PhysicsQ1–40 of 40 questions
Page 1 of 1 · Gujarati
1
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
$m$ દળનો એક બ્લોક $\theta$ ખૂણાવાળા ઢળતા સમતલ પર છે. બ્લોક અને સમતલ વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક $\mu$ છે અને $\tan \theta > \mu$ છે. સમતલને સમાંતર $P$ બળ લગાડીને બ્લોકને સ્થિર રાખવામાં આવે છે. સમતલ પર ઉપરની તરફની બળની દિશાને ધન લેવામાં આવે છે. જેમ $P$ ને $P_1 = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ થી $P_2 = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ સુધી બદલવામાં આવે છે,તેમ ઘર્ષણ બળ $f$ વિરુદ્ધ $P$ નો આલેખ કેવો દેખાશે?
A
B
C
D
Solution
(A) ઢળતા સમતલ પરના બ્લોક માટે,સમતલની નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $mg \sin \theta$ છે. મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu mg \cos \theta$ છે.
જ્યારે સમતલને સમાંતર $P$ બળ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે સંતુલનનું સમીકરણ $P + f - mg \sin \theta = 0$ થાય છે,જ્યાં $f$ એ સ્થિત ઘર્ષણ બળ છે.
તેથી,$f = mg \sin \theta - P$.
આ $y = -mx + c$ સ્વરૂપનું સુરેખ સમીકરણ છે,જે ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
જ્યારે $P = P_1 = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ હોય,ત્યારે $f = mg \sin \theta - mg(\sin \theta - \mu \cos \theta) = \mu mg \cos \theta$.
જ્યારે $P = P_2 = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ હોય,ત્યારે $f = mg \sin \theta - mg(\sin \theta + \mu \cos \theta) = -\mu mg \cos \theta$.
જેમ $P$ એ $P_1$ થી $P_2$ સુધી વધે છે,તેમ ઘર્ષણ બળ $f$ એ $\mu mg \cos \theta$ થી $-\mu mg \cos \theta$ સુધી રેખીય રીતે ઘટે છે.
આ વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.
જ્યારે સમતલને સમાંતર $P$ બળ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે સંતુલનનું સમીકરણ $P + f - mg \sin \theta = 0$ થાય છે,જ્યાં $f$ એ સ્થિત ઘર્ષણ બળ છે.
તેથી,$f = mg \sin \theta - P$.
આ $y = -mx + c$ સ્વરૂપનું સુરેખ સમીકરણ છે,જે ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
જ્યારે $P = P_1 = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ હોય,ત્યારે $f = mg \sin \theta - mg(\sin \theta - \mu \cos \theta) = \mu mg \cos \theta$.
જ્યારે $P = P_2 = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ હોય,ત્યારે $f = mg \sin \theta - mg(\sin \theta + \mu \cos \theta) = -\mu mg \cos \theta$.
જેમ $P$ એ $P_1$ થી $P_2$ સુધી વધે છે,તેમ ઘર્ષણ બળ $f$ એ $\mu mg \cos \theta$ થી $-\mu mg \cos \theta$ સુધી રેખીય રીતે ઘટે છે.
આ વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.
0 likesView Solution
2
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
$M$ દળ ધરાવતી એક પાતળી સમાન વલયાકાર તકતી (આકૃતિ જુઓ) ની બહારની ત્રિજ્યા $4 R$ અને અંદરની ત્રિજ્યા $3 R$ છે. એકમ દળને તેના અક્ષ પરના બિંદુ $P$ થી અનંત સુધી લઈ જવા માટે જરૂરી કાર્ય કેટલું છે?
A
$\frac{2 GM}{7 R}(4 \sqrt{2}-5)$
B
$-\frac{2 GM}{7 R}(4 \sqrt{2}-5)$
C
$\frac{GM}{4 R}$
D
$\frac{2 GM}{5 R}(\sqrt{2}-1)$
Solution
(A) વલયાકાર તકતીની પૃષ્ઠ દળ ઘનતા $\sigma = \frac{M}{\pi(4R)^2 - \pi(3R)^2} = \frac{M}{7\pi R^2}$ છે.
$r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈ ધરાવતા પાતળા વલયના ઘટકનો વિચાર કરો. આ ઘટકનું દળ $dm = \sigma (2\pi r dr)$ છે.
આ વલયને કારણે બિંદુ $P$ (કેન્દ્રથી $h=4R$ અંતરે) પર ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન $V_P$ એ $dV_P = -\frac{G dm}{\sqrt{r^2 + h^2}} = -\frac{G \sigma 2\pi r dr}{\sqrt{r^2 + (4R)^2}}$ છે.
$r=3R$ થી $r=4R$ સુધી સંકલન કરતા:
$V_P = -\int_{3R}^{4R} \frac{G \sigma 2\pi r dr}{\sqrt{r^2 + 16R^2}} = -2\pi G \sigma [\sqrt{r^2 + 16R^2}]_{3R}^{4R}$.
$V_P = -2\pi G \left(\frac{M}{7\pi R^2}\right) [\sqrt{16R^2 + 16R^2} - \sqrt{9R^2 + 16R^2}] = -\frac{2GM}{7R^2} [4R\sqrt{2} - 5R] = -\frac{2GM}{7R}(4\sqrt{2}-5)$.
એકમ દળને $P$ થી અનંત સુધી લઈ જવા માટે જરૂરી કાર્ય $W = U_{\infty} - U_P = 1 \cdot V_{\infty} - 1 \cdot V_P = 0 - V_P = -V_P$ છે.
તેથી,$W = \frac{2GM}{7R}(4\sqrt{2}-5)$.
$r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈ ધરાવતા પાતળા વલયના ઘટકનો વિચાર કરો. આ ઘટકનું દળ $dm = \sigma (2\pi r dr)$ છે.
આ વલયને કારણે બિંદુ $P$ (કેન્દ્રથી $h=4R$ અંતરે) પર ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન $V_P$ એ $dV_P = -\frac{G dm}{\sqrt{r^2 + h^2}} = -\frac{G \sigma 2\pi r dr}{\sqrt{r^2 + (4R)^2}}$ છે.
$r=3R$ થી $r=4R$ સુધી સંકલન કરતા:
$V_P = -\int_{3R}^{4R} \frac{G \sigma 2\pi r dr}{\sqrt{r^2 + 16R^2}} = -2\pi G \sigma [\sqrt{r^2 + 16R^2}]_{3R}^{4R}$.
$V_P = -2\pi G \left(\frac{M}{7\pi R^2}\right) [\sqrt{16R^2 + 16R^2} - \sqrt{9R^2 + 16R^2}] = -\frac{2GM}{7R^2} [4R\sqrt{2} - 5R] = -\frac{2GM}{7R}(4\sqrt{2}-5)$.
એકમ દળને $P$ થી અનંત સુધી લઈ જવા માટે જરૂરી કાર્ય $W = U_{\infty} - U_P = 1 \cdot V_{\infty} - 1 \cdot V_P = 0 - V_P = -V_P$ છે.
તેથી,$W = \frac{2GM}{7R}(4\sqrt{2}-5)$.
0 likesView Solution
3
PhysicsEasyMCQIIT JEE · 2010
એક વાસ્તવિક વાયુ આદર્શ વાયુ જેવું વર્તન કરે છે જો તેનું
A
દબાણ અને તાપમાન બંને ઊંચા હોય
B
દબાણ અને તાપમાન બંને નીચા હોય
C
દબાણ ઊંચું અને તાપમાન નીચું હોય
D
દબાણ નીચું અને તાપમાન ઊંચું હોય
Solution
(D) વાસ્તવિક વાયુ વાન્ડર વાલ્સના સમીકરણનું પાલન કરે છે:
$(P + \frac{an^2}{V^2})(V - nb) = nRT$
ઊંચા તાપમાને,વાયુના અણુઓની ગતિ ઊર્જા ખૂબ વધારે હોય છે,જેના કારણે આંતર-આણ્વીય આકર્ષણ બળો નગણ્ય બની જાય છે.
નીચા દબાણે,વાયુનું કદ ખૂબ મોટું હોય છે,જેના કારણે વાયુના અણુઓ દ્વારા રોકાયેલું કદ $(nb)$ કુલ કદ $(V)$ ની સરખામણીમાં નગણ્ય બની જાય છે.
આ પરિસ્થિતિઓમાં (ઊંચું તાપમાન અને નીચું દબાણ),વાન્ડર વાલ્સનું સમીકરણ આદર્શ વાયુના સમીકરણમાં ફેરવાય છે: $PV = nRT$.
તેથી,વાસ્તવિક વાયુ નીચા દબાણે અને ઊંચા તાપમાને આદર્શ વાયુ જેવું વર્તન કરે છે.
$(P + \frac{an^2}{V^2})(V - nb) = nRT$
ઊંચા તાપમાને,વાયુના અણુઓની ગતિ ઊર્જા ખૂબ વધારે હોય છે,જેના કારણે આંતર-આણ્વીય આકર્ષણ બળો નગણ્ય બની જાય છે.
નીચા દબાણે,વાયુનું કદ ખૂબ મોટું હોય છે,જેના કારણે વાયુના અણુઓ દ્વારા રોકાયેલું કદ $(nb)$ કુલ કદ $(V)$ ની સરખામણીમાં નગણ્ય બની જાય છે.
આ પરિસ્થિતિઓમાં (ઊંચું તાપમાન અને નીચું દબાણ),વાન્ડર વાલ્સનું સમીકરણ આદર્શ વાયુના સમીકરણમાં ફેરવાય છે: $PV = nRT$.
તેથી,વાસ્તવિક વાયુ નીચા દબાણે અને ઊંચા તાપમાને આદર્શ વાયુ જેવું વર્તન કરે છે.
0 likesView Solution
4
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2010
$1 \, kg$ નો એક બિંદુવત દળ $5 \, kg$ ના સ્થિર બિંદુવત દળ સાથે સ્થિતિસ્થાપક રીતે અથડાય છે. અથડામણ પછી, $1 \, kg$ દળ તેની દિશા ઉલટાવે છે અને $2 \, m/s$ ની ઝડપે ગતિ કરે છે. આ બે દળોની સિસ્ટમ માટે નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ સિસ્ટમનું કુલ વેગમાન $3 \, kg \cdot m/s$ છે
$(B)$ અથડામણ પછી $5 \, kg$ દળનું વેગમાન $4 \, kg \cdot m/s$ છે
$(C)$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ ઉર્જા $0.75 \, J$ છે
$(D)$ સિસ્ટમની કુલ ગતિ ઉર્જા $4 \, J$ છે
$(A)$ સિસ્ટમનું કુલ વેગમાન $3 \, kg \cdot m/s$ છે
$(B)$ અથડામણ પછી $5 \, kg$ દળનું વેગમાન $4 \, kg \cdot m/s$ છે
$(C)$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ ઉર્જા $0.75 \, J$ છે
$(D)$ સિસ્ટમની કુલ ગતિ ઉર્જા $4 \, J$ છે
A
$(A, C)$
B
$(B, D)$
C
$(C, D)$
D
$(A, D)$
Solution
(A) ધારો કે $1 \, kg$ દળનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને $5 \, kg$ દળનો અંતિમ વેગ $v$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $1 \cdot u + 5 \cdot 0 = 1 \cdot (-2) + 5 \cdot v \implies u = 5v - 2$ ... $(i)$
ન્યુટનના અથડામણના પ્રાયોગિક નિયમ મુજબ (સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે, પુનઃપ્રાપ્તિ ગુણાંક $e = 1$): $v - (-2) = 1 \cdot (u - 0) \implies u = v + 2$ ... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને ઉકેલતા: $5v - 2 = v + 2 \implies 4v = 4 \implies v = 1 \, m/s$. તેથી $u = 3 \, m/s$.
$(A)$ કુલ વેગમાન $P = 1 \cdot u = 1 \cdot 3 = 3 \, kg \cdot m/s$. (સાચું)
$(B)$ $5 \, kg$ દળનું વેગમાન $= 5 \cdot v = 5 \cdot 1 = 5 \, kg \cdot m/s$. (ખોટું)
$(C)$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v_{cm} = \frac{m_1 u_1 + m_2 u_2}{m_1 + m_2} = \frac{1 \cdot 3 + 5 \cdot 0}{1 + 5} = 0.5 \, m/s$. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ ઉર્જા $= \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_{cm}^2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (0.5)^2 = 3 \cdot 0.25 = 0.75 \, J$. (સાચું)
$(D)$ કુલ ગતિ ઉર્જા $= \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (-2)^2 + \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (1)^2 = 2 + 2.5 = 4.5 \, J$. (ખોટું)
આમ, વિધાન $(A)$ અને $(C)$ સાચા છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $1 \cdot u + 5 \cdot 0 = 1 \cdot (-2) + 5 \cdot v \implies u = 5v - 2$ ... $(i)$
ન્યુટનના અથડામણના પ્રાયોગિક નિયમ મુજબ (સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે, પુનઃપ્રાપ્તિ ગુણાંક $e = 1$): $v - (-2) = 1 \cdot (u - 0) \implies u = v + 2$ ... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને ઉકેલતા: $5v - 2 = v + 2 \implies 4v = 4 \implies v = 1 \, m/s$. તેથી $u = 3 \, m/s$.
$(A)$ કુલ વેગમાન $P = 1 \cdot u = 1 \cdot 3 = 3 \, kg \cdot m/s$. (સાચું)
$(B)$ $5 \, kg$ દળનું વેગમાન $= 5 \cdot v = 5 \cdot 1 = 5 \, kg \cdot m/s$. (ખોટું)
$(C)$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v_{cm} = \frac{m_1 u_1 + m_2 u_2}{m_1 + m_2} = \frac{1 \cdot 3 + 5 \cdot 0}{1 + 5} = 0.5 \, m/s$. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ ઉર્જા $= \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_{cm}^2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (0.5)^2 = 3 \cdot 0.25 = 0.75 \, J$. (સાચું)
$(D)$ કુલ ગતિ ઉર્જા $= \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (-2)^2 + \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (1)^2 = 2 + 2.5 = 4.5 \, J$. (ખોટું)
આમ, વિધાન $(A)$ અને $(C)$ સાચા છે.
0 likesView Solution
5
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2010
એક મોલ આદર્શ વાયુ પ્રારંભિક અવસ્થા $A$ માં ચક્રીય પ્રક્રિયા $ABCA$ માંથી પસાર થાય છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. $A$ પર તેનું દબાણ $P_0$ છે. નીચેનામાંથી સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો:
$(A)$ $A$ અને $B$ પર આંતરિક ઉર્જા સમાન છે
$(B)$ પ્રક્રિયા $AB$ માં વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $P_0 V_0 \ln 4$ છે
$(C)$ $C$ પર દબાણ $\frac{P_0}{4}$ છે
$(D)$ $C$ પર તાપમાન $\frac{T_0}{4}$ છે
$(A)$ $A$ અને $B$ પર આંતરિક ઉર્જા સમાન છે
$(B)$ પ્રક્રિયા $AB$ માં વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $P_0 V_0 \ln 4$ છે
$(C)$ $C$ પર દબાણ $\frac{P_0}{4}$ છે
$(D)$ $C$ પર તાપમાન $\frac{T_0}{4}$ છે
A
$(B, D)$
B
$(A, D)$
C
$(A, B)$
D
$(B, C)$
Solution
(A) $V-T$ આલેખ પરથી:
$1$. પ્રક્રિયા $AB$ એ સમતાપી પ્રક્રિયા છે (કારણ કે $T$ અચળ $T_0$ છે). $T_A = T_B = T_0$ હોવાથી,આંતરિક ઉર્જા $U = nC_vT$ $A$ અને $B$ પર સમાન છે. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
$2$. પ્રક્રિયા $AB$ માં,તાપમાન $T_0$ અચળ રહે છે અને કદ $V_0$ થી $4V_0$ થાય છે. કાર્ય $W = nRT_0 \ln(V_f/V_i) = P_0 V_0 \ln(4V_0/V_0) = P_0 V_0 \ln 4$. તેથી,$(B)$ સાચું છે.
$3$. પ્રક્રિયા $BC$ એ $V-T$ આલેખમાં ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા છે,તેથી $V \propto T$,જે સમદાબી પ્રક્રિયા છે. $P_B = RT_0/4V_0 = P_0/4$. $BC$ સમદાબી હોવાથી,$P_C = P_B = P_0/4$. તેથી,$(C)$ સાચું છે.
$4$. પ્રક્રિયા $CA$ માં $V$ અચળ $V_0$ છે. $P_C = P_0/4$ અને $V_C = V_0$. $PV=nRT$ પરથી,$(P_0/4) V_0 = RT_C$. $P_0 V_0 = RT_0$ હોવાથી,$T_C = T_0/4$. તેથી,$(D)$ સાચું છે.
$1$. પ્રક્રિયા $AB$ એ સમતાપી પ્રક્રિયા છે (કારણ કે $T$ અચળ $T_0$ છે). $T_A = T_B = T_0$ હોવાથી,આંતરિક ઉર્જા $U = nC_vT$ $A$ અને $B$ પર સમાન છે. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
$2$. પ્રક્રિયા $AB$ માં,તાપમાન $T_0$ અચળ રહે છે અને કદ $V_0$ થી $4V_0$ થાય છે. કાર્ય $W = nRT_0 \ln(V_f/V_i) = P_0 V_0 \ln(4V_0/V_0) = P_0 V_0 \ln 4$. તેથી,$(B)$ સાચું છે.
