IIT JEE 2008 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया समीकरण $(a x^2+b y^2+c)(x^2-5 x y+6 y^2)=0$ है।
इसका अर्थ है $a x^2+b y^2+c=0$ या $x^2-5 x y+6 y^2=0$।
दूसरे भाग $x^2-5 x y+6 y^2=0$ को $(x-2 y)(x-3 y)=0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली दो सीधी रेखाओं को दर्शाता है।
प्रथम भाग $a x^2+b y^2+c=0$ के लिए,यदि $a=b$ हो और $c$ का चिह्न $a$ के विपरीत हो,तो $x^2+y^2 = -c/a$ प्राप्त होता है,जो एक वृत्त को दर्शाता है।
अतः,जब $a=b$ हो और $c$ का चिह्न $a$ के विपरीत हो,तो यह समीकरण दो सीधी रेखाओं और एक वृत्त को दर्शाता है।

(C) फलन $f(x) = |x-1|$ है। $x < 1$ के लिए,$f(x) = -(x-1) = -x+1$ होता है। $x=1$ पर बायां अवकलज $p = \frac{d}{dx}(-x+1) = -1$ है।
दिया गया है कि $\lim_{x \rightarrow 1^{+}} g(x) = p$,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{(x-1)^n}{\log \cos^m(x-1)} = -1$ है।
मान लीजिए $h = x-1$ है। जैसे $x \rightarrow 1^{+}$,वैसे ही $h \rightarrow 0^{+}$। सीमा $\lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{h^n}{\log \cos^m h} = -1$ हो जाती है।
$\log \cos^m h = m \log \cos h$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$\lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{h^n}{m \log \cos h} = -1$ प्राप्त होता है।
$L$'$H$ôpital के नियम का उपयोग करने पर,$\lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{n h^{n-1}}{m (\frac{-\sin h}{\cos h})} = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{n h^{n-1}}{-m \tan h} = -\frac{n}{m} \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{h^{n-1}}{\tan h} = -1$।
इस सीमा के शून्य-तर अचर होने के लिए,$n-1 = 1$ होना चाहिए,अतः $n=2$। अब सीमा $-\frac{2}{m} \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{h}{\tan h} = -\frac{2}{m} (1) = -1$ है,जो दर्शाता है कि $m=2$ है।
अतः,$n=2$ और $m=2$ प्राप्त होता है।

(B) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2 = 4x$ को वृत्त के समीकरण $x^2 + y^2 - 6x + 1 = 0$ में प्रतिस्थापित करें।
इससे $x^2 + 4x - 6x + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 - 2x + 1 = 0$ हो जाता है।
यह $(x - 1)^2 = 0$ है,इसलिए $x = 1$.
$x = 1$ को $y^2 = 4x$ में रखने पर,हमें $y^2 = 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y = 2$ या $y = -2$.
इस प्रकार,वक्र $(1, 2)$ और $(1, -2)$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
यह जांचने के लिए कि क्या वे स्पर्श करते हैं,हम इन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाओं के ढाल की तुलना करते हैं।
परवलय $y^2 = 4x$ के लिए,अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 4$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$. $(1, 2)$ पर,ढाल $m_1 = 1$. $(1, -2)$ पर,ढाल $m_1 = -1$.
वृत्त $x^2 + y^2 - 6x + 1 = 0$ के लिए,अवकलन करने पर $2x + 2y \frac{dy}{dx} - 6 = 0$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{3 - x}{y}$. $(1, 2)$ पर,ढाल $m_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1$. $(1, -2)$ पर,ढाल $m_2 = \frac{3 - 1}{-2} = -1$.
चूंकि दोनों बिंदुओं पर ढाल समान हैं,इसलिए वक्र एक-दूसरे को ठीक दो बिंदुओं पर स्पर्श करते हैं।

(A) वृत्त के लिए पावर ऑफ अ पॉइंट प्रमेय के अनुसार,$PS \times ST = QS \times SR$ है।
$\frac{1}{PS}$ और $\frac{1}{ST}$ पदों के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{\frac{1}{PS}+\frac{1}{ST}}{2} > \sqrt{\frac{1}{PS} \times \frac{1}{ST}}$
$\Rightarrow \frac{1}{PS}+\frac{1}{ST} > \frac{2}{\sqrt{PS \times ST}} = \frac{2}{\sqrt{QS \times SR}}$.
यह सिद्ध करता है कि विकल्प $(B)$ सही है।
आगे,$QS$ और $SR$ के लिए $AM$-$GM$ असमिका के अनुसार:
$\frac{QS+SR}{2} > \sqrt{QS \times SR}$
$\Rightarrow \frac{QR}{2} > \sqrt{QS \times SR}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{QS \times SR}} > \frac{2}{QR}$.
इस मान को पिछली असमिका में रखने पर:
$\frac{1}{PS}+\frac{1}{ST} > \frac{2}{\sqrt{QS \times SR}} > \frac{2 \times 2}{QR} = \frac{4}{QR}$.
यह सिद्ध करता है कि विकल्प $(D)$ सही है।
अतः,सही विकल्प $(B)$ और $(D)$ हैं।

(C) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ है। यहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 1$ है।
उत्केंद्रता $e$ का मान $b^2 = a^2(1 - e^2)$ $\Rightarrow 1 = 4(1 - e^2)$ $\Rightarrow e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
नाभियों के निर्देशांक $(\pm ae, 0) = (\pm \sqrt{3}, 0)$ हैं।
चूंकि $P$ और $Q$ नाभिलंब के अंतिम बिंदु हैं और $y < 0$ है,इसलिए $x = \pm \sqrt{3}$ है। दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर: $3 + 4y^2 = 4 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P = (\sqrt{3}, -\frac{1}{2})$ और $Q = (-\sqrt{3}, -\frac{1}{2})$ हैं।
नाभिलंब $PQ$ की लंबाई $2\sqrt{3}$ है।
परवलय के लिए,नाभिलंब की लंबाई $4a' = 2\sqrt{3} \Rightarrow a' = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
$PQ$ का मध्य बिंदु $R = (0, -\frac{1}{2})$ है। परवलय का शीर्ष $(0, y_v)$ है,जहाँ $y_v = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
स्थिति $1$: शीर्ष $(0, -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2})$ है। समीकरण $x^2 - 2\sqrt{3}y = 3 + \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: शीर्ष $(0, -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ है। समीकरण $x^2 + 2\sqrt{3}y = 3 - \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही समीकरण $B$ और $C$ हैं।

