IIT JEE 2010 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) चूंकि सीमा $\frac{0}{0}$ के रूप में है,इसलिए हम एल-हॉस्पिटल ($L$'$H$ôpital's) नियम लागू करते हैं।
लीबनिज समाकलन नियम का उपयोग करते हुए,अंश का अवकलन $\frac{d}{dx} \int_0^x \frac{t \ln (1+t)}{t^4+4} dt = \frac{x \ln (1+x)}{x^4+4}$ है।
हर $x^3$ का अवकलन $3x^2$ है।
अतः,सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \ln (1+x)}{3x^2(x^4+4)}$ हो जाती है।
सरल करने पर,हमें $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1+x)}{x} \cdot \frac{1}{x^4+4}$ प्राप्त होता है।
मानक सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x} = 1$ का उपयोग करते हुए,हमें $\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot \frac{1}{0^4+4} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $\alpha+\beta = -p$ और $\alpha^3+\beta^3 = q$ है।
सर्वसमिका $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta)$ का उपयोग करने पर,$q = (-p)^3 - 3\alpha\beta(-p) = -p^3 + 3p\alpha\beta$ प्राप्त होता है।
अतः,$3p\alpha\beta = p^3+q$,जिसका अर्थ है $\alpha\beta = \frac{p^3+q}{3p}$।
$\frac{\alpha}{\beta}$ और $\frac{\beta}{\alpha}$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha})x + 1 = 0$ है।
यह $x^2 - (\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta})x + 1 = 0$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = (-p)^2 - 2(\frac{p^3+q}{3p}) = p^2 - \frac{2(p^3+q)}{3p} = \frac{3p^3 - 2p^3 - 2q}{3p} = \frac{p^3-2q}{3p}$ है।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x^2 - (\frac{(p^3-2q)/3p}{(p^3+q)/3p})x + 1 = 0$।
$x^2 - (\frac{p^3-2q}{p^3+q})x + 1 = 0$।
$(p^3+q)$ से गुणा करने पर,हमें $(p^3+q)x^2 - (p^3-2q)x + (p^3+q) = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $z = (1-t)z_1 + tz_2$,जहाँ $0 < t < 1$ है। यह दर्शाता है कि $z$,$z_1$ और $z_2$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित है।
$1$. चूंकि $z$,रेखाखंड $AB$ पर स्थित है,इसलिए दूरियों का योग $|z-z_1| + |z-z_2|$ कुल दूरी $|z_1-z_2|$ के बराबर है। अतः,$(A)$ सत्य है।
$2$. सदिश $z-z_1$,$z_2-z_1$ की ही दिशा में है क्योंकि $z-z_1 = t(z_2-z_1)$ और $t > 0$ है। इसलिए,$\operatorname{Arg}(z-z_1) = \operatorname{Arg}(z_2-z_1)$। अतः,$(D)$ सत्य है।
$3$. शर्त $\frac{z-z_1}{z_2-z_1} = t$ (जहाँ $t$ वास्तविक है) यह दर्शाती है कि अनुपात पूरी तरह से वास्तविक है। यह $\frac{z-z_1}{z_2-z_1} = \frac{\bar{z}-\bar{z}_1}{\bar{z}_2-\bar{z}_1}$ के समतुल्य है। वज्र गुणन करने पर सारणिक रूप $\left|\begin{array}{cc} z-z_1 & \bar{z}-\bar{z}_1 \\ z_2-z_1 & \bar{z}_2-\bar{z}_1 \end{array}\right| = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$(C)$ सत्य है।
$4$. $\operatorname{Arg}(z-z_1)$ और $\operatorname{Arg}(z-z_2)$ सदिशों $P-A$ और $P-B$ के कोणों को दर्शाते हैं। चूंकि $P$,$A$ और $B$ के बीच में है,इसलिए ये सदिश विपरीत दिशाओं में हैं,अतः $\operatorname{Arg}(z-z_1) \neq \operatorname{Arg}(z-z_2)$। अतः,$(B)$ असत्य है।
इसलिए,सही विकल्प $(A), (C), (D)$ हैं।

(B) $\angle C$ के लिए कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{(x^2+x+1)^2 + (x^2-1)^2 - (2x+1)^2}{2(x^2+x+1)(x^2-1)}$
सरल करने पर,हमें $x = 1+\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
भुजा की लंबाई धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $b = x^2-1 > 0 \implies x > 1$। अतः,$x = 1+\sqrt{3}$ सही हल है।

(C) मान लीजिए कि बिंदुओं $A$ और $B$ के निर्देशांक क्रमशः $(t_1^2, 2t_1)$ और $(t_2^2, 2t_2)$ हैं।
$AB$ को व्यास मानकर बनाए गए वृत्त का केंद्र $AB$ का मध्यबिंदु है,जो $\left(\frac{t_1^2+t_2^2}{2}, t_1+t_2\right)$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r$ है। चूंकि परवलय का अक्ष ($x$-अक्ष,$y=0$) वृत्त को स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र के $y$-निर्देशांक का निरपेक्ष मान त्रिज्या $r$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$|t_1+t_2| = r$,जिसका अर्थ है $t_1+t_2 = \pm r$.
$A$ और $B$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{2t_2 - 2t_1}{t_2^2 - t_1^2} = \frac{2(t_2 - t_1)}{(t_2 - t_1)(t_2 + t_1)} = \frac{2}{t_1+t_2}$ है।
$t_1+t_2 = \pm r$ रखने पर,हमें $m = \pm \frac{2}{r}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,ढाल के संभावित मान $\frac{2}{r}$ और $-\frac{2}{r}$ हैं,जो विकल्प $C$ और $D$ के अनुरूप हैं।

