PhysicsQ1–40 of 40 questions
Page 1 of 1 · Hindi
1
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
$m$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक $\theta$ कोण वाले नत समतल पर है। ब्लॉक और समतल के बीच घर्षण गुणांक $\mu$ है और $\tan \theta > \mu$ है। समतल के समानांतर $P$ बल लगाकर ब्लॉक को स्थिर रखा जाता है। समतल पर ऊपर की ओर बल की दिशा को धनात्मक माना गया है। जैसे-जैसे $P$ को $P_1 = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ से $P_2 = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ तक बदला जाता है,घर्षण बल $f$ बनाम $P$ का ग्राफ कैसा दिखेगा?
A
B
C
D
Solution
(A) नत समतल पर स्थित ब्लॉक के लिए,समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $mg \sin \theta$ है। अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu mg \cos \theta$ है।
जब समतल के समानांतर $P$ बल लगाया जाता है,तो संतुलन का समीकरण $P + f - mg \sin \theta = 0$ होता है,जहाँ $f$ स्थैतिक घर्षण बल है।
अतः,$f = mg \sin \theta - P$।
यह $y = -mx + c$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है,जो ऋणात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
जब $P = P_1 = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है,तो $f = mg \sin \theta - mg(\sin \theta - \mu \cos \theta) = \mu mg \cos \theta$।
जब $P = P_2 = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ है,तो $f = mg \sin \theta - mg(\sin \theta + \mu \cos \theta) = -\mu mg \cos \theta$।
जैसे-जैसे $P$,$P_1$ से $P_2$ तक बढ़ता है,घर्षण बल $f$,$\mu mg \cos \theta$ से $-\mu mg \cos \theta$ तक रैखिक रूप से घटता है।
यह विकल्प $A$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।
जब समतल के समानांतर $P$ बल लगाया जाता है,तो संतुलन का समीकरण $P + f - mg \sin \theta = 0$ होता है,जहाँ $f$ स्थैतिक घर्षण बल है।
अतः,$f = mg \sin \theta - P$।
यह $y = -mx + c$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है,जो ऋणात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
जब $P = P_1 = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है,तो $f = mg \sin \theta - mg(\sin \theta - \mu \cos \theta) = \mu mg \cos \theta$।
जब $P = P_2 = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ है,तो $f = mg \sin \theta - mg(\sin \theta + \mu \cos \theta) = -\mu mg \cos \theta$।
जैसे-जैसे $P$,$P_1$ से $P_2$ तक बढ़ता है,घर्षण बल $f$,$\mu mg \cos \theta$ से $-\mu mg \cos \theta$ तक रैखिक रूप से घटता है।
यह विकल्प $A$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।
0 likesView Solution
2
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
$M$ द्रव्यमान वाली एक पतली समान वलयाकार डिस्क (चित्र देखें) की बाहरी त्रिज्या $4 R$ और आंतरिक त्रिज्या $3 R$ है। इकाई द्रव्यमान को इसके अक्ष पर स्थित बिंदु $P$ से अनंत तक ले जाने के लिए आवश्यक कार्य है
A
$\frac{2 GM}{7 R}(4 \sqrt{2}-5)$
B
$-\frac{2 GM}{7 R}(4 \sqrt{2}-5)$
C
$\frac{GM}{4 R}$
D
$\frac{2 GM}{5 R}(\sqrt{2}-1)$
Solution
(A) वलयाकार डिस्क का पृष्ठीय द्रव्यमान घनत्व $\sigma = \frac{M}{\pi(4R)^2 - \pi(3R)^2} = \frac{M}{7\pi R^2}$ है।
$r$ त्रिज्या और $dr$ चौड़ाई वाले एक पतले वलय तत्व पर विचार करें। इस तत्व का द्रव्यमान $dm = \sigma (2\pi r dr)$ है।
इस वलय के कारण बिंदु $P$ (केंद्र से $h=4R$ की दूरी पर) पर गुरुत्वाकर्षण विभव $V_P$ है: $dV_P = -\frac{G dm}{\sqrt{r^2 + h^2}} = -\frac{G \sigma 2\pi r dr}{\sqrt{r^2 + (4R)^2}}$।
$r=3R$ से $r=4R$ तक समाकलन करने पर:
$V_P = -\int_{3R}^{4R} \frac{G \sigma 2\pi r dr}{\sqrt{r^2 + 16R^2}} = -2\pi G \sigma [\sqrt{r^2 + 16R^2}]_{3R}^{4R}$।
$V_P = -2\pi G \left(\frac{M}{7\pi R^2}\right) [\sqrt{16R^2 + 16R^2} - \sqrt{9R^2 + 16R^2}] = -\frac{2GM}{7R^2} [4R\sqrt{2} - 5R] = -\frac{2GM}{7R}(4\sqrt{2}-5)$।
इकाई द्रव्यमान को $P$ से अनंत तक ले जाने के लिए आवश्यक कार्य $W = U_{\infty} - U_P = 1 \cdot V_{\infty} - 1 \cdot V_P = 0 - V_P = -V_P$ है।
अतः,$W = \frac{2GM}{7R}(4\sqrt{2}-5)$।
$r$ त्रिज्या और $dr$ चौड़ाई वाले एक पतले वलय तत्व पर विचार करें। इस तत्व का द्रव्यमान $dm = \sigma (2\pi r dr)$ है।
इस वलय के कारण बिंदु $P$ (केंद्र से $h=4R$ की दूरी पर) पर गुरुत्वाकर्षण विभव $V_P$ है: $dV_P = -\frac{G dm}{\sqrt{r^2 + h^2}} = -\frac{G \sigma 2\pi r dr}{\sqrt{r^2 + (4R)^2}}$।
$r=3R$ से $r=4R$ तक समाकलन करने पर:
$V_P = -\int_{3R}^{4R} \frac{G \sigma 2\pi r dr}{\sqrt{r^2 + 16R^2}} = -2\pi G \sigma [\sqrt{r^2 + 16R^2}]_{3R}^{4R}$।
$V_P = -2\pi G \left(\frac{M}{7\pi R^2}\right) [\sqrt{16R^2 + 16R^2} - \sqrt{9R^2 + 16R^2}] = -\frac{2GM}{7R^2} [4R\sqrt{2} - 5R] = -\frac{2GM}{7R}(4\sqrt{2}-5)$।
इकाई द्रव्यमान को $P$ से अनंत तक ले जाने के लिए आवश्यक कार्य $W = U_{\infty} - U_P = 1 \cdot V_{\infty} - 1 \cdot V_P = 0 - V_P = -V_P$ है।
अतः,$W = \frac{2GM}{7R}(4\sqrt{2}-5)$।
0 likesView Solution
3
PhysicsEasyMCQIIT JEE · 2010
एक वास्तविक गैस एक आदर्श गैस की तरह व्यवहार करती है यदि इसका
A
दाब और तापमान दोनों उच्च हों
B
दाब और तापमान दोनों निम्न हों
C
दाब उच्च और तापमान निम्न हो
D
दाब निम्न और तापमान उच्च हो
Solution
(D) एक वास्तविक गैस वैन डेर वाल्स समीकरण का पालन करती है:
$(P + \frac{an^2}{V^2})(V - nb) = nRT$
उच्च तापमान पर,गैस के अणुओं की गतिज ऊर्जा बहुत अधिक होती है,जिससे अंतर-आणविक आकर्षण बल नगण्य हो जाते हैं।
निम्न दाब पर,गैस का आयतन बहुत बड़ा होता है,जिससे गैस के अणुओं द्वारा घेरा गया आयतन $(nb)$ कुल आयतन $(V)$ की तुलना में नगण्य हो जाता है।
इन स्थितियों (उच्च तापमान और निम्न दाब) के तहत,वैन डेर वाल्स समीकरण आदर्श गैस समीकरण में सरल हो जाता है: $PV = nRT$।
इसलिए,एक वास्तविक गैस निम्न दाब और उच्च तापमान पर एक आदर्श गैस की तरह व्यवहार करती है।
$(P + \frac{an^2}{V^2})(V - nb) = nRT$
उच्च तापमान पर,गैस के अणुओं की गतिज ऊर्जा बहुत अधिक होती है,जिससे अंतर-आणविक आकर्षण बल नगण्य हो जाते हैं।
निम्न दाब पर,गैस का आयतन बहुत बड़ा होता है,जिससे गैस के अणुओं द्वारा घेरा गया आयतन $(nb)$ कुल आयतन $(V)$ की तुलना में नगण्य हो जाता है।
इन स्थितियों (उच्च तापमान और निम्न दाब) के तहत,वैन डेर वाल्स समीकरण आदर्श गैस समीकरण में सरल हो जाता है: $PV = nRT$।
इसलिए,एक वास्तविक गैस निम्न दाब और उच्च तापमान पर एक आदर्श गैस की तरह व्यवहार करती है।
0 likesView Solution
4
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2010
$1 \, kg$ का एक बिंदु द्रव्यमान $5 \, kg$ के स्थिर बिंदु द्रव्यमान के साथ प्रत्यास्थ रूप से टकराता है। टक्कर के बाद, $1 \, kg$ द्रव्यमान अपनी दिशा उलट देता है और $2 \, m/s$ की गति से चलता है। इन दो द्रव्यमानों की प्रणाली के लिए निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
$(A)$ प्रणाली का कुल संवेग $3 \, kg \cdot m/s$ है
$(B)$ टक्कर के बाद $5 \, kg$ द्रव्यमान का संवेग $4 \, kg \cdot m/s$ है
$(C)$ द्रव्यमान केंद्र की गतिज ऊर्जा $0.75 \, J$ है
$(D)$ प्रणाली की कुल गतिज ऊर्जा $4 \, J$ है
$(A)$ प्रणाली का कुल संवेग $3 \, kg \cdot m/s$ है
$(B)$ टक्कर के बाद $5 \, kg$ द्रव्यमान का संवेग $4 \, kg \cdot m/s$ है
$(C)$ द्रव्यमान केंद्र की गतिज ऊर्जा $0.75 \, J$ है
$(D)$ प्रणाली की कुल गतिज ऊर्जा $4 \, J$ है
A
$(A, C)$
B
$(B, D)$
C
$(C, D)$
D
$(A, D)$
Solution
(A) माना $1 \, kg$ द्रव्यमान का प्रारंभिक वेग $u$ है और $5 \, kg$ द्रव्यमान का अंतिम वेग $v$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $1 \cdot u + 5 \cdot 0 = 1 \cdot (-2) + 5 \cdot v \implies u = 5v - 2$ ... $(i)$
न्यूटन के टक्कर के प्रायोगिक नियम से (प्रत्यास्थ टक्कर के लिए, प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1$): $v - (-2) = 1 \cdot (u - 0) \implies u = v + 2$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर: $5v - 2 = v + 2 \implies 4v = 4 \implies v = 1 \, m/s$. अतः $u = 3 \, m/s$.
$(A)$ कुल संवेग $P = 1 \cdot u = 1 \cdot 3 = 3 \, kg \cdot m/s$. (सही)
$(B)$ $5 \, kg$ द्रव्यमान का संवेग $= 5 \cdot v = 5 \cdot 1 = 5 \, kg \cdot m/s$. (गलत)
$(C)$ द्रव्यमान केंद्र का वेग $v_{cm} = \frac{m_1 u_1 + m_2 u_2}{m_1 + m_2} = \frac{1 \cdot 3 + 5 \cdot 0}{1 + 5} = 0.5 \, m/s$. द्रव्यमान केंद्र की गतिज ऊर्जा $= \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_{cm}^2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (0.5)^2 = 3 \cdot 0.25 = 0.75 \, J$. (सही)
$(D)$ कुल गतिज ऊर्जा $= \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (-2)^2 + \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (1)^2 = 2 + 2.5 = 4.5 \, J$. (गलत)
अतः, कथन $(A)$ और $(C)$ सही हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $1 \cdot u + 5 \cdot 0 = 1 \cdot (-2) + 5 \cdot v \implies u = 5v - 2$ ... $(i)$
न्यूटन के टक्कर के प्रायोगिक नियम से (प्रत्यास्थ टक्कर के लिए, प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1$): $v - (-2) = 1 \cdot (u - 0) \implies u = v + 2$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर: $5v - 2 = v + 2 \implies 4v = 4 \implies v = 1 \, m/s$. अतः $u = 3 \, m/s$.
