IIT JEE 1982 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) प्रारंभिक वेग $\vec{v}_i = 5\hat{i}\,m/s$.
अंतिम वेग $\vec{v}_f = 5\hat{j}\,m/s$.
वेग में परिवर्तन $\Delta \vec{v} = \vec{v}_f - \vec{v}_i = 5\hat{j} - 5\hat{i}$.
वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\,m/s$.
$\Delta \vec{v}$ की दिशा उत्तर-पश्चिम है (क्योंकि यह $-\hat{i} + \hat{j}$ की दिशा में है)।
औसत त्वरण $\vec{a}_{avg} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{5\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,m/s^2$.
अतः,औसत त्वरण उत्तर-पश्चिम दिशा में $\frac{1}{\sqrt{2}}\,m/s^2$ है।

(D) दृढ़ता गुणांक $(\eta)$ को अपरूपण प्रतिबल (shear stress) और अपरूपण विकृति (shear strain) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अपरूपण प्रतिबल को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए इसका विमीय सूत्र $[F]/[A] = [MLT^{-2}]/[L^2] = [ML^{-1}T^{-2}]$ है।
अपरूपण विकृति एक विमाहीन राशि है क्योंकि यह दो लंबाइयों का अनुपात है।
इसलिए,दृढ़ता गुणांक का विमीय सूत्र प्रतिबल के समान ही होता है,जो $[ML^{-1}T^{-2}]$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) मान लीजिए $l$ घिरनी से द्रव्यमान $M$ तक डोरी की लंबाई है। चित्र की ज्यामिति से,हमारे पास संबंध $l^2 = b^2 + y^2$ है,जहाँ $b$ घिरनी से द्रव्यमान की ऊर्ध्वाधर अक्ष तक की क्षैतिज दूरी है,और $y$ घिरनियों को जोड़ने वाली रेखा से द्रव्यमान की ऊर्ध्वाधर दूरी है।
चूंकि डोरी अवितान्य है और सिरे $P$ और $Q$ चाल $U$ से नीचे की ओर गति करते हैं,डोरी के खंड की लंबाई $l$,$U$ की दर से घटती है। अतः,$\frac{dl}{dt} = -U$.
संबंध $l^2 = b^2 + y^2$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2l \frac{dl}{dt} = 2b \frac{db}{dt} + 2y \frac{dy}{dt}$.
चूंकि घिरनियाँ स्थिर हैं,क्षैतिज दूरी $b$ स्थिर रहती है,इसलिए $\frac{db}{dt} = 0$.
समीकरण में $\frac{dl}{dt} = -U$ और $\frac{db}{dt} = 0$ रखने पर:
$2l(-U) = 2y \frac{dy}{dt}$.
द्रव्यमान की ऊर्ध्वाधर चाल $v_y = \frac{dy}{dt}$ के लिए हल करने पर:
$\frac{dy}{dt} = -\frac{l}{y} U$.
बने हुए त्रिभुज से,$\cos \theta = \frac{y}{l}$,इसलिए $\frac{l}{y} = \frac{1}{\cos \theta}$.
अतः,द्रव्यमान $M$ की चाल $v = |\frac{dy}{dt}| = \frac{U}{\cos \theta}$ है।

(A) द्रव में डूबी हुई वस्तु पर लगने वाला उत्प्लावन बल (buoyant force) निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$F_B = V \rho_{\text{liquid}} (g - a)$
जहाँ $V$ विस्थापित द्रव का आयतन है,$\rho_{\text{liquid}}$ द्रव का घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,और $a$ प्रणाली का नीचे की ओर त्वरण है।
मुक्त पतन (free fall) के मामले में,पूरी प्रणाली (बीकर और द्रव) गुरुत्वीय त्वरण के बराबर त्वरण के साथ नीचे गिरती है,अर्थात $a = g$।
सूत्र में $a = g$ रखने पर:
$F_B = V \rho_{\text{liquid}} (g - g) = V \rho_{\text{liquid}} (0) = 0$।
अतः,वस्तु पर लगने वाला उत्प्लावन बल शून्य है।

