IIT JEE 1982 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) સૌ પ્રથમ,કૌંસની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપો:
$\frac{1 + i}{1 - i} = \frac{1 + i}{1 - i} \times \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(1 + i)^2}{1^2 - i^2} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 - (-1)} = \frac{1 + 2i - 1}{2} = \frac{2i}{2} = i$
આપેલ છે કે ${\left( \frac{1 + i}{1 - i} \right)^m} = 1$,તેથી:
$i^m = 1$
આપણે જાણીએ છીએ કે $i$ ની ઘાતનું ચક્ર $i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1$ છે.
તેથી,$m$ ની ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક કિંમત જેના માટે $i^m = 1$ થાય તે $m = 4$ છે.

(D) આપેલ અસમતા: $|z - 4| < |z - 2|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $|z - 4|^2 < |z - 2|^2$
ધારો કે $z = x + iy$. તેથી $|(x - 4) + iy|^2 < |(x - 2) + iy|^2$
$(x - 4)^2 + y^2 < (x - 2)^2 + y^2$
$x^2 - 8x + 16 + y^2 < x^2 - 4x + 4 + y^2$
$-8x + 16 < -4x + 4$
$12 < 4x$
$x > 3$
અહીં $x = \text{Re}(z)$ હોવાથી,પ્રદેશ $\text{Re}(z) > 3$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $\left| \frac{z - 5i}{z + 5i} \right| = 1$ છે.
$z = x + iy$ મૂકતા,આપણને $\left| \frac{x + i(y - 5)}{x + i(y + 5)} \right| = 1$ મળે છે.
ગુણધર્મ $\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ નો ઉપયોગ કરતા,$|x + i(y - 5)| = |x + i(y + 5)|$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 + (y - 5)^2 = x^2 + (y + 5)^2$ મળે.
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + y^2 - 10y + 25 = x^2 + y^2 + 10y + 25$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $-10y = 10y$,જેનો અર્થ છે $20y = 0$,તેથી $y = 0$.
સમીકરણ $y = 0$ એ વાસ્તવિક અક્ષ દર્શાવે છે.

(A) આપેલ છે કે $a_1, a_2, a_3, ......., a_n$ એ સામાન્ય તફાવત $d = a_{i+1} - a_i$ સાથે $A.P.$ માં છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a_n = a_1 + (n - 1)d$,જેનો અર્થ છે કે $d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}$.
દરેક પદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{1}{\sqrt{a_i} + \sqrt{a_{i+1}}} = \frac{\sqrt{a_{i+1}} - \sqrt{a_i}}{a_{i+1} - a_i} = \frac{\sqrt{a_{i+1}} - \sqrt{a_i}}{d}$.
$i = 1$ થી $n-1$ સુધીના પદોનો સરવાળો કરતા:
$\sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{a_i} + \sqrt{a_{i+1}}} = \frac{1}{d} ((\sqrt{a_2} - \sqrt{a_1}) + (\sqrt{a_3} - \sqrt{a_2}) + ....... + (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_{n-1}}))$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે,જેનું સાદું રૂપ:
$\frac{1}{d} (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1})$.
$d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}$ મૂકતા:
$= \frac{n - 1}{a_n - a_1} (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1}) = \frac{n - 1}{(\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1})(\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1})} (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1}) = \frac{n - 1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1}}$.

(C) ધારો કે $G.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
આપેલ છે કે ત્રીજું પદ $T_3 = ar^2 = 4$.
આપણે પ્રથમ $5$ પદોનો ગુણાકાર શોધવો છે:
$P = a \times (ar) \times (ar^2) \times (ar^3) \times (ar^4)$
$P = a^5 \times r^{(1+2+3+4)} = a^5 \times r^{10}$
$P = (ar^2)^5$
$ar^2 = 4$ ની કિંમત મૂકતા:
$P = 4^5$.