$(A)$ कुल संवेग $P = 1 \cdot u = 1 \cdot 3 = 3 \, kg \cdot m/s$. (सही)
$(B)$ $5 \, kg$ द्रव्यमान का संवेग $= 5 \cdot v = 5 \cdot 1 = 5 \, kg \cdot m/s$. (गलत)
$(C)$ द्रव्यमान केंद्र का वेग $v_{cm} = \frac{m_1 u_1 + m_2 u_2}{m_1 + m_2} = \frac{1 \cdot 3 + 5 \cdot 0}{1 + 5} = 0.5 \, m/s$. द्रव्यमान केंद्र की गतिज ऊर्जा $= \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_{cm}^2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (0.5)^2 = 3 \cdot 0.25 = 0.75 \, J$. (सही)
$(D)$ कुल गतिज ऊर्जा $= \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (-2)^2 + \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (1)^2 = 2 + 2.5 = 4.5 \, J$. (गलत)
अतः, कथन $(A)$ और $(C)$ सही हैं।
0 likesView Solution
5
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2010
एक मोल आदर्श गैस प्रारंभिक अवस्था $A$ में एक चक्रीय प्रक्रिया $ABCA$ से गुजरती है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। $A$ पर इसका दाब $P_0$ है। निम्नलिखित में से सही विकल्प चुनें:
$(A)$ $A$ और $B$ पर आंतरिक ऊर्जा समान है
$(B)$ प्रक्रिया $AB$ में गैस द्वारा किया गया कार्य $P_0 V_0 \ln 4$ है
$(C)$ $C$ पर दाब $\frac{P_0}{4}$ है
$(D)$ $C$ पर तापमान $\frac{T_0}{4}$ है
$(A)$ $A$ और $B$ पर आंतरिक ऊर्जा समान है
$(B)$ प्रक्रिया $AB$ में गैस द्वारा किया गया कार्य $P_0 V_0 \ln 4$ है
$(C)$ $C$ पर दाब $\frac{P_0}{4}$ है
$(D)$ $C$ पर तापमान $\frac{T_0}{4}$ है
A
$(B, D)$
B
$(A, D)$
C
$(A, B)$
D
$(B, C)$
Solution
(A) $V-T$ ग्राफ से:
$1$. प्रक्रिया $AB$ एक समतापीय प्रक्रिया है (क्योंकि $T$ स्थिर $T_0$ है)। चूंकि $T_A = T_B = T_0$,इसलिए आंतरिक ऊर्जा $U = nC_vT$ $A$ और $B$ पर समान है। अतः,$(A)$ सही है।
$2$. प्रक्रिया $AB$ में,तापमान $T_0$ स्थिर रहता है और आयतन $V_0$ से $4V_0$ हो जाता है। कार्य $W = nRT_0 \ln(V_f/V_i) = P_0 V_0 \ln(4V_0/V_0) = P_0 V_0 \ln 4$ है। अतः,$(B)$ सही है।
$3$. प्रक्रिया $BC$ $V-T$ ग्राफ में मूल बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा है,इसलिए $V \propto T$,जो एक समदाबी प्रक्रिया है। $P_B = RT_0/4V_0 = P_0/4$। चूंकि $BC$ समदाबी है,$P_C = P_B = P_0/4$। अतः,$(C)$ सही है।
$4$. प्रक्रिया $CA$ में $V$ स्थिर $V_0$ है। $P_C = P_0/4$ और $V_C = V_0$। $PV=nRT$ से,$(P_0/4) V_0 = RT_C$। चूंकि $P_0 V_0 = RT_0$,इसलिए $T_C = T_0/4$। अतः,$(D)$ सही है।
$1$. प्रक्रिया $AB$ एक समतापीय प्रक्रिया है (क्योंकि $T$ स्थिर $T_0$ है)। चूंकि $T_A = T_B = T_0$,इसलिए आंतरिक ऊर्जा $U = nC_vT$ $A$ और $B$ पर समान है। अतः,$(A)$ सही है।
$2$. प्रक्रिया $AB$ में,तापमान $T_0$ स्थिर रहता है और आयतन $V_0$ से $4V_0$ हो जाता है। कार्य $W = nRT_0 \ln(V_f/V_i) = P_0 V_0 \ln(4V_0/V_0) = P_0 V_0 \ln 4$ है। अतः,$(B)$ सही है।
$3$. प्रक्रिया $BC$ $V-T$ ग्राफ में मूल बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा है,इसलिए $V \propto T$,जो एक समदाबी प्रक्रिया है। $P_B = RT_0/4V_0 = P_0/4$। चूंकि $BC$ समदाबी है,$P_C = P_B = P_0/4$। अतः,$(C)$ सही है।
$4$. प्रक्रिया $CA$ में $V$ स्थिर $V_0$ है। $P_C = P_0/4$ और $V_C = V_0$। $PV=nRT$ से,$(P_0/4) V_0 = RT_C$। चूंकि $P_0 V_0 = RT_0$,इसलिए $T_C = T_0/4$। अतः,$(D)$ सही है।
0 likesView Solution
6
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2010
एक छात्र गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g$ निर्धारित करने के लिए ठीक $1 \ m$ लंबाई वाले एक सरल लोलक का उपयोग करता है। वह इसके लिए $1 \ s$ के अल्पतमांक (least count) वाली स्टॉपवॉच का उपयोग करता है और $20$ दोलनों के लिए $40 \ s$ रिकॉर्ड करता है। इस अवलोकन के लिए,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ समय अवधि $T$ को मापने में त्रुटि $\Delta T$ $0.05 \ s$ है
$(B)$ समय अवधि $T$ को मापने में त्रुटि $\Delta T$ $1 \ s$ है
$(C)$ $g$ के निर्धारण में प्रतिशत त्रुटि $5 \%$ है
$(D)$ $g$ के निर्धारण में प्रतिशत त्रुटि $2.5 \%$ है
$(A)$ समय अवधि $T$ को मापने में त्रुटि $\Delta T$ $0.05 \ s$ है
$(B)$ समय अवधि $T$ को मापने में त्रुटि $\Delta T$ $1 \ s$ है
$(C)$ $g$ के निर्धारण में प्रतिशत त्रुटि $5 \%$ है
$(D)$ $g$ के निर्धारण में प्रतिशत त्रुटि $2.5 \%$ है
A
$(B, D)$
B
$(A, D)$
C
$(C, D)$
D
$(A, C)$
Solution
(D) समय अवधि $T = \frac{t}{n}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $t = 40 \ s$ और $n = 20$ है।
स्टॉपवॉच का अल्पतमांक $\Delta t = 1 \ s$ दिया गया है।
समय अवधि $T$ में त्रुटि $\Delta T = \frac{\Delta t}{n} = \frac{1 \ s}{20} = 0.05 \ s$ है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण का सूत्र $g = \frac{4 \pi^2 L}{T^2}$ है।
$g$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta g}{g} = 2 \frac{\Delta T}{T}$ है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta g}{g} = 2 \times \frac{0.05}{2} = 0.05$।
$g$ में प्रतिशत त्रुटि $= \frac{\Delta g}{g} \times 100 = 0.05 \times 100 = 5 \%$ है। अतः,कथन $(C)$ सत्य है।
स्टॉपवॉच का अल्पतमांक $\Delta t = 1 \ s$ दिया गया है।
समय अवधि $T$ में त्रुटि $\Delta T = \frac{\Delta t}{n} = \frac{1 \ s}{20} = 0.05 \ s$ है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण का सूत्र $g = \frac{4 \pi^2 L}{T^2}$ है।
$g$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta g}{g} = 2 \frac{\Delta T}{T}$ है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta g}{g} = 2 \times \frac{0.05}{2} = 0.05$।
$g$ में प्रतिशत त्रुटि $= \frac{\Delta g}{g} \times 100 = 0.05 \times 100 = 5 \%$ है। अतः,कथन $(C)$ सत्य है।
0 likesView Solution
7
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
जब $m$ द्रव्यमान का एक कण $x$-अक्ष पर $V(x)=kx^2$ के रूप के विभव में गति करता है,तो यह सरल आवर्त गति करता है। इसका आवर्तकाल $\sqrt{\frac{m}{k}}$ के समानुपाती होता है,जिसे विमीय विश्लेषण का उपयोग करके आसानी से देखा जा सकता है। हालाँकि,कण की गति तब भी आवर्ती हो सकती है जब उसकी स्थितिज ऊर्जा $x=0$ के दोनों ओर $kx^2$ से अलग तरीके से बढ़ती है और उसकी कुल ऊर्जा ऐसी होती है कि कण अनंत तक पलायन नहीं करता है। $m$ द्रव्यमान के एक कण पर विचार करें जो $x$-अक्ष पर गति कर रहा है। इसकी स्थितिज ऊर्जा मूल बिंदु के निकट $|x|$ के लिए $V(x)=\alpha x^4$ $(\alpha>0)$ है और $|x| \geq X_0$ के लिए $V_0$ के बराबर एक स्थिरांक हो जाती है (चित्र देखें)।
$1.$ यदि कण की कुल ऊर्जा $E$ है,तो यह आवर्ती गति केवल तभी करेगा यदि
$(A)$ $E < 0$
$(B)$ $E > 0$
$(C)$ $V_0 > E > 0$
$(D)$ $E > V_0$
$2.$ छोटे आयाम $A$ की आवर्ती गति के लिए,इस कण का आवर्तकाल $T$ किसके समानुपाती है?
$(A)$ $A \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$
$(B)$ $\frac{1}{A} \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$
$(C)$ $A \sqrt{\frac{\alpha}{m}}$
$(D)$ $A \sqrt{\frac{\alpha}{m}}$
$3.$ $|x|>X_0$ के लिए इस कण का त्वरण है
$(A)$ $V_0$ के समानुपाती
$(B)$ $\frac{V_0}{mX_0}$ के समानुपाती
$(C)$ $\sqrt{\frac{V_0}{mX_0}}$ के समानुपाती
$(D)$ शून्य
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
$1.$ यदि कण की कुल ऊर्जा $E$ है,तो यह आवर्ती गति केवल तभी करेगा यदि
$(A)$ $E < 0$
$(B)$ $E > 0$
$(C)$ $V_0 > E > 0$
$(D)$ $E > V_0$
$2.$ छोटे आयाम $A$ की आवर्ती गति के लिए,इस कण का आवर्तकाल $T$ किसके समानुपाती है?
$(A)$ $A \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$
$(B)$ $\frac{1}{A} \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$
$(C)$ $A \sqrt{\frac{\alpha}{m}}$
$(D)$ $A \sqrt{\frac{\alpha}{m}}$
$3.$ $|x|>X_0$ के लिए इस कण का त्वरण है
$(A)$ $V_0$ के समानुपाती
$(B)$ $\frac{V_0}{mX_0}$ के समानुपाती
$(C)$ $\sqrt{\frac{V_0}{mX_0}}$ के समानुपाती
$(D)$ शून्य
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
A
$(A, B, C)$
B
$(C, B, D)$
C
$(C, B, A)$
D
$(A, C, D)$
Solution
(C) $1.$ आवर्ती गति के लिए,कण को विभव कूप (potential well) में फँसा होना चाहिए। चूँकि $V(x) \geq 0$ और जैसे $|x| \to X_0$ होता है,$V(x) \to V_0$ होता है,कण केवल तभी फँसा रहेगा यदि $0 < E < V_0$ हो। अतः,सही विकल्प $(C)$ है।
$2.$ स्थितिज ऊर्जा $V(x) = \alpha x^4$ है। कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m v^2 + \alpha x^4 = \alpha A^4$ है।
$v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2\alpha}{m} (A^4 - x^4)}$।
$T = 4 \int_0^A \frac{dx}{v} = 4 \sqrt{\frac{m}{2\alpha}} \int_0^A \frac{dx}{\sqrt{A^4 - x^4}}$।
माना $x = Au$,तो $dx = A du$।
$T = 4 \sqrt{\frac{m}{2\alpha}} \frac{1}{A} \int_0^1 \frac{du}{\sqrt{1 - u^4}}$।
अतः,$T \propto \frac{1}{A} \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$। सही विकल्प $(B)$ है।
$3.$ $|x| > X_0$ के लिए,स्थितिज ऊर्जा $V(x) = V_0$ (एक स्थिरांक) है। बल $F = -\frac{dV}{dx} = 0$ है। चूँकि $F = ma$,इसलिए त्वरण $a = 0$ है। सही विकल्प $(D)$ है।
$2.$ स्थितिज ऊर्जा $V(x) = \alpha x^4$ है। कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m v^2 + \alpha x^4 = \alpha A^4$ है।
$v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2\alpha}{m} (A^4 - x^4)}$।
$T = 4 \int_0^A \frac{dx}{v} = 4 \sqrt{\frac{m}{2\alpha}} \int_0^A \frac{dx}{\sqrt{A^4 - x^4}}$।
माना $x = Au$,तो $dx = A du$।
$T = 4 \sqrt{\frac{m}{2\alpha}} \frac{1}{A} \int_0^1 \frac{du}{\sqrt{1 - u^4}}$।
अतः,$T \propto \frac{1}{A} \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$। सही विकल्प $(B)$ है।
$3.$ $|x| > X_0$ के लिए,स्थितिज ऊर्जा $V(x) = V_0$ (एक स्थिरांक) है। बल $F = -\frac{dV}{dx} = 0$ है। चूँकि $F = ma$,इसलिए त्वरण $a = 0$ है। सही विकल्प $(D)$ है।
0 likesView Solution
8
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2010
एक ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $\frac{\sqrt{6}}{11} g$ है,जहाँ $g$ पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है। ग्रह का औसत द्रव्यमान घनत्व पृथ्वी के घनत्व का $\frac{2}{3}$ गुना है। यदि पृथ्वी की सतह पर पलायन वेग $11 \ km/s$ लिया जाए,तो ग्रह की सतह पर पलायन वेग $km/s$ में क्या होगा?
A
$2$
B
$3$
C
$8$
D
$9$
Solution
(B) गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{4}{3} \pi G \rho R$ है।
अतः,$\frac{g'}{g} = \frac{\rho' R'}{\rho R}$।
दिया गया है $\frac{g'}{g} = \frac{\sqrt{6}}{11}$ और $\frac{\rho'}{\rho} = \frac{2}{3}$,इसलिए $\frac{\sqrt{6}}{11} = \frac{2}{3} \cdot \frac{R'}{R}$,जिसका अर्थ है $\frac{R'}{R} = \frac{3\sqrt{6}}{22}$।
पलायन वेग $v_e = \sqrt{2gR} = \sqrt{2 (\frac{4}{3} \pi G \rho R) R} = R \sqrt{\frac{8}{3} \pi G \rho}$ है।
इसलिए,$\frac{v_e'}{v_e} = \frac{R'}{R} \sqrt{\frac{\rho'}{\rho}} = \left( \frac{3\sqrt{6}}{22} \right) \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{3\sqrt{6}}{22} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}\sqrt{3}}{22} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot 2}{22} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11}$।
दिया गया है $v_e = 11 \ km/s$,इसलिए $v_e' = 11 \cdot \frac{3}{11} = 3 \ km/s$।
अतः,$\frac{g'}{g} = \frac{\rho' R'}{\rho R}$।
दिया गया है $\frac{g'}{g} = \frac{\sqrt{6}}{11}$ और $\frac{\rho'}{\rho} = \frac{2}{3}$,इसलिए $\frac{\sqrt{6}}{11} = \frac{2}{3} \cdot \frac{R'}{R}$,जिसका अर्थ है $\frac{R'}{R} = \frac{3\sqrt{6}}{22}$।
पलायन वेग $v_e = \sqrt{2gR} = \sqrt{2 (\frac{4}{3} \pi G \rho R) R} = R \sqrt{\frac{8}{3} \pi G \rho}$ है।
इसलिए,$\frac{v_e'}{v_e} = \frac{R'}{R} \sqrt{\frac{\rho'}{\rho}} = \left( \frac{3\sqrt{6}}{22} \right) \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{3\sqrt{6}}{22} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}\sqrt{3}}{22} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot 2}{22} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11}$।
दिया गया है $v_e = 11 \ km/s$,इसलिए $v_e' = 11 \cdot \frac{3}{11} = 3 \ km/s$।
0 likesView Solution
9
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2010
$m$ ग्राम द्रव्यमान का बर्फ का एक टुकड़ा (विशिष्ट ऊष्मा $= 2100 \ J \ kg^{-1} \ ^{\circ}C^{-1}$ और गुप्त ऊष्मा $= 3.36 \times 10^5 \ J \ kg^{-1}$) वायुमंडलीय दबाव पर $-5^{\circ}C$ पर है। इसे $420 \ J$ ऊष्मा दी जाती है ताकि बर्फ पिघलना शुरू हो जाए। अंत में,जब बर्फ-पानी का मिश्रण संतुलन में होता है,तो यह पाया जाता है कि $1 \ g$ बर्फ पिघल गई है। यह मानते हुए कि प्रक्रिया में कोई अन्य ऊष्मा विनिमय नहीं होता है,$m$ का मान क्या है?
A
$7$
B
$8$
C
$9$
D
$5$
Solution
(B) कुल ऊष्मा $Q = 420 \ J$ का उपयोग दो प्रक्रियाओं के लिए किया जाता है:
$1$. पूरे द्रव्यमान $m$ (ग्राम में) का तापमान $-5^{\circ}C$ से $0^{\circ}C$ तक बढ़ाने के लिए।
$2$. $0^{\circ}C$ पर $1 \ g$ बर्फ को पिघलाने के लिए।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m$ ग्राम में $= m \times 10^{-3} \ kg$.
बर्फ की विशिष्ट ऊष्मा $c = 2100 \ J \ kg^{-1} \ ^{\circ}C^{-1}$.
गलन की गुप्त ऊष्मा $L = 3.36 \times 10^5 \ J \ kg^{-1}$.
तापमान बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा: $Q_1 = m \times 10^{-3} \times 2100 \times (0 - (-5)) = m \times 2.1 \times 5 = 10.5m \ J$.
$1 \ g$ बर्फ पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा: $Q_2 = 1 \times 10^{-3} \times 3.36 \times 10^5 = 336 \ J$.
कुल ऊष्मा $Q = Q_1 + Q_2 = 420 \ J$.
$10.5m + 336 = 420$.
$10.5m = 420 - 336 = 84$.
$m = 84 / 10.5 = 8$.
अतः,$m$ का मान $8 \ g$ है।
$1$. पूरे द्रव्यमान $m$ (ग्राम में) का तापमान $-5^{\circ}C$ से $0^{\circ}C$ तक बढ़ाने के लिए।
$2$. $0^{\circ}C$ पर $1 \ g$ बर्फ को पिघलाने के लिए।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m$ ग्राम में $= m \times 10^{-3} \ kg$.
बर्फ की विशिष्ट ऊष्मा $c = 2100 \ J \ kg^{-1} \ ^{\circ}C^{-1}$.
गलन की गुप्त ऊष्मा $L = 3.36 \times 10^5 \ J \ kg^{-1}$.
तापमान बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा: $Q_1 = m \times 10^{-3} \times 2100 \times (0 - (-5)) = m \times 2.1 \times 5 = 10.5m \ J$.
$1 \ g$ बर्फ पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा: $Q_2 = 1 \times 10^{-3} \times 3.36 \times 10^5 = 336 \ J$.
कुल ऊष्मा $Q = Q_1 + Q_2 = 420 \ J$.
$10.5m + 336 = 420$.
$10.5m = 420 - 336 = 84$.
$m = 84 / 10.5 = 8$.