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ से,हमारे पास $V = (\frac{\mu R}{P})T$ है।
$V-T$ ग्राफ का ढाल $m = \tan \theta = \frac{V}{T} = \frac{\mu R}{P}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि ढाल दाब के व्युत्क्रमानुपाती है $(m \propto \frac{1}{P})$,इसलिए कम ढाल उच्च दाब के अनुरूप है।
ग्राफ से यह स्पष्ट है कि $\theta_1 < \theta_2$,जिसका अर्थ है कि $\tan \theta_1 < \tan \theta_2$।
इसलिए,$(\frac{V}{T})_1 < (\frac{V}{T})_2$।
चूंकि $(\frac{V}{T}) \propto \frac{1}{P}$,इसलिए $(\frac{1}{P})_1 < (\frac{1}{P})_2$,जो दर्शाता है कि $P_1 > P_2$।

(D) दिए गए समीकरण $y = 10^4 \sin(60t + 2x)$ की तुलना मानक तरंग समीकरण $y = a \sin(\omega t + kx)$ से करने पर:
$1$. चूंकि $\omega t$ और $kx$ के बीच धनात्मक चिह्न है,इसलिए तरंग ऋणात्मक $X$-दिशा में यात्रा कर रही है।
$2$. कोणीय आवृत्ति $\omega = 60 \, rad/s$ है। आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{60}{2\pi} = \frac{30}{\pi} \, Hz$ है।
$3$. तरंग संख्या $k = 2 \, m^{-1}$ है। तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{2} = \pi \, m$ है।
$4$. तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{60}{2} = 30 \, m/s$ है।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(A) यह निकाय दो कणों से बना है जो अपने आपसी आंतरिक आकर्षण के प्रभाव में गति कर रहे हैं।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य है,तो द्रव्यमान केंद्र का वेग स्थिर रहता है।
प्रारंभ में,दोनों कण स्थिर हैं,जिसका अर्थ है कि द्रव्यमान केंद्र का प्रारंभिक वेग $v_{CM, initial} = 0$ है।
चूंकि निकाय पर कोई बाह्य बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का वेग किसी भी क्षण $0$ ही रहेगा।
अतः,निकाय के द्रव्यमान केंद्र की गति $0$ होगी।

(A) चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ को चुंबकीय क्षेत्र $B$ और क्षेत्रफल $A$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $\phi = B \cdot A$.
लोरेंत्ज़ बल के सूत्र $F = B I L$ से,हम लिख सकते हैं $B = \frac{F}{I L}$.
बल $[F] = [M L T^{-2}]$,धारा $[I] = [A]$,और लंबाई $[L] = [L]$ की विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B$ की विमाएँ $[B] = \frac{[M L T^{-2}]}{[A] [L]} = [M T^{-2} A^{-1}]$ प्राप्त होती हैं।
अब,चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ की विमाएँ $[B] \times [A] = [M T^{-2} A^{-1}] \times [L^2] = [M L^2 T^{-2} A^{-1}]$ होंगी।

(B) स्थिर अवस्था (steady state) में,संधारित्र एक खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करता है,इसलिए संधारित्र वाली शाखा में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ $6\,V$ की बैटरी,$2.8\,\Omega$ के प्रतिरोधक और $2\,\Omega$ व $3\,\Omega$ के समानांतर संयोजन के श्रेणी क्रम में सरल हो जाता है।
समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{2 \times 3}{2 + 3} = \frac{6}{5} = 1.2\,\Omega$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 2.8 + 1.2 = 4.0\,\Omega$ है।
बैटरी द्वारा आपूर्ति की गई कुल धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6}{4} = 1.5\,A$ है।
धारा विभाजक नियम (current divider rule) का उपयोग करते हुए,$2\,\Omega$ के प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा $I_{2\Omega} = I \times \frac{3}{2 + 3} = 1.5 \times \frac{3}{5} = 0.9\,A$ है।

