IIT JEE 1982 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) सबसे पहले,कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करें:
$\frac{1 + i}{1 - i} = \frac{1 + i}{1 - i} \times \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(1 + i)^2}{1^2 - i^2} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 - (-1)} = \frac{1 + 2i - 1}{2} = \frac{2i}{2} = i$
दिया गया है कि ${\left( \frac{1 + i}{1 - i} \right)^m} = 1$,अतः:
$i^m = 1$
हम जानते हैं कि $i$ की घातों का चक्र $i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1$ होता है।
इसलिए,$m$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान जिसके लिए $i^m = 1$ है,वह $m = 4$ है।

(D) दी गई असमिका: $|z - 4| < |z - 2|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|z - 4|^2 < |z - 2|^2$
माना $z = x + iy$ है। तब $|(x - 4) + iy|^2 < |(x - 2) + iy|^2$
$(x - 4)^2 + y^2 < (x - 2)^2 + y^2$
$x^2 - 8x + 16 + y^2 < x^2 - 4x + 4 + y^2$
$-8x + 16 < -4x + 4$
$12 < 4x$
$x > 3$
चूंकि $x = \text{Re}(z)$ है,अतः क्षेत्र $\text{Re}(z) > 3$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया समीकरण $\left| \frac{z - 5i}{z + 5i} \right| = 1$ है।
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\left| \frac{x + i(y - 5)}{x + i(y + 5)} \right| = 1$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ का उपयोग करने पर,$|x + i(y - 5)| = |x + i(y + 5)|$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 + (y - 5)^2 = x^2 + (y + 5)^2$ प्राप्त होता है।
वर्गों का विस्तार करने पर: $x^2 + y^2 - 10y + 25 = x^2 + y^2 + 10y + 25$।
समीकरण को सरल करने पर: $-10y = 10y$,जिसका अर्थ है $20y = 0$,अतः $y = 0$।
समीकरण $y = 0$ वास्तविक अक्ष को दर्शाता है।

(A) दिया गया है कि $a_1, a_2, a_3, ......., a_n$ एक $A.P.$ में हैं जिसका सार्व अंतर $d = a_{i+1} - a_i$ है।
हम जानते हैं कि $a_n = a_1 + (n - 1)d$,जिसका अर्थ है $d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}$।
प्रत्येक पद का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{a_i} + \sqrt{a_{i+1}}} = \frac{\sqrt{a_{i+1}} - \sqrt{a_i}}{a_{i+1} - a_i} = \frac{\sqrt{a_{i+1}} - \sqrt{a_i}}{d}$।
$i = 1$ से $n-1$ तक के पदों का योग करने पर:
$\sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{a_i} + \sqrt{a_{i+1}}} = \frac{1}{d} ((\sqrt{a_2} - \sqrt{a_1}) + (\sqrt{a_3} - \sqrt{a_2}) + ....... + (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_{n-1}}))$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,जो सरल होकर प्राप्त होती है:
$\frac{1}{d} (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1})$।
$d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{n - 1}{a_n - a_1} (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1}) = \frac{n - 1}{(\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1})(\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1})} (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1}) = \frac{n - 1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1}}$।

(C) माना कि $G.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है।
दिया गया है कि तीसरा पद $T_3 = ar^2 = 4$ है।
हमें प्रथम $5$ पदों का गुणनफल ज्ञात करना है:
$P = a \times (ar) \times (ar^2) \times (ar^3) \times (ar^4)$
$P = a^5 \times r^{(1+2+3+4)} = a^5 \times r^{10}$
$P = (ar^2)^5$
$ar^2 = 4$ का मान रखने पर:
$P = 4^5$.

(D) दिया गया समीकरण $|x|^2 - 3|x| + 2 = 0$ है।
माना $|x| = t$,जहाँ $t \ge 0$ है।
समीकरण $t^2 - 3t + 2 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t - 1)(t - 2) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $t = 1$ या $t = 2$ मिलता है।
चूँकि $t = |x|$,इसलिए $|x| = 1$ या $|x| = 2$ है।
$|x| = 1$ के लिए,हल $x = 1$ और $x = -1$ हैं।
$|x| = 2$ के लिए,हल $x = 2$ और $x = -2$ हैं।
अतः,वास्तविक हल $x \in \{1, -1, 2, -2\}$ हैं।
वास्तविक हलों की कुल संख्या $4$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $e^{\sin x} - e^{-\sin x} - 4 = 0$
माना $y = e^{\sin x}$। चूंकि $e^{-\sin x} = \frac{1}{y}$,समीकरण होगा:
$y - \frac{1}{y} - 4 = 0$
$y$ से गुणा करने पर $(y \neq 0)$:
$y^2 - 4y - 1 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
$y = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$
चूंकि $y = e^{\sin x} > 0$,इसलिए $y = 2 + \sqrt{5}$ होगा।
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\sin x = \ln(2 + \sqrt{5})$
यहाँ $\ln(2 + \sqrt{5}) > 1$ है,और $\sin x$ का मान $1$ से अधिक नहीं हो सकता।
अतः,कोई वास्तविक हल संभव नहीं है।