(D) આપેલ સમીકરણ $|x|^2 - 3|x| + 2 = 0$ છે.
ધારો કે $|x| = t$,જ્યાં $t \ge 0$.
સમીકરણ $t^2 - 3t + 2 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t - 1)(t - 2) = 0$.
આથી $t = 1$ અથવા $t = 2$ મળે.
$t = |x|$ હોવાથી,$|x| = 1$ અથવા $|x| = 2$ મળે.
$|x| = 1$ માટે,ઉકેલો $x = 1$ અને $x = -1$ છે.
$|x| = 2$ માટે,ઉકેલો $x = 2$ અને $x = -2$ છે.
આમ,વાસ્તવિક ઉકેલો $x \in \{1, -1, 2, -2\}$ છે.
વાસ્તવિક ઉકેલોની કુલ સંખ્યા $4$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $e^{\sin x} - e^{-\sin x} - 4 = 0$
ધારો કે $y = e^{\sin x}$. તેથી $e^{-\sin x} = \frac{1}{y}$,સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$y - \frac{1}{y} - 4 = 0$
$y$ વડે ગુણતા $(y \neq 0)$:
$y^2 - 4y - 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$
$y = e^{\sin x} > 0$ હોવાથી,$y = 2 + \sqrt{5}$ લેતા.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\sin x = \ln(2 + \sqrt{5})$
અહીં $\ln(2 + \sqrt{5}) > 1$ છે,અને $\sin x$ ની કિંમત $1$ થી વધુ હોઈ શકે નહીં.
તેથી,કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ શક્ય નથી.

(C) ધારો કે $\alpha$ એ $ax^2 + bx + c = 0$ અને $bx^2 + cx + a = 0$ સમીકરણોનું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી $a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$ અને $b\alpha^2 + c\alpha + a = 0$.
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\alpha^2}{ab - c^2} = \frac{\alpha}{bc - a^2} = \frac{1}{ac - b^2}$
પ્રથમ બે ગુણોત્તર પરથી,$\alpha = \frac{bc - a^2}{ab - c^2}$.
છેલ્લા બે ગુણોત્તર પરથી,$\alpha = \frac{ac - b^2}{bc - a^2}$.
$\alpha$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા:
$(bc - a^2)^2 = (ab - c^2)(ac - b^2)$
$a^4 + ab^3 + ac^3 = 3a^2bc$
$a \neq 0$ હોવાથી,$a$ વડે ભાગતા $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ મળે.
તેથી,$\frac{a^3 + b^3 + c^3}{abc} = 3$.

(A) કુલ $10$ અંકો છે: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.
$9$ અંકની સંખ્યામાં પ્રથમ સ્થાને $0$ ન હોઈ શકે.
$10$ માંથી $9$ અલગ અંકો ગોઠવવાની કુલ રીતો $^{10}P_9 = \frac{10!}{1!} = 10!$ છે.
જોકે,આમાં એવી સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે જેમાં પ્રથમ સ્થાને $0$ હોય. જો પ્રથમ સ્થાને $0$ નિશ્ચિત હોય,તો બાકીના $8$ સ્થાનો પર બાકીના $9$ અંકોમાંથી $8$ અંકો ગોઠવવા પડે,જે $^9P_8 = \frac{9!}{1!} = 9!$ થાય.
તેથી,બધા અંકો અલગ હોય તેવી $9$ અંકની સંખ્યાઓ = $^{10}P_9 - ^9P_8 = 10! - 9! = (10 - 1) \times 9! = 9 \times 9!$.

(A) ધારો કે $f(n) = 7^{2n} + 2^{3n-3} \cdot 3^{n-1}$.
$n = 1$ માટે,$f(1) = 7^{2(1)} + 2^{3(1)-3} \cdot 3^{1-1} = 7^2 + 2^0 \cdot 3^0 = 49 + 1 = 50$.
$n = 2$ માટે,$f(2) = 7^{2(2)} + 2^{3(2)-3} \cdot 3^{2-1} = 7^4 + 2^3 \cdot 3^1 = 2401 + 8 \cdot 3 = 2401 + 24 = 2425$.
$50$ અને $2425$ બંને $25$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,આ પદાવલિ હંમેશા $25$ વડે વિભાજ્ય છે.