(A) एक चुंबकीय सुई एक चुंबकीय द्विध्रुव (डाइपोल) के रूप में कार्य करती है।
असमान चुंबकीय क्षेत्र में,सुई के दोनों ध्रुवों पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल परिमाण और दिशा दोनों में भिन्न होगा।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र असमान है,इसलिए द्विध्रुव पर कुल बल शून्य नहीं होता है,जिसके परिणामस्वरूप एक स्थानांतरीय बल उत्पन्न होता है।
इसके अतिरिक्त,चूंकि दोनों ध्रुवों पर लगने वाले बल संरेखीय नहीं हैं और उनके परिमाण अलग-अलग हैं,इसलिए वे एक कुल बलाघूर्ण (टॉर्क) उत्पन्न करते हैं,जिससे सुई घूमती है।
अतः,चुंबकीय सुई बल और बलाघूर्ण दोनों का अनुभव करती है।

(D) प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन होने के लिए, आपतित विकिरण की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ पदार्थ की देहली तरंगदैर्ध्य $(\lambda_0)$ से कम या उसके बराबर होनी चाहिए।
दिया गया है: $\lambda_0 = 5200 \, \mathring{A}$।
प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन तब होता है यदि $\lambda \le 5200 \, \mathring{A}$ हो।
अल्ट्रावायलेट $(UV)$ विकिरण की तरंगदैर्ध्य आमतौर पर $100 \, \mathring{A}$ से $4000 \, \mathring{A}$ के बीच होती है, जो $5200 \, \mathring{A}$ से कम है।
इन्फ्रारेड $(IR)$ विकिरण की तरंगदैर्ध्य $7000 \, \mathring{A}$ से अधिक होती है, जो $5200 \, \mathring{A}$ से अधिक है।
इसलिए, $1 \, \text{W}$ अल्ट्रावायलेट लैंप और $50 \, \text{W}$ अल्ट्रावायलेट लैंप दोनों प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन का कारण बनेंगे, क्योंकि उनकी तरंगदैर्ध्य $UV$ रेंज में है।

(B) $X$-रे फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य (कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य) के लिए,इलेक्ट्रॉन की संपूर्ण गतिज ऊर्जा एक ही फोटॉन में परिवर्तित हो जाती है: $eV = \frac{hc}{\lambda_{\min}}$।
$\lambda_{\min}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $h$,$c$ और $e$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\lambda_{\min} \propto \frac{1}{V}$ होता है।
अतः,न्यूनतम तरंगदैर्ध्य केवल ट्यूब पर लागू त्वरक वोल्टेज $V$ पर निर्भर करती है।

(A) मुक्त आकाश में प्रकाश की गति $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ द्वारा दी जाती है।
माध्यम में प्रकाश की गति $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}$ द्वारा दी जाती है।
माध्यम का अपवर्तनांक $n$,निर्वात में प्रकाश की गति और माध्यम में प्रकाश की गति के अनुपात के रूप में परिभाषित होता है:
$n = \frac{c}{v} = \frac{1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}{1/\sqrt{\mu \varepsilon}} = \sqrt{\frac{\mu \varepsilon}{\mu_0 \varepsilon_0}}$.

(B) लेंस की शक्ति $P$ को $P = \frac{100}{f(cm)}\, D$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
उत्तल लेंस के लिए,फोकस दूरी $f_1 = +40\, cm$ है।
अतः,शक्ति $P_1 = \frac{100}{40} = +2.5\, D$ है।
अवतल लेंस के लिए,फोकस दूरी $f_2 = -25\, cm$ है।
अतः,शक्ति $P_2 = \frac{100}{-25} = -4.0\, D$ है।
संपर्क में रखे लेंसों के संयोजन की शक्ति $P = P_1 + P_2$ द्वारा दी जाती है।
$P = 2.5\, D + (-4.0\, D) = -1.5\, D$।

(D) अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = 9$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2 = 9$ होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} = 3$ प्राप्त होता है।
आयामों के अनुपात के लिए हल करने पर: $a_1 + a_2 = 3a_1 - 3a_2 \Rightarrow 4a_2 = 2a_1 \Rightarrow \frac{a_1}{a_2} = 2$।
चूंकि तीव्रता $I \propto a^2$ होती है,इसलिए व्यक्तिगत स्रोतों की तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{a_1}{a_2} \right)^2 = 2^2 = 4$ है,जिसका अर्थ है $I_1 : I_2 = 4 : 1$।
अतः,कथन $(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।