(A) $1.$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ की स्पर्शरेखा $y=mx+\sqrt{9m^2-4}$ है,जहाँ $m>0$ है।
यह रेखा वृत्त $x^2+y^2-8x=0$ को भी स्पर्श करती है,जिसका केंद्र $(4, 0)$ और त्रिज्या $r=4$ है।
केंद्र $(4, 0)$ से रेखा $mx-y+\sqrt{9m^2-4}=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $4$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|4m-0+\sqrt{9m^2-4}|}{\sqrt{m^2+1}}=4 \Rightarrow |4m+\sqrt{9m^2-4}|=4\sqrt{m^2+1}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $16m^2 + 9m^2 - 4 + 8m\sqrt{9m^2-4} = 16(m^2+1) = 16m^2+16$.
$8m\sqrt{9m^2-4} = 20-9m^2$.
पुनः वर्ग करने पर: $64m^2(9m^2-4) = (20-9m^2)^2 \Rightarrow 576m^4 - 256m^2 = 400 - 360m^2 + 81m^4$.
$495m^4 + 104m^2 - 400 = 0$. $m^2$ के लिए हल करने पर,$m^2 = 4/5$,अतः $m = 2/\sqrt{5}$ है।
$m$ का मान रखने पर,स्पर्शरेखा $y = \frac{2}{\sqrt{5}}x + \sqrt{9(\frac{4}{5})-4} = \frac{2}{\sqrt{5}}x + \frac{4}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होती है।
अतः,$2x-\sqrt{5}y+4=0$,जो विकल्प $(B)$ है।
$2.$ अतिपरवलय पर एक बिंदु $(3\sec\theta, 2\tan\theta)$ है।
वृत्त के समीकरण में रखने पर: $(3\sec\theta)^2 + (2\tan\theta)^2 - 8(3\sec\theta) = 0$.
$9\sec^2\theta + 4(\sec^2\theta-1) - 24\sec\theta = 0 \Rightarrow 13\sec^2\theta - 24\sec\theta - 4 = 0$.
$(13\sec\theta+2)(\sec\theta-2) = 0$. चूँकि $\sec\theta=2$,$\tan^2\theta = 2^2-1=3$,इसलिए $\tan\theta = \pm\sqrt{3}$ है।
बिंदु $A(6, 2\sqrt{3})$ और $B(6, -2\sqrt{3})$ हैं।
$AB$ व्यास वाले वृत्त का केंद्र $(6, 0)$ और त्रिज्या $2\sqrt{3}$ है।
समीकरण: $(x-6)^2 + y^2 = (2\sqrt{3})^2 \Rightarrow x^2-12x+36+y^2=12 \Rightarrow x^2+y^2-12x+24=0$,जो विकल्प $(A)$ है।

(D) $k=1$ के लिए,प्रथम पद $\frac{1-1}{1!} = 0$ है,इसलिए $S_1 = 0$ है।
$k \ge 2$ के लिए,अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_k = \frac{\frac{k-1}{k!}}{1 - \frac{1}{k}} = \frac{1}{(k-1)!}$ है।
व्यंजक $E = \frac{100^2}{100!} + \sum_{k=2}^{100} |(k^2 - 3k + 1) \frac{1}{(k-1)!}|$ है।
गणना करने पर अंतिम उत्तर $3$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई समीकरण प्रणाली से:
$y \sin 3\theta = -z \cos 3\theta$ और $\tan 3\theta = 1$ प्राप्त होता है।
अतः $3\theta = n\pi + \frac{\pi}{4}$ होगा।
$\theta = \frac{n\pi}{3} + \frac{\pi}{12}$ के लिए $0 < \theta < \pi$ की सीमा में $n=0, 1, 2$ लेने पर $\theta$ के $3$ मान प्राप्त होते हैं।

(A) दिया गया है $\tan \theta = \cot 5 \theta = \tan\left(\frac{\pi}{2} - 5\theta\right)$.
इसका अर्थ है $\theta = n\pi + \frac{\pi}{2} - 5\theta$,अतः $6\theta = n\pi + \frac{\pi}{2}$,या $\theta = \frac{(2n+1)\pi}{12}$.
साथ ही,$\sin 2\theta = \cos 4\theta = 1 - 2\sin^2 2\theta$.
माना $x = \sin 2\theta$,तब $2x^2 + x - 1 = 0$,जो $(2x-1)(x+1) = 0$ देता है।
अतः $\sin 2\theta = \frac{1}{2}$ या $\sin 2\theta = -1$.
यदि $\sin 2\theta = -1$,तो $2\theta = -\frac{\pi}{2} \Rightarrow \theta = -\frac{\pi}{4}$.
यदि $\sin 2\theta = \frac{1}{2}$,तो $2\theta = \frac{\pi}{6}$ या $\frac{5\pi}{6} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{12}$ या $\frac{5\pi}{12}$.
शर्त $\theta \neq \frac{n\pi}{5}$ ($n=0, \pm 1, \pm 2$ के लिए) की जाँच करने पर:
$\theta = -\frac{\pi}{4}$,$\theta = \frac{\pi}{12}$,और $\theta = \frac{5\pi}{12}$ में से कोई भी $0, \pm \frac{\pi}{5}, \pm \frac{2\pi}{5}$ के बराबर नहीं है।
अतः,ऐसे $3$ मान प्राप्त होते हैं।

(A) माना $f(\theta) = \sin^2 \theta + 3 \sin \theta \cos \theta + 5 \cos^2 \theta$ है।
$\frac{1}{f(\theta)}$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हमें $f(\theta)$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना होगा।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$f(\theta) = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} + \frac{3}{2} \sin 2\theta + 5 \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$
$f(\theta) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2\theta + \frac{3}{2} \sin 2\theta + \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cos 2\theta$
$f(\theta) = 3 + 2 \cos 2\theta + \frac{3}{2} \sin 2\theta$
व्यंजक $a \cos x + b \sin x$ का मान $-\sqrt{a^2 + b^2}$ और $\sqrt{a^2 + b^2}$ के बीच होता है।
यहाँ,$2 \cos 2\theta + \frac{3}{2} \sin 2\theta$ का मान $-\sqrt{2^2 + (\frac{3}{2})^2} = -\sqrt{4 + \frac{9}{4}} = -\sqrt{\frac{25}{4}} = -\frac{5}{2}$ और $\frac{5}{2}$ के बीच है।
अतः,$f(\theta)$ का न्यूनतम मान $3 - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$ है।
इस प्रकार,$\frac{1}{f(\theta)}$ का अधिकतम मान $\frac{1}{1/2} = 2$ है।

(B) रेखा का समीकरण $y = -2x + 1$ है,इसलिए ढाल $m = -2$ है।
निकटतम नियता $x = \frac{a}{e}$ है। नियता और $x$-अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{a}{e}, 0)$ है।
चूंकि रेखा $(\frac{a}{e}, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $0 = -2(\frac{a}{e}) + 1$,जिसका अर्थ है $\frac{2a}{e} = 1$,या $a = \frac{e}{2}$।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए रेखा $y = mx + c$ के स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
यहाँ $c = 1$ और $m = -2$ है,इसलिए $1^2 = a^2(-2)^2 - b^2$,जो $1 = 4a^2 - b^2$ देता है।
$a^2 = \frac{e^2}{4}$ को समीकरण में रखने पर: $1 = 4(\frac{e^2}{4}) - b^2$,इसलिए $1 = e^2 - b^2$,जिसका अर्थ है $b^2 = e^2 - 1$।
हम जानते हैं कि अतिपरवलय के लिए $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होता है।
$b^2 = e^2 - 1$ को इसमें रखने पर,हमें $e^2 - 1 = a^2(e^2 - 1)$ मिलता है।
चूंकि $e > 1$,इसलिए $e^2 - 1 \neq 0$,अतः $a^2 = 1$,जिसका अर्थ है $a = 1$।
चूंकि $a = \frac{e}{2}$,इसलिए $1 = \frac{e}{2}$,अतः $e = 2$।

(D) दिया गया है $A_r = \binom{10}{r}$,$B_r = \binom{20}{r}$,$C_r = \binom{30}{r}$.
हमें $S = \sum_{r=1}^{10} A_r(B_{10} B_r - C_{10} A_r) = B_{10} \sum_{r=1}^{10} A_r B_r - C_{10} \sum_{r=1}^{10} A_r^2$ का मूल्यांकन करना है।
गुणधर्म $\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} \binom{m}{k-r} = \binom{n+m}{k}$ का उपयोग करते हुए:
$\sum_{r=0}^{10} A_r B_r = \sum_{r=0}^{10} \binom{10}{r} \binom{20}{r} = \binom{30}{10} = C_{10}$.
चूंकि $A_0 = 1$ और $B_0 = 1$,इसलिए $\sum_{r=1}^{10} A_r B_r = C_{10} - 1$.
इसी प्रकार,$\sum_{r=0}^{10} A_r^2 = \sum_{r=0}^{10} \binom{10}{r} \binom{10}{10-r} = \binom{20}{10} = B_{10}$.
चूंकि $A_0 = 1$,इसलिए $\sum_{r=1}^{10} A_r^2 = B_{10} - 1$.
इन मानों को $S$ में रखने पर:
$S = B_{10}(C_{10} - 1) - C_{10}(B_{10} - 1) = C_{10} - B_{10}$.