अतः,$m$ का मान $8 \ g$ है।
0 likesView Solution
10
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
एक स्थिर स्रोत $f_0$ आवृत्ति की ध्वनि उत्सर्जित कर रहा है,जो स्रोत की ओर आ रही दो कारों द्वारा परावर्तित होती है। कारों से परावर्तित ध्वनि की आवृत्तियों के बीच का अंतर $f_0$ का $1.2 \%$ है। कारों की चालों में अंतर ($km/h$ में) निकटतम पूर्णांक में क्या है? कारें ध्वनि की चाल $(330 \ m/s)$ से बहुत कम चाल से चल रही हैं।
A
$7$
B
$9$
C
$3$
D
$5$
Solution
(A) जब स्रोत स्थिर होता है और एक परावर्तक (कार) $v$ चाल से उसकी ओर आता है,तो कार द्वारा प्राप्त आवृत्ति $f' = f_0 \frac{c+v}{c}$ होती है।
यह आवृत्ति फिर स्रोत की ओर परावर्तित होती है। कार एक गतिमान स्रोत के रूप में कार्य करती है,इसलिए स्थिर स्रोत द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f'' = f' \frac{c}{c-v} = f_0 \frac{c+v}{c-v}$ होती है।
चूंकि $v \ll c$,हम द्विपद सन्निकटन का उपयोग करते हैं: $f'' = f_0 (1 + v/c)(1 - v/c)^{-1} \approx f_0 (1 + 2v/c)$।
एक कार के लिए आवृत्ति में परिवर्तन $\Delta f = f'' - f_0 = f_0 (2v/c)$ है।
दो कारों के लिए जिनकी चाल $v_1$ और $v_2$ है,परावर्तित आवृत्तियों का अंतर $\Delta f_{diff} = |f''_1 - f''_2| = f_0 \frac{2(v_1 - v_2)}{c}$ है।
दिया गया है $\Delta f_{diff} = 0.012 f_0$,इसलिए $0.012 f_0 = f_0 \frac{2 \Delta v}{c}$।
$\Delta v = 0.006 \times c = 0.006 \times 330 \ m/s = 1.98 \ m/s$।
$km/h$ में बदलने पर: $\Delta v = 1.98 \times 3.6 \ km/h \approx 7.128 \ km/h$।
निकटतम पूर्णांक $7 \ km/h$ है।
यह आवृत्ति फिर स्रोत की ओर परावर्तित होती है। कार एक गतिमान स्रोत के रूप में कार्य करती है,इसलिए स्थिर स्रोत द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f'' = f' \frac{c}{c-v} = f_0 \frac{c+v}{c-v}$ होती है।
चूंकि $v \ll c$,हम द्विपद सन्निकटन का उपयोग करते हैं: $f'' = f_0 (1 + v/c)(1 - v/c)^{-1} \approx f_0 (1 + 2v/c)$।
एक कार के लिए आवृत्ति में परिवर्तन $\Delta f = f'' - f_0 = f_0 (2v/c)$ है।
दो कारों के लिए जिनकी चाल $v_1$ और $v_2$ है,परावर्तित आवृत्तियों का अंतर $\Delta f_{diff} = |f''_1 - f''_2| = f_0 \frac{2(v_1 - v_2)}{c}$ है।
दिया गया है $\Delta f_{diff} = 0.012 f_0$,इसलिए $0.012 f_0 = f_0 \frac{2 \Delta v}{c}$।
$\Delta v = 0.006 \times c = 0.006 \times 330 \ m/s = 1.98 \ m/s$।
$km/h$ में बदलने पर: $\Delta v = 1.98 \times 3.6 \ km/h \approx 7.128 \ km/h$।
निकटतम पूर्णांक $7 \ km/h$ है।
0 likesView Solution
11
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
दो गोलाकार पिंड $A$ (त्रिज्या $6 \,cm$) और $B$ (त्रिज्या $18 \,cm$) क्रमशः $T_1$ और $T_2$ तापमान पर हैं। $A$ के उत्सर्जन स्पेक्ट्रम में अधिकतम तीव्रता $500 \,nm$ पर है और $B$ के उत्सर्जन स्पेक्ट्रम में $1500 \,nm$ पर है। उन्हें कृष्णिका (black bodies) मानते हुए,$A$ द्वारा विकिरित कुल ऊर्जा की दर और $B$ द्वारा विकिरित कुल ऊर्जा की दर का अनुपात क्या होगा?
A
$9$
B
$8$
C
$6$
D
$5$
Solution
(A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_m T = \text{स्थिरांक}$,इसलिए $\lambda_A T_A = \lambda_B T_B$ है।
दिया गया है $\lambda_A = 500 \,nm$ और $\lambda_B = 1500 \,nm$,अतः $500 T_A = 1500 T_B$,जिसका अर्थ है $T_A / T_B = 3$।
एक कृष्णिका द्वारा विकिरित कुल ऊर्जा की दर $P = \sigma A T^4 = \sigma (4 \pi r^2) T^4$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,$A$ और $B$ द्वारा विकिरित शक्ति का अनुपात $\frac{P_A}{P_B} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right)^2 \left( \frac{T_A}{T_B} \right)^4$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{P_A}{P_B} = \left( \frac{6}{18} \right)^2 \times (3)^4 = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \times 81 = \frac{1}{9} \times 81 = 9$।
दिया गया है $\lambda_A = 500 \,nm$ और $\lambda_B = 1500 \,nm$,अतः $500 T_A = 1500 T_B$,जिसका अर्थ है $T_A / T_B = 3$।
एक कृष्णिका द्वारा विकिरित कुल ऊर्जा की दर $P = \sigma A T^4 = \sigma (4 \pi r^2) T^4$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,$A$ और $B$ द्वारा विकिरित शक्ति का अनुपात $\frac{P_A}{P_B} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right)^2 \left( \frac{T_A}{T_B} \right)^4$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{P_A}{P_B} = \left( \frac{6}{18} \right)^2 \times (3)^4 = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \times 81 = \frac{1}{9} \times 81 = 9$।
0 likesView Solution
12
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2010
जब दो प्रगामी तरंगें $y_1=4 \sin (2 x-6 t)$ और $y_2=3 \sin \left(2 x-6 t-\frac{\pi}{2}\right)$ अध्यारोपित होती हैं,तो परिणामी तरंग का आयाम क्या होगा?
A
$5$
B
$6$
C
$7$
D
$2$
Solution
(A) दो प्रगामी तरंगों के दिए गए समीकरण $y_1 = 4 \sin(2x - 6t)$ और $y_2 = 3 \sin(2x - 6t - \pi/2)$ हैं।
इन्हें मानक रूप $y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ से तुलना करने पर,हमें आयाम $A_1 = 4$ और $A_2 = 3$ प्राप्त होते हैं।
दोनों तरंगों के बीच का कलांतर $\Delta\phi = \pi/2$ है।
दो अध्यारोपित तरंगों का परिणामी आयाम $A$ ज्ञात करने का सूत्र $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\Delta\phi)}$ है।
मान रखने पर,$A = \sqrt{4^2 + 3^2 + 2(4)(3) \cos(\pi/2)}$.
चूंकि $\cos(\pi/2) = 0$ है,इसलिए $A = \sqrt{16 + 9 + 0} = \sqrt{25} = 5$.
इन्हें मानक रूप $y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ से तुलना करने पर,हमें आयाम $A_1 = 4$ और $A_2 = 3$ प्राप्त होते हैं।
दोनों तरंगों के बीच का कलांतर $\Delta\phi = \pi/2$ है।
दो अध्यारोपित तरंगों का परिणामी आयाम $A$ ज्ञात करने का सूत्र $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\Delta\phi)}$ है।
मान रखने पर,$A = \sqrt{4^2 + 3^2 + 2(4)(3) \cos(\pi/2)}$.
चूंकि $\cos(\pi/2) = 0$ है,इसलिए $A = \sqrt{16 + 9 + 0} = \sqrt{25} = 5$.
0 likesView Solution
13
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
$0.1 \,kg$ द्रव्यमान को नगण्य द्रव्यमान वाले तार से लटकाया गया है। तार की लंबाई $1 \,m$ है और इसका अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $4.9 \times 10^{-7} \,m^2$ है। यदि द्रव्यमान को थोड़ा नीचे की ओर खींचकर छोड़ दिया जाए, तो यह $140 \,rad \,s^{-1}$ की कोणीय आवृत्ति के साथ सरल आवर्त गति करता है। यदि तार के पदार्थ का यंग मापांक $n \times 10^9 \,N \,m^{-2}$ है, तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$1$
B
$2$
C
$4$
D
$5$
Solution
(C) $L$ लंबाई, $A$ क्षेत्रफल और $Y$ यंग मापांक वाले तार से लटके $m$ द्रव्यमान की कोणीय आवृत्ति $\omega$ का सूत्र $\omega = \sqrt{\frac{YA}{mL}}$ है。
दिया गया है: $m = 0.1 \,kg$, $L = 1 \,m$, $A = 4.9 \times 10^{-7} \,m^2$, $\omega = 140 \,rad \,s^{-1}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\omega^2 = \frac{YA}{mL}$.
$Y$ के लिए हल करने पर: $Y = \frac{\omega^2 mL}{A}$.
मान रखने पर: $Y = \frac{(140)^2 \times 0.1 \times 1}{4.9 \times 10^{-7}} = \frac{19600 \times 0.1}{4.9 \times 10^{-7}} = \frac{1960}{4.9 \times 10^{-7}} = 400 \times 10^7 = 4 \times 10^9 \,N \,m^{-2}$.
इसे $n \times 10^9 \,N \,m^{-2}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $n = 4$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: $m = 0.1 \,kg$, $L = 1 \,m$, $A = 4.9 \times 10^{-7} \,m^2$, $\omega = 140 \,rad \,s^{-1}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\omega^2 = \frac{YA}{mL}$.
$Y$ के लिए हल करने पर: $Y = \frac{\omega^2 mL}{A}$.
मान रखने पर: $Y = \frac{(140)^2 \times 0.1 \times 1}{4.9 \times 10^{-7}} = \frac{19600 \times 0.1}{4.9 \times 10^{-7}} = \frac{1960}{4.9 \times 10^{-7}} = 400 \times 10^7 = 4 \times 10^9 \,N \,m^{-2}$.
इसे $n \times 10^9 \,N \,m^{-2}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $n = 4$ प्राप्त होता है।
0 likesView Solution
14
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2010
एक बाइनरी तारा प्रणाली में दो तारे $A$ (द्रव्यमान $M_A = 2.2 M_S$) और $B$ (द्रव्यमान $M_B = 11 M_S$) हैं,जहाँ $M_S$ सूर्य का द्रव्यमान है। वे $d$ दूरी पर स्थित हैं और अपने सामान्य द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर घूम रहे हैं,जो स्थिर है। द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष तारे $A$ के कोणीय संवेग और तारे $B$ के कोणीय संवेग का अनुपात क्या है?
A
$1/25$
B
$1$
C
$5$
D
$25$
Solution
(C) अपने सामान्य द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर घूमने वाली बाइनरी तारा प्रणाली में,दोनों तारों का कोणीय वेग $\omega$ समान होता है।
द्रव्यमान केंद्र से तारे $A$ की दूरी $r_A$ है और तारे $B$ की दूरी $r_B$ है।
द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा के अनुसार,$M_A r_A = M_B r_B$,जिसका अर्थ है $r_A / r_B = M_B / M_A$।
द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष एक कण का कोणीय संवेग $L = mvr = mr^2\omega$ द्वारा दिया जाता है।
इस प्रकार,तारे $A$ का कोणीय संवेग $L_A = M_A r_A^2 \omega$ है और तारे $B$ के लिए $L_B = M_B r_B^2 \omega$ है।
कोणीय संवेग का अनुपात $L_A / L_B = (M_A r_A^2) / (M_B r_B^2) = (M_A r_A) r_A / (M_B r_B) r_B$ है।
चूंकि $M_A r_A = M_B r_B$,अनुपात सरल होकर $L_A / L_B = r_A / r_B = M_B / M_A$ हो जाता है।
दिया गया है कि $M_A = 2.2 M_S$ और $M_B = 11 M_S$,इसलिए अनुपात $L_A / L_B = 11 / 2.2 = 5$ है।
द्रव्यमान केंद्र से तारे $A$ की दूरी $r_A$ है और तारे $B$ की दूरी $r_B$ है।
द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा के अनुसार,$M_A r_A = M_B r_B$,जिसका अर्थ है $r_A / r_B = M_B / M_A$।
द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष एक कण का कोणीय संवेग $L = mvr = mr^2\omega$ द्वारा दिया जाता है।
इस प्रकार,तारे $A$ का कोणीय संवेग $L_A = M_A r_A^2 \omega$ है और तारे $B$ के लिए $L_B = M_B r_B^2 \omega$ है।
कोणीय संवेग का अनुपात $L_A / L_B = (M_A r_A^2) / (M_B r_B^2) = (M_A r_A) r_A / (M_B r_B) r_B$ है।
चूंकि $M_A r_A = M_B r_B$,अनुपात सरल होकर $L_A / L_B = r_A / r_B = M_B / M_A$ हो जाता है।
दिया गया है कि $M_A = 2.2 M_S$ और $M_B = 11 M_S$,इसलिए अनुपात $L_A / L_B = 11 / 2.2 = 5$ है।
0 likesView Solution
15
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
एक आदर्श गैस के एक मोल को नीचे दिए गए ग्राफ में ठोस और टूटी हुई रेखाओं द्वारा दर्शाए गए दो रास्तों के माध्यम से $a$ से $b$ तक ले जाया जाता है। यदि ठोस रेखा के रास्ते पर किया गया कार्य $w_s$ है और बिंदीदार रेखा के रास्ते पर किया गया कार्य $w_d$ है,तो अनुपात $w_d / w_s$ के सबसे निकटतम पूर्णांक क्या है?
A
$5$
B
$7$
C
$2$
D
$1$
Solution
(C) $P-V$ ग्राफ में किया गया कार्य वक्र के नीचे का क्षेत्रफल होता है।
बिंदीदार रास्ते $(w_d)$ के लिए: यह रास्ता तीन आयताकार चरणों से बना है।
चरण $1$: $P = 4 \text{ atm}$,$\Delta V = (2.0 - 0.5) \text{ L} = 1.5 \text{ L}$. कार्य = $4 \times 1.5 = 6 \text{ L-atm}$.
चरण $2$: $P = 1 \text{ atm}$,$\Delta V = (3.0 - 2.0) \text{ L} = 1.0 \text{ L}$. कार्य = $1 \times 1.0 = 1 \text{ L-atm}$.
चरण $3$: $P = 0.6 \text{ atm}$ (लगभग),$\Delta V = (5.5 - 3.0) \text{ L} = 2.5 \text{ L}$. कार्य = $0.6 \times 2.5 = 1.5 \text{ L-atm}$.
कुल $w_d = 6 + 1 + 1.5 = 8.5 \text{ L-atm}$.
ठोस रास्ते $(w_s)$ के लिए: यह रास्ता एक समतापीय प्रक्रिया है। समीकरण $PV = k$ है। बिंदु $a$ पर,$P=4, V=0.5$,इसलिए $k = 2 \text{ L-atm}$.
$w_s = \int_{V_a}^{V_b} P \, dV = \int_{0.5}^{5.5} \frac{k}{V} \, dV = k \ln\left(\frac{V_b}{V_a}\right) = 2 \times 2.303 \log_{10}\left(\frac{5.5}{0.5}\right) = 4.606 \log_{10}(11) \approx 4.606 \times 1.0414 \approx 4.797 \text{ L-atm}$.
अनुपात $w_d / w_s = 8.5 / 4.797 \approx 1.77$.
$1.77$ के सबसे निकटतम पूर्णांक $2$ है।
बिंदीदार रास्ते $(w_d)$ के लिए: यह रास्ता तीन आयताकार चरणों से बना है।
चरण $1$: $P = 4 \text{ atm}$,$\Delta V = (2.0 - 0.5) \text{ L} = 1.5 \text{ L}$. कार्य = $4 \times 1.5 = 6 \text{ L-atm}$.
चरण $2$: $P = 1 \text{ atm}$,$\Delta V = (3.0 - 2.0) \text{ L} = 1.0 \text{ L}$. कार्य = $1 \times 1.0 = 1 \text{ L-atm}$.
चरण $3$: $P = 0.6 \text{ atm}$ (लगभग),$\Delta V = (5.5 - 3.0) \text{ L} = 2.5 \text{ L}$. कार्य = $0.6 \times 2.5 = 1.5 \text{ L-atm}$.
कुल $w_d = 6 + 1 + 1.5 = 8.5 \text{ L-atm}$.
ठोस रास्ते $(w_s)$ के लिए: यह रास्ता एक समतापीय प्रक्रिया है। समीकरण $PV = k$ है। बिंदु $a$ पर,$P=4, V=0.5$,इसलिए $k = 2 \text{ L-atm}$.
$w_s = \int_{V_a}^{V_b} P \, dV = \int_{0.5}^{5.5} \frac{k}{V} \, dV = k \ln\left(\frac{V_b}{V_a}\right) = 2 \times 2.303 \log_{10}\left(\frac{5.5}{0.5}\right) = 4.606 \log_{10}(11) \approx 4.606 \times 1.0414 \approx 4.797 \text{ L-atm}$.
अनुपात $w_d / w_s = 8.5 / 4.797 \approx 1.77$.
$1.77$ के सबसे निकटतम पूर्णांक $2$ है।
0 likesView Solution
16
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2010
$2 \ kg$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक $x$-अक्ष के अनुदिश गति करने के लिए स्वतंत्र है। यह विराम अवस्था में है और $t=0$ से आगे इस पर $x$ दिशा में एक समय-निर्भर बल $F(t)$ लगाया जाता है। बल $F(t)$,$t$ के साथ चित्र में दिखाए अनुसार बदलता है। $4.5 \ s$ के बाद ब्लॉक की गतिज ऊर्जा क्या है ($J$ में)?