(C) બહુપદી $P(x)$ ના વિસ્તરણમાં સહગુણકોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે $x = 1$ મૂકીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ $(1 + x - 3x^2)^{2163}$ માં $x = 1$ મૂકતા,
સહગુણકોનો સરવાળો $= (1 + 1 - 3(1)^2)^{2163}$
$= (1 + 1 - 3)^{2163}$
$= (-1)^{2163}$
અહીં $2163$ એ એકી સંખ્યા હોવાથી,$(-1)^{2163} = -1$ થાય.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 54^\circ = \cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$.
પદાવલિ $E = \sin 12^\circ \sin 48^\circ \sin 54^\circ$ ધ્યાનમાં લો.
સૂત્ર $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1}{2} [\cos(48^\circ - 12^\circ) - \cos(48^\circ + 12^\circ)] \sin 54^\circ$
$E = \frac{1}{2} [\cos 36^\circ - \cos 60^\circ] \sin 54^\circ$
$\sin 54^\circ = \cos 36^\circ$ અને $\cos 60^\circ = 1/2$ હોવાથી:
$E = \frac{1}{2} [\cos 36^\circ - 1/2] \cos 36^\circ$
$E = \frac{1}{2} [\cos^2 36^\circ - \frac{1}{2} \cos 36^\circ]$
$\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} [(\frac{\sqrt{5}+1}{4})^2 - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{5}+1}{4})]$
$E = \frac{1}{2} [\frac{6+2\sqrt{5}}{16} - \frac{2\sqrt{5}+2}{16}]$
$E = \frac{1}{2} [\frac{4}{16}] = \frac{1}{8}$.

(B) રેખા $(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$ અને $(a \cos \beta, a \sin \beta)$ માંથી પસાર થાય છે.
તેનું સમીકરણ $x \cos \frac{\alpha + \beta}{2} + y \sin \frac{\alpha + \beta}{2} = a \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી રેખા $x \cos \theta + y \sin \theta = p$ પરના લંબપાદના યામ $(p \cos \theta, p \sin \theta)$ છે.
અહીં,$p = a \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ અને $\theta = \frac{\alpha + \beta}{2}$ છે.
આમ,લંબપાદના યામ $\left( a \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2}, a \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \right)$ થાય.
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ અને $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{a}{2} [\cos \alpha + \cos \beta]$ અને $y = \frac{a}{2} [\sin \alpha + \sin \beta]$ મળે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ધારો કે બે નિશ્ચિત સમતલીય બિંદુઓ $A(0, 0)$ અને $B(a, 0)$ છે.
ગતિમાન બિંદુ $P(x, y)$ લો.
આપેલ શરત મુજબ,અંતરનો ગુણોત્તર અચળ $\lambda$ છે:
$\frac{PA}{PB} = \lambda \implies \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{\sqrt{(x-a)^2 + y^2}} = \lambda$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x^2 + y^2 = \lambda^2 ((x-a)^2 + y^2)$
$x^2 + y^2 = \lambda^2 (x^2 - 2ax + a^2 + y^2)$
$(1 - \lambda^2)x^2 + (1 - \lambda^2)y^2 + 2a\lambda^2 x - a^2\lambda^2 = 0$
અહીં $\lambda \ne 1$ હોવાથી,$(1 - \lambda^2)$ વડે ભાગતા:
$x^2 + y^2 + \frac{2a\lambda^2}{1 - \lambda^2}x - \frac{a^2\lambda^2}{1 - \lambda^2} = 0$
આ વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ છે. તેથી,બિંદુપથ એક વર્તુળ છે.

(B) ધારો કે $A = (a, 0)$,$B = (-a, 0)$,અને $P = (x, y)$.
આપેલ શરત $\frac{PA}{PB} = k$ પરથી,$\frac{PA^2}{PB^2} = k^2$ મળે.
યામ મૂકતા,$\frac{(x - a)^2 + y^2}{(x + a)^2 + y^2} = k^2$.
$(x - a)^2 + y^2 = k^2((x + a)^2 + y^2)$.
$(x^2 - 2ax + a^2 + y^2) = k^2(x^2 + 2ax + a^2 + y^2)$.
$(x^2 + y^2)(1 - k^2) - 2ax(1 + k^2) + a^2(1 - k^2) = 0$.
જો $k = 1$ હોય,તો સમીકરણ $-4ax = 0$ બને છે,જે એક સીધી રેખા (લંબ દ્વિભાજક) દર્શાવે છે,વર્તુળ નહીં.
તેથી,બિંદુઓનો પથ વર્તુળ હોય તે માટે $k$ ની કિંમત $1$ ન હોવી જોઈએ.