(D) समुच्चय $S$ के प्रत्येक अवयव के लिए,दो असंयुक्त उपसमुच्चयों $A$ और $B$ में उसकी सदस्यता के संबंध में $3$ संभावनाएं हैं:
$1$. अवयव $A$ में है लेकिन $B$ में नहीं है।
$2$. अवयव $B$ में है लेकिन $A$ में नहीं है।
$3$. अवयव न तो $A$ में है और न ही $B$ में है।
चूंकि $n = 4$ अवयव हैं,इसलिए असंयुक्त उपसमुच्चयों के क्रमित युग्मों $(A, B)$ की कुल संख्या $3^n = 3^4 = 81$ है।
अव्यवस्थित युग्मों ${A, B}$ की संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें उस स्थिति पर विचार करना होगा जहाँ $A = B$ हो। चूंकि $A$ और $B$ असंयुक्त होने चाहिए,इसलिए $A = B$ का अर्थ है $A = B = \emptyset$। यह केवल $1$ स्थिति में होता है।
अन्य सभी स्थितियों में जहाँ $A \neq B$ है,युग्म ${A, B}$ को क्रमित सूची में दो बार गिना जाता है (जैसे $(A, B)$ और $(B, A)$)।
अतः,अव्यवस्थित युग्मों की संख्या $\frac{3^n + 1}{2} = \frac{3^4 + 1}{2} = \frac{81 + 1}{2} = 41$ है।

(A) संबंध $a_k = 2a_{k-1} - a_{k-2}$ यह दर्शाता है कि $a_1, a_2, \ldots, a_{11}$ एक समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) में हैं।
माना प्रथम पद $a = a_1 = 15$ और सार्व अंतर $d$ है।
वर्गों का योग $\sum_{k=1}^{11} a_k^2 = 11a^2 + 110ad + 385d^2$ होता है।
अतः,$a^2 + 10ad + 35d^2 = 90$ है।
$a = 15$ रखने पर: $225 + 150d + 35d^2 = 90 \Rightarrow 35d^2 + 150d + 135 = 0$।
इस समीकरण को हल करने पर $d = -3$ या $d = -9/7$ प्राप्त होता है।
शर्त $27 - 2a_2 > 0$ के अनुसार $d < -1.5$ होना चाहिए,इसलिए $d = -3$ मान्य है।
माध्य $\frac{a_1 + \ldots + a_{11}}{11} = a + 5d = 15 + 5(-3) = 0$ है।

(C) वृत्त की त्रिज्या $r = 2$ है। केंद्र पर $\theta$ कोण बनाने वाली जीवा की केंद्र से दूरी $d = r \cos(\theta/2)$ होती है।
दो जीवाओं के लिए,केंद्र पर बने कोण $\theta_1 = \frac{\pi}{k}$ और $\theta_2 = \frac{2\pi}{k}$ हैं।
केंद्र से इन जीवाओं की दूरियाँ $d_1 = 2 \cos(\frac{\pi}{2k})$ और $d_2 = 2 \cos(\frac{\pi}{k})$ हैं।
यदि जीवाएँ केंद्र के विपरीत दिशा में हैं,तो उनके बीच की दूरी $d_1 + d_2 = \sqrt{3} + 1$ होगी।
$2 \cos(\frac{\pi}{2k}) + 2 \cos(\frac{\pi}{k}) = \sqrt{3} + 1$.
$\theta = \frac{\pi}{k}$ रखने पर,$2 \cos(\frac{\theta}{2}) + 2 \cos(\theta) = \sqrt{3} + 1$.
$k=3$ के लिए,$\cos(\frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$.
अतः,$2(\frac{\sqrt{3}+1}{2}) = \sqrt{3}+1$. इस प्रकार $k=3$ प्राप्त होता है।
$[k] = [3] = 3$.

(C) त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} ab \sin C$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$15 \sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 6 \times 10 \times \sin C$,जो सरल होकर $\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ हो जाता है।
चूंकि $\angle ACB$ अधिक कोण है,इसलिए $C = 120^{\circ}$।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = 6^2 + 10^2 - 2(6)(10) \cos 120^{\circ} = 36 + 100 - 120(-0.5) = 136 + 60 = 196$,अतः $c = 14$।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+10+14}{2} = 15$।
अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{15 \sqrt{3}}{15} = \sqrt{3}$।
अतः,$r^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$।

(B) $1.$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ के लिए बिंदु $P(3,4)$ की स्पर्श जीवा $AB$ का समीकरण $T=0$ द्वारा दिया जाता है,अर्थात $\frac{3x}{9}+\frac{4y}{4}=1 \Rightarrow \frac{x}{3}+y=1 \Rightarrow x+3y-3=0$.
स्पर्श बिंदुओं $A$ और $B$ को खोजने के लिए,हम समीकरणों को हल करते हैं: $x+3y=3$ और $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$। $x=3-3y$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर: $\frac{(3-3y)^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1 \Rightarrow (1-y)^2+\frac{y^2}{4}=1 \Rightarrow 1-2y+y^2+\frac{y^2}{4}=1 \Rightarrow \frac{5y^2}{4}-2y=0$। अतः,$y=0$ या $y=\frac{8}{5}$।
यदि $y=0$,तो $x=3$। यदि $y=\frac{8}{5}$,तो $x=3-3(\frac{8}{5})=3-\frac{24}{5}=-\frac{9}{5}$। इसलिए,बिंदु $(3,0)$ और $(-\frac{9}{5}, \frac{8}{5})$ हैं। सही विकल्प $(D)$ है।
$2.$ $\triangle PAB$ का लंबकेंद्र $H$ शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। रेखा $AB$ का समीकरण $x+3y-3=0$ है। $P(3,4)$ से $AB$ पर शीर्षलंब की ढाल $3$ है और यह $(3,4)$ से गुजरती है,इसलिए $y-4=3(x-3) \Rightarrow y=3x-5$। $A(3,0)$ से $PB$ (जहाँ $B=(-\frac{9}{5}, \frac{8}{5})$) पर शीर्षलंब की ढाल $m_{PB} = \frac{8/5-4}{-9/5-3} = \frac{-12/5}{-24/5} = \frac{1}{2}$ है। $A$ से शीर्षलंब $PB$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $-2$ है। समीकरण: $y-0=-2(x-3) \Rightarrow y=-2x+6$। $3x-5=-2x+6 \Rightarrow 5x=11 \Rightarrow x=\frac{11}{5}$ हल करने पर। फिर $y=3(\frac{11}{5})-5 = \frac{33-25}{5} = \frac{8}{5}$। अतः,$H=(\frac{11}{5}, \frac{8}{5})$। सही विकल्प $(C)$ है।
$3.$ बिंदु $P$ और रेखा $AB$ से समान दूरी पर स्थित बिंदु का बिंदुपथ एक परवलय है जिसकी नाभि $P$ और नियता $AB$ है। दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए: $(x-3)^2+(y-4)^2 = \frac{(x+3y-3)^2}{1^2+3^2}$। इसका विस्तार करने पर: $10(x^2-6x+9+y^2-8y+16) = x^2+9y^2+9+6xy-6x-18y \Rightarrow 10x^2+10y^2-60x-80y+250 = x^2+9y^2+6xy-6x-18y+9 \Rightarrow 9x^2+y^2-6xy-54x-62y+241=0$। सही विकल्प $(A)$ है।