(C) माना $\alpha$ समीकरणों $ax^2 + bx + c = 0$ और $bx^2 + cx + a = 0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः $a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$ और $b\alpha^2 + c\alpha + a = 0$.
वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{\alpha^2}{ab - c^2} = \frac{\alpha}{bc - a^2} = \frac{1}{ac - b^2}$
पहले दो अनुपातों से,$\alpha = \frac{bc - a^2}{ab - c^2}$.
अंतिम दो अनुपातों से,$\alpha = \frac{ac - b^2}{bc - a^2}$.
$\alpha$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$(bc - a^2)^2 = (ab - c^2)(ac - b^2)$
$a^4 + ab^3 + ac^3 = 3a^2bc$
चूँकि $a \neq 0$,$a$ से विभाजित करने पर $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{a^3 + b^3 + c^3}{abc} = 3$.

(A) कुल $10$ अंक हैं: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$।
$9$ अंकों की संख्या में पहले स्थान पर $0$ नहीं हो सकता।
$10$ में से $9$ अलग अंकों को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $^{10}P_9 = \frac{10!}{1!} = 10!$ हैं।
हालाँकि,इसमें वे संख्याएँ शामिल हैं जिनमें पहले स्थान पर $0$ है। यदि पहले स्थान पर $0$ निश्चित है,तो शेष $8$ स्थानों पर शेष $9$ अंकों में से $8$ अंकों को व्यवस्थित करना होगा,जो $^9P_8 = \frac{9!}{1!} = 9!$ है।
अतः,सभी अंक अलग होने वाली $9$ अंकों की संख्याएँ = $^{10}P_9 - ^9P_8 = 10! - 9! = (10 - 1) \times 9! = 9 \times 9!$।

(A) माना $f(n) = 7^{2n} + 2^{3n-3} \cdot 3^{n-1}$ है।
$n = 1$ के लिए,$f(1) = 7^{2(1)} + 2^{3(1)-3} \cdot 3^{1-1} = 7^2 + 2^0 \cdot 3^0 = 49 + 1 = 50$ है।
$n = 2$ के लिए,$f(2) = 7^{2(2)} + 2^{3(2)-3} \cdot 3^{2-1} = 7^4 + 2^3 \cdot 3^1 = 2401 + 8 \cdot 3 = 2401 + 24 = 2425$ है।
चूंकि $50$ और $2425$ दोनों $25$ से विभाज्य हैं,इसलिए यह व्यंजक हमेशा $25$ से विभाज्य है।

(C) किसी बहुपद $P(x)$ के विस्तार में गुणांकों का योग ज्ञात करने के लिए,हम $x = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं।
दी गई व्यंजक $(1 + x - 3x^2)^{2163}$ में $x = 1$ रखने पर,
गुणांकों का योग $= (1 + 1 - 3(1)^2)^{2163}$
$= (1 + 1 - 3)^{2163}$
$= (-1)^{2163}$
चूंकि $2163$ एक विषम संख्या है,इसलिए $(-1)^{2163} = -1$ होगा।

(C) हम जानते हैं कि $\sin 54^\circ = \cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ है।
व्यंजक $E = \sin 12^\circ \sin 48^\circ \sin 54^\circ$ पर विचार करें।
सूत्र $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करते हुए:
$E = \frac{1}{2} [\cos(48^\circ - 12^\circ) - \cos(48^\circ + 12^\circ)] \sin 54^\circ$
$E = \frac{1}{2} [\cos 36^\circ - \cos 60^\circ] \sin 54^\circ$
चूंकि $\sin 54^\circ = \cos 36^\circ$ और $\cos 60^\circ = 1/2$ है:
$E = \frac{1}{2} [\cos 36^\circ - 1/2] \cos 36^\circ$
$E = \frac{1}{2} [\cos^2 36^\circ - \frac{1}{2} \cos 36^\circ]$
$\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{1}{2} [(\frac{\sqrt{5}+1}{4})^2 - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{5}+1}{4})]$
$E = \frac{1}{2} [\frac{6+2\sqrt{5}}{16} - \frac{2\sqrt{5}+2}{16}]$
$E = \frac{1}{2} [\frac{4}{16}] = \frac{1}{8}$.

