IIT JEE 1982 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_i = 5\hat{i}\,m/s$.
અંતિમ વેગ $\vec{v}_f = 5\hat{j}\,m/s$.
વેગમાં ફેરફાર $\Delta \vec{v} = \vec{v}_f - \vec{v}_i = 5\hat{j} - 5\hat{i}$.
વેગમાં ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\,m/s$.
$\Delta \vec{v}$ ની દિશા ઉત્તર-પશ્ચિમ છે (કારણ કે તે $-\hat{i} + \hat{j}$ ની દિશામાં છે).
સરેરાશ પ્રવેગ $\vec{a}_{avg} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{5\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,m/s^2$.
આમ,સરેરાશ પ્રવેગ ઉત્તર-પશ્ચિમ દિશામાં $\frac{1}{\sqrt{2}}\,m/s^2$ છે.

(D) દ્રઢતા મોડ્યુલસ $(\eta)$ એ શીયર સ્ટ્રેસ (shear stress) અને શીયર સ્ટ્રેન (shear strain) ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
શીયર સ્ટ્રેસ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,તેથી તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[F]/[A] = [MLT^{-2}]/[L^2] = [ML^{-1}T^{-2}]$ છે.
શીયર સ્ટ્રેન એ પરિમાણરહિત રાશિ છે કારણ કે તે બે લંબાઈનો ગુણોત્તર છે.
તેથી,દ્રઢતા મોડ્યુલસનું પારિમાણિક સૂત્ર સ્ટ્રેસ જેવું જ છે,જે $[ML^{-1}T^{-2}]$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે $l$ એ ગરગડીથી દળ $M$ સુધીની દોરીની લંબાઈ છે. આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે સંબંધ $l^2 = b^2 + y^2$ છે,જ્યાં $b$ એ ગરગડીથી દળની ઉભી ધરી સુધીનું આડું અંતર છે,અને $y$ એ ગરગડીઓને જોડતી રેખાથી દળનું ઉભું અંતર છે.
દોરી અસ્થિતિસ્થાપક હોવાથી અને છેડા $P$ અને $Q$ ઝડપ $U$ થી નીચે તરફ ગતિ કરતા હોવાથી,દોરીના ભાગની લંબાઈ $l$ એ $U$ ના દરે ઘટે છે. તેથી,$\frac{dl}{dt} = -U$.
સંબંધ $l^2 = b^2 + y^2$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2l \frac{dl}{dt} = 2b \frac{db}{dt} + 2y \frac{dy}{dt}$.
ગરગડીઓ સ્થિર હોવાથી,આડું અંતર $b$ અચળ રહે છે,તેથી $\frac{db}{dt} = 0$.
સમીકરણમાં $\frac{dl}{dt} = -U$ અને $\frac{db}{dt} = 0$ મૂકતા:
$2l(-U) = 2y \frac{dy}{dt}$.
દળની ઉભી ઝડપ $v_y = \frac{dy}{dt}$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{dy}{dt} = -\frac{l}{y} U$.
બનેલા ત્રિકોણ પરથી,$\cos \theta = \frac{y}{l}$,તેથી $\frac{l}{y} = \frac{1}{\cos \theta}$.
તેથી,દળ $M$ ની ઝડપ $v = |\frac{dy}{dt}| = \frac{U}{\cos \theta}$ છે.

(A) પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થ પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F_B = V \rho_{\text{liquid}} (g - a)$
જ્યાં $V$ એ સ્થળાંતરિત થયેલા પ્રવાહીનું કદ છે,$\rho_{\text{liquid}}$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે,અને $a$ એ સિસ્ટમનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ છે.
મુક્ત પતનના કિસ્સામાં,આખી સિસ્ટમ (બીકર અને પ્રવાહી) ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ જેટલા પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,એટલે કે $a = g$.
સૂત્રમાં $a = g$ મૂકતા:
$F_B = V \rho_{\text{liquid}} (g - g) = V \rho_{\text{liquid}} (0) = 0$.
તેથી,પદાર્થ પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ શૂન્ય છે.