(B) $1.$ रेखा $PQ: \sqrt{3}x + y - 6 = 0$ के बिंदु $D\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right)$ पर अभिलंब की ढाल $\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
अभिलंब $CD$ का समीकरण $y - \frac{3}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(x - \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) \Rightarrow x - \sqrt{3}y = 0$ है।
चूंकि त्रिज्या $1$ है और केंद्र $C(h, k)$,$PQ$ से $1$ की दूरी पर है और $x - \sqrt{3}y = 0$ पर स्थित है,इसलिए $C = (\sqrt{3}, 1)$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त $C$ का समीकरण $(x - \sqrt{3})^2 + (y - 1)^2 = 1$ है। सही विकल्प $(D)$ है।
$2.$ समबाहु त्रिभुज की भुजाओं के बीच का कोण $60^\circ$ है। रेखाएं $CE$ और $CF$,$CD$ के साथ क्रमशः $120^\circ$ और $240^\circ$ का कोण बनाती हैं।
ज्यामिति का उपयोग करते हुए,$F = (\sqrt{3}, 0)$ और $E = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right)$ प्राप्त होता है। सही विकल्प $(A)$ है।
$3.$ भुजा $QR$,$E\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right)$ से गुजरती है और इसकी ढाल $\sqrt{3}$ है,इसलिए $y - \frac{3}{2} = \sqrt{3}\left(x - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \Rightarrow y = \sqrt{3}x$। भुजा $RP$,$F(\sqrt{3}, 0)$ से गुजरती है और इसकी ढाल $0$ है,इसलिए $y = 0$। सही विकल्प $(D)$ है।

(B, C, D) $1.$ $A$ क्षेत्र $y \geq 1$ को दर्शाता है। $B$ केंद्र $(2, 1)$ और त्रिज्या $3$ वाला एक वृत्त है। $C$ रेखा $\operatorname{Re}((1-i)(x+iy)) = x+y = \sqrt{2}$ है।
वृत्त के समीकरण $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 9$ में $y = \sqrt{2}-x$ प्रतिस्थापित करने पर $(x-2)^2 + (\sqrt{2}-x-1)^2 = 9$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर: $2x^2 - (2+2\sqrt{2})x - 2 - 2\sqrt{2} = 0$ प्राप्त होता है।
इस द्विघात समीकरण को हल करने पर,हमें $y \geq 1$ वाला एक बिंदु मिलता है। अतः,अवयवों की संख्या $1$ है।
$2.$ मान लीजिए $z = x+iy$। व्यंजक $|(x+1)+i(y-1)|^2 + |(x-5)+i(y-1)|^2 = (x+1)^2 + (y-1)^2 + (x-5)^2 + (y-1)^2$ है।
चूंकि $z$ वृत्त $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 9$ पर है,इसलिए $(y-1)^2 = 9 - (x-2)^2$ होता है।
यह मान प्रतिस्थापित करने पर,व्यंजक का मान $36$ आता है।
चूंकि $36, 35$ और $39$ के बीच है,इसलिए उत्तर $(C)$ है।
$3.$ चूंकि $|z-2-i|=3$ और $|w-2-i| < 3$ है,त्रिभुज असमिका के अनुसार $|z-w| < 6$ होता है।
$||z|-|w|| \leq |z-w|$ का उपयोग करने पर,$-6 < |z|-|w| < 6$ प्राप्त होता है।
$3$ जोड़ने पर,$-3 < |z|-|w|+3 < 9$ प्राप्त होता है।

(C) माना $P = (x_1, y_1) = (-\sin(\beta - \alpha), -\cos \beta)$ और $Q = (x_2, y_2) = (\cos(\beta - \alpha), \sin \beta)$ है।
हम देखते हैं कि $R = (\cos(\beta - \alpha + \theta), \sin(\beta - \theta))$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए,$\cos(\beta - \alpha + \theta) = \cos(\beta - \alpha)\cos \theta - \sin(\beta - \alpha)\sin \theta = x_2 \cos \theta + x_1 \sin \theta$ है।
इसी प्रकार,$\sin(\beta - \theta) = \sin \beta \cos \theta - \cos \beta \sin \theta = y_2 \cos \theta + y_1 \sin \theta$ है।
अतः,$R = (x_2 \cos \theta + x_1 \sin \theta, y_2 \cos \theta + y_1 \sin \theta)$ है।
यह दर्शाता है कि $R$,रेखाखंड $PQ$ को $\sin \theta : \cos \theta$ के अनुपात में अंतःविभाजित करता है।
चूंकि $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$,$\sin \theta$ और $\cos \theta$ दोनों धनात्मक हैं,इसलिए $R$ रेखाखंड $QP$ पर स्थित है।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{(x - \sqrt{2})^2}{4} - \frac{(y + \sqrt{2})^2}{2} = 1$ है।
यहाँ $a = 2, b = \sqrt{2}$ और उत्केंद्रता $e = \sqrt{\frac{3}{2}}$ है।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times a(e - 1) \times \frac{b^2}{a} = \frac{1}{2} \times (\sqrt{6} - 2) \times 1 = \sqrt{\frac{3}{2}} - 1$.

(D) प्रारंभिक स्थिति $z_0 = 1 + 2i$ है।
क्षैतिज रूप से $5$ इकाई चलने पर: $z = (1 + 5) + 2i = 6 + 2i$।
लंबवत $3$ इकाई चलने पर: $z_1 = 6 + (2 + 3)i = 6 + 5i$।
$z_1$ से,$\hat{i} + \hat{j}$ की दिशा में $\sqrt{2}$ इकाई चलने पर: इकाई सदिश $\frac{1+i}{\sqrt{2}}$ है। विस्थापन $\sqrt{2} \times \frac{1+i}{\sqrt{2}} = 1 + i$ है।
अतः,स्थिति $z' = (6 + 5i) + (1 + i) = 7 + 6i$ हो जाती है।
अंत में,$z'$ को मूल बिंदु के परितः वामावर्त दिशा में $\frac{\pi}{2}$ कोण पर घुमाने का अर्थ है इसे $i$ से गुणा करना।
$z_2 = (7 + 6i) \times i = 7i + 6i^2 = 7i - 6 = -6 + 7i$।

(C) वृत्त $C$ का समीकरण $(x + 3)^2 + (y - 5)^2 = 4$ है।
वृत्त का केंद्र $(-3, 5)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
$L_1$ के जीवा होने के लिए,केंद्र से दूरी $2$ से कम होनी चाहिए।
$STATEMENT-1$ सत्य है क्योंकि $L_2$ हमेशा व्यास नहीं होता है।
$STATEMENT-2$ असत्य है क्योंकि यदि $L_1$ व्यास है,तो $L_2$ भी एक जीवा हो सकती है।