(C) $(A)-(q)$: $|z-i|z||=|z+i|z|| \Rightarrow |\frac{z}{|z|}-i|=|\frac{z}{|z|}+i|$,जहाँ $z \neq 0$ है। पद $\frac{z}{|z|}$ इकाई वृत्त पर एक बिंदु को दर्शाता है। यह समीकरण इंगित करता है कि बिंदु $\frac{z}{|z|}$ $i$ और $-i$ से समान दूरी पर है। ऐसे बिंदुओं का बिंदुपथ वास्तविक अक्ष है,जहाँ $\operatorname{Im}(z)=0$ होता है।
$(B)-(p)$: $|z+4|+|z-4|=10$ एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है जिसकी नाभियाँ $(\pm 4, 0)$ पर हैं और दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a=10$ है। यहाँ $2ae=8$ और $2a=10$ है,इसलिए $e=4/5$ है। अतः,यह $4/5$ उत्केंद्रता वाला एक दीर्घवृत्त है।
$(C)-(p), (t)$: मान लीजिए $\omega=2(\cos \theta+i \sin \theta)$ है। तब $z = 2(\cos \theta+i \sin \theta) - \frac{1}{2}(\cos \theta-i \sin \theta) = \frac{3}{2} \cos \theta + i \frac{5}{2} \sin \theta$ है। यह $\frac{x^2}{(3/2)^2} + \frac{y^2}{(5/2)^2} = 1$ दीर्घवृत्त है,जिसमें $e^2 = 1 - \frac{9/4}{25/4} = 16/25$,इसलिए $e=4/5$ है। अर्ध-दीर्घ अक्ष $2.5 < 3$ होने के कारण,यह $|z| \leq 3$ में निहित है।
$(D)-(q), (t)$: मान लीजिए $\omega = \cos \theta + i \sin \theta$ है। तब $z = (\cos \theta + i \sin \theta) + (\cos \theta - i \sin \theta) = 2 \cos \theta$ है। चूँकि $z$ पूर्णतः वास्तविक है,इसलिए $\operatorname{Im}(z)=0$ और $|z| = |2 \cos \theta| \leq 2 < 3$ है।

(D) दिया गया है कि $A, B, C$ समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) में हैं।
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$,इसलिए $3B = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $B = 60^{\circ}$।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = k$,अतः $\sin A = ak, \sin B = bk, \sin C = ck$।
व्यंजक $E = \frac{a}{c} \sin 2C + \frac{c}{a} \sin 2A$ है।
$E = \frac{a}{c} (2 \sin C \cos C) + \frac{c}{a} (2 \sin A \cos A)$।
$\sin C = ck$ और $\sin A = ak$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{a}{c} (2 ck \cos C) + \frac{c}{a} (2 ak \cos A) = 2ak \cos C + 2ck \cos A$।
$E = 2k (a \cos C + c \cos A)$।
प्रक्षेप सूत्र (projection formula) $b = a \cos C + c \cos A$ का उपयोग करने पर:
$E = 2kb = 2 \sin B$।
चूंकि $B = 60^{\circ}$,इसलिए $E = 2 \sin 60^{\circ} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$।

(B) माना पहली रेखा $L_1$ का दिशा सदिश $\vec{v_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
दूसरे समतल में स्थित दो रेखाओं $L_2$ और $L_3$ के दिशा सदिश $\vec{v_2} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{v_3} = 4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ हैं।
दूसरे समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = \vec{v_2} \times \vec{v_3} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 8\hat{i} - \hat{j} - 10\hat{k}$ है।
अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$ को $\vec{v_1}$ और $\vec{n_2}$ दोनों के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 8 & -1 & -10 \end{vmatrix} = -26\hat{i} + 52\hat{j} - 26\hat{k}$ प्राप्त होता है।
अभिलंब सदिश $\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ लेने पर,मूल बिंदु $(0,0,0)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $1(x-0) - 2(y-0) + 1(z-0) = 0$ अर्थात $x - 2y + z = 0$ होगा।

(C) प्रतिबंध $\omega^{r_1}+\omega^{r_2}+\omega^{r_3}=0$ तभी संतुष्ट होता है जब $r_1, r_2, r_3$ को $3$ से विभाजित करने पर शेषफल $0, 1, 2$ प्राप्त हो।
प्रत्येक $r_i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ के लिए,$3$ से विभाजित करने पर शेषफल इस प्रकार हैं:
$r_i \equiv 1 \pmod{3} \implies r_i \in \{1, 4\}$ ($2$ मान)
$r_i \equiv 2 \pmod{3} \implies r_i \in \{2, 5\}$ ($2$ मान)
$r_i \equiv 0 \pmod{3} \implies r_i \in \{3, 6\}$ ($2$ मान)
अनुकूल परिणामों की संख्या $3! \times (2 \times 2 \times 2) = 48$ है।
कुल परिणामों की संख्या $6^3 = 216$ है।
अतः,प्रायिकता $\frac{48}{216} = \frac{2}{9}$ है।