(A) આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = \mu RT$ પરથી,આપણને $V = (\frac{\mu R}{P})T$ મળે છે.
$V-T$ આલેખનો ઢાળ $m = \tan \theta = \frac{V}{T} = \frac{\mu R}{P}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે ઢાળ એ દબાણના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(m \propto \frac{1}{P})$,તેથી નાનો ઢાળ એ ઊંચા દબાણને અનુરૂપ છે.
આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $\theta_1 < \theta_2$,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta_1 < \tan \theta_2$.
તેથી,$(\frac{V}{T})_1 < (\frac{V}{T})_2$.
જેમ કે $(\frac{V}{T}) \propto \frac{1}{P}$,તેથી $(\frac{1}{P})_1 < (\frac{1}{P})_2$,જે દર્શાવે છે કે $P_1 > P_2$.

(D) આપેલ સમીકરણ $y = 10^4 \sin(60t + 2x)$ ને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = a \sin(\omega t + kx)$ સાથે સરખાવતા:
$1$. $\omega t$ અને $kx$ વચ્ચે ધન ચિહ્ન હોવાથી,તરંગ ઋણ $X$-દિશામાં ગતિ કરે છે.
$2$. કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 60 \, rad/s$ છે. આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{60}{2\pi} = \frac{30}{\pi} \, Hz$ થાય.
$3$. તરંગ સંખ્યા $k = 2 \, m^{-1}$ છે. તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{2} = \pi \, m$ થાય.
$4$. તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{60}{2} = 30 \, m/s$ થાય.
આમ,તમામ વિધાનો સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) આ તંત્ર બે કણોનું બનેલું છે જે તેમના પરસ્પર આંતરિક આકર્ષણ હેઠળ ગતિ કરે છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ અચળ રહે છે.
શરૂઆતમાં,બંને કણો સ્થિર છે,જેનો અર્થ છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રારંભિક વેગ $v_{CM, initial} = 0$ છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ કોઈપણ ક્ષણે $0$ જ રહેશે.
તેથી,તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઝડપ $0$ થશે.

(A) ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ અને ક્ષેત્રફળ $A$ નો ગુણાકાર છે,એટલે કે $\phi = B \cdot A$.
લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર $F = B I L$ પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $B = \frac{F}{I L}$.
બળ $[F] = [M L T^{-2}]$,પ્રવાહ $[I] = [A]$,અને લંબાઈ $[L] = [L]$ ના પરિમાણો મૂકતા,આપણને $B$ ના પરિમાણો $[B] = \frac{[M L T^{-2}]}{[A] [L]} = [M T^{-2} A^{-1}]$ મળે છે.
હવે,ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ ના પરિમાણો $[B] \times [A] = [M T^{-2} A^{-1}] \times [L^2] = [M L^2 T^{-2} A^{-1}]$ થાય છે.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
પરિપથ $6\,V$ ની બેટરી,$2.8\,\Omega$ નો અવરોધ અને $2\,\Omega$ તથા $3\,\Omega$ ના સમાંતર જોડાણના શ્રેણી જોડાણમાં ફેરવાય છે.
સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{2 \times 3}{2 + 3} = \frac{6}{5} = 1.2\,\Omega$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 2.8 + 1.2 = 4.0\,\Omega$ છે.
બેટરી દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6}{4} = 1.5\,A$ છે.
કરંટ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$2\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{2\Omega} = I \times \frac{3}{2 + 3} = 1.5 \times \frac{3}{5} = 0.9\,A$ થાય છે.

