PhysicsQ1–36 of 36 questions
Page 1 of 1 · Hindi
1
PhysicsEasyMCQIIT JEE · 2008
एक आदर्श गैस का प्रसार इस प्रकार हो रहा है कि $PT^2 = \text{नियतांक}$ है। गैस का आयतन प्रसार गुणांक क्या है?
A
$\frac{1}{T}$
B
$\frac{2}{T}$
C
$\frac{3}{T}$
D
$\frac{4}{T}$
Solution
(C) आयतन प्रसार गुणांक को $\gamma = \frac{1}{V} \left( \frac{dV}{dT} \right)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया प्रक्रिया समीकरण: $PT^2 = \text{नियतांक}$.
आदर्श गैस नियम $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए, हम लिख सकते हैं $P = \frac{nRT}{V}$.
$P$ का मान प्रक्रिया समीकरण में रखने पर: $\left( \frac{nRT}{V} \right) T^2 = \text{नियतांक}$.
इसे सरल करने पर $\frac{T^3}{V} = \text{नियतांक}$, या $V = k T^3$ प्राप्त होता है (जहाँ $k$ एक नियतांक है)।
$V$ का $T$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dT} = 3k T^2$.
अब, इन मानों को $\gamma$ के व्यंजक में रखने पर:
$\gamma = \frac{1}{V} \left( \frac{dV}{dT} \right) = \frac{1}{kT^3} (3kT^2) = \frac{3}{T}$.
दिया गया प्रक्रिया समीकरण: $PT^2 = \text{नियतांक}$.
आदर्श गैस नियम $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए, हम लिख सकते हैं $P = \frac{nRT}{V}$.
$P$ का मान प्रक्रिया समीकरण में रखने पर: $\left( \frac{nRT}{V} \right) T^2 = \text{नियतांक}$.
इसे सरल करने पर $\frac{T^3}{V} = \text{नियतांक}$, या $V = k T^3$ प्राप्त होता है (जहाँ $k$ एक नियतांक है)।
$V$ का $T$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dT} = 3k T^2$.
अब, इन मानों को $\gamma$ के व्यंजक में रखने पर:
$\gamma = \frac{1}{V} \left( \frac{dV}{dT} \right) = \frac{1}{kT^3} (3kT^2) = \frac{3}{T}$.
0 likesView Solution
2
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2008
कणों की एक गोलीय सममित गुरुत्वाकर्षण प्रणाली का द्रव्यमान घनत्व $\rho = \begin{cases} \rho_0 & \text{के लिए } r \leq R \\ 0 & \text{के लिए } r > R \end{cases}$ है,जहाँ $\rho_0$ एक स्थिरांक है। एक परीक्षण द्रव्यमान कणों के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के प्रभाव में वृत्तातीय गति कर सकता है। प्रणाली के केंद्र से दूरी $r$ $(0 < r < \infty)$ के फलन के रूप में इसकी गति $V$ को किसके द्वारा दर्शाया गया है?
A
B
C
D
Solution
(C) वृत्तातीय गति में एक परीक्षण द्रव्यमान के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $\frac{G M(r) m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$,जो सरल होकर $v = \sqrt{\frac{G M(r)}{r}}$ हो जाता है।
स्थिति $1$: $r \leq R$
त्रिज्या $r$ के भीतर निहित द्रव्यमान $M(r) = \rho_0 \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$ है। इसे गति के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \sqrt{\frac{G (\rho_0 \cdot \frac{4}{3} \pi r^3)}{r}} = \sqrt{\frac{4}{3} \pi G \rho_0} \cdot r$. अतः,$v \propto r$.
स्थिति $2$: $r > R$
प्रणाली का कुल द्रव्यमान $M = \rho_0 \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ है। $r > R$ के लिए निहित द्रव्यमान स्थिर $M$ रहता है। इसे गति के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$. अतः,$v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
इन परिणामों की तुलना करने पर,ग्राफ $r \leq R$ के लिए रैखिक वृद्धि और $r > R$ के लिए $1/\sqrt{r}$ के अनुपात में घटता हुआ वक्र दिखाता है,जो विकल्प $C$ के अनुरूप है।
स्थिति $1$: $r \leq R$
त्रिज्या $r$ के भीतर निहित द्रव्यमान $M(r) = \rho_0 \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$ है। इसे गति के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \sqrt{\frac{G (\rho_0 \cdot \frac{4}{3} \pi r^3)}{r}} = \sqrt{\frac{4}{3} \pi G \rho_0} \cdot r$. अतः,$v \propto r$.
स्थिति $2$: $r > R$
प्रणाली का कुल द्रव्यमान $M = \rho_0 \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ है। $r > R$ के लिए निहित द्रव्यमान स्थिर $M$ रहता है। इसे गति के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$. अतः,$v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
इन परिणामों की तुलना करने पर,ग्राफ $r \leq R$ के लिए रैखिक वृद्धि और $r > R$ के लिए $1/\sqrt{r}$ के अनुपात में घटता हुआ वक्र दिखाता है,जो विकल्प $C$ के अनुरूप है।
0 likesView Solution
3
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2008
छात्र $I$,$II$ और $III$ एक सरल लोलक का उपयोग करके गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ को मापने के लिए एक प्रयोग करते हैं। वे लोलक की अलग-अलग लंबाई और/या अलग-अलग संख्या में दोलनों के लिए समय रिकॉर्ड करते हैं। अवलोकन तालिका में दिखाए गए हैं। लंबाई के लिए अल्पतमांक $= 0.1 \text{ cm}$। समय के लिए अल्पतमांक $= 0.1 \text{ s}$।
यदि $E_I$,$E_{II}$ और $E_{III}$ क्रमशः छात्रों $I$,$II$ और $III$ के लिए $g$ में प्रतिशत त्रुटियां हैं,तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है?
| छात्र | लंबाई $(cm)$ | दोलन $(n)$ | कुल समय $(s)$ | आवर्तकाल $(s)$ |
| $I$ | $64.0$ | $8$ | $128.0$ | $16.0$ |
| $II$ | $64.0$ | $4$ | $64.0$ | $16.0$ |
| $III$ | $20.0$ | $4$ | $36.0$ | $9.0$ |
यदि $E_I$,$E_{II}$ और $E_{III}$ क्रमशः छात्रों $I$,$II$ और $III$ के लिए $g$ में प्रतिशत त्रुटियां हैं,तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है?
A
$E_I = 0$
B
$E_I$ न्यूनतम है
C
$E_I = E_{II}$
D
$E_{II}$ अधिकतम है
Solution
(B) गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = 4\pi^2 \frac{\ell}{T^2}$ है।
सापेक्ष त्रुटि लेने पर: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2\frac{\Delta T}{T}$.
चूंकि $T = \frac{t}{n}$,जहाँ $t$ कुल समय है और $n$ दोलनों की संख्या है,इसलिए $\Delta T = \frac{\Delta t}{n}$.
अतः,$\frac{\Delta T}{T} = \frac{\Delta t/n}{t/n} = \frac{\Delta t}{t}$.
इसलिए,$\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2\frac{\Delta t}{t}$.
दिया गया है $\Delta \ell = 0.1 \text{ cm}$ और $\Delta t = 0.1 \text{ s}$.
छात्र $I$ के लिए: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.1}{64.0} + 2(\frac{0.1}{128.0}) = 0.00156 + 0.00156 = 0.00312$.
छात्र $II$ के लिए: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.1}{64.0} + 2(\frac{0.1}{64.0}) = 0.00156 + 0.00312 = 0.00468$.
छात्र $III$ के लिए: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.1}{20.0} + 2(\frac{0.1}{36.0}) = 0.005 + 0.0055 = 0.0105$.
मानों की तुलना करने पर,$E_I$ न्यूनतम है।
सापेक्ष त्रुटि लेने पर: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2\frac{\Delta T}{T}$.
चूंकि $T = \frac{t}{n}$,जहाँ $t$ कुल समय है और $n$ दोलनों की संख्या है,इसलिए $\Delta T = \frac{\Delta t}{n}$.
अतः,$\frac{\Delta T}{T} = \frac{\Delta t/n}{t/n} = \frac{\Delta t}{t}$.
इसलिए,$\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2\frac{\Delta t}{t}$.
दिया गया है $\Delta \ell = 0.1 \text{ cm}$ और $\Delta t = 0.1 \text{ s}$.
छात्र $I$ के लिए: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.1}{64.0} + 2(\frac{0.1}{128.0}) = 0.00156 + 0.00156 = 0.00312$.
छात्र $II$ के लिए: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.1}{64.0} + 2(\frac{0.1}{64.0}) = 0.00156 + 0.00312 = 0.00468$.
छात्र $III$ के लिए: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.1}{20.0} + 2(\frac{0.1}{36.0}) = 0.005 + 0.0055 = 0.0105$.
मानों की तुलना करने पर,$E_I$ न्यूनतम है।
0 likesView Solution
4
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2008
दो गेंदें,जिनका रैखिक संवेग $\vec{p}_1 = p \hat{i}$ और $\vec{p}_2 = -p \hat{i}$ है,मुक्त आकाश में टकराती हैं। गेंदों पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है। मान लीजिए $\vec{p}_1^{\prime}$ और $\vec{p}_2^{\prime}$ उनके अंतिम संवेग हैं। $p, a_1, a_2, b_1, b_2, c_1$ और $c_2$ के किसी भी गैर-शून्य मान के लिए निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प $NOT ALLOWED$ (मान्य नहीं) है?
$(A)$ $\vec{p}_1^{\prime} = a_1 \hat{i} + b_1 \hat{j} + c_1 \hat{k}$,$\vec{p}_2^{\prime} = a_2 \hat{i} + b_2 \hat{j}$
$(B)$ $\vec{p}_1^{\prime} = c_1 \hat{k}$,$\vec{p}_2^{\prime} = c_2 \hat{k}$
$(C)$ $\vec{p}_1^{\prime} = a_1 \hat{i} + b_1 \hat{j} + c_1 \hat{k}$,$\vec{p}_2^{\prime} = a_2 \hat{i} + b_2 \hat{j} - c_1 \hat{k}$
$(D)$ $\vec{p}_1^{\prime} = a_1 \hat{i} + b_1 \hat{j}$,$\vec{p}_2^{\prime} = a_2 \hat{i} + b_1 \hat{j}$
$(A)$ $\vec{p}_1^{\prime} = a_1 \hat{i} + b_1 \hat{j} + c_1 \hat{k}$,$\vec{p}_2^{\prime} = a_2 \hat{i} + b_2 \hat{j}$
$(B)$ $\vec{p}_1^{\prime} = c_1 \hat{k}$,$\vec{p}_2^{\prime} = c_2 \hat{k}$
$(C)$ $\vec{p}_1^{\prime} = a_1 \hat{i} + b_1 \hat{j} + c_1 \hat{k}$,$\vec{p}_2^{\prime} = a_2 \hat{i} + b_2 \hat{j} - c_1 \hat{k}$
$(D)$ $\vec{p}_1^{\prime} = a_1 \hat{i} + b_1 \hat{j}$,$\vec{p}_2^{\prime} = a_2 \hat{i} + b_1 \hat{j}$
A
$(A)$ and $(D)$
B
$(B)$ and $(D)$
C
$(B)$ and $(C)$
D
$(A)$ and $(C)$
Solution
(A) कुल प्रारंभिक संवेग $\vec{P}_{total} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = p \hat{i} - p \hat{i} = 0$ है।
चूंकि कोई बाहरी बल नहीं है,इसलिए कुल अंतिम संवेग भी शून्य होना चाहिए: $\vec{p}_1^{\prime} + \vec{p}_2^{\prime} = 0$,जिसका अर्थ है $\vec{p}_2^{\prime} = -\vec{p}_1^{\prime}$।
विकल्प $(A)$ में,$\vec{p}_1^{\prime} + \vec{p}_2^{\prime} = (a_1+a_2)\hat{i} + (b_1+b_2)\hat{j} + c_1\hat{k} \neq 0$।
विकल्प $(B)$ में,$\vec{p}_1^{\prime} + \vec{p}_2^{\prime} = (c_1+c_2)\hat{k} \neq 0$।
विकल्प $(C)$ में,$\vec{p}_1^{\prime} + \vec{p}_2^{\prime} = (a_1+a_2)\hat{i} + (b_1+b_2)\hat{j} + (c_1-c_1)\hat{k} = (a_1+a_2)\hat{i} + (b_1+b_2)\hat{j} \neq 0$।
विकल्प $(D)$ में,$\vec{p}_1^{\prime} + \vec{p}_2^{\prime} = (a_1+a_2)\hat{i} + 2b_1\hat{j} \neq 0$।
अतः,रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार ये सभी विकल्प मान्य नहीं हैं।
चूंकि कोई बाहरी बल नहीं है,इसलिए कुल अंतिम संवेग भी शून्य होना चाहिए: $\vec{p}_1^{\prime} + \vec{p}_2^{\prime} = 0$,जिसका अर्थ है $\vec{p}_2^{\prime} = -\vec{p}_1^{\prime}$।
विकल्प $(A)$ में,$\vec{p}_1^{\prime} + \vec{p}_2^{\prime} = (a_1+a_2)\hat{i} + (b_1+b_2)\hat{j} + c_1\hat{k} \neq 0$।
विकल्प $(B)$ में,$\vec{p}_1^{\prime} + \vec{p}_2^{\prime} = (c_1+c_2)\hat{k} \neq 0$।
विकल्प $(C)$ में,$\vec{p}_1^{\prime} + \vec{p}_2^{\prime} = (a_1+a_2)\hat{i} + (b_1+b_2)\hat{j} + (c_1-c_1)\hat{k} = (a_1+a_2)\hat{i} + (b_1+b_2)\hat{j} \neq 0$।
विकल्प $(D)$ में,$\vec{p}_1^{\prime} + \vec{p}_2^{\prime} = (a_1+a_2)\hat{i} + 2b_1\hat{j} \neq 0$।
अतः,रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार ये सभी विकल्प मान्य नहीं हैं।
0 likesView Solution
5
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2008
$STATEMENT-1$: बगीचे की नली (hose pipe) से उच्च गति से बहने वाली पानी की धारा जब लंबवत ऊपर की ओर रखी जाती है तो फव्वारे की तरह फैल जाती है,लेकिन जब लंबवत नीचे की ओर रखी जाती है तो वह संकरी हो जाती है।
$STATEMENT-2$: किसी असंपीड्य तरल (incompressible fluid) के किसी भी स्थिर प्रवाह में,तरल का आयतन प्रवाह दर स्थिर रहता है।
$STATEMENT-2$: किसी असंपीड्य तरल (incompressible fluid) के किसी भी स्थिर प्रवाह में,तरल का आयतन प्रवाह दर स्थिर रहता है।
A
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है; $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या है।
B
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है; $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
C
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ असत्य है।
D
$STATEMENT-1$ असत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है।
Solution
(B) $STATEMENT-1$ सत्य है। जब पानी लंबवत ऊपर की ओर बहता है,तो गुरुत्वाकर्षण गति के विपरीत कार्य करता है,जिससे वेग कम हो जाता है। सांतत्य समीकरण $(A_1v_1 = A_2v_2)$ के अनुसार,जैसे-जैसे वेग $v$ घटता है,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ बढ़ना चाहिए,जिससे धारा फैल जाती है। जब इसे लंबवत नीचे रखा जाता है,तो गुरुत्वाकर्षण पानी को त्वरित करता है,जिससे वेग बढ़ता है और धारा संकरी हो जाती है।
$STATEMENT-2$ सत्य है। सांतत्य समीकरण $(A_1v_1 = A_2v_2)$ असंपीड्य तरल के लिए द्रव्यमान संरक्षण का सीधा परिणाम है,जो बताता है कि आयतन प्रवाह दर स्थिर रहती है।
हालाँकि,$STATEMENT-2$ क्षेत्रफल और वेग के बीच संबंध को समझाता है,लेकिन $STATEMENT-1$ में धारा का फैलना या संकरा होना मुख्य रूप से गुरुत्वाकर्षण के कारण वेग में परिवर्तन के कारण होता है,न कि केवल सांतत्य समीकरण के कारण। इसलिए,$STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ में वर्णित घटना की सीधी व्याख्या नहीं है।
$STATEMENT-2$ सत्य है। सांतत्य समीकरण $(A_1v_1 = A_2v_2)$ असंपीड्य तरल के लिए द्रव्यमान संरक्षण का सीधा परिणाम है,जो बताता है कि आयतन प्रवाह दर स्थिर रहती है।
हालाँकि,$STATEMENT-2$ क्षेत्रफल और वेग के बीच संबंध को समझाता है,लेकिन $STATEMENT-1$ में धारा का फैलना या संकरा होना मुख्य रूप से गुरुत्वाकर्षण के कारण वेग में परिवर्तन के कारण होता है,न कि केवल सांतत्य समीकरण के कारण। इसलिए,$STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ में वर्णित घटना की सीधी व्याख्या नहीं है।
0 likesView Solution
6
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2008
$STATEMENT-1$: दो बेलन,एक खोखला (धातु का) और दूसरा ठोस (लकड़ी का),समान द्रव्यमान और समान आयामों वाले,एक ही ऊँचाई से एक नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने के लिए छोड़े जाते हैं। खोखला बेलन नत समतल के तल पर पहले पहुँचेगा।
$STATEMENT-2$: ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,जब दोनों बेलन नत समतल के तल पर पहुँचते हैं,तो उनकी कुल गतिज ऊर्जा समान होती है।
$STATEMENT-2$: ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,जब दोनों बेलन नत समतल के तल पर पहुँचते हैं,तो उनकी कुल गतिज ऊर्जा समान होती है।
A
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है; $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या है
B
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है; $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या नहीं है
C
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ असत्य है
D
$STATEMENT-1$ असत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है
Solution
(D) नत समतल पर लुढ़कते हुए पिंड के लिए त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mR^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
खोखले बेलन के लिए,$I = mR^2$,इसलिए $a_{hollow} = \frac{g \sin \theta}{1 + 1} = \frac{g \sin \theta}{2}$.