(A) शीर्षों के स्थिति सदिश $\vec{p} = -2\hat{i} - \hat{j}$,$\vec{q} = 4\hat{i}$,$\vec{r} = 3\hat{i} + 3\hat{j}$,और $\vec{s} = -3\hat{i} + 2\hat{j}$ हैं।
सबसे पहले,हम विकर्णों $PR$ और $QS$ के मध्य बिंदुओं की जांच करते हैं:
$PR$ का मध्य बिंदु $= \frac{\vec{p} + \vec{r}}{2} = \frac{(-2\hat{i} - \hat{j}) + (3\hat{i} + 3\hat{j})}{2} = \frac{\hat{i} + 2\hat{j}}{2} = \frac{1}{2}\hat{i} + \hat{j}$.
$QS$ का मध्य बिंदु $= \frac{\vec{q} + \vec{s}}{2} = \frac{(4\hat{i}) + (-3\hat{i} + 2\hat{j})}{2} = \frac{\hat{i} + 2\hat{j}}{2} = \frac{1}{2}\hat{i} + \hat{j}$.
चूंकि विकर्णों के मध्य बिंदु समान हैं,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
इसके बाद,हम भुजाओं के सदिशों की गणना करते हैं:
$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = 4\hat{i} - (-2\hat{i} - \hat{j}) = 6\hat{i} + \hat{j}$.
$\vec{PS} = \vec{s} - \vec{p} = (-3\hat{i} + 2\hat{j}) - (-2\hat{i} - \hat{j}) = -\hat{i} + 3\hat{j}$.
आयत के लिए जांच (आसन्न भुजाओं का डॉट गुणनफल):
$\vec{PQ} \cdot \vec{PS} = (6\hat{i} + \hat{j}) \cdot (-\hat{i} + 3\hat{j}) = (6)(-1) + (1)(3) = -6 + 3 = -3 \neq 0$.
चूंकि डॉट गुणनफल शून्य नहीं है,इसलिए भुजाएं लंबवत नहीं हैं,अतः यह आयत नहीं है।
समचतुर्भुज के लिए जांच (आसन्न भुजाओं की लंबाई):
$|\vec{PQ}| = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37}$.
$|\vec{PS}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.
चूंकि $|\vec{PQ}| \neq |\vec{PS}|$,भुजाएं समान नहीं हैं,इसलिए यह समचतुर्भुज नहीं है।
अतः,$PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है,जो न तो समचतुर्भुज है और न ही आयत।

(A) रैखिक समीकरणों के निकाय $AX = B$ का या तो एक अद्वितीय हल होता है,कोई हल नहीं होता है,या अनंत हल होते हैं।
रैखिक समीकरणों के निकाय के लिए ठीक दो भिन्न हल होना गणितीय रूप से असंभव है।
यदि किसी निकाय के एक से अधिक हल हैं,तो उसके अनंत हल होने चाहिए।
अतः,ऐसे आव्यूहों $A$ की संख्या $0$ है।

(D) हमें अंतराल $[0,1]$ पर फलन $f(x)=e^{x^2}+e^{-x^2}$,$g(x)=x e^{x^2}+e^{-x^2}$,और $h(x)=x^2 e^{x^2}+e^{-x^2}$ दिए गए हैं।
$x \in [0,1]$ के लिए,हमारे पास $0 \leq x^2 \leq x \leq 1$ है।
चूंकि $e^{x^2} > 0$ और $e^{-x^2} > 0$,हम फलनों की तुलना करते हैं:
$f(x) - g(x) = e^{x^2} + e^{-x^2} - x e^{x^2} - e^{-x^2} = e^{x^2}(1-x) \geq 0$,$x \in [0,1]$ के लिए। अतः $f(x) \geq g(x)$।
$g(x) - h(x) = x e^{x^2} + e^{-x^2} - x^2 e^{x^2} - e^{-x^2} = e^{x^2}(x-x^2) = x e^{x^2}(1-x) \geq 0$,$x \in [0,1]$ के लिए। अतः $g(x) \geq h(x)$।
इसलिए,सभी $x \in [0,1]$ के लिए $f(x) \geq g(x) \geq h(x)$ है।
$x=1$ पर,$f(1) = e^1 + e^{-1} = e + \frac{1}{e}$,$g(1) = 1 \cdot e^1 + e^{-1} = e + \frac{1}{e}$,और $h(1) = 1^2 \cdot e^1 + e^{-1} = e + \frac{1}{e}$।
चूंकि $f(x)$,$g(x)$,और $h(x)$ अंतराल $[0,1]$ पर वर्धमान फलन हैं (क्योंकि उनके अवकलज अ-ऋणात्मक हैं),उनके अधिकतम मान $x=1$ पर प्राप्त होते हैं।
अतः,$a = f(1) = e + \frac{1}{e}$,$b = g(1) = e + \frac{1}{e}$,और $c = h(1) = e + \frac{1}{e}$।
इसलिए,$a=b=c$।

(A) हमें समाकलन $I = \int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} d x$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,अंश का विस्तार करें: $x^4(1-x)^4 = x^8-4x^7+6x^6-4x^5+x^4$.
अब,$x^8-4x^7+6x^6-4x^5+x^4$ को $x^2+1$ से विभाजित करने पर:
$x^8-4x^7+6x^6-4x^5+x^4 = (x^2+1)(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4) - 4$.
अतः,$\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} = x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4 - \frac{4}{1+x^2}$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \int_0^1 (x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4) dx - \int_0^1 \frac{4}{1+x^2} dx$.
$I = \left[ \frac{x^7}{7} - \frac{2x^6}{3} + x^5 - \frac{4x^3}{3} + 4x \right]_0^1 - 4[\tan^{-1}(x)]_0^1$.
$I = \left( \frac{1}{7} - \frac{2}{3} + 1 - \frac{4}{3} + 4 \right) - 4(\frac{\pi}{4}) = \frac{22}{7} - \pi$.

(A) दिया गया है $f(x) = \ln x + \int_0^x \sqrt{1+\sin t} \, dt$.
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f^{\prime}(x) = \frac{1}{x} + \sqrt{1+\sin x}$.
ध्यान दें कि $\sqrt{1+\sin x} = \sqrt{(\sin(x/2) + \cos(x/2))^2} = |\sin(x/2) + \cos(x/2)|$.
यह व्यंजक वहाँ अवकलनीय नहीं है जहाँ $\sin(x/2) + \cos(x/2) = 0$,अर्थात $\tan(x/2) = -1$,जिसका अर्थ है $x/2 = n\pi - \pi/4$,या $x = 2n\pi - \pi/2$.
चूंकि ये बिंदु $(0, \infty)$ में मौजूद हैं,इसलिए $f^{\prime}(x)$ इन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है। अतः,$(B)$ सत्य है और $(A)$ असत्य है।
$(C)$ के लिए,जैसे $x \to \infty$,$f(x) \approx \int_0^x \sqrt{1+\sin t} \, dt \approx \frac{2\sqrt{2}}{\pi} x$ और $f^{\prime}(x) \approx \sqrt{1+\sin x}$। चूँकि $f(x)$ रैखिक रूप से बढ़ता है और $f^{\prime}(x)$ परिबद्ध है,इसलिए बड़े $x$ के लिए $|f^{\prime}(x)| < |f(x)|$ सत्य है। अतः,$(C)$ सत्य है।
$(D)$ असत्य है क्योंकि जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$ होता है।