$3$. પ્રક્રિયા $BC$ એ $V-T$ આલેખમાં ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા છે,તેથી $V \propto T$,જે સમદાબી પ્રક્રિયા છે. $P_B = RT_0/4V_0 = P_0/4$. $BC$ સમદાબી હોવાથી,$P_C = P_B = P_0/4$. તેથી,$(C)$ સાચું છે.
$4$. પ્રક્રિયા $CA$ માં $V$ અચળ $V_0$ છે. $P_C = P_0/4$ અને $V_C = V_0$. $PV=nRT$ પરથી,$(P_0/4) V_0 = RT_C$. $P_0 V_0 = RT_0$ હોવાથી,$T_C = T_0/4$. તેથી,$(D)$ સાચું છે.
0 likesView Solution
6
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2010
એક વિદ્યાર્થી ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નક્કી કરવા માટે બરાબર $1 \ m$ લંબાઈના સાદા લોલકનો ઉપયોગ કરે છે. તે આ માટે $1 \ s$ ના લઘુત્તમ માપન (least count) વાળી સ્ટોપવોચનો ઉપયોગ કરે છે અને $20$ દોલનો માટે $40 \ s$ નોંધે છે. આ અવલોકન માટે,નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ સમયગાળા $T$ માપવામાં ત્રુટિ $\Delta T$ એ $0.05 \ s$ છે
$(B)$ સમયગાળા $T$ માપવામાં ત્રુટિ $\Delta T$ એ $1 \ s$ છે
$(C)$ $g$ ના નિર્ધારણમાં ટકાવારી ત્રુટિ $5 \%$ છે
$(D)$ $g$ ના નિર્ધારણમાં ટકાવારી ત્રુટિ $2.5 \%$ છે
$(A)$ સમયગાળા $T$ માપવામાં ત્રુટિ $\Delta T$ એ $0.05 \ s$ છે
$(B)$ સમયગાળા $T$ માપવામાં ત્રુટિ $\Delta T$ એ $1 \ s$ છે
$(C)$ $g$ ના નિર્ધારણમાં ટકાવારી ત્રુટિ $5 \%$ છે
$(D)$ $g$ ના નિર્ધારણમાં ટકાવારી ત્રુટિ $2.5 \%$ છે
A
$(B, D)$
B
$(A, D)$
C
$(C, D)$
D
$(A, C)$
Solution
(D) સમયગાળો $T = \frac{t}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $t = 40 \ s$ અને $n = 20$ છે.
સ્ટોપવોચનું લઘુત્તમ માપન $\Delta t = 1 \ s$ આપેલ છે.
સમયગાળા $T$ માં ત્રુટિ $\Delta T = \frac{\Delta t}{n} = \frac{1 \ s}{20} = 0.05 \ s$ થાય. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{4 \pi^2 L}{T^2}$ છે.
$g$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta g}{g} = 2 \frac{\Delta T}{T}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta g}{g} = 2 \times \frac{0.05}{2} = 0.05$.
$g$ માં ટકાવારી ત્રુટિ $= \frac{\Delta g}{g} \times 100 = 0.05 \times 100 = 5 \%$ થાય. તેથી,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
સ્ટોપવોચનું લઘુત્તમ માપન $\Delta t = 1 \ s$ આપેલ છે.
સમયગાળા $T$ માં ત્રુટિ $\Delta T = \frac{\Delta t}{n} = \frac{1 \ s}{20} = 0.05 \ s$ થાય. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{4 \pi^2 L}{T^2}$ છે.
$g$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta g}{g} = 2 \frac{\Delta T}{T}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta g}{g} = 2 \times \frac{0.05}{2} = 0.05$.
$g$ માં ટકાવારી ત્રુટિ $= \frac{\Delta g}{g} \times 100 = 0.05 \times 100 = 5 \%$ થાય. તેથી,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
0 likesView Solution
7
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
જ્યારે $m$ દળનો કણ $x$-અક્ષ પર $V(x)=kx^2$ સ્વરૂપના પોટેન્શિયલમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તે સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે. તેનો સમયગાળો $\sqrt{\frac{m}{k}}$ ના પ્રમાણમાં હોય છે,જે પરિમાણીય વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી જોઈ શકાય છે. જો કે,કણની ગતિ ત્યારે પણ આવર્ત હોઈ શકે છે જ્યારે તેની સ્થિતિ ઊર્જા $x=0$ ની બંને બાજુએ $kx^2$ કરતા અલગ રીતે વધે અને તેની કુલ ઊર્જા એવી હોય કે કણ અનંત સુધી પલાયન ન કરે. $m$ દળના કણનો વિચાર કરો જે $x$-અક્ષ પર ગતિ કરે છે. તેની સ્થિતિ ઊર્જા ઉદગમ સ્થાનની નજીક $|x|$ માટે $V(x)=\alpha x^4$ $(\alpha>0)$ છે અને $|x| \geq X_0$ માટે $V_0$ જેટલી અચળ બને છે (આકૃતિ જુઓ).
$1.$ જો કણની કુલ ઊર્જા $E$ હોય,તો તે આવર્ત ગતિ ત્યારે જ કરશે જો
$(A)$ $E < 0$
$(B)$ $E > 0$
$(C)$ $V_0 > E > 0$
$(D)$ $E > V_0$
$2.$ નાના કંપવિસ્તાર $A$ ની આવર્ત ગતિ માટે,આ કણનો સમયગાળો $T$ કોના પ્રમાણમાં છે?
$(A)$ $A \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$
$(B)$ $\frac{1}{A} \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$
$(C)$ $A \sqrt{\frac{\alpha}{m}}$
$(D)$ $A \sqrt{\frac{\alpha}{m}}$
$3.$ $|x|>X_0$ માટે આ કણનો પ્રવેગ કેટલો છે?
$(A)$ $V_0$ ના પ્રમાણમાં
$(B)$ $\frac{V_0}{mX_0}$ ના પ્રમાણમાં
$(C)$ $\sqrt{\frac{V_0}{mX_0}}$ ના પ્રમાણમાં
$(D)$ શૂન્ય
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.
$1.$ જો કણની કુલ ઊર્જા $E$ હોય,તો તે આવર્ત ગતિ ત્યારે જ કરશે જો
$(A)$ $E < 0$
$(B)$ $E > 0$
$(C)$ $V_0 > E > 0$
$(D)$ $E > V_0$
$2.$ નાના કંપવિસ્તાર $A$ ની આવર્ત ગતિ માટે,આ કણનો સમયગાળો $T$ કોના પ્રમાણમાં છે?
$(A)$ $A \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$
$(B)$ $\frac{1}{A} \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$
$(C)$ $A \sqrt{\frac{\alpha}{m}}$
$(D)$ $A \sqrt{\frac{\alpha}{m}}$
$3.$ $|x|>X_0$ માટે આ કણનો પ્રવેગ કેટલો છે?
$(A)$ $V_0$ ના પ્રમાણમાં
$(B)$ $\frac{V_0}{mX_0}$ ના પ્રમાણમાં
$(C)$ $\sqrt{\frac{V_0}{mX_0}}$ ના પ્રમાણમાં
$(D)$ શૂન્ય
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.
A
$(A, B, C)$
B
$(C, B, D)$
C
$(C, B, A)$
D
$(A, C, D)$
Solution
(C) $1.$ આવર્ત ગતિ માટે,કણ પોટેન્શિયલ વેલમાં ફસાયેલો હોવો જોઈએ. કારણ કે $V(x) \geq 0$ અને જેમ $|x| \to X_0$ તેમ $V(x) \to V_0$,કણ ત્યારે જ ફસાયેલો રહે જો $0 < E < V_0$ હોય. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.
$2.$ સ્થિતિ ઊર્જા $V(x) = \alpha x^4$ છે. કુલ ઊર્જા $E = \frac{1}{2} m v^2 + \alpha x^4 = \alpha A^4$ છે.
$v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2\alpha}{m} (A^4 - x^4)}$.
$T = 4 \int_0^A \frac{dx}{v} = 4 \sqrt{\frac{m}{2\alpha}} \int_0^A \frac{dx}{\sqrt{A^4 - x^4}}$.
ધારો કે $x = Au$,તો $dx = A du$.
$T = 4 \sqrt{\frac{m}{2\alpha}} \frac{1}{A} \int_0^1 \frac{du}{\sqrt{1 - u^4}}$.
આમ,$T \propto \frac{1}{A} \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$. સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.
$3.$ $|x| > X_0$ માટે,સ્થિતિ ઊર્જા $V(x) = V_0$ (અચળ) છે. બળ $F = -\frac{dV}{dx} = 0$ છે. કારણ કે $F = ma$,તેથી પ્રવેગ $a = 0$ છે. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
$2.$ સ્થિતિ ઊર્જા $V(x) = \alpha x^4$ છે. કુલ ઊર્જા $E = \frac{1}{2} m v^2 + \alpha x^4 = \alpha A^4$ છે.
$v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2\alpha}{m} (A^4 - x^4)}$.
$T = 4 \int_0^A \frac{dx}{v} = 4 \sqrt{\frac{m}{2\alpha}} \int_0^A \frac{dx}{\sqrt{A^4 - x^4}}$.
ધારો કે $x = Au$,તો $dx = A du$.
$T = 4 \sqrt{\frac{m}{2\alpha}} \frac{1}{A} \int_0^1 \frac{du}{\sqrt{1 - u^4}}$.
આમ,$T \propto \frac{1}{A} \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$. સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.
$3.$ $|x| > X_0$ માટે,સ્થિતિ ઊર્જા $V(x) = V_0$ (અચળ) છે. બળ $F = -\frac{dV}{dx} = 0$ છે. કારણ કે $F = ma$,તેથી પ્રવેગ $a = 0$ છે. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
0 likesView Solution
8
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2010
એક ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $\frac{\sqrt{6}}{11} g$ છે,જ્યાં $g$ એ પૃથ્વીની સપાટી પરનો ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે. ગ્રહની સરેરાશ દળ ઘનતા પૃથ્વીની ઘનતા કરતા $\frac{2}{3}$ ગણી છે. જો પૃથ્વીની સપાટી પર નિષ્ક્રમણ ઝડપ $11 \ km/s$ લેવામાં આવે,તો ગ્રહની સપાટી પર નિષ્ક્રમણ ઝડપ $km/s$ માં કેટલી હશે?
A
$2$
B
$3$
C
$8$
D
$9$
Solution
(B) ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{4}{3} \pi G \rho R$ છે.
તેથી,$\frac{g'}{g} = \frac{\rho' R'}{\rho R}$.
આપેલ છે કે $\frac{g'}{g} = \frac{\sqrt{6}}{11}$ અને $\frac{\rho'}{\rho} = \frac{2}{3}$,તેથી $\frac{\sqrt{6}}{11} = \frac{2}{3} \cdot \frac{R'}{R}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{R'}{R} = \frac{3\sqrt{6}}{22}$.
નિષ્ક્રમણ ઝડપ $v_e = \sqrt{2gR} = \sqrt{2 (\frac{4}{3} \pi G \rho R) R} = R \sqrt{\frac{8}{3} \pi G \rho}$ છે.
તેથી,$\frac{v_e'}{v_e} = \frac{R'}{R} \sqrt{\frac{\rho'}{\rho}} = \left( \frac{3\sqrt{6}}{22} \right) \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{3\sqrt{6}}{22} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}\sqrt{3}}{22} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot 2}{22} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11}$.
આપેલ છે કે $v_e = 11 \ km/s$,તેથી $v_e' = 11 \cdot \frac{3}{11} = 3 \ km/s$.
તેથી,$\frac{g'}{g} = \frac{\rho' R'}{\rho R}$.
આપેલ છે કે $\frac{g'}{g} = \frac{\sqrt{6}}{11}$ અને $\frac{\rho'}{\rho} = \frac{2}{3}$,તેથી $\frac{\sqrt{6}}{11} = \frac{2}{3} \cdot \frac{R'}{R}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{R'}{R} = \frac{3\sqrt{6}}{22}$.
નિષ્ક્રમણ ઝડપ $v_e = \sqrt{2gR} = \sqrt{2 (\frac{4}{3} \pi G \rho R) R} = R \sqrt{\frac{8}{3} \pi G \rho}$ છે.
તેથી,$\frac{v_e'}{v_e} = \frac{R'}{R} \sqrt{\frac{\rho'}{\rho}} = \left( \frac{3\sqrt{6}}{22} \right) \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{3\sqrt{6}}{22} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}\sqrt{3}}{22} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot 2}{22} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11}$.
આપેલ છે કે $v_e = 11 \ km/s$,તેથી $v_e' = 11 \cdot \frac{3}{11} = 3 \ km/s$.
0 likesView Solution
9
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2010
$m$ ગ્રામ દળનો બરફનો ટુકડો (વિશિષ્ટ ઉષ્મા $= 2100 \ J \ kg^{-1} \ ^{\circ}C^{-1}$ અને ગલનગુપ્ત ઉષ્મા $= 3.36 \times 10^5 \ J \ kg^{-1}$) વાતાવરણીય દબાણે $-5^{\circ}C$ તાપમાને છે. તેને $420 \ J$ ઉષ્મા આપવામાં આવે છે જેથી બરફ પીગળવાનું શરૂ થાય છે. અંતે,જ્યારે બરફ-પાણીનું મિશ્રણ સંતુલનમાં હોય,ત્યારે માલૂમ પડે છે કે $1 \ g$ બરફ પીગળી ગયો છે. પ્રક્રિયામાં અન્ય કોઈ ઉષ્માનો વિનિમય થતો નથી તેમ ધારતા,$m$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે?
A
$7$
B
$8$
C
$9$
D
$5$
Solution
(B) કુલ ઉષ્મા $Q = 420 \ J$ બે પ્રક્રિયાઓ માટે વપરાય છે:
$1$. સમગ્ર દળ $m$ (ગ્રામમાં) નું તાપમાન $-5^{\circ}C$ થી $0^{\circ}C$ સુધી વધારવા માટે.
$2$. $0^{\circ}C$ તાપમાને $1 \ g$ બરફને પીગળવા માટે.
આપેલ છે:
દળ $m$ ગ્રામમાં $= m \times 10^{-3} \ kg$.
બરફની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c = 2100 \ J \ kg^{-1} \ ^{\circ}C^{-1}$.
ગલનગુપ્ત ઉષ્મા $L = 3.36 \times 10^5 \ J \ kg^{-1}$.
તાપમાન વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_1 = m \times 10^{-3} \times 2100 \times (0 - (-5)) = m \times 2.1 \times 5 = 10.5m \ J$.
$1 \ g$ બરફ પીગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_2 = 1 \times 10^{-3} \times 3.36 \times 10^5 = 336 \ J$.
કુલ ઉષ્મા $Q = Q_1 + Q_2 = 420 \ J$.
$10.5m + 336 = 420$.
$10.5m = 420 - 336 = 84$.
$m = 84 / 10.5 = 8$.
તેથી,$m$ નું મૂલ્ય $8 \ g$ છે.
$1$. સમગ્ર દળ $m$ (ગ્રામમાં) નું તાપમાન $-5^{\circ}C$ થી $0^{\circ}C$ સુધી વધારવા માટે.
$2$. $0^{\circ}C$ તાપમાને $1 \ g$ બરફને પીગળવા માટે.
આપેલ છે:
દળ $m$ ગ્રામમાં $= m \times 10^{-3} \ kg$.
બરફની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c = 2100 \ J \ kg^{-1} \ ^{\circ}C^{-1}$.
ગલનગુપ્ત ઉષ્મા $L = 3.36 \times 10^5 \ J \ kg^{-1}$.
તાપમાન વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_1 = m \times 10^{-3} \times 2100 \times (0 - (-5)) = m \times 2.1 \times 5 = 10.5m \ J$.
$1 \ g$ બરફ પીગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_2 = 1 \times 10^{-3} \times 3.36 \times 10^5 = 336 \ J$.
કુલ ઉષ્મા $Q = Q_1 + Q_2 = 420 \ J$.
$10.5m + 336 = 420$.
$10.5m = 420 - 336 = 84$.
$m = 84 / 10.5 = 8$.
તેથી,$m$ નું મૂલ્ય $8 \ g$ છે.
0 likesView Solution
10
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
એક સ્થિર સ્ત્રોત $f_0$ આવૃત્તિનો અવાજ ઉત્સર્જિત કરે છે,જે સ્ત્રોત તરફ આવતી બે કાર દ્વારા પરાવર્તિત થાય છે. કારમાંથી પરાવર્તિત થતા અવાજની આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત $f_0$ ના $1.2 \%$ છે. કારની ઝડપમાં તફાવત ( $km/h$ માં) નજીકના પૂર્ણાંકમાં કેટલો હશે? કારની ઝડપ અવાજની ઝડપ $(330 \ m/s)$ કરતા ઘણી ઓછી છે.
A
$7$
B
$9$
C
$3$
D
$5$
Solution
(A) જ્યારે સ્ત્રોત સ્થિર હોય અને પરાવર્તક (કાર) $v$ ઝડપથી તેની નજીક આવે,ત્યારે કાર દ્વારા પ્રાપ્ત થતી આવૃત્તિ $f' = f_0 \frac{c+v}{c}$ છે.
