AIPMT 2000 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) નદી ઓળંગવા માટેનો સૌથી ટૂંકો માર્ગ એ નદીના પ્રવાહને લંબ સીધી રેખા છે.
ધારો કે હોડીનો વેગ $v_b = 5 \; km/hr$ છે અને નદીના પ્રવાહનો વેગ $u$ છે.
જ્યારે હોડી સૌથી ટૂંકા માર્ગે નદી ઓળંગે છે,ત્યારે જમીનની સાપેક્ષે હોડીનો પરિણામી વેગ $v_r = \sqrt{v_b^2 - u^2}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ પહોળાઈ $d = 1 \; km$ અને સમય $t = 15 \; min = 0.25 \; hr = \frac{1}{4} \; hr$ છે.
પરિણામી વેગ $v_r = \frac{d}{t} = \frac{1}{1/4} = 4 \; km/hr$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $4 = \sqrt{5^2 - u^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $16 = 25 - u^2$.
$u^2 = 25 - 16 = 9$.
$u = 3 \; km/hr$.

(D) સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $s = 3t^3 + 7t^2 + 14t + 8$ આપેલ છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે $s$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^3 + 7t^2 + 14t + 8) = 9t^2 + 14t + 14$.
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે વેગ $v$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(9t^2 + 14t + 14) = 18t + 14$.
$t = 1 \ s$ સમયે,પ્રવેગ:
$a = 18(1) + 14 = 18 + 14 = 32 \ m/s^2$.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
આપેલ છે કે બંને પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થો માટે પ્રારંભિક વેગ $u$ સમાન છે.
પ્રથમ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે,$\theta_1 = 60^o$,તેથી $R_1 = \frac{u^2 \sin(120^o)}{g} = \frac{u^2 \sin(60^o)}{g}$.
બીજા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે,$\theta_2 = 30^o$,તેથી $R_2 = \frac{u^2 \sin(60^o)}{g}$.
કારણ કે $\sin(120^o) = \sin(60^o)$,તેથી બંને ખૂણાઓ માટે સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ સમાન રહે છે.
ખૂણાઓ $\theta$ અને $(90^o - \theta)$ એ કોટિકોણ છે,અને કોઈપણ કોટિકોણની જોડી માટે,સમક્ષિતિજ અવધિ સમાન હોય છે.

(C) ધારો કે દળ $m_1 = 5 \ kg$ અને $m_2 = 10 \ kg$ છે.
તંત્રનો પ્રવેગ $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} g$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$a = \frac{10 - 5}{10 + 5} g$
$a = \frac{5}{15} g$
$a = \frac{g}{3}$

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg = 72 \ N$ છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર $g' = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$ છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
અહીં $h = \frac{R}{2}$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મુકતા:
$g' = g \left( \frac{R}{R + \frac{R}{2}} \right)^2 = g \left( \frac{R}{\frac{3R}{2}} \right)^2 = g \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}g$.
$h$ ઊંચાઈએ પદાર્થનું વજન $W' = mg' = m \left( \frac{4}{9}g \right) = \frac{4}{9} W$ થશે.
$W = 72 \ N$ ની કિંમત મુકતા:
$W' = \frac{4}{9} \times 72 = 4 \times 8 = 32 \ N$.

(C) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે ગ્રહનું દળ $M_p = M_e$ (પૃથ્વીનું દળ) અને ત્રિજ્યા $R_p = \frac{R_e}{4}$ (જ્યાં $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે).
ગ્રહ માટે નિષ્ક્રમણ વેગ $v_p = \sqrt{\frac{2GM_p}{R_p}} = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e/4}}$ થશે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $v_p = \sqrt{4 \times \frac{2GM_e}{R_e}} = 2 \times \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}}$ મળે.
પૃથ્વીનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = 11.2 \ km/s$ હોવાથી,ગ્રહ માટે નિષ્ક્રમણ વેગ $v_p = 2 \times 11.2 \ km/s = 22.4 \ km/s$ થશે.

(B) વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma$ એ અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p$ અને અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,એટલે કે $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$.
સમવિભાજનના પ્રમેય મુજબ,$C_v = \frac{f}{2}R$ અને $C_p = C_v + R = (\frac{f}{2} + 1)R$ થાય છે.
તેથી,$\gamma = \frac{(\frac{f}{2} + 1)R}{\frac{f}{2}R} = \frac{\frac{f+2}{2}}{\frac{f}{2}} = 1 + \frac{2}{f}$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\gamma - 1 = \frac{2}{f}$.
$f$ માટે ઉકેલતા,આપણને $f = \frac{2}{\gamma - 1}$ મળે છે.