(B) $1.$ $A$ के सममित होने के लिए $b=c$। $A$ के विषम-सममित होने के लिए $a=0$ और $b=-c$।
यदि $A$ सममित है,तो $A = \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}$,$\det(A) = a^2-b^2$। $\det(A) \equiv 0 \pmod{p} \implies a^2 \equiv b^2 \pmod{p} \implies a \equiv \pm b \pmod{p}$।
$a=b$ के लिए $p$ विकल्प हैं। $a=-b$ के लिए $p$ विकल्प हैं। $a=b=0$ स्थिति दो बार गिनी गई है,इसलिए कुल $2p-1$ सममित आव्यूह हैं।
यदि $A$ विषम-सममित है,तो $a=0, b=-c$। $\det(A) = b^2$। $\det(A) \equiv 0 \pmod{p} \implies b=0$। अतः $A$ शून्य आव्यूह है,जो पहले ही गिना जा चुका है।
कुल संख्या $2p-1$ है। सही विकल्प $(D)$ है।
$2.$ $\text{tr}(A) = 2a$। चूंकि $p$ एक विषम अभाज्य है,$2a \not\equiv 0 \pmod{p} \implies a \not\equiv 0 \pmod{p}$। $a$ के लिए $p-1$ विकल्प हैं।
$\det(A) = a^2 - bc \equiv 0 \pmod{p} \implies bc \equiv a^2 \pmod{p}$।
प्रत्येक $a \in \{1, \ldots, p-1\}$ के लिए,$a^2 \not\equiv 0 \pmod{p}$। अतः $b$ के लिए $p-1$ विकल्प हैं और $c$ अद्वितीय रूप से निर्धारित होता है।
कुल संख्या $(p-1)(p-1) = (p-1)^2$ है। सही विकल्प $(C)$ है।
$3.$ $\det(A) = a^2 - bc \not\equiv 0 \pmod{p}$।
$T_p$ में कुल आव्यूह $p^3$ हैं।
यदि $a=0$,$\det(A) = -bc \not\equiv 0 \implies b \neq 0, c \neq 0$। विकल्प: $(p-1)(p-1) = (p-1)^2$।
यदि $a \neq 0$,$bc \not\equiv a^2 \pmod{p}$। प्रत्येक $a$ के लिए,$p^2 - (p-1)$ युग्म $(b, c)$ मिलते हैं।
कुल = $(p-1)^2 + (p-1)(p^2 - p + 1) = p^3 - p^2$। सही विकल्प $(D)$ है।

(C) बिंदु $P(x, y)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ है।
$y$-अंतःखंड प्राप्त करने के लिए,$X = 0$ रखने पर,हमें $Y = y - x \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
प्रश्न के अनुसार,$y$-अंतःखंड भुज के घन के बराबर है,इसलिए $y - x \frac{dy}{dx} = x^3$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $x \frac{dy}{dx} - y = -x^3$,या $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = -x^2$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{1}{x}$ और $Q(x) = -x^2$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$ है।
हल $y \cdot \frac{1}{x} = \int (-x^2) \cdot \frac{1}{x} dx = \int -x dx = -\frac{x^2}{2} + C$ है।
अतः,$f(x) = -\frac{x^3}{2} + Cx$ है।
चूँकि $f(1) = 1$ दिया गया है,हमारे पास $1 = -\frac{1}{2} + C$ है,जिसका अर्थ है $C = \frac{3}{2}$।
इसलिए,$f(x) = -\frac{x^3}{2} + \frac{3}{2}x$ है।
$f(-3) = -\frac{(-3)^3}{2} + \frac{3}{2}(-3) = -\frac{-27}{2} - \frac{9}{2} = \frac{18}{2} = 9$ है।

(C) सबसे पहले,ध्यान दें कि $|\vec{a}| = \sqrt{(\frac{1}{\sqrt{5}})^2 + (-\frac{2}{\sqrt{5}})^2} = \sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}} = 1$ और $|\vec{b}| = \sqrt{(\frac{2}{\sqrt{14}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{14}})^2 + (\frac{3}{\sqrt{14}})^2} = \sqrt{\frac{4+1+9}{14}} = 1$.
साथ ही,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1(2) + (-2)(1) + 0(3)}{\sqrt{70}} = 0$.
माना $E = (2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot [(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{a} - 2 \vec{b})]$ है।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w}) \vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w}) \vec{u}$ का उपयोग करते हुए:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{a} - 2 \vec{b}) = [(\vec{a} \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b})) \vec{b} - (\vec{b} \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b})) \vec{a}]$
$= [(|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})) \vec{b} - ((\vec{b} \cdot \vec{a}) - 2|\vec{b}|^2) \vec{a}]$
$= [(1 - 0) \vec{b} - (0 - 2(1)) \vec{a}] = \vec{b} + 2 \vec{a}$.
अब,$E = (2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = |2 \vec{a} + \vec{b}|^2 = 4|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
मान रखने पर: $E = 4(1)^2 + (1)^2 + 4(0) = 4 + 1 = 5$.

(C) दोनों रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{v_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ और $\vec{v_2} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ हैं।
इन रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ है।
यह समतल बिंदु $(1, 2, 3)$ से गुजरता है,इसलिए इसका समीकरण $-1(x-1) + 2(y-2) - 1(z-3) = 0$ अर्थात $x - 2y + z = 0$ है।
दिया गया समतल $Ax - 2y + z = d$ है,अतः $A = 1$ प्राप्त होता है।
समांतर समतलों $x - 2y + z = 0$ और $x - 2y + z = d$ के बीच की दूरी $\frac{|d - 0|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \sqrt{6}$ होती है।
अतः,$\frac{|d|}{\sqrt{6}} = \sqrt{6} \implies |d| = 6$।

(A) फलन $f(x)$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$f(x) = x - [x]$ यदि $[x]$ विषम है,और $f(x) = 1 + [x] - x$ यदि $[x]$ सम है।
$x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$ (सम),इसलिए $f(x) = 1 + 0 - x = 1 - x$.
$x \in [1, 2)$ के लिए,$[x] = 1$ (विषम),इसलिए $f(x) = x - 1$.
यह फलन $T = 2$ आवर्तकाल के साथ एक आवर्ती फलन है।
मान लीजिए $I = \int_{-10}^{10} f(x) \cos(\pi x) \, dx$.
$f(x)$ एक सम फलन है $(f(-x) = f(x))$ और $\cos(\pi x)$ भी एक सम फलन है,इसलिए उनका गुणनफल एक सम फलन है।
$I = 2 \int_{0}^{10} f(x) \cos(\pi x) \, dx = 2 \times 5 \int_{0}^{2} f(x) \cos(\pi x) \, dx = 10 \left[ \int_{0}^{1} (1-x) \cos(\pi x) \, dx + \int_{1}^{2} (x-1) \cos(\pi x) \, dx \right]$.
मान लीजिए $I_1 = \int_{0}^{1} (1-x) \cos(\pi x) \, dx$. खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए:
$I_1 = \left[ (1-x) \frac{\sin(\pi x)}{\pi} \right]_0^1 - \int_{0}^{1} (-1) \frac{\sin(\pi x)}{\pi} \, dx = 0 + \left[ -\frac{\cos(\pi x)}{\pi^2} \right]_0^1 = -\frac{1}{\pi^2} (-1 - 1) = \frac{2}{\pi^2}$.
मान लीजिए $I_2 = \int_{1}^{2} (x-1) \cos(\pi x) \, dx$. मान लीजिए $t = x-1$,तो $dt = dx$:
$I_2 = \int_{0}^{1} t \cos(\pi(t+1)) \, dt = \int_{0}^{1} t \cos(\pi t + \pi) \, dt = -\int_{0}^{1} t \cos(\pi t) \, dt$.
$\int t \cos(\pi t) \, dt = \frac{t \sin(\pi t)}{\pi} + \frac{\cos(\pi t)}{\pi^2}$ का उपयोग करते हुए:
$I_2 = -\left[ \frac{t \sin(\pi t)}{\pi} + \frac{\cos(\pi t)}{\pi^2} \right]_0^1 = -\left( 0 + \frac{-1}{\pi^2} - (0 + \frac{1}{\pi^2}) \right) = \frac{2}{\pi^2}$.
अतः,$I = 10 \left( \frac{2}{\pi^2} + \frac{2}{\pi^2} \right) = \frac{40}{\pi^2}$.
अंत में,$\frac{\pi^2}{10} I = \frac{\pi^2}{10} \times \frac{40}{\pi^2} = 4$.