ठोस बेलन के लिए,$I = \frac{1}{2}mR^2$,इसलिए $a_{solid} = \frac{g \sin \theta}{1 + 0.5} = \frac{g \sin \theta}{1.5} = \frac{2g \sin \theta}{3}$.
चूँकि $a_{solid} > a_{hollow}$,ठोस बेलन पहले तल पर पहुँचेगा। अतः,$STATEMENT-1$ असत्य है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,खोई हुई स्थितिज ऊर्जा $(mgh)$ कुल गतिज ऊर्जा $(K_{total} = K_{trans} + K_{rot})$ में परिवर्तित हो जाती है। चूँकि दोनों का द्रव्यमान और ऊँचाई समान है,इसलिए तल पर उनकी कुल गतिज ऊर्जा समान होती है। अतः,$STATEMENT-2$ सत्य है।
खोखले बेलन के लिए,$I = mR^2$,इसलिए $a_{hollow} = \frac{g \sin \theta}{1 + 1} = \frac{g \sin \theta}{2}$.
ठोस बेलन के लिए,$I = \frac{1}{2}mR^2$,इसलिए $a_{solid} = \frac{g \sin \theta}{1 + 0.5} = \frac{g \sin \theta}{1.5} = \frac{2g \sin \theta}{3}$.
चूँकि $a_{solid} > a_{hollow}$,ठोस बेलन पहले तल पर पहुँचेगा। अतः,$STATEMENT-1$ असत्य है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,खोई हुई स्थितिज ऊर्जा $(mgh)$ कुल गतिज ऊर्जा $(K_{total} = K_{trans} + K_{rot})$ में परिवर्तित हो जाती है। चूँकि दोनों का द्रव्यमान और ऊँचाई समान है,इसलिए तल पर उनकी कुल गतिज ऊर्जा समान होती है। अतः,$STATEMENT-2$ सत्य है।
0 likesView Solution
7
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2008
$STATEMENT-1$: पृथ्वी के ऊपर परिक्रमा कर रहे अंतरिक्ष स्टेशन में एक अंतरिक्ष यात्री भारहीनता का अनुभव करता है।
$STATEMENT-2$: पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में पृथ्वी के चारों ओर गति करने वाली वस्तु 'मुक्त-पतन' (free-fall) की स्थिति में होती है।
$STATEMENT-2$: पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में पृथ्वी के चारों ओर गति करने वाली वस्तु 'मुक्त-पतन' (free-fall) की स्थिति में होती है।
A
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है; $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या है।
B
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है; $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
C
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ असत्य है।
D
$STATEMENT-1$ असत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है।
Solution
(A) परिक्रमा कर रहे अंतरिक्ष स्टेशन में एक अंतरिक्ष यात्री गुरुत्वाकर्षण के कारण पृथ्वी की ओर निरंतर मुक्त-पतन की स्थिति में होता है,जो कक्षीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
चूंकि अंतरिक्ष यात्री और अंतरिक्ष स्टेशन दोनों समान त्वरण (उस ऊंचाई पर गुरुत्वीय त्वरण) के साथ गिर रहे हैं,इसलिए उनके बीच कोई अभिलंब प्रतिक्रिया बल (normal reaction force) नहीं होता है।
इस अभिलंब प्रतिक्रिया बल की अनुपस्थिति को भारहीनता के रूप में महसूस किया जाता है।
इसलिए,$STATEMENT-1$ सत्य है।
पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में पृथ्वी के चारों ओर गति करने वाली वस्तु वास्तव में 'मुक्त-पतन' की स्थिति में होती है,क्योंकि वह पृथ्वी के केंद्र की ओर त्वरित हो रही होती है।
इसलिए,$STATEMENT-2$ सत्य है।
चूंकि मुक्त-पतन की स्थिति अंतरिक्ष यात्री द्वारा महसूस की जाने वाली भारहीनता का प्रत्यक्ष भौतिक कारण है,इसलिए $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या है।
चूंकि अंतरिक्ष यात्री और अंतरिक्ष स्टेशन दोनों समान त्वरण (उस ऊंचाई पर गुरुत्वीय त्वरण) के साथ गिर रहे हैं,इसलिए उनके बीच कोई अभिलंब प्रतिक्रिया बल (normal reaction force) नहीं होता है।
इस अभिलंब प्रतिक्रिया बल की अनुपस्थिति को भारहीनता के रूप में महसूस किया जाता है।
इसलिए,$STATEMENT-1$ सत्य है।
पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में पृथ्वी के चारों ओर गति करने वाली वस्तु वास्तव में 'मुक्त-पतन' की स्थिति में होती है,क्योंकि वह पृथ्वी के केंद्र की ओर त्वरित हो रही होती है।
इसलिए,$STATEMENT-2$ सत्य है।
चूंकि मुक्त-पतन की स्थिति अंतरिक्ष यात्री द्वारा महसूस की जाने वाली भारहीनता का प्रत्यक्ष भौतिक कारण है,इसलिए $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या है।
0 likesView Solution
8
PhysicsAdvancedIIT JEE · 2008
एक छोटा गोलाकार मोनोएटॉमिक आदर्श गैस का बुलबुला $\left(\gamma=\frac{5}{3}\right)$ $\rho_{\ell}$ घनत्व वाले तरल के अंदर फंसा हुआ है (चित्र देखें)। मान लें कि बुलबुला तरल के साथ कोई ऊष्मा का आदान-प्रदान नहीं करता है। बुलबुले में $n$ मोल गैस है। जब बुलबुला नीचे होता है तो गैस का तापमान $T_0$ होता है, तरल की ऊंचाई $H$ है और वायुमंडलीय दबाव $P_0$ है (पृष्ठ तनाव की उपेक्षा करें)।
$1.$ जैसे-जैसे बुलबुला ऊपर की ओर बढ़ता है, उत्प्लावन बल के अलावा, उस पर निम्नलिखित बल कार्य कर रहे होते हैं:
$(A)$ केवल गुरुत्वाकर्षण बल
$(B)$ गुरुत्वाकर्षण के कारण बल और तरल के दबाव के कारण बल
$(C)$ गुरुत्वाकर्षण के कारण बल, तरल के दबाव के कारण बल और तरल की श्यानता के कारण बल
$(D)$ गुरुत्वाकर्षण के कारण बल और तरल की श्यानता के कारण बल
$2.$ जब गैस का बुलबुला नीचे से $y$ ऊंचाई पर होता है, तो उसका तापमान होता है:
$(A)$ $T_0\left(\frac{P_0+\rho_{\ell} gH}{P_0+\rho_{\ell} gy}\right)^{2 / 5}$
$(B)$ $T_0\left(\frac{P_0+\rho_{\ell} g(H-y)}{P_0+\rho_{\ell} g H}\right)^{2 / 5}$
$(C)$ $T_0\left(\frac{P_0+\rho_{\ell} gH}{P_0+\rho_{\ell} gy}\right)^{3 / 5}$
$(D)$ $T_0\left(\frac{P_0+\rho_{\ell} g(H-y)}{P_0+\rho_{\ell} g H}\right)^{3 / 5}$
$3.$ गैस के बुलबुले पर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल है (मान लें $R$ सार्वभौमिक गैस स्थिरांक है):
$(A)$ $\rho_{\ell} nRgT_0 \frac{\left(P_0+\rho_{\ell} gH\right)^{2 / 5}}{\left(P_0+\rho_{\ell} gy\right)^{7 / 5}}$
$(B)$ $\frac{\rho_{\ell} nRgT_0}{\left(P_0+\rho_{\ell} gH\right)^{2 / 5}\left[P_0+\rho_{\ell} g(H-y)\right]^{3 / 5}}$
$(C)$ $\rho_{\ell} nRgT_0 \frac{\left(P_0+\rho_{\ell} g H\right)^{3 / 5}}{\left(P_0+\rho_{\ell} g(H-y)\right)^{8 / 5}}$
$(D)$ $\frac{\rho_{\ell} nRgT_0}{\left(P_0+\rho_{\ell} gH\right)^{3 / 5}\left[P_0+\rho_{\ell} g(H-y)\right]^{2 / 5}}$
प्रश्न $1, 2,$ और $3$ के उत्तर दें।
$1.$ जैसे-जैसे बुलबुला ऊपर की ओर बढ़ता है, उत्प्लावन बल के अलावा, उस पर निम्नलिखित बल कार्य कर रहे होते हैं:
$(A)$ केवल गुरुत्वाकर्षण बल
$(B)$ गुरुत्वाकर्षण के कारण बल और तरल के दबाव के कारण बल
$(C)$ गुरुत्वाकर्षण के कारण बल, तरल के दबाव के कारण बल और तरल की श्यानता के कारण बल
$(D)$ गुरुत्वाकर्षण के कारण बल और तरल की श्यानता के कारण बल
$2.$ जब गैस का बुलबुला नीचे से $y$ ऊंचाई पर होता है, तो उसका तापमान होता है:
$(A)$ $T_0\left(\frac{P_0+\rho_{\ell} gH}{P_0+\rho_{\ell} gy}\right)^{2 / 5}$
$(B)$ $T_0\left(\frac{P_0+\rho_{\ell} g(H-y)}{P_0+\rho_{\ell} g H}\right)^{2 / 5}$
$(C)$ $T_0\left(\frac{P_0+\rho_{\ell} gH}{P_0+\rho_{\ell} gy}\right)^{3 / 5}$
$(D)$ $T_0\left(\frac{P_0+\rho_{\ell} g(H-y)}{P_0+\rho_{\ell} g H}\right)^{3 / 5}$
$3.$ गैस के बुलबुले पर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल है (मान लें $R$ सार्वभौमिक गैस स्थिरांक है):
$(A)$ $\rho_{\ell} nRgT_0 \frac{\left(P_0+\rho_{\ell} gH\right)^{2 / 5}}{\left(P_0+\rho_{\ell} gy\right)^{7 / 5}}$
$(B)$ $\frac{\rho_{\ell} nRgT_0}{\left(P_0+\rho_{\ell} gH\right)^{2 / 5}\left[P_0+\rho_{\ell} g(H-y)\right]^{3 / 5}}$
$(C)$ $\rho_{\ell} nRgT_0 \frac{\left(P_0+\rho_{\ell} g H\right)^{3 / 5}}{\left(P_0+\rho_{\ell} g(H-y)\right)^{8 / 5}}$
$(D)$ $\frac{\rho_{\ell} nRgT_0}{\left(P_0+\rho_{\ell} gH\right)^{3 / 5}\left[P_0+\rho_{\ell} g(H-y)\right]^{2 / 5}}$
प्रश्न $1, 2,$ और $3$ के उत्तर दें।
Solution
(B,B,B) $1.$ जैसे-जैसे बुलबुला ऊपर की ओर बढ़ता है, यह गुरुत्वाकर्षण बल (भार) और उत्प्लावन बल (जो तरल द्वारा लगाए गए दबाव बल का परिणामी है) का अनुभव करता है। समस्या में यह निर्दिष्ट नहीं है कि तरल गति में है या बुलबुला एक स्थिर टर्मिनल वेग से आगे बढ़ रहा है, इसलिए बुलबुले पर कार्य करने वाले मुख्य बल गुरुत्वाकर्षण और उत्प्लावन बल (दबाव बल) हैं। अतः, विकल्प $(B)$ सही है।
$2.$ प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) है क्योंकि कोई ऊष्मा का आदान-प्रदान नहीं होता है। रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$।
नीचे, $P_1 = P_0 + \rho_{\ell} gH$ और $T_1 = T_0$।
नीचे से $y$ ऊंचाई पर, गहराई $(H-y)$ है, इसलिए $P_2 = P_0 + \rho_{\ell} g(H-y)$।
$P_1^{1-\gamma} T_1^{\gamma} = P_2^{1-\gamma} T_2^{\gamma}$ का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है $T_2 = T_1 \left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = T_0 \left(\frac{P_0 + \rho_{\ell} gH}{P_0 + \rho_{\ell} g(H-y)}\right)^{\frac{1-5/3}{5/3}} = T_0 \left(\frac{P_0 + \rho_{\ell} gH}{P_0 + \rho_{\ell} g(H-y)}\right)^{-2/5} = T_0 \left(\frac{P_0 + \rho_{\ell} g(H-y)}{P_0 + \rho_{\ell} gH}\right)^{2/5}$। अतः, विकल्प $(B)$ सही है।
$3.$ उत्प्लावन बल $F_B = \rho_{\ell} V_2 g$। आदर्श गैस नियम के अनुसार, $V_2 = \frac{nRT_2}{P_2}$।
$T_2 = T_0 \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} = T_0 \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{2/5}$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $V_2 = \frac{nR T_0}{P_2} \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{2/5} = \frac{nRT_0}{P_1^{2/5} P_2^{3/5}}$।
अतः, $F_B = \rho_{\ell} g \frac{nRT_0}{P_1^{2/5} P_2^{3/5}} = \frac{\rho_{\ell} nRgT_0}{(P_0 + \rho_{\ell} gH)^{2/5} [P_0 + \rho_{\ell} g(H-y)]^{3/5}}$। अतः, विकल्प $(B)$ सही है।
$2.$ प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) है क्योंकि कोई ऊष्मा का आदान-प्रदान नहीं होता है। रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$।
नीचे, $P_1 = P_0 + \rho_{\ell} gH$ और $T_1 = T_0$।
नीचे से $y$ ऊंचाई पर, गहराई $(H-y)$ है, इसलिए $P_2 = P_0 + \rho_{\ell} g(H-y)$।
$P_1^{1-\gamma} T_1^{\gamma} = P_2^{1-\gamma} T_2^{\gamma}$ का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है $T_2 = T_1 \left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = T_0 \left(\frac{P_0 + \rho_{\ell} gH}{P_0 + \rho_{\ell} g(H-y)}\right)^{\frac{1-5/3}{5/3}} = T_0 \left(\frac{P_0 + \rho_{\ell} gH}{P_0 + \rho_{\ell} g(H-y)}\right)^{-2/5} = T_0 \left(\frac{P_0 + \rho_{\ell} g(H-y)}{P_0 + \rho_{\ell} gH}\right)^{2/5}$। अतः, विकल्प $(B)$ सही है।
$3.$ उत्प्लावन बल $F_B = \rho_{\ell} V_2 g$। आदर्श गैस नियम के अनुसार, $V_2 = \frac{nRT_2}{P_2}$।
$T_2 = T_0 \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} = T_0 \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{2/5}$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $V_2 = \frac{nR T_0}{P_2} \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{2/5} = \frac{nRT_0}{P_1^{2/5} P_2^{3/5}}$।
अतः, $F_B = \rho_{\ell} g \frac{nRT_0}{P_1^{2/5} P_2^{3/5}} = \frac{\rho_{\ell} nRgT_0}{(P_0 + \rho_{\ell} gH)^{2/5} [P_0 + \rho_{\ell} g(H-y)]^{3/5}}$। अतः, विकल्प $(B)$ सही है।
0 likesView Solution
9
PhysicsAdvancedIIT JEE · 2008
आकृति में दिखाए अनुसार $M$ द्रव्यमान का एक छोटा ब्लॉक एक घर्षणहीन नत समतल (inclined plane) पर गति करता है। बिंदु $B$ पर नत समतल का कोण अचानक $60^{\circ}$ से बदलकर $30^{\circ}$ हो जाता है। ब्लॉक शुरू में $A$ पर स्थिर है। मान लें कि ब्लॉक और नत समतल के बीच टक्कर पूरी तरह से अप्रत्यास्थ (inelastic) है $\left(g=10 \ m/s^2\right)$।
$1.$ दूसरे नत समतल से टकराने के तुरंत बाद बिंदु $B$ पर ब्लॉक की गति क्या है?
$(A) \sqrt{60} \ m/s$ $(B) \sqrt{45} \ m/s$ $(C) \sqrt{30} \ m/s$ $(D) \sqrt{15} \ m/s$
$2.$ दूसरे नत समतल को छोड़ने से ठीक पहले बिंदु $C$ पर ब्लॉक की गति क्या है?
$(A) \sqrt{120} \ m/s$ $(B) \sqrt{105} \ m/s$ $(C) \sqrt{90} \ m/s$ $(D) \sqrt{75} \ m/s$
$3.$ यदि ब्लॉक और नत समतल के बीच टक्कर पूरी तरह से प्रत्यास्थ (elastic) है,तो दूसरे नत समतल से टकराने के तुरंत बाद बिंदु $B$ पर ब्लॉक के वेग का ऊर्ध्वाधर (ऊपर की ओर) घटक क्या है?
$(A) \sqrt{30} \ m/s$ $(B) \sqrt{15} \ m/s$ $(C) 0$ $(D) -\sqrt{15} \ m/s$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
$1.$ दूसरे नत समतल से टकराने के तुरंत बाद बिंदु $B$ पर ब्लॉक की गति क्या है?