(B) प्रथम समीकरण $x^2+2px+q=0$ के लिए,मूल $\alpha, \beta$ हैं। अतः,$\alpha+\beta = -2p$ और $\alpha\beta = q$। विविक्तकर $D_1 = 4(p^2-q)$ है।
दूसरे समीकरण $ax^2+2bx+c=0$ के लिए,मूल $\alpha, \frac{1}{\beta}$ हैं। अतः,$\alpha+\frac{1}{\beta} = -\frac{2b}{a}$ और $\alpha\cdot\frac{1}{\beta} = \frac{c}{a}$। विविक्तकर $D_2 = 4(b^2-ac)$ है।
चूँकि $\alpha$ एक उभयनिष्ठ मूल है,हमें $(2ap-2b)\alpha + (aq-c) = 0$ प्राप्त होता है। यदि $b=ap$ और $c=aq$ हो,तो समीकरण समान हो जाएंगे,जो $\beta^2 \neq 1$ के विपरीत है। अतः $b \neq ap$ या $c \neq aq$।
चूँकि $\alpha$ वास्तविक है,$p^2-q \geq 0$ और $b^2-ac \geq 0$ होगा,इसलिए उनका गुणनफल $\geq 0$ होगा। अतः $\text{कथन}-1$ सत्य है।
$\text{कथन}-2$ भी सत्य है,लेकिन यह $\text{कथन}-1$ की सीधी व्याख्या नहीं है। इसलिए विकल्प $B$ सही है।

(C) मान लीजिए $G.P.$ $a, ar, ar^2, ar^3$ है जहाँ $r \neq 1$ और $r > 0$ है।
तब $b_1 = a, b_2 = a(1+r), b_3 = a(1+r+r^2), b_4 = a(1+r+r^2+r^3)$ है।
$b_1, b_2, b_3, b_4$ के $A.P.$ में होने के लिए $b_2-b_1 = b_3-b_2 = b_4-b_3$ होना चाहिए।
$b_2-b_1 = ar$,$b_3-b_2 = ar^2$,$b_4-b_3 = ar^3$ है।
चूँकि $r \neq 1$ है,$ar \neq ar^2 \neq ar^3$,इसलिए वे $A.P.$ में नहीं हैं।
$G.P.$ के लिए,$\frac{b_2}{b_1} = 1+r$ और $\frac{b_3}{b_2} = \frac{1+r+r^2}{1+r}$ समान नहीं हैं।
$H.P.$ के लिए,व्युत्क्रम $A.P.$ में होने चाहिए,जो सत्य नहीं है।
अतः,$STATEMENT-1$ सत्य है और $STATEMENT-2$ असत्य है।

(B) रेखाएँ $L_1: x+3y-5=0$,$L_2: 3x-ky-1=0$,और $L_3: 5x+2y-12=0$ हैं।
$(A)$ संगामी होने के लिए,रेखाओं को एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करना चाहिए। $L_1$ और $L_3$ को हल करने पर: $x+3y=5$ और $5x+2y=12$। $L_1$ को $5$ से गुणा करने पर: $5x+15y=25$। $L_3$ को घटाने पर: $13y=13 \Rightarrow y=1$। अतः $x=2$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 1)$ है। $L_2$ में मान रखने पर: $3(2)-k(1)-1=0 \Rightarrow 6-k-1=0 \Rightarrow k=5$। अतः,$(A) \rightarrow (s)$।
$(B)$ रेखाओं के समानांतर होने के लिए:
$L_1 \parallel L_2: \frac{1}{3} = \frac{3}{-k} \Rightarrow k=-9$।
$L_2 \parallel L_3: \frac{3}{5} = \frac{-k}{2} \Rightarrow k=-\frac{6}{5}$।
$L_1 \parallel L_3$ संभव नहीं है क्योंकि ढाल $-1/3$ और $-5/2$ हैं। अतः,$(B) \rightarrow (p, q)$।
$(C)$ रेखाएँ त्रिभुज बनाती हैं यदि वे संगामी न हों और कोई भी दो रेखाएँ समानांतर न हों। यह तब होता है जब $k \neq 5, -9, -\frac{6}{5}$। विकल्पों में से,केवल $k=\frac{5}{6}$ इस शर्त को पूरा करता है। अतः,$(C) \rightarrow (r)$।
$(D)$ रेखाएँ त्रिभुज नहीं बनाती हैं यदि वे संगामी हों या समानांतर हों। यह तब होता है जब $k=5, -9, -\frac{6}{5}$। अतः,$(D) \rightarrow (p, q, s)$।

(A) $ENDEANOEL$ शब्द में $9$ अक्षर हैं: $E, E, E, N, N, D, A, O, L$।
$(A)$ $ENDEA$ को एक ब्लॉक के रूप में मानने पर,हमारे पास $(ENDEA)$ ब्लॉक और शेष अक्षर $N, O, E, L$ हैं। कुल वस्तुएं $= 5$। क्रमचयों की संख्या $= 5! = 120$ है। यह $(p)$ से मेल खाता है।
$(B)$ कुल अक्षर $= 9$ हैं। $E$ तीन बार आता है। यदि $E$ पहले और अंतिम स्थान पर है,तो हमारे पास $E, N, N, D, A, O, L$ भरने के लिए $7$ स्थान शेष हैं। तरीकों की संख्या $= \frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520 = 21 \times 120 = 21 \times 5!$ है। यह $(s)$ से मेल खाता है।
$(C)$ अंतिम $5$ स्थानों में $D, L, N$ का न होना मतलब $D, L, N$ को पहले $4$ स्थानों में होना चाहिए। अक्षर $E, E, E, N, N, D, A, O, L$ हैं। पहले $4$ स्थानों में $D, L, N$ और एक $E$ होना चाहिए। तरीके $= \frac{4!}{2!} = 12$। अंतिम $5$ स्थानों में शेष $E, E, A, O$ होने चाहिए। तरीके $= \frac{5!}{3!} = 20$। कुल $= 12 \times 20 = 240 = 2 \times 120 = 2 \times 5!$ है। यह $(q)$ से मेल खाता है।
$(D)$ $A, E, O$ केवल विषम स्थानों $(1, 3, 5, 7, 9)$ पर आते हैं। कुल $5$ विषम स्थान हैं। हमारे पास $3$ $E$,$1$ $A$,$1$ $O$ हैं। कुल $5$ अक्षर। इन्हें $5$ विषम स्थानों में व्यवस्थित करने के तरीके $= \frac{5!}{3!} = 20$ हैं। शेष $4$ अक्षरों $(N, N, D, L)$ को $4$ सम स्थानों में व्यवस्थित करने के तरीके $= \frac{4!}{2!} = 12$ हैं। कुल $= 20 \times 12 = 240 = 2 \times 5!$ है। यह $(q)$ से मेल खाता है।