A
$4.50$
B
$7.50$
C
$5.06$
D
$14.06$
Solution
(C) ब्लॉक को दिया गया आवेग (impulse),$F-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
आवेग $J = \int F \ dt = (t=0 \text{ से } 3 \ s \text{ तक के त्रिभुज का क्षेत्रफल}) - (t=3 \text{ से } 4.5 \ s \text{ तक के त्रिभुज का क्षेत्रफल})$.
$t=0$ पर,$F=4 \ N$. रेखा की ढाल $m = \frac{0-4}{3-0} = -\frac{4}{3} \ N/s$ है।
अतः,$F(t) = 4 - \frac{4}{3}t$.
$t=4.5 \ s$ पर,$F(4.5) = 4 - \frac{4}{3}(4.5) = 4 - 6 = -2 \ N$.
आवेग $J = \left(\frac{1}{2} \times 3 \times 4\right) - \left(\frac{1}{2} \times (4.5-3) \times 2\right) = 6 - 1.5 = 4.5 \ kg \cdot m/s$.
चूंकि ब्लॉक विराम अवस्था से शुरू होता है,अंतिम संवेग $p = J = 4.5 \ kg \cdot m/s$.
गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{p^2}{2m} = \frac{(4.5)^2}{2 \times 2} = \frac{20.25}{4} = 5.0625 \ J \approx 5.06 \ J$.
आवेग $J = \int F \ dt = (t=0 \text{ से } 3 \ s \text{ तक के त्रिभुज का क्षेत्रफल}) - (t=3 \text{ से } 4.5 \ s \text{ तक के त्रिभुज का क्षेत्रफल})$.
$t=0$ पर,$F=4 \ N$. रेखा की ढाल $m = \frac{0-4}{3-0} = -\frac{4}{3} \ N/s$ है।
अतः,$F(t) = 4 - \frac{4}{3}t$.
$t=4.5 \ s$ पर,$F(4.5) = 4 - \frac{4}{3}(4.5) = 4 - 6 = -2 \ N$.
आवेग $J = \left(\frac{1}{2} \times 3 \times 4\right) - \left(\frac{1}{2} \times (4.5-3) \times 2\right) = 6 - 1.5 = 4.5 \ kg \cdot m/s$.
चूंकि ब्लॉक विराम अवस्था से शुरू होता है,अंतिम संवेग $p = J = 4.5 \ kg \cdot m/s$.
गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{p^2}{2m} = \frac{(4.5)^2}{2 \times 2} = \frac{20.25}{4} = 5.0625 \ J \approx 5.06 \ J$.
0 likesView Solution
17
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
एक वर्नियर कैलिपर्स के मुख्य पैमाने पर $1 \,mm$ के निशान हैं। इसके वर्नियर पैमाने पर $20$ समान भाग हैं जो मुख्य पैमाने के $16$ भागों के साथ मेल खाते हैं। इस वर्नियर कैलिपर्स के लिए अल्पतमांक (Least Count) क्या है ($\,mm$ में)?
A
$0.02$
B
$0.05$
C
$0.1$
D
$0.2$
Solution
(D) वर्नियर कैलिपर्स का अल्पतमांक $(L.C.)$ एक मुख्य पैमाने के भाग $(1 \,M.S.D.)$ और एक वर्नियर पैमाने के भाग $(1 \,V.S.D.)$ के बीच का अंतर होता है।
दिया गया है कि $1 \,M.S.D. = 1 \,mm$.
हमें दिया गया है कि $20 \,V.S.D. = 16 \,M.S.D.$
इसलिए, $1 \,V.S.D. = \frac{16}{20} \,M.S.D. = 0.8 \,M.S.D.$
अब, $L.C. = 1 \,M.S.D. - 1 \,V.S.D.$
$L.C. = 1 \,M.S.D. - 0.8 \,M.S.D. = 0.2 \,M.S.D.$
चूंकि $1 \,M.S.D. = 1 \,mm$, इसलिए अल्पतमांक $0.2 \,mm$ है।
दिया गया है कि $1 \,M.S.D. = 1 \,mm$.
हमें दिया गया है कि $20 \,V.S.D. = 16 \,M.S.D.$
इसलिए, $1 \,V.S.D. = \frac{16}{20} \,M.S.D. = 0.8 \,M.S.D.$
अब, $L.C. = 1 \,M.S.D. - 1 \,V.S.D.$
$L.C. = 1 \,M.S.D. - 0.8 \,M.S.D. = 0.2 \,M.S.D.$
चूंकि $1 \,M.S.D. = 1 \,mm$, इसलिए अल्पतमांक $0.2 \,mm$ है।
0 likesView Solution
18
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2010
एक द्विपरमाणुक आदर्श गैस को रुद्धोष्म (adiabatically) रूप से उसके प्रारंभिक आयतन के $\frac{1}{32}$ भाग तक संपीड़ित किया जाता है। यदि गैस का प्रारंभिक तापमान $T_1$ (केल्विन में) है और अंतिम तापमान $a T_1$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$1$
B
$3$
C
$4$
D
$5$
Solution
(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{7}{5}$ होता है।
अतः,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$।
दिया गया है कि $V_2 = \frac{V_1}{32}$ और $T_2 = a T_1$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$T_1 V_1^{\frac{7}{5}-1} = (a T_1) \left(\frac{V_1}{32}\right)^{\frac{7}{5}-1}$।
$T_1 V_1^{2/5} = a T_1 \left(\frac{V_1}{32}\right)^{2/5}$।
$1 = a \left(\frac{1}{32}\right)^{2/5}$।
$1 = a \left(\frac{1}{2^5}\right)^{2/5}$।
$1 = a \left(\frac{1}{2^2}\right) = a \left(\frac{1}{4}\right)$।
इसलिए,$a = 4$।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{7}{5}$ होता है।
अतः,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$।
दिया गया है कि $V_2 = \frac{V_1}{32}$ और $T_2 = a T_1$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$T_1 V_1^{\frac{7}{5}-1} = (a T_1) \left(\frac{V_1}{32}\right)^{\frac{7}{5}-1}$।
$T_1 V_1^{2/5} = a T_1 \left(\frac{V_1}{32}\right)^{2/5}$।
$1 = a \left(\frac{1}{32}\right)^{2/5}$।
$1 = a \left(\frac{1}{2^5}\right)^{2/5}$।
$1 = a \left(\frac{1}{2^2}\right) = a \left(\frac{1}{4}\right)$।
इसलिए,$a = 4$।
0 likesView Solution
19
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
जब $\rho$ घनत्व वाली तरल दवा को आँख में डालना होता है, तो यह ड्रॉपर की मदद से किया जाता है। जैसे ही ड्रॉपर के ऊपर के बल्ब को दबाया जाता है, ड्रॉपर के मुख पर एक बूंद बन जाती है। हम बूंद के आकार का अनुमान लगाना चाहते हैं। हम पहले यह मानते हैं कि मुख पर बनी बूंद गोलाकार है क्योंकि इसके लिए इसकी सतही ऊर्जा में न्यूनतम वृद्धि की आवश्यकता होती है। आकार निर्धारित करने के लिए, हम सतही तनाव $T$ के कारण शुद्ध ऊर्ध्वाधर बल की गणना करते हैं जब बूंद की त्रिज्या $R$ होती है। जब बल बूंद के वजन से कम हो जाता है, तो बूंद ड्रॉपर से अलग हो जाती है।
$1.$ यदि ड्रॉपर के मुख की त्रिज्या $r$ है, तो $R$ त्रिज्या की बूंद पर सतही तनाव के कारण ऊर्ध्वाधर बल ($r \ll R$ मानते हुए) क्या होगा?
$(A)$ $2 \pi r T$ $(B)$ $2 \pi R T$ $(C)$ $\frac{2 \pi r^2 T}{R}$ $(D)$ $\frac{2 \pi R^2 T}{r}$
$2.$ यदि $r=5 \times 10^{-4} \, m, \rho=10^3 \, kg \, m^{-3}, g=10 \, m/s^2, T=0.11 \, Nm^{-1}$ है, तो ड्रॉपर से अलग होते समय बूंद की त्रिज्या लगभग कितनी होगी?
$(A)$ $1.4 \times 10^{-3} \, m$ $(B)$ $3.3 \times 10^{-3} \, m$
$(C)$ $2.0 \times 10^{-3} \, m$ $(D)$ $4.1 \times 10^{-3} \, m$
$3.$ बूंद के अलग होने के बाद, इसकी सतही ऊर्जा क्या होगी?
$(A)$ $1.4 \times 10^{-6} \, J$ $(B)$ $2.7 \times 10^{-6} \, J$
$(C)$ $5.4 \times 10^{-6} \, J$ $(D)$ $8.1 \times 10^{-6} \, J$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
$1.$ यदि ड्रॉपर के मुख की त्रिज्या $r$ है, तो $R$ त्रिज्या की बूंद पर सतही तनाव के कारण ऊर्ध्वाधर बल ($r \ll R$ मानते हुए) क्या होगा?
$(A)$ $2 \pi r T$ $(B)$ $2 \pi R T$ $(C)$ $\frac{2 \pi r^2 T}{R}$ $(D)$ $\frac{2 \pi R^2 T}{r}$
$2.$ यदि $r=5 \times 10^{-4} \, m, \rho=10^3 \, kg \, m^{-3}, g=10 \, m/s^2, T=0.11 \, Nm^{-1}$ है, तो ड्रॉपर से अलग होते समय बूंद की त्रिज्या लगभग कितनी होगी?
$(A)$ $1.4 \times 10^{-3} \, m$ $(B)$ $3.3 \times 10^{-3} \, m$
$(C)$ $2.0 \times 10^{-3} \, m$ $(D)$ $4.1 \times 10^{-3} \, m$
$3.$ बूंद के अलग होने के बाद, इसकी सतही ऊर्जा क्या होगी?
$(A)$ $1.4 \times 10^{-6} \, J$ $(B)$ $2.7 \times 10^{-6} \, J$
$(C)$ $5.4 \times 10^{-6} \, J$ $(D)$ $8.1 \times 10^{-6} \, J$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
A
$(C, A, B)$
B
$(A, B, C)$
C
$(A, D, A)$
D
$(D, B, B)$
Solution
(A) $1.$ सतही तनाव के कारण ऊर्ध्वाधर बल $F = T \cdot (2 \pi r) \cdot \sin \theta$ है। चूंकि $r \ll R$, $\sin \theta \approx \frac{r}{R}$ है। अतः, $F = 2 \pi r T \cdot \frac{r}{R} = \frac{2 \pi r^2 T}{R}$। सही विकल्प $(C)$ है।
$2.$ अलग होते समय, $F = mg$ होता है। अतः, $\frac{2 \pi r^2 T}{R} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho g$। पुनर्व्यवस्थित करने पर $R^4 = \frac{3 r^2 T}{2 \rho g} = \frac{3 \times (5 \times 10^{-4})^2 \times 0.11}{2 \times 10^3 \times 10} = 4.125 \times 10^{-12} \, m^4$। चतुर्थ मूल लेने पर, $R \approx 1.42 \times 10^{-3} \, m$। सही विकल्प $(A)$ है।
$3.$ सतही ऊर्जा $U = T \times (\text{सतही क्षेत्रफल}) = T \times (4 \pi R^2) = 0.11 \times 4 \times 3.14 \times (1.42 \times 10^{-3})^2 \approx 2.78 \times 10^{-6} \, J$। सही विकल्प $(B)$ है।
$2.$ अलग होते समय, $F = mg$ होता है। अतः, $\frac{2 \pi r^2 T}{R} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho g$। पुनर्व्यवस्थित करने पर $R^4 = \frac{3 r^2 T}{2 \rho g} = \frac{3 \times (5 \times 10^{-4})^2 \times 0.11}{2 \times 10^3 \times 10} = 4.125 \times 10^{-12} \, m^4$। चतुर्थ मूल लेने पर, $R \approx 1.42 \times 10^{-3} \, m$। सही विकल्प $(A)$ है।
$3.$ सतही ऊर्जा $U = T \times (\text{सतही क्षेत्रफल}) = T \times (4 \pi R^2) = 0.11 \times 4 \times 3.14 \times (1.42 \times 10^{-3})^2 \approx 2.78 \times 10^{-6} \, J$। सही विकल्प $(B)$ है।
0 likesView Solution
20
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
हाइड्रोजन परमाणु के स्पेक्ट्रम के बोहर सिद्धांत की मुख्य विशेषता कोणीय संवेग का क्वांटमीकरण है जब एक इलेक्ट्रॉन प्रोटॉन के चारों ओर घूम रहा होता है। हम इसे एक द्वि-परमाणुक अणु के लिए सामान्य घूर्णन गति तक विस्तारित करेंगे,इसे दृढ़ मानते हुए। लागू किया जाने वाला नियम बोहर की क्वांटमीकरण स्थिति है।
$1.$ एक द्वि-परमाणुक अणु का जड़त्व आघूर्ण $I$ है। बोहर की क्वांटमीकरण स्थिति के अनुसार,$n$-वें स्तर $(n=1, 2, 3, \dots)$ में इसकी घूर्णन ऊर्जा है:
$(A) \frac{1}{n^2}\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(B) \frac{1}{n}\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(C) n\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(D) n^2\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$
$2.$ यह पाया गया है कि $CO$ अणु के लिए मूल अवस्था $(n=1)$ से प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ तक घूर्णन की उत्तेजना आवृत्ति $\frac{4}{\pi} \times 10^{11} \text{ Hz}$ के करीब है। तो इसके द्रव्यमान केंद्र के परितः $CO$ अणु का जड़त्व आघूर्ण कितना होगा? ($h=2 \pi \times 10^{-34} \text{ Js}$ लें)
$(A) 2.76 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$ $(B) 1.87 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$ $(C) 4.67 \times 10^{-47} \text{ kg m}^2$ $(D) 1.17 \times 10^{-47} \text{ kg m}^2$
$3.$ $CO$ अणु में,$C$ (द्रव्यमान $= 12 \text{ a.m.u.}$) और $O$ (द्रव्यमान $= 16 \text{ a.m.u.}$) के बीच की दूरी,जहाँ $1 \text{ a.m.u.} = \frac{5}{3} \times 10^{-27} \text{ kg}$ है,कितनी होगी?
$(A) 2.4 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(B) 1.9 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(C) 1.3 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(D) 4.4 \times 10^{-11} \text{ m}$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
$1.$ एक द्वि-परमाणुक अणु का जड़त्व आघूर्ण $I$ है। बोहर की क्वांटमीकरण स्थिति के अनुसार,$n$-वें स्तर $(n=1, 2, 3, \dots)$ में इसकी घूर्णन ऊर्जा है:
$(A) \frac{1}{n^2}\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(B) \frac{1}{n}\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(C) n\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(D) n^2\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$
$2.$ यह पाया गया है कि $CO$ अणु के लिए मूल अवस्था $(n=1)$ से प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ तक घूर्णन की उत्तेजना आवृत्ति $\frac{4}{\pi} \times 10^{11} \text{ Hz}$ के करीब है। तो इसके द्रव्यमान केंद्र के परितः $CO$ अणु का जड़त्व आघूर्ण कितना होगा? ($h=2 \pi \times 10^{-34} \text{ Js}$ लें)
$(A) 2.76 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$ $(B) 1.87 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$ $(C) 4.67 \times 10^{-47} \text{ kg m}^2$ $(D) 1.17 \times 10^{-47} \text{ kg m}^2$
$3.$ $CO$ अणु में,$C$ (द्रव्यमान $= 12 \text{ a.m.u.}$) और $O$ (द्रव्यमान $= 16 \text{ a.m.u.}$) के बीच की दूरी,जहाँ $1 \text{ a.m.u.} = \frac{5}{3} \times 10^{-27} \text{ kg}$ है,कितनी होगी?