$(A) \sqrt{60} \ m/s$ $(B) \sqrt{45} \ m/s$ $(C) \sqrt{30} \ m/s$ $(D) \sqrt{15} \ m/s$
$2.$ दूसरे नत समतल को छोड़ने से ठीक पहले बिंदु $C$ पर ब्लॉक की गति क्या है?
$(A) \sqrt{120} \ m/s$ $(B) \sqrt{105} \ m/s$ $(C) \sqrt{90} \ m/s$ $(D) \sqrt{75} \ m/s$
$3.$ यदि ब्लॉक और नत समतल के बीच टक्कर पूरी तरह से प्रत्यास्थ (elastic) है,तो दूसरे नत समतल से टकराने के तुरंत बाद बिंदु $B$ पर ब्लॉक के वेग का ऊर्ध्वाधर (ऊपर की ओर) घटक क्या है?
$(A) \sqrt{30} \ m/s$ $(B) \sqrt{15} \ m/s$ $(C) 0$ $(D) -\sqrt{15} \ m/s$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
Solution
(B,B,C) $1.$ $A$ की $B$ से ऊँचाई $h_1 = \sqrt{3} \tan 60^{\circ} = 3 \ m$ है। $B$ पर पहुँचने से ठीक पहले ब्लॉक का वेग $v = \sqrt{2gh_1} = \sqrt{60} \ m/s$ है। चूंकि टक्कर पूरी तरह से अप्रत्यास्थ है,इसलिए दूसरे नत समतल के लंबवत वेग का घटक नष्ट हो जाता है। दूसरे नत समतल के अनुदिश वेग $v_B = v \cos(60^{\circ}-30^{\circ}) = v \cos 30^{\circ} = \sqrt{60} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{45} \ m/s$ है। अतः,विकल्प $(B)$ सही है।
$2.$ $B$ की $C$ से ऊँचाई $h_2 = 3\sqrt{3} \tan 30^{\circ} = 3 \ m$ है। $B$ से $C$ तक कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करने पर: $\frac{1}{2}Mv_C^2 - \frac{1}{2}Mv_B^2 = Mgh_2$। $v_B^2 = 45$ और $h_2 = 3$ रखने पर: $v_C^2 = 45 + 2 \cdot 10 \cdot 3 = 105$। इसलिए,$v_C = \sqrt{105} \ m/s$। अतः,विकल्प $(B)$ सही है।
$3.$ प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,नत समतल के समानांतर वेग का घटक अपरिवर्तित रहता है,जबकि नत समतल के लंबवत घटक की दिशा बदल जाती है। टक्कर से ठीक पहले वेग $v = \sqrt{60} \ m/s$ है जो क्षैतिज के साथ $60^{\circ}$ के कोण पर है। दूसरा नत समतल क्षैतिज के साथ $30^{\circ}$ पर है। वेग सदिश और दूसरे नत समतल के बीच का कोण $30^{\circ}$ है। वेग के घटक $v_{\parallel} = v \cos 30^{\circ}$ और $v_{\perp} = v \sin 30^{\circ}$ हैं। प्रत्यास्थ टक्कर के बाद,$v'_{\parallel} = v \cos 30^{\circ}$ और $v'_{\perp} = v \sin 30^{\circ}$ (नत समतल से दूर)। ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = v'_{\parallel} \sin 30^{\circ} - v'_{\perp} \cos 30^{\circ} = (v \cos 30^{\circ}) \sin 30^{\circ} - (v \sin 30^{\circ}) \cos 30^{\circ} = 0$ है। अतः,विकल्प $(C)$ सही है।
$2.$ $B$ की $C$ से ऊँचाई $h_2 = 3\sqrt{3} \tan 30^{\circ} = 3 \ m$ है। $B$ से $C$ तक कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करने पर: $\frac{1}{2}Mv_C^2 - \frac{1}{2}Mv_B^2 = Mgh_2$। $v_B^2 = 45$ और $h_2 = 3$ रखने पर: $v_C^2 = 45 + 2 \cdot 10 \cdot 3 = 105$। इसलिए,$v_C = \sqrt{105} \ m/s$। अतः,विकल्प $(B)$ सही है।
$3.$ प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,नत समतल के समानांतर वेग का घटक अपरिवर्तित रहता है,जबकि नत समतल के लंबवत घटक की दिशा बदल जाती है। टक्कर से ठीक पहले वेग $v = \sqrt{60} \ m/s$ है जो क्षैतिज के साथ $60^{\circ}$ के कोण पर है। दूसरा नत समतल क्षैतिज के साथ $30^{\circ}$ पर है। वेग सदिश और दूसरे नत समतल के बीच का कोण $30^{\circ}$ है। वेग के घटक $v_{\parallel} = v \cos 30^{\circ}$ और $v_{\perp} = v \sin 30^{\circ}$ हैं। प्रत्यास्थ टक्कर के बाद,$v'_{\parallel} = v \cos 30^{\circ}$ और $v'_{\perp} = v \sin 30^{\circ}$ (नत समतल से दूर)। ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = v'_{\parallel} \sin 30^{\circ} - v'_{\perp} \cos 30^{\circ} = (v \cos 30^{\circ}) \sin 30^{\circ} - (v \sin 30^{\circ}) \cos 30^{\circ} = 0$ है। अतः,विकल्प $(C)$ सही है।
0 likesView Solution
10
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2008
समान आंतरिक त्रिज्या वाली एक कांच की नली में दो समान सिरों को अलग करने वाला एक वाल्व है। प्रारंभ में,वाल्व कसकर बंद स्थिति में है। सिरे $1$ पर $r$ त्रिज्या का एक अर्धगोलाकार साबुन का बुलबुला है। सिरे $2$ पर चित्र में दिखाए अनुसार $R$ $(R > r)$ वक्रता त्रिज्या वाला साबुन का बुलबुला है। वाल्व खोलने के तुरंत बाद,
A
हवा सिरे $1$ से सिरे $2$ की ओर बहती है। साबुन के बुलबुलों के आयतन में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
B
हवा सिरे $1$ से सिरे $2$ की ओर बहती है। सिरे $1$ पर साबुन के बुलबुले का आयतन घट जाता है।
C
कोई परिवर्तन नहीं होता है।
D
हवा सिरे $2$ से सिरे $1$ की ओर बहती है। सिरे $1$ पर साबुन के बुलबुले का आयतन बढ़ जाता है।
Solution
(B) $r$ त्रिज्या के साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
मान लीजिए $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है।
सिरे $1$ (त्रिज्या $r$) पर बुलबुले के अंदर का दबाव $P_1 = P_0 + \frac{4T}{r}$ है।
सिरे $2$ (त्रिज्या $R$) पर बुलबुले के अंदर का दबाव $P_2 = P_0 + \frac{4T}{R}$ है।
यह दिया गया है कि $R > r$,इसलिए $\frac{4T}{R} < \frac{4T}{r}$ होता है।
अतः,$P_2 < P_1$ है।
चूंकि हवा उच्च दबाव वाले क्षेत्र से कम दबाव वाले क्षेत्र की ओर बहती है,इसलिए हवा सिरे $1$ से सिरे $2$ की ओर बहेगी।
जैसे ही हवा सिरे $1$ पर बुलबुले से बाहर निकलती है,उसका आयतन घट जाता है।
मान लीजिए $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है।
सिरे $1$ (त्रिज्या $r$) पर बुलबुले के अंदर का दबाव $P_1 = P_0 + \frac{4T}{r}$ है।
सिरे $2$ (त्रिज्या $R$) पर बुलबुले के अंदर का दबाव $P_2 = P_0 + \frac{4T}{R}$ है।
यह दिया गया है कि $R > r$,इसलिए $\frac{4T}{R} < \frac{4T}{r}$ होता है।
अतः,$P_2 < P_1$ है।
चूंकि हवा उच्च दबाव वाले क्षेत्र से कम दबाव वाले क्षेत्र की ओर बहती है,इसलिए हवा सिरे $1$ से सिरे $2$ की ओर बहेगी।
जैसे ही हवा सिरे $1$ पर बुलबुले से बाहर निकलती है,उसका आयतन घट जाता है।
0 likesView Solution
11
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2008
एक ब्लॉक $B$ को दो अतनित स्प्रिंगों $S1$ और $S2$ से जोड़ा गया है,जिनके स्प्रिंग नियतांक क्रमशः $k$ और $4k$ हैं (चित्र $I$ देखें)। दूसरे सिरे समान आधारों $M1$ और $M2$ से जुड़े हैं जो दीवारों से नहीं जुड़े हैं। स्प्रिंगों और आधारों का द्रव्यमान नगण्य है। कहीं भी घर्षण नहीं है। ब्लॉक $B$ को दीवार $1$ की ओर $x$ की छोटी दूरी तक विस्थापित किया जाता है (चित्र $II$) और छोड़ दिया जाता है। ब्लॉक वापस आता है और दीवार $2$ की ओर अधिकतम $y$ दूरी तय करता है। विस्थापन $x$ और $y$ ब्लॉक $B$ की संतुलन स्थिति के सापेक्ष मापे जाते हैं। अनुपात $\frac{y}{x}$ है:
A
$4$
B
$2$
C
$\frac{1}{2}$
D
$\frac{1}{4}$
Solution
(C) जब ब्लॉक $B$ को दीवार $1$ की ओर $x$ दूरी तक विस्थापित किया जाता है,तो स्प्रिंग $S1$ $x$ तक दब जाती है,जबकि स्प्रिंग $S2$ अतनित रहती है क्योंकि आधार $M2$ दीवार से जुड़ा नहीं है और ब्लॉक के साथ चलता है। निकाय में संचित स्थितिज ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} k x^2$ है।
जब ब्लॉक को छोड़ा जाता है,तो यह संतुलन स्थिति की ओर और फिर दीवार $2$ की ओर बढ़ता है। जब यह दीवार $2$ की ओर $y$ दूरी तक बढ़ता है,तो स्प्रिंग $S2$ $y$ तक दब जाती है,जबकि स्प्रिंग $S1$ अतनित रहती है। निकाय में संचित स्थितिज ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2} (4k) y^2$ है।
चूंकि घर्षण नहीं है और आधारों का द्रव्यमान नगण्य है,इसलिए कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
प्रारंभिक और अंतिम स्थितिज ऊर्जाओं को बराबर करने पर: $\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} (4k) y^2$।
इसे सरल करने पर,हमें $x^2 = 4y^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y^2 = \frac{x^2}{4}$।
वर्गमूल लेने पर,हमें $y = \frac{x}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{y}{x} = \frac{1}{2}$ है।
जब ब्लॉक को छोड़ा जाता है,तो यह संतुलन स्थिति की ओर और फिर दीवार $2$ की ओर बढ़ता है। जब यह दीवार $2$ की ओर $y$ दूरी तक बढ़ता है,तो स्प्रिंग $S2$ $y$ तक दब जाती है,जबकि स्प्रिंग $S1$ अतनित रहती है। निकाय में संचित स्थितिज ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2} (4k) y^2$ है।
चूंकि घर्षण नहीं है और आधारों का द्रव्यमान नगण्य है,इसलिए कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
प्रारंभिक और अंतिम स्थितिज ऊर्जाओं को बराबर करने पर: $\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} (4k) y^2$।
इसे सरल करने पर,हमें $x^2 = 4y^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y^2 = \frac{x^2}{4}$।
वर्गमूल लेने पर,हमें $y = \frac{x}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{y}{x} = \frac{1}{2}$ है।
0 likesView Solution
12
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2008
$M$ द्रव्यमान का एक बॉब $L$ लंबाई की द्रव्यमानहीन डोरी से लटका हुआ है। स्थिति $A$ पर क्षैतिज वेग $V$ इसे बिंदु $B$ तक पहुँचाने के लिए पर्याप्त है। वह कोण $\theta$ जिस पर बॉब की गति $A$ पर की गति की आधी है, संतुष्ट करता है:
A
$\theta=\frac{\pi}{4}$
B
$\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}$
C
$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3 \pi}{4}$
D
$\frac{3 \pi}{4} < \theta < \pi$
Solution
(D) स्थिति $A$ पर, वेग $V$ उच्चतम बिंदु $B$ तक पहुँचने के लिए पर्याप्त है। ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति के लिए, शीर्ष तक पहुँचने के लिए नीचे न्यूनतम वेग $V = \sqrt{5gL}$ होना चाहिए।
मान लीजिए कोण $\theta$ पर गति $v_{\theta}$ है। प्रश्न के अनुसार, $v_{\theta} = \frac{V}{2} = \frac{\sqrt{5gL}}{2}$ है।
बिंदु $A$ और कोण $\theta$ वाले बिंदु के बीच ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$\frac{1}{2} M V^2 = \frac{1}{2} M v_{\theta}^2 + M g L(1 - \cos \theta)$
$V^2 = 5gL$ और $v_{\theta}^2 = \frac{5gL}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} M (5gL) = \frac{1}{2} M \left(\frac{5gL}{4}\right) + M g L(1 - \cos \theta)$
$MgL$ से विभाजित करने पर:
$\frac{5}{2} = \frac{5}{8} + 1 - \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{5}{8} + 1 - \frac{5}{2} = \frac{5 + 8 - 20}{8} = -\frac{7}{8}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\cos \theta = -0.875$, और हम जानते हैं कि $\cos(3\pi/4) \approx -0.707$ और $\cos(\pi) = -1$, इसलिए कोण $\theta$ को $\frac{3\pi}{4} < \theta < \pi$ की सीमा में होना चाहिए।
मान लीजिए कोण $\theta$ पर गति $v_{\theta}$ है। प्रश्न के अनुसार, $v_{\theta} = \frac{V}{2} = \frac{\sqrt{5gL}}{2}$ है।
बिंदु $A$ और कोण $\theta$ वाले बिंदु के बीच ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$\frac{1}{2} M V^2 = \frac{1}{2} M v_{\theta}^2 + M g L(1 - \cos \theta)$
$V^2 = 5gL$ और $v_{\theta}^2 = \frac{5gL}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} M (5gL) = \frac{1}{2} M \left(\frac{5gL}{4}\right) + M g L(1 - \cos \theta)$
$MgL$ से विभाजित करने पर:
$\frac{5}{2} = \frac{5}{8} + 1 - \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{5}{8} + 1 - \frac{5}{2} = \frac{5 + 8 - 20}{8} = -\frac{7}{8}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\cos \theta = -0.875$, और हम जानते हैं कि $\cos(3\pi/4) \approx -0.707$ और $\cos(\pi) = -1$, इसलिए कोण $\theta$ को $\frac{3\pi}{4} < \theta < \pi$ की सीमा में होना चाहिए।
0 likesView Solution
13
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2008
$T$ तनाव के अंतर्गत $\ell$ लंबाई का एक कंपन करता तार, एक सिरे पर बंद नली में $75 \,cm$ लंबाई के वायु स्तंभ के पहले ओवरटोन (तीसरे हार्मोनिक) के साथ अनुनाद करता है। जब इस तार को $n$ आवृत्ति वाले ट्यूनिंग फोर्क के साथ बजाया जाता है, तो यह प्रति सेकंड $4$ बीट्स उत्पन्न करता है। अब जब तार का तनाव थोड़ा बढ़ाया जाता है, तो बीट्स की संख्या घटकर $2$ प्रति सेकंड हो जाती है। हवा में ध्वनि का वेग $340 \,m/s$ मानते हुए, ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n$ ($Hz$ में) क्या है?
A
$344$
B
$336$
C
$117.3$
D
$109.3$
Solution
(A) एक सिरे पर बंद नली के लिए, हार्मोनिक्स की आवृत्ति $f_k = \frac{(2k-1)v}{4L}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $k=1, 2, 3, \dots$ है। पहला ओवरटोन तीसरा हार्मोनिक $(k=2)$ है।
दिया गया है $L = 0.75 \,m$ और $v = 340 \,m/s$, अतः तार की आवृत्ति $f_s$:
$f_s = \frac{3 \times 340}{4 \times 0.75} = \frac{1020}{3} = 340 \,Hz$.
तार $n$ आवृत्ति के ट्यूनिंग फोर्क के साथ $4$ बीट्स उत्पन्न करता है, इसलिए $n = f_s \pm 4$, यानी $n = 340 \pm 4$, तो $n = 344 \,Hz$ या $336 \,Hz$ है।
जब तनाव $T$ बढ़ता है, तो तार की आवृत्ति $f_s$ बढ़ती है। बीट आवृत्ति $4$ से घटकर $2$ हो जाती है, इसका मतलब है कि तार की आवृत्ति ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति के करीब जा रही है।
यदि $n = 344 \,Hz$ है, तो $f_s$ का मान $340$ से बढ़कर $344$ की ओर जाता है, जिससे बीट आवृत्ति कम हो जाती है ($344 - 340 = 4$ से $344 - 342 = 2$)। यह सुसंगत है।
यदि $n = 336 \,Hz$ है, तो $f_s$ बढ़ने पर यह $336$ से दूर जाएगा, जिससे बीट आवृत्ति बढ़ जाएगी। अतः, $n = 344 \,Hz$ सही उत्तर है।
दिया गया है $L = 0.75 \,m$ और $v = 340 \,m/s$, अतः तार की आवृत्ति $f_s$:
$f_s = \frac{3 \times 340}{4 \times 0.75} = \frac{1020}{3} = 340 \,Hz$.