આ આવૃત્તિ પછી સ્ત્રોત તરફ પાછી પરાવર્તિત થાય છે. કાર ગતિશીલ સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે,તેથી સ્થિર સ્ત્રોત દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $f'' = f' \frac{c}{c-v} = f_0 \frac{c+v}{c-v}$ છે.
$v \ll c$ હોવાથી,આપણે દ્વિપદી અંદાજનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $f'' = f_0 (1 + v/c)(1 - v/c)^{-1} \approx f_0 (1 + 2v/c)$.
એક કાર માટે આવૃત્તિમાં ફેરફાર $\Delta f = f'' - f_0 = f_0 (2v/c)$ છે.
બે કાર માટે જેમની ઝડપ $v_1$ અને $v_2$ છે,પરાવર્તિત આવૃત્તિઓનો તફાવત $\Delta f_{diff} = |f''_1 - f''_2| = f_0 \frac{2(v_1 - v_2)}{c}$ છે.
આપેલ છે કે $\Delta f_{diff} = 0.012 f_0$,તેથી $0.012 f_0 = f_0 \frac{2 \Delta v}{c}$.
$\Delta v = 0.006 \times c = 0.006 \times 330 \ m/s = 1.98 \ m/s$.
$km/h$ માં રૂપાંતર કરતા: $\Delta v = 1.98 \times 3.6 \ km/h \approx 7.128 \ km/h$.
નજીકનો પૂર્ણાંક $7 \ km/h$ છે.
આ આવૃત્તિ પછી સ્ત્રોત તરફ પાછી પરાવર્તિત થાય છે. કાર ગતિશીલ સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે,તેથી સ્થિર સ્ત્રોત દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $f'' = f' \frac{c}{c-v} = f_0 \frac{c+v}{c-v}$ છે.
$v \ll c$ હોવાથી,આપણે દ્વિપદી અંદાજનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $f'' = f_0 (1 + v/c)(1 - v/c)^{-1} \approx f_0 (1 + 2v/c)$.
એક કાર માટે આવૃત્તિમાં ફેરફાર $\Delta f = f'' - f_0 = f_0 (2v/c)$ છે.
બે કાર માટે જેમની ઝડપ $v_1$ અને $v_2$ છે,પરાવર્તિત આવૃત્તિઓનો તફાવત $\Delta f_{diff} = |f''_1 - f''_2| = f_0 \frac{2(v_1 - v_2)}{c}$ છે.
આપેલ છે કે $\Delta f_{diff} = 0.012 f_0$,તેથી $0.012 f_0 = f_0 \frac{2 \Delta v}{c}$.
$\Delta v = 0.006 \times c = 0.006 \times 330 \ m/s = 1.98 \ m/s$.
$km/h$ માં રૂપાંતર કરતા: $\Delta v = 1.98 \times 3.6 \ km/h \approx 7.128 \ km/h$.
નજીકનો પૂર્ણાંક $7 \ km/h$ છે.
0 likesView Solution
11
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
બે ગોળાકાર પદાર્થો $A$ (ત્રિજ્યા $6 \,cm$) અને $B$ (ત્રિજ્યા $18 \,cm$) અનુક્રમે $T_1$ અને $T_2$ તાપમાને છે. $A$ ના ઉત્સર્જન વર્ણપટમાં મહત્તમ તીવ્રતા $500 \,nm$ પર છે અને $B$ ના ઉત્સર્જન વર્ણપટમાં મહત્તમ તીવ્રતા $1500 \,nm$ પર છે. તેમને કૃષ્ણ પદાર્થો (black bodies) ગણીને,$A$ દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જાના દર અને $B$ દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જાના દરનો ગુણોત્તર શું હશે?
A
$9$
B
$8$
C
$6$
D
$5$
Solution
(A) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_m T = \text{અચળ}$,તેથી $\lambda_A T_A = \lambda_B T_B$.
આપેલ છે કે $\lambda_A = 500 \,nm$ અને $\lambda_B = 1500 \,nm$,તેથી $500 T_A = 1500 T_B$,જેનો અર્થ છે કે $T_A / T_B = 3$.
કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જાનો દર $P = \sigma A T^4 = \sigma (4 \pi r^2) T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$A$ અને $B$ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_A}{P_B} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right)^2 \left( \frac{T_A}{T_B} \right)^4$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_A}{P_B} = \left( \frac{6}{18} \right)^2 \times (3)^4 = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \times 81 = \frac{1}{9} \times 81 = 9$.
આપેલ છે કે $\lambda_A = 500 \,nm$ અને $\lambda_B = 1500 \,nm$,તેથી $500 T_A = 1500 T_B$,જેનો અર્થ છે કે $T_A / T_B = 3$.
કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જાનો દર $P = \sigma A T^4 = \sigma (4 \pi r^2) T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$A$ અને $B$ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_A}{P_B} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right)^2 \left( \frac{T_A}{T_B} \right)^4$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_A}{P_B} = \left( \frac{6}{18} \right)^2 \times (3)^4 = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \times 81 = \frac{1}{9} \times 81 = 9$.
0 likesView Solution
12
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2010
જ્યારે બે પ્રગામી તરંગો $y_1=4 \sin (2 x-6 t)$ અને $y_2=3 \sin \left(2 x-6 t-\frac{\pi}{2}\right)$ નું સંપાતીકરણ થાય છે,ત્યારે પરિણામી તરંગનો કંપવિસ્તાર કેટલો હશે?
A
$5$
B
$6$
C
$7$
D
$2$
Solution
(A) બે પ્રગામી તરંગોના આપેલા સમીકરણો $y_1 = 4 \sin(2x - 6t)$ અને $y_2 = 3 \sin(2x - 6t - \pi/2)$ છે.
તેમને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કંપવિસ્તાર $A_1 = 4$ અને $A_2 = 3$ મળે છે.
બંને તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta\phi = \pi/2$ છે.
બે સંપાત થતા તરંગોનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\Delta\phi)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$A = \sqrt{4^2 + 3^2 + 2(4)(3) \cos(\pi/2)}$.
કારણ કે $\cos(\pi/2) = 0$ છે,તેથી $A = \sqrt{16 + 9 + 0} = \sqrt{25} = 5$.
તેમને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કંપવિસ્તાર $A_1 = 4$ અને $A_2 = 3$ મળે છે.
બંને તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta\phi = \pi/2$ છે.
બે સંપાત થતા તરંગોનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\Delta\phi)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$A = \sqrt{4^2 + 3^2 + 2(4)(3) \cos(\pi/2)}$.
કારણ કે $\cos(\pi/2) = 0$ છે,તેથી $A = \sqrt{16 + 9 + 0} = \sqrt{25} = 5$.
0 likesView Solution
13
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
$0.1 \,kg$ દળને અવગણ્ય દળ ધરાવતા તાર પર લટકાવવામાં આવે છે. તારની લંબાઈ $1 \,m$ છે અને તેનો આડછેદનો વિસ્તાર $4.9 \times 10^{-7} \,m^2$ છે. જો દળને થોડું નીચેની દિશામાં ખેંચીને છોડવામાં આવે, તો તે $140 \,rad \,s^{-1}$ ની કોણીય આવૃત્તિ સાથે સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે. જો તારના દ્રવ્યનો યંગ મોડ્યુલસ $n \times 10^9 \,N \,m^{-2}$ હોય, તો $n$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$1$
B
$2$
C
$4$
D
$5$
Solution
(C) $L$ લંબાઈ, $A$ આડછેદ અને $Y$ યંગ મોડ્યુલસ ધરાવતા તાર પર લટકાવેલા $m$ દળની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ નું સૂત્ર $\omega = \sqrt{\frac{YA}{mL}}$ છે。
આપેલ છે: $m = 0.1 \,kg$, $L = 1 \,m$, $A = 4.9 \times 10^{-7} \,m^2$, $\omega = 140 \,rad \,s^{-1}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\omega^2 = \frac{YA}{mL}$.
$Y$ ને કર્તા બનાવતા: $Y = \frac{\omega^2 mL}{A}$.
કિંમતો મૂકતા: $Y = \frac{(140)^2 \times 0.1 \times 1}{4.9 \times 10^{-7}} = \frac{19600 \times 0.1}{4.9 \times 10^{-7}} = \frac{1960}{4.9 \times 10^{-7}} = 400 \times 10^7 = 4 \times 10^9 \,N \,m^{-2}$.
આને $n \times 10^9 \,N \,m^{-2}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $n = 4$ મળે છે.
આપેલ છે: $m = 0.1 \,kg$, $L = 1 \,m$, $A = 4.9 \times 10^{-7} \,m^2$, $\omega = 140 \,rad \,s^{-1}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\omega^2 = \frac{YA}{mL}$.
$Y$ ને કર્તા બનાવતા: $Y = \frac{\omega^2 mL}{A}$.
કિંમતો મૂકતા: $Y = \frac{(140)^2 \times 0.1 \times 1}{4.9 \times 10^{-7}} = \frac{19600 \times 0.1}{4.9 \times 10^{-7}} = \frac{1960}{4.9 \times 10^{-7}} = 400 \times 10^7 = 4 \times 10^9 \,N \,m^{-2}$.
આને $n \times 10^9 \,N \,m^{-2}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $n = 4$ મળે છે.
0 likesView Solution
14
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2010
એક બાઈનરી તારા તંત્રમાં બે તારાઓ $A$ (દળ $M_A = 2.2 M_S$) અને $B$ (દળ $M_B = 11 M_S$) છે,જ્યાં $M_S$ એ સૂર્યનું દળ છે. તેઓ $d$ અંતરે અલગ થયેલા છે અને તેમના સામાન્ય દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ફરે છે,જે સ્થિર છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે તારા $A$ ના કોણીય વેગમાન અને તારા $B$ ના કોણીય વેગમાનનો ગુણોત્તર કેટલો છે?
A
$1/25$
B
$1$
C
$5$
D
$25$
Solution
(C) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ફરતી બાઈનરી તારા પ્રણાલીમાં,બંને તારાઓનો કોણીય વેગ $\omega$ સમાન હોય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી તારા $A$ નું અંતર $r_A$ છે અને તારા $B$ નું અંતર $r_B$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યા મુજબ,$M_A r_A = M_B r_B$,જેનો અર્થ છે કે $r_A / r_B = M_B / M_A$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ કણનું કોણીય વેગમાન $L = mvr = mr^2\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,તારા $A$ નું કોણીય વેગમાન $L_A = M_A r_A^2 \omega$ અને તારા $B$ માટે $L_B = M_B r_B^2 \omega$ છે.
કોણીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $L_A / L_B = (M_A r_A^2) / (M_B r_B^2) = (M_A r_A) r_A / (M_B r_B) r_B$ થાય છે.
કારણ કે $M_A r_A = M_B r_B$,ગુણોત્તર $L_A / L_B = r_A / r_B = M_B / M_A$ માં સરળ બને છે.
આપેલ છે કે $M_A = 2.2 M_S$ અને $M_B = 11 M_S$,તેથી ગુણોત્તર $L_A / L_B = 11 / 2.2 = 5$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી તારા $A$ નું અંતર $r_A$ છે અને તારા $B$ નું અંતર $r_B$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યા મુજબ,$M_A r_A = M_B r_B$,જેનો અર્થ છે કે $r_A / r_B = M_B / M_A$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ કણનું કોણીય વેગમાન $L = mvr = mr^2\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,તારા $A$ નું કોણીય વેગમાન $L_A = M_A r_A^2 \omega$ અને તારા $B$ માટે $L_B = M_B r_B^2 \omega$ છે.
કોણીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $L_A / L_B = (M_A r_A^2) / (M_B r_B^2) = (M_A r_A) r_A / (M_B r_B) r_B$ થાય છે.
કારણ કે $M_A r_A = M_B r_B$,ગુણોત્તર $L_A / L_B = r_A / r_B = M_B / M_A$ માં સરળ બને છે.
આપેલ છે કે $M_A = 2.2 M_S$ અને $M_B = 11 M_S$,તેથી ગુણોત્તર $L_A / L_B = 11 / 2.2 = 5$ છે.
0 likesView Solution
15
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
એક આદર્શ વાયુના એક મોલને નીચે આપેલા આલેખમાં દર્શાવ્યા મુજબ ઘન અને તૂટક રેખાઓ દ્વારા દર્શાવેલ બે માર્ગો પર $a$ થી $b$ સુધી લઈ જવામાં આવે છે. જો ઘન રેખાના માર્ગ પર થયેલ કાર્ય $w_s$ હોય અને તૂટક રેખાના માર્ગ પર થયેલ કાર્ય $w_d$ હોય,તો ગુણોત્તર $w_d / w_s$ ની સૌથી નજીકનો પૂર્ણાંક કયો છે?
A
$5$
B
$7$
C
$2$
D
$1$
Solution
(C) $P-V$ આલેખમાં થયેલ કાર્ય એ વક્રની નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે.
તૂટક માર્ગ $(w_d)$ માટે: આ માર્ગ ત્રણ લંબચોરસ પગલાંઓનો બનેલો છે.
પગલું $1$: $P = 4 \text{ atm}$,$\Delta V = (2.0 - 0.5) \text{ L} = 1.5 \text{ L}$. કાર્ય = $4 \times 1.5 = 6 \text{ L-atm}$.
પગલું $2$: $P = 1 \text{ atm}$,$\Delta V = (3.0 - 2.0) \text{ L} = 1.0 \text{ L}$. કાર્ય = $1 \times 1.0 = 1 \text{ L-atm}$.
પગલું $3$: $P = 0.6 \text{ atm}$ (આશરે),$\Delta V = (5.5 - 3.0) \text{ L} = 2.5 \text{ L}$. કાર્ય = $0.6 \times 2.5 = 1.5 \text{ L-atm}$.
કુલ $w_d = 6 + 1 + 1.5 = 8.5 \text{ L-atm}$.
ઘન માર્ગ $(w_s)$ માટે: આ માર્ગ સમતાપી પ્રક્રિયા છે. સમીકરણ $PV = k$ છે. બિંદુ $a$ પર,$P=4, V=0.5$,તેથી $k = 2 \text{ L-atm}$.
$w_s = \int_{V_a}^{V_b} P \, dV = \int_{0.5}^{5.5} \frac{k}{V} \, dV = k \ln\left(\frac{V_b}{V_a}\right) = 2 \times 2.303 \log_{10}\left(\frac{5.5}{0.5}\right) = 4.606 \log_{10}(11) \approx 4.606 \times 1.0414 \approx 4.797 \text{ L-atm}$.
ગુણોત્તર $w_d / w_s = 8.5 / 4.797 \approx 1.77$.
$1.77$ ની સૌથી નજીકનો પૂર્ણાંક $2$ છે.
તૂટક માર્ગ $(w_d)$ માટે: આ માર્ગ ત્રણ લંબચોરસ પગલાંઓનો બનેલો છે.
પગલું $1$: $P = 4 \text{ atm}$,$\Delta V = (2.0 - 0.5) \text{ L} = 1.5 \text{ L}$. કાર્ય = $4 \times 1.5 = 6 \text{ L-atm}$.
પગલું $2$: $P = 1 \text{ atm}$,$\Delta V = (3.0 - 2.0) \text{ L} = 1.0 \text{ L}$. કાર્ય = $1 \times 1.0 = 1 \text{ L-atm}$.
પગલું $3$: $P = 0.6 \text{ atm}$ (આશરે),$\Delta V = (5.5 - 3.0) \text{ L} = 2.5 \text{ L}$. કાર્ય = $0.6 \times 2.5 = 1.5 \text{ L-atm}$.
કુલ $w_d = 6 + 1 + 1.5 = 8.5 \text{ L-atm}$.
ઘન માર્ગ $(w_s)$ માટે: આ માર્ગ સમતાપી પ્રક્રિયા છે. સમીકરણ $PV = k$ છે. બિંદુ $a$ પર,$P=4, V=0.5$,તેથી $k = 2 \text{ L-atm}$.
$w_s = \int_{V_a}^{V_b} P \, dV = \int_{0.5}^{5.5} \frac{k}{V} \, dV = k \ln\left(\frac{V_b}{V_a}\right) = 2 \times 2.303 \log_{10}\left(\frac{5.5}{0.5}\right) = 4.606 \log_{10}(11) \approx 4.606 \times 1.0414 \approx 4.797 \text{ L-atm}$.
ગુણોત્તર $w_d / w_s = 8.5 / 4.797 \approx 1.77$.
$1.77$ ની સૌથી નજીકનો પૂર્ણાંક $2$ છે.
0 likesView Solution
16
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2010
$2 \ kg$ દળનો એક બ્લોક $x$-અક્ષ પર ગતિ કરવા માટે મુક્ત છે. તે સ્થિર છે અને $t=0$ થી આગળ તેના પર $x$ દિશામાં સમય-આધારિત બળ $F(t)$ લગાડવામાં આવે છે. બળ $F(t)$ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $t$ સાથે બદલાય છે. $4.5 \ s$ પછી બ્લોકની ગતિઊર્જા કેટલી હશે ($J$ માં)?
A
$4.50$
B
$7.50$
C
$5.06$
D
$14.06$
Solution
(C) બ્લોકને આપવામાં આવેલ આઘાત (impulse) એ $F-t$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
આઘાત $J = \int F \ dt = (t=0 \text{ થી } 3 \ s \text{ સુધીના ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ}) - (t=3 \text{ થી } 4.5 \ s \text{ સુધીના ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ})$.