(C) स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए अंतरालों में फलन $f(x)$ का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $-3 < x \leq -1$ के लिए,$f(x) = (2+x)^3$ है। अवकलज $f'(x) = 3(2+x)^2$ है। चूँकि $f'(x) \geq 0$ है,फलन $(-3, -1]$ पर वर्धमान है। $x = -1$ पर,$f(-1) = (2-1)^3 = 1$ है। चूँकि फलन $x = -1$ तक बढ़ रहा है,यह बिंदु स्थानीय उच्चिष्ठ है।
$2$. $-1 < x < 2$ के लिए,$f(x) = x^{2/3}$ है। अवकलज $f'(x) = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$ है।
$3$. $x = 0$ पर,$f'(x)$ अपरिभाषित है। $x < 0$ के लिए,$f'(x) < 0$ (ह्रासमान) और $x > 0$ के लिए,$f'(x) > 0$ (वर्धमान) है। अतः,$x = 0$ एक स्थानीय निम्निष्ठ है जहाँ $f(0) = 0$ है।
$4$. मानों की तुलना करने पर,हमें $x = -1$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ और $x = 0$ पर स्थानीय निम्निष्ठ प्राप्त होता है।
अतः,स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ की कुल संख्या $2$ है।

(A) सदिशों $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ द्वारा परिभाषित समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|\hat{a} \cdot (\hat{b} \times \hat{c})|$ द्वारा दिया जाता है।
यह ग्राम मैट्रिक्स के सारणिक के वर्गमूल के बराबर होता है:
आयतन $= \sqrt{\det \begin{bmatrix} \hat{a} \cdot \hat{a} & \hat{a} \cdot \hat{b} & \hat{a} \cdot \hat{c} \\ \hat{b} \cdot \hat{a} & \hat{b} \cdot \hat{b} & \hat{b} \cdot \hat{c} \\ \hat{c} \cdot \hat{a} & \hat{c} \cdot \hat{b} & \hat{c} \cdot \hat{c} \end{bmatrix}}$.
दिया गया है कि $\hat{a} \cdot \hat{a} = \hat{b} \cdot \hat{b} = \hat{c} \cdot \hat{c} = 1$ और $\hat{a} \cdot \hat{b} = \hat{b} \cdot \hat{c} = \hat{c} \cdot \hat{a} = 1/2$,इसलिए:
आयतन $= \sqrt{\det \begin{bmatrix} 1 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 & 1 \end{bmatrix}}$.
सारणिक की गणना करने पर: $1(1 - 1/4) - 1/2(1/2 - 1/4) + 1/2(1/4 - 1/2) = 1(3/4) - 1/2(1/4) + 1/2(-1/4) = 3/4 - 1/8 - 1/8 = 3/4 - 2/8 = 3/4 - 1/4 = 1/2$.
अतः,आयतन $\sqrt{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = f(1-x)$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f^{\prime}(x) = -f^{\prime}(1-x)$ प्राप्त होता है।
$x = 1/2$ पर,$f^{\prime}(1/2) = -f^{\prime}(1-1/2) = -f^{\prime}(1/2)$,जिसका अर्थ है $2f^{\prime}(1/2) = 0$,इसलिए $f^{\prime}(1/2) = 0$। अतः,$(B)$ सही है।
चूंकि $f(x) = f(1-x)$,$f(x)$ का ग्राफ $x = 1/2$ के परितः सममित है। मान लीजिए $x = 1/2 + t$,तो $f(1/2 + t) = f(1/2 - t)$,इसलिए $g(t) = f(1/2 + t)$ एक सम फलन है।
$(C)$ के लिए,$\int_{-1/2}^{1/2} f(x+1/2) \sin x dx$। चूंकि $f(x+1/2)$ सम है और $\sin x$ विषम है,उनका गुणनफल एक विषम फलन है। एक सममित अंतराल $[-a, a]$ पर विषम फलन का समाकलन $0$ होता है। अतः,$(C)$ सही है।
$(A)$ के लिए,हमारे पास $f^{\prime}(1/4) = 0$ है। चूंकि $f^{\prime}(x) = -f^{\prime}(1-x)$,$f^{\prime}(3/4) = -f^{\prime}(1/4) = 0$। साथ ही $f^{\prime}(1/2) = 0$। रोले के प्रमेय के अनुसार,$f^{\prime\prime}(x)$ अंतराल $(1/4, 1/2)$ में कम से कम एक बार और $(1/2, 3/4)$ में कम से कम एक बार शून्य होता है। अतः,$f^{\prime\prime}(x)$ अंतराल $[0, 1]$ में कम से कम दो बार शून्य होता है। अतः,$(A)$ सही है।
$(D)$ के लिए,मान लीजिए $I = \int_{1/2}^1 f(1-t) e^{\sin \pi t} dt$। मान लीजिए $1-t = u$,तो $dt = -du$। जब $t=1/2, u=1/2$; जब $t=1, u=0$। $I = \int_{1/2}^0 f(u) e^{\sin \pi (1-u)} (-du) = \int_0^{1/2} f(u) e^{\sin \pi u} du$। अतः,$(D)$ सही है।

(A,D) हम योग को रीमान योग के रूप में फिर से लिख सकते हैं:
$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + (k/n) + (k/n)^2}$
$T_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + (k/n) + (k/n)^2}$
मान लीजिए $f(x) = \frac{1}{1+x+x^2}$ है। चूँकि $f(x)$ अंतराल $[0, 1]$ पर एक ह्रासमान फलन है,इसलिए दायां रीमान योग $S_n$ समाकलन का कम मान देता है और बायां रीमान योग $T_n$ अधिक मान देता है।
अतः,$S_n < \int_0^1 \frac{dx}{1+x+x^2} < T_n$।
समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $\int_0^1 \frac{dx}{(x+1/2)^2 + 3/4} = \left[ \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right) \right]_0^1 = \frac{2}{\sqrt{3}} (\tan^{-1}(\sqrt{3}) - \tan^{-1}(1/\sqrt{3})) = \frac{2}{\sqrt{3}} (\pi/3 - \pi/6) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$।
इसलिए,$S_n < \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$ और $T_n > \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$।