तार $n$ आवृत्ति के ट्यूनिंग फोर्क के साथ $4$ बीट्स उत्पन्न करता है, इसलिए $n = f_s \pm 4$, यानी $n = 340 \pm 4$, तो $n = 344 \,Hz$ या $336 \,Hz$ है।
जब तनाव $T$ बढ़ता है, तो तार की आवृत्ति $f_s$ बढ़ती है। बीट आवृत्ति $4$ से घटकर $2$ हो जाती है, इसका मतलब है कि तार की आवृत्ति ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति के करीब जा रही है।
यदि $n = 344 \,Hz$ है, तो $f_s$ का मान $340$ से बढ़कर $344$ की ओर जाता है, जिससे बीट आवृत्ति कम हो जाती है ($344 - 340 = 4$ से $344 - 342 = 2$)। यह सुसंगत है।
यदि $n = 336 \,Hz$ है, तो $f_s$ बढ़ने पर यह $336$ से दूर जाएगा, जिससे बीट आवृत्ति बढ़ जाएगी। अतः, $n = 344 \,Hz$ सही उत्तर है।
0 likesView Solution
14
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2008
एक अनुप्रस्थ ज्यावक्रीय (sinusoidal) तरंग एक डोरी पर धनात्मक $x$-दिशा में $10 \text{ cm/s}$ की गति से चल रही है। तरंग की तरंगदैर्ध्य $0.5 \text{ m}$ है और इसका आयाम $10 \text{ cm}$ है। किसी विशेष समय $t$ पर,तरंग का स्नैपशॉट चित्र में दिखाया गया है। बिंदु $P$ का वेग क्या होगा जब इसका विस्थापन $5 \text{ cm}$ है?
A
$\frac{\sqrt{3} \pi}{50} \hat{j} \text{ m/s}$
B
$-\frac{\sqrt{3} \pi}{50} \hat{j} \text{ m/s}$
C
$\frac{\sqrt{3} \pi}{50} \hat{i} \text{ m/s}$
D
$-\frac{\sqrt{3} \pi}{50} \hat{i} \text{ m/s}$
Solution
(B) दिया गया है: तरंग की गति $v = 10 \text{ cm/s} = 0.1 \text{ m/s}$,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 0.5 \text{ m}$,आयाम $A = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi v}{\lambda} = \frac{2\pi \times 0.1}{0.5} = 0.4\pi \text{ rad/s} = \frac{2\pi}{5} \text{ rad/s}$.
विस्थापन समीकरण $y = A \sin(kx - \omega t + \phi)$ है।
विस्थापन $y = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ के लिए,$0.05 = 0.1 \sin(\theta)$,इसलिए $\sin(\theta) = 0.5$,जिसका अर्थ है $\theta = 30^{\circ}$ या $150^{\circ}$.
चित्र से,बिंदु $P$ नीचे की ओर ढलान पर है,इसलिए इसका वेग $v_y = \frac{dy}{dt}$ ऋणात्मक होना चाहिए।
कण का वेग $v_y = A\omega \cos(\theta)$ है।
चूंकि तरंग धनात्मक $x$-दिशा में गति कर रही है,नीचे की ओर ढलान पर स्थित कण का ऊर्ध्वाधर वेग ऋणात्मक होता है।
अतः,$v_y = -(0.1) \times (0.4\pi) \times \cos(30^{\circ}) = -0.04\pi \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -0.02\pi\sqrt{3} \text{ m/s} = -\frac{\sqrt{3}\pi}{50} \hat{j} \text{ m/s}$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi v}{\lambda} = \frac{2\pi \times 0.1}{0.5} = 0.4\pi \text{ rad/s} = \frac{2\pi}{5} \text{ rad/s}$.
विस्थापन समीकरण $y = A \sin(kx - \omega t + \phi)$ है।
विस्थापन $y = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ के लिए,$0.05 = 0.1 \sin(\theta)$,इसलिए $\sin(\theta) = 0.5$,जिसका अर्थ है $\theta = 30^{\circ}$ या $150^{\circ}$.
चित्र से,बिंदु $P$ नीचे की ओर ढलान पर है,इसलिए इसका वेग $v_y = \frac{dy}{dt}$ ऋणात्मक होना चाहिए।
कण का वेग $v_y = A\omega \cos(\theta)$ है।
चूंकि तरंग धनात्मक $x$-दिशा में गति कर रही है,नीचे की ओर ढलान पर स्थित कण का ऊर्ध्वाधर वेग ऋणात्मक होता है।
अतः,$v_y = -(0.1) \times (0.4\pi) \times \cos(30^{\circ}) = -0.04\pi \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -0.02\pi\sqrt{3} \text{ m/s} = -\frac{\sqrt{3}\pi}{50} \hat{j} \text{ m/s}$.
0 likesView Solution
15
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2008
$STATEMENT-1$: समतल जमीन पर किसी भारी वस्तु को धकेलने की तुलना में खींचना आसान होता है।
$STATEMENT-2$: घर्षण बल का परिमाण संपर्क में आने वाली दो सतहों की प्रकृति पर निर्भर करता है।
$STATEMENT-2$: घर्षण बल का परिमाण संपर्क में आने वाली दो सतहों की प्रकृति पर निर्भर करता है।
A
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है; $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या है।
B
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है; $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
C
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ असत्य है।
D
$STATEMENT-1$ असत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है।
Solution
(B) जब किसी वस्तु को क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर धकेला जाता है,तो अभिलंब बल $N = mg + F \sin \theta$ होता है। घर्षण बल $f = \mu N = \mu(mg + F \sin \theta)$ होता है।
जब किसी वस्तु को क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर खींचा जाता है,तो अभिलंब बल $N = mg - F \sin \theta$ होता है। घर्षण बल $f = \mu N = \mu(mg - F \sin \theta)$ होता है।
चूंकि खींचते समय अभिलंब बल कम होता है,इसलिए घर्षण बल भी कम होता है,जिससे खींचना आसान हो जाता है।
$STATEMENT-1$ सत्य है क्योंकि यह अभिलंब बल में अंतर के कारण है,न कि केवल सतहों की प्रकृति के कारण।
$STATEMENT-2$ घर्षण के नियमों के संबंध में एक सत्य कथन है,लेकिन यह यह नहीं बताता कि धकेलने की तुलना में खींचना आसान क्यों है।
अतः,दोनों कथन सत्य हैं,लेकिन $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
जब किसी वस्तु को क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर खींचा जाता है,तो अभिलंब बल $N = mg - F \sin \theta$ होता है। घर्षण बल $f = \mu N = \mu(mg - F \sin \theta)$ होता है।
चूंकि खींचते समय अभिलंब बल कम होता है,इसलिए घर्षण बल भी कम होता है,जिससे खींचना आसान हो जाता है।
$STATEMENT-1$ सत्य है क्योंकि यह अभिलंब बल में अंतर के कारण है,न कि केवल सतहों की प्रकृति के कारण।
$STATEMENT-2$ घर्षण के नियमों के संबंध में एक सत्य कथन है,लेकिन यह यह नहीं बताता कि धकेलने की तुलना में खींचना आसान क्यों है।
अतः,दोनों कथन सत्य हैं,लेकिन $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
0 likesView Solution
16
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2008
$STATEMENT-1$ एक तेज गति वाली ट्रेन की खिड़की से बाहर देखने वाले एक पर्यवेक्षक के लिए,पास की वस्तुएं ट्रेन की विपरीत दिशा में चलती हुई प्रतीत होती हैं,जबकि दूर की वस्तुएं स्थिर प्रतीत होती हैं।
$STATEMENT-2$ यदि पर्यवेक्षक और वस्तु प्रयोगशाला फ्रेम के संदर्भ में क्रमशः $\vec{V}_1$ और $\vec{V}_2$ वेग से चल रहे हैं,तो पर्यवेक्षक के सापेक्ष वस्तु का वेग $\vec{V}_2 - \vec{V}_1$ है।
$STATEMENT-2$ यदि पर्यवेक्षक और वस्तु प्रयोगशाला फ्रेम के संदर्भ में क्रमशः $\vec{V}_1$ और $\vec{V}_2$ वेग से चल रहे हैं,तो पर्यवेक्षक के सापेक्ष वस्तु का वेग $\vec{V}_2 - \vec{V}_1$ है।
A
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है; $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या है।
B
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है; $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
C
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ असत्य है।
D
$STATEMENT-1$ असत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है।
Solution
(B) $STATEMENT-1$ सत्य है। जब एक पर्यवेक्षक $\vec{V}_1$ वेग से चलता है,तो पास की वस्तु (प्रयोगशाला फ्रेम में स्थिर,$\vec{V}_2 = 0$) का सापेक्ष वेग $\vec{V}_{rel} = \vec{V}_2 - \vec{V}_1 = -\vec{V}_1$ होता है। अतः,पास की वस्तुएं विपरीत दिशा में चलती हुई प्रतीत होती हैं।
$STATEMENT-2$ सत्य है। परिभाषा के अनुसार,पर्यवेक्षक के सापेक्ष वस्तु का सापेक्ष वेग $\vec{V}_{rel} = \vec{V}_{object} - \vec{V}_{observer} = \vec{V}_2 - \vec{V}_1$ होता है।
हालाँकि,$STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की व्याख्या नहीं है। यह अवलोकन कि दूर की वस्तुएं स्थिर दिखाई देती हैं,इसका कारण यह है कि बड़े $r$ (दूरी) के लिए कोणीय वेग $\omega = v/r$ बहुत छोटा होता है,न कि केवल सापेक्ष वेग के सूत्र के कारण।
$STATEMENT-2$ सत्य है। परिभाषा के अनुसार,पर्यवेक्षक के सापेक्ष वस्तु का सापेक्ष वेग $\vec{V}_{rel} = \vec{V}_{object} - \vec{V}_{observer} = \vec{V}_2 - \vec{V}_1$ होता है।
हालाँकि,$STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की व्याख्या नहीं है। यह अवलोकन कि दूर की वस्तुएं स्थिर दिखाई देती हैं,इसका कारण यह है कि बड़े $r$ (दूरी) के लिए कोणीय वेग $\omega = v/r$ बहुत छोटा होता है,न कि केवल सापेक्ष वेग के सूत्र के कारण।
0 likesView Solution
17
PhysicsAdvancedIIT JEE · 2008
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक समान पतली बेलनाकार डिस्क को दो समान द्रव्यमान रहित स्प्रिंगों से जोड़ा गया है,जिनका स्प्रिंग नियतांक $k$ है और जो चित्र में दिखाए अनुसार दीवार से जुड़ी हैं। स्प्रिंग डिस्क की धुरी से उसके केंद्र से $d$ दूरी पर दोनों ओर सममित रूप से जुड़ी हैं। धुरी द्रव्यमान रहित है और स्प्रिंग तथा धुरी दोनों क्षैतिज तल में हैं। प्रत्येक स्प्रिंग की बिना खिंची लंबाई $L$ है। डिस्क शुरू में अपनी संतुलन स्थिति में है और उसका द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ दीवार से $L$ दूरी पर है। डिस्क $V_0 \hat{i}$ वेग के साथ बिना फिसले लुढ़कती है। घर्षण गुणांक $\mu$ है.
$1.$ जब डिस्क का द्रव्यमान केंद्र अपनी संतुलन स्थिति से $x$ विस्थापन पर होता है,तो डिस्क पर कार्य करने वाला कुल बाहरी बल क्या है?
$(A) -kx$ $(B) -2kx$ $(C) -\frac{2kx}{3}$ $(D) -\frac{4kx}{3}$
$2.$ डिस्क का द्रव्यमान केंद्र किस कोणीय आवृत्ति $\omega$ के साथ सरल आवर्त गति करता है?
$(A) \sqrt{\frac{k}{M}}$ $(B) \sqrt{\frac{2k}{M}}$ $(C) \sqrt{\frac{2k}{3M}}$ $(D) \sqrt{\frac{4k}{3M}}$
$3.$ $V_0$ का अधिकतम मान क्या है जिसके लिए डिस्क बिना फिसले लुढ़केगी?
$(A) \mu g \sqrt{\frac{M}{k}}$ $(B) \mu g \sqrt{\frac{M}{2k}}$ $(C) \mu g \sqrt{\frac{3M}{k}}$ $(D) \mu g \sqrt{\frac{5M}{2k}}$
$1.$ जब डिस्क का द्रव्यमान केंद्र अपनी संतुलन स्थिति से $x$ विस्थापन पर होता है,तो डिस्क पर कार्य करने वाला कुल बाहरी बल क्या है?
$(A) -kx$ $(B) -2kx$ $(C) -\frac{2kx}{3}$ $(D) -\frac{4kx}{3}$
$2.$ डिस्क का द्रव्यमान केंद्र किस कोणीय आवृत्ति $\omega$ के साथ सरल आवर्त गति करता है?
$(A) \sqrt{\frac{k}{M}}$ $(B) \sqrt{\frac{2k}{M}}$ $(C) \sqrt{\frac{2k}{3M}}$ $(D) \sqrt{\frac{4k}{3M}}$
$3.$ $V_0$ का अधिकतम मान क्या है जिसके लिए डिस्क बिना फिसले लुढ़केगी?
