध्य पद $18$-वें,$19$-वें और $20$-वें पद हैं।
दी गई शर्त के अनुसार,तीन मध्य पदों का योग $225$ है:
$a_{18} + a_{19} + a_{20} = 225$
$(a + 17d) + (a + 18d) + (a + 19d) = 225$
$3a + 54d = 225$
$a + 18d = 75$ .....$(i)$
अंतिम तीन पदों का योग $429$ है:
$a_{35} + a_{36} + a_{37} = 429$
$(a + 34d) + (a + 35d) + (a + 36d) = 429$
$3a + 105d = 429$
$a + 35d = 143$ .....$(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(a + 35d) - (a + 18d) = 143 - 75$
$17d = 68$
$d = 4$
$d = 4$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$a + 18(4) = 75$
$a + 72 = 75$
$a = 3$
अभीष्ट $AP$ है: $a, a+d, a+2d, a+3d, \dots$
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $3, 3+4, 3+2(4), 3+3(4), \dots$
अतः,$AP$ है: $3, 7, 11, 15, \dots$

(A) $100$ और $200$ के बीच $9$ से विभाज्य पूर्णांक एक समांतर श्रेणी बनाते हैं।
$100$ से बड़ी $9$ से विभाज्य पहली पूर्णांक संख्या $108$ है $(9 \times 12 = 108)$।
$200$ से छोटी $9$ से विभाज्य अंतिम पूर्णांक संख्या $198$ है $(9 \times 22 = 198)$।
अतः,श्रेणी $108, 117, 126, \ldots, 198$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 108$,सार्व अंतर $d = 9$,और अंतिम पद $l = a_n = 198$ है।
$n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करते हुए: $a_n = a + (n - 1)d$.
$198 = 108 + (n - 1)9$.
$198 - 108 = (n - 1)9$.
$90 = (n - 1)9$.
$n - 1 = 10 \implies n = 11$.
अब,$S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ सूत्र का उपयोग करके योग $S_n$ ज्ञात कीजिए।
$S_{11} = \frac{11}{2}(108 + 198)$.
$S_{11} = \frac{11}{2}(306)$.
$S_{11} = 11 \times 153 = 1683$.
इसलिए,$100$ और $200$ के बीच $9$ से विभाज्य पूर्णांकों का योग $1683$ है।

(B) $100$ और $200$ के बीच $9$ से विभाज्य न होने वाले पूर्णांकों का योग = ($100$ और $200$ के बीच के सभी पूर्णांकों का योग) $-$ ($100$ और $200$ के बीच $9$ से विभाज्य पूर्णांकों का योग)।
चरण $1$: $100$ और $200$ के बीच के सभी पूर्णांकों का योग $(101, 102, \dots, 199)$।
यहाँ, $a = 101$, $l = 199$, और $d = 1$ है।
पदों की संख्या $n = 199 - 101 + 1 = 99$ है।
योग $S_{99} = \frac{n}{2}(a + l) = \frac{99}{2}(101 + 199) = \frac{99}{2}(300) = 99 \times 150 = 14850$ है।
चरण $2$: $100$ और $200$ के बीच $9$ से विभाज्य पूर्णांकों का योग।
$100$ के बाद $9$ का पहला गुणज $108$ $(9 \times 12)$ है और अंतिम $198$ $(9 \times 22)$ है।
यह एक समांतर श्रेणी बनाता है: $108, 117, \dots, 198$।
यहाँ, $a = 108$, $l = 198$, $d = 9$ है।
$198 = 108 + (n-1)9 \Rightarrow 90 = (n-1)9 \Rightarrow n-1 = 10 \Rightarrow n = 11$ है।
योग $S_{11} = \frac{11}{2}(108 + 198) = \frac{11}{2}(306) = 11 \times 153 = 1683$ है।
चरण $3$: अभीष्ट योग $= 14850 - 1683 = 13167$ है।