(A) दिया गया है $\omega = e^{i 2 \pi / 3}$,हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$ है।
मान लीजिए सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} z+1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & z+\omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & z+\omega \end{array}\right|$ है।
संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} z+1+\omega+\omega^2 & \omega & \omega^2 \\ z+\omega+\omega^2+1 & z+\omega^2 & 1 \\ z+\omega^2+1+\omega & 1 & z+\omega \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} z & \omega & \omega^2 \\ z & z+\omega^2 & 1 \\ z & 1 & z+\omega \end{array}\right|$.
प्रथम स्तंभ से $z$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = z \left|\begin{array}{ccc} 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & z+\omega^2 & 1 \\ 1 & 1 & z+\omega \end{array}\right|$.
$R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$\Delta = z \left|\begin{array}{ccc} 1 & \omega & \omega^2 \\ 0 & z+\omega^2-\omega & 1-\omega^2 \\ 0 & 1-\omega & z+\omega-\omega^2 \end{array}\right| = z[(z+\omega^2-\omega)(z+\omega-\omega^2) - (1-\omega^2)(1-\omega)]$.
इसका विस्तार करने पर,हमें $\Delta = z(z^2) = z^3 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$z = 0$ ही एकमात्र हल है। भिन्न सम्मिश्र संख्याओं की संख्या $1$ है।

(A) बिंदु $P(1, -2, 1)$ की समतल $x + 2y - 2z - \alpha = 0$ से दूरी $d = \frac{|1(1) + 2(-2) - 2(1) - \alpha|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = 5$ है।
अतः, $\frac{|-5 - \alpha|}{3} = 5 \Rightarrow |5 + \alpha| = 15$. चूँकि $\alpha > 0$, इसलिए $\alpha = 10$ प्राप्त होता है।
समतल का समीकरण $x + 2y - 2z = 10$ है।
$P(1, -2, 1)$ से गुजरने वाली और समतल के लंबवत रेखा का समीकरण $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{-2} = k$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $(k + 1, 2k - 2, -2k + 1)$ के रूप में है।
चूँकि यह बिंदु समतल पर स्थित है, $(k + 1) + 2(2k - 2) - 2(-2k + 1) = 10$ होगा।
$9k - 5 = 10 \Rightarrow k = \frac{5}{3}$।
अतः, लंब के पाद के निर्देशांक $\left(\frac{5}{3} + 1, 2(\frac{5}{3}) - 2, -2(\frac{5}{3}) + 1\right) = \left(\frac{8}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{7}{3}\right)$ हैं।

(C) मान लीजिए $G$ वह घटना है कि मूल सिग्नल हरा है और $R$ वह घटना है कि मूल सिग्नल लाल है। दिया गया है $P(G) = \frac{4}{5}$ और $P(R) = \frac{1}{5}$।
मान लीजिए $S_A$ और $S_B$ क्रमशः स्टेशन $A$ और स्टेशन $B$ द्वारा प्राप्त सिग्नल हैं। सही प्राप्ति की प्रायिकता $p = \frac{3}{4}$ और गलत प्राप्ति की प्रायिकता $q = \frac{1}{4}$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि स्टेशन $B$ पर प्राप्त सिग्नल हरा है।
$P(E) = P(E|G)P(G) + P(E|R)P(R)$।
$G$ से शुरू करके $B$ पर हरा सिग्नल प्राप्त करने के लिए:
$1$. $A$ ने $G$ सही ढंग से प्राप्त किया (प्रायिकता $\frac{3}{4}$),$B$ ने $G$ सही ढंग से प्राप्त किया (प्रायिकता $\frac{3}{4}$) $\rightarrow \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$।
$2$. $A$ ने $R$ गलत तरीके से प्राप्त किया (प्रायिकता $\frac{1}{4}$),$B$ ने $G$ गलत तरीके से प्राप्त किया (प्रायिकता $\frac{1}{4}$) $\rightarrow \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$।
अतः,$P(E|G) = \frac{9}{16} + \frac{1}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$।
$R$ से शुरू करके $B$ पर हरा सिग्नल प्राप्त करने के लिए:
$1$. $A$ ने $R$ सही ढंग से प्राप्त किया (प्रायिकता $\frac{3}{4}$),$B$ ने $G$ गलत तरीके से प्राप्त किया (प्रायिकता $\frac{1}{4}$) $\rightarrow \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{16}$।
$2$. $A$ ने $G$ गलत तरीके से प्राप्त किया (प्रायिकता $\frac{1}{4}$),$B$ ने $R$ गलत तरीके से प्राप्त किया (प्रायिकता $\frac{1}{4}$) $\rightarrow \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$।
अतः,$P(E|R) = \frac{3}{16} + \frac{1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(G|E) = \frac{P(E|G)P(G)}{P(E|G)P(G) + P(E|R)P(R)} = \frac{\frac{5}{8} \times \frac{4}{5}}{\frac{5}{8} \times \frac{4}{5} + \frac{1}{4} \times \frac{1}{5}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{20}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{11}{20}} = \frac{20}{23}$।

(A) माना $\vec{u} = \overrightarrow{AB} = 2\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$ और $\vec{v} = \overrightarrow{AD} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
सबसे पहले,परिमाण (magnitudes) की गणना करें: $|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 10^2 + 11^2} = \sqrt{225} = 15$.
$|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$.
$\cos \alpha = \frac{|\vec{AD} \cdot \vec{AB}|}{|\vec{AD}| |\vec{AB}|}$ सूत्र का उपयोग करते हुए,
$\vec{AD} \cdot \vec{AB} = (-1)(2) + (2)(10) + (2)(11) = -2 + 20 + 22 = 40$.
अतः,$\cos \alpha = \frac{40}{3 \times 15} = \frac{40}{45} = \frac{8}{9}$.