$(A) \mu g \sqrt{\frac{M}{k}}$ $(B) \mu g \sqrt{\frac{M}{2k}}$ $(C) \mu g \sqrt{\frac{3M}{k}}$ $(D) \mu g \sqrt{\frac{5M}{2k}}$
Solution
(D-D-C) $1$. मान लीजिए द्रव्यमान केंद्र का विस्थापन $x$ है। प्रत्येक स्प्रिंग द्वारा लगाया गया बल $kx$ है। कुल स्प्रिंग बल $F_s = -2kx$ है। संपर्क बिंदु पर कार्य करने वाला घर्षण बल $f$ है। गति के समीकरण: $2kx - f = Ma$ (स्थानांतरण) और $fR = I_P \alpha = (\frac{1}{2}MR^2) \alpha$। बिना फिसले लुढ़कने के लिए $a = R\alpha$। अतः $Ma = \frac{4kx}{3}$। कुल बाहरी बल $F_{net} = -Ma = -\frac{4kx}{3}$। सही विकल्प $(D)$ है।
$2$. $Ma = -\frac{4kx}{3}$ से,$a = -(\frac{4k}{3M})x$ प्राप्त होता है। $a = -\omega^2 x$ से तुलना करने पर,$\omega = \sqrt{\frac{4k}{3M}}$। सही विकल्प $(D)$ है।
$3$. अधिकतम घर्षण $f_{max} = \mu Mg$ है। ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{2}(2k)x_{max}^2 = \frac{1}{2}I_P \omega_0^2$। गणना करने पर $V_0 = \mu g \sqrt{\frac{3M}{k}}$ प्राप्त होता है। सही विकल्प $(C)$ है।
$2$. $Ma = -\frac{4kx}{3}$ से,$a = -(\frac{4k}{3M})x$ प्राप्त होता है। $a = -\omega^2 x$ से तुलना करने पर,$\omega = \sqrt{\frac{4k}{3M}}$। सही विकल्प $(D)$ है।
$3$. अधिकतम घर्षण $f_{max} = \mu Mg$ है। ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{2}(2k)x_{max}^2 = \frac{1}{2}I_P \omega_0^2$। गणना करने पर $V_0 = \mu g \sqrt{\frac{3M}{k}}$ प्राप्त होता है। सही विकल्प $(C)$ है।
0 likesView Solution
18
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2008
स्तंभ $I$ में कुछ प्रयोगों में मापे गए मापदंडों के संभावित सेट की सूची दी गई है। स्तंभ $II$ में ग्राफ के रूप में मापदंडों के परिवर्तन दिखाए गए हैं। स्तंभ $I$ में दिए गए मापदंडों के सेट को स्तंभ $II$ में दिए गए ग्राफ के साथ मिलाएं।
| स्तंभ $I$ | स्तंभ $II$ |
|---|---|
| $(A)$ सरल लोलक की स्थितिज ऊर्जा ($y$-अक्ष) बनाम विस्थापन ($x$-अक्ष) | $(p)$ ऊपर की ओर खुलने वाला परवलयाकार वक्र |
| $(B)$ शून्य या निरंतर त्वरण के साथ एक-आयामी गति के लिए विस्थापन ($y$-अक्ष) बनाम समय ($x$-अक्ष) | $(q)$ मूल बिंदु से गुजरने वाला रैखिक ग्राफ |
| $(C)$ एक निश्चित कोण पर प्रक्षेपित प्रक्षेप्य की परास ($y$-अक्ष) बनाम उसका वेग ($x$-अक्ष) | $(r)$ गैर-शून्य अंतःखंड वाला रैखिक ग्राफ |
| $(D)$ सरल लोलक के आवर्तकाल का वर्ग ($y$-अक्ष) बनाम उसकी लंबाई ($x$-अक्ष) | $(s)$ ऊपर की ओर खुलने वाला परवलयाकार वक्र (मूल बिंदु से शुरू) |
A
$(A) \rightarrow p, (B) \rightarrow q \& s, (C) \rightarrow s, (D) \rightarrow q$
B
$(A) \rightarrow q, (B) \rightarrow s \& r, (C) \rightarrow s, (D) \rightarrow q$
C
$(A) \rightarrow s, (B) \rightarrow r \& s, (C) \rightarrow r, (D) \rightarrow s$
D
$(A) \rightarrow s, (B) \rightarrow q \& s, (C) \rightarrow s, (D) \rightarrow q$
Solution
(D) सरल लोलक की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2$ है,जो ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय है। यह ग्राफ $(p)$ से मेल खाता है।
$(B)$ निरंतर त्वरण $a$ के साथ एक-आयामी गति के लिए,$x = ut + \frac{1}{2} a t^2$। यदि $a=0$ है,तो $x=ut$ (रैखिक,ग्राफ $(q)$)। यदि $a \neq 0$ है,तो यह एक परवलय है (ग्राफ $(s)$)। अतः,$(B) \rightarrow q \& s$।
$(C)$ प्रक्षेप्य की परास $R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g}$ है। चूंकि $\theta$ निश्चित है,$R \propto v^2$। यह मूल बिंदु से शुरू होने वाला ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है,जो ग्राफ $(s)$ है।
$(D)$ सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ है,इसलिए $T^2 = \frac{4\pi^2}{g} L$। यह मूल बिंदु से गुजरने वाला एक रैखिक ग्राफ $y = mx$ है,जो ग्राफ $(q)$ है।
$(B)$ निरंतर त्वरण $a$ के साथ एक-आयामी गति के लिए,$x = ut + \frac{1}{2} a t^2$। यदि $a=0$ है,तो $x=ut$ (रैखिक,ग्राफ $(q)$)। यदि $a \neq 0$ है,तो यह एक परवलय है (ग्राफ $(s)$)। अतः,$(B) \rightarrow q \& s$।
$(C)$ प्रक्षेप्य की परास $R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g}$ है। चूंकि $\theta$ निश्चित है,$R \propto v^2$। यह मूल बिंदु से शुरू होने वाला ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है,जो ग्राफ $(s)$ है।
$(D)$ सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ है,इसलिए $T^2 = \frac{4\pi^2}{g} L$। यह मूल बिंदु से गुजरने वाला एक रैखिक ग्राफ $y = mx$ है,जो ग्राफ $(q)$ है।
0 likesView Solution
19
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2008
कॉलम $I$ में एक आदर्श गैस के विस्तार से जुड़ी प्रक्रियाओं की सूची है। इसे कॉलम $II$ के साथ मिलाएं जो इस प्रक्रिया के दौरान होने वाले ऊष्मप्रवैगिकी परिवर्तन का वर्णन करता है।
| कॉलम $I$ | कॉलम $II$ |
| $(A)$ एक इंसुलेटेड कंटेनर में वाल्व द्वारा अलग किए गए दो चैंबर हैं। चैंबर $I$ में एक आदर्श गैस है और चैंबर $II$ में निर्वात है। वाल्व खोला जाता है। | $(p)$ गैस का तापमान घटता है |
| $(B)$ एक आदर्श एकपरमाणुक गैस अपने मूल आयतन से दोगुने तक फैलती है ताकि उसका दबाव $P \propto V^{-2}$ हो | $(q)$ गैस का तापमान बढ़ता है या स्थिर रहता है |
| $(C)$ एक आदर्श एकपरमाणुक गैस अपने मूल आयतन से दोगुने तक फैलती है ताकि उसका दबाव $P \propto V^{-4/3}$ हो | $(r)$ गैस ऊष्मा खोती है |
| $(D)$ एक आदर्श एकपरमाणुक गैस इस प्रकार फैलती है कि उसका दबाव $P$ और आयतन $V$ ग्राफ में दिखाए गए व्यवहार का पालन करते हैं | $(s)$ गैस ऊष्मा प्राप्त करती है |
A
$(A) \rightarrow q, (B) \rightarrow p \& r, (C) \rightarrow p \& s, (D) \rightarrow q \& s$
B
$(A) \rightarrow p, (B) \rightarrow s \& r, (C) \rightarrow p \& q, (D) \rightarrow q \& r$
C
$(A) \rightarrow p, (B) \rightarrow p \& s, (C) \rightarrow p \& s, (D) \rightarrow q \& p$
D
$(A) \rightarrow r, (B) \rightarrow p \& r, (C) \rightarrow s \& s, (D) \rightarrow r \& s$
Solution
$(C)$ एक आदर्श गैस का निर्वात में मुक्त विस्तार एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया है जहाँ $W = 0$ और $Q = 0$, इसलिए $\Delta U = 0$। एक आदर्श गैस के लिए, $\Delta U = nC_v\Delta T = 0$, जिसका अर्थ है $\Delta T = 0$। अतः, तापमान स्थिर रहता है। यह $(q)$ से मेल खाता है।
$(B)$ पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया $PV^x = \text{स्थिरांक}$ जहाँ $x = 2$ है। एकपरमाणुक गैस के लिए, $\gamma = 5/3$ है। चूंकि $x > \gamma$, मोलर ऊष्मा क्षमता $C = C_v + R/(1-x) = 3R/2 + R/(1-2) = 3R/2 - R = R/2 > 0$ है। साथ ही, $T \propto PV \propto V^{-2} \cdot V = V^{-1}$, इसलिए जैसे-जैसे $V$ बढ़ता है, $T$ घटता है। चूंकि $C > 0$ और $\Delta T < 0$, $Q = nC\Delta T < 0$, जिसका अर्थ है कि गैस ऊष्मा खोती है। यह $(p)$ और $(r)$ से मेल खाता है।
$(C)$ पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया जहाँ $x = 4/3$ है। चूंकि $x < \gamma$ $(4/3 < 5/3)$, मोलर ऊष्मा क्षमता $C = 3R/2 + R/(1-4/3) = 3R/2 - 3R = -3R/2 < 0$ है। साथ ही, $T \propto V^{-4/3} \cdot V = V^{-1/3}$, इसलिए जैसे-जैसे $V$ बढ़ता है, $T$ घटता है। चूंकि $C < 0$ और $\Delta T < 0$, $Q = nC\Delta T > 0$, जिसका अर्थ है कि गैस ऊष्मा प्राप्त करती है। यह $(p)$ और $(s)$ से मेल खाता है।
$(D)$ ग्राफ दिखाता है कि $V$ बढ़ रहा है, यदि $V$ बढ़ने पर $P$ घटता है, तो गैस कार्य करती है। यदि प्रक्रिया ऐसी है कि $T$ बढ़ता है, तो यह ऊष्मा प्राप्त करती है। ऐसे प्रश्नों की मानक व्याख्या के अनुसार, $(D)$ का मिलान $(q)$ और $(s)$ से होता है।
$(B)$ पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया $PV^x = \text{स्थिरांक}$ जहाँ $x = 2$ है। एकपरमाणुक गैस के लिए, $\gamma = 5/3$ है। चूंकि $x > \gamma$, मोलर ऊष्मा क्षमता $C = C_v + R/(1-x) = 3R/2 + R/(1-2) = 3R/2 - R = R/2 > 0$ है। साथ ही, $T \propto PV \propto V^{-2} \cdot V = V^{-1}$, इसलिए जैसे-जैसे $V$ बढ़ता है, $T$ घटता है। चूंकि $C > 0$ और $\Delta T < 0$, $Q = nC\Delta T < 0$, जिसका अर्थ है कि गैस ऊष्मा खोती है। यह $(p)$ और $(r)$ से मेल खाता है।
$(C)$ पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया जहाँ $x = 4/3$ है। चूंकि $x < \gamma$ $(4/3 < 5/3)$, मोलर ऊष्मा क्षमता $C = 3R/2 + R/(1-4/3) = 3R/2 - 3R = -3R/2 < 0$ है। साथ ही, $T \propto V^{-4/3} \cdot V = V^{-1/3}$, इसलिए जैसे-जैसे $V$ बढ़ता है, $T$ घटता है। चूंकि $C < 0$ और $\Delta T < 0$, $Q = nC\Delta T > 0$, जिसका अर्थ है कि गैस ऊष्मा प्राप्त करती है। यह $(p)$ और $(s)$ से मेल खाता है।
$(D)$ ग्राफ दिखाता है कि $V$ बढ़ रहा है, यदि $V$ बढ़ने पर $P$ घटता है, तो गैस कार्य करती है। यदि प्रक्रिया ऐसी है कि $T$ बढ़ता है, तो यह ऊष्मा प्राप्त करती है। ऐसे प्रश्नों की मानक व्याख्या के अनुसार, $(D)$ का मिलान $(q)$ और $(s)$ से होता है।
0 likesView Solution
20
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2008
लाल और बैंगनी रंगों की दो किरणों को अलग-अलग एक प्रिज्म (प्रिज्म का कोण $60^{\circ}$ है) से गुजारा जाता है। न्यूनतम विचलन की स्थिति में,अपवर्तन कोण होगा
A
दोनों रंगों के लिए $30^{\circ}$
B
बैंगनी रंग के लिए अधिक
C
लाल रंग के लिए अधिक
D
समान लेकिन दोनों रंगों के लिए $30^{\circ}$ नहीं
Solution
(A) एक प्रिज्म में,प्रिज्म का कोण $A$ दोनों सतहों पर अपवर्तन कोणों के योग के बराबर होता है: $A = r_1 + r_2$.
न्यूनतम विचलन की स्थिति में,प्रकाश किरण प्रिज्म से सममित रूप से गुजरती है,जिसका अर्थ है कि आपतन कोण निर्गत कोण के बराबर होता है $(i = e)$।
परिणामस्वरूप,दोनों सतहों पर अपवर्तन कोण समान होते हैं: $r_1 = r_2 = r$.
इसे प्रिज्म के सूत्र में रखने पर: $A = r + r = 2r$.
इसलिए,$r = A / 2$.
चूंकि प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए दोनों रंगों के लिए अपवर्तन कोण $r = 60^{\circ} / 2 = 30^{\circ}$ होगा।
अतः,लाल और बैंगनी दोनों रंगों के लिए अपवर्तन कोण $30^{\circ}$ है।
न्यूनतम विचलन की स्थिति में,प्रकाश किरण प्रिज्म से सममित रूप से गुजरती है,जिसका अर्थ है कि आपतन कोण निर्गत कोण के बराबर होता है $(i = e)$।
परिणामस्वरूप,दोनों सतहों पर अपवर्तन कोण समान होते हैं: $r_1 = r_2 = r$.
इसे प्रिज्म के सूत्र में रखने पर: $A = r + r = 2r$.
इसलिए,$r = A / 2$.
चूंकि प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए दोनों रंगों के लिए अपवर्तन कोण $r = 60^{\circ} / 2 = 30^{\circ}$ होगा।
अतः,लाल और बैंगनी दोनों रंगों के लिए अपवर्तन कोण $30^{\circ}$ है।
0 likesView Solution
21
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2008
$X$-ray $\text{ट्यूब से उत्पन्न } X$-rays $\text{के संदर्भ में निम्नलिखित में से कौन सा कथन } WRONG$ (गलत) है?
A
जब लक्ष्य (target) का परमाणु क्रमांक बढ़ता है तो अभिलक्षणिक $X$-rays की तरंगदैर्ध्य कम हो जाती है।
B
सतत $X$-rays की कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य लक्ष्य के परमाणु क्रमांक पर निर्भर करती है।
C
अभिलक्षणिक $X$-rays की तीव्रता $X$-ray ट्यूब को दी गई विद्युत शक्ति पर निर्भर करती है।
D
सतत $X$-rays की कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य $X$-ray ट्यूब में इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा पर निर्भर करती है।
Solution
(B) सतत $X$-rays की कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\text{min}})$ को सूत्र $\lambda_{\text{min}} = \frac{hc}{eV}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $V$ त्वरित विभवांतर है。
यह सूत्र दर्शाता है कि कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य केवल त्वरित वोल्टेज $(V)$ पर निर्भर करती है और लक्ष्य सामग्री के परमाणु क्रमांक $(Z)$ से स्वतंत्र है。
इसलिए, यह कथन कि कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य लक्ष्य के परमाणु क्रमांक पर निर्भर करती है, $WRONG$ (गलत) है。
यह सूत्र दर्शाता है कि कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य केवल त्वरित वोल्टेज $(V)$ पर निर्भर करती है और लक्ष्य सामग्री के परमाणु क्रमांक $(Z)$ से स्वतंत्र है。
इसलिए, यह कथन कि कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य लक्ष्य के परमाणु क्रमांक पर निर्भर करती है, $WRONG$ (गलत) है。
0 likesView Solution
22
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2008
चित्र में $3 \text{ V}$ की बैटरी से जुड़े तीन प्रतिरोधक विन्यास $R_1, R_2$ और $R_3$ दिखाए गए हैं। यदि विन्यास $R_1, R_2$ और $R_3$ द्वारा व्ययित शक्ति क्रमशः $P_1, P_2$ और $P_3$ है, तो:
A
$P_1 > P_2 > P_3$
B
$P_1 > P_3 > P_2$
C
$P_2 > P_1 > P_3$
D
$P_3 > P_2 > P_1$
Solution
(A) परिपथ में व्ययित शक्ति $P = \frac{V^2}{R}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि वोल्टेज $V = 3 \text{ V}$ सभी विन्यासों के लिए स्थिर है, इसलिए शक्ति $P$ समतुल्य प्रतिरोध $R$ के व्युत्क्रमानुपाती है $(P \propto \frac{1}{R})$।
$1$. विन्यास $R_1$ के लिए: परिपथ में तीन $1 \text{ }\Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में हैं। अतः, $R_1 = \frac{1 \text{ }\Omega}{3} = 0.33 \text{ }\Omega$.
$2$. विन्यास $R_2$ के लिए: यह एक व्हीटस्टोन ब्रिज परिपथ है। चूंकि सभी प्रतिरोधक $1 \text{ }\Omega$ हैं, यह एक संतुलित ब्रिज है। बीच वाले प्रतिरोधक से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। समतुल्य प्रतिरोध $2 \text{ }\Omega$ की दो समानांतर शाखाएं हैं, इसलिए $R_2 = \frac{2 \text{ }\Omega}{2} = 1 \text{ }\Omega$.
$3$. विन्यास $R_3$ के लिए: यह एक श्रेणी-समानांतर संयोजन है। चित्र के अनुसार गणना करने पर, $R_3 = 2 \text{ }\Omega$ प्राप्त होता है।
प्रतिरोधों की तुलना करने पर: $R_1 = 0.33 \text{ }\Omega$, $R_2 = 1 \text{ }\Omega$, $R_3 = 2 \text{ }\Omega$.
चूंकि $P \propto \frac{1}{R}$, इसलिए शक्ति का क्रम $P_1 > P_2 > P_3$ होगा।
$1$. विन्यास $R_1$ के लिए: परिपथ में तीन $1 \text{ }\Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में हैं। अतः, $R_1 = \frac{1 \text{ }\Omega}{3} = 0.33 \text{ }\Omega$.
$2$. विन्यास $R_2$ के लिए: यह एक व्हीटस्टोन ब्रिज परिपथ है। चूंकि सभी प्रतिरोधक $1 \text{ }\Omega$ हैं, यह एक संतुलित ब्रिज है। बीच वाले प्रतिरोधक से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। समतुल्य प्रतिरोध $2 \text{ }\Omega$ की दो समानांतर शाखाएं हैं, इसलिए $R_2 = \frac{2 \text{ }\Omega}{2} = 1 \text{ }\Omega$.
$3$. विन्यास $R_3$ के लिए: यह एक श्रेणी-समानांतर संयोजन है। चित्र के अनुसार गणना करने पर, $R_3 = 2 \text{ }\Omega$ प्राप्त होता है।
प्रतिरोधों की तुलना करने पर: $R_1 = 0.33 \text{ }\Omega$, $R_2 = 1 \text{ }\Omega$, $R_3 = 2 \text{ }\Omega$.