$t=0$ સમયે,$F=4 \ N$. રેખાનો ઢાળ $m = \frac{0-4}{3-0} = -\frac{4}{3} \ N/s$ છે.
તેથી,$F(t) = 4 - \frac{4}{3}t$.
$t=4.5 \ s$ સમયે,$F(4.5) = 4 - \frac{4}{3}(4.5) = 4 - 6 = -2 \ N$.
આઘાત $J = \left(\frac{1}{2} \times 3 \times 4\right) - \left(\frac{1}{2} \times (4.5-3) \times 2\right) = 6 - 1.5 = 4.5 \ kg \cdot m/s$.
બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી,અંતિમ વેગમાન $p = J = 4.5 \ kg \cdot m/s$.
ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{p^2}{2m} = \frac{(4.5)^2}{2 \times 2} = \frac{20.25}{4} = 5.0625 \ J \approx 5.06 \ J$.
આઘાત $J = \int F \ dt = (t=0 \text{ થી } 3 \ s \text{ સુધીના ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ}) - (t=3 \text{ થી } 4.5 \ s \text{ સુધીના ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ})$.
$t=0$ સમયે,$F=4 \ N$. રેખાનો ઢાળ $m = \frac{0-4}{3-0} = -\frac{4}{3} \ N/s$ છે.
તેથી,$F(t) = 4 - \frac{4}{3}t$.
$t=4.5 \ s$ સમયે,$F(4.5) = 4 - \frac{4}{3}(4.5) = 4 - 6 = -2 \ N$.
આઘાત $J = \left(\frac{1}{2} \times 3 \times 4\right) - \left(\frac{1}{2} \times (4.5-3) \times 2\right) = 6 - 1.5 = 4.5 \ kg \cdot m/s$.
બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી,અંતિમ વેગમાન $p = J = 4.5 \ kg \cdot m/s$.
ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{p^2}{2m} = \frac{(4.5)^2}{2 \times 2} = \frac{20.25}{4} = 5.0625 \ J \approx 5.06 \ J$.
0 likesView Solution
17
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
એક વર્નિયર કેલિપર્સના મુખ્ય સ્કેલ પર $1 \,mm$ ના અંકન છે. તેના વર્નિયર સ્કેલ પર $20$ સમાન વિભાગો છે જે મુખ્ય સ્કેલના $16$ વિભાગો સાથે બંધ બેસે છે. આ વર્નિયર કેલિપર્સ માટે લઘુત્તમ માપશક્તિ (Least Count) કેટલી છે ($\,mm$ માં)?
A
$0.02$
B
$0.05$
C
$0.1$
D
$0.2$
Solution
(D) વર્નિયર કેલિપર્સની લઘુત્તમ માપશક્તિ $(L.C.)$ એ એક મુખ્ય સ્કેલ વિભાગ $(1 \,M.S.D.)$ અને એક વર્નિયર સ્કેલ વિભાગ $(1 \,V.S.D.)$ વચ્ચેનો તફાવત છે.
આપેલ છે કે $1 \,M.S.D. = 1 \,mm$.
આપણને આપેલ છે કે $20 \,V.S.D. = 16 \,M.S.D.$
તેથી, $1 \,V.S.D. = \frac{16}{20} \,M.S.D. = 0.8 \,M.S.D.$
હવે, $L.C. = 1 \,M.S.D. - 1 \,V.S.D.$
$L.C. = 1 \,M.S.D. - 0.8 \,M.S.D. = 0.2 \,M.S.D.$
કારણ કે $1 \,M.S.D. = 1 \,mm$, તેથી લઘુત્તમ માપશક્તિ $0.2 \,mm$ છે.
આપેલ છે કે $1 \,M.S.D. = 1 \,mm$.
આપણને આપેલ છે કે $20 \,V.S.D. = 16 \,M.S.D.$
તેથી, $1 \,V.S.D. = \frac{16}{20} \,M.S.D. = 0.8 \,M.S.D.$
હવે, $L.C. = 1 \,M.S.D. - 1 \,V.S.D.$
$L.C. = 1 \,M.S.D. - 0.8 \,M.S.D. = 0.2 \,M.S.D.$
કારણ કે $1 \,M.S.D. = 1 \,mm$, તેથી લઘુત્તમ માપશક્તિ $0.2 \,mm$ છે.
0 likesView Solution
18
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2010
એક દ્વિપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુને એડિબેટિકલી તેના પ્રારંભિક કદના $\frac{1}{32}$ ભાગ સુધી સંકોચવામાં આવે છે. જો વાયુનું પ્રારંભિક તાપમાન $T_1$ (કેલ્વિનમાં) હોય અને અંતિમ તાપમાન $a T_1$ હોય,તો $a$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$1$
B
$3$
C
$4$
D
$5$
Solution
(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{7}{5}$ છે.
તેથી,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
આપેલ છે કે $V_2 = \frac{V_1}{32}$ અને $T_2 = a T_1$,આ કિંમતો મૂકતા:
$T_1 V_1^{\frac{7}{5}-1} = (a T_1) \left(\frac{V_1}{32}\right)^{\frac{7}{5}-1}$.
$T_1 V_1^{2/5} = a T_1 \left(\frac{V_1}{32}\right)^{2/5}$.
$1 = a \left(\frac{1}{32}\right)^{2/5}$.
$1 = a \left(\frac{1}{2^5}\right)^{2/5}$.
$1 = a \left(\frac{1}{2^2}\right) = a \left(\frac{1}{4}\right)$.
તેથી,$a = 4$.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{7}{5}$ છે.
તેથી,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
આપેલ છે કે $V_2 = \frac{V_1}{32}$ અને $T_2 = a T_1$,આ કિંમતો મૂકતા:
$T_1 V_1^{\frac{7}{5}-1} = (a T_1) \left(\frac{V_1}{32}\right)^{\frac{7}{5}-1}$.
$T_1 V_1^{2/5} = a T_1 \left(\frac{V_1}{32}\right)^{2/5}$.
$1 = a \left(\frac{1}{32}\right)^{2/5}$.
$1 = a \left(\frac{1}{2^5}\right)^{2/5}$.
$1 = a \left(\frac{1}{2^2}\right) = a \left(\frac{1}{4}\right)$.
તેથી,$a = 4$.
0 likesView Solution
19
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
જ્યારે $\rho$ ઘનતા ધરાવતી પ્રવાહી દવા આંખમાં નાખવાની હોય, ત્યારે તે ડ્રોપરની મદદથી કરવામાં આવે છે। જેમ ડ્રોપરની ટોચ પરનો બલ્બ દબાવવામાં આવે છે, તેમ ડ્રોપરના મુખ પર એક ટીપું બને છે। આપણે ટીપાનું કદ અંદાજવા માંગીએ છીએ। આપણે પહેલા ધારીએ છીએ કે મુખ પર બનેલું ટીપું ગોળાકાર છે કારણ કે તેના માટે તેની સપાટીની ઉર્જામાં ન્યૂનતમ વધારો જરૂરી છે। કદ નક્કી કરવા માટે, આપણે સપાટીના તણાવ $T$ ને કારણે લાગતું ચોખ્ખું ઉર્ધ્વ બળ ગણીએ છીએ જ્યારે ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ હોય છે। જ્યારે બળ ટીપાના વજન કરતા ઓછું થાય છે, ત્યારે ટીપું ડ્રોપરથી અલગ થઈ જાય છે।
$1.$ જો ડ્રોપરના મુખની ત્રિજ્યા $r$ હોય, તો $R$ ત્રિજ્યાના ટીપા પર સપાટીના તણાવને કારણે લાગતું ઉર્ધ્વ બળ ($r \ll R$ ધારીને) કેટલું હશે?
$(A)$ $2 \pi r T$ $(B)$ $2 \pi R T$ $(C)$ $\frac{2 \pi r^2 T}{R}$ $(D)$ $\frac{2 \pi R^2 T}{r}$
$2.$ જો $r=5 \times 10^{-4} \, m, \rho=10^3 \, kg \, m^{-3}, g=10 \, m/s^2, T=0.11 \, Nm^{-1}$ હોય, તો જ્યારે ટીપું ડ્રોપરથી અલગ થાય ત્યારે તેની ત્રિજ્યા આશરે કેટલી હશે?
$(A)$ $1.4 \times 10^{-3} \, m$ $(B)$ $3.3 \times 10^{-3} \, m$
$(C)$ $2.0 \times 10^{-3} \, m$ $(D)$ $4.1 \times 10^{-3} \, m$
$3.$ ટીપું અલગ થયા પછી, તેની સપાટીની ઉર્જા કેટલી હશે?
$(A)$ $1.4 \times 10^{-6} \, J$ $(B)$ $2.7 \times 10^{-6} \, J$
$(C)$ $5.4 \times 10^{-6} \, J$ $(D)$ $8.1 \times 10^{-6} \, J$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો।
$1.$ જો ડ્રોપરના મુખની ત્રિજ્યા $r$ હોય, તો $R$ ત્રિજ્યાના ટીપા પર સપાટીના તણાવને કારણે લાગતું ઉર્ધ્વ બળ ($r \ll R$ ધારીને) કેટલું હશે?
$(A)$ $2 \pi r T$ $(B)$ $2 \pi R T$ $(C)$ $\frac{2 \pi r^2 T}{R}$ $(D)$ $\frac{2 \pi R^2 T}{r}$
$2.$ જો $r=5 \times 10^{-4} \, m, \rho=10^3 \, kg \, m^{-3}, g=10 \, m/s^2, T=0.11 \, Nm^{-1}$ હોય, તો જ્યારે ટીપું ડ્રોપરથી અલગ થાય ત્યારે તેની ત્રિજ્યા આશરે કેટલી હશે?
$(A)$ $1.4 \times 10^{-3} \, m$ $(B)$ $3.3 \times 10^{-3} \, m$
$(C)$ $2.0 \times 10^{-3} \, m$ $(D)$ $4.1 \times 10^{-3} \, m$
$3.$ ટીપું અલગ થયા પછી, તેની સપાટીની ઉર્જા કેટલી હશે?
$(A)$ $1.4 \times 10^{-6} \, J$ $(B)$ $2.7 \times 10^{-6} \, J$
$(C)$ $5.4 \times 10^{-6} \, J$ $(D)$ $8.1 \times 10^{-6} \, J$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો।
A
$(C, A, B)$
B
$(A, B, C)$
C
$(A, D, A)$
D
$(D, B, B)$
Solution
(A) $1.$ સપાટીના તણાવને કારણે ઉર્ધ્વ બળ $F = T \cdot (2 \pi r) \cdot \sin \theta$ છે। $r \ll R$ હોવાથી, $\sin \theta \approx \frac{r}{R}$। તેથી, $F = 2 \pi r T \cdot \frac{r}{R} = \frac{2 \pi r^2 T}{R}$। સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે।
$2.$ અલગ થતી વખતે, $F = mg$। તેથી, $\frac{2 \pi r^2 T}{R} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho g$। પુનઃગોઠવણ કરતા $R^4 = \frac{3 r^2 T}{2 \rho g} = \frac{3 \times (5 \times 10^{-4})^2 \times 0.11}{2 \times 10^3 \times 10} = 4.125 \times 10^{-12} \, m^4$। ચતુર્થ મૂળ લેતા, $R \approx 1.42 \times 10^{-3} \, m$। સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે।
$3.$ સપાટીની ઉર્જા $U = T \times (\text{સપાટીનું ક્ષેત્રફળ}) = T \times (4 \pi R^2) = 0.11 \times 4 \times 3.14 \times (1.42 \times 10^{-3})^2 \approx 2.78 \times 10^{-6} \, J$। સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે।
$2.$ અલગ થતી વખતે, $F = mg$। તેથી, $\frac{2 \pi r^2 T}{R} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho g$। પુનઃગોઠવણ કરતા $R^4 = \frac{3 r^2 T}{2 \rho g} = \frac{3 \times (5 \times 10^{-4})^2 \times 0.11}{2 \times 10^3 \times 10} = 4.125 \times 10^{-12} \, m^4$। ચતુર્થ મૂળ લેતા, $R \approx 1.42 \times 10^{-3} \, m$। સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે।
$3.$ સપાટીની ઉર્જા $U = T \times (\text{સપાટીનું ક્ષેત્રફળ}) = T \times (4 \pi R^2) = 0.11 \times 4 \times 3.14 \times (1.42 \times 10^{-3})^2 \approx 2.78 \times 10^{-6} \, J$। સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે।
0 likesView Solution
20
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
હાઇડ્રોજન પરમાણુના વર્ણપટના બોહરના સિદ્ધાંતની મુખ્ય લાક્ષણિકતા એ છે કે જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન પ્રોટોનની આસપાસ ફરે છે ત્યારે કોણીય વેગમાનનું ક્વોન્ટાઇઝેશન થાય છે. આપણે આને દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુ માટે સામાન્ય પરિભ્રમણ ગતિ સુધી વિસ્તૃત કરીશું,તેને દ્રઢ ધારીને. લાગુ પાડવાનો નિયમ બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત છે.
$1.$ એક દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ છે. બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,$n$-માં સ્તર $(n=1, 2, 3, \dots)$ માં તેની પરિભ્રમણ ઉર્જા છે:
$(A) \frac{1}{n^2}\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(B) \frac{1}{n}\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(C) n\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(D) n^2\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$
$2.$ એવું જોવા મળ્યું છે કે $CO$ અણુ માટે ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ થી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ સુધીની પરિભ્રમણની ઉત્તેજના આવૃત્તિ $\frac{4}{\pi} \times 10^{11} \text{ Hz}$ ની નજીક છે. તો તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ $CO$ અણુની જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી હશે? ($h=2 \pi \times 10^{-34} \text{ Js}$ લો)
$(A) 2.76 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$ $(B) 1.87 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$ $(C) 4.67 \times 10^{-47} \text{ kg m}^2$ $(D) 1.17 \times 10^{-47} \text{ kg m}^2$
$3.$ $CO$ અણુમાં,$C$ (દળ $= 12 \text{ a.m.u.}$) અને $O$ (દળ $= 16 \text{ a.m.u.}$) વચ્ચેનું અંતર,જ્યાં $1 \text{ a.m.u.} = \frac{5}{3} \times 10^{-27} \text{ kg}$,કેટલું હશે?
$(A) 2.4 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(B) 1.9 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(C) 1.3 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(D) 4.4 \times 10^{-11} \text{ m}$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.
$1.$ એક દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ છે. બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,$n$-માં સ્તર $(n=1, 2, 3, \dots)$ માં તેની પરિભ્રમણ ઉર્જા છે:
$(A) \frac{1}{n^2}\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(B) \frac{1}{n}\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(C) n\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(D) n^2\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$
$2.$ એવું જોવા મળ્યું છે કે $CO$ અણુ માટે ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ થી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ સુધીની પરિભ્રમણની ઉત્તેજના આવૃત્તિ $\frac{4}{\pi} \times 10^{11} \text{ Hz}$ ની નજીક છે. તો તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ $CO$ અણુની જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી હશે? ($h=2 \pi \times 10^{-34} \text{ Js}$ લો)
$(A) 2.76 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$ $(B) 1.87 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$ $(C) 4.67 \times 10^{-47} \text{ kg m}^2$ $(D) 1.17 \times 10^{-47} \text{ kg m}^2$
$3.$ $CO$ અણુમાં,$C$ (દળ $= 12 \text{ a.m.u.}$) અને $O$ (દળ $= 16 \text{ a.m.u.}$) વચ્ચેનું અંતર,જ્યાં $1 \text{ a.m.u.} = \frac{5}{3} \times 10^{-27} \text{ kg}$,કેટલું હશે?
$(A) 2.4 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(B) 1.9 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(C) 1.3 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(D) 4.4 \times 10^{-11} \text{ m}$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.
A
$(D, B, C)$
B
$(D, B, D)$
C
$(A, B, D)$
D
$(B, B, C)$
Solution
(D,B,C) $1.$ બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$.
પરિભ્રમણ ગતિ ઉર્જા $E_n = \frac{L^2}{2I} = \frac{(nh/2\pi)^2}{2I} = n^2 \left(\frac{h^2}{8\pi^2 I}\right)$. તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.
$2.$ ઉત્તેજના આવૃત્તિ $\nu = \frac{E_2 - E_1}{h}$.
$E_n = n^2 E_0$,જ્યાં $E_0 = \frac{h^2}{8\pi^2 I}$.
$\nu = \frac{(2^2 - 1^2) E_0}{h} = \frac{3h^2}{8\pi^2 I h} = \frac{3h}{8\pi^2 I}$.
આપેલ છે $\nu = \frac{4}{\pi} \times 10^{11} \text{ Hz}$ અને $h = 2\pi \times 10^{-34} \text{ Js}$.
$\frac{4}{\pi} \times 10^{11} = \frac{3(2\pi \times 10^{-34})}{8\pi^2 I} = \frac{3 \times 10^{-34}}{4\pi I}$.
$I = \frac{3 \times 10^{-34} \times \pi}{4\pi \times 4 \times 10^{11}} = \frac{3}{16} \times 10^{-45} = 0.1875 \times 10^{-45} = 1.875 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$. તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.