(D) પ્રતિવર્તી એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સોર્સનું તાપમાન અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન કેલ્વિનમાં છે.
શરૂઆતમાં,$\eta = \frac{1}{6}$,તેથી $1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{6} \implies \frac{T_2}{T_1} = \frac{5}{6} \implies T_2 = \frac{5}{6}T_1$ ...$(i)$
જ્યારે સિંકનું તાપમાન $62^\circ C$ (જે $62 \ K$ ને સમાન છે) ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી કાર્યક્ષમતા $\eta' = 2\eta = 2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ થાય છે.
નવું સિંક તાપમાન $T_2' = T_2 - 62$ છે.
આમ,$\eta' = 1 - \frac{T_2 - 62}{T_1} = \frac{1}{3}$.
સમીકરણમાં $T_2 = \frac{5}{6}T_1$ મૂકતા: $1 - \frac{\frac{5}{6}T_1 - 62}{T_1} = \frac{1}{3}$.
$1 - (\frac{5}{6} - \frac{62}{T_1}) = \frac{1}{3} \implies 1 - \frac{5}{6} + \frac{62}{T_1} = \frac{1}{3}$.
$\frac{1}{6} + \frac{62}{T_1} = \frac{1}{3} \implies \frac{62}{T_1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$.
$T_1 = 62 \times 6 = 372 \ K = (372 - 273)^\circ C = 99^\circ C$.
હવે,$T_2 = \frac{5}{6} \times 372 = 310 \ K = (310 - 273)^\circ C = 37^\circ C$.

(A) કુદરતી ઉષ્માનયન પ્રવાહીના બે ભાગો વચ્ચેની ઘનતાના તફાવતને કારણે ઉદ્ભવે છે. જ્યારે પ્રવાહીને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે વિસ્તરે છે અને તેની ઘનતા ઘટે છે,જેના કારણે તે ઉપર તરફ જાય છે,જ્યારે ઠંડું અને વધુ ઘનતાવાળું પ્રવાહી તેની જગ્યા લેવા માટે નીચે બેસે છે. આ હિલચાલ ઘનતાના તફાવત પર કાર્ય કરતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા સંચાલિત થાય છે. તેથી,કુદરતી ઉષ્માનયન માટે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અનિવાર્ય છે.

(C) જ્યારે ગોળાને $\theta$ ખૂણે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે તેની મધ્યમાન સ્થિતિથી $h$ જેટલી ઊંચાઈએ જાય છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અંતિમ સ્થિતિમાં રહેલી સ્થિતિ ઉર્જા મધ્યમાન (સૌથી નીચલી) સ્થિતિમાં ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$mgh = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$
$v_{\max} = \sqrt{2gh}$
લોલકની ભૂમિતિ પરથી,આધાર બિંદુથી અંતિમ સ્થિતિમાં રહેલા ગોળા સુધીનું શિરોલંબ અંતર $l \cos \theta$ છે.
તેથી,ઊંચાઈ $h$ નીચે મુજબ મળે છે:
$h = l - l \cos \theta = l(1 - \cos \theta)$
વેગના સમીકરણમાં $h$ ની કિંમત મૂકતા:
$v_{\max} = \sqrt{2gl(1 - \cos \theta)}$

(B) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે,અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
તાર સમાન હોવાથી,$\mu$ અને $T$ બધા ભાગો માટે સમાન છે.
તેથી,$n \propto \frac{1}{l}$,જેનો અર્થ છે કે $nl = k$ (અચળાંક).
ત્રણ તાર માટે,આપણી પાસે $n_1 l_1 = n_2 l_2 = n_3 l_3 = k$ છે.
આના પરથી $l_1 = \frac{k}{n_1}$,$l_2 = \frac{k}{n_2}$,અને $l_3 = \frac{k}{n_3}$ મળે છે.
સંયુક્ત તારની કુલ લંબાઈ $l = l_1 + l_2 + l_3$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{k}{n} = \frac{k}{n_1} + \frac{k}{n_2} + \frac{k}{n_3}$ મળે છે.
$k$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{n} = \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} + \frac{1}{n_3}$ મળે છે.

(A) $l$ લંબાઈ અને $\theta$ ખૂણાવાળી ઢળતી સપાટી પર ગબડતા પદાર્થ દ્વારા લેવાયેલ સમય $t = \sqrt{\frac{2l(1 + K^2/R^2)}{g \sin \theta}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે અને $R$ એ પદાર્થની ત્રિજ્યા છે.
નક્કર નળાકાર માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે,તેથી $K^2 = \frac{1}{2}R^2$,જેનો અર્થ છે કે $K^2/R^2 = 0.5$.
પોલા નળાકાર માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ છે,તેથી $K^2 = R^2$,જેનો અર્થ છે કે $K^2/R^2 = 1$.
સમય $t$ એ $\sqrt{1 + K^2/R^2}$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,જે પદાર્થ માટે $K^2/R^2$ નો ગુણોત્તર ઓછો હશે તે નીચે પહોંચવા માટે ઓછો સમય લેશે.
બંનેની સરખામણી કરતા,નક્કર નળાકારનો $K^2/R^2$ ગુણોત્તર ઓછો $(0.5 < 1)$ છે,તેથી નક્કર નળાકાર પહેલા નીચે પહોંચશે.