चूंकि $P \propto \frac{1}{R}$, इसलिए शक्ति का क्रम $P_1 > P_2 > P_3$ होगा।
0 likesView Solution
23
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2008
यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में, दो स्लिटों के बीच की दूरी $d$ है और प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ है। स्लिट $1$ पर गिरने वाले प्रकाश की तीव्रता स्लिट $2$ पर गिरने वाले प्रकाश की तीव्रता की चार गुनी है। सही विकल्प चुनिए।
$(A)$ यदि $d = \lambda$ है, तो पर्दे पर केवल एक ही उच्चिष्ठ (maximum) होगा।
$(B)$ यदि $\lambda < d < 2\lambda$ है, तो पर्दे पर (केंद्रीय उच्चिष्ठ के अलावा) कम से कम एक और उच्चिष्ठ देखा जाएगा।
$(C)$ यदि स्लिट $1$ पर गिरने वाले प्रकाश की तीव्रता को कम करके स्लिट $2$ के बराबर कर दिया जाए, तो देखी गई अदीप्त और दीप्त फ्रिंजों की तीव्रता बढ़ जाएगी।
$(D)$ यदि स्लिट $2$ पर गिरने वाले प्रकाश की तीव्रता को बढ़ाकर स्लिट $1$ के बराबर कर दिया जाए, तो देखी गई अदीप्त और दीप्त फ्रिंजों की तीव्रता बढ़ जाएगी।
$(A)$ यदि $d = \lambda$ है, तो पर्दे पर केवल एक ही उच्चिष्ठ (maximum) होगा।
$(B)$ यदि $\lambda < d < 2\lambda$ है, तो पर्दे पर (केंद्रीय उच्चिष्ठ के अलावा) कम से कम एक और उच्चिष्ठ देखा जाएगा।
$(C)$ यदि स्लिट $1$ पर गिरने वाले प्रकाश की तीव्रता को कम करके स्लिट $2$ के बराबर कर दिया जाए, तो देखी गई अदीप्त और दीप्त फ्रिंजों की तीव्रता बढ़ जाएगी।
$(D)$ यदि स्लिट $2$ पर गिरने वाले प्रकाश की तीव्रता को बढ़ाकर स्लिट $1$ के बराबर कर दिया जाए, तो देखी गई अदीप्त और दीप्त फ्रिंजों की तीव्रता बढ़ जाएगी।
A
$(A)$ and $(B)$
B
$(B)$ and $(C)$
C
$(B)$ and $(D)$
D
$(B)$ and $(C)$
Solution
(A) मान लीजिए स्लिट्स पर तीव्रता $I_1 = 4I_0$ और $I_2 = I_0$ है। परिणामी तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi = 5I_0 + 4I_0 \cos \phi$ है।
उच्चिष्ठ के लिए, $\cos \phi = 1$, अतः $I_{max} = 9I_0$। निम्निष्ठ के लिए, $\cos \phi = -1$, अतः $I_{min} = I_0$।
उच्चिष्ठ के लिए शर्त $d \sin \theta = n\lambda$ है, जहाँ $n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$ है।
$(A)$ यदि $d = \lambda$ है, तो $\sin \theta = n$। $n = 0$ के लिए, $\theta = 0$ (केंद्रीय उच्चिष्ठ)। $n = \pm 1$ के लिए, $\sin \theta = \pm 1$, अतः $\theta = \pm 90^\circ$। ये अनंत पर हैं, इसलिए पर्दे पर केवल केंद्रीय उच्चिष्ठ ही दिखाई देता है। अतः, $(A)$ सही है।
$(B)$ यदि $\lambda < d < 2\lambda$ है, तो $d/\lambda$ का मान $1$ और $2$ के बीच है। $n = 1$ के लिए, $\sin \theta = \lambda/d < 1$, इसलिए $\theta$ का अस्तित्व है। अतः, कम से कम एक और उच्चिष्ठ मौजूद है। $(B)$ सही है।
$(C)$ यदि $I_1$ को घटाकर $I_0$ कर दिया जाए, तो $I_1 = I_2 = I_0$। $I_{max} = 4I_0$ ($9I_0$ से घटता है) और $I_{min} = 0$ ($I_0$ से घटता है)। अतः, $(C)$ गलत है।
$(D)$ यदि $I_2$ को बढ़ाकर $4I_0$ कर दिया जाए, तो $I_1 = I_2 = 4I_0$। $I_{max} = 16I_0$ ($9I_0$ से बढ़ता है) और $I_{min} = 0$ ($I_0$ से घटता है)। दीप्त फ्रिंजें बढ़ती हैं, लेकिन अदीप्त फ्रिंजें घटती हैं। अतः, $(D)$ गलत है।
उच्चिष्ठ के लिए, $\cos \phi = 1$, अतः $I_{max} = 9I_0$। निम्निष्ठ के लिए, $\cos \phi = -1$, अतः $I_{min} = I_0$।
उच्चिष्ठ के लिए शर्त $d \sin \theta = n\lambda$ है, जहाँ $n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$ है।
$(A)$ यदि $d = \lambda$ है, तो $\sin \theta = n$। $n = 0$ के लिए, $\theta = 0$ (केंद्रीय उच्चिष्ठ)। $n = \pm 1$ के लिए, $\sin \theta = \pm 1$, अतः $\theta = \pm 90^\circ$। ये अनंत पर हैं, इसलिए पर्दे पर केवल केंद्रीय उच्चिष्ठ ही दिखाई देता है। अतः, $(A)$ सही है।
$(B)$ यदि $\lambda < d < 2\lambda$ है, तो $d/\lambda$ का मान $1$ और $2$ के बीच है। $n = 1$ के लिए, $\sin \theta = \lambda/d < 1$, इसलिए $\theta$ का अस्तित्व है। अतः, कम से कम एक और उच्चिष्ठ मौजूद है। $(B)$ सही है।
$(C)$ यदि $I_1$ को घटाकर $I_0$ कर दिया जाए, तो $I_1 = I_2 = I_0$। $I_{max} = 4I_0$ ($9I_0$ से घटता है) और $I_{min} = 0$ ($I_0$ से घटता है)। अतः, $(C)$ गलत है।
$(D)$ यदि $I_2$ को बढ़ाकर $4I_0$ कर दिया जाए, तो $I_1 = I_2 = 4I_0$। $I_{max} = 16I_0$ ($9I_0$ से बढ़ता है) और $I_{min} = 0$ ($I_0$ से घटता है)। दीप्त फ्रिंजें बढ़ती हैं, लेकिन अदीप्त फ्रिंजें घटती हैं। अतः, $(D)$ गलत है।
0 likesView Solution
24
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2008
मान लीजिए कि प्रति न्यूक्लियॉन नाभिकीय बंधन ऊर्जा $(B/A)$ बनाम द्रव्यमान संख्या $(A)$ चित्र में दिखाए अनुसार है। नीचे दिए गए सही विकल्प(विकल्पों) को चुनने के लिए इस ग्राफ का उपयोग करें।
चित्र: $222706-q$
$(A)$ $1 < A < 50$ की सीमा में द्रव्यमान संख्या वाले दो नाभिकों का संलयन (Fusion) ऊर्जा मुक्त करेगा।
$(B)$ $51 < A < 100$ की सीमा में द्रव्यमान संख्या वाले दो नाभिकों का संलयन ऊर्जा मुक्त करेगा।
$(C)$ $100 < A < 200$ की द्रव्यमान सीमा में स्थित एक नाभिक का विखंडन (Fission) जब दो समान टुकड़ों में टूटता है,तो ऊर्जा मुक्त करेगा।
$(D)$ $200 < A < 260$ की द्रव्यमान सीमा में स्थित एक नाभिक का विखंडन जब दो समान टुकड़ों में टूटता है,तो ऊर्जा मुक्त करेगा।
चित्र: $222706-q$
$(A)$ $1 < A < 50$ की सीमा में द्रव्यमान संख्या वाले दो नाभिकों का संलयन (Fusion) ऊर्जा मुक्त करेगा।
$(B)$ $51 < A < 100$ की सीमा में द्रव्यमान संख्या वाले दो नाभिकों का संलयन ऊर्जा मुक्त करेगा।
$(C)$ $100 < A < 200$ की द्रव्यमान सीमा में स्थित एक नाभिक का विखंडन (Fission) जब दो समान टुकड़ों में टूटता है,तो ऊर्जा मुक्त करेगा।
$(D)$ $200 < A < 260$ की द्रव्यमान सीमा में स्थित एक नाभिक का विखंडन जब दो समान टुकड़ों में टूटता है,तो ऊर्जा मुक्त करेगा।
A
$(A)$ और $(D)$
B
$(A)$ और $(B)$
C
$(B)$ और $(C)$
D
$(A)$ और $(C)$
Solution
(A) यदि किसी नाभिकीय अभिक्रिया में उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा से अधिक है,तो ऊर्जा मुक्त होती है। अर्थात,$\Delta E = (BE)_{\text{final}} - (BE)_{\text{initial}} > 0$.
ग्राफ से:
$1 < A < 100$ के लिए,$B/A = 2 \text{ MeV}$.
$100 < A < 200$ के लिए,$B/A = 8 \text{ MeV}$.
$200 < A < 260$ के लिए,$B/A = 4 \text{ MeV}$.
$(A)$ $A \approx 50$ (प्रत्येक के लिए $B/A = 2$) वाले दो नाभिकों का संलयन $A \approx 100$ $(B/A = 8)$ वाला नाभिक बनाता है। अंतिम $B/A$ अधिक होने के कारण ऊर्जा मुक्त होती है। सही।
$(B)$ $A \approx 75$ (प्रत्येक के लिए $B/A = 2$) वाले दो नाभिकों का संलयन $A \approx 150$ $(B/A = 8)$ वाला नाभिक बनाता है। अंतिम $B/A$ अधिक होने के कारण ऊर्जा मुक्त होती है। सही।
$(C)$ $A \approx 150$ $(B/A = 8)$ वाले नाभिक का $A \approx 75$ $(B/A = 2)$ के दो टुकड़ों में विखंडन। अंतिम $B/A$ कम होने के कारण ऊर्जा अवशोषित होती है। गलत।
$(D)$ $A \approx 240$ $(B/A = 4)$ वाले नाभिक का $A \approx 120$ $(B/A = 8)$ के दो टुकड़ों में विखंडन। अंतिम $B/A$ अधिक होने के कारण ऊर्जा मुक्त होती है। सही।
अतः,$(A)$,$(B)$ और $(D)$ सही हैं। दिए गए विकल्पों में से $(A)$ और $(D)$ सबसे उपयुक्त विकल्प है।
ग्राफ से:
$1 < A < 100$ के लिए,$B/A = 2 \text{ MeV}$.
$100 < A < 200$ के लिए,$B/A = 8 \text{ MeV}$.
$200 < A < 260$ के लिए,$B/A = 4 \text{ MeV}$.
$(A)$ $A \approx 50$ (प्रत्येक के लिए $B/A = 2$) वाले दो नाभिकों का संलयन $A \approx 100$ $(B/A = 8)$ वाला नाभिक बनाता है। अंतिम $B/A$ अधिक होने के कारण ऊर्जा मुक्त होती है। सही।
$(B)$ $A \approx 75$ (प्रत्येक के लिए $B/A = 2$) वाले दो नाभिकों का संलयन $A \approx 150$ $(B/A = 8)$ वाला नाभिक बनाता है। अंतिम $B/A$ अधिक होने के कारण ऊर्जा मुक्त होती है। सही।
$(C)$ $A \approx 150$ $(B/A = 8)$ वाले नाभिक का $A \approx 75$ $(B/A = 2)$ के दो टुकड़ों में विखंडन। अंतिम $B/A$ कम होने के कारण ऊर्जा अवशोषित होती है। गलत।
$(D)$ $A \approx 240$ $(B/A = 4)$ वाले नाभिक का $A \approx 120$ $(B/A = 8)$ के दो टुकड़ों में विखंडन। अंतिम $B/A$ अधिक होने के कारण ऊर्जा मुक्त होती है। सही।
अतः,$(A)$,$(B)$ और $(D)$ सही हैं। दिए गए विकल्पों में से $(A)$ और $(D)$ सबसे उपयुक्त विकल्प है।
0 likesView Solution
25
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2008
$m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाला एक कण,$V$ वेग से गति करते हुए चित्र में दिखाए अनुसार सीमा के लंबवत क्षेत्र $II$ में प्रवेश करता है। क्षेत्र $II$ में कागज के तल के लंबवत एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ है। क्षेत्र $II$ की लंबाई $\ell$ है। सही विकल्प चुनें।
चित्र: $222707-q$
$(A)$ कण क्षेत्र $III$ में तभी प्रवेश करता है यदि उसका वेग $V > \frac{qB\ell}{m}$ हो
$(B)$ कण क्षेत्र $III$ में तभी प्रवेश करता है यदि उसका वेग $V < \frac{qB\ell}{m}$ हो
$(C)$ क्षेत्र $II$ में कण के पथ की लंबाई अधिकतम होती है जब वेग $V = \frac{qB\ell}{m}$ हो
$(D)$ क्षेत्र $II$ में बिताया गया समय किसी भी वेग $V$ के लिए समान होता है जब तक कि कण क्षेत्र $I$ में वापस आ जाता है
चित्र: $222707-q$
$(A)$ कण क्षेत्र $III$ में तभी प्रवेश करता है यदि उसका वेग $V > \frac{qB\ell}{m}$ हो
$(B)$ कण क्षेत्र $III$ में तभी प्रवेश करता है यदि उसका वेग $V < \frac{qB\ell}{m}$ हो
$(C)$ क्षेत्र $II$ में कण के पथ की लंबाई अधिकतम होती है जब वेग $V = \frac{qB\ell}{m}$ हो
$(D)$ क्षेत्र $II$ में बिताया गया समय किसी भी वेग $V$ के लिए समान होता है जब तक कि कण क्षेत्र $I$ में वापस आ जाता है
A
$(A)$
B
$(B)$
C
$(C)$
D
$(D)$
Solution
(A,D) जब एक आवेशित कण अपने वेग $V$ के लंबवत चुंबकीय क्षेत्र $B$ में प्रवेश करता है,तो वह $R = \frac{mV}{qB}$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर चलता है।
कण के क्षेत्र $III$ में प्रवेश करने के लिए,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या क्षेत्र की चौड़ाई से अधिक होनी चाहिए,अर्थात $R > \ell$।
$R$ का मान रखने पर,हमें $\frac{mV}{qB} > \ell$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $V > \frac{qB\ell}{m}$। अतः,कथन $(A)$ सही है और $(B)$ गलत है।
यदि $R < \ell$ है,तो कण अर्धवृत्त पूरा करके क्षेत्र $I$ में वापस आ जाता है। क्षेत्र $II$ में पथ की लंबाई $\pi R = \pi \frac{mV}{qB}$ है। यह $V$ के साथ तब तक बढ़ती है जब तक $R = \ell$ न हो जाए,इसलिए $(C)$ गलत है।
यदि कण क्षेत्र $I$ में वापस आता है,तो वह एक अर्धवृत्त तय करता है। बिताया गया समय $t = \frac{\pi m}{qB}$ है,जो वेग $V$ से स्वतंत्र है। अतः,कथन $(D)$ सही है।
इसलिए,सही विकल्प $(A)$ और $(D)$ हैं।
कण के क्षेत्र $III$ में प्रवेश करने के लिए,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या क्षेत्र की चौड़ाई से अधिक होनी चाहिए,अर्थात $R > \ell$।
$R$ का मान रखने पर,हमें $\frac{mV}{qB} > \ell$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $V > \frac{qB\ell}{m}$। अतः,कथन $(A)$ सही है और $(B)$ गलत है।
यदि $R < \ell$ है,तो कण अर्धवृत्त पूरा करके क्षेत्र $I$ में वापस आ जाता है। क्षेत्र $II$ में पथ की लंबाई $\pi R = \pi \frac{mV}{qB}$ है। यह $V$ के साथ तब तक बढ़ती है जब तक $R = \ell$ न हो जाए,इसलिए $(C)$ गलत है।
यदि कण क्षेत्र $I$ में वापस आता है,तो वह एक अर्धवृत्त तय करता है। बिताया गया समय $t = \frac{\pi m}{qB}$ है,जो वेग $V$ से स्वतंत्र है। अतः,कथन $(D)$ सही है।
इसलिए,सही विकल्प $(A)$ और $(D)$ हैं।
0 likesView Solution
26
PhysicsEasyMCQIIT JEE · 2008
$STATEMENT-1$: मीटर ब्रिज प्रयोग में,एक अज्ञात प्रतिरोध के लिए शून्य विक्षेप बिंदु (null point) मापा जाता है। अब,अज्ञात प्रतिरोध को उच्च तापमान पर बनाए गए एक बाड़े के अंदर रखा जाता है। मानक प्रतिरोध के मान को कम करके शून्य विक्षेप बिंदु को पहले वाले बिंदु पर ही प्राप्त किया जा सकता है।
$STATEMENT-2$: धातु का प्रतिरोध तापमान बढ़ने के साथ बढ़ता है।
$STATEMENT-2$: धातु का प्रतिरोध तापमान बढ़ने के साथ बढ़ता है।
A
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है; $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या है
B
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है; $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या नहीं है
C
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ असत्य है
D
$STATEMENT-1$ असत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है
Solution
(D) मीटर ब्रिज में,शून्य विक्षेप बिंदु के लिए शर्त $\frac{R_u}{R_s} = \frac{\ell}{100-\ell}$ है,जहाँ $R_u$ अज्ञात प्रतिरोध है,$R_s$ मानक प्रतिरोध है और $\ell$ संतुलन लंबाई है।
जब अज्ञात प्रतिरोध $R_u$ का तापमान बढ़ता है,तो इसका प्रतिरोध बढ़ जाता है क्योंकि $R_u(T) = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ होता है।
शून्य विक्षेप बिंदु को उसी स्थिति $\ell$ पर बनाए रखने के लिए,अनुपात $\frac{R_u}{R_s}$ स्थिर रहना चाहिए।
चूंकि $R_u$ बढ़ गया है,इसलिए उसी अनुपात को बनाए रखने के लिए $R_s$ को भी बढ़ाया जाना चाहिए।
$STATEMENT-1$ में $R_s$ को कम करने का सुझाव दिया गया है,जो गलत है।
$STATEMENT-2$ एक ज्ञात भौतिक तथ्य है कि धातु का प्रतिरोध तापमान के साथ बढ़ता है।
इसलिए,$STATEMENT-1$ असत्य है और $STATEMENT-2$ सत्य है।
जब अज्ञात प्रतिरोध $R_u$ का तापमान बढ़ता है,तो इसका प्रतिरोध बढ़ जाता है क्योंकि $R_u(T) = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ होता है।
शून्य विक्षेप बिंदु को उसी स्थिति $\ell$ पर बनाए रखने के लिए,अनुपात $\frac{R_u}{R_s}$ स्थिर रहना चाहिए।
चूंकि $R_u$ बढ़ गया है,इसलिए उसी अनुपात को बनाए रखने के लिए $R_s$ को भी बढ़ाया जाना चाहिए।
$STATEMENT-1$ में $R_s$ को कम करने का सुझाव दिया गया है,जो गलत है।
$STATEMENT-2$ एक ज्ञात भौतिक तथ्य है कि धातु का प्रतिरोध तापमान के साथ बढ़ता है।
इसलिए,$STATEMENT-1$ असत्य है और $STATEMENT-2$ सत्य है।
0 likesView Solution
27
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2008
$H-He^{+}$ गैस के मिश्रण में ($He^{+}$ एक एकल आयनित $He$ परमाणु है),$H$ परमाणु और $He^{+}$ आयन अपनी संबंधित प्रथम उत्तेजित अवस्थाओं में उत्तेजित होते हैं। इसके बाद,$H$ परमाणु अपनी कुल उत्तेजना ऊर्जा को टक्करों द्वारा $He^{+}$ आयनों में स्थानांतरित करते हैं। मान लें कि परमाणु का बोहर मॉडल पूरी तरह से मान्य है।
$1.$ $He^{+}$ आयनों में अंततः प्राप्त अवस्था की क्वांटम संख्या $n$ क्या है?