$3.$ રિડ્યુસ્ડ માસ $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{12 \times 16}{12 + 16} \text{ a.m.u.} = \frac{192}{28} \text{ a.m.u.} = \frac{48}{7} \times \frac{5}{3} \times 10^{-27} \text{ kg} = \frac{80}{7} \times 10^{-27} \text{ kg}$.
$I = \mu d^2 \implies d = \sqrt{\frac{I}{\mu}} = \sqrt{\frac{1.875 \times 10^{-46}}{11.43 \times 10^{-27}}} \approx \sqrt{0.164 \times 10^{-19}} \approx 1.28 \times 10^{-10} \text{ m}$. તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.
પરિભ્રમણ ગતિ ઉર્જા $E_n = \frac{L^2}{2I} = \frac{(nh/2\pi)^2}{2I} = n^2 \left(\frac{h^2}{8\pi^2 I}\right)$. તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.
$2.$ ઉત્તેજના આવૃત્તિ $\nu = \frac{E_2 - E_1}{h}$.
$E_n = n^2 E_0$,જ્યાં $E_0 = \frac{h^2}{8\pi^2 I}$.
$\nu = \frac{(2^2 - 1^2) E_0}{h} = \frac{3h^2}{8\pi^2 I h} = \frac{3h}{8\pi^2 I}$.
આપેલ છે $\nu = \frac{4}{\pi} \times 10^{11} \text{ Hz}$ અને $h = 2\pi \times 10^{-34} \text{ Js}$.
$\frac{4}{\pi} \times 10^{11} = \frac{3(2\pi \times 10^{-34})}{8\pi^2 I} = \frac{3 \times 10^{-34}}{4\pi I}$.
$I = \frac{3 \times 10^{-34} \times \pi}{4\pi \times 4 \times 10^{11}} = \frac{3}{16} \times 10^{-45} = 0.1875 \times 10^{-45} = 1.875 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$. તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.
$3.$ રિડ્યુસ્ડ માસ $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{12 \times 16}{12 + 16} \text{ a.m.u.} = \frac{192}{28} \text{ a.m.u.} = \frac{48}{7} \times \frac{5}{3} \times 10^{-27} \text{ kg} = \frac{80}{7} \times 10^{-27} \text{ kg}$.
$I = \mu d^2 \implies d = \sqrt{\frac{I}{\mu}} = \sqrt{\frac{1.875 \times 10^{-46}}{11.43 \times 10^{-27}}} \approx \sqrt{0.164 \times 10^{-19}} \approx 1.28 \times 10^{-10} \text{ m}$. તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.
0 likesView Solution
21
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2010
$0.8 \ m$ લંબાઈની એક પોલી પાઈપ એક છેડેથી બંધ છે. તેના ખુલ્લા છેડા પર,$0.8 \ m$ લાંબી સમાન દોરી તેના બીજા હાર્મોનિકમાં કંપન કરી રહી છે અને તે પાઈપની મૂળભૂત આવૃત્તિ સાથે અનુનાદ કરે છે. જો દોરીમાં તણાવ $50 \ N$ હોય અને હવામાં અવાજની ઝડપ $320 \ m/s$ હોય,તો દોરીનું દળ કેટલું હશે ($g$ માં)?
A
$10$
B
$20$
C
$5$
D
$40$
Solution
(A) બંધ ઓર્ગન પાઈપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v = 320 \ m/s$ એ અવાજની ઝડપ છે અને $L = 0.8 \ m$ એ પાઈપની લંબાઈ છે.
$f = \frac{320}{4 \times 0.8} = 100 \ Hz$.
દોરીની લંબાઈ $l = 0.5 \ m$ (આપેલ વિકલ્પો મુજબ) અને તે બીજા હાર્મોનિકમાં કંપન કરે છે. દોરીની આવૃત્તિ $f_2 = \frac{1}{l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
$100 = \frac{1}{0.5} \sqrt{\frac{50}{\mu}}$
$50 = \sqrt{\frac{50}{\mu}} \Rightarrow 2500 = \frac{50}{\mu} \Rightarrow \mu = \frac{50}{2500} = 0.02 \ kg/m$.
દોરીનું દળ $M = \mu \times l = 0.02 \times 0.5 = 0.01 \ kg = 10 \ g$.
$f = \frac{320}{4 \times 0.8} = 100 \ Hz$.
દોરીની લંબાઈ $l = 0.5 \ m$ (આપેલ વિકલ્પો મુજબ) અને તે બીજા હાર્મોનિકમાં કંપન કરે છે. દોરીની આવૃત્તિ $f_2 = \frac{1}{l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
$100 = \frac{1}{0.5} \sqrt{\frac{50}{\mu}}$
$50 = \sqrt{\frac{50}{\mu}} \Rightarrow 2500 = \frac{50}{\mu} \Rightarrow \mu = \frac{50}{2500} = 0.02 \ kg/m$.
દોરીનું દળ $M = \mu \times l = 0.02 \times 0.5 = 0.01 \ kg = 10 \ g$.
0 likesView Solution
22
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2010
ઇન્કેન્ડેસેન્ટ બલ્બ એવી રીતે ડિઝાઇન કરવામાં આવે છે કે તેમના ફિલામેન્ટનો અવરોધ તાપમાન વધવાની સાથે વધે છે. જો ઓરડાના તાપમાને,$100 \ W$,$60 \ W$ અને $40 \ W$ ના બલ્બના ફિલામેન્ટનો અવરોધ અનુક્રમે $R_{100}$,$R_{60}$ અને $R_{40}$ હોય,તો આ અવરોધો વચ્ચેનો સંબંધ શું છે?
A
$\frac{1}{R_{100}}=\frac{1}{R_{40}}+\frac{1}{R_{60}}$
B
$R_{100}=R_{40}+R_{60}$
C
$R_{100} > R_{60} > R_{40}$
D
$R_{100} < R_{60} < R_{40}$
Solution
(D) બલ્બનો પાવર રેટિંગ $P = V^2 / R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ રેટ કરેલ વોલ્ટેજ છે અને $R$ એ ઓપરેટિંગ તાપમાને ફિલામેન્ટનો અવરોધ છે.
બધા બલ્બ માટે $V$ અચળ હોવાથી,$P \propto 1 / R$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $R \propto 1 / P$.
તેથી,ઉચ્ચ પાવર રેટિંગ ધરાવતા બલ્બનો ઓપરેટિંગ તાપમાને અવરોધ ઓછો હશે.
જોકે ફિલામેન્ટનો અવરોધ તાપમાન સાથે વધે છે,પરંતુ ઓરડાના તાપમાને પણ અવરોધનો સાપેક્ષ ક્રમ ઓપરેટિંગ તાપમાન જેવો જ રહે છે.
આપેલ છે કે $P_{100} > P_{60} > P_{40}$,તેથી $R_{100} < R_{60} < R_{40}$ થાય.
બધા બલ્બ માટે $V$ અચળ હોવાથી,$P \propto 1 / R$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $R \propto 1 / P$.
તેથી,ઉચ્ચ પાવર રેટિંગ ધરાવતા બલ્બનો ઓપરેટિંગ તાપમાને અવરોધ ઓછો હશે.
જોકે ફિલામેન્ટનો અવરોધ તાપમાન સાથે વધે છે,પરંતુ ઓરડાના તાપમાને પણ અવરોધનો સાપેક્ષ ક્રમ ઓપરેટિંગ તાપમાન જેવો જ રહે છે.
આપેલ છે કે $P_{100} > P_{60} > P_{40}$,તેથી $R_{100} < R_{60} < R_{40}$ થાય.
0 likesView Solution
23
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
ઓમના નિયમની ચકાસણી કરવા માટે,એક વિદ્યાર્થીને ટેસ્ટ રજિસ્ટર $R_T$,એક ઉચ્ચ અવરોધ $R_1$,એક નાનો અવરોધ $R_2$,બે સમાન ગેલ્વેનોમીટર $G_1$ અને $G_2$,અને એક વેરિયેબલ વોલ્ટેજ સ્ત્રોત $V$ આપવામાં આવે છે. પ્રયોગ કરવા માટેનો સાચો સર્કિટ કયો છે?
A
B
C
D
Solution
(C) ઓમના નિયમની ચકાસણી કરવા માટે,આપણે રજિસ્ટર $R_T$ ની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત અને તેમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ માપવાની જરૂર છે.
$1$. વોલ્ટમીટરને રજિસ્ટરની સમાંતર જોડવામાં આવે છે. વોલ્ટમીટર ગેલ્વેનોમીટરની શ્રેણીમાં ઉચ્ચ અવરોધ જોડીને બનાવવામાં આવે છે. આમ,$R_1$ ની શ્રેણીમાં રહેલ $G_1$ જે $R_T$ ને સમાંતર જોડાયેલ છે,તે વોલ્ટમીટર તરીકે કાર્ય કરે છે.
$2$. એમીટરને રજિસ્ટરની શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે. એમીટર ગેલ્વેનોમીટરની સમાંતરમાં નાનો અવરોધ (શંટ) જોડીને બનાવવામાં આવે છે. આમ,$R_2$ ની સમાંતરમાં રહેલ $G_2$ જે $R_T$ ની શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે,તે એમીટર તરીકે કાર્ય કરે છે.
$3$. આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $C$ માં $R_1$ ની શ્રેણીમાં $G_1$ (વોલ્ટમીટર) ને $R_T$ ની સમાંતર અને $R_2$ ની સમાંતરમાં $G_2$ (એમીટર) ને $R_T$ ની શ્રેણીમાં દર્શાવેલ છે.
$1$. વોલ્ટમીટરને રજિસ્ટરની સમાંતર જોડવામાં આવે છે. વોલ્ટમીટર ગેલ્વેનોમીટરની શ્રેણીમાં ઉચ્ચ અવરોધ જોડીને બનાવવામાં આવે છે. આમ,$R_1$ ની શ્રેણીમાં રહેલ $G_1$ જે $R_T$ ને સમાંતર જોડાયેલ છે,તે વોલ્ટમીટર તરીકે કાર્ય કરે છે.
$2$. એમીટરને રજિસ્ટરની શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે. એમીટર ગેલ્વેનોમીટરની સમાંતરમાં નાનો અવરોધ (શંટ) જોડીને બનાવવામાં આવે છે. આમ,$R_2$ ની સમાંતરમાં રહેલ $G_2$ જે $R_T$ ની શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે,તે એમીટર તરીકે કાર્ય કરે છે.
$3$. આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $C$ માં $R_1$ ની શ્રેણીમાં $G_1$ (વોલ્ટમીટર) ને $R_T$ ની સમાંતર અને $R_2$ ની સમાંતરમાં $G_2$ (એમીટર) ને $R_T$ ની શ્રેણીમાં દર્શાવેલ છે.
0 likesView Solution
24
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2010
ચલ કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને નિશ્ચિત કંપવિસ્તાર $V_0$ ધરાવતો એક $AC$ વોલ્ટેજ સ્ત્રોત,કેપેસિટન્સ $C$ અને $R$ અવરોધ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રિક બલ્બ (ઇન્ડક્ટન્સ શૂન્ય) સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે. જ્યારે $\omega$ વધારવામાં આવે ત્યારે,
A
બલ્બ ઓછો પ્રકાશિત થાય છે
B
બલ્બ વધુ પ્રકાશિત થાય છે
C
પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ બદલાતો નથી
D
પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ વધે છે
Solution
(B) $RC$ શ્રેણી પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_C = \frac{1}{\omega C}$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ છે.
$X_C$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $Z = \sqrt{R^2 + \left(\frac{1}{\omega C}\right)^2}$ મળે છે.
જેમ જેમ કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ વધે છે,તેમ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ ઘટે છે.
કારણ કે $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$,તેથી $X_C$ માં ઘટાડો થવાથી પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z$ ઘટે છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V_0}{Z}$ દ્વારા મળે છે. $V_0$ અચળ હોવાથી અને $Z$ ઘટતું હોવાથી,પ્રવાહ $I$ વધે છે.
બલ્બની તેજસ્વિતા વ્યય થતા પાવર $P = I^2 R$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે. જેમ પ્રવાહ $I$ વધે છે,તેમ વ્યય થતો પાવર વધે છે અને બલ્બ વધુ પ્રકાશિત થાય છે.
$X_C$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $Z = \sqrt{R^2 + \left(\frac{1}{\omega C}\right)^2}$ મળે છે.
જેમ જેમ કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ વધે છે,તેમ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ ઘટે છે.
કારણ કે $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$,તેથી $X_C$ માં ઘટાડો થવાથી પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z$ ઘટે છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V_0}{Z}$ દ્વારા મળે છે. $V_0$ અચળ હોવાથી અને $Z$ ઘટતું હોવાથી,પ્રવાહ $I$ વધે છે.
બલ્બની તેજસ્વિતા વ્યય થતા પાવર $P = I^2 R$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે. જેમ પ્રવાહ $I$ વધે છે,તેમ વ્યય થતો પાવર વધે છે અને બલ્બ વધુ પ્રકાશિત થાય છે.
0 likesView Solution
25
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
$L$ લંબાઈનો એક પાતળો લવચીક તાર બે નજીકના નિશ્ચિત બિંદુઓ સાથે જોડાયેલ છે અને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં $I$ જેટલો પ્રવાહ વહે છે. જ્યારે આ તંત્રને કાગળના સમતલની અંદર જતી $B$ તીવ્રતાના સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તાર વર્તુળનો આકાર ધારણ કરે છે. તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ કેટલું હશે?
A
$IBL$
B
$\frac{IBL}{\pi}$
C
$\frac{IBL}{2 \pi}$
D
$\frac{IBL}{4 \pi}$
Solution
(C) તારના $dl = R d\theta$ લંબાઈના એક નાના ખંડનો વિચાર કરો જે વર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર $d\theta$ ખૂણો આંતરે છે.
આ ખંડ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $dF = I (dl) B = I (R d\theta) B$ છે,જે ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં બહારની તરફ લાગે છે.
તારમાં રહેલું તણાવ બળ $T$ આ ખંડના બંને છેડા પર લાગે છે. નાના $d\theta$ માટે તણાવ બળને કારણે પરિણામી ત્રિજ્યાવર્તી બળ $2 T \sin(\frac{d\theta}{2}) \approx T d\theta$ થાય છે.
ત્રિજ્યાવર્તી ચુંબકીય બળને તણાવ બળના ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક સાથે સરખાવતા:
$T d\theta = I B R d\theta$
$T = I B R$
તારની કુલ લંબાઈ $L$ છે,અને તે એક સંપૂર્ણ વર્તુળ બનાવે છે તેમ ધારતા,$L = 2 \pi R$,તેથી $R = \frac{L}{2 \pi}$.
$R$ ની કિંમત તણાવ બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$T = I B (\frac{L}{2 \pi}) = \frac{IBL}{2 \pi}$
આ ખંડ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $dF = I (dl) B = I (R d\theta) B$ છે,જે ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં બહારની તરફ લાગે છે.
તારમાં રહેલું તણાવ બળ $T$ આ ખંડના બંને છેડા પર લાગે છે. નાના $d\theta$ માટે તણાવ બળને કારણે પરિણામી ત્રિજ્યાવર્તી બળ $2 T \sin(\frac{d\theta}{2}) \approx T d\theta$ થાય છે.
ત્રિજ્યાવર્તી ચુંબકીય બળને તણાવ બળના ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક સાથે સરખાવતા:
$T d\theta = I B R d\theta$
$T = I B R$
તારની કુલ લંબાઈ $L$ છે,અને તે એક સંપૂર્ણ વર્તુળ બનાવે છે તેમ ધારતા,$L = 2 \pi R$,તેથી $R = \frac{L}{2 \pi}$.
$R$ ની કિંમત તણાવ બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$T = I B (\frac{L}{2 \pi}) = \frac{IBL}{2 \pi}$
0 likesView Solution
26
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2010
$L$ બાજુ અને $t$ જાડાઈ ધરાવતી એક પાતળી ચોરસ શીટ ધ્યાનમાં લો,જે $\rho$ અવરોધકતા ધરાવતા પદાર્થની બનેલી છે. આકૃતિમાં છાયાંકિત વિસ્તારો દ્વારા દર્શાવેલ બે વિરુદ્ધ સપાટીઓ વચ્ચેનો અવરોધ કેટલો હશે?
A
$L$ ના સમપ્રમાણમાં
B
$t$ ના સમપ્રમાણમાં
C
$L$ થી સ્વતંત્ર
D
$t$ થી સ્વતંત્ર
Solution
(C) વાહકનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ પ્રવાહની દિશામાં વાહકની લંબાઈ છે,અને $A$ એ પ્રવાહના પ્રવાહને લંબ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આ કિસ્સામાં,પ્રવાહ બે વિરુદ્ધ છાયાંકિત સપાટીઓ વચ્ચે વહે છે.
આ બે સપાટીઓ વચ્ચેનું અંતર બાજુની લંબાઈ $L$ જેટલું છે,તેથી $l = L$.
દરેક છાયાંકિત સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = L \times t$ છે.
આ કિંમતોને અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$R = \rho \frac{L}{L \times t} = \frac{\rho}{t}$.
અવરોધ $R = \frac{\rho}{t}$ ના અભિવ્યક્તિમાં $L$ નો સમાવેશ થતો નથી,તેથી અવરોધ $L$ થી સ્વતંત્ર છે.