(B) समीकरणों की प्रणाली समघात है: $ax+by=0$ और $cx+dy=0$।
एक समघात प्रणाली का हमेशा तुच्छ हल $(x=0, y=0)$ होता है।
इसलिए,प्रणाली का हल होने की प्रायिकता $1$ है,जो $\text{कथन}-2$ को सत्य बनाता है।
अद्वितीय हल के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक गैर-शून्य होना चाहिए: $\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right| \neq 0$,जिसका अर्थ है $ad - bc \neq 0$।
चूंकि $a, b, c, d \in \{0, 1\}$,कुल संभावित परिणाम $2^4 = 16$ हैं।
$ad - bc \neq 0$ शर्त का अर्थ है $ad \neq bc$।
$(ad, bc)$ के लिए संभावित मामले $(1, 0)$ या $(0, 1)$ हैं।
यदि $ad=1$,तो $a=1$ और $d=1$ है। $bc=0$ होना चाहिए। $bc=0$ तब होता है जब $(b,c) \in \{(0,0), (0,1), (1,0)\}$ हो। यह $3$ मामले देता है।
यदि $ad=0$,तो $bc=1$ होना चाहिए,यानी $b=1$ और $c=1$ है। $ad=0$ तब होता है जब $(a,d) \in \{(0,0), (0,1), (1,0)\}$ हो। यह $3$ मामले देता है।
कुल अनुकूल मामले $= 3 + 3 = 6$।
प्रायिकता $= 6/16 = 3/8$ है। अतः,$\text{कथन}-1$ सत्य है।
चूंकि $\text{कथन}-2$ बताता है कि प्रणाली का हमेशा एक हल होता है,यह $\text{कथन}-1$ के लिए सही व्याख्या नहीं है।

(A) समीकरणों की प्रणाली $AX = B$ द्वारा दी गई है,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 4 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = |A| = 1(4-6) + 2(-4+2) + 3(3-1) = 1(-2) + 2(-2) + 3(2) = -2 - 4 + 6 = 0$ की गणना करें।
चूंकि $D = 0$ है,प्रणाली का या तो कोई हल नहीं है या अनंत हल हैं।
अब,$D_1 = \left|\begin{array}{ccc}-1 & -2 & 3 \\ k & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 4\end{array}\right| = -1(4-6) + 2(4k+2) + 3(-3k-1) = 2 + 8k + 4 - 9k - 3 = 3 - k$ की गणना करें।
$D_1 = 0$ केवल तभी होता है जब $k = 3$ हो। यदि $k \neq 3$ है,तो $D_1 \neq 0$,इसलिए प्रणाली का कोई हल नहीं है।
अतः,कथन-$1$ सत्य है। कथन-$2$ सत्य है क्योंकि यह $D=0$ को सही ढंग से पहचानता है जो प्रणाली का कोई हल न होने या अनंत हल होने की स्थिति है।

(B) दिया गया है $f(x) = g(x) \sin x$.
सबसे पहले,गुणन नियम का उपयोग करके $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime}(x) = g^{\prime}(x) \sin x + g(x) \cos x$.
$x = 0$ पर,$f^{\prime}(0) = g^{\prime}(0) \sin(0) + g(0) \cos(0) = 0 + g(0) \cdot 1 = g(0)$.
अतः,$\text{कथन}-2$ सत्य है।
इसके बाद,$f^{\prime \prime}(x)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime \prime}(x) = g^{\prime \prime}(x) \sin x + g^{\prime}(x) \cos x + g^{\prime}(x) \cos x - g(x) \sin x = g^{\prime \prime}(x) \sin x + 2g^{\prime}(x) \cos x - g(x) \sin x$.
$x = 0$ पर,$f^{\prime \prime}(0) = g^{\prime \prime}(0) \cdot 0 + 2g^{\prime}(0) \cdot 1 - g(0) \cdot 0 = 2g^{\prime}(0) = 0$ (चूंकि $g^{\prime}(0) = 0$).
अब,$\text{कथन}-1$ में सीमा का मूल्यांकन करें:
$L = \lim_{x \rightarrow 0} [g(x) \cot x - g(0) \operatorname{cosec} x] = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{g(x) \cos x - g(0)}{\sin x}$.
$L$'$H$ôpital के नियम का उपयोग करते हुए (चूंकि यह $0/0$ रूप है):
$L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{g^{\prime}(x) \cos x - g(x) \sin x}{\cos x} = \frac{g^{\prime}(0) \cdot 1 - g(0) \cdot 0}{1} = g^{\prime}(0) = 0$.
चूंकि $f^{\prime \prime}(0) = 0$ और $L = 0$,इसलिए $\text{कथन}-1$ सत्य है।
हालाँकि,$\text{कथन}-2$ $(f^{\prime}(0) = g(0))$ का उपयोग $\text{कथन}-1$ में सीमा प्राप्त करने के लिए नहीं किया जाता है। इसलिए,$\text{कथन}-2$,$\text{कथन}-1$ की सही व्याख्या नहीं है।

(D) समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = (1, -1, 1)$,$\vec{n}_2 = (1, 1, -1)$,और $\vec{n}_3 = (1, -3, 3)$ हैं।
रेखा $L_1$ ($P_2$ और $P_3$ का प्रतिच्छेदन) का दिशा सदिश $\vec{v}_1 = \vec{n}_2 \times \vec{n}_3 = (0, -4, -4)$ है,जो $(0, 1, 1)$ के समांतर है।
रेखा $L_2$ ($P_3$ और $P_1$ का प्रतिच्छेदन) का दिशा सदिश $\vec{v}_2 = \vec{n}_3 \times \vec{n}_1 = (0, 2, 2)$ है,जो $(0, 1, 1)$ के समांतर है।
रेखा $L_3$ ($P_1$ और $P_2$ का प्रतिच्छेदन) का दिशा सदिश $\vec{v}_3 = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = (0, 2, 2)$ है,जो $(0, 1, 1)$ के समांतर है।
चूंकि सभी रेखाएँ $L_1, L_2, L_3$ एक ही दिशा सदिश $(0, 1, 1)$ रखती हैं,इसलिए वे सभी एक-दूसरे के समांतर हैं। अतः,$\text{कथन}-1$ असत्य है।
$\text{कथन}-2$ के लिए,हम समीकरणों को हल करके जाँचते हैं कि क्या निकाय का कोई उभयनिष्ठ बिंदु है। $P_1$ और $P_2$ को जोड़ने पर $2x = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 0$ है। $x=0$ को $P_1$ और $P_2$ में रखने पर $-y+z=1$ और $y-z=-1$ प्राप्त होते हैं,जो समान हैं। $x=0$ को $P_3$ में रखने पर $-3y+3z=2$ या $-y+z=2/3$ प्राप्त होता है। चूँकि $1 \neq 2/3$,इसलिए निकाय का कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है। अतः,$\text{कथन}-2$ सत्य है।