$(A) 2$ $(B) 3$ $(C) 4$ $(D) 5$
$2.$ $H$ परमाणुओं के साथ टक्कर के बाद $He^{+}$ आयनों द्वारा दृश्य क्षेत्र में उत्सर्जित प्रकाश की तरंग दैर्ध्य क्या है?
$(A) 6.5 \times 10^{-7} \ m$ $(B) 5.6 \times 10^{-7} \ m$ $(C) 4.8 \times 10^{-7} \ m$ $(D) 4.0 \times 10^{-7} \ m$
$3.$ $H$ परमाणु के लिए $n=2$ इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा और $He^{+}$ आयन की गतिज ऊर्जा का अनुपात क्या है?
$(A) 1/4$ $(B) 1/2$ $(C) 1$ $(D) 2$
$1.$ $He^{+}$ आयनों में अंततः प्राप्त अवस्था की क्वांटम संख्या $n$ क्या है?
$(A) 2$ $(B) 3$ $(C) 4$ $(D) 5$
$2.$ $H$ परमाणुओं के साथ टक्कर के बाद $He^{+}$ आयनों द्वारा दृश्य क्षेत्र में उत्सर्जित प्रकाश की तरंग दैर्ध्य क्या है?
$(A) 6.5 \times 10^{-7} \ m$ $(B) 5.6 \times 10^{-7} \ m$ $(C) 4.8 \times 10^{-7} \ m$ $(D) 4.0 \times 10^{-7} \ m$
$3.$ $H$ परमाणु के लिए $n=2$ इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा और $He^{+}$ आयन की गतिज ऊर्जा का अनुपात क्या है?
$(A) 1/4$ $(B) 1/2$ $(C) 1$ $(D) 2$
A
$B, D, A$
B
$B, C, D$
C
$C, C, A$
D
$B, C, B$
Solution
(C) भाग $1$: $n=2$ अवस्था में $H$ परमाणु की ऊर्जा $E_H = -13.6 \times (1^2/2^2) = -3.4 \ eV$ है। मूल अवस्था $-13.6 \ eV$ है। उत्तेजना ऊर्जा $\Delta E_H = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \ eV$ है। $n=2$ अवस्था में $He^{+}$ की ऊर्जा $E_{He^+} = -13.6 \times (2^2/2^2) = -13.6 \ eV$ है। मूल अवस्था $-54.4 \ eV$ है। स्थानांतरण के बाद $He^{+}$ की कुल ऊर्जा = $-13.6 + 10.2 = -3.4 \ eV$ है। चूंकि $E_n = -13.6 \times (Z^2/n^2) = -13.6 \times (4/n^2)$,इसलिए $-3.4 = -54.4/n^2 \implies n^2 = 16 \implies n = 4$। सही विकल्प $(C)$ है।
भाग $2$: $He^{+}$ के लिए,दृश्य क्षेत्र $(n=2)$ में संक्रमण $n=4$ से $n=2$ होता है। $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2}) = 1.097 \times 10^7 \times 4 \times (\frac{1}{4} - \frac{1}{16}) = 0.82275 \times 10^7 \ m^{-1}$। अतः $\lambda \approx 4.8 \times 10^{-7} \ m$। सही विकल्प $(C)$ है।
भाग $3$: $KE = |E| = 13.6 \frac{Z^2}{n^2}$। $H$ $(Z=1, n=2)$ के लिए,$KE_H = 13.6/4 = 3.4 \ eV$। $He^{+}$ $(Z=2, n=2)$ के लिए,$KE_{He^+} = 13.6 \times (4/4) = 13.6 \ eV$। अनुपात $3.4/13.6 = 1/4$ है। सही विकल्प $(A)$ है।
भाग $2$: $He^{+}$ के लिए,दृश्य क्षेत्र $(n=2)$ में संक्रमण $n=4$ से $n=2$ होता है। $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2}) = 1.097 \times 10^7 \times 4 \times (\frac{1}{4} - \frac{1}{16}) = 0.82275 \times 10^7 \ m^{-1}$। अतः $\lambda \approx 4.8 \times 10^{-7} \ m$। सही विकल्प $(C)$ है।
भाग $3$: $KE = |E| = 13.6 \frac{Z^2}{n^2}$। $H$ $(Z=1, n=2)$ के लिए,$KE_H = 13.6/4 = 3.4 \ eV$। $He^{+}$ $(Z=2, n=2)$ के लिए,$KE_{He^+} = 13.6 \times (4/4) = 13.6 \ eV$। अनुपात $3.4/13.6 = 1/4$ है। सही विकल्प $(A)$ है।
0 likesView Solution
28
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2008
$STATEMENT-1$: स्थायी नाभिकों के लिए परमाणु क्रमांक ($y$-अक्ष) बनाम न्यूट्रॉन की संख्या ($x$-अक्ष) का आलेख परमाणु क्रमांक बढ़ने के साथ $45^{\circ}$ ढाल वाली रेखा से $x$-अक्ष की ओर झुकाव दर्शाता है।
$STATEMENT-2$: भारी न्यूक्लाइड्स में प्रोटॉन-प्रोटॉन के बीच स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण,आकर्षक नाभिकीय बलों पर हावी होने लगता है,जिससे स्थिरता बनाए रखने के लिए अधिक न्यूट्रॉन की आवश्यकता होती है।
$STATEMENT-2$: भारी न्यूक्लाइड्स में प्रोटॉन-प्रोटॉन के बीच स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण,आकर्षक नाभिकीय बलों पर हावी होने लगता है,जिससे स्थिरता बनाए रखने के लिए अधिक न्यूट्रॉन की आवश्यकता होती है।
A
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है; $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या है।
B
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है; $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
C
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ असत्य है।
D
$STATEMENT-1$ असत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है।
Solution
(A) हल्के नाभिकों के लिए,प्रोटॉन की संख्या $(Z)$,न्यूट्रॉन की संख्या $(N)$ के लगभग बराबर होती है,इसलिए आलेख $N=Z$ रेखा का अनुसरण करता है ($45^{\circ}$ ढाल)।
जैसे-जैसे परमाणु क्रमांक बढ़ता है,प्रोटॉन के बीच का लंबी दूरी का स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण,कम दूरी के आकर्षक नाभिकीय बल की तुलना में तेजी से बढ़ता है।
भारी नाभिकों में स्थिरता बनाए रखने के लिए,स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण को बढ़ाए बिना अतिरिक्त आकर्षक नाभिकीय बल प्रदान करने के लिए अधिक न्यूट्रॉन की आवश्यकता होती है।
इसके कारण वक्र $x$-अक्ष (न्यूट्रॉन अक्ष) की ओर झुक जाता है,जिसका अर्थ है कि स्थिर भारी नाभिकों के लिए $N > Z$ होता है।
अतः,$STATEMENT-1$ सत्य है और $STATEMENT-2$ सत्य है,और $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या है।
जैसे-जैसे परमाणु क्रमांक बढ़ता है,प्रोटॉन के बीच का लंबी दूरी का स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण,कम दूरी के आकर्षक नाभिकीय बल की तुलना में तेजी से बढ़ता है।
भारी नाभिकों में स्थिरता बनाए रखने के लिए,स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण को बढ़ाए बिना अतिरिक्त आकर्षक नाभिकीय बल प्रदान करने के लिए अधिक न्यूट्रॉन की आवश्यकता होती है।
इसके कारण वक्र $x$-अक्ष (न्यूट्रॉन अक्ष) की ओर झुक जाता है,जिसका अर्थ है कि स्थिर भारी नाभिकों के लिए $N > Z$ होता है।
अतः,$STATEMENT-1$ सत्य है और $STATEMENT-2$ सत्य है,और $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या है।
0 likesView Solution
29
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2008
एक समानांतर प्लेट संधारित्र $C$ जिसकी प्लेटों का क्षेत्रफल इकाई है और उनके बीच की दूरी $d$ है,$K=2$ परावैद्युतांक वाले द्रव से भरा है। द्रव का प्रारंभिक स्तर $\frac{d}{3}$ है। मान लीजिए कि द्रव का स्तर $V$ की स्थिर गति से घटता है। समय $t$ के फलन के रूप में समय नियतांक $\tau$ ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{6 \varepsilon_0 R}{5 d+3 Vt}$
B
$\frac{(15 d+9 Vt) \varepsilon_0 R}{2 d^2-3 dVt-9 V^2 t^2}$
C
$\frac{6 \varepsilon_0 R}{5 d-3 Vt}$
D
$\frac{(15 d-9 Vt) \varepsilon_0 R}{2 d^2+3 dVt-9 V^2 t^2}$
Solution
(A) संधारित्र को श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों के रूप में माना जा सकता है: एक परावैद्युत $(K=2)$ से भरा हुआ और दूसरा हवा $(K=1)$ वाला।
माना परावैद्युत की मोटाई $x(t) = \frac{d}{3} - Vt$ है और हवा के अंतराल की मोटाई $y(t) = d - x(t) = \frac{2d}{3} + Vt$ है।
परावैद्युत भाग की धारिता $C_1 = \frac{K \varepsilon_0 A}{x(t)} = \frac{2 \varepsilon_0}{(\frac{d}{3} - Vt)}$ है।
हवा वाले भाग की धारिता $C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{y(t)} = \frac{\varepsilon_0}{(\frac{2d}{3} + Vt)}$ है।
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$ होगी।
$C_{eq} = \frac{\frac{2 \varepsilon_0}{\frac{d}{3} - Vt} \cdot \frac{\varepsilon_0}{\frac{2d}{3} + Vt}}{\frac{2 \varepsilon_0}{\frac{d}{3} - Vt} + \frac{\varepsilon_0}{\frac{2d}{3} + Vt}} = \frac{2 \varepsilon_0^2 / [(\frac{d}{3} - Vt)(\frac{2d}{3} + Vt)]}{\varepsilon_0 [\frac{2(\frac{2d}{3} + Vt) + (\frac{d}{3} - Vt)}{(\frac{d}{3} - Vt)(\frac{2d}{3} + Vt)}]} = \frac{2 \varepsilon_0}{\frac{4d}{3} + 2Vt + \frac{d}{3} - Vt} = \frac{2 \varepsilon_0}{\frac{5d}{3} + Vt} = \frac{6 \varepsilon_0}{5d + 3Vt}$.
समय नियतांक $\tau = C_{eq} R = \frac{6 \varepsilon_0 R}{5d + 3Vt}$ है।
माना परावैद्युत की मोटाई $x(t) = \frac{d}{3} - Vt$ है और हवा के अंतराल की मोटाई $y(t) = d - x(t) = \frac{2d}{3} + Vt$ है।
परावैद्युत भाग की धारिता $C_1 = \frac{K \varepsilon_0 A}{x(t)} = \frac{2 \varepsilon_0}{(\frac{d}{3} - Vt)}$ है।
हवा वाले भाग की धारिता $C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{y(t)} = \frac{\varepsilon_0}{(\frac{2d}{3} + Vt)}$ है।
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$ होगी।
$C_{eq} = \frac{\frac{2 \varepsilon_0}{\frac{d}{3} - Vt} \cdot \frac{\varepsilon_0}{\frac{2d}{3} + Vt}}{\frac{2 \varepsilon_0}{\frac{d}{3} - Vt} + \frac{\varepsilon_0}{\frac{2d}{3} + Vt}} = \frac{2 \varepsilon_0^2 / [(\frac{d}{3} - Vt)(\frac{2d}{3} + Vt)]}{\varepsilon_0 [\frac{2(\frac{2d}{3} + Vt) + (\frac{d}{3} - Vt)}{(\frac{d}{3} - Vt)(\frac{2d}{3} + Vt)}]} = \frac{2 \varepsilon_0}{\frac{4d}{3} + 2Vt + \frac{d}{3} - Vt} = \frac{2 \varepsilon_0}{\frac{5d}{3} + Vt} = \frac{6 \varepsilon_0}{5d + 3Vt}$.
समय नियतांक $\tau = C_{eq} R = \frac{6 \varepsilon_0 R}{5d + 3Vt}$ है।
0 likesView Solution
30
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2008
एक प्रकाश किरण क्षेत्र $I$ से क्षेत्र $IV$ की ओर यात्रा कर रही है (चित्र देखें)। क्षेत्र $I$,$II$,$III$ और $IV$ के अपवर्तनांक क्रमशः $n_0$,$\frac{n_0}{2}$,$\frac{n_0}{6}$ और $\frac{n_0}{8}$ हैं। आपतन कोण $\theta$ ज्ञात कीजिए जिसके लिए किरण क्षेत्र $IV$ में प्रवेश करने से ठीक चूक जाती है:
A
$\sin ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$
B
$\sin ^{-1}\left(\frac{1}{8}\right)$
C
$\sin ^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)$
D
$\sin ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$
Solution
(B) स्नेल के नियम के अनुसार,समानांतर अंतरापृष्ठों की एक श्रृंखला के लिए,अपवर्तनांक और अभिलंब के साथ कोण की ज्या (sine) का गुणनफल प्रत्येक अंतरापृष्ठ पर स्थिर रहता है।
मान लीजिए कि $\theta_1, \theta_2, \theta_3, \theta_4$ क्रमशः क्षेत्र $I, II, III, IV$ में अपवर्तन के कोण हैं। यहाँ,$\theta_1 = \theta$ है।
प्रत्येक अंतरापृष्ठ पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$n_0 \sin \theta = n_{II} \sin \theta_2 = n_{III} \sin \theta_3 = n_{IV} \sin \theta_4$
किरण के क्षेत्र $IV$ में प्रवेश करने से ठीक चूकने के लिए,क्षेत्र $IV$ में अपवर्तन का कोण $\theta_4 = 90^\circ$ होना चाहिए।
अतः,हमारे पास है:
$n_0 \sin \theta = n_{IV} \sin 90^\circ$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$n_0 \sin \theta = \frac{n_0}{8} \times 1$
$\sin \theta = \frac{1}{8}$
$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{8}\right)$
मान लीजिए कि $\theta_1, \theta_2, \theta_3, \theta_4$ क्रमशः क्षेत्र $I, II, III, IV$ में अपवर्तन के कोण हैं। यहाँ,$\theta_1 = \theta$ है।
प्रत्येक अंतरापृष्ठ पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$n_0 \sin \theta = n_{II} \sin \theta_2 = n_{III} \sin \theta_3 = n_{IV} \sin \theta_4$
किरण के क्षेत्र $IV$ में प्रवेश करने से ठीक चूकने के लिए,क्षेत्र $IV$ में अपवर्तन का कोण $\theta_4 = 90^\circ$ होना चाहिए।
अतः,हमारे पास है:
$n_0 \sin \theta = n_{IV} \sin 90^\circ$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$n_0 \sin \theta = \frac{n_0}{8} \times 1$
$\sin \theta = \frac{1}{8}$
$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{8}\right)$
0 likesView Solution
31
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2008
$5 \mu Ci$ की सक्रियता वाले एक रेडियोधर्मी नमूने $S_1$ में $10 \mu Ci$ की सक्रियता वाले दूसरे नमूने $S_2$ की तुलना में दोगुने नाभिक हैं। $S_1$ और $S_2$ की अर्ध-आयु (half-lives) क्या हो सकती हैं?
A
क्रमशः $20$ वर्ष और $5$ वर्ष
B
क्रमशः $20$ वर्ष और $10$ वर्ष
C
प्रत्येक $10$ वर्ष
D
प्रत्येक $5$ वर्ष
Solution
(A) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A$ को $A = \lambda N = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ नाभिकों की संख्या है और $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
नमूने $S_1$ के लिए: $A_1 = 5 \mu Ci$ और $N_1 = 2N_0$.
अतः,$5 = \frac{\ln 2}{T_1} (2N_0) \implies \frac{\ln 2}{T_1} = \frac{2.5}{N_0}$.
नमूने $S_2$ के लिए: $A_2 = 10 \mu Ci$ और $N_2 = N_0$.
अतः,$10 = \frac{\ln 2}{T_2} (N_0) \implies \frac{\ln 2}{T_2} = \frac{10}{N_0}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{T_2}{T_1} = \frac{2.5}{10} = \frac{1}{4}$.
इसलिए,$T_1 = 4T_2$.
विकल्पों की जाँच करने पर,यदि $T_2 = 5$ वर्ष है,तो $T_1 = 20$ वर्ष होगा। यह विकल्प $A$ से मेल खाता है।
नमूने $S_1$ के लिए: $A_1 = 5 \mu Ci$ और $N_1 = 2N_0$.
अतः,$5 = \frac{\ln 2}{T_1} (2N_0) \implies \frac{\ln 2}{T_1} = \frac{2.5}{N_0}$.
नमूने $S_2$ के लिए: $A_2 = 10 \mu Ci$ और $N_2 = N_0$.
अतः,$10 = \frac{\ln 2}{T_2} (N_0) \implies \frac{\ln 2}{T_2} = \frac{10}{N_0}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{T_2}{T_1} = \frac{2.5}{10} = \frac{1}{4}$.
इसलिए,$T_1 = 4T_2$.