આ કિસ્સામાં,પ્રવાહ બે વિરુદ્ધ છાયાંકિત સપાટીઓ વચ્ચે વહે છે.
આ બે સપાટીઓ વચ્ચેનું અંતર બાજુની લંબાઈ $L$ જેટલું છે,તેથી $l = L$.
દરેક છાયાંકિત સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = L \times t$ છે.
આ કિંમતોને અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$R = \rho \frac{L}{L \times t} = \frac{\rho}{t}$.
અવરોધ $R = \frac{\rho}{t}$ ના અભિવ્યક્તિમાં $L$ નો સમાવેશ થતો નથી,તેથી અવરોધ $L$ થી સ્વતંત્ર છે.
0 likesView Solution
27
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2010
$x$-અક્ષ પર બે અલગ-અલગ બિંદુઓ પર સ્થિર રહેલા બે વિદ્યુતભારો $Q_1$ અને $Q_2$ ની સિસ્ટમ માટે કેટલીક વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. આ રેખાઓ સૂચવે છે કે:
$(A)$ $|Q_1| > |Q_2|$
$(B)$ $|Q_1| < |Q_2|$
$(C)$ $Q_1$ ની ડાબી બાજુએ એક નિશ્ચિત અંતરે વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય છે
$(D)$ $Q_2$ ની જમણી બાજુએ એક નિશ્ચિત અંતરે વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય છે
$(A)$ $|Q_1| > |Q_2|$
$(B)$ $|Q_1| < |Q_2|$
$(C)$ $Q_1$ ની ડાબી બાજુએ એક નિશ્ચિત અંતરે વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય છે
$(D)$ $Q_2$ ની જમણી બાજુએ એક નિશ્ચિત અંતરે વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય છે
A
$(A, D)$
B
$(B, D)$
C
$(C, D)$
D
$(A, B)$
Solution
(A) $1$. વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવતી વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા તે વિદ્યુતભારના મૂલ્યના પ્રમાણમાં હોય છે. રેખાઓ ગણતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $Q_1$ માંથી વધુ રેખાઓ નીકળે છે અને $Q_2$ પર ઓછી રેખાઓ સમાપ્ત થાય છે,જે સૂચવે છે કે $|Q_1| > |Q_2|$. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$2$. કારણ કે વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ ચિહ્નો ધરાવે છે (રેખાઓ $Q_1$ માંથી નીકળે છે અને $Q_2$ પર સમાપ્ત થાય છે),તટસ્થ બિંદુ (જ્યાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય) તેમની વચ્ચેના વિસ્તારની બહાર,તેમને જોડતી રેખા પર અને નાના મૂલ્ય ધરાવતા વિદ્યુતભારની નજીક હોવું જોઈએ.
$3$. કારણ કે $|Q_1| > |Q_2|$,તટસ્થ બિંદુ $Q_2$ ની નજીક હોવું જોઈએ. તેથી,$Q_2$ ની જમણી બાજુએ એક નિશ્ચિત અંતરે વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય છે. તેથી,વિધાન $(D)$ સાચું છે.
$4$. આ બંનેને જોડતા,સાચો વિકલ્પ $(A, D)$ છે.
$2$. કારણ કે વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ ચિહ્નો ધરાવે છે (રેખાઓ $Q_1$ માંથી નીકળે છે અને $Q_2$ પર સમાપ્ત થાય છે),તટસ્થ બિંદુ (જ્યાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય) તેમની વચ્ચેના વિસ્તારની બહાર,તેમને જોડતી રેખા પર અને નાના મૂલ્ય ધરાવતા વિદ્યુતભારની નજીક હોવું જોઈએ.
$3$. કારણ કે $|Q_1| > |Q_2|$,તટસ્થ બિંદુ $Q_2$ ની નજીક હોવું જોઈએ. તેથી,$Q_2$ ની જમણી બાજુએ એક નિશ્ચિત અંતરે વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય છે. તેથી,વિધાન $(D)$ સાચું છે.
$4$. આ બંનેને જોડતા,સાચો વિકલ્પ $(A, D)$ છે.
0 likesView Solution
28
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
એકવર્ણી પ્રકાશનું કિરણ $OP$ પ્રિઝમ $ABCD$ ની સપાટી $AB$ પર શિરોબિંદુ $B$ ની નજીક $60^{\circ}$ ના આપાતકોણે આપાત થાય છે (આકૃતિ જુઓ). જો પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $\sqrt{3}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું (કયા) વિધાન સાચું છે?
$(A)$ કિરણ સપાટી $CD$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન પામે છે
$(B)$ કિરણ સપાટી $AD$ માંથી બહાર આવે છે
$(C)$ આપાત કિરણ અને નિર્ગમન કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે
$(D)$ આપાત કિરણ અને નિર્ગમન કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો $120^{\circ}$ છે
$(A)$ કિરણ સપાટી $CD$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન પામે છે
$(B)$ કિરણ સપાટી $AD$ માંથી બહાર આવે છે
$(C)$ આપાત કિરણ અને નિર્ગમન કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે
$(D)$ આપાત કિરણ અને નિર્ગમન કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો $120^{\circ}$ છે
A
$(A, B, C)$
B
$(A, B, D)$
C
$(A, C, D)$
D
$(B, C, D)$
Solution
(A) $1$. સપાટી $AB$ પર: સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$1 \cdot \sin(60^{\circ}) = \sqrt{3} \cdot \sin(r_1)$.
$\sin(r_1) = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = 1/2$,તેથી $r_1 = 30^{\circ}$.
$2$. પ્રિઝમની અંદર બનતા ત્રિકોણમાં,સપાટી $CD$ પર આપાતકોણ $r_2 = 180^{\circ} - 60^{\circ} - (90^{\circ} - 30^{\circ}) - 45^{\circ} = 45^{\circ}$ છે.
$3$. ક્રાંતિકોણ $C = \sin^{-1}(1/\sqrt{3}) \approx 35.26^{\circ}$. કારણ કે $r_2 = 45^{\circ} > C$,કિરણ સપાટી $CD$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન પામે છે.
$4$. પરાવર્તન પછી,કિરણ સપાટી $AD$ પર $i' = 30^{\circ}$ ના આપાતકોણે અથડાય છે.
$5$. સપાટી $AD$ પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{3} \cdot \sin(30^{\circ}) = 1 \cdot \sin(e)$.
$\sin(e) = \sqrt{3}/2$,તેથી $e = 60^{\circ}$.
$6$. કુલ વિચલન $\delta = 90^{\circ}$ છે. આમ,$(A)$ અને $(B)$ સાચા છે,અને આપાત તથા નિર્ગમન કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે,તેથી $(C)$ સાચું છે.
$\sin(r_1) = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = 1/2$,તેથી $r_1 = 30^{\circ}$.
$2$. પ્રિઝમની અંદર બનતા ત્રિકોણમાં,સપાટી $CD$ પર આપાતકોણ $r_2 = 180^{\circ} - 60^{\circ} - (90^{\circ} - 30^{\circ}) - 45^{\circ} = 45^{\circ}$ છે.
$3$. ક્રાંતિકોણ $C = \sin^{-1}(1/\sqrt{3}) \approx 35.26^{\circ}$. કારણ કે $r_2 = 45^{\circ} > C$,કિરણ સપાટી $CD$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન પામે છે.
$4$. પરાવર્તન પછી,કિરણ સપાટી $AD$ પર $i' = 30^{\circ}$ ના આપાતકોણે અથડાય છે.
$5$. સપાટી $AD$ પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{3} \cdot \sin(30^{\circ}) = 1 \cdot \sin(e)$.
$\sin(e) = \sqrt{3}/2$,તેથી $e = 60^{\circ}$.
$6$. કુલ વિચલન $\delta = 90^{\circ}$ છે. આમ,$(A)$ અને $(B)$ સાચા છે,અને આપાત તથા નિર્ગમન કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે,તેથી $(C)$ સાચું છે.
0 likesView Solution
29
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
સુપરકન્ડક્ટર તરીકે ઓળખાતા અમુક પદાર્થોનો વિદ્યુત અવરોધ,જ્યારે તેમનું તાપમાન ક્રાંતિક તાપમાન $T_c(0)$ થી નીચે જાય છે ત્યારે શૂન્યતર મૂલ્યથી અચાનક શૂન્ય થઈ જાય છે. સુપરકન્ડક્ટરનો એક રસપ્રદ ગુણધર્મ એ છે કે જો તેમને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે તો તેમનું ક્રાંતિક તાપમાન $T_c(0)$ કરતા ઓછું થઈ જાય છે,એટલે કે ક્રાંતિક તાપમાન $T_c(B)$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $B$ નું વિધેય છે. $T_c(B)$ ની $B$ પરની નિર્ભરતા આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
$1.$ નીચેના આલેખમાં,બે અલગ-અલગ ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B_1$ (ઘાટી રેખા) અને $B_2$ (તૂટક રેખા) માટે સુપરકન્ડક્ટરનો અવરોધ $R$ એ તેના તાપમાન $T$ ના વિધેય તરીકે દર્શાવેલ છે. જો $B_2 > B_1$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયો આલેખ આ ક્ષેત્રોમાં $R$ નો $T$ સાથેનો સાચો ફેરફાર દર્શાવે છે?
$2.$ એક સુપરકન્ડક્ટરનું $T_c(0) = 100 \ K$ છે. જ્યારે $7.5 \ T$ નું ચુંબકીય ક્ષેત્ર લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું $T_c$ ઘટીને $75 \ K$ થાય છે. આ પદાર્થ માટે,આપણે ચોક્કસપણે કહી શકીએ કે જ્યારે:
$(A)$ $B = 5 \ T, T_c(B) = 80 \ K$
$(B)$ $B = 5 \ T, 75 \ K < T_c(B) < 100 \ K$
$(C)$ $B = 10 \ T, 75 \ K < T_c < 100 \ K$
$(D)$ $B = 10 \ T, T_c = 70 \ K$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ ના જવાબ આપો.
$1.$ નીચેના આલેખમાં,બે અલગ-અલગ ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B_1$ (ઘાટી રેખા) અને $B_2$ (તૂટક રેખા) માટે સુપરકન્ડક્ટરનો અવરોધ $R$ એ તેના તાપમાન $T$ ના વિધેય તરીકે દર્શાવેલ છે. જો $B_2 > B_1$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયો આલેખ આ ક્ષેત્રોમાં $R$ નો $T$ સાથેનો સાચો ફેરફાર દર્શાવે છે?
$2.$ એક સુપરકન્ડક્ટરનું $T_c(0) = 100 \ K$ છે. જ્યારે $7.5 \ T$ નું ચુંબકીય ક્ષેત્ર લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું $T_c$ ઘટીને $75 \ K$ થાય છે. આ પદાર્થ માટે,આપણે ચોક્કસપણે કહી શકીએ કે જ્યારે:
$(A)$ $B = 5 \ T, T_c(B) = 80 \ K$
$(B)$ $B = 5 \ T, 75 \ K < T_c(B) < 100 \ K$
$(C)$ $B = 10 \ T, 75 \ K < T_c < 100 \ K$
$(D)$ $B = 10 \ T, T_c = 70 \ K$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ ના જવાબ આપો.
A
$(A, B)$
B
$(B, C)$
C
$(A, D)$
D
$(B, D)$
Solution
(A) $1.$ $T_c(B)$ વિરુદ્ધ $B$ ના આપેલા આલેખ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે જેમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વધે છે,તેમ ક્રાંતિક તાપમાન $T_c(B)$ ઘટે છે. કારણ કે $B_2 > B_1$,તેથી $B_2$ માટેનું ક્રાંતિક તાપમાન $B_1$ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ. તેથી,શૂન્ય અવરોધ તરફનું સંક્રમણ $B_2$ માટે $B_1$ કરતા નીચા તાપમાને થાય છે. આલેખ $A$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે,જ્યાં તૂટક રેખા $(B_2)$ ઘાટી રેખા $(B_1)$ કરતા નીચા તાપમાને શૂન્ય અવરોધ તરફ જાય છે.
$2.$ $T_c(B)$ વિરુદ્ધ $B$ નો આલેખ ઘટતું વિધેય છે. આપણને $T_c(0) = 100 \ K$ અને $T_c(7.5 \ T) = 75 \ K$ આપેલ છે.
$B = 5 \ T$ માટે (જ્યાં $0 < 5 < 7.5$),ક્રાંતિક તાપમાન $T_c(5 \ T)$ એ $T_c(7.5 \ T)$ અને $T_c(0)$ ની વચ્ચે હોવું જોઈએ,એટલે કે $75 \ K < T_c(5 \ T) < 100 \ K$. આ વિધાન $(B)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$B = 10 \ T$ માટે (જ્યાં $10 > 7.5$),ક્રાંતિક તાપમાન $T_c(10 \ T)$ એ $T_c(7.5 \ T)$ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ,એટલે કે $T_c(10 \ T) < 75 \ K$. આ વિધાન $(C)$ ને ખોટું ઠેરવે છે અને વિધાન $(D)$ એક શક્યતા છે,પરંતુ મોનોટોનિક ઘટાડાને આધારે $(B)$ ચોક્કસપણે સાચું છે.
$2.$ $T_c(B)$ વિરુદ્ધ $B$ નો આલેખ ઘટતું વિધેય છે. આપણને $T_c(0) = 100 \ K$ અને $T_c(7.5 \ T) = 75 \ K$ આપેલ છે.
$B = 5 \ T$ માટે (જ્યાં $0 < 5 < 7.5$),ક્રાંતિક તાપમાન $T_c(5 \ T)$ એ $T_c(7.5 \ T)$ અને $T_c(0)$ ની વચ્ચે હોવું જોઈએ,એટલે કે $75 \ K < T_c(5 \ T) < 100 \ K$. આ વિધાન $(B)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$B = 10 \ T$ માટે (જ્યાં $10 > 7.5$),ક્રાંતિક તાપમાન $T_c(10 \ T)$ એ $T_c(7.5 \ T)$ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ,એટલે કે $T_c(10 \ T) < 75 \ K$. આ વિધાન $(C)$ ને ખોટું ઠેરવે છે અને વિધાન $(D)$ એક શક્યતા છે,પરંતુ મોનોટોનિક ઘટાડાને આધારે $(B)$ ચોક્કસપણે સાચું છે.
0 likesView Solution
30
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2010
એક પાતળા બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $20 \,cm$ છે. જ્યારે વસ્તુને તેની સામે $25 \,cm$ અંતરથી ખસેડીને $50 \,cm$ પર મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે તેના પ્રતિબિંબની મોટવણી $m_{25}$ થી બદલાઈને $m_{50}$ થાય છે. ગુણોત્તર $\frac{m_{25}}{m_{50}}$ શોધો.
A
$4$
B
$5$
C
$6$
D
$8$
Solution
(C) પાતળા લેન્સ માટે, મોટવણી $m$ નું સૂત્ર $m = \frac{f}{f+u}$ છે, જ્યાં $f$ એ કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $u$ એ વસ્તુનું અંતર છે (સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ, $u$ ઋણ લેવામાં આવે છે).
અહીં $f = +20 \,cm$ આપેલ છે। $u_1 = -25 \,cm$ માટે, $m_{25} = \frac{20}{20 - 25} = \frac{20}{-5} = -4$.
$u_2 = -50 \,cm$ માટે, $m_{50} = \frac{20}{20 - 50} = \frac{20}{-30} = -\frac{2}{3}$.
ગુણોત્તર $\frac{m_{25}}{m_{50}} = \frac{-4}{-2/3} = 4 \times \frac{3}{2} = 6$.
અહીં $f = +20 \,cm$ આપેલ છે। $u_1 = -25 \,cm$ માટે, $m_{25} = \frac{20}{20 - 25} = \frac{20}{-5} = -4$.
$u_2 = -50 \,cm$ માટે, $m_{50} = \frac{20}{20 - 50} = \frac{20}{-30} = -\frac{2}{3}$.
ગુણોત્તર $\frac{m_{25}}{m_{50}} = \frac{-4}{-2/3} = 4 \times \frac{3}{2} = 6$.
0 likesView Solution
31
PhysicsEasyMCQIIT JEE · 2010
એક $\alpha$-કણ અને પ્રોટોનને $100 \ V$ ના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા સ્થિર સ્થિતિમાંથી પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે. ત્યારબાદ,તેમની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ અનુક્રમે $\lambda_\alpha$ અને $\lambda_{p}$ છે. ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{p}}{\lambda_\alpha}$ નું નજીકનું પૂર્ણાંક મૂલ્ય કેટલું થાય?
A
$2$
B
$6$
C
$8$
D
$3$
Solution
(D) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ છે.
પ્રોટોન માટે,$m_p = m$ અને $q_p = e$. તેથી,$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
$\alpha$-કણ માટે,$m_\alpha = 4m$ અને $q_\alpha = 2e$. તેથી,$\lambda_\alpha = \frac{h}{\sqrt{2(4m)(2e)V}} = \frac{h}{\sqrt{16meV}} = \frac{1}{4} \frac{h}{\sqrt{meV}}$.
હવે ગુણોત્તર લેતા,$\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \frac{h / \sqrt{2meV}}{h / \sqrt{16meV}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{2}} = \sqrt{8} \approx 2.828$.