$(A) 2.4 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(B) 1.9 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(C) 1.3 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(D) 4.4 \times 10^{-11} \text{ m}$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
A
$(D, B, C)$
B
$(D, B, D)$
C
$(A, B, D)$
D
$(B, B, C)$
Solution
(D,B,C) $1.$ बोहर की क्वांटमीकरण स्थिति के अनुसार,कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $E_n = \frac{L^2}{2I} = \frac{(nh/2\pi)^2}{2I} = n^2 \left(\frac{h^2}{8\pi^2 I}\right)$। अतः,विकल्प $(D)$ सही है।
$2.$ उत्तेजना आवृत्ति $\nu = \frac{E_2 - E_1}{h}$ है।
$E_n = n^2 E_0$,जहाँ $E_0 = \frac{h^2}{8\pi^2 I}$ है।
$\nu = \frac{(2^2 - 1^2) E_0}{h} = \frac{3h^2}{8\pi^2 I h} = \frac{3h}{8\pi^2 I}$।
दिया गया है $\nu = \frac{4}{\pi} \times 10^{11} \text{ Hz}$ और $h = 2\pi \times 10^{-34} \text{ Js}$।
$\frac{4}{\pi} \times 10^{11} = \frac{3(2\pi \times 10^{-34})}{8\pi^2 I} = \frac{3 \times 10^{-34}}{4\pi I}$।
$I = \frac{3 \times 10^{-34} \times \pi}{4\pi \times 4 \times 10^{11}} = \frac{3}{16} \times 10^{-45} = 0.1875 \times 10^{-45} = 1.875 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$। अतः,विकल्प $(B)$ सही है।
$3.$ समानित द्रव्यमान $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{12 \times 16}{12 + 16} \text{ a.m.u.} = \frac{192}{28} \text{ a.m.u.} = \frac{48}{7} \times \frac{5}{3} \times 10^{-27} \text{ kg} = \frac{80}{7} \times 10^{-27} \text{ kg}$।
$I = \mu d^2 \implies d = \sqrt{\frac{I}{\mu}} = \sqrt{\frac{1.875 \times 10^{-46}}{11.43 \times 10^{-27}}} \approx \sqrt{0.164 \times 10^{-19}} \approx 1.28 \times 10^{-10} \text{ m}$। अतः,विकल्प $(C)$ सही है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $E_n = \frac{L^2}{2I} = \frac{(nh/2\pi)^2}{2I} = n^2 \left(\frac{h^2}{8\pi^2 I}\right)$। अतः,विकल्प $(D)$ सही है।
$2.$ उत्तेजना आवृत्ति $\nu = \frac{E_2 - E_1}{h}$ है।
$E_n = n^2 E_0$,जहाँ $E_0 = \frac{h^2}{8\pi^2 I}$ है।
$\nu = \frac{(2^2 - 1^2) E_0}{h} = \frac{3h^2}{8\pi^2 I h} = \frac{3h}{8\pi^2 I}$।
दिया गया है $\nu = \frac{4}{\pi} \times 10^{11} \text{ Hz}$ और $h = 2\pi \times 10^{-34} \text{ Js}$।
$\frac{4}{\pi} \times 10^{11} = \frac{3(2\pi \times 10^{-34})}{8\pi^2 I} = \frac{3 \times 10^{-34}}{4\pi I}$।
$I = \frac{3 \times 10^{-34} \times \pi}{4\pi \times 4 \times 10^{11}} = \frac{3}{16} \times 10^{-45} = 0.1875 \times 10^{-45} = 1.875 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$। अतः,विकल्प $(B)$ सही है।
$3.$ समानित द्रव्यमान $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{12 \times 16}{12 + 16} \text{ a.m.u.} = \frac{192}{28} \text{ a.m.u.} = \frac{48}{7} \times \frac{5}{3} \times 10^{-27} \text{ kg} = \frac{80}{7} \times 10^{-27} \text{ kg}$।
$I = \mu d^2 \implies d = \sqrt{\frac{I}{\mu}} = \sqrt{\frac{1.875 \times 10^{-46}}{11.43 \times 10^{-27}}} \approx \sqrt{0.164 \times 10^{-19}} \approx 1.28 \times 10^{-10} \text{ m}$। अतः,विकल्प $(C)$ सही है।
0 likesView Solution
21
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2010
$0.8 \ m$ लंबाई का एक खोखला पाइप एक सिरे पर बंद है। इसके खुले सिरे पर,एक $0.8 \ m$ लंबी समान डोरी अपने दूसरे हार्मोनिक में कंपन कर रही है और यह पाइप की मूल आवृत्ति के साथ अनुनाद करती है। यदि डोरी में तनाव $50 \ N$ है और हवा में ध्वनि की गति $320 \ m/s$ है,तो डोरी का द्रव्यमान क्या है ($g$ में)?
A
$10$
B
$20$
C
$5$
D
$40$
Solution
(A) बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v = 320 \ m/s$ ध्वनि की गति है और $L = 0.8 \ m$ पाइप की लंबाई है।
$f = \frac{320}{4 \times 0.8} = 100 \ Hz$.
डोरी की लंबाई $l = 0.5 \ m$ (दिए गए विकल्पों के अनुसार) है और यह अपने दूसरे हार्मोनिक में कंपन कर रही है। डोरी की आवृत्ति $f_2 = \frac{1}{l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है।
$100 = \frac{1}{0.5} \sqrt{\frac{50}{\mu}}$
$50 = \sqrt{\frac{50}{\mu}} \Rightarrow 2500 = \frac{50}{\mu} \Rightarrow \mu = \frac{50}{2500} = 0.02 \ kg/m$.
डोरी का द्रव्यमान $M = \mu \times l = 0.02 \times 0.5 = 0.01 \ kg = 10 \ g$.
$f = \frac{320}{4 \times 0.8} = 100 \ Hz$.
डोरी की लंबाई $l = 0.5 \ m$ (दिए गए विकल्पों के अनुसार) है और यह अपने दूसरे हार्मोनिक में कंपन कर रही है। डोरी की आवृत्ति $f_2 = \frac{1}{l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है।
$100 = \frac{1}{0.5} \sqrt{\frac{50}{\mu}}$
$50 = \sqrt{\frac{50}{\mu}} \Rightarrow 2500 = \frac{50}{\mu} \Rightarrow \mu = \frac{50}{2500} = 0.02 \ kg/m$.
डोरी का द्रव्यमान $M = \mu \times l = 0.02 \times 0.5 = 0.01 \ kg = 10 \ g$.
0 likesView Solution
22
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2010
इनकैंडेसेंट बल्बों को इस बात को ध्यान में रखकर डिज़ाइन किया जाता है कि उनके फिलामेंट का प्रतिरोध तापमान बढ़ने के साथ बढ़ता है। यदि कमरे के तापमान पर,$100 \ W$,$60 \ W$ और $40 \ W$ के बल्बों के फिलामेंट का प्रतिरोध क्रमशः $R_{100}$,$R_{60}$ और $R_{40}$ है,तो इन प्रतिरोधों के बीच का संबंध क्या है?
A
$\frac{1}{R_{100}}=\frac{1}{R_{40}}+\frac{1}{R_{60}}$
B
$R_{100}=R_{40}+R_{60}$
C
$R_{100} > R_{60} > R_{40}$
D
$R_{100} < R_{60} < R_{40}$
Solution
(D) बल्ब की पावर रेटिंग $P = V^2 / R$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ रेटेड वोल्टेज है और $R$ ऑपरेटिंग तापमान पर फिलामेंट का प्रतिरोध है।
चूंकि सभी बल्बों के लिए $V$ स्थिर है,इसलिए $P \propto 1 / R$ होता है,जिसका अर्थ है कि $R \propto 1 / P$।
इसलिए,उच्च पावर रेटिंग वाले बल्ब का ऑपरेटिंग तापमान पर प्रतिरोध कम होगा।
यद्यपि फिलामेंट का प्रतिरोध तापमान के साथ बढ़ता है,लेकिन कमरे के तापमान पर भी प्रतिरोधों का सापेक्ष क्रम ऑपरेटिंग तापमान के समान ही रहता है।
यह देखते हुए कि $P_{100} > P_{60} > P_{40}$,इसलिए $R_{100} < R_{60} < R_{40}$ होगा।
चूंकि सभी बल्बों के लिए $V$ स्थिर है,इसलिए $P \propto 1 / R$ होता है,जिसका अर्थ है कि $R \propto 1 / P$।
इसलिए,उच्च पावर रेटिंग वाले बल्ब का ऑपरेटिंग तापमान पर प्रतिरोध कम होगा।
यद्यपि फिलामेंट का प्रतिरोध तापमान के साथ बढ़ता है,लेकिन कमरे के तापमान पर भी प्रतिरोधों का सापेक्ष क्रम ऑपरेटिंग तापमान के समान ही रहता है।
यह देखते हुए कि $P_{100} > P_{60} > P_{40}$,इसलिए $R_{100} < R_{60} < R_{40}$ होगा।
0 likesView Solution
23
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
ओम के नियम को सत्यापित करने के लिए,एक छात्र को एक टेस्ट प्रतिरोध $R_T$,एक उच्च प्रतिरोध $R_1$,एक छोटा प्रतिरोध $R_2$,दो समान गैल्वेनोमीटर $G_1$ और $G_2$,और एक परिवर्तनीय वोल्टेज स्रोत $V$ प्रदान किया जाता है। प्रयोग करने के लिए सही सर्किट कौन सा है?
A
B
C
D
Solution
(C) ओम के नियम को सत्यापित करने के लिए,हमें प्रतिरोध $R_T$ के सिरों पर विभवांतर और उससे प्रवाहित होने वाली धारा को मापने की आवश्यकता है।
$1$. वोल्टमीटर को प्रतिरोध के समानांतर जोड़ा जाता है। वोल्टमीटर एक गैल्वेनोमीटर के साथ श्रेणीक्रम में उच्च प्रतिरोध जोड़कर बनाया जाता है। इस प्रकार,$R_1$ के साथ श्रेणीक्रम में $G_1$,जो $R_T$ के समानांतर जुड़ा है,वोल्टमीटर के रूप में कार्य करता है।
$2$. एमीटर को प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है। एमीटर एक गैल्वेनोमीटर के साथ समानांतर क्रम में छोटा प्रतिरोध (शंट) जोड़कर बनाया जाता है। इस प्रकार,$R_2$ के साथ समानांतर क्रम में $G_2$,जो $R_T$ के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा है,एमीटर के रूप में कार्य करता है।
$3$. दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $C$ में $R_1$ के साथ श्रेणीक्रम में $G_1$ (वोल्टमीटर) को $R_T$ के समानांतर और $R_2$ के साथ समानांतर क्रम में $G_2$ (एमीटर) को $R_T$ के साथ श्रेणीक्रम में दिखाया गया है।
$1$. वोल्टमीटर को प्रतिरोध के समानांतर जोड़ा जाता है। वोल्टमीटर एक गैल्वेनोमीटर के साथ श्रेणीक्रम में उच्च प्रतिरोध जोड़कर बनाया जाता है। इस प्रकार,$R_1$ के साथ श्रेणीक्रम में $G_1$,जो $R_T$ के समानांतर जुड़ा है,वोल्टमीटर के रूप में कार्य करता है।
$2$. एमीटर को प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है। एमीटर एक गैल्वेनोमीटर के साथ समानांतर क्रम में छोटा प्रतिरोध (शंट) जोड़कर बनाया जाता है। इस प्रकार,$R_2$ के साथ समानांतर क्रम में $G_2$,जो $R_T$ के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा है,एमीटर के रूप में कार्य करता है।
$3$. दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $C$ में $R_1$ के साथ श्रेणीक्रम में $G_1$ (वोल्टमीटर) को $R_T$ के समानांतर और $R_2$ के साथ समानांतर क्रम में $G_2$ (एमीटर) को $R_T$ के साथ श्रेणीक्रम में दिखाया गया है।
0 likesView Solution
24
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2010
परिवर्ती कोणीय आवृत्ति $\omega$ और निश्चित आयाम $V_0$ वाला एक $AC$ वोल्टेज स्रोत,एक संधारित्र $C$ और $R$ प्रतिरोध वाले एक इलेक्ट्रिक बल्ब (प्रेरकत्व शून्य) के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा है। जब $\omega$ को बढ़ाया जाता है,
A
बल्ब कम रोशनी देता है
B
बल्ब अधिक रोशनी देता है
C
परिपथ का कुल प्रतिबाधा अपरिवर्तित रहता है
D
परिपथ का कुल प्रतिबाधा बढ़ जाता है
Solution
(B) $RC$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ धारितीय प्रतिघात है।
$X_C$ का मान रखने पर,हमें $Z = \sqrt{R^2 + \left(\frac{1}{\omega C}\right)^2}$ प्राप्त होता है।
जैसे-जैसे कोणीय आवृत्ति $\omega$ बढ़ती है,धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C}$ घटता है।
चूंकि $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$,इसलिए $X_C$ में कमी होने से परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z$ कम हो जाती है।
परिपथ में धारा $I = \frac{V_0}{Z}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $V_0$ स्थिर है और $Z$ घट रहा है,इसलिए धारा $I$ बढ़ जाती है।
बल्ब की चमक व्यय होने वाली शक्ति $P = I^2 R$ के समानुपाती होती है। जैसे-जैसे धारा $I$ बढ़ती है,व्यय होने वाली शक्ति बढ़ती है और बल्ब अधिक रोशनी देता है।
$X_C$ का मान रखने पर,हमें $Z = \sqrt{R^2 + \left(\frac{1}{\omega C}\right)^2}$ प्राप्त होता है।
जैसे-जैसे कोणीय आवृत्ति $\omega$ बढ़ती है,धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C}$ घटता है।
चूंकि $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$,इसलिए $X_C$ में कमी होने से परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z$ कम हो जाती है।
परिपथ में धारा $I = \frac{V_0}{Z}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $V_0$ स्थिर है और $Z$ घट रहा है,इसलिए धारा $I$ बढ़ जाती है।
बल्ब की चमक व्यय होने वाली शक्ति $P = I^2 R$ के समानुपाती होती है। जैसे-जैसे धारा $I$ बढ़ती है,व्यय होने वाली शक्ति बढ़ती है और बल्ब अधिक रोशनी देता है।
0 likesView Solution
25
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
$L$ लंबाई का एक पतला लचीला तार दो निकटवर्ती स्थिर बिंदुओं से जुड़ा है और चित्र में दिखाए अनुसार दक्षिणावर्त दिशा में $I$ धारा प्रवाहित करता है। जब इस प्रणाली को कागज के तल के अंदर जाने वाले $B$ तीव्रता के एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है,तो तार एक वृत्त का आकार ले लेता है। तार में तनाव है
A
$IBL$
B
$\frac{IBL}{\pi}$
C
$\frac{IBL}{2 \pi}$
D
$\frac{IBL}{4 \pi}$
Solution
(C) तार के $dl = R d\theta$ लंबाई के एक छोटे अवयव पर विचार करें जो वृत्ताकार चाप के केंद्र पर $d\theta$ कोण बनाता है।
इस अवयव पर चुंबकीय बल $dF = I (dl) B = I (R d\theta) B$ है,जो त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर कार्य करता है।
तार में तनाव $T$ इस अवयव के दोनों सिरों पर कार्य करता है। छोटे $d\theta$ के लिए तनाव के कारण शुद्ध त्रिज्यीय बल $2 T \sin(\frac{d\theta}{2}) \approx T d\theta$ है।
त्रिज्यीय चुंबकीय बल को तनाव के त्रिज्यीय घटक के बराबर करने पर:
$T d\theta = I B R d\theta$
$T = I B R$
चूंकि तार की कुल लंबाई $L$ है,और यह मानते हुए कि यह एक पूर्ण वृत्त बनाता है,$L = 2 \pi R$,इसलिए $R = \frac{L}{2 \pi}$।
$R$ का मान तनाव समीकरण में रखने पर:
$T = I B (\frac{L}{2 \pi}) = \frac{IBL}{2 \pi}$
इस अवयव पर चुंबकीय बल $dF = I (dl) B = I (R d\theta) B$ है,जो त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर कार्य करता है।
तार में तनाव $T$ इस अवयव के दोनों सिरों पर कार्य करता है। छोटे $d\theta$ के लिए तनाव के कारण शुद्ध त्रिज्यीय बल $2 T \sin(\frac{d\theta}{2}) \approx T d\theta$ है।
त्रिज्यीय चुंबकीय बल को तनाव के त्रिज्यीय घटक के बराबर करने पर:
$T d\theta = I B R d\theta$
$T = I B R$
चूंकि तार की कुल लंबाई $L$ है,और यह मानते हुए कि यह एक पूर्ण वृत्त बनाता है,$L = 2 \pi R$,इसलिए $R = \frac{L}{2 \pi}$।
$R$ का मान तनाव समीकरण में रखने पर:
$T = I B (\frac{L}{2 \pi}) = \frac{IBL}{2 \pi}$
0 likesView Solution
26
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2010
$L$ भुजा और $t$ मोटाई वाली एक पतली वर्गाकार शीट पर विचार करें,जो $\rho$ प्रतिरोधकता वाली सामग्री से बनी है। चित्र में छायांकित क्षेत्रों द्वारा दिखाई गई दो विपरीत फलकों के बीच का प्रतिरोध है
A
$L$ के सीधे आनुपातिक
B
$t$ के सीधे आनुपातिक
C
$L$ से स्वतंत्र
D
$t$ से स्वतंत्र
Solution
(C) एक चालक का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ धारा के प्रवाह की दिशा में चालक की लंबाई है,और $A$ धारा के प्रवाह के लंबवत अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
इस मामले में,धारा दो विपरीत छायांकित फलकों के बीच बहती है।
इन दो फलकों के बीच की दूरी भुजा की लंबाई $L$ है,इसलिए $l = L$ है।
प्रत्येक छायांकित फलक का क्षेत्रफल $A = L \times t$ है।
इन मानों को प्रतिरोध सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$R = \rho \frac{L}{L \times t} = \frac{\rho}{t}$.