(A, D, B) $1.$ दिए गए समीकरण $y^3-3y+x=0$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $3y^2y^{\prime}-3y^{\prime}+1=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y^{\prime} = \frac{-1}{3(y^2-1)}$।
$x = -10\sqrt{2}$ पर,$y = 2\sqrt{2}$,इसलिए $y^{\prime} = \frac{-1}{3((2\sqrt{2})^2-1)} = \frac{-1}{3(8-1)} = -\frac{1}{21}$।
$3y^2y^{\prime}-3y^{\prime}+1=0$ का पुनः अवकलन करने पर,हमें $6yy^{\prime 2} + 3y^2y^{\prime\prime} - 3y^{\prime\prime} = 0$ प्राप्त होता है।
$y^{\prime\prime}(3y^2-3) = -6yy^{\prime 2} \Rightarrow y^{\prime\prime} = \frac{-2yy^{\prime 2}}{y^2-1}$।
$y=2\sqrt{2}$ और $y^{\prime}=-\frac{1}{21}$ रखने पर,हमें $f^{\prime\prime}(-10\sqrt{2}) = \frac{-2(2\sqrt{2})(-1/21)^2}{8-1} = \frac{-4\sqrt{2}}{7 \times 441} = -\frac{4\sqrt{2}}{7^3 \times 3^2}$ प्राप्त होता है।
$2.$ क्षेत्रफल $\int_a^b |f(x)| dx$ है। चूंकि $x < -2$ के लिए $f(x) < -2$,क्षेत्रफल $-\int_a^b f(x) dx$ है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int f(x) dx = xf(x) - \int xf^{\prime}(x) dx$।
चूंकि $f^{\prime}(x) = \frac{-1}{3(f(x)^2-1)}$,समाकलन $bf(b)-af(a) - \int_a^b x \left(\frac{-1}{3(f(x)^2-1)}\right) dx = bf(b)-af(a) + \int_a^b \frac{x}{3(f(x)^2-1)} dx$ है।
क्षेत्रफल $-\int_a^b f(x) dx = -bf(b)+af(a) - \int_a^b \frac{x}{3(f(x)^2-1)} dx$ है।
$3.$ $\int_{-1}^1 g^{\prime}(x) dx = g(1) - g(-1)$।
चूंकि $g(x)^3 - 3g(x) + x = 0$,$g(-x)^3 - 3g(-x) - x = 0$। मान लीजिए $h(x) = -g(-x)$,तो $(-h(x))^3 - 3(-h(x)) - x = 0 \Rightarrow -h(x)^3 + 3h(x) - x = 0 \Rightarrow h(x)^3 - 3h(x) + x = 0$।
अतः $g(x) = -g(-x)$,इसलिए $g$ एक विषम फलन है। $g(-1) = -g(1)$।
इसलिए,$g(1) - g(-1) = g(1) - (-g(1)) = 2g(1)$।

(D) मान लीजिए $n(S) = 10$ कुल परिणामों की संख्या है। दिया गया है $n(A) = 4$,इसलिए $P(A) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
मान लीजिए $n(B) = p$,इसलिए $P(B) = \frac{p}{10}$.
$A$ और $B$ के स्वतंत्र होने के लिए,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{2}{5} \times \frac{p}{10} = \frac{2p}{50} = \frac{p}{25}$.
चूँकि $P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{10}$,हमारे पास $\frac{n(A \cap B)}{10} = \frac{p}{25}$ है,जिसका अर्थ है $n(A \cap B) = \frac{10p}{25} = \frac{2p}{5}$.
चूँकि $n(A \cap B)$ एक पूर्णांक होना चाहिए,$2p$ को $5$ से विभाज्य होना चाहिए। चूँकि $2$ और $5$ सह-अभाज्य हैं,$p$ को $5$ का गुणज होना चाहिए।
चूँकि $B$ गैर-रिक्त है,$p \in \{5, 10\}$.

(B) क्षेत्रफल $A = \int_0^{\pi/4} \left( \sqrt{\frac{1+\sin x}{\cos x}} - \sqrt{\frac{1-\sin x}{\cos x}} \right) dx$ द्वारा दिया जाता है।
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $\sin x = \frac{2\tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ और $\cos x = \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ का उपयोग करके,हम समाकल्य को सरल बनाते हैं।
माना $t = \tan(x/2)$,तब $dt = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) dx = \frac{1}{2}(1+t^2) dx$,इसलिए $dx = \frac{2}{1+t^2} dt$.
जब $x=0$,तब $t=0$. जब $x=\pi/4$,तब $t=\tan(\pi/8) = \sqrt{2}-1$.
यह व्यंजक $\int_0^{\sqrt{2}-1} \left( \sqrt{\frac{1+\frac{2t}{1+t^2}}{\frac{1-t^2}{1+t^2}}} - \sqrt{\frac{1-\frac{2t}{1+t^2}}{\frac{1-t^2}{1+t^2}}} \right) \frac{2}{1+t^2} dt$ बन जाता है।
इसका सरलीकरण $\int_0^{\sqrt{2}-1} \left( \sqrt{\frac{(1+t)^2}{1-t^2}} - \sqrt{\frac{(1-t)^2}{1-t^2}} \right) \frac{2}{1+t^2} dt = \int_0^{\sqrt{2}-1} \frac{2(1+t - (1-t))}{\sqrt{1-t^2}} \frac{1}{1+t^2} dt = \int_0^{\sqrt{2}-1} \frac{4t}{(1+t^2)\sqrt{1-t^2}} dt$ होता है।