(A) ચુંબકીય સોય એક ચુંબકીય ડાયપોલ તરીકે વર્તે છે.
અસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં,સોયના બંને ધ્રુવો પર લાગતું ચુંબકીય બળ મૂલ્ય અને દિશા બંનેમાં અલગ-અલગ હશે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર અસમાન હોવાને કારણે,ડાયપોલ પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય હોતું નથી,જેના પરિણામે તે સ્થાનાંતરિત બળ અનુભવે છે.
વધુમાં,બંને ધ્રુવો પર લાગતા બળો એક રેખીય નથી અને તેમના મૂલ્યો અલગ હોવાથી,તેઓ એક પરિણામી ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે,જેના કારણે સોય પરિભ્રમણ કરે છે.
તેથી,ચુંબકીય સોય બળ અને ટોર્ક બંને અનુભવે છે.

(D) ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થવા માટે, આપાત વિકિરણની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ એ પદાર્થની થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $(\lambda_0)$ કરતા ઓછી અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.
આપેલ છે: $\lambda_0 = 5200 \, \mathring{A}$.
જો $\lambda \le 5200 \, \mathring{A}$ હોય તો ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થાય છે.
અલ્ટ્રાવાયોલેટ $(UV)$ વિકિરણની તરંગલંબાઈ સામાન્ય રીતે $100 \, \mathring{A}$ થી $4000 \, \mathring{A}$ ની વચ્ચે હોય છે, જે $5200 \, \mathring{A}$ કરતા ઓછી છે.
ઇન્ફ્રારેડ $(IR)$ વિકિરણની તરંગલંબાઈ $7000 \, \mathring{A}$ કરતા વધારે હોય છે, જે $5200 \, \mathring{A}$ કરતા વધારે છે.
તેથી, $1 \, \text{W}$ અલ્ટ્રાવાયોલેટ લેમ્પ અને $50 \, \text{W}$ અલ્ટ્રાવાયોલેટ લેમ્પ બંને ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન કરશે, કારણ કે તેમની તરંગલંબાઈ $UV$ રેન્જમાં છે.

(B) $X$-રે ફોટોનની ઉર્જા $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ (કટ-ઓફ તરંગલંબાઈ) માટે,ઇલેક્ટ્રોનની સંપૂર્ણ ગતિ ઉર્જા એક જ ફોટોનમાં રૂપાંતરિત થાય છે: $eV = \frac{hc}{\lambda_{\min}}$.
$\lambda_{\min}$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,આપણને $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$ મળે છે.
અહીં $h$,$c$ અને $e$ અચળાંકો હોવાથી,$\lambda_{\min} \propto \frac{1}{V}$ થાય છે.
તેથી,લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ માત્ર ટ્યુબને આપવામાં આવેલા પ્રવેગક વોલ્ટેજ $V$ પર આધાર રાખે છે.

(A) મુક્ત અવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ અને માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$n = \frac{c}{v} = \frac{1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}{1/\sqrt{\mu \varepsilon}} = \sqrt{\frac{\mu \varepsilon}{\mu_0 \varepsilon_0}}$.

(B) લેન્સનો પાવર $P$ એ $P = \frac{100}{f(cm)}\, D$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = +40\, cm$ છે.
તેથી,પાવર $P_1 = \frac{100}{40} = +2.5\, D$ થાય.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = -25\, cm$ છે.
તેથી,પાવર $P_2 = \frac{100}{-25} = -4.0\, D$ થાય.
સંપર્કમાં રહેલા લેન્સના સંયોજનનો પાવર $P = P_1 + P_2$ દ્વારા મળે છે.
$P = 2.5\, D + (-4.0\, D) = -1.5\, D$.

(D) મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = 9$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2 = 9$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} = 3$ મળે છે.
કંપનવિસ્તારના ગુણોત્તર માટે ઉકેલતા: $a_1 + a_2 = 3a_1 - 3a_2 \Rightarrow 4a_2 = 2a_1 \Rightarrow \frac{a_1}{a_2} = 2$.
તીવ્રતા $I \propto a^2$ હોવાથી,વ્યક્તિગત સ્ત્રોતોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{a_1}{a_2} \right)^2 = 2^2 = 4$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $I_1 : I_2 = 4 : 1$.
આમ,વિધાન $(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.