(B) रेखा $(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$ और $(a \cos \beta, a \sin \beta)$ से होकर गुजरती है।
इसका समीकरण $x \cos \frac{\alpha + \beta}{2} + y \sin \frac{\alpha + \beta}{2} = a \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से रेखा $x \cos \theta + y \sin \theta = p$ पर लंब के पाद के निर्देशांक $(p \cos \theta, p \sin \theta)$ होते हैं।
यहाँ,$p = a \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ और $\theta = \frac{\alpha + \beta}{2}$ है।
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $\left( a \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2}, a \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \right)$ हैं।
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ और $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{a}{2} [\cos \alpha + \cos \beta]$ और $y = \frac{a}{2} [\sin \alpha + \sin \beta]$ प्राप्त होता है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(B) माना दो निश्चित समतलीय बिंदु $A(0, 0)$ और $B(a, 0)$ हैं।
गतिमान बिंदु $P$ को $(x, y)$ मानिए।
दी गई शर्त के अनुसार,दूरियों का अनुपात अचर $\lambda$ है:
$\frac{PA}{PB} = \lambda \implies \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{\sqrt{(x-a)^2 + y^2}} = \lambda$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x^2 + y^2 = \lambda^2 ((x-a)^2 + y^2)$
$x^2 + y^2 = \lambda^2 (x^2 - 2ax + a^2 + y^2)$
$(1 - \lambda^2)x^2 + (1 - \lambda^2)y^2 + 2a\lambda^2 x - a^2\lambda^2 = 0$
चूंकि $\lambda \ne 1$,हम $(1 - \lambda^2)$ से विभाजित कर सकते हैं:
$x^2 + y^2 + \frac{2a\lambda^2}{1 - \lambda^2}x - \frac{a^2\lambda^2}{1 - \lambda^2} = 0$
यह वृत्त का सामान्य समीकरण है। अतः,बिंदुपथ एक वृत्त है।

(B) माना $A = (a, 0)$,$B = (-a, 0)$,और $P = (x, y)$ है।
दी गई शर्त $\frac{PA}{PB} = k$ से,$\frac{PA^2}{PB^2} = k^2$ प्राप्त होता है।
निर्देशांक रखने पर,$\frac{(x - a)^2 + y^2}{(x + a)^2 + y^2} = k^2$।
$(x - a)^2 + y^2 = k^2((x + a)^2 + y^2)$।
$(x^2 - 2ax + a^2 + y^2) = k^2(x^2 + 2ax + a^2 + y^2)$।
$(x^2 + y^2)(1 - k^2) - 2ax(1 + k^2) + a^2(1 - k^2) = 0$।
यदि $k = 1$ है,तो समीकरण $-4ax = 0$ हो जाता है,जो एक सीधी रेखा (लंब समद्विभाजक) को दर्शाता है,वृत्त को नहीं।
इसलिए,बिंदु पथ के वृत्त होने के लिए $k$ का मान $1$ नहीं हो सकता है।

(D) चरण $1$: दो महिलाएं $1$ से $4$ तक चिह्नित कुर्सियों में से अपनी कुर्सी चुनती हैं। चूंकि चयन का क्रम मायने रखता है,इसलिए तरीकों की संख्या $^4{P_2} = 4 \times 3 = 12$ है।
चरण $2$: महिलाओं द्वारा $2$ कुर्सियां लेने के बाद,$8 - 2 = 6$ कुर्सियां शेष बचती हैं।
चरण $3$: तीन पुरुष शेष $6$ कुर्सियों में से अपनी कुर्सी चुनते हैं। तरीकों की संख्या $^6{P_3} = 6 \times 5 \times 4 = 120$ है।
चरण $4$: कुल व्यवस्थाओं की संख्या $^4{P_2} \times ^6{P_3} = 12 \times 120 = 1440$ है।
अतः सही विकल्प $(d)$ है।