(C) $100$ और $200$ के बीच $9$ से विभाज्य न होने वाले पूर्णांकों का योग इस प्रकार ज्ञात किया जाता है: ($100$ और $200$ के बीच के सभी पूर्णांकों का योग) $-$ ($100$ और $200$ के बीच के $9$ से विभाज्य पूर्णांकों का योग)।
चरण $1$: $100$ और $200$ के बीच के सभी पूर्णांकों का योग।
ये पूर्णांक $101, 102, \dots, 199$ हैं। यह एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है जिसमें $a = 101$, $l = 199$, और $d = 1$ है।
पदों की संख्या $n$: $199 = 101 + (n - 1)1 \implies n - 1 = 98 \implies n = 99$.
योग $S_{99} = \frac{99}{2}(101 + 199) = \frac{99}{2}(300) = 99 \times 150 = 14850$.
चरण $2$: $100$ और $200$ के बीच $9$ से विभाज्य पूर्णांकों का योग।
$100$ के बाद $9$ से विभाज्य पहला पूर्णांक $108$ $(9 \times 12)$ है और अंतिम पूर्णांक $198$ $(9 \times 22)$ है।
यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a = 108$, $l = 198$, $d = 9$ है।
पदों की संख्या $n$: $198 = 108 + (n - 1)9 \implies 90 = (n - 1)9 \implies n - 1 = 10 \implies n = 11$.
योग $S_{11} = \frac{11}{2}(108 + 198) = \frac{11}{2}(306) = 11 \times 153 = 1683$.
चरण $3$: अभीष्ट योग $= 14850 - 1683 = 13167$।

(A) माना $a$ और $d$ एक $AP$ का प्रथम पद और सार्व अंतर हैं।
दिया गया है कि,$a_{11} : a_{18} = 2 : 3$.
$\Rightarrow \frac{a + 10d}{a + 17d} = \frac{2}{3}$.
$\Rightarrow 3a + 30d = 2a + 34d$.
$\Rightarrow a = 4d$ ....$(i)$.
अब,$a_5 = a + 4d = 4d + 4d = 8d$.
$a_{21} = a + 20d = 4d + 20d = 24d$.
अतः,$a_5 : a_{21} = 8d : 24d = 1 : 3$.
अब,प्रथम पाँच पदों का योग,$S_5 = \frac{5}{2}[2a + (5-1)d] = \frac{5}{2}[2(4d) + 4d] = \frac{5}{2}(12d) = 30d$.
और प्रथम $21$ पदों का योग,$S_{21} = \frac{21}{2}[2a + (21-1)d] = \frac{21}{2}[2(4d) + 20d] = \frac{21}{2}(28d) = 294d$.
अतः,प्रथम पाँच पदों के योग और प्रथम $21$ पदों के योग का अनुपात $S_5 : S_{21} = 30d : 294d = 5 : 49$ है।

(A) दिया गया है कि $AP$ का अनुक्रम $a, b, \dots, c$ है।
यहाँ,प्रथम पद $= a,$ और सार्व अंतर $d = b - a$ है।
अंतिम पद $l = a_n = c$ है।
$n$-वें पद का सूत्र: $a_n = a + (n - 1)d.$
मान रखने पर: $c = a + (n - 1)(b - a).$
$(n - 1) = \frac{c - a}{b - a}.$
$n = \frac{c - a}{b - a} + 1 = \frac{c - a + b - a}{b - a} = \frac{b + c - 2a}{b - a} \dots (i).$
$AP$ के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ है।
$(i)$ से $n$ और $l = c$ का मान रखने पर:
$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{b + c - 2a}{b - a} \right) (a + c).$
अतः,$S_n = \frac{(a + c)(b + c - 2a)}{2(b - a)}.$ इति सिद्धम्।