(C) दिया गया है $J = \int \frac{e^{-x}}{e^{-4x} + e^{-2x} + 1} dx$। अंश और हर को $e^{4x}$ से गुणा करने पर,हमें $J = \int \frac{e^{3x}}{1 + e^{2x} + e^{4x}} dx$ प्राप्त होता है।
अब,$J - I = \int \frac{e^{3x} - e^x}{e^{4x} + e^{2x} + 1} dx = \int \frac{e^x(e^{2x} - 1)}{e^{4x} + e^{2x} + 1} dx$।
मान लीजिए $z = e^x$,तो $dz = e^x dx$। समाकलन $\int \frac{z^2 - 1}{z^4 + z^2 + 1} dz$ बन जाता है।
अंश और हर को $z^2$ से विभाजित करने पर: $\int \frac{1 - 1/z^2}{z^2 + 1 + 1/z^2} dz = \int \frac{1 - 1/z^2}{(z + 1/z)^2 - 1} dz$।
मान लीजिए $u = z + 1/z$,तो $du = (1 - 1/z^2) dz$। समाकलन $\int \frac{du}{u^2 - 1} = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{u - 1}{u + 1} \right| + C$ बन जाता है।
$u = e^x + e^{-x}$ वापस रखने पर: $\frac{1}{2} \ln \left| \frac{e^x + e^{-x} - 1}{e^x + e^{-x} + 1} \right| + C = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{e^{2x} - e^x + 1}{e^{2x} + e^x + 1} \right) + C$।

(A) दिया गया है $g(x) = \log(f(x))$ और $f(x+1) = x f(x)$।
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$\log(f(x+1)) = \log(x) + \log(f(x))$।
इसका अर्थ है $g(x+1) = g(x) + \log(x)$,या $g(x+1) - g(x) = \log(x)$।
$x$ के सापेक्ष दो बार अवकलन करने पर,हमें $g^{\prime \prime}(x+1) - g^{\prime \prime}(x) = -\frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।
हमें $g^{\prime \prime}\left(N+\frac{1}{2}\right) - g^{\prime \prime}\left(\frac{1}{2}\right)$ ज्ञात करना है।
हम इसे एक टेलीस्कोपिंग योग के रूप में लिख सकते हैं:
$g^{\prime \prime}\left(N+\frac{1}{2}\right) - g^{\prime \prime}\left(\frac{1}{2}\right) = \sum_{k=1}^{N} \left[ g^{\prime \prime}\left(k+\frac{1}{2}\right) - g^{\prime \prime}\left(k-\frac{1}{2}\right) \right]$।
संबंध $g^{\prime \prime}(x+1) - g^{\prime \prime}(x) = -\frac{1}{x^2}$ का उपयोग करते हुए,हम $x = k - \frac{1}{2}$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$g^{\prime \prime}\left(k+\frac{1}{2}\right) - g^{\prime \prime}\left(k-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{(k-\frac{1}{2})^2} = -\frac{1}{(\frac{2k-1}{2})^2} = -\frac{4}{(2k-1)^2}$।
$k=1$ से $N$ तक योग करने पर:
$\sum_{k=1}^{N} -\frac{4}{(2k-1)^2} = -4 \left[ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \ldots + \frac{1}{(2N-1)^2} \right]$।
यह $-4 \left\{ 1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{25} + \ldots + \frac{1}{(2N-1)^2} \right\}$ में सरल हो जाता है।

(A) स्थिति सदिश $\overline{OP} = \hat{a} \cos t + \hat{b} \sin t$ है।
लंबाई का वर्ग $|\overline{OP}|^2 = (\hat{a} \cos t + \hat{b} \sin t) \cdot (\hat{a} \cos t + \hat{b} \sin t) = \cos^2 t + \sin^2 t + 2 \sin t \cos t (\hat{a} \cdot \hat{b}) = 1 + \sin(2t) (\hat{a} \cdot \hat{b})$ है।
चूंकि $\hat{a}$ और $\hat{b}$ एक न्यून कोण बनाते हैं,इसलिए $\hat{a} \cdot \hat{b} > 0$ है। अतः,$|\overline{OP}|$ अधिकतम तब होता है जब $\sin(2t) = 1$,यानी $2t = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{4}$।
$t = \frac{\pi}{4}$ पर,$M = |\overline{OP}| = (1 + \hat{a} \cdot \hat{b})^{1/2}$ है।
$t = \frac{\pi}{4}$ पर सदिश $\overline{OP} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{a} + \hat{b})$ है।
इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{\overline{OP}}{|\overline{OP}|} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{a} + \hat{b})}{\frac{1}{\sqrt{2}}|\hat{a} + \hat{b}|} = \frac{\hat{a} + \hat{b}}{|\hat{a} + \hat{b}|}$ है।

(C) दिया गया फलन $g(u) = 2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}$ है।
विषम/सम की जाँच करने के लिए,हम $g(-u)$ का मूल्यांकन करते हैं:
$g(-u) = 2 \tan^{-1}(e^{-u}) - \frac{\pi}{2}$.
सर्वसमिका $\tan^{-1}(x) + \cot^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\tan^{-1}(e^{-u}) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(e^u)$.
इसे $g(-u)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$g(-u) = 2 \left( \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(e^u) \right) - \frac{\pi}{2} = \pi - 2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1}(e^u) = -g(u)$.
चूँकि $g(-u) = -g(u)$,फलन विषम है।
एकदिष्टता की जाँच करने के लिए,हम अवकलज $g'(u)$ ज्ञात करते हैं:
$g'(u) = \frac{d}{du} (2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (e^u)^2} \cdot e^u = \frac{2e^u}{1 + e^{2u}}$.
चूँकि सभी $u \in (-\infty, \infty)$ के लिए $e^u > 0$ है,इसलिए $g'(u) > 0$ है।
अतः,$g$ अंतराल $(-\infty, \infty)$ में निरंतर वर्धमान है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x \sqrt{x^2-1} dy = y \sqrt{y^2-1} dx$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{y \sqrt{y^2-1}} = \int \frac{dx}{x \sqrt{x^2-1}}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\sec^{-1} y = \sec^{-1} x + C$.
शर्त $y(2) = \frac{2}{\sqrt{3}}$ का उपयोग करने पर: $\sec^{-1} \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = \sec^{-1} (2) + C$.
$\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + C \implies C = -\frac{\pi}{6}$.
अतः,$\sec^{-1} y = \sec^{-1} x - \frac{\pi}{6}$,जो $y(x) = \sec \left(\sec^{-1} x - \frac{\pi}{6}\right)$ देता है। इसलिए,$STATEMENT-1$ सत्य है।
अब,$\cos^{-1} \left(\frac{1}{y}\right) = \cos^{-1} \left(\frac{1}{x}\right) - \frac{\pi}{6}$.
दोनों पक्षों में $\cos$ लेने पर: $\frac{1}{y} = \cos \left(\cos^{-1} \frac{1}{x} - \frac{\pi}{6}\right) = \cos \left(\cos^{-1} \frac{1}{x}\right) \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) + \sin \left(\cos^{-1} \frac{1}{x}\right) \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$.
$\frac{1}{y} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2x} + \frac{1}{2} \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}$.
इसे $STATEMENT-2$ के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $STATEMENT-2$ असत्य है।