(B) मान लीजिए $N_i$ उन छात्रों की संख्या है जिन्होंने ठीक $i$ गलत उत्तर दिए हैं।
चूंकि किसी भी छात्र ने $k$ से अधिक गलत उत्तर नहीं दिए हैं,इसलिए गलत उत्तरों की कुल संख्या $\sum_{i=1}^{k} i \cdot N_i$ है।
हमें दिया गया है कि $a_i$ उन छात्रों की संख्या है जिन्होंने कम से कम $i$ गलत उत्तर दिए हैं।
अतः,$a_i = N_i + N_{i+1} + \dots + N_k$।
इसका अर्थ है कि $N_i = a_i - a_{i+1}$ जहाँ $i < k$ और $N_k = a_k$ है।
गलत उत्तरों की कुल संख्या $1 \cdot N_1 + 2 \cdot N_2 + \dots + k \cdot N_k$ है।
$N_i$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$= 1(a_1 - a_2) + 2(a_2 - a_3) + \dots + (k-1)(a_{k-1} - a_k) + k(a_k)$
$= a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_k$.

(D) रेखा का दिया गया समीकरण $ax + by + c = 0$ है।
हमें शर्त $3a + 2b + 4c = 0$ दी गई है।
इस शर्त को $4$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{3}{4}a + \frac{2}{4}b + c = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{3}{4}a + \frac{1}{2}b + c = 0$ हो जाता है।
इसकी तुलना समीकरण $ax + by + c = 0$ से करने पर,हम देख सकते हैं कि $a, b, c$ के सभी मानों के लिए रेखाएँ एक निश्चित बिंदु $(x, y) = (3/4, 1/2)$ से होकर गुजरती हैं।
अतः,रेखाएँ बिंदु $(3/4, 1/2)$ पर संगामी हैं।

(B) का मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग कर सकते हैं क्योंकि दिया गया समीकरण $x$ के सभी मानों के लिए सत्य है।
मान लीजिए $x = 1$ है।
सारणिक में $x = 1$ रखने पर:
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{1^2} + 1}&{1 + 1}&{1 - 2}\\ {2(1)^2 + 3(1) - 1}&{3(1)}&{3(1) - 3}\\ {{1^2} + 2(1) + 3}&{2(1) - 1}&{2(1) - 1}\end{array}} \right| = A(1) - 12$
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&2&{ - 1}\\ 4&3&0\\ 6&1&1\end{array}} \right| = A - 12$
अब,सारणिक का मान ज्ञात करें:
$2(3 \times 1 - 0 \times 1) - 2(4 \times 1 - 0 \times 6) + (-1)(4 \times 1 - 3 \times 6) = A - 12$
$2(3) - 2(4) - 1(4 - 18) = A - 12$
$6 - 8 + 14 = A - 12$
$12 = A - 12$
$A = 24$.

(A) माना $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{array} \right|$.
सारणिक का विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = a(cb - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ba - c^2)$
$= abc - a^3 - b^3 + abc + abc - c^3$
$= 3abc - (a^3 + b^3 + c^3)$
$= -(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc)$.
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है:
$\Delta = -(a + b + c) \times \frac{1}{2} [(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2]$.
चूंकि $a, b, c$ धनात्मक हैं,इसलिए $(a + b + c) > 0$ है। चूंकि $a, b, c$ सभी समान नहीं हैं,इसलिए $(a - b)^2, (b - c)^2, (c - a)^2$ में से कम से कम एक पद धनात्मक होगा,अतः वर्गों का योग धनात्मक है।
इसलिए,$\Delta$ ऋणात्मक है।

(D) दिया गया सदिश समीकरण: $(x + 3y - 4z)i + (x - 3y + 5z)j + (3x + y)k = \lambda xi + \lambda yj + \lambda zk$.
दोनों पक्षों में $i, j,$ और $k$ के गुणांकों की तुलना करने पर, हमें रैखिक समीकरणों की प्रणाली प्राप्त होती है:
$(1 - \lambda)x + 3y - 4z = 0$ ... $(i)$
$x - (3 + \lambda)y + 5z = 0$ ... $(ii)$
$3x + y - \lambda z = 0$ ... $(iii)$
चूंकि $(x, y, z) \ne (0, 0, 0)$, प्रणाली का एक गैर-तुच्छ हल है, जिसका अर्थ है कि गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 - \lambda & 3 & -4 \\ 1 & -(3 + \lambda) & 5 \\ 3 & 1 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-\lambda^3 - 2\lambda^2 - \lambda = 0$
$-\lambda(\lambda + 1)^2 = 0$
अतः, $\lambda = 0, -1$ प्राप्त होता है।