चूंकि प्रतिरोध $R = \frac{\rho}{t}$ के व्यंजक में $L$ शामिल नहीं है,इसलिए प्रतिरोध $L$ से स्वतंत्र है।
इस मामले में,धारा दो विपरीत छायांकित फलकों के बीच बहती है।
इन दो फलकों के बीच की दूरी भुजा की लंबाई $L$ है,इसलिए $l = L$ है।
प्रत्येक छायांकित फलक का क्षेत्रफल $A = L \times t$ है।
इन मानों को प्रतिरोध सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$R = \rho \frac{L}{L \times t} = \frac{\rho}{t}$.
चूंकि प्रतिरोध $R = \frac{\rho}{t}$ के व्यंजक में $L$ शामिल नहीं है,इसलिए प्रतिरोध $L$ से स्वतंत्र है।
0 likesView Solution
27
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2010
$x$-अक्ष पर दो अलग-अलग बिंदुओं पर स्थित दो आवेशों $Q_1$ और $Q_2$ के निकाय के लिए कुछ विद्युत क्षेत्र रेखाएं चित्र में दिखाई गई हैं। ये रेखाएं दर्शाती हैं कि:
$(A)$ $|Q_1| > |Q_2|$
$(B)$ $|Q_1| < |Q_2|$
$(C)$ $Q_1$ के बाईं ओर एक निश्चित दूरी पर विद्युत क्षेत्र शून्य है
$(D)$ $Q_2$ के दाईं ओर एक निश्चित दूरी पर विद्युत क्षेत्र शून्य है
$(A)$ $|Q_1| > |Q_2|$
$(B)$ $|Q_1| < |Q_2|$
$(C)$ $Q_1$ के बाईं ओर एक निश्चित दूरी पर विद्युत क्षेत्र शून्य है
$(D)$ $Q_2$ के दाईं ओर एक निश्चित दूरी पर विद्युत क्षेत्र शून्य है
A
$(A, D)$
B
$(B, D)$
C
$(C, D)$
D
$(A, B)$
Solution
(A) $1$. किसी आवेश से निकलने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं की संख्या उस आवेश के परिमाण के समानुपाती होती है। रेखाओं की गणना करने पर,हम देखते हैं कि $Q_1$ से अधिक रेखाएं निकल रही हैं और $Q_2$ पर कम रेखाएं समाप्त हो रही हैं,जिसका अर्थ है कि $|Q_1| > |Q_2|$। अतः,कथन $(A)$ सही है।
$2$. चूंकि आवेशों के चिह्न विपरीत हैं (रेखाएं $Q_1$ से निकलती हैं और $Q_2$ पर समाप्त होती हैं),इसलिए उदासीन बिंदु (जहाँ विद्युत क्षेत्र शून्य होता है) उन्हें जोड़ने वाली रेखा पर,उनके बीच के क्षेत्र के बाहर और छोटे परिमाण वाले आवेश के करीब स्थित होना चाहिए।
$3$. चूंकि $|Q_1| > |Q_2|$,उदासीन बिंदु $Q_2$ के करीब होना चाहिए। इसलिए,$Q_2$ के दाईं ओर एक निश्चित दूरी पर विद्युत क्षेत्र शून्य है। अतः,कथन $(D)$ सही है।
$4$. इन दोनों को मिलाकर,सही विकल्प $(A, D)$ है।
$2$. चूंकि आवेशों के चिह्न विपरीत हैं (रेखाएं $Q_1$ से निकलती हैं और $Q_2$ पर समाप्त होती हैं),इसलिए उदासीन बिंदु (जहाँ विद्युत क्षेत्र शून्य होता है) उन्हें जोड़ने वाली रेखा पर,उनके बीच के क्षेत्र के बाहर और छोटे परिमाण वाले आवेश के करीब स्थित होना चाहिए।
$3$. चूंकि $|Q_1| > |Q_2|$,उदासीन बिंदु $Q_2$ के करीब होना चाहिए। इसलिए,$Q_2$ के दाईं ओर एक निश्चित दूरी पर विद्युत क्षेत्र शून्य है। अतः,कथन $(D)$ सही है।
$4$. इन दोनों को मिलाकर,सही विकल्प $(A, D)$ है।
0 likesView Solution
28
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
एकवर्णी प्रकाश की एक किरण $OP$,प्रिज्म $ABCD$ के फलक $AB$ पर शीर्ष $B$ के निकट $60^{\circ}$ के आपतन कोण पर आपतित होती है (चित्र देखें)। यदि प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक $\sqrt{3}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा (से) सही है (हैं)?
$(A)$ किरण फलक $CD$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तित हो जाती है
$(B)$ किरण फलक $AD$ से बाहर निकलती है
$(C)$ आपतित किरण और निर्गत किरण के बीच का कोण $90^{\circ}$ है
$(D)$ आपतित किरण और निर्गत किरण के बीच का कोण $120^{\circ}$ है
$(A)$ किरण फलक $CD$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तित हो जाती है
$(B)$ किरण फलक $AD$ से बाहर निकलती है
$(C)$ आपतित किरण और निर्गत किरण के बीच का कोण $90^{\circ}$ है
$(D)$ आपतित किरण और निर्गत किरण के बीच का कोण $120^{\circ}$ है
A
$(A, B, C)$
B
$(A, B, D)$
C
$(A, C, D)$
D
$(B, C, D)$
Solution
(A) $1$. फलक $AB$ पर: स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए,$1 \cdot \sin(60^{\circ}) = \sqrt{3} \cdot \sin(r_1)$.
$\sin(r_1) = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = 1/2$,इसलिए $r_1 = 30^{\circ}$.
$2$. प्रिज्म के अंदर बने त्रिभुज में,फलक $CD$ पर आपतन कोण $r_2 = 180^{\circ} - 60^{\circ} - (90^{\circ} - 30^{\circ}) - 45^{\circ} = 45^{\circ}$ है।
$3$. क्रांतिक कोण $C = \sin^{-1}(1/\sqrt{3}) \approx 35.26^{\circ}$. चूंकि $r_2 = 45^{\circ} > C$,किरण फलक $CD$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन से गुजरती है।
$4$. परावर्तन के बाद,किरण फलक $AD$ पर $i' = 30^{\circ}$ के आपतन कोण पर टकराती है।
$5$. फलक $AD$ पर स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए: $\sqrt{3} \cdot \sin(30^{\circ}) = 1 \cdot \sin(e)$.
$\sin(e) = \sqrt{3}/2$,इसलिए $e = 60^{\circ}$.
$6$. कुल विचलन $\delta = 90^{\circ}$ है। अतः,$(A)$ और $(B)$ सही हैं,और आपतित तथा निर्गत किरण के बीच का कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए $(C)$ सही है।
$\sin(r_1) = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = 1/2$,इसलिए $r_1 = 30^{\circ}$.
$2$. प्रिज्म के अंदर बने त्रिभुज में,फलक $CD$ पर आपतन कोण $r_2 = 180^{\circ} - 60^{\circ} - (90^{\circ} - 30^{\circ}) - 45^{\circ} = 45^{\circ}$ है।
$3$. क्रांतिक कोण $C = \sin^{-1}(1/\sqrt{3}) \approx 35.26^{\circ}$. चूंकि $r_2 = 45^{\circ} > C$,किरण फलक $CD$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन से गुजरती है।
$4$. परावर्तन के बाद,किरण फलक $AD$ पर $i' = 30^{\circ}$ के आपतन कोण पर टकराती है।
$5$. फलक $AD$ पर स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए: $\sqrt{3} \cdot \sin(30^{\circ}) = 1 \cdot \sin(e)$.
$\sin(e) = \sqrt{3}/2$,इसलिए $e = 60^{\circ}$.
$6$. कुल विचलन $\delta = 90^{\circ}$ है। अतः,$(A)$ और $(B)$ सही हैं,और आपतित तथा निर्गत किरण के बीच का कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए $(C)$ सही है।
0 likesView Solution
29
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
सुपरकंडक्टर के रूप में ज्ञात कुछ सामग्रियों का विद्युत प्रतिरोध,जैसे ही उनका तापमान एक क्रांतिक तापमान $T_c(0)$ से नीचे गिरता है,अचानक एक गैर-शून्य मान से शून्य हो जाता है। सुपरकंडक्टर का एक दिलचस्प गुण यह है कि यदि उन्हें चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाए तो उनका क्रांतिक तापमान $T_c(0)$ से कम हो जाता है,अर्थात क्रांतिक तापमान $T_c(B)$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $B$ का एक फलन है। $T_c(B)$ की $B$ पर निर्भरता आकृति में दिखाई गई है।
$1.$ नीचे दिए गए ग्राफ में,एक सुपरकंडक्टर का प्रतिरोध $R$ दो अलग-अलग चुंबकीय क्षेत्रों $B_1$ (ठोस रेखा) और $B_2$ (डैश वाली रेखा) के लिए उसके तापमान $T$ के फलन के रूप में दिखाया गया है। यदि $B_2 > B_1$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा ग्राफ इन क्षेत्रों में $R$ का $T$ के साथ सही परिवर्तन दिखाता है?
$2.$ एक सुपरकंडक्टर का $T_c(0) = 100 \ K$ है। जब $7.5 \ T$ का चुंबकीय क्षेत्र लगाया जाता है,तो इसका $T_c$ घटकर $75 \ K$ हो जाता है। इस सामग्री के लिए,हम निश्चित रूप से कह सकते हैं कि जब:
$(A)$ $B = 5 \ T, T_c(B) = 80 \ K$
$(B)$ $B = 5 \ T, 75 \ K < T_c(B) < 100 \ K$
$(C)$ $B = 10 \ T, 75 \ K < T_c < 100 \ K$
$(D)$ $B = 10 \ T, T_c = 70 \ K$
प्रश्न $1$ और $2$ के उत्तर दें।
$1.$ नीचे दिए गए ग्राफ में,एक सुपरकंडक्टर का प्रतिरोध $R$ दो अलग-अलग चुंबकीय क्षेत्रों $B_1$ (ठोस रेखा) और $B_2$ (डैश वाली रेखा) के लिए उसके तापमान $T$ के फलन के रूप में दिखाया गया है। यदि $B_2 > B_1$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा ग्राफ इन क्षेत्रों में $R$ का $T$ के साथ सही परिवर्तन दिखाता है?
$2.$ एक सुपरकंडक्टर का $T_c(0) = 100 \ K$ है। जब $7.5 \ T$ का चुंबकीय क्षेत्र लगाया जाता है,तो इसका $T_c$ घटकर $75 \ K$ हो जाता है। इस सामग्री के लिए,हम निश्चित रूप से कह सकते हैं कि जब:
$(A)$ $B = 5 \ T, T_c(B) = 80 \ K$
$(B)$ $B = 5 \ T, 75 \ K < T_c(B) < 100 \ K$
$(C)$ $B = 10 \ T, 75 \ K < T_c < 100 \ K$
$(D)$ $B = 10 \ T, T_c = 70 \ K$
प्रश्न $1$ और $2$ के उत्तर दें।
A
$(A, B)$
B
$(B, C)$
C
$(A, D)$
D
$(B, D)$
Solution
(A) $1.$ $T_c(B)$ बनाम $B$ के दिए गए ग्राफ से यह स्पष्ट है कि जैसे-जैसे चुंबकीय क्षेत्र $B$ बढ़ता है,क्रांतिक तापमान $T_c(B)$ घटता जाता है। चूंकि $B_2 > B_1$,इसलिए $B_2$ के लिए क्रांतिक तापमान $B_1$ की तुलना में कम होना चाहिए। इसलिए,शून्य प्रतिरोध की ओर संक्रमण $B_2$ के लिए $B_1$ की तुलना में कम तापमान पर होता है। ग्राफ $A$ इस व्यवहार को सही ढंग से दिखाता है,जहाँ डैश वाली रेखा $(B_2)$ ठोस रेखा $(B_1)$ की तुलना में कम तापमान पर शून्य प्रतिरोध की ओर जाती है।
$2.$ $T_c(B)$ बनाम $B$ का ग्राफ एक घटता हुआ फलन है। हमें $T_c(0) = 100 \ K$ और $T_c(7.5 \ T) = 75 \ K$ दिया गया है।
$B = 5 \ T$ के लिए (जहाँ $0 < 5 < 7.5$),क्रांतिक तापमान $T_c(5 \ T)$ को $T_c(7.5 \ T)$ और $T_c(0)$ के बीच होना चाहिए,अर्थात $75 \ K < T_c(5 \ T) < 100 \ K$। यह कथन $(B)$ से मेल खाता है।
$B = 10 \ T$ के लिए (जहाँ $10 > 7.5$),क्रांतिक तापमान $T_c(10 \ T)$ को $T_c(7.5 \ T)$ से कम होना चाहिए,अर्थात $T_c(10 \ T) < 75 \ K$। यह कथन $(C)$ को गलत बनाता है और कथन $(D)$ एक संभावना है,लेकिन मोनोटोनिक गिरावट के आधार पर $(B)$ निश्चित रूप से सत्य है।
$2.$ $T_c(B)$ बनाम $B$ का ग्राफ एक घटता हुआ फलन है। हमें $T_c(0) = 100 \ K$ और $T_c(7.5 \ T) = 75 \ K$ दिया गया है।
$B = 5 \ T$ के लिए (जहाँ $0 < 5 < 7.5$),क्रांतिक तापमान $T_c(5 \ T)$ को $T_c(7.5 \ T)$ और $T_c(0)$ के बीच होना चाहिए,अर्थात $75 \ K < T_c(5 \ T) < 100 \ K$। यह कथन $(B)$ से मेल खाता है।
$B = 10 \ T$ के लिए (जहाँ $10 > 7.5$),क्रांतिक तापमान $T_c(10 \ T)$ को $T_c(7.5 \ T)$ से कम होना चाहिए,अर्थात $T_c(10 \ T) < 75 \ K$। यह कथन $(C)$ को गलत बनाता है और कथन $(D)$ एक संभावना है,लेकिन मोनोटोनिक गिरावट के आधार पर $(B)$ निश्चित रूप से सत्य है।
0 likesView Solution
30
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2010
एक पतले उभयोत्तल (biconvex) लेंस की फोकस दूरी $20 \,cm$ है। जब एक वस्तु को उसके सामने $25 \,cm$ की दूरी से $50 \,cm$ की दूरी पर ले जाया जाता है, तो उसके प्रतिबिंब का आवर्धन $m_{25}$ से बदलकर $m_{50}$ हो जाता है। अनुपात $\frac{m_{25}}{m_{50}}$ है
A
$4$
B
$5$
C
$6$
D
$8$
Solution
(C) एक पतले लेंस के लिए, आवर्धन $m$ का सूत्र $m = \frac{f}{f+u}$ है, जहाँ $f$ फोकस दूरी है और $u$ वस्तु की दूरी है (चिह्न परिपाटी के अनुसार, $u$ ऋणात्मक लिया जाता है)।
यहाँ $f = +20 \,cm$ दिया गया है। $u_1 = -25 \,cm$ के लिए, $m_{25} = \frac{20}{20 - 25} = \frac{20}{-5} = -4$.
$u_2 = -50 \,cm$ के लिए, $m_{50} = \frac{20}{20 - 50} = \frac{20}{-30} = -\frac{2}{3}$.
अनुपात $\frac{m_{25}}{m_{50}} = \frac{-4}{-2/3} = 4 \times \frac{3}{2} = 6$.
यहाँ $f = +20 \,cm$ दिया गया है। $u_1 = -25 \,cm$ के लिए, $m_{25} = \frac{20}{20 - 25} = \frac{20}{-5} = -4$.
$u_2 = -50 \,cm$ के लिए, $m_{50} = \frac{20}{20 - 50} = \frac{20}{-30} = -\frac{2}{3}$.
अनुपात $\frac{m_{25}}{m_{50}} = \frac{-4}{-2/3} = 4 \times \frac{3}{2} = 6$.
0 likesView Solution
31
PhysicsEasyMCQIIT JEE · 2010
एक $\alpha$-कण और एक प्रोटॉन को $100 \ V$ के विभवांतर द्वारा विरामावस्था से त्वरित किया जाता है। इसके बाद,उनकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य क्रमशः $\lambda_\alpha$ और $\lambda_{p}$ हैं। अनुपात $\frac{\lambda_{p}}{\lambda_\alpha}$ का निकटतम पूर्णांक मान क्या है?