(D) પગલું $1$: બે મહિલાઓ $1$ થી $4$ નંબરની ખુરશીઓમાંથી તેમની ખુરશી પસંદ કરે છે. ક્રમ મહત્વનો હોવાથી,રીતોની સંખ્યા $^4{P_2} = 4 \times 3 = 12$ છે.
પગલું $2$: મહિલાઓએ $2$ ખુરશીઓ રોક્યા પછી,$8 - 2 = 6$ ખુરશીઓ બાકી રહે છે.
પગલું $3$: ત્રણ પુરુષો બાકીની $6$ ખુરશીઓમાંથી તેમની ખુરશી પસંદ કરે છે. રીતોની સંખ્યા $^6{P_3} = 6 \times 5 \times 4 = 120$ છે.
પગલું $4$: કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $^4{P_2} \times ^6{P_3} = 12 \times 120 = 1440$ છે.
આથી સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) ધારો કે $N_i$ એ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે જેમણે બરાબર $i$ ખોટા જવાબ આપ્યા છે.
કોઈ પણ વિદ્યાર્થીએ $k$ કરતા વધુ ખોટા જવાબ આપ્યા નથી,તેથી ખોટા જવાબોની કુલ સંખ્યા $\sum_{i=1}^{k} i \cdot N_i$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $a_i$ એ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે જેમણે ઓછામાં ઓછા $i$ ખોટા જવાબ આપ્યા છે.
તેથી,$a_i = N_i + N_{i+1} + \dots + N_k$.
આનો અર્થ એ છે કે $N_i = a_i - a_{i+1}$ જ્યાં $i < k$ અને $N_k = a_k$.
ખોટા જવાબોની કુલ સંખ્યા $1 \cdot N_1 + 2 \cdot N_2 + \dots + k \cdot N_k$ છે.
$N_i$ ની કિંમતો મૂકતા:
$= 1(a_1 - a_2) + 2(a_2 - a_3) + \dots + (k-1)(a_{k-1} - a_k) + k(a_k)$
$= a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_k$.

(D) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $ax + by + c = 0$ છે.
આપણને શરત $3a + 2b + 4c = 0$ આપેલી છે.
આ શરતને $4$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{3}{4}a + \frac{2}{4}b + c = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{3}{4}a + \frac{1}{2}b + c = 0$ થાય છે.
આ સમીકરણને $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $a, b, c$ ની તમામ કિંમતો માટે આ રેખાઓ નિશ્ચિત બિંદુ $(x, y) = (3/4, 1/2)$ માંથી પસાર થાય છે.
આમ,રેખાઓ બિંદુ $(3/4, 1/2)$ આગળ સંગામી છે.

(B) ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ કારણ કે આપેલ સમીકરણ $x$ ની તમામ કિંમતો માટે સાચું છે.
ધારો કે $x = 1$.
નિશ્ચાયકમાં $x = 1$ મૂકતા:
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{1^2} + 1}&{1 + 1}&{1 - 2}\\ {2(1)^2 + 3(1) - 1}&{3(1)}&{3(1) - 3}\\ {{1^2} + 2(1) + 3}&{2(1) - 1}&{2(1) - 1}\end{array}} \right| = A(1) - 12$
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&2&{ - 1}\\ 4&3&0\\ 6&1&1\end{array}} \right| = A - 12$
હવે,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધો:
$2(3 \times 1 - 0 \times 1) - 2(4 \times 1 - 0 \times 6) + (-1)(4 \times 1 - 3 \times 6) = A - 12$
$2(3) - 2(4) - 1(4 - 18) = A - 12$
$6 - 8 + 14 = A - 12$
$12 = A - 12$
$A = 24$.

(A) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{array} \right|$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = a(cb - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ba - c^2)$
$= abc - a^3 - b^3 + abc + abc - c^3$
$= 3abc - (a^3 + b^3 + c^3)$
$= -(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc)$.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = -(a + b + c) \times \frac{1}{2} [(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2]$.
કારણ કે $a, b, c$ ધન છે,તેથી $(a + b + c) > 0$. કારણ કે $a, b, c$ બધા સમાન નથી,તેથી $(a - b)^2, (b - c)^2, (c - a)^2$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક પદ ધન હશે,તેથી વર્ગોનો સરવાળો ધન છે.
તેથી,$\Delta$ ઋણ છે.

(D) આપેલ સદિશ સમીકરણ: $(x + 3y - 4z)i + (x - 3y + 5z)j + (3x + y)k = \lambda xi + \lambda yj + \lambda zk$.
બંને બાજુ $i, j,$ અને $k$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા, આપણને સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$(1 - \lambda)x + 3y - 4z = 0$ ... $(i)$
$x - (3 + \lambda)y + 5z = 0$ ... $(ii)$
$3x + y - \lambda z = 0$ ... $(iii)$
કારણ કે $(x, y, z) \ne (0, 0, 0)$, આ સિસ્ટમનો ઉકેલ શૂન્યતર છે, જેનો અર્થ છે કે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 1 - \lambda & 3 & -4 \\ 1 & -(3 + \lambda) & 5 \\ 3 & 1 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-\lambda^3 - 2\lambda^2 - \lambda = 0$
$-\lambda(\lambda + 1)^2 = 0$
તેથી, $\lambda = 0, -1$ મળે છે.