(B) दिया गया है $e^{-x} f(x) = 2 + \int_0^x \sqrt{t^4 + 1} \, dt \dots (i)$
$x = 0$ पर,$e^0 f(0) = 2 + \int_0^0 \sqrt{t^4 + 1} \, dt \implies f(0) = 2$.
चूंकि $f(0) = 2$,इसलिए $f^{-1}(2) = 0$ होगा।
हम जानते हैं कि $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$।
$y = 2$ के लिए,$(f^{-1})'(2) = \frac{1}{f'(f^{-1}(2))} = \frac{1}{f'(0)}$।
समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$-e^{-x} f(x) + e^{-x} f'(x) = \sqrt{x^4 + 1}$।
$x = 0$ रखने पर:
$-e^0 f(0) + e^0 f'(0) = \sqrt{0^4 + 1}$
$-1(2) + 1(f'(0)) = 1$
$-2 + f'(0) = 1 \implies f'(0) = 3$।
अतः,$(f^{-1})'(2) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{3}$।

(B) दिया गया है कि $f(x) = \ln(g(x))$,इसलिए $g(x) = e^{f(x)}$.
अवकलन करने पर,$g^{\prime}(x) = e^{f(x)} \cdot f^{\prime}(x)$.
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $e^{f(x)} > 0$ है,इसलिए $g^{\prime}(x)$ का चिह्न $f^{\prime}(x)$ के चिह्न के समान होगा।
$f^{\prime}(x) = 2010(x-2009)(x-2010)^2(x-2011)^3(x-2012)^4$.
क्रांतिक बिंदु $x = 2009, 2010, 2011, 2012$ हैं।
इन बिंदुओं पर $f^{\prime}(x)$ के चिह्न में परिवर्तन का विश्लेषण करते हैं:
- $x = 2009$ पर: $(x-2009)$ ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है। $f^{\prime}(x)$ ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है। यह एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।
- $x = 2010$ पर: $(x-2010)^2$ हमेशा गैर-ऋणात्मक है। $f^{\prime}(x)$ का चिह्न नहीं बदलता है। यह एक नति परिवर्तन बिंदु है।
- $x = 2011$ पर: $(x-2011)^3$ ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है। $f^{\prime}(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है। यह एक स्थानीय उच्चतम बिंदु है।
- $x = 2012$ पर: $(x-2012)^4$ हमेशा गैर-ऋणात्मक है। $f^{\prime}(x)$ का चिह्न नहीं बदलता है। यह एक नति परिवर्तन बिंदु है।
अतः,$g(x)$ का स्थानीय उच्चतम मान केवल $x = 2011$ पर है। ऐसे बिंदुओं की संख्या $1$ है।

(A) सबसे पहले,आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करें। पंक्ति और स्तंभ संक्रियाओं द्वारा,हमें $|A| = (2k+1)^3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $B$ एक $3$ कोटि का विषम-सममित आव्यूह है,इसलिए इसका सारणिक $|B| = 0$ होता है।
हम जानते हैं कि $\det(\operatorname{adj} A) = |A|^{n-1}$,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है। यहाँ $n=3$ है,इसलिए $\det(\operatorname{adj} A) = |A|^2 = ((2k+1)^3)^2 = (2k+1)^6$.
इसी प्रकार,$\det(\operatorname{adj} B) = |B|^2 = 0^2 = 0$.
दिया गया है कि $\det(\operatorname{adj} A) + \det(\operatorname{adj} B) = 10^6$,इसलिए $(2k+1)^6 = 10^6$.
दोनों पक्षों का छठा मूल लेने पर,$2k+1 = 10$.
$2k = 9$,जिसका अर्थ है कि $k = 4.5$.
अतः,$[k] = [4.5] = 4$.

(C, A, B) $1.$ $f(x) = 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1$. चूंकि $f(-1) = -2$ और $f(-1/2) = 0.25$,इसलिए मूल $s$,$(-1, -1/2)$ में स्थित है। विकल्पों की जांच करने पर,$(C)$ सही है।
$2.$ $t = |s|$। चूंकि $s \in (-3/4, -1/2)$,इसलिए $t \in (1/2, 3/4)$। क्षेत्रफल $A = \int_0^t (4x^3+3x^2+2x+1) dx = t^4+t^3+t^2+t$। $t=1/2$ के लिए $A = 0.9375$ और $t=3/4$ के लिए $A \approx 2.05$। अतः विकल्प $(A)$ सही है।
$3.$ $f'(x) = 12x^2 + 6x + 2$। $f''(x) = 24x + 6$। $x = -1/4$ पर $f''(x) = 0$। $x > -1/4$ के लिए $f''(x) > 0$ (वर्धमान) और $x < -1/4$ के लिए $f''(x) < 0$ (ह्रासमान)। अतः $(B)$ सही है।

(A-T, B-P, R, C-Q, S, D-R) $(A)-(t)$: मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$ मानिए। यह दी गई रेखाओं को प्रतिच्छेद करती है। समीकरणों को हल करने पर,हमें प्रतिच्छेदन बिंदु $P(5, -5, 2)$ और $Q(\frac{10}{3}, -\frac{10}{3}, \frac{8}{3})$ प्राप्त होते हैं। दूरी $PQ^2 = (5-\frac{10}{3})^2 + (-5+\frac{10}{3})^2 + (2-\frac{8}{3})^2 = \frac{54}{9} = 6$.
$(B)-(p), (r)$: $\tan^{-1}(x+3) - \tan^{-1}(x-3) = \sin^{-1}(\frac{3}{5}) = \tan^{-1}(\frac{3}{4})$। सूत्र $\tan^{-1}A - \tan^{-1}B = \tan^{-1}(\frac{A-B}{1+AB})$ का उपयोग करने पर,$\frac{6}{x^2-8} = \frac{3}{4} \Rightarrow x^2-8 = 8 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$.
$(C)-(q), (s)$: दी गई शर्तों $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,$(\vec{b}-\vec{a}) \cdot (\vec{b}+\vec{c}) = 0$,$2|\vec{b}+\vec{c}| = |\vec{b}-\vec{a}|$ और $\vec{a} = \mu \vec{b} + 4 \vec{c}$ का उपयोग करके सरलीकरण करने पर $\mu$ के लिए द्विघात समीकरण $\mu^2 - 5\mu = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $\mu = 0, 5$ मिलता है।
$(D)-(r)$: $I = \frac{2}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin(9x/2)}{\sin(x/2)} dx = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(9x/2)}{\sin(x/2)} dx$। सर्वसमिका $\frac{\sin(nx)}{\sin x} = 1 + 2\sum_{k=1}^{(n-1)/2} \cos(2kx)$ का उपयोग करने पर,$I = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi} (1 + 2\sum_{k=1}^{4} \cos(kx)) dx = \frac{4}{\pi} [x + 2\sum \frac{\sin(kx)}{k}]_0^{\pi} = 4$.