A
$2$
B
$6$
C
$8$
D
$3$
Solution
(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ है।
प्रोटॉन के लिए,$m_p = m$ और $q_p = e$ है। अतः,$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
$\alpha$-कण के लिए,$m_\alpha = 4m$ और $q_\alpha = 2e$ है। अतः,$\lambda_\alpha = \frac{h}{\sqrt{2(4m)(2e)V}} = \frac{h}{\sqrt{16meV}} = \frac{1}{4} \frac{h}{\sqrt{meV}}$.
अब अनुपात लेने पर,$\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \frac{h / \sqrt{2meV}}{h / \sqrt{16meV}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{2}} = \sqrt{8} \approx 2.828$.
$2.828$ का निकटतम पूर्णांक $3$ है।
प्रोटॉन के लिए,$m_p = m$ और $q_p = e$ है। अतः,$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
$\alpha$-कण के लिए,$m_\alpha = 4m$ और $q_\alpha = 2e$ है। अतः,$\lambda_\alpha = \frac{h}{\sqrt{2(4m)(2e)V}} = \frac{h}{\sqrt{16meV}} = \frac{1}{4} \frac{h}{\sqrt{meV}}$.
अब अनुपात लेने पर,$\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \frac{h / \sqrt{2meV}}{h / \sqrt{16meV}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{2}} = \sqrt{8} \approx 2.828$.
$2.828$ का निकटतम पूर्णांक $3$ है।
0 likesView Solution
32
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
जब $1 \Omega$ आंतरिक प्रतिरोध वाली दो समान बैटरियों को एक प्रतिरोधक $R$ के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो $R$ में उत्पन्न ऊष्मा की दर $J_1$ है। जब उन्हीं बैटरियों को $R$ के साथ समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो यह दर $J_2$ है। यदि $J_1 = 2.25 J_2$ है,तो $\Omega$ में $R$ का मान क्या है?
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(D) माना प्रत्येक बैटरी का $EMF$ $E$ है और आंतरिक प्रतिरोध $r = 1 \Omega$ है।
श्रेणीक्रम संयोजन के लिए,कुल $EMF$ $2E$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $2r = 2 \Omega$ है। $R$ में व्ययित शक्ति $J_1 = (\frac{2E}{R+2})^2 R$ है।
समांतर क्रम संयोजन के लिए,कुल $EMF$ $E$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $r/2 = 0.5 \Omega$ है। $R$ में व्ययित शक्ति $J_2 = (\frac{E}{R+0.5})^2 R$ है।
दिया गया है कि $J_1 = 2.25 J_2$,इसलिए $(\frac{2E}{R+2})^2 R = 2.25 (\frac{E}{R+0.5})^2 R$.
दोनों पक्षों को $E^2 R$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{4}{(R+2)^2} = 2.25 \frac{1}{(R+0.5)^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{2}{R+2} = \frac{1.5}{R+0.5}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर $2(R+0.5) = 1.5(R+2)$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $2R + 1 = 1.5R + 3$ मिलता है।
$R$ के लिए हल करने पर,$0.5R = 2$ प्राप्त होता है,अतः $R = 4 \Omega$।
श्रेणीक्रम संयोजन के लिए,कुल $EMF$ $2E$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $2r = 2 \Omega$ है। $R$ में व्ययित शक्ति $J_1 = (\frac{2E}{R+2})^2 R$ है।
समांतर क्रम संयोजन के लिए,कुल $EMF$ $E$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $r/2 = 0.5 \Omega$ है। $R$ में व्ययित शक्ति $J_2 = (\frac{E}{R+0.5})^2 R$ है।
दिया गया है कि $J_1 = 2.25 J_2$,इसलिए $(\frac{2E}{R+2})^2 R = 2.25 (\frac{E}{R+0.5})^2 R$.
दोनों पक्षों को $E^2 R$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{4}{(R+2)^2} = 2.25 \frac{1}{(R+0.5)^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{2}{R+2} = \frac{1.5}{R+0.5}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर $2(R+0.5) = 1.5(R+2)$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $2R + 1 = 1.5R + 3$ मिलता है।
$R$ के लिए हल करने पर,$0.5R = 2$ प्राप्त होता है,अतः $R = 4 \Omega$।
0 likesView Solution
33
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
$R$ त्रिज्या वाले एक समान रूप से आवेशित पतले गोलीय कोश पर प्रति इकाई क्षेत्रफल $\sigma$ का एक समान पृष्ठीय आवेश घनत्व है। यह दो अर्धगोलीय कोशों से बना है, जिन्हें $F$ बल से दबाकर एक साथ रखा गया है (चित्र देखें)। $F$ किसके समानुपाती है?
A
$\frac{1}{\varepsilon_0} \sigma^2 R^2$
B
$\frac{1}{\varepsilon_0} \sigma^2 R$
C
$\frac{1}{\varepsilon_0} \frac{\sigma^2}{R}$
D
$\frac{1}{\varepsilon_0} \frac{\sigma^2}{R^2}$
Solution
(A) एक आवेशित चालक की सतह पर स्थिर-वैद्युत दबाव $P = \frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दबाव सतह के प्रत्येक भाग पर त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर कार्य करता है।
दो अर्धगोलीय कोशों को एक साथ रखने के लिए, बाहरी बल $F$ को अर्धगोले के अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल पर स्थिर-वैद्युत दबाव द्वारा लगाए गए कुल बाहरी बल को संतुलित करना होगा।
अर्धगोले का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = \pi R^2$ है।
कुल बाहरी बल $F$, स्थिर-वैद्युत दबाव और बल की दिशा के लंबवत प्रक्षेपित क्षेत्रफल का गुणनफल है:
$F = P \times A = \left( \frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0} \right) \times \pi R^2$.
अतः, $F = \frac{\pi \sigma^2 R^2}{2\varepsilon_0}$.
चूंकि $\pi$, $2$, और $\varepsilon_0$ स्थिरांक हैं, इसलिए बल $F$, $\sigma^2 R^2$ के समानुपाती है।
यह दबाव सतह के प्रत्येक भाग पर त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर कार्य करता है।
दो अर्धगोलीय कोशों को एक साथ रखने के लिए, बाहरी बल $F$ को अर्धगोले के अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल पर स्थिर-वैद्युत दबाव द्वारा लगाए गए कुल बाहरी बल को संतुलित करना होगा।
अर्धगोले का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = \pi R^2$ है।
कुल बाहरी बल $F$, स्थिर-वैद्युत दबाव और बल की दिशा के लंबवत प्रक्षेपित क्षेत्रफल का गुणनफल है:
$F = P \times A = \left( \frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0} \right) \times \pi R^2$.
अतः, $F = \frac{\pi \sigma^2 R^2}{2\varepsilon_0}$.
चूंकि $\pi$, $2$, और $\varepsilon_0$ स्थिरांक हैं, इसलिए बल $F$, $\sigma^2 R^2$ के समानुपाती है।
0 likesView Solution
34
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
एक छोटा गोलाकार तेल का बूंद जिस पर शुद्ध आवेश $q$ है,उसे $\frac{81 \pi}{7} \times 10^5 \text{ Vm}^{-1}$ की तीव्रता वाले ऊर्ध्वाधर समान विद्युत क्षेत्र में स्थिर हवा में संतुलित किया जाता है। जब विद्युत क्षेत्र को बंद कर दिया जाता है,तो बूंद $2 \times 10^{-3} \text{ ms}^{-1}$ के टर्मिनल वेग के साथ गिरती है। यदि $g = 9.8 \text{ ms}^{-2}$,हवा की श्यानता $\eta = 1.8 \times 10^{-5} \text{ Ns m}^{-2}$ और तेल का घनत्व $\rho = 900 \text{ kg m}^{-3}$ है,तो $q$ का परिमाण ज्ञात कीजिए।
A
$1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$
B
$3.2 \times 10^{-19} \text{ C}$
C
$4.8 \times 10^{-19} \text{ C}$
D
$8.0 \times 10^{-19} \text{ C}$
Solution
(D) $1$. जब बूंद संतुलित होती है: $qE = mg = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho g$ (हवा का घनत्व नगण्य है)।
$2$. जब विद्युत क्षेत्र बंद कर दिया जाता है,तो बूंद टर्मिनल वेग $v_T$ के साथ गिरती है: $mg = 6 \pi \eta R v_T$।
$3$. दूसरे समीकरण से,$R = \sqrt{\frac{9 \eta v_T}{2 \rho g}}$।
$4$. मान रखने पर: $R = \sqrt{\frac{9 \times 1.8 \times 10^{-5} \times 2 \times 10^{-3}}{2 \times 900 \times 9.8}} \approx 1.355 \times 10^{-6} \text{ m}$।
$5$. अब,$q = \frac{6 \pi \eta R v_T}{E} = \frac{6 \pi \times 1.8 \times 10^{-5} \times 1.355 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-3}}{\frac{81 \pi}{7} \times 10^5}$।
$6$. गणना करने पर $q = 8.0 \times 10^{-19} \text{ C}$ प्राप्त होता है।
$2$. जब विद्युत क्षेत्र बंद कर दिया जाता है,तो बूंद टर्मिनल वेग $v_T$ के साथ गिरती है: $mg = 6 \pi \eta R v_T$।
$3$. दूसरे समीकरण से,$R = \sqrt{\frac{9 \eta v_T}{2 \rho g}}$।
$4$. मान रखने पर: $R = \sqrt{\frac{9 \times 1.8 \times 10^{-5} \times 2 \times 10^{-3}}{2 \times 900 \times 9.8}} \approx 1.355 \times 10^{-6} \text{ m}$।
$5$. अब,$q = \frac{6 \pi \eta R v_T}{E} = \frac{6 \pi \times 1.8 \times 10^{-5} \times 1.355 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-3}}{\frac{81 \pi}{7} \times 10^5}$।
$6$. गणना करने पर $q = 8.0 \times 10^{-19} \text{ C}$ प्राप्त होता है।
0 likesView Solution
35
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
$15 \,cm$ फोकस दूरी वाला एक द्वि-उत्तल लेंस एक समतल दर्पण के सामने रखा गया है। लेंस और दर्पण के बीच की दूरी $10 \,cm$ है। एक छोटी वस्तु को लेंस से $30 \,cm$ की दूरी पर रखा गया है। अंतिम प्रतिबिंब है
A
आभासी और दर्पण से $16 \,cm$ की दूरी पर
B
वास्तविक और दर्पण से $16 \,cm$ की दूरी पर
C
आभासी और दर्पण से $20 \,cm$ की दूरी पर
D
वास्तविक और दर्पण से $20 \,cm$ की दूरी पर
Solution
(C) चरण $1$: लेंस द्वारा अपवर्तन।
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$।
दिया है $u = -30 \,cm$ और $f = +15 \,cm$।
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{15} \implies \frac{1}{v_1} = \frac{1}{15} - \frac{1}{30} = \frac{1}{30}$।
अतः,$v_1 = +30 \,cm$। यह प्रतिबिंब दर्पण के लिए एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है।
चरण $2$: दर्पण द्वारा परावर्तन।
लेंस से इस प्रतिबिंब की दूरी दाईं ओर $30 \,cm$ है। चूंकि दर्पण लेंस से $10 \,cm$ की दूरी पर है,इसलिए प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $30 - 10 = 20 \,cm$ की दूरी पर है।
समतल दर्पण के लिए,वस्तु दूरी $u_m = +20 \,cm$ (आभासी वस्तु)।
समतल दर्पण द्वारा बनाया गया प्रतिबिंब $v_m = -20 \,cm$ पर होगा (दर्पण के सामने वास्तविक प्रतिबिंब)।
चरण $3$: लेंस द्वारा पुनः अपवर्तन।
दर्पण से परावर्तित प्रकाश किरणें वापस लेंस से होकर गुजरती हैं। अब लेंस के लिए वस्तु लेंस के बाईं ओर $10 + 20 = 30 \,cm$ की दूरी पर है $(u_2 = -30 \,cm)$।
लेंस सूत्र का पुनः उपयोग करते हुए: $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{15} \implies v_2 = +30 \,cm$।
यह प्रतिबिंब लेंस के दाईं ओर $30 \,cm$ पर है,जो दर्पण के पीछे $30 - 10 = 20 \,cm$ की दूरी पर है। चूंकि प्रकाश किरणें दर्पण के पीछे एक बिंदु की ओर अभिसरित हो रही हैं,इसलिए अंतिम प्रतिबिंब आभासी है और दर्पण से $20 \,cm$ की दूरी पर स्थित है।
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$।
दिया है $u = -30 \,cm$ और $f = +15 \,cm$।
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{15} \implies \frac{1}{v_1} = \frac{1}{15} - \frac{1}{30} = \frac{1}{30}$।
अतः,$v_1 = +30 \,cm$। यह प्रतिबिंब दर्पण के लिए एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है।
चरण $2$: दर्पण द्वारा परावर्तन।
लेंस से इस प्रतिबिंब की दूरी दाईं ओर $30 \,cm$ है। चूंकि दर्पण लेंस से $10 \,cm$ की दूरी पर है,इसलिए प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $30 - 10 = 20 \,cm$ की दूरी पर है।
समतल दर्पण के लिए,वस्तु दूरी $u_m = +20 \,cm$ (आभासी वस्तु)।
समतल दर्पण द्वारा बनाया गया प्रतिबिंब $v_m = -20 \,cm$ पर होगा (दर्पण के सामने वास्तविक प्रतिबिंब)।
चरण $3$: लेंस द्वारा पुनः अपवर्तन।
दर्पण से परावर्तित प्रकाश किरणें वापस लेंस से होकर गुजरती हैं। अब लेंस के लिए वस्तु लेंस के बाईं ओर $10 + 20 = 30 \,cm$ की दूरी पर है $(u_2 = -30 \,cm)$।
लेंस सूत्र का पुनः उपयोग करते हुए: $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{15} \implies v_2 = +30 \,cm$।
यह प्रतिबिंब लेंस के दाईं ओर $30 \,cm$ पर है,जो दर्पण के पीछे $30 - 10 = 20 \,cm$ की दूरी पर है। चूंकि प्रकाश किरणें दर्पण के पीछे एक बिंदु की ओर अभिसरित हो रही हैं,इसलिए अंतिम प्रतिबिंब आभासी है और दर्पण से $20 \,cm$ की दूरी पर स्थित है।
0 likesView Solution
36
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2010
$8 \text{ cm}$ मोटाई वाला एक बड़ा कांच का स्लैब $(\mu = 5/3)$ एक समतल सतह पर प्रकाश के बिंदु स्रोत के ऊपर रखा गया है। यह देखा गया है कि प्रकाश स्लैब की ऊपरी सतह से $R \text{ cm}$ त्रिज्या के एक गोलाकार क्षेत्र से बाहर निकलता है। $R$ का मान क्या है?
A
$5$
B
$6$
C
$9$
D
$7$
Solution
(B) बिंदु स्रोत से आने वाली प्रकाश किरणें ऊपरी सतह से तभी बाहर निकलेंगी यदि ऊपरी सतह पर आपतन कोण क्रांतिक कोण $\theta_c$ से कम या उसके बराबर हो।
क्रांतिक कोण $\theta_c$ का सूत्र $\sin \theta_c = 1/\mu$ है।
यहाँ $\mu = 5/3$ दिया गया है,इसलिए $\sin \theta_c = 1 / (5/3) = 3/5$ है।
समस्या की ज्यामिति से,$\tan \theta_c = R / h$,जहाँ $h = 8 \text{ cm}$ स्लैब की मोटाई है।
चूँकि $\sin \theta_c = 3/5$ है,हम एक समकोण त्रिभुज बना सकते हैं जिसमें सम्मुख भुजा $3$ और कर्ण $5$ है। आसन्न भुजा $\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ होगी।
अतः,$\tan \theta_c = 3/4$ है।
मान रखने पर,$3/4 = R / 8$ प्राप्त होता है।
$R = (3 \times 8) / 4 = 6 \text{ cm}$।
अतः,$R$ का मान $6$ है।
क्रांतिक कोण $\theta_c$ का सूत्र $\sin \theta_c = 1/\mu$ है।
यहाँ $\mu = 5/3$ दिया गया है,इसलिए $\sin \theta_c = 1 / (5/3) = 3/5$ है।
समस्या की ज्यामिति से,$\tan \theta_c = R / h$,जहाँ $h = 8 \text{ cm}$ स्लैब की मोटाई है।
चूँकि $\sin \theta_c = 3/5$ है,हम एक समकोण त्रिभुज बना सकते हैं जिसमें सम्मुख भुजा $3$ और कर्ण $5$ है। आसन्न भुजा $\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ होगी।
अतः,$\tan \theta_c = 3/4$ है।
मान रखने पर,$3/4 = R / 8$ प्राप्त होता है।
$R = (3 \times 8) / 4 = 6 \text{ cm}$।
अतः,$R$ का मान $6$ है।
0 likesView Solution
37
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
$20 \,m$ वक्रता त्रिज्या वाले एक उत्तल दर्पण की मुख्य अक्ष पर एक वस्तु गति कर रही है। इसका प्रतिबिंब $30 \,s$ में $\frac{25}{3} \,m$ से $\frac{50}{7} \,m$ की दूरी पर विस्थापित होता है। वस्तु की चाल $km/h$ में ज्ञात कीजिए।
A
$3$
B
$6$
C
$5$
D
$7$
Solution
(A) दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ है। उत्तल दर्पण के लिए,$R = +20 \,m$,अतः $f = +10 \,m$.