$2.828$ ની નજીકનો પૂર્ણાંક $3$ છે.
પ્રોટોન માટે,$m_p = m$ અને $q_p = e$. તેથી,$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
$\alpha$-કણ માટે,$m_\alpha = 4m$ અને $q_\alpha = 2e$. તેથી,$\lambda_\alpha = \frac{h}{\sqrt{2(4m)(2e)V}} = \frac{h}{\sqrt{16meV}} = \frac{1}{4} \frac{h}{\sqrt{meV}}$.
હવે ગુણોત્તર લેતા,$\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \frac{h / \sqrt{2meV}}{h / \sqrt{16meV}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{2}} = \sqrt{8} \approx 2.828$.
$2.828$ ની નજીકનો પૂર્ણાંક $3$ છે.
0 likesView Solution
32
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
જ્યારે $1 \Omega$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતી બે સમાન બેટરીઓને અવરોધ $R$ સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે $R$ માં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનો દર $J_1$ છે. જ્યારે તે જ બેટરીઓને $R$ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે આ દર $J_2$ છે. જો $J_1 = 2.25 J_2$ હોય,તો $R$ નું મૂલ્ય $\Omega$ માં કેટલું હશે?
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(D) ધારો કે દરેક બેટરીનું $EMF$ $E$ છે અને આંતરિક અવરોધ $r = 1 \Omega$ છે.
શ્રેણી જોડાણ માટે,કુલ $EMF$ $2E$ છે અને કુલ આંતરિક અવરોધ $2r = 2 \Omega$ છે. $R$ માં વ્યય થતો પાવર $J_1 = (\frac{2E}{R+2})^2 R$ છે.
સમાંતર જોડાણ માટે,કુલ $EMF$ $E$ છે અને કુલ આંતરિક અવરોધ $r/2 = 0.5 \Omega$ છે. $R$ માં વ્યય થતો પાવર $J_2 = (\frac{E}{R+0.5})^2 R$ છે.
આપેલ છે કે $J_1 = 2.25 J_2$,તેથી $(\frac{2E}{R+2})^2 R = 2.25 (\frac{E}{R+0.5})^2 R$.
બંને બાજુ $E^2 R$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{4}{(R+2)^2} = 2.25 \frac{1}{(R+0.5)^2}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{2}{R+2} = \frac{1.5}{R+0.5}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $2(R+0.5) = 1.5(R+2)$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $2R + 1 = 1.5R + 3$ થાય છે.
$R$ માટે ઉકેલતા,$0.5R = 2$ મળે,તેથી $R = 4 \Omega$.
શ્રેણી જોડાણ માટે,કુલ $EMF$ $2E$ છે અને કુલ આંતરિક અવરોધ $2r = 2 \Omega$ છે. $R$ માં વ્યય થતો પાવર $J_1 = (\frac{2E}{R+2})^2 R$ છે.
સમાંતર જોડાણ માટે,કુલ $EMF$ $E$ છે અને કુલ આંતરિક અવરોધ $r/2 = 0.5 \Omega$ છે. $R$ માં વ્યય થતો પાવર $J_2 = (\frac{E}{R+0.5})^2 R$ છે.
આપેલ છે કે $J_1 = 2.25 J_2$,તેથી $(\frac{2E}{R+2})^2 R = 2.25 (\frac{E}{R+0.5})^2 R$.
બંને બાજુ $E^2 R$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{4}{(R+2)^2} = 2.25 \frac{1}{(R+0.5)^2}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{2}{R+2} = \frac{1.5}{R+0.5}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $2(R+0.5) = 1.5(R+2)$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $2R + 1 = 1.5R + 3$ થાય છે.
$R$ માટે ઉકેલતા,$0.5R = 2$ મળે,તેથી $R = 4 \Omega$.
0 likesView Solution
33
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત પાતળા ગોલીય કવચ પર એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ $\sigma$ જેટલી સમાન પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે. તે બે અર્ધગોલીય કવચનું બનેલું છે, જેમને $F$ બળ વડે દબાવીને સાથે રાખવામાં આવે છે (આકૃતિ જુઓ). $F$ એ કોના પ્રમાણમાં છે?
A
$\frac{1}{\varepsilon_0} \sigma^2 R^2$
B
$\frac{1}{\varepsilon_0} \sigma^2 R$
C
$\frac{1}{\varepsilon_0} \frac{\sigma^2}{R}$
D
$\frac{1}{\varepsilon_0} \frac{\sigma^2}{R^2}$
Solution
(A) વિદ્યુતભારીત વાહકની સપાટી પર લાગતું સ્થિત-વિદ્યુત દબાણ $P = \frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ દબાણ સપાટીના દરેક ભાગ પર ત્રિજ્યાવર્તી રીતે બહારની તરફ લાગે છે.
બે અર્ધગોલીય કવચને સાથે રાખવા માટે, બાહ્ય બળ $F$ એ અર્ધગોળાના આડછેદના ક્ષેત્રફળ પર સ્થિત-વિદ્યુત દબાણ દ્વારા લાગતા કુલ બહારના બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
અર્ધગોળાનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ છે.
કુલ બહારનું બળ $F$ એ સ્થિત-વિદ્યુત દબાણ અને બળની દિશાને લંબ પ્રક્ષેપિત ક્ષેત્રફળનો ગુણાકાર છે:
$F = P \times A = \left( \frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0} \right) \times \pi R^2$.
આમ, $F = \frac{\pi \sigma^2 R^2}{2\varepsilon_0}$.
અહીં $\pi$, $2$, અને $\varepsilon_0$ અચળાંકો હોવાથી, બળ $F$ એ $\sigma^2 R^2$ ના પ્રમાણમાં છે.
આ દબાણ સપાટીના દરેક ભાગ પર ત્રિજ્યાવર્તી રીતે બહારની તરફ લાગે છે.
બે અર્ધગોલીય કવચને સાથે રાખવા માટે, બાહ્ય બળ $F$ એ અર્ધગોળાના આડછેદના ક્ષેત્રફળ પર સ્થિત-વિદ્યુત દબાણ દ્વારા લાગતા કુલ બહારના બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
અર્ધગોળાનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ છે.
કુલ બહારનું બળ $F$ એ સ્થિત-વિદ્યુત દબાણ અને બળની દિશાને લંબ પ્રક્ષેપિત ક્ષેત્રફળનો ગુણાકાર છે:
$F = P \times A = \left( \frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0} \right) \times \pi R^2$.
આમ, $F = \frac{\pi \sigma^2 R^2}{2\varepsilon_0}$.
અહીં $\pi$, $2$, અને $\varepsilon_0$ અચળાંકો હોવાથી, બળ $F$ એ $\sigma^2 R^2$ ના પ્રમાણમાં છે.
0 likesView Solution
34
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
એક નાનું ગોળાકાર તેલનું ટીપું જેના પર ચોખ્ખો વીજભાર $q$ છે,તેને $\frac{81 \pi}{7} \times 10^5 \text{ Vm}^{-1}$ ની તીવ્રતા ધરાવતા શિરોલંબ સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં સ્થિર હવામાં સંતુલિત કરવામાં આવે છે. જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ટીપું $2 \times 10^{-3} \text{ ms}^{-1}$ ના ટર્મિનલ વેગ સાથે નીચે પડે છે. જો $g = 9.8 \text{ ms}^{-2}$,હવાની સ્નિગ્ધતા $\eta = 1.8 \times 10^{-5} \text{ Ns m}^{-2}$ અને તેલની ઘનતા $\rho = 900 \text{ kg m}^{-3}$ હોય,તો $q$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$
B
$3.2 \times 10^{-19} \text{ C}$
C
$4.8 \times 10^{-19} \text{ C}$
D
$8.0 \times 10^{-19} \text{ C}$
Solution
(D) $1$. જ્યારે ટીપું સંતુલિત હોય: $qE = mg = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho g$ (હવાની ઘનતા અવગણ્ય છે).
$2$. જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર બંધ કરવામાં આવે,ત્યારે ટીપું ટર્મિનલ વેગ $v_T$ થી નીચે પડે છે: $mg = 6 \pi \eta R v_T$.
$3$. બીજા સમીકરણ પરથી,$R = \sqrt{\frac{9 \eta v_T}{2 \rho g}}$.
$4$. કિંમતો મૂકતા: $R = \sqrt{\frac{9 \times 1.8 \times 10^{-5} \times 2 \times 10^{-3}}{2 \times 900 \times 9.8}} \approx 1.355 \times 10^{-6} \text{ m}$.
$5$. હવે,$q = \frac{6 \pi \eta R v_T}{E} = \frac{6 \pi \times 1.8 \times 10^{-5} \times 1.355 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-3}}{\frac{81 \pi}{7} \times 10^5}$.
$6$. ગણતરી કરતા $q = 8.0 \times 10^{-19} \text{ C}$ મળે છે.
$2$. જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર બંધ કરવામાં આવે,ત્યારે ટીપું ટર્મિનલ વેગ $v_T$ થી નીચે પડે છે: $mg = 6 \pi \eta R v_T$.
$3$. બીજા સમીકરણ પરથી,$R = \sqrt{\frac{9 \eta v_T}{2 \rho g}}$.
$4$. કિંમતો મૂકતા: $R = \sqrt{\frac{9 \times 1.8 \times 10^{-5} \times 2 \times 10^{-3}}{2 \times 900 \times 9.8}} \approx 1.355 \times 10^{-6} \text{ m}$.
$5$. હવે,$q = \frac{6 \pi \eta R v_T}{E} = \frac{6 \pi \times 1.8 \times 10^{-5} \times 1.355 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-3}}{\frac{81 \pi}{7} \times 10^5}$.
$6$. ગણતરી કરતા $q = 8.0 \times 10^{-19} \text{ C}$ મળે છે.
0 likesView Solution
35
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
$15 \,cm$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતો બહિર્ગોળ લેન્સ એક સમતલ અરીસાની સામે મૂકવામાં આવ્યો છે. લેન્સ અને અરીસા વચ્ચેનું અંતર $10 \,cm$ છે. એક નાની વસ્તુને લેન્સથી $30 \,cm$ ના અંતરે રાખવામાં આવે છે. તો અંતિમ પ્રતિબિંબ કેવું હશે?
A
આભાસી અને અરીસાથી $16 \,cm$ ના અંતરે
B
વાસ્તવિક અને અરીસાથી $16 \,cm$ ના અંતરે
C
આભાસી અને અરીસાથી $20 \,cm$ ના અંતરે
D
વાસ્તવિક અને અરીસાથી $20 \,cm$ ના અંતરે
Solution
(C) પગલું $1$: લેન્સ દ્વારા વક્રીભવન.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
અહીં $u = -30 \,cm$ અને $f = +15 \,cm$ આપેલ છે.
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{15} \implies \frac{1}{v_1} = \frac{1}{15} - \frac{1}{30} = \frac{1}{30}$.
તેથી,$v_1 = +30 \,cm$. આ પ્રતિબિંબ અરીસા માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
પગલું $2$: અરીસા દ્વારા પરાવર્તન.
આ પ્રતિબિંબનું લેન્સથી અંતર જમણી બાજુ $30 \,cm$ છે. અરીસો લેન્સથી $10 \,cm$ દૂર હોવાથી,પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ $30 - 10 = 20 \,cm$ અંતરે છે.
સમતલ અરીસા માટે,વસ્તુ અંતર $u_m = +20 \,cm$ (આભાસી વસ્તુ).
સમતલ અરીસા દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ $v_m = -20 \,cm$ પર હશે (અરીસાની સામે વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ).
પગલું $3$: લેન્સ દ્વારા ફરીથી વક્રીભવન.
અરીસાથી પરાવર્તિત કિરણો ફરીથી લેન્સમાંથી પસાર થાય છે. હવે લેન્સ માટે વસ્તુ લેન્સની ડાબી બાજુ $10 + 20 = 30 \,cm$ અંતરે છે $(u_2 = -30 \,cm)$.
ફરીથી લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{15} \implies v_2 = +30 \,cm$.
આ પ્રતિબિંબ લેન્સની જમણી બાજુ $30 \,cm$ અંતરે છે,જે અરીસાની પાછળ $30 - 10 = 20 \,cm$ અંતરે છે. પ્રકાશના કિરણો અરીસાની પાછળના બિંદુ તરફ કેન્દ્રિત થતા હોવાથી,અંતિમ પ્રતિબિંબ આભાસી છે અને અરીસાથી $20 \,cm$ દૂર સ્થિત છે.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
અહીં $u = -30 \,cm$ અને $f = +15 \,cm$ આપેલ છે.
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{15} \implies \frac{1}{v_1} = \frac{1}{15} - \frac{1}{30} = \frac{1}{30}$.
તેથી,$v_1 = +30 \,cm$. આ પ્રતિબિંબ અરીસા માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
પગલું $2$: અરીસા દ્વારા પરાવર્તન.
આ પ્રતિબિંબનું લેન્સથી અંતર જમણી બાજુ $30 \,cm$ છે. અરીસો લેન્સથી $10 \,cm$ દૂર હોવાથી,પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ $30 - 10 = 20 \,cm$ અંતરે છે.
સમતલ અરીસા માટે,વસ્તુ અંતર $u_m = +20 \,cm$ (આભાસી વસ્તુ).
સમતલ અરીસા દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ $v_m = -20 \,cm$ પર હશે (અરીસાની સામે વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ).
પગલું $3$: લેન્સ દ્વારા ફરીથી વક્રીભવન.
અરીસાથી પરાવર્તિત કિરણો ફરીથી લેન્સમાંથી પસાર થાય છે. હવે લેન્સ માટે વસ્તુ લેન્સની ડાબી બાજુ $10 + 20 = 30 \,cm$ અંતરે છે $(u_2 = -30 \,cm)$.
ફરીથી લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{15} \implies v_2 = +30 \,cm$.
આ પ્રતિબિંબ લેન્સની જમણી બાજુ $30 \,cm$ અંતરે છે,જે અરીસાની પાછળ $30 - 10 = 20 \,cm$ અંતરે છે. પ્રકાશના કિરણો અરીસાની પાછળના બિંદુ તરફ કેન્દ્રિત થતા હોવાથી,અંતિમ પ્રતિબિંબ આભાસી છે અને અરીસાથી $20 \,cm$ દૂર સ્થિત છે.
0 likesView Solution
36
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2010
$8 \text{ cm}$ જાડાઈ ધરાવતો એક મોટો કાચનો સ્લેબ $(\mu = 5/3)$ સમતલ સપાટી પર રહેલા પ્રકાશના બિંદુવત ઉદગમ પર મૂકવામાં આવ્યો છે. એવું અવલોકન કરવામાં આવે છે કે પ્રકાશ સ્લેબની ઉપરની સપાટીમાંથી $R \text{ cm}$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર વિસ્તારમાંથી બહાર આવે છે. $R$ નું મૂલ્ય કેટલું છે?
A
$5$
B
$6$
C
$9$
D
$7$
Solution
(B) બિંદુવત ઉદગમમાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો ઉપરની સપાટી પરથી ત્યારે જ બહાર આવશે જો ઉપરની સપાટી પર આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોય.
ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ નું સૂત્ર $\sin \theta_c = 1/\mu$ છે.
અહીં $\mu = 5/3$ આપેલ છે,તેથી $\sin \theta_c = 1 / (5/3) = 3/5$.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,$\tan \theta_c = R / h$,જ્યાં $h = 8 \text{ cm}$ એ સ્લેબની જાડાઈ છે.
$\sin \theta_c = 3/5$ હોવાથી,આપણે એક કાટકોણ ત્રિકોણ વિચારી શકીએ જેમાં સામેની બાજુ $3$ અને કર્ણ $5$ છે. પાસેની બાજુ $\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ થશે.
તેથી,$\tan \theta_c = 3/4$.
કિંમતો મૂકતા,$3/4 = R / 8$.
$R = (3 \times 8) / 4 = 6 \text{ cm}$.
આમ,$R$ નું મૂલ્ય $6$ છે.
ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ નું સૂત્ર $\sin \theta_c = 1/\mu$ છે.
અહીં $\mu = 5/3$ આપેલ છે,તેથી $\sin \theta_c = 1 / (5/3) = 3/5$.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,$\tan \theta_c = R / h$,જ્યાં $h = 8 \text{ cm}$ એ સ્લેબની જાડાઈ છે.
$\sin \theta_c = 3/5$ હોવાથી,આપણે એક કાટકોણ ત્રિકોણ વિચારી શકીએ જેમાં સામેની બાજુ $3$ અને કર્ણ $5$ છે. પાસેની બાજુ $\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ થશે.
તેથી,$\tan \theta_c = 3/4$.
કિંમતો મૂકતા,$3/4 = R / 8$.
$R = (3 \times 8) / 4 = 6 \text{ cm}$.
આમ,$R$ નું મૂલ્ય $6$ છે.
0 likesView Solution
37
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
$20 \,m$ વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતા બહિર્ગોળ અરીસાની મુખ્ય અક્ષ પર એક વસ્તુ ગતિ કરે છે. તેનું પ્રતિબિંબ $30 \,s$ માં $\frac{25}{3} \,m$ થી $\frac{50}{7} \,m$ અંતરે ખસે છે. વસ્તુની ઝડપ $km/h$ માં શોધો.