(B) दी गई श्रेणी $-4, -1, 2, \ldots, x$ एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती है।
यहाँ,प्रथम पद $a = -4$ और सार्व अंतर $d = (-1) - (-4) = 3$ है।
माना पदों की संख्या $n$ है। $n$-वाँ पद $x = a + (n - 1)d$ है।
$x = -4 + (n - 1)3 \Rightarrow x = -4 + 3n - 3 \Rightarrow x = 3n - 7 \Rightarrow n = \frac{x + 7}{3}$.
समांतर श्रेणी का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l = x$ अंतिम पद है।
$437 = \frac{n}{2}(-4 + x)$.
$n = \frac{x + 7}{3}$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$437 = \frac{x + 7}{2 \times 3}(-4 + x) = \frac{(x + 7)(x - 4)}{6}$.
$437 \times 6 = x^2 + 3x - 28$.
$2622 = x^2 + 3x - 28 \Rightarrow x^2 + 3x - 2650 = 0$.
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-2650)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 10600}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{10609}}{2}$.
$x = \frac{-3 \pm 103}{2}$.
चूंकि श्रेणी का योग $437$ होने के लिए $x$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $x = \frac{100}{2} = 50$ लेने पर।

(A) किस्तें एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती हैं जहाँ प्रथम पद $a = 1000$ और सार्व अंतर $d = 100$ है।
$1$. $30$वीं किस्त $a_n = a + (n - 1)d$ सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है।
$n = 30$ के लिए,$a_{30} = 1000 + (30 - 1) \times 100 = 1000 + 2900 = Rs. 3900$.
$2$. $30$ किस्तों में भुगतान की गई कुल राशि योग के सूत्र $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ द्वारा ज्ञात की जाती है।
$S_{30} = \frac{30}{2} [2(1000) + (30 - 1) \times 100] = 15 [2000 + 2900] = 15 \times 4900 = Rs. 73500$.
$3$. $30$ किस्तों के बाद शेष ऋण राशि = कुल ऋण - $S_{30} = 118000 - 73500 = Rs. 44500$.

(A) दिया गया है,झंडों की कुल संख्या $= 27$ है। झंडे $2 \,m$ के अंतराल पर लगाए जाने हैं। सबसे बीच वाला झंडा $14$ वाँ झंडा है। रुचि $14$ वें झंडे के स्थान से शुरू करती है।
बाईं ओर झंडे लगाने के लिए: बाईं ओर $13$ झंडे हैं। $1$ ला झंडा (केंद्र से $2 \,m$ पर) लगाने के लिए,वह $2 \,m$ जाती है और $2 \,m$ वापस आती है (कुल $4 \,m$)। $2$ रा झंडा (केंद्र से $4 \,m$ पर) लगाने के लिए,वह $4 \,m$ जाती है और $4 \,m$ वापस आती है (कुल $8 \,m$)। यह प्रक्रिया $13$ वें झंडे (केंद्र से $26 \,m$ पर) तक जारी रहती है,जहाँ वह $26 \,m$ जाती है और $26 \,m$ वापस आती है (कुल $52 \,m$)।
बाईं ओर के लिए कुल दूरी $4 + 8 + 12 + \dots + 52$ है। यह एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है जिसमें $a = 4$,$d = 4$,और $n = 13$ है।
योग $= \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] = \frac{13}{2} [2(4) + (12)(4)] = \frac{13}{2} [8 + 48] = \frac{13}{2} [56] = 13 \times 28 = 364 \,m$.
इसी प्रकार,दाईं ओर के लिए भी कुल दूरी $364 \,m$ है।
तय की गई कुल दूरी $= 364 + 364 = 728 \,m$.
झंडा ले जाते समय तय की गई अधिकतम दूरी केंद्र से सबसे दूर के झंडे तक की दूरी है,जो $26 \,m$ है।

(C) दी गई $A.P.$ के लिए,प्रथम पद $a = 5$ और सार्व अंतर $d = 12$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $T_n = a + (n - 1)d$ होता है।
$25$ वाँ पद ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र में $n = 25$,$a = 5$,और $d = 12$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$T_{25} = 5 + (25 - 1) \times 12$
$T_{25} = 5 + 24 \times 12$
$T_{25} = 5 + 288$
$T_{25} = 293$
अतः,$A.P.$ का $25$ वाँ पद $293$ है।