स्थिति $1$: प्रतिबिंब की स्थिति $v_1 = \frac{50}{7} \,m$.
$\frac{1}{u_1} = \frac{1}{10} - \frac{7}{50} = -\frac{1}{25} \implies u_1 = -25 \,m$.
स्थिति $2$: प्रतिबिंब की स्थिति $v_2 = \frac{25}{3} \,m$.
$\frac{1}{u_2} = \frac{1}{10} - \frac{3}{25} = -\frac{1}{50} \implies u_2 = -50 \,m$.
वस्तु द्वारा तय की गई दूरी $\Delta u = |u_2 - u_1| = 25 \,m$.
समय $\Delta t = 30 \,s$.
वस्तु की चाल $v = \frac{25}{30} \,m/s = \frac{5}{6} \,m/s$.
$km/h$ में परिवर्तन: $v = \frac{5}{6} \times \frac{18}{5} = 3 \,km/h$.
स्थिति $1$: प्रतिबिंब की स्थिति $v_1 = \frac{50}{7} \,m$.
$\frac{1}{u_1} = \frac{1}{10} - \frac{7}{50} = -\frac{1}{25} \implies u_1 = -25 \,m$.
स्थिति $2$: प्रतिबिंब की स्थिति $v_2 = \frac{25}{3} \,m$.
$\frac{1}{u_2} = \frac{1}{10} - \frac{3}{25} = -\frac{1}{50} \implies u_2 = -50 \,m$.
वस्तु द्वारा तय की गई दूरी $\Delta u = |u_2 - u_1| = 25 \,m$.
समय $\Delta t = 30 \,s$.
वस्तु की चाल $v = \frac{25}{30} \,m/s = \frac{5}{6} \,m/s$.
$km/h$ में परिवर्तन: $v = \frac{5}{6} \times \frac{18}{5} = 3 \,km/h$.
0 likesView Solution
38
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
समय $t=0$ पर,दिए गए परिपथ में बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच $10 \ V$ की बैटरी जोड़ी जाती है। यदि संधारित्रों पर प्रारंभ में कोई आवेश नहीं है,तो कितने समय (सेकंड में) बाद उनके बीच का वोल्टेज $4 \ V$ हो जाएगा? [$\ln 5=1.6, \ln 3=1.1$ लें]
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(B) सबसे पहले,परिपथ का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ और तुल्य धारिता $C_{eq}$ की गणना करें।
$2 \ M\Omega$ के दो प्रतिरोधक समानांतर में हैं,इसलिए $R_{eq} = \frac{2 \times 2}{2 + 2} \ M\Omega = 1 \ M\Omega = 10^6 \ \Omega$।
$2 \ \mu F$ के दो संधारित्र समानांतर में हैं,इसलिए $C_{eq} = 2 + 2 = 4 \ \mu F = 4 \times 10^{-6} \ F$।
समय नियतांक $\tau = R_{eq} C_{eq} = (10^6 \ \Omega) \times (4 \times 10^{-6} \ F) = 4 \ s$।
समय $t$ पर संधारित्रों के बीच वोल्टेज $V(t) = V_0(1 - e^{-t/\tau})$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $V(t) = 4 \ V$,$V_0 = 10 \ V$,और $\tau = 4 \ s$,इसलिए:
$4 = 10(1 - e^{-t/4})$
$0.4 = 1 - e^{-t/4}$
$e^{-t/4} = 0.6 = \frac{3}{5}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$-t/4 = \ln(3/5) = \ln 3 - \ln 5$
$-t/4 = 1.1 - 1.6 = -0.5$
$t/4 = 0.5$
$t = 2 \ s$।
$2 \ M\Omega$ के दो प्रतिरोधक समानांतर में हैं,इसलिए $R_{eq} = \frac{2 \times 2}{2 + 2} \ M\Omega = 1 \ M\Omega = 10^6 \ \Omega$।
$2 \ \mu F$ के दो संधारित्र समानांतर में हैं,इसलिए $C_{eq} = 2 + 2 = 4 \ \mu F = 4 \times 10^{-6} \ F$।
समय नियतांक $\tau = R_{eq} C_{eq} = (10^6 \ \Omega) \times (4 \times 10^{-6} \ F) = 4 \ s$।
समय $t$ पर संधारित्रों के बीच वोल्टेज $V(t) = V_0(1 - e^{-t/\tau})$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $V(t) = 4 \ V$,$V_0 = 10 \ V$,और $\tau = 4 \ s$,इसलिए:
$4 = 10(1 - e^{-t/4})$
$0.4 = 1 - e^{-t/4}$
$e^{-t/4} = 0.6 = \frac{3}{5}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$-t/4 = \ln(3/5) = \ln 3 - \ln 5$
$-t/4 = 1.1 - 1.6 = -0.5$
$t/4 = 0.5$
$t = 2 \ s$।
0 likesView Solution
39
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
दो पारदर्शी माध्यम,जिनके अपवर्तनांक $\mu_1$ और $\mu_3$ हैं,के बीच $\mu_2$ अपवर्तनांक वाला एक ठोस लेंस के आकार का पारदर्शी पदार्थ रखा गया है,जैसा कि कॉलम $II$ में चित्रों में दिखाया गया है। इन माध्यमों से गुजरने वाली एक किरण भी चित्रों में दिखाई गई है। कॉलम $I$ में $\mu_1, \mu_2$ और $\mu_3$ के बीच विभिन्न संबंध दिए गए हैं। उन्हें कॉलम $II$ में दिखाए गए किरण आरेख से मिलाएं।
A
$(A) \rightarrow (p, r), (B) \rightarrow (q, s, t), (C) \rightarrow (p, r, t), (D) \rightarrow (q, s)$
B
$(A) \rightarrow (p, q), (B) \rightarrow (q, s, r), (C) \rightarrow (p, r, q), (D) \rightarrow (q, r)$
C
$(A) \rightarrow (q, r), (B) \rightarrow (q, r, s), (C) \rightarrow (p, q, s), (D) \rightarrow (q, t)$
D
$(A) \rightarrow (q, t), (B) \rightarrow (p, r, t), (C) \rightarrow (q, r, s), (D) \rightarrow (r, s)$
Solution
(A) लेंस से गुजरने वाली किरण का व्यवहार लेंस सामग्री $(\mu_2)$ और आसपास के माध्यमों ($\mu_1$ और $\mu_3$) के सापेक्ष अपवर्तनांक पर निर्भर करता है।
$(A)$ $\mu_1 < \mu_2$: लेंस दाईं ओर के माध्यम से सघन है। उत्तल लेंस $(p)$ के लिए,किरण पहली सतह पर अभिलंब की ओर मुड़ती है और दूसरी सतह पर अभिलंब से दूर मुड़ती है,जिसके परिणामस्वरूप अभिसरण होता है। अवतल लेंस $(r)$ के लिए,यह अपसरण का कारण बनता है।
$(B)$ $\mu_1 > \mu_2$: लेंस दाईं ओर के माध्यम से विरल है। उत्तल लेंस एक अपसारी लेंस $(q)$ के रूप में कार्य करता है,और अवतल लेंस एक अभिसारी लेंस (s,t) के रूप में कार्य करता है।
$(C)$ $\mu_2 = \mu_3$: लेंस सामग्री और बाईं ओर के माध्यम का अपवर्तनांक समान है। किरण दूसरी सतह से बिना मुड़े गुजर जाती है।
$(D)$ $\mu_2 > \mu_3$: लेंस बाईं ओर के माध्यम से सघन है। किरण दूसरी सतह पर अभिलंब की ओर मुड़ती है।
शर्तों का मिलान करने पर:
$(A)$ $\mu_1 < \mu_2$ का मिलान (p,r) से होता है।
$(B)$ $\mu_1 > \mu_2$ का मिलान (q,s,t) से होता है।
$(C)$ $\mu_2 = \mu_3$ का मिलान (p,r,t) से होता है।
$(D)$ $\mu_2 > \mu_3$ का मिलान (q,s) से होता है।
$(A)$ $\mu_1 < \mu_2$: लेंस दाईं ओर के माध्यम से सघन है। उत्तल लेंस $(p)$ के लिए,किरण पहली सतह पर अभिलंब की ओर मुड़ती है और दूसरी सतह पर अभिलंब से दूर मुड़ती है,जिसके परिणामस्वरूप अभिसरण होता है। अवतल लेंस $(r)$ के लिए,यह अपसरण का कारण बनता है।
$(B)$ $\mu_1 > \mu_2$: लेंस दाईं ओर के माध्यम से विरल है। उत्तल लेंस एक अपसारी लेंस $(q)$ के रूप में कार्य करता है,और अवतल लेंस एक अभिसारी लेंस (s,t) के रूप में कार्य करता है।
$(C)$ $\mu_2 = \mu_3$: लेंस सामग्री और बाईं ओर के माध्यम का अपवर्तनांक समान है। किरण दूसरी सतह से बिना मुड़े गुजर जाती है।
$(D)$ $\mu_2 > \mu_3$: लेंस बाईं ओर के माध्यम से सघन है। किरण दूसरी सतह पर अभिलंब की ओर मुड़ती है।
शर्तों का मिलान करने पर:
$(A)$ $\mu_1 < \mu_2$ का मिलान (p,r) से होता है।
$(B)$ $\mu_1 > \mu_2$ का मिलान (q,s,t) से होता है।
$(C)$ $\mu_2 = \mu_3$ का मिलान (p,r,t) से होता है।
$(D)$ $\mu_2 > \mu_3$ का मिलान (q,s) से होता है।
0 likesView Solution
40
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
आपको कई प्रतिरोधक,संधारित्र और प्रेरक दिए गए हैं। इन्हें कॉलम $II$ में दिखाए अनुसार अलग-अलग तरीकों से एक परिवर्तनीय $DC$ वोल्टेज स्रोत (पहली दो सर्किट) या $50 \ Hz$ आवृत्ति के $AC$ वोल्टेज स्रोत (अगली तीन सर्किट) से जोड़ा गया है। जब सर्किट से धारा $I$ ($DC$ के लिए स्थिर अवस्था या $AC$ के लिए rms) प्रवाहित होती है,तो संबंधित वोल्टेज $V_1$ और $V_2$ (सर्किट में इंगित) कॉलम $I$ में दिखाए अनुसार संबंधित होते हैं। दोनों का मिलान करें।
A
$A) I \neq 0, V_1, I$ के समानुपाती है
B
$B) I \neq 0, V_2 > V_1$
C
$C) V_1 = 0, V_2 = V$
D
$D) I \neq 0, V_2, I$ के समानुपाती है
Solution
(C) $DC$ सर्किट के लिए,प्रेरक एक शॉर्ट सर्किट के रूप में कार्य करता है $(V_L = 0)$ और संधारित्र एक ओपन सर्किट के रूप में कार्य करता है $(I = 0)$।
$AC$ सर्किट के लिए,$X_L = \omega L = 2\pi f L$ और $X_C = 1/(\omega C) = 1/(2\pi f C)$।
सर्किट $(p)$: $DC$ स्रोत। प्रेरक $(V_1)$ शॉर्ट है,इसलिए $V_1 = 0$। संधारित्र $(V_2)$ ओपन है,इसलिए $I = 0$। $C$ से मेल खाता है।
सर्किट $(q)$: $DC$ स्रोत। प्रेरक $(V_1)$ शॉर्ट है,इसलिए $V_1 = 0$। प्रतिरोधक $(V_2)$ के लिए $V_2 = IR$। $C, D$ से मेल खाता है।
सर्किट $(r)$: $AC$ स्रोत। $V_1 = I X_L$ और $V_2 = IR$। $X_L = 2\pi(50)(6 \times 10^{-3}) \approx 1.88 \ \Omega$। $R = 2 \ \Omega$। चूंकि $R > X_L$,इसलिए $V_2 > V_1$। साथ ही $V_1 \propto I$ और $V_2 \propto I$। $A, B, D$ से मेल खाता है।
सर्किट $(s)$: $AC$ स्रोत। $V_1 = I X_L$ और $V_2 = I X_C$। $X_L \approx 1.88 \ \Omega$। $X_C = 1/(2\pi(50)(3 \times 10^{-6})) \approx 1061 \ \Omega$। चूंकि $X_C > X_L$,इसलिए $V_2 > V_1$। साथ ही $V_1 \propto I$ और $V_2 \propto I$। $A, B, D$ से मेल खाता है।
सर्किट $(t)$: $AC$ स्रोत। $V_1 = IR$ और $V_2 = I X_C$। $R = 1000 \ \Omega$,$X_C \approx 1061 \ \Omega$। $V_2 > V_1$। साथ ही $V_1 \propto I$ और $V_2 \propto I$। $A, B, D$ से मेल खाता है।
सारांश:
$A \rightarrow (r, s, t)$
$B \rightarrow (r, s, t)$
$C \rightarrow (p, q)$
$D \rightarrow (q, r, s, t)$
$AC$ सर्किट के लिए,$X_L = \omega L = 2\pi f L$ और $X_C = 1/(\omega C) = 1/(2\pi f C)$।
सर्किट $(p)$: $DC$ स्रोत। प्रेरक $(V_1)$ शॉर्ट है,इसलिए $V_1 = 0$। संधारित्र $(V_2)$ ओपन है,इसलिए $I = 0$। $C$ से मेल खाता है।
सर्किट $(q)$: $DC$ स्रोत। प्रेरक $(V_1)$ शॉर्ट है,इसलिए $V_1 = 0$। प्रतिरोधक $(V_2)$ के लिए $V_2 = IR$। $C, D$ से मेल खाता है।
सर्किट $(r)$: $AC$ स्रोत। $V_1 = I X_L$ और $V_2 = IR$। $X_L = 2\pi(50)(6 \times 10^{-3}) \approx 1.88 \ \Omega$। $R = 2 \ \Omega$। चूंकि $R > X_L$,इसलिए $V_2 > V_1$। साथ ही $V_1 \propto I$ और $V_2 \propto I$। $A, B, D$ से मेल खाता है।
सर्किट $(s)$: $AC$ स्रोत। $V_1 = I X_L$ और $V_2 = I X_C$। $X_L \approx 1.88 \ \Omega$। $X_C = 1/(2\pi(50)(3 \times 10^{-6})) \approx 1061 \ \Omega$। चूंकि $X_C > X_L$,इसलिए $V_2 > V_1$। साथ ही $V_1 \propto I$ और $V_2 \propto I$। $A, B, D$ से मेल खाता है।
सर्किट $(t)$: $AC$ स्रोत। $V_1 = IR$ और $V_2 = I X_C$। $R = 1000 \ \Omega$,$X_C \approx 1061 \ \Omega$। $V_2 > V_1$। साथ ही $V_1 \propto I$ और $V_2 \propto I$। $A, B, D$ से मेल खाता है।
सारांश:
$A \rightarrow (r, s, t)$
$B \rightarrow (r, s, t)$
$C \rightarrow (p, q)$
$D \rightarrow (q, r, s, t)$
0 likesView Solution
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real IIT JEE style covering Physics with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D Physics papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Run live IIT JEE mock exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFrequently Asked Questions
How many Physics questions are in IIT JEE 2010?
There are 40 Physics questions from the IIT JEE 2010 paper on Vedclass, each with a detailed step-by-step solution in Hindi.
Are IIT JEE 2010 Physics solutions available in Hindi?
Yes. All solutions on this page are in Hindi. You can also switch to English or Hindi using the language buttons above the questions.
Can I practice IIT JEE 2010 Physics as a timed test?
Yes. Use the Vedclass Test Series to attempt a full IIT JEE mock test covering Physics with time limits and instant score analysis.
Can teachers create Physics papers from IIT JEE previous year questions?
Yes. The Vedclass Exam Paper Generator lets teachers mix IIT JEE Physics questions and generate Set A/B/C/D papers in minutes.
For Teachers & Institutes
Build a Custom Physics Paper
Pick IIT JEE 2010 Physics questions, set difficulty, and generate Set A/B/C/D in 2 minutes.