पानी की सतह पर लहरों की गति (v) पृष्ठ तनाव (s | vedclass

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Question

(A) लहरों की गति $v$ पृष्ठ तनाव $\sigma$,घनत्व $\rho$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ पर निर्भर करती है। हम इस संबंध को $v = k \sigma^a \rho^b \lambda^c$ के

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$\frac{\sigma}{\rho \lambda}$

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(A) लहरों की गति $v$ पृष्ठ तनाव $\sigma$,घनत्व $\rho$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ पर निर्भर करती है। हम इस संबंध को $v = k \sigma^a \rho^b \lambda^c$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $k$ एक विमाहीन स्थिरांक है। गति $v$ का विमीय सूत्र $[M^0 L T^{-1}]$ है। पृष्ठ तनाव $\sigma$ का विमीय सूत्र $[M L^0 T^{-2}]$ है। घनत्व $\rho$ का विमीय सूत्र $[M L^{-3} T^0]$ है। तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का विमीय सूत्र $[M^0 L T^0]$ है। इन मानों को समीकरण में रखने पर: $[M^0 L T^{-1}] = [M L^0 T^{-2}]^a [M L^{-3} T^0]^b [L]^c$ $[M^0 L T^{-1}] = [M]^{a+b} [L]^{-3b+c} [T]^{-2a}$ दोनों पक्षों पर $M, L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर: $a + b = 0$ $-3b + c = 1$ $-2a = -1$ $-2a = -1$ से,हमें $a = 1/2$ प्राप्त होता है। $a = 1/2$ को $a + b = 0$ में रखने पर,हमें $b = -1/2$ प्राप्त होता है। $b = -1/2$ को $-3b + c = 1$ में रखने पर,हमें $-3(-1/2) + c = 1 \Rightarrow 1.5 + c = 1 \Rightarrow c = -0.5 = -1/2$ प्राप्त होता है। इस प्रकार,$v \propto \sigma^{1/2} \rho^{-1/2} \lambda^{-1/2}$। अतः,$v \propto \sqrt{\frac{\sigma}{\rho \lambda}}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$v^2 \propto \frac{\sigma}{\rho \lambda}$।

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