(D) अदिश त्रिक गुणनफल की परिभाषा के अनुसार $|(a \times b) \cdot c| = |a| |b| |c| |\sin \theta| |\cos \alpha|$,जहाँ $\theta$,$a$ और $b$ के बीच का कोण है,और $\alpha$,$(a \times b)$ और $c$ के बीच का कोण है।
दिया गया है कि $|(a \times b) \cdot c| = |a| |b| |c|$,इसलिए $|\sin \theta| |\cos \alpha| = 1$ है।
चूंकि $|\sin \theta|$ और $|\cos \alpha|$ का अधिकतम मान $1$ होता है,यह समानता तभी संभव है जब $|\sin \theta| = 1$ और $|\cos \alpha| = 1$ हो।
$|\sin \theta| = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है कि $a \perp b$ $(a \cdot b = 0)$।
$|\cos \alpha| = 1 \Rightarrow \alpha = 0$ या $\pi$,जिसका अर्थ है कि $c$ सदिश $(a \times b)$ के समानांतर है।
चूंकि $(a \times b)$,$a$ और $b$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $c$ को भी $a$ और $b$ दोनों के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$c \perp a$ $(c \cdot a = 0)$ और $c \perp b$ $(c \cdot b = 0)$।
इस प्रकार,$a, b, c$ परस्पर लंबवत हैं,जिसका अर्थ है कि $a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = 0$।

(D) दिया गया है $y = f\left( \frac{2x - 1}{x^2 + 1} \right).$ मान लीजिए $t = \frac{2x - 1}{x^2 + 1}.$
श्रृंखला नियम (chain rule) के अनुसार,$\frac{dy}{dx} = f'(t) \cdot \frac{dt}{dx}.$
चूंकि $f'(x) = \sin(x^2),$ इसलिए $f'(t) = \sin(t^2) = \sin \left( \frac{2x - 1}{x^2 + 1} \right)^2.$
अब,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $\frac{dt}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dt}{dx} = \frac{(x^2 + 1)(2) - (2x - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2 - 4x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2x^2 + 2x + 2}{(x^2 + 1)^2}.$
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^2 + 2x + 2}{(x^2 + 1)^2} \sin \left( \frac{2x - 1}{x^2 + 1} \right)^2.$

(B) माना $I = \int_0^\pi x f(\sin x) dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) f(\sin(\pi - x)) dx$.
चूँकि $\sin(\pi - x) = \sin x$,यह इस प्रकार हो जाता है:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) f(\sin x) dx = \pi \int_0^\pi f(\sin x) dx - \int_0^\pi x f(\sin x) dx$.
$I = \pi \int_0^\pi f(\sin x) dx - I$.
$2I = \pi \int_0^\pi f(\sin x) dx$.
$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(\sin x) dx$.

(A) $2$ क्रम का सारणिक $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ द्वारा दिया जाता है।
प्रत्येक अवयव $0$ या $1$ हो सकता है,इसलिए कुल $2^4 = 16$ संभावित सारणिक हैं।
सारणिक का मान $ad - bc$ है।
मान धनात्मक होने के लिए,$ad - bc > 0$,जिसका अर्थ है $ad > bc$।
चूंकि $a, b, c, d \in \{0, 1\}$,$ad$ और $bc$ के संभावित मान $0$ या $1$ हैं।
$ad - bc = 1$ तब होता है जब $ad = 1$ और $bc = 0$ हो।
$ad = 1$ का अर्थ है $a=1$ और $d=1$।
$bc = 0$ का अर्थ है $(b, c) \in \{(0, 0), (0, 1), (1, 0)\}$।
ये स्थितियाँ निम्नलिखित हैं:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$,
$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1$,
$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$।
ऐसे $3$ मामले हैं।
अतः,प्रायिकता $\frac{3}{16}$ है।

(C) सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,हमारे पास है:
$P\left( \frac{\overline{A}}{\overline{B}} \right) = \frac{P(\overline{A} \cap \overline{B})}{P(\overline{B})}$
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$।
इसलिए,$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P\left( \frac{\overline{A}}{\overline{B}} \right) = \frac{1 - P(A \cup B)}{P(\overline{B})}$