(D) दी गई $A.P.$ के लिए,$11$ वाँ पद $T_{11} = 38$ और $16$ वाँ पद $T_{16} = 73$ है।
$A.P.$ के लिए,सार्व अंतर $d$ इस प्रकार दिया जाता है:
$d = \frac{T_{m} - T_{n}}{m - n}$
$m = 16$ और $n = 11$ रखने पर:
$d = \frac{T_{16} - T_{11}}{16 - 11} = \frac{73 - 38}{5} = \frac{35}{5} = 7$
अब,$n$ वें पद के सूत्र $T_{n} = a + (n - 1)d$ का उपयोग करने पर:
$T_{11} = a + 10d$
$38 = a + 10(7)$
$38 = a + 70$
$a = 38 - 70 = -32$
अंत में,$31$ वाँ पद $T_{31}$ ज्ञात करते हैं:
$T_{31} = a + 30d$
$T_{31} = -32 + 30(7)$
$T_{31} = -32 + 210 = 178$
अतः,$A.P.$ का $31$ वाँ पद $178$ है।

(A) दिए गए $A.P.$ $20, 19 \frac{1}{4}, 18 \frac{1}{2}, 17 \frac{3}{4}, \ldots$ के लिए,प्रथम पद $a = 20$ और सार्व अंतर $d = 19 \frac{1}{4} - 20 = -\frac{3}{4}$ है।
मान लीजिए कि $A.P.$ का $n$ वाँ पद उसका पहला ऋणात्मक पद है,इसलिए $T_n < 0$।
सूत्र $T_n = a + (n - 1)d$ का उपयोग करते हुए,$20 + (n - 1)(-\frac{3}{4}) < 0$।
$20 < (n - 1)(\frac{3}{4})$।
$20 \times \frac{4}{3} < n - 1$।
$\frac{80}{3} < n - 1$।
$26.66 + 1 < n$।
$n > 27.66$।
चूंकि $n$ एक प्राकृतिक संख्या होनी चाहिए,इसलिए $27.66$ से बड़ी सबसे छोटी पूर्णांक संख्या $28$ है।
अतः,$28$ वाँ पद दिए गए $A.P.$ का पहला ऋणात्मक पद है।

(B) दी गई $A.P.$ के लिए,प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अंतर $d = 8 - 3 = 5$ है।
यदि $253$ इस $A.P.$ का $n$ वाँ पद है,तो
$253 = 3 + (n - 1)5$
$250 = 5(n - 1)$
$50 = n - 1$
$n = 51$
अतः,दी गई परिमित $A.P.$ में कुल $51$ पद हैं।
अंत से $20$ वाँ पद,प्रारंभ से $(51 - 20 + 1) = 32$ वें पद के बराबर होगा।
$T_{32} = a + (32 - 1)d$
$T_{32} = 3 + 31(5)$
$T_{32} = 3 + 155$
$T_{32} = 158$
अतः,दी गई $A.P.$ के अंत से $20$ वाँ पद $158$ है।

(C) दी गई $A.P.$ के लिए,प्रथम पद $a = 7$ और $10$ वां पद $T_{10} = 61$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $T_{n} = a + (n - 1)d$ है।
$10$ वें पद के लिए: $T_{10} = a + 9d$.
मान रखने पर: $61 = 7 + 9d$.
$54 = 9d$,जिससे $d = 6$ प्राप्त होता है।
अब,$25$ वां पद ज्ञात करने के लिए: $T_{25} = a + 24d$.
$T_{25} = 7 + 24(6) = 7 + 144 = 151$.
अतः,सार्व अंतर $6$ है और $25$ वां पद $151$ है।

(D) दी गई $A.P.$ के लिए,सार्व अंतर $d = 5$ और $15$ वाँ पद $T_{15} = 72$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $T_{n} = a + (n - 1)d$ है,जहाँ $a$ प्रथम पद है।
$15$ वें पद के लिए मान प्रतिस्थापित करने पर:
$72 = a + (15 - 1) \times 5$
$72 = a + 14 \times 5$
$72 = a + 70$
$a = 72 - 70 = 2$
अब,$50$ वाँ पद $(T_{50})$ ज्ञात करने के लिए:
$T_{50} = a + (50 - 1)d$
$T_{50} = 2 + 49 \times 5$
$T_{50} = 2 + 245$
$T_{50} = 247$
अतः,दी गई $A.P.$ का प्रथम पद $2$ है और इसका $50$ वाँ पद $247$ है।