विकल्पों की जाँच करने पर,यदि $T_2 = 5$ वर्ष है,तो $T_1 = 20$ वर्ष होगा। यह विकल्प $A$ से मेल खाता है।
0 likesView Solution
32
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2008
चित्र में दिखाए अनुसार $A, B$ और $C$ बिंदुओं पर क्रमशः $\frac{q}{3}, \frac{q}{3}$ और $-\frac{2q}{3}$ आवेशों के एक निकाय पर विचार करें। $O$ को $R$ त्रिज्या वाले वृत्त का केंद्र और $\angle CAB = 60^{\circ}$ मानें।
A
बिंदु $O$ पर विद्युत क्षेत्र $\frac{q}{8 \pi \varepsilon_0 R^2}$ है,जो ऋणात्मक $x$-अक्ष की दिशा में है।
B
निकाय की स्थितिज ऊर्जा शून्य है।
C
$C$ और $B$ पर स्थित आवेशों के बीच बल का परिमाण $\frac{q^2}{54 \pi \varepsilon_0 R^2}$ है।
D
बिंदु $O$ पर विभव $\frac{q}{12 \pi \varepsilon_0 R}$ है।
Solution
(C) आवेश $q_A = q/3$,$q_B = q/3$,और $q_C = -2q/3$ हैं।
$\triangle ABC$ में,चूंकि $A, B, C$ केंद्र $O$ वाले वृत्त पर स्थित हैं,इसलिए $OA = OB = OC = R$ है।
दिया गया है $\angle CAB = 60^{\circ}$,$\triangle OAC$ में,$OA = OC = R$ है,इसलिए $\angle OCA = \angle OAC = 60^{\circ}$ है,जिसका अर्थ है कि $\triangle OAC$ एक समबाहु त्रिभुज है। अतः,$AC = R$ है।
इसी प्रकार,$\triangle OBC$ के लिए,$BC$ दूरी की गणना करने पर,$BC = \sqrt{R^2 + R^2 - 2R^2 \cos(120^{\circ})} = R\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$C$ और $B$ के बीच बल $F_{BC} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|q_C| |q_B|}{(BC)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{(2q/3)(q/3)}{(R\sqrt{3})^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2q^2/9}{3R^2} = \frac{q^2}{54 \pi \varepsilon_0 R^2}$ है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।
$\triangle ABC$ में,चूंकि $A, B, C$ केंद्र $O$ वाले वृत्त पर स्थित हैं,इसलिए $OA = OB = OC = R$ है।
दिया गया है $\angle CAB = 60^{\circ}$,$\triangle OAC$ में,$OA = OC = R$ है,इसलिए $\angle OCA = \angle OAC = 60^{\circ}$ है,जिसका अर्थ है कि $\triangle OAC$ एक समबाहु त्रिभुज है। अतः,$AC = R$ है।
इसी प्रकार,$\triangle OBC$ के लिए,$BC$ दूरी की गणना करने पर,$BC = \sqrt{R^2 + R^2 - 2R^2 \cos(120^{\circ})} = R\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$C$ और $B$ के बीच बल $F_{BC} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|q_C| |q_B|}{(BC)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{(2q/3)(q/3)}{(R\sqrt{3})^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2q^2/9}{3R^2} = \frac{q^2}{54 \pi \varepsilon_0 R^2}$ है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।
0 likesView Solution
33
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2008
$STATEMENT-1$: व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए,पृथ्वी का उपयोग विद्युत परिपथों में शून्य विभव के संदर्भ के रूप में किया जाता है।
$STATEMENT-2$: $R$ त्रिज्या वाले और सतह पर समान रूप से वितरित $Q$ आवेश वाले गोले का विद्युत विभव $\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R}$ द्वारा दिया जाता है।
$STATEMENT-2$: $R$ त्रिज्या वाले और सतह पर समान रूप से वितरित $Q$ आवेश वाले गोले का विद्युत विभव $\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R}$ द्वारा दिया जाता है।
A
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है; $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या है।
B
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है; $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
C
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ असत्य है।
D
$STATEMENT-1$ असत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है।
Solution
(B) $STATEMENT-1$ सत्य है क्योंकि पृथ्वी एक विशाल चालक है और इसके विभव को सभी विद्युत मापों के लिए एक संदर्भ बिंदु (शून्य विभव) के रूप में लिया जाता है।
$STATEMENT-2$ सत्य है क्योंकि एक आवेशित चालक गोले की सतह पर विभव $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R}$ होता है।
हालाँकि,$STATEMENT-2$ यह नहीं बताता कि पृथ्वी को संदर्भ बिंदु के रूप में क्यों चुना गया है। पृथ्वी को संदर्भ के रूप में चुनना उसके आकार और चालकता पर आधारित एक परंपरा है,न कि गोले के विशिष्ट विभव सूत्र के कारण। इसलिए,$STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
$STATEMENT-2$ सत्य है क्योंकि एक आवेशित चालक गोले की सतह पर विभव $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R}$ होता है।
हालाँकि,$STATEMENT-2$ यह नहीं बताता कि पृथ्वी को संदर्भ बिंदु के रूप में क्यों चुना गया है। पृथ्वी को संदर्भ के रूप में चुनना उसके आकार और चालकता पर आधारित एक परंपरा है,न कि गोले के विशिष्ट विभव सूत्र के कारण। इसलिए,$STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
0 likesView Solution
34
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2008
$STATEMENT-1$: एक मूविंग कॉइल गैल्वेनोमीटर की संवेदनशीलता को कॉइल के अंदर एक उपयुक्त चुंबकीय सामग्री को कोर के रूप में रखकर बढ़ाया जाता है।
$STATEMENT-2$: नरम लोहे (Soft iron) की चुंबकीय पारगम्यता (permeability) उच्च होती है और इसे आसानी से चुम्बकित या विचुम्बकित नहीं किया जा सकता है।
$STATEMENT-2$: नरम लोहे (Soft iron) की चुंबकीय पारगम्यता (permeability) उच्च होती है और इसे आसानी से चुम्बकित या विचुम्बकित नहीं किया जा सकता है।
A
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है; $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या है।
B
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है; $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
C
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ असत्य है।
D
$STATEMENT-1$ असत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है।
Solution
(C) एक मूविंग कॉइल गैल्वेनोमीटर में,कॉइल के अंदर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $(B)$ को बढ़ाने के लिए नरम लोहे की कोर रखी जाती है,जो सीधे गैल्वेनोमीटर की संवेदनशीलता को बढ़ाती है।
$STATEMENT-1$ सत्य है क्योंकि नरम लोहे की कोर की उच्च चुंबकीय पारगम्यता चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं को केंद्रित करती है,जिससे कॉइल पर लगने वाला टॉर्क बढ़ जाता है।
$STATEMENT-2$ असत्य है क्योंकि नरम लोहा एक नरम चुंबकीय सामग्री है,जिसका अर्थ है कि इसकी चुंबकीय पारगम्यता उच्च होती है और इसे आसानी से चुम्बकित और विचुम्बकित किया जा सकता है। यह कथन गलत तरीके से दावा करता है कि इसे आसानी से चुम्बकित या विचुम्बकित नहीं किया जा सकता है।
$STATEMENT-1$ सत्य है क्योंकि नरम लोहे की कोर की उच्च चुंबकीय पारगम्यता चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं को केंद्रित करती है,जिससे कॉइल पर लगने वाला टॉर्क बढ़ जाता है।
$STATEMENT-2$ असत्य है क्योंकि नरम लोहा एक नरम चुंबकीय सामग्री है,जिसका अर्थ है कि इसकी चुंबकीय पारगम्यता उच्च होती है और इसे आसानी से चुम्बकित और विचुम्बकित किया जा सकता है। यह कथन गलत तरीके से दावा करता है कि इसे आसानी से चुम्बकित या विचुम्बकित नहीं किया जा सकता है।
0 likesView Solution
35
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2008
नाभिकीय आवेश $(Ze)$ त्रिज्या $R$ वाले नाभिक के भीतर असमान रूप से वितरित है। आवेश घनत्व $\rho(r)$ (प्रति इकाई आयतन आवेश) केवल नाभिक के केंद्र से त्रिज्यीय दूरी $r$ पर निर्भर करता है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। विद्युत क्षेत्र केवल त्रिज्यीय दिशा में है।
$1.$ $r=R$ पर विद्युत क्षेत्र
$(A)$ $a$ से स्वतंत्र है
$(B)$ $a$ के सीधे आनुपातिक है
$(C)$ $a^2$ के सीधे आनुपातिक है
$(D)$ $a$ के व्युत्क्रमानुपाती है
$2.$ $a=0$ के लिए,$d$ का मान (चित्र में दिखाए गए अनुसार $\rho$ का अधिकतम मान) है
$(A)$ $\frac{3Ze}{4\pi R^3}$ $(B)$ $\frac{3Ze}{\pi R^3}$ $(C)$ $\frac{4Ze}{3\pi R^3}$ $(D)$ $\frac{Ze}{3\pi R^3}$
$3.$ नाभिक के भीतर विद्युत क्षेत्र सामान्यतः $r$ पर रैखिक रूप से निर्भर देखा जाता है। इसका अर्थ है
$(A)$ $a=0$ $(B)$ $a=\frac{R}{2}$ $(C)$ $a=R$ $(D)$ $a=\frac{2R}{3}$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
$1.$ $r=R$ पर विद्युत क्षेत्र
$(A)$ $a$ से स्वतंत्र है
$(B)$ $a$ के सीधे आनुपातिक है
$(C)$ $a^2$ के सीधे आनुपातिक है
$(D)$ $a$ के व्युत्क्रमानुपाती है
$2.$ $a=0$ के लिए,$d$ का मान (चित्र में दिखाए गए अनुसार $\rho$ का अधिकतम मान) है
$(A)$ $\frac{3Ze}{4\pi R^3}$ $(B)$ $\frac{3Ze}{\pi R^3}$ $(C)$ $\frac{4Ze}{3\pi R^3}$ $(D)$ $\frac{Ze}{3\pi R^3}$
$3.$ नाभिक के भीतर विद्युत क्षेत्र सामान्यतः $r$ पर रैखिक रूप से निर्भर देखा जाता है। इसका अर्थ है
$(A)$ $a=0$ $(B)$ $a=\frac{R}{2}$ $(C)$ $a=R$ $(D)$ $a=\frac{2R}{3}$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
A
$(A, B, C)$
B
$(C, B, D)$
C
$(A, D, C)$
D
$(B, A, C)$
Solution
(A) $r=R$ के लिए,गॉस के नियम के अनुसार,विद्युत क्षेत्र $E$ को $E(4\pi R^2) = \frac{Q_{enclosed}}{\epsilon_0} = \frac{Ze}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$E = \frac{Ze}{4\pi\epsilon_0 R^2}$,जो $a$ से स्वतंत्र है। इसलिए,$1$ का उत्तर $(A)$ है।
$a=0$ के लिए,आवेश घनत्व $\rho(r)$ आधार $R$ और ऊँचाई $d$ वाला एक त्रिभुज बन जाता है। कुल आवेश $Ze = \int_0^R \rho(r) 4\pi r^2 dr$ है।
चूँकि $\rho(r) = d(1 - r/R)$,$Ze = 4\pi d \int_0^R (r^2 - r^3/R) dr = 4\pi d [R^3/3 - R^4/4R] = 4\pi d [R^3/12] = \frac{\pi d R^3}{3}$ है।
इसलिए,$d = \frac{3Ze}{\pi R^3}$ है। अतः,$2$ का उत्तर $(B)$ है।
नाभिक के भीतर $E \propto r$ के लिए,आवेश घनत्व $\rho$ को पूरे आयतन में स्थिर होना चाहिए। यह तब होता है जब $a=R$ हो। इसलिए,$3$ का उत्तर $(C)$ है।
अतः,$E = \frac{Ze}{4\pi\epsilon_0 R^2}$,जो $a$ से स्वतंत्र है। इसलिए,$1$ का उत्तर $(A)$ है।
$a=0$ के लिए,आवेश घनत्व $\rho(r)$ आधार $R$ और ऊँचाई $d$ वाला एक त्रिभुज बन जाता है। कुल आवेश $Ze = \int_0^R \rho(r) 4\pi r^2 dr$ है।
चूँकि $\rho(r) = d(1 - r/R)$,$Ze = 4\pi d \int_0^R (r^2 - r^3/R) dr = 4\pi d [R^3/3 - R^4/4R] = 4\pi d [R^3/12] = \frac{\pi d R^3}{3}$ है।
इसलिए,$d = \frac{3Ze}{\pi R^3}$ है। अतः,$2$ का उत्तर $(B)$ है।
नाभिक के भीतर $E \propto r$ के लिए,आवेश घनत्व $\rho$ को पूरे आयतन में स्थिर होना चाहिए। यह तब होता है जब $a=R$ हो। इसलिए,$3$ का उत्तर $(C)$ है।
0 likesView Solution
36
PhysicsAdvancedIIT JEE · 2008
स्तंभ $I$ में एक ऑप्टिकल घटक और उसकी ऑप्टिकल अक्ष पर रखा गया एक वस्तु $S$ दिया गया है। वस्तु और घटक के बीच की दूरी को बदला जा सकता है। स्तंभ $II$ में प्रतिबिंबों के गुण दिए गए हैं। स्तंभ $II$ के प्रतिबिंबों के सभी गुणों को स्तंभ $I$ में दिए गए उपयुक्त घटकों के साथ मिलाएं।
| स्तंभ $I$ | स्तंभ $II$ |
| $A$. अवतल दर्पण | $(p)$ वास्तविक प्रतिबिंब |
| $B$. उत्तल दर्पण | $(q)$ आभासी प्रतिबिंब |
| $C$. उत्तल लेंस | $(r)$ आवर्धित प्रतिबिंब |
| $D$. अवतल लेंस | $(s)$ अनंत पर प्रतिबिंब |
Solution
(D) (अवतल दर्पण) के लिए: यह वास्तविक प्रतिबिंब (जब वस्तु $F$ के परे हो), आभासी प्रतिबिंब (जब वस्तु $P$ और $F$ के बीच हो), आवर्धित प्रतिबिंब (जब वस्तु $P$ और $2F$ के बीच हो), और अनंत पर प्रतिबिंब (जब वस्तु $F$ पर हो) बना सकता है। अतः, $A \rightarrow p, q, r, s$.
$B$ (उत्तल दर्पण) के लिए: यह हमेशा आभासी प्रतिबिंब बनाता है। प्रतिबिंब छोटा होता है, इसलिए यह आवर्धित नहीं हो सकता। यदि वस्तु $F$ पर हो तो यह अनंत पर प्रतिबिंब बना सकता है। अतः, $B \rightarrow q, s$.
$C$ (उत्तल लेंस) के लिए: यह वास्तविक प्रतिबिंब (जब वस्तु $F$ के परे हो), आभासी प्रतिबिंब (जब वस्तु $O$ और $F$ के बीच हो), आवर्धित प्रतिबिंब (जब वस्तु $O$ और $2F$ के बीच हो), और अनंत पर प्रतिबिंब (जब वस्तु $F$ पर हो) बना सकता है। अतः, $C \rightarrow p, q, r, s$.
$D$ (अवतल लेंस) के लिए: यह हमेशा आभासी प्रतिबिंब बनाता है। प्रतिबिंब हमेशा छोटा होता है, इसलिए यह आवर्धित नहीं हो सकता। यदि वस्तु $F$ पर हो तो यह अनंत पर प्रतिबिंब बना सकता है। अतः, $D \rightarrow q, s$.
$B$ (उत्तल दर्पण) के लिए: यह हमेशा आभासी प्रतिबिंब बनाता है। प्रतिबिंब छोटा होता है, इसलिए यह आवर्धित नहीं हो सकता। यदि वस्तु $F$ पर हो तो यह अनंत पर प्रतिबिंब बना सकता है। अतः, $B \rightarrow q, s$.
$C$ (उत्तल लेंस) के लिए: यह वास्तविक प्रतिबिंब (जब वस्तु $F$ के परे हो), आभासी प्रतिबिंब (जब वस्तु $O$ और $F$ के बीच हो), आवर्धित प्रतिबिंब (जब वस्तु $O$ और $2F$ के बीच हो), और अनंत पर प्रतिबिंब (जब वस्तु $F$ पर हो) बना सकता है। अतः, $C \rightarrow p, q, r, s$.
$D$ (अवतल लेंस) के लिए: यह हमेशा आभासी प्रतिबिंब बनाता है। प्रतिबिंब हमेशा छोटा होता है, इसलिए यह आवर्धित नहीं हो सकता। यदि वस्तु $F$ पर हो तो यह अनंत पर प्रतिबिंब बना सकता है। अतः, $D \rightarrow q, s$.
0 likesView Solution
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real IIT JEE style covering Physics with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D Physics papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Run live IIT JEE mock exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFrequently Asked Questions
How many Physics questions are in IIT JEE 2008?
There are 36 Physics questions from the IIT JEE 2008 paper on Vedclass, each with a detailed step-by-step solution in Hindi.
Are IIT JEE 2008 Physics solutions available in Hindi?
Yes. All solutions on this page are in Hindi. You can also switch to English or Hindi using the language buttons above the questions.
Can I practice IIT JEE 2008 Physics as a timed test?
Yes. Use the Vedclass Test Series to attempt a full IIT JEE mock test covering Physics with time limits and instant score analysis.
Can teachers create Physics papers from IIT JEE previous year questions?
Yes. The Vedclass Exam Paper Generator lets teachers mix IIT JEE Physics questions and generate Set A/B/C/D papers in minutes.
For Teachers & Institutes
Build a Custom Physics Paper
Pick IIT JEE 2008 Physics questions, set difficulty, and generate Set A/B/C/D in 2 minutes.