(A) $1.$ दिया गया है $f(x) = \frac{x^2-ax+1}{x^2+ax+1}$। भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f^{\prime}(x) = \frac{2a(x^2-1)}{(x^2+ax+1)^2}$।
$f^{\prime \prime}(x)$ की गणना करने पर,हमें $f^{\prime \prime}(1) = \frac{4a}{(2+a)^2}$ और $f^{\prime \prime}(-1) = \frac{-4a}{(2-a)^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(2+a)^2 f^{\prime \prime}(1) + (2-a)^2 f^{\prime \prime}(-1) = 4a - 4a = 0$। इसलिए,$(A)$ सत्य है।
$2.$ $f^{\prime}(x) = \frac{2a(x^2-1)}{(x^2+ax+1)^2}$। $x \in (-1, 1)$ के लिए,$x^2-1 < 0$,इसलिए $f^{\prime}(x) < 0$। अतः $f(x)$ अंतराल $(-1, 1)$ पर घट रहा है।
$x=1$ पर,$f^{\prime}(x)$ ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,इसलिए $f(x)$ का $x=1$ पर स्थानीय न्यूनतम है। इसलिए,$(A)$ सत्य है।
$3.$ $g(x) = \int_0^{e^x} \frac{f^{\prime}(t)}{1+t^2} dt$। लीबनिज नियम के अनुसार,$g^{\prime}(x) = \frac{f^{\prime}(e^x)}{1+(e^x)^2} \cdot e^x = \frac{2a(e^{2x}-1)}{(e^{2x}+ae^x+1)^2} \cdot \frac{e^x}{1+e^{2x}}$।
$x < 0$ के लिए,$e^x < 1$,इसलिए $e^{2x}-1 < 0$,अर्थात $g^{\prime}(x) < 0$।
$x > 0$ के लिए,$e^x > 1$,इसलिए $e^{2x}-1 > 0$,अर्थात $g^{\prime}(x) > 0$।
अतः,$g^{\prime}(x)$ अंतराल $(-\infty, 0)$ पर ऋणात्मक और $(0, \infty)$ पर धनात्मक है। इसलिए,$(B)$ सत्य है।

(B, D, C) $1.$ $L_1$ और $L_2$ के दिशा सदिश $\vec{v_1} = 3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{v_2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ हैं।
दोनों के लंबवत सदिश $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = -\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ है।
इकाई सदिश $\frac{-\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}}{5\sqrt{3}}$ है। अतः,विकल्प $(B)$ सही है।
$2.$ न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{AB}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$ है,जहाँ $\vec{AB} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$।
$d = \frac{|(3\hat{i} + 4\hat{k}) \cdot (-\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k})|}{5\sqrt{3}} = \frac{|-3 + 20|}{5\sqrt{3}} = \frac{17}{5\sqrt{3}}$। अतः,विकल्प $(D)$ सही है।
$3.$ समतल का समीकरण: $-1(x+1) - 7(y+2) + 5(z+1) = 0 \Rightarrow x + 7y - 5z + 10 = 0$ है।
बिंदु $(1, 1, 1)$ से दूरी $d = \frac{|1 + 7(1) - 5(1) + 10|}{\sqrt{1^2 + 7^2 + (-5)^2}} = \frac{13}{\sqrt{75}}$ है। अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(C) माना $y = \frac{x^2+2x+4}{x+2} = (x+2) + \frac{4}{x+2} - 2$. $AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$x > -2$ के लिए,$(x+2) + \frac{4}{x+2} \geq 4$. अतः,$y \geq 2$. न्यूनतम मान $2$ है (विकल्प $r$)।
$(B)$ दिया है $(A+B)(A-B) = (A-B)(A+B) \Rightarrow AB = BA$. चूँकि $A$ सममित और $B$ विषम-सममित है,$(AB)^t = B^t A^t = -BA = -AB$. अतः,$(-1)^k AB = -AB$,जिसका अर्थ है $(-1)^k = -1$. यह $k$ के विषम मानों के लिए सत्य है। ${1, 2, 3}$ में,$k=1$ या $k=3$ (विकल्प $q, s$)।
$(C)$ $a = \log_3 \log_3 2$. $3^{-a} = \log_2 3$. असमिका $1 < 2^{-k + \log_2 3} < 2 \Rightarrow 1 < 2^{-k} \cdot 3 < 2 \Rightarrow \log_2 3 - 1 < k < \log_2 3$. चूँकि $0.58 < k < 1.58$,पूर्णांक $k=1$ है। $1$,$2$ और $3$ से छोटा है (विकल्प $r, s$)।
$(D)$ $\sin \theta = \cos \phi \Rightarrow \theta \pm \phi - \frac{\pi}{2} = -2n\pi$. अतः,$\frac{1}{\pi}(\theta \pm \phi - \frac{\pi}{2}) = -2n$,जो सम पूर्णांक हैं। विकल्पों में से $0$ सम है (विकल्प $p$)।

(C) माना $\cot ^{-1} x = \theta$,तब $x = \cot \theta$.
चूंकि $0 < x < 1$,इसलिए $\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}$.
व्यंजक $\sqrt{1+x^2} [\{x \cos \theta + \sin \theta\}^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$ है।
$x = \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sqrt{1+\cot^2 \theta} [\{\frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta} + \sin \theta\}^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$= \sqrt{\operatorname{cosec}^2 \theta} [\{\frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\sin \theta}\}^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$= \operatorname{cosec} \theta [\{\frac{1}{\sin \theta}\}^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$= \operatorname{cosec} \theta \sqrt{\operatorname{cosec}^2 \theta - 1}$
$= \operatorname{cosec} \theta \sqrt{\cot^2 \theta}$
$= \operatorname{cosec} \theta \cdot \cot \theta$ (चूंकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ के लिए $\cot \theta > 0$ है)
यहाँ $\operatorname{cosec} \theta = \sqrt{1+x^2}$ और $\cot \theta = x$ है,अतः उत्तर $x \sqrt{1+x^2}$ प्राप्त होता है।