A
$3$
B
$6$
C
$5$
D
$7$
Solution
(A) અરીસાનું સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે. બહિર્ગોળ અરીસા માટે,$R = +20 \,m$,તેથી $f = +10 \,m$.
કિસ્સો $1$: પ્રતિબિંબનું સ્થાન $v_1 = \frac{50}{7} \,m$.
$\frac{1}{u_1} = \frac{1}{10} - \frac{7}{50} = -\frac{1}{25} \implies u_1 = -25 \,m$.
કિસ્સો $2$: પ્રતિબિંબનું સ્થાન $v_2 = \frac{25}{3} \,m$.
$\frac{1}{u_2} = \frac{1}{10} - \frac{3}{25} = -\frac{1}{50} \implies u_2 = -50 \,m$.
વસ્તુ દ્વારા કપાયેલ અંતર $\Delta u = |u_2 - u_1| = 25 \,m$.
સમય $\Delta t = 30 \,s$.
વસ્તુની ઝડપ $v = \frac{25}{30} \,m/s = \frac{5}{6} \,m/s$.
$km/h$ માં રૂપાંતર: $v = \frac{5}{6} \times \frac{18}{5} = 3 \,km/h$.
કિસ્સો $1$: પ્રતિબિંબનું સ્થાન $v_1 = \frac{50}{7} \,m$.
$\frac{1}{u_1} = \frac{1}{10} - \frac{7}{50} = -\frac{1}{25} \implies u_1 = -25 \,m$.
કિસ્સો $2$: પ્રતિબિંબનું સ્થાન $v_2 = \frac{25}{3} \,m$.
$\frac{1}{u_2} = \frac{1}{10} - \frac{3}{25} = -\frac{1}{50} \implies u_2 = -50 \,m$.
વસ્તુ દ્વારા કપાયેલ અંતર $\Delta u = |u_2 - u_1| = 25 \,m$.
સમય $\Delta t = 30 \,s$.
વસ્તુની ઝડપ $v = \frac{25}{30} \,m/s = \frac{5}{6} \,m/s$.
$km/h$ માં રૂપાંતર: $v = \frac{5}{6} \times \frac{18}{5} = 3 \,km/h$.
0 likesView Solution
38
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
સમય $t=0$ પર,આપેલ સર્કિટમાં બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે $10 \ V$ ની બેટરી જોડવામાં આવે છે. જો કેપેસિટર્સ પર શરૂઆતમાં કોઈ ચાર્જ ન હોય,તો કેટલા સમય (સેકન્ડમાં) પછી તેમની વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $4 \ V$ થશે? [$\ln 5=1.6, \ln 3=1.1$ લો]
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(B) સૌ પ્રથમ,સર્કિટનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ અને સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ ની ગણતરી કરો.
$2 \ M\Omega$ ના બે અવરોધો સમાંતરમાં છે,તેથી $R_{eq} = \frac{2 \times 2}{2 + 2} \ M\Omega = 1 \ M\Omega = 10^6 \ \Omega$.
$2 \ \mu F$ ના બે કેપેસિટર્સ સમાંતરમાં છે,તેથી $C_{eq} = 2 + 2 = 4 \ \mu F = 4 \times 10^{-6} \ F$.
ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = R_{eq} C_{eq} = (10^6 \ \Omega) \times (4 \times 10^{-6} \ F) = 4 \ s$.
સમય $t$ પર કેપેસિટર્સ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $V(t) = V_0(1 - e^{-t/\tau})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V(t) = 4 \ V$,$V_0 = 10 \ V$,અને $\tau = 4 \ s$,તેથી:
$4 = 10(1 - e^{-t/4})$
$0.4 = 1 - e^{-t/4}$
$e^{-t/4} = 0.6 = \frac{3}{5}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$-t/4 = \ln(3/5) = \ln 3 - \ln 5$
$-t/4 = 1.1 - 1.6 = -0.5$
$t/4 = 0.5$
$t = 2 \ s$.
$2 \ M\Omega$ ના બે અવરોધો સમાંતરમાં છે,તેથી $R_{eq} = \frac{2 \times 2}{2 + 2} \ M\Omega = 1 \ M\Omega = 10^6 \ \Omega$.
$2 \ \mu F$ ના બે કેપેસિટર્સ સમાંતરમાં છે,તેથી $C_{eq} = 2 + 2 = 4 \ \mu F = 4 \times 10^{-6} \ F$.
ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = R_{eq} C_{eq} = (10^6 \ \Omega) \times (4 \times 10^{-6} \ F) = 4 \ s$.
સમય $t$ પર કેપેસિટર્સ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $V(t) = V_0(1 - e^{-t/\tau})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V(t) = 4 \ V$,$V_0 = 10 \ V$,અને $\tau = 4 \ s$,તેથી:
$4 = 10(1 - e^{-t/4})$
$0.4 = 1 - e^{-t/4}$
$e^{-t/4} = 0.6 = \frac{3}{5}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$-t/4 = \ln(3/5) = \ln 3 - \ln 5$
$-t/4 = 1.1 - 1.6 = -0.5$
$t/4 = 0.5$
$t = 2 \ s$.
0 likesView Solution
39
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
બે પારદર્શક માધ્યમો,જેમના વક્રીભવનાંક $\mu_1$ અને $\mu_3$ છે,તેમની વચ્ચે $\mu_2$ વક્રીભવનાંક ધરાવતું લેન્સ આકારનું ઘન પારદર્શક દ્રવ્ય મૂકવામાં આવ્યું છે,જે કોલમ $II$ માં આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. આ માધ્યમોમાંથી પસાર થતું કિરણ પણ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. કોલમ $I$ માં $\mu_1, \mu_2$ અને $\mu_3$ વચ્ચેના વિવિધ સંબંધો આપેલા છે. તેમને કોલમ $II$ માં દર્શાવેલ કિરણ આકૃતિ સાથે જોડો.
A
$(A) \rightarrow (p, r), (B) \rightarrow (q, s, t), (C) \rightarrow (p, r, t), (D) \rightarrow (q, s)$
B
$(A) \rightarrow (p, q), (B) \rightarrow (q, s, r), (C) \rightarrow (p, r, q), (D) \rightarrow (q, r)$
C
$(A) \rightarrow (q, r), (B) \rightarrow (q, r, s), (C) \rightarrow (p, q, s), (D) \rightarrow (q, t)$
D
$(A) \rightarrow (q, t), (B) \rightarrow (p, r, t), (C) \rightarrow (q, r, s), (D) \rightarrow (r, s)$
Solution
(A) લેન્સમાંથી પસાર થતા કિરણનું વર્તન લેન્સના દ્રવ્ય $(\mu_2)$ અને આસપાસના માધ્યમો ($\mu_1$ અને $\mu_3$) ના સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક પર આધાર રાખે છે.
$(A)$ $\mu_1 < \mu_2$: લેન્સ જમણી બાજુના માધ્યમ કરતા ઘટ્ટ છે. બહિર્ગોળ લેન્સ $(p)$ માટે,કિરણ પ્રથમ સપાટી પર લંબ તરફ અને બીજી સપાટી પર લંબથી દૂર વળે છે,પરિણામે તે અભિસારી બને છે. અંતર્ગોળ લેન્સ $(r)$ માટે,તે અપસારી બને છે.
$(B)$ $\mu_1 > \mu_2$: લેન્સ જમણી બાજુના માધ્યમ કરતા પાતળો છે. બહિર્ગોળ લેન્સ અપસારી લેન્સ $(q)$ તરીકે અને અંતર્ગોળ લેન્સ અભિસારી લેન્સ (s,t) તરીકે વર્તે છે.
$(C)$ $\mu_2 = \mu_3$: લેન્સનું દ્રવ્ય અને ડાબી બાજુનું માધ્યમ સમાન વક્રીભવનાંક ધરાવે છે. કિરણ બીજી સપાટી પરથી વળ્યા વગર પસાર થાય છે.
$(D)$ $\mu_2 > \mu_3$: લેન્સ ડાબી બાજુના માધ્યમ કરતા ઘટ્ટ છે. કિરણ બીજી સપાટી પર લંબ તરફ વળે છે.
શરતોને જોડતા:
$(A)$ $\mu_1 < \mu_2$ એ (p,r) સાથે જોડાય છે.
$(B)$ $\mu_1 > \mu_2$ એ (q,s,t) સાથે જોડાય છે.
$(C)$ $\mu_2 = \mu_3$ એ (p,r,t) સાથે જોડાય છે.
$(D)$ $\mu_2 > \mu_3$ એ (q,s) સાથે જોડાય છે.
$(A)$ $\mu_1 < \mu_2$: લેન્સ જમણી બાજુના માધ્યમ કરતા ઘટ્ટ છે. બહિર્ગોળ લેન્સ $(p)$ માટે,કિરણ પ્રથમ સપાટી પર લંબ તરફ અને બીજી સપાટી પર લંબથી દૂર વળે છે,પરિણામે તે અભિસારી બને છે. અંતર્ગોળ લેન્સ $(r)$ માટે,તે અપસારી બને છે.
$(B)$ $\mu_1 > \mu_2$: લેન્સ જમણી બાજુના માધ્યમ કરતા પાતળો છે. બહિર્ગોળ લેન્સ અપસારી લેન્સ $(q)$ તરીકે અને અંતર્ગોળ લેન્સ અભિસારી લેન્સ (s,t) તરીકે વર્તે છે.
$(C)$ $\mu_2 = \mu_3$: લેન્સનું દ્રવ્ય અને ડાબી બાજુનું માધ્યમ સમાન વક્રીભવનાંક ધરાવે છે. કિરણ બીજી સપાટી પરથી વળ્યા વગર પસાર થાય છે.
$(D)$ $\mu_2 > \mu_3$: લેન્સ ડાબી બાજુના માધ્યમ કરતા ઘટ્ટ છે. કિરણ બીજી સપાટી પર લંબ તરફ વળે છે.
શરતોને જોડતા:
$(A)$ $\mu_1 < \mu_2$ એ (p,r) સાથે જોડાય છે.
$(B)$ $\mu_1 > \mu_2$ એ (q,s,t) સાથે જોડાય છે.
$(C)$ $\mu_2 = \mu_3$ એ (p,r,t) સાથે જોડાય છે.
$(D)$ $\mu_2 > \mu_3$ એ (q,s) સાથે જોડાય છે.
0 likesView Solution
40
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2010
તમને ઘણા અવરોધો,કેપેસિટર્સ અને ઇન્ડક્ટર્સ આપવામાં આવ્યા છે. આને કોલમ $II$ માં દર્શાવ્યા મુજબ અલગ-અલગ રીતે વેરિયેબલ $DC$ વોલ્ટેજ સ્ત્રોત (પ્રથમ બે સર્કિટ) અથવા $50 \ Hz$ આવૃત્તિના $AC$ વોલ્ટેજ સ્ત્રોત (પછીની ત્રણ સર્કિટ) સાથે જોડવામાં આવે છે. જ્યારે સર્કિટમાંથી પ્રવાહ $I$ ($DC$ માટે સ્ટેડી સ્ટેટ અથવા $AC$ માટે rms) વહે છે,ત્યારે અનુરૂપ વોલ્ટેજ $V_1$ અને $V_2$ (સર્કિટમાં દર્શાવેલ) કોલમ $I$ માં દર્શાવ્યા મુજબ સંબંધિત છે. બંનેને જોડો.
A
$A) I \neq 0, V_1$ એ $I$ ના પ્રમાણમાં છે
B
$B) I \neq 0, V_2 > V_1$
C
$C) V_1 = 0, V_2 = V$
D
$D) I \neq 0, V_2$ એ $I$ ના પ્રમાણમાં છે
Solution
(C) $DC$ સર્કિટ માટે,ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ તરીકે કામ કરે છે $(V_L = 0)$ અને કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે કામ કરે છે $(I = 0)$.
$AC$ સર્કિટ માટે,$X_L = \omega L = 2\pi f L$ અને $X_C = 1/(\omega C) = 1/(2\pi f C)$.
સર્કિટ $(p)$: $DC$ સ્ત્રોત. ઇન્ડક્ટર $(V_1)$ શોર્ટ થયેલ છે,તેથી $V_1 = 0$. કેપેસિટર $(V_2)$ ઓપન છે,તેથી $I = 0$. $C$ સાથે મેળ ખાય છે.
સર્કિટ $(q)$: $DC$ સ્ત્રોત. ઇન્ડક્ટર $(V_1)$ શોર્ટ થયેલ છે,તેથી $V_1 = 0$. અવરોધ $(V_2)$ માટે $V_2 = IR$. $C, D$ સાથે મેળ ખાય છે.
સર્કિટ $(r)$: $AC$ સ્ત્રોત. $V_1 = I X_L$ અને $V_2 = IR$. $X_L = 2\pi(50)(6 \times 10^{-3}) \approx 1.88 \ \Omega$. $R = 2 \ \Omega$. $R > X_L$ હોવાથી,$V_2 > V_1$. ઉપરાંત $V_1 \propto I$ અને $V_2 \propto I$. $A, B, D$ સાથે મેળ ખાય છે.
સર્કિટ $(s)$: $AC$ સ્ત્રોત. $V_1 = I X_L$ અને $V_2 = I X_C$. $X_L \approx 1.88 \ \Omega$. $X_C = 1/(2\pi(50)(3 \times 10^{-6})) \approx 1061 \ \Omega$. $X_C > X_L$ હોવાથી,$V_2 > V_1$. ઉપરાંત $V_1 \propto I$ અને $V_2 \propto I$. $A, B, D$ સાથે મેળ ખાય છે.
સર્કિટ $(t)$: $AC$ સ્ત્રોત. $V_1 = IR$ અને $V_2 = I X_C$. $R = 1000 \ \Omega$,$X_C \approx 1061 \ \Omega$. $V_2 > V_1$. ઉપરાંત $V_1 \propto I$ અને $V_2 \propto I$. $A, B, D$ સાથે મેળ ખાય છે.
સારાંશ:
$A \rightarrow (r, s, t)$
$B \rightarrow (r, s, t)$
$C \rightarrow (p, q)$
$D \rightarrow (q, r, s, t)$
$AC$ સર્કિટ માટે,$X_L = \omega L = 2\pi f L$ અને $X_C = 1/(\omega C) = 1/(2\pi f C)$.
સર્કિટ $(p)$: $DC$ સ્ત્રોત. ઇન્ડક્ટર $(V_1)$ શોર્ટ થયેલ છે,તેથી $V_1 = 0$. કેપેસિટર $(V_2)$ ઓપન છે,તેથી $I = 0$. $C$ સાથે મેળ ખાય છે.
સર્કિટ $(q)$: $DC$ સ્ત્રોત. ઇન્ડક્ટર $(V_1)$ શોર્ટ થયેલ છે,તેથી $V_1 = 0$. અવરોધ $(V_2)$ માટે $V_2 = IR$. $C, D$ સાથે મેળ ખાય છે.
સર્કિટ $(r)$: $AC$ સ્ત્રોત. $V_1 = I X_L$ અને $V_2 = IR$. $X_L = 2\pi(50)(6 \times 10^{-3}) \approx 1.88 \ \Omega$. $R = 2 \ \Omega$. $R > X_L$ હોવાથી,$V_2 > V_1$. ઉપરાંત $V_1 \propto I$ અને $V_2 \propto I$. $A, B, D$ સાથે મેળ ખાય છે.
સર્કિટ $(s)$: $AC$ સ્ત્રોત. $V_1 = I X_L$ અને $V_2 = I X_C$. $X_L \approx 1.88 \ \Omega$. $X_C = 1/(2\pi(50)(3 \times 10^{-6})) \approx 1061 \ \Omega$. $X_C > X_L$ હોવાથી,$V_2 > V_1$. ઉપરાંત $V_1 \propto I$ અને $V_2 \propto I$. $A, B, D$ સાથે મેળ ખાય છે.
સર્કિટ $(t)$: $AC$ સ્ત્રોત. $V_1 = IR$ અને $V_2 = I X_C$. $R = 1000 \ \Omega$,$X_C \approx 1061 \ \Omega$. $V_2 > V_1$. ઉપરાંત $V_1 \propto I$ અને $V_2 \propto I$. $A, B, D$ સાથે મેળ ખાય છે.
સારાંશ:
$A \rightarrow (r, s, t)$
$B \rightarrow (r, s, t)$
$C \rightarrow (p, q)$
$D \rightarrow (q, r, s, t)$
0 likesView Solution
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real IIT JEE style covering Physics with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D Physics papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Run live IIT JEE mock exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFrequently Asked Questions
How many Physics questions are in IIT JEE 2010?
There are 40 Physics questions from the IIT JEE 2010 paper on Vedclass, each with a detailed step-by-step solution in Gujarati.
Are IIT JEE 2010 Physics solutions available in Gujarati?
Yes. All solutions on this page are in Gujarati. You can also switch to English or Hindi using the language buttons above the questions.
Can I practice IIT JEE 2010 Physics as a timed test?
Yes. Use the Vedclass Test Series to attempt a full IIT JEE mock test covering Physics with time limits and instant score analysis.
Can teachers create Physics papers from IIT JEE previous year questions?
Yes. The Vedclass Exam Paper Generator lets teachers mix IIT JEE Physics questions and generate Set A/B/C/D papers in minutes.
For Teachers & Institutes
Build a Custom Physics Paper
Pick IIT JEE 2010 Physics questions, set difficulty, and generate Set A/B/C/D in 2 minutes.