int_0^1 frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} d x का मान है | vedclass

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Question

(A) हमें समाकलन $I = \int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} d x$ का मान ज्ञात करना है।सबसे पहले,अंश का विस्तार करें: $x^4(1-x)^4 = x^8-4x^7+6x^6-4x^5+x^4$.

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{22}{7}-\pi$

Vedclass · Answer

(A) हमें समाकलन $I = \int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} d x$ का मान ज्ञात करना है।सबसे पहले,अंश का विस्तार करें: $x^4(1-x)^4 = x^8-4x^7+6x^6-4x^5+x^4$.अब,$x^8-4x^7+6x^6-4x^5+x^4$ को $x^2+1$ से विभाजित करने पर:$x^8-4x^7+6x^6-4x^5+x^4 = (x^2+1)(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4) - 4$.अतः,$\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} = x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4 - \frac{4}{1+x^2}$.प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:$I = \int_0^1 (x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4) dx - \int_0^1 \frac{4}{1+x^2} dx$.$I = \left[ \frac{x^7}{7} - \frac{2x^6}{3} + x^5 - \frac{4x^3}{3} + 4x ight]_0^1 - 4[	an^{-1}(x)]_0^1$.$I = \left( \frac{1}{7} - \frac{2}{3} + 1 - \frac{4}{3} + 4 ight) - 4(\frac{\pi}{4}) = \frac{22}{7} - \pi$.

$\int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} d x$ का मान है

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