(D) અદિશ ત્રિગુણનફળની વ્યાખ્યા મુજબ $|(a \times b) \cdot c| = |a| |b| |c| |\sin \theta| |\cos \alpha|$,જ્યાં $\theta$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો છે,અને $\alpha$ એ $(a \times b)$ અને $c$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $|(a \times b) \cdot c| = |a| |b| |c|$,તેથી $|\sin \theta| |\cos \alpha| = 1$.
$|\sin \theta|$ અને $|\cos \alpha|$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ હોવાથી,આ સમાનતા ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $|\sin \theta| = 1$ અને $|\cos \alpha| = 1$ હોય.
$|\sin \theta| = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $a \perp b$ $(a \cdot b = 0)$.
$|\cos \alpha| = 1 \Rightarrow \alpha = 0$ અથવા $\pi$,જેનો અર્થ છે કે $c$ એ સદિશ $(a \times b)$ ને સમાંતર છે.
કારણ કે $(a \times b)$ એ $a$ અને $b$ બંનેને લંબ છે,તેથી $c$ પણ $a$ અને $b$ બંનેને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$c \perp a$ $(c \cdot a = 0)$ અને $c \perp b$ $(c \cdot b = 0)$.
આમ,$a, b, c$ પરસ્પર લંબ છે,જે સૂચવે છે કે $a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = 0$.

(D) આપેલ છે કે $y = f\left( \frac{2x - 1}{x^2 + 1} \right).$ ધારો કે $t = \frac{2x - 1}{x^2 + 1}.$
ચેઈન રૂલ મુજબ,$\frac{dy}{dx} = f'(t) \cdot \frac{dt}{dx}.$
કારણ કે $f'(x) = \sin(x^2),$ તેથી $f'(t) = \sin(t^2) = \sin \left( \frac{2x - 1}{x^2 + 1} \right)^2.$
હવે,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $\frac{dt}{dx}$ શોધો:
$\frac{dt}{dx} = \frac{(x^2 + 1)(2) - (2x - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2 - 4x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2x^2 + 2x + 2}{(x^2 + 1)^2}.$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^2 + 2x + 2}{(x^2 + 1)^2} \sin \left( \frac{2x - 1}{x^2 + 1} \right)^2.$

(B) ધારો કે $I = \int_0^\pi x f(\sin x) dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) f(\sin(\pi - x)) dx$.
કારણ કે $\sin(\pi - x) = \sin x$,આ પદ નીચે મુજબ થશે:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) f(\sin x) dx = \pi \int_0^\pi f(\sin x) dx - \int_0^\pi x f(\sin x) dx$.
$I = \pi \int_0^\pi f(\sin x) dx - I$.
$2I = \pi \int_0^\pi f(\sin x) dx$.
$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(\sin x) dx$.

(A) $2$ ક્રમનો નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દરેક ઘટક $0$ અથવા $1$ હોઈ શકે છે,તેથી કુલ $2^4 = 16$ શક્ય નિશ્ચાયકો છે.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $ad - bc$ છે.
મૂલ્ય ધન હોવા માટે,$ad - bc > 0$,જેનો અર્થ છે $ad > bc$.
$a, b, c, d \in \{0, 1\}$ હોવાથી,$ad$ અને $bc$ ની શક્ય કિંમતો $0$ અથવા $1$ છે.
$ad - bc = 1$ ત્યારે થાય છે જ્યારે $ad = 1$ અને $bc = 0$.
$ad = 1$ નો અર્થ છે $a=1$ અને $d=1$.
$bc = 0$ નો અર્થ છે $(b, c) \in \{(0, 0), (0, 1), (1, 0)\}$.
આ કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છે:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$,
$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1$,
$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$.
આવા $3$ કિસ્સાઓ છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{3}{16}$ છે.

(C) શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,આપણી પાસે છે:
$P\left( \frac{\overline{A}}{\overline{B}} \right) = \frac{P(\overline{A} \cap \overline{B})}{P(\overline{B})}$
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$.
તેથી,$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$P\left( \frac{\overline{A}}{\overline{B}} \right) = \frac{1 - P(A \cup B)}{P(\overline{B})}$