(A) આપેલ સમીકરણો $x=a \cos (\omega t+\delta)$ અને $y=a \cos (\omega t+\alpha)$ છે.
$\delta=\alpha+\frac{\pi}{2}$ ને $x$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x=a \cos (\omega t+\alpha+\frac{\pi}{2}) = -a \sin (\omega t+\alpha)$.
હવે,બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$x^2+y^2 = (-a \sin (\omega t+\alpha))^2 + (a \cos (\omega t+\alpha))^2 = a^2 (\sin^2 (\omega t+\alpha) + \cos^2 (\omega t+\alpha)) = a^2$.
આ $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ છે.
દિશા નક્કી કરવા માટે,$t=0$ સમયે,$x = -a \sin \alpha$ અને $y = a \cos \alpha$ મળે છે. જેમ $t$ વધે છે,તેમ બિંદુ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં $(c.w)$ ગતિ કરે છે.

(C) ધારો કે ધ્વનિની ઝડપ $v$ છે અને ઉદગમોની આવૃત્તિ $n$ છે. કારણ કે $\lambda = v/n$,તેથી $n = v/\lambda$ મળે.
પ્રથમ ઉદગમ માટે,અવલોકનકાર $u$ વેગથી દૂર જાય છે. તેથી આભાસી આવૃત્તિ $n_1 = n \left( \frac{v - u}{v} \right) = n \left( 1 - \frac{u}{v} \right) $ થશે.
બીજા ઉદગમ માટે,અવલોકનકાર $u$ વેગથી તેની નજીક આવે છે. તેથી આભાસી આવૃત્તિ $n_2 = n \left( \frac{v + u}{v} \right) = n \left( 1 + \frac{u}{v} \right) $ થશે.
બીટ આવૃત્તિ એ બે આભાસી આવૃત્તિઓનો તફાવત છે:
$|n_2 - n_1| = n \left( 1 + \frac{u}{v} \right) - n \left( 1 - \frac{u}{v} \right) = n \left( \frac{2u}{v} \right)$.
$n = v/\lambda$ મૂકતા,આપણને મળે:
બીટ આવૃત્તિ $= \left( \frac{v}{\lambda} \right) \left( \frac{2u}{v} \right) = \frac{2u}{\lambda}$.

(C) કોઈપણ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ તેના દળના પરિભ્રમણ અક્ષની સાપેક્ષ વિતરણ પર આધાર રાખે છે. દળ અક્ષથી જેટલું દૂર હશે,તેટલી જડત્વની ચાકમાત્રા વધારે હશે.
આપેલ કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં બાજુઓ $AB=4$,$BC=3$ અને $AC=5$ છે.
$I_{1}$ એ બાજુ $AB$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$I_{3}$ એ બાજુ $BC$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$I_{2}$ એ બાજુ $AC$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
દળના વિતરણના અંતરની સરખામણી કરતા,આપણને $I_{1} < I_{3} < I_{2}$ મળે છે.
તેથી,સંબંધ $I_{1} > I_{2}$ ખોટો છે.

(B) શિરોલંબ વર્તુળાકાર ગતિમાં કોઈપણ બિંદુએ તણાવ $T$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$T = \frac{mv^2}{l} + mg \cos \theta$
જ્યાં $\theta$ એ સૌથી નીચલા બિંદુથી કોણીય સ્થાનાંતર છે,$l$ એ દોરીની લંબાઈ છે અને $m$ એ કણનું દળ છે.
સૌથી નીચલા બિંદુ $(B)$ પર,$\theta = 0^\circ$,તેથી $\cos \theta = 1$,અને તણાવ $T_B = \frac{mv_B^2}{l} + mg$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ બિંદુ $(A)$ પર,$\theta = 180^\circ$,તેથી $\cos \theta = -1$,અને તણાવ $T_A = \frac{mv_A^2}{l} - mg$ છે.
તે સ્પષ્ટ છે કે સૌથી નીચલા બિંદુ $(B)$ પર તણાવ મહત્તમ હોય છે કારણ કે કેન્દ્રગામી બળ અને ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક બંને તણાવમાં ફાળો આપે છે. જો કણનો સરેરાશ વેગ વધારવામાં આવે,તો સૌથી નીચલા બિંદુએ તણાવ સૌથી વધુ વધશે. તેથી,બિંદુ $B$ પર દોરી તૂટવાની શક્યતા સૌથી વધુ છે.

(A) તાત્ક્ષણિક પાવર $P$ એ બળ સદિશ $\overrightarrow{F}$ અને વેગ સદિશ $\overrightarrow{V}$ ના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા મળે છે.
$P = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{V}$
આપેલા સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$P = (60 \hat{i} + 15 \hat{j} - 3 \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} - 4 \hat{j} + 5 \hat{k})$
અદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા ($\hat{i} \cdot \hat{i} = 1, \hat{j} \cdot \hat{j} = 1, \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ અને અન્ય પદો $0$ થાય છે):
$P = (60 \times 2) + (15 \times -4) + (-3 \times 5)$
$P = 120 - 60 - 15$
$P = 45 \; W$

(A) દરેક જોડીના પરિમાણોનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. બળ: $[MLT^{-2}]$; આઘાત: $[MLT^{-1}]$. આ સમાન નથી.
$2$. કોણીય વેગમાન: $[ML^2T^{-1}]$; પ્લાન્ક અચળાંક: $[ML^2T^{-1}]$. આ સમાન છે.
$3$. ઉર્જા: $[ML^2T^{-2}]$; ટોર્ક: $[ML^2T^{-2}]$. આ સમાન છે.
$4$. સ્થિતિસ્થાપક મોડ્યુલસ: $[ML^{-1}T^{-2}]$; દબાણ: $[ML^{-1}T^{-2}]$. આ સમાન છે.
તેથી,બળ અને આઘાતની જોડીના પરિમાણો સમાન નથી.

(C) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ઘર્ષણ જેવા બિન-સંરક્ષી બળોની ગેરહાજરીમાં કુલ યાંત્રિક ઉર્જા અચળ રહે છે.
માણસ અને થેલા બંને માટે,પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $PE_i = mgh$ છે અને પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $KE_i = 0$ છે.
તળિયે પહોંચતા,સ્થિતિ ઉર્જા $PE_f = 0$ થાય છે અને ગતિ ઉર્જા $KE_f = \frac{1}{2}mv^2$ થાય છે.
ઉર્જાને સરખાવતા: $mgh = \frac{1}{2}mv^2$.
વેગ માટે ઉકેલતા: $v = \sqrt{2gh}$.
માણસ અને થેલો બંને સમાન શિરોલંબ ઊંચાઈ $h$ પરથી પડે છે અને બંને પર સમાન ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ લાગે છે,તેથી તળિયે તેમના અંતિમ વેગ સમાન હશે,ભલે ગમે તે માર્ગે ગતિ કરી હોય (જો સપાટી ઘર્ષણરહિત હોય તો).

(C) શરૂઆતનો વેગ $u = 100 \; m/s$. પ્રવેગ $g = -10 \; m/s^2$.
$t = 5 \; s$ સમયે પદાર્થનો વેગ $v = u + at = 100 - 10 \times 5 = 50 \; m/s$ (ઉપરની તરફ).
ધારો કે કુલ દળ $M = 1 \; kg$ છે. દળ બે ભાગમાં વહેંચાય છે: $m_1 = 0.4 \; kg$ અને $m_2 = 0.6 \; kg$.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,વિસ્ફોટ પહેલાનું વેગમાન = વિસ્ફોટ પછીનું વેગમાન.
$Mv = m_1 v_1 + m_2 v_2$
ઉપરની દિશાને ધન લેતા:
$1 \times 50 = 0.4 \times (-25) + 0.6 \times v_2$
$50 = -10 + 0.6 \times v_2$
$60 = 0.6 \times v_2$
$v_2 = \frac{60}{0.6} = 100 \; m/s$.
પરિણામ ધન હોવાથી,વેગ $100 \; m/s$ ઉપરની તરફ હશે.

(B) સાદા લોલકની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આવૃત્તિ સંબંધ $f_{A}=2 f_{B}$ છે.
આવૃત્તિ માટેનું સૂત્ર મૂકતા:
$\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{l_{A}}} = 2 \times \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{l_{B}}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{g}{l_{A}} = 4 \times \frac{g}{l_{B}}$
$\frac{1}{l_{A}} = \frac{4}{l_{B}}$
તેથી,$l_{A} = \frac{l_{B}}{4}$.
સાદા લોલકની આવૃત્તિ માત્ર લંબાઈ $l$ અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ પર આધાર રાખે છે,તે બોબના દળ $M$ પર આધાર રાખતું નથી.

(C) વેગમાનમાં ફેરફાર માત્ર દીવાલને લંબ દિશામાં થાય છે.
ધારો કે વેગ $v = 10 \, m/s$ અને દળ $m = 3 \, kg$ છે.
દીવાલને લંબ વેગનો ઘટક $v_{\perp} = v \sin(60^\circ)$ છે.
દીવાલને લંબ પ્રારંભિક વેગમાન: $p_i = mv \sin(60^\circ)$.
દીવાલને લંબ અંતિમ વેગમાન (પરાવર્તન પછી): $p_f = -mv \sin(60^\circ)$.
વેગમાનમાં ફેરફાર: $\Delta p = p_f - p_i = -mv \sin(60^\circ) - mv \sin(60^\circ) = -2mv \sin(60^\circ)$.
વેગમાનમાં ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta p| = 2mv \sin(60^\circ)$ છે.
દીવાલ પર લાગતું બળ $F = \frac{|\Delta p|}{\Delta t} = \frac{2mv \sin(60^\circ)}{\Delta t}$.
કિંમતો મૂકતા: $F = \frac{2 \times 3 \times 10 \times \sin(60^\circ)}{0.2} = \frac{60 \times (\sqrt{3}/2)}{0.2} = \frac{30\sqrt{3}}{0.2} = 150\sqrt{3} \, N$.

(A) આ પરિપથ એક વ્હીટસ્ટન બ્રિજ છે. ધારો કે અવરોધો $P = 3 \, \Omega$,$Q = 4 \, \Omega$,$R = 6 \, \Omega$,અને $S = 8 \, \Omega$ છે. વચ્ચેનો અવરોધ $G = 7 \, \Omega$ છે.
ભુજાઓના ગુણોત્તર તપાસો: $\frac{P}{R} = \frac{3}{6} = 0.5$ અને $\frac{Q}{S} = \frac{4}{8} = 0.5$.
અહીં $\frac{P}{R} = \frac{Q}{S}$ હોવાથી,વ્હીટસ્ટન બ્રિજ સંતુલિત છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટન બ્રિજમાં,વચ્ચેના $7 \, \Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી. તેથી,તેને પરિપથમાંથી દૂર કરી શકાય છે.
$7 \, \Omega$ ના અવરોધને દૂર કર્યા પછી,પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓનો બનેલો છે:
શાખા $1$ (ઉપરની): $3 \, \Omega$ અને $4 \, \Omega$ શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_1 = 3 + 4 = 7 \, \Omega$.
શાખા $2$ (નીચેની): $6 \, \Omega$ અને $8 \, \Omega$ શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_2 = 6 + 8 = 14 \, \Omega$.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{7} + \frac{1}{14}$.
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{2 + 1}{14} = \frac{3}{14}$.
આમ,$R_{eq} = \frac{14}{3} \, \Omega$.

(C) જ્યારે બેટરી ચાર્જ થઈ રહી હોય,ત્યારે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ નું સૂત્ર $V = E + Ir$ છે,જ્યાં $E$ એ $e.m.f.$ છે,$I$ એ ચાર્જિંગ પ્રવાહ છે અને $r$ એ આંતરિક અવરોધ છે.
આપેલ છે:
$E = 12\,V$
$I = 60\,A$
$r = 5 \times 10^{-2}\,\Omega = 0.05\,\Omega$
કિંમતો મૂકતા:
$V = 12 + (60 \times 0.05)$
$V = 12 + 3$
$V = 15\,V$.

(C) વિદ્યુત ઉપકરણનો પાવર રેટિંગ $P = \frac{V^2}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વોલ્ટેજ છે અને $R$ એ અવરોધ છે.
પ્રથમ બલ્બ માટે $(40 \; W, 200 \; V)$:
$R_{40} = \frac{V^2}{P_1} = \frac{(200)^2}{40} = \frac{40000}{40} = 1000 \; \Omega$.
બીજા બલ્બ માટે $(100 \; W, 200 \; V)$:
$R_{100} = \frac{V^2}{P_2} = \frac{(200)^2}{100} = \frac{40000}{100} = 400 \; \Omega$.
બંને મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $1000 \; \Omega > 400 \; \Omega$,જેનો અર્થ છે કે $R_{40} > R_{100}$.

(D) લાંબા સીધા તારને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P$ થી $2.5 \text{ m}$ અંતરે રહેલા $5 \text{ A}$ પ્રવાહ ધરાવતા તાર માટે ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B_1 = \frac{\mu_0 \times 5}{2 \pi \times 2.5} = \frac{2 \mu_0}{2 \pi} \otimes$ (કાગળના સમતલની અંદરની તરફ).
$2.5 \text{ A}$ પ્રવાહ ધરાવતા તાર માટે,$P$ થી અંતર $5 \text{ m} - 2.5 \text{ m} = 2.5 \text{ m}$ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B_2 = \frac{\mu_0 \times 2.5}{2 \pi \times 2.5} = \frac{\mu_0}{2 \pi} \odot$ (કાગળના સમતલની બહારની તરફ).
$P$ પર પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B_{net} = B_1 - B_2 = \frac{2 \mu_0}{2 \pi} - \frac{\mu_0}{2 \pi} = \frac{\mu_0}{2 \pi} \otimes$.

(A) $LCR$ સર્કિટનો ક્વોલિટી ફેક્ટર $(Q)$ એ રેઝોનન્સ સમયે ઇન્ડક્ટર $(V_L)$ અથવા કેપેસિટર $(V_C)$ પરના વોલ્ટેજ અને અવરોધક $(V_R)$ પરના વોલ્ટેજના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$Q = \frac{V_L}{V_R} = \frac{I \cdot X_L}{I \cdot R} = \frac{X_L}{R}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ છે,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,
આમ,ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q = \frac{\omega L}{R}$ થાય છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈને ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર સમજાવવા માટે એવું સૂચન કર્યું કે પ્રકાશ એ ઊર્જાના નાના પેકેટોનો બનેલો છે જેને ફોટોન કહેવાય છે. દરેક ફોટોનની ઊર્જા $E = h\nu$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ વિકિરણની આવૃત્તિ છે. આ સમીકરણ આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ $K_{max} = h\nu - \Phi_0$ નો આધાર બનાવે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) $\beta^+$ ક્ષય (પોઝિટ્રોન ઉત્સર્જન) માં, ન્યુક્લિયસની અંદરનો એક પ્રોટોન ન્યુટ્રોન, પોઝિટ્રોન $(\beta^+)$ અને ન્યુટ્રિનો $(\nu)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: $_6C^{11} \to _5B^{11} + _1e^0 + \nu$.
લેપ્ટોન નંબરના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, લેપ્ટોન નંબરનું સંરક્ષણ થવું જોઈએ. પોઝિટ્રોન $(\beta^+)$ નો લેપ્ટોન નંબર $-1$ હોવાથી, સમીકરણને સંતુલિત કરવા માટે $+1$ લેપ્ટોન નંબર ધરાવતો ન્યુટ્રિનો $(\nu)$ ઉત્સર્જિત થવો જોઈએ.
તેથી, કણ $X$ એ ન્યુટ્રિનો છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ સમયે,બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા પ્રારંભિક સંખ્યા કરતા અડધી હોય છે,એટલે કે $N(T_{1/2}) = \frac{N_0}{2}$.
આ કિંમત ક્ષયના નિયમમાં મૂકતા: $\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda T_{1/2}}$.
$\frac{1}{2} = e^{-\lambda T_{1/2}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $\ln(1/2) = -\lambda T_{1/2}$.
$-\ln 2 = -\lambda T_{1/2}$.
તેથી,$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે એમિટર પ્રવાહ એ કલેક્ટર પ્રવાહ અને બેઝ પ્રવાહનો સરવાળો છે:
$I_{E} = I_{C} + I_{B}$
બંને બાજુને $I_{C}$ વડે ભાગતા:
$\frac{I_{E}}{I_{C}} = 1 + \frac{I_{B}}{I_{C}}$
કારણ કે $\alpha = \frac{I_{C}}{I_{E}}$,તેથી $\frac{1}{\alpha} = \frac{I_{E}}{I_{C}}$ થાય.
કારણ કે $\beta = \frac{I_{C}}{I_{B}}$,તેથી $\frac{1}{\beta} = \frac{I_{B}}{I_{C}}$ થાય.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{\alpha} = 1 + \frac{1}{\beta}$
$\frac{1}{\beta}$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha} - 1 = \frac{1 - \alpha}{\alpha}$
તેથી,$\beta = \frac{\alpha}{1 - \alpha}$.

(D) $AND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $R = P \cdot Q$ છે.
સત્યતા કોષ્ટકમાંથી કિંમતો તપાસતા:
જ્યારે $P=1, Q=1$ હોય,ત્યારે $R = 1 \cdot 1 = 1$.
જ્યારે $P=1, Q=0$ હોય,ત્યારે $R = 1 \cdot 0 = 0$.
જ્યારે $P=0, Q=1$ હોય,ત્યારે $R = 0 \cdot 1 = 0$.
જ્યારે $P=0, Q=0$ હોય,ત્યારે $R = 0 \cdot 0 = 0$.
આમ,ગણતરી કરેલ કિંમતો આપેલ સત્યતા કોષ્ટક સાથે મેળ ખાય છે,તેથી આ $AND$ ગેટ છે.

(B) ચાંદીનો ઢોળ ચડાવેલા લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈનું સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{2}{f_l} + \frac{1}{f_m}$ છે,જ્યાં $f_l$ એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $f_m$ એ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_l$ એ $\frac{1}{f_l} = (\mu - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$R_1 = 10 \; cm$ અને $R_2 = \infty$ છે,તેથી $\frac{1}{f_l} = (1.5 - 1)(\frac{1}{10} - 0) = \frac{0.5}{10} = \frac{1}{20}$. આમ,$f_l = 20 \; cm$.
ચાંદીનો ઢોળ ચડાવેલી સમતલ સપાટી સમતલ અરીસા તરીકે વર્તે છે,તેથી તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f_m = \infty$ થાય.
તેથી,$\frac{1}{F} = \frac{2}{20} + \frac{1}{\infty} = \frac{1}{10} + 0 = \frac{1}{10}$.
આમ,$F = 10 \; cm$.

(C) મેઘધનુષ્યની રચના એક જટિલ પ્રકાશીય ઘટના છે જેમાં અનેક પ્રક્રિયાઓ સામેલ છે.
$1$. સૂર્યપ્રકાશ પાણીના ટીપામાં પ્રવેશે છે અને તેનું વક્રીભવન તથા વિભાજન થાય છે,જેનાથી તે તેના ઘટક રંગોમાં વિભાજિત થાય છે.
$2$. ત્યારબાદ પ્રકાશ ટીપાની પાછળની સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ અનુભવે છે.
$3$. અંતે,જ્યારે પ્રકાશ ટીપામાંથી બહાર નીકળે છે ત્યારે ફરીથી તેનું વક્રીભવન થાય છે.
આમ,તેમાં સામેલ મુખ્ય પ્રક્રિયાઓ વક્રીભવન,વિભાજન અને પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટને વધતી તરંગલંબાઈ અથવા ઘટતી આવૃત્તિના ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવે છે. આ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો માટે આવૃત્તિનો ક્રમ નીચે મુજબ છે: $\nu_{\gamma-rays} > \nu_{X-rays} > \nu_{UV-rays}$.
અહીં $\gamma-$ કિરણો $(b)$ છે,$X-$ કિરણો $(a)$ છે અને $UV-$ કિરણો $(c)$ છે,તેથી આવૃત્તિનો ક્રમ $b > a > c$ થશે.

(A) ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = E_{initial} - E_{final} = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
ઉત્સર્જન થવા માટે,ઇલેક્ટ્રોને ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરથી નીચા ઉર્જા સ્તરમાં સંક્રમણ કરવું આવશ્યક છે. તેથી,વિકલ્પો $(b)$ અને $(d)$ બાકાત છે કારણ કે તે શોષણ દર્શાવે છે.
બાકીના સંક્રમણો માટે ઉર્જાના તફાવતની સરખામણી કરતા:
$n = 2$ થી $n = 1$ માટે: $\Delta E_1 = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 13.6 \times 0.75 = 10.2 \text{ eV}$.
$n = 6$ થી $n = 2$ માટે: $\Delta E_2 = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{6^2} \right) = 13.6 \times 0.2223 \approx 3.02 \text{ eV}$.
જેમ કે $\nu = \frac{\Delta E}{h}$,જે સંક્રમણમાં ઉર્જાનો તફાવત સૌથી વધુ હશે તે સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતો ફોટોન ઉત્સર્જિત કરશે.
$\Delta E_1$ અને $\Delta E_2$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\Delta E_1 > \Delta E_2$.
તેથી,$n = 2$ થી $n = 1$ નું સંક્રમણ સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતા ફોટોનનું ઉત્સર્જન કરે છે.

(B) જ્યારે $p$-ટર્મિનલ (એનોડ) પરનું પોટેન્શિયલ $n$-ટર્મિનલ (કેથોડ) પરના પોટેન્શિયલ કરતા વધારે હોય ત્યારે ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસ સ્થિતિમાં હોય છે.
ધારો કે $V_A$ એ એનોડ પરનું પોટેન્શિયલ છે અને $V_K$ એ કેથોડ પરનું પોટેન્શિયલ છે.
ફોરવર્ડ બાયસ માટે,શરત $V_A > V_K$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(A)$ $V_A = 0 \ V$,$V_K = 2 \ V$. અહીં $V_A < V_K$,તેથી તે રિવર્સ બાયસ છે.
$(B)$ $V_A = 0 \ V$,$V_K = -2 \ V$. અહીં $V_A > V_K$ $(0 > -2)$,તેથી તે ફોરવર્ડ બાયસ છે.
$(C)$ $V_A = -5 \ V$,$V_K = -2 \ V$. અહીં $V_A < V_K$ $(-5 < -2)$,તેથી તે રિવર્સ બાયસ છે.
$(D)$ $V_A = 5 \ V$,$V_K = 12 \ V$. અહીં $V_A < V_K$,તેથી તે રિવર્સ બાયસ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો જવાબ છે.

(C) ધારો કે કાચના સ્લેબની જાડાઈ $x$ છે.
જ્યારે એક બાજુથી જોવામાં આવે ત્યારે આભાસી ઊંડાઈ $d_1 = 5 \ cm$ છે.
જ્યારે બીજી બાજુથી જોવામાં આવે ત્યારે આભાસી ઊંડાઈ $d_2 = 2 \ cm$ છે.
વાસ્તવિક ઊંડાઈ અને આભાસી ઊંડાઈ વચ્ચેનો સંબંધ $\mu = \frac{\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ}}{\text{આભાસી ઊંડાઈ}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $x_1$ એ પ્રથમ બાજુથી પરપોટાનું વાસ્તવિક અંતર છે અને $x_2$ એ બીજી બાજુથી વાસ્તવિક અંતર છે,જેથી $x_1 + x_2 = x$ થાય.
સૂત્ર મુજબ,$x_1 = \mu d_1 = 1.5 \times 5 = 7.5 \ cm$.
તે જ રીતે,$x_2 = \mu d_2 = 1.5 \times 2 = 3.0 \ cm$.
તેથી,સ્લેબની કુલ જાડાઈ $x = x_1 + x_2 = 7.5 + 3.0 = 10.5 \ cm$ છે.

(D) પોટેન્શિયોમીટરને વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(p.d.)$ અથવા કોષનું વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ માપવા માટેનું શ્રેષ્ઠ સાધન માનવામાં આવે છે કારણ કે તે શૂન્ય વિચલન પદ્ધતિના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે.
આ પદ્ધતિમાં,જ્યારે પોટેન્શિયોમીટર સંતુલિત થાય છે,ત્યારે માપવામાં આવતા કોષ સાથે જોડાયેલા ગેલ્વેનોમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
સ્ત્રોતમાંથી કોઈ પ્રવાહ ખેંચાતો ન હોવાથી,માપવામાં આવેલ ટર્મિનલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત કોષના વાસ્તવિક $EMF$ જેટલો જ હોય છે.
તેથી,તે ખુલ્લા પરિપથની સ્થિતિમાં $p.d.$ માપે છે,જે સ્ત્રોતના આંતરિક અવરોધને કારણે થતી ભૂલને ટાળે છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની વર્ણપટ શ્રેણી ઇલેક્ટ્રોન સંક્રમણના અંતિમ ઉર્જા સ્તર $(n_f)$ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$1$. $n_f = 1$ પરના સંક્રમણ લાયમન શ્રેણીમાં પરિણમે છે.
$2$. $n_f = 2$ પરના સંક્રમણ બામર શ્રેણીમાં પરિણમે છે.
$3$. $n_f = 3$ પરના સંક્રમણ પાશ્ચન શ્રેણીમાં પરિણમે છે.
આ કિસ્સામાં,ઇલેક્ટ્રોન $n_i = 4$ થી $n_f = 2$ માં સંક્રમણ કરે છે. અંતિમ અવસ્થા $n_f = 2$ હોવાથી,આ ઉત્સર્જન બામર શ્રેણીનો ભાગ છે.
બામર શ્રેણીની રેખાઓ $n_i = 3, 4, 5, ...$ થી $n_f = 2$ ના સંક્રમણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
- પ્રથમ રેખા $n_i = 3$ થી $n_f = 2$ ના સંક્રમણ માટે છે.
- બીજી રેખા $n_i = 4$ થી $n_f = 2$ ના સંક્રમણ માટે છે.
તેથી,$n=4$ થી $n=2$ નું સંક્રમણ એ બામર શ્રેણીની બીજી રેખા દર્શાવે છે.

(C) $H$ ઊંચાઈ ધરાવતી વસ્તુનું સંપૂર્ણ પ્રતિબિંબ સમતલ અરીસામાં જોવા માટે,અરીસાની જરૂરી લઘુત્તમ લંબાઈ $H/2$ હોય છે.
અહીં માણસની ઊંચાઈ $H = 6$ ફૂટ આપેલી છે.
તેથી,અરીસાની જરૂરી લઘુત્તમ લંબાઈ $6 / 2 = 3$ ફૂટ થશે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના હેલિકલ પથની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$r = \frac{mv_{\perp}}{qB} = \frac{mv \sin \theta}{qB}$
આપેલ કિંમતો:
$q/m = 10^8 \, C/kg \implies m/q = 10^{-8} \, kg/C$
$v = 3 \times 10^5 \, m/s$
$B = 0.3 \, T$
$\theta = 30^{\circ}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$r = \left( \frac{m}{q} \right) \frac{v \sin 30^{\circ}}{B}$
$r = (10^{-8}) \times \frac{3 \times 10^5 \times 0.5}{0.3}$
$r = 10^{-8} \times \frac{1.5 \times 10^5}{0.3}$
$r = 10^{-8} \times 5 \times 10^5 = 5 \times 10^{-3} \, m$
મીટરને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા:
$r = 5 \times 10^{-3} \times 10^2 \, cm = 0.5 \, cm$.

(B) જે. જે. થોમસને તેમના કેથોડ કિરણ પ્રયોગ દ્વારા ઇલેક્ટ્રોનનો વિશિષ્ટ વિદ્યુતભાર $(e/m)$ નક્કી કર્યો હતો. ત્યારબાદ,રોબર્ટ એ. મિલિકને તેમના ઓઇલ-ડ્રોપ પ્રયોગ દ્વારા ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $(e)$ નક્કી કર્યો. આ બંને મૂલ્યોને જોડીને,ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $(m)$ પરોક્ષ રીતે $m = e / (e/m)$ સૂત્ર દ્વારા મેળવવામાં આવ્યું હતું.

(B) શરૂઆતમાં,$C$ કેપેસીટન્સ ધરાવતું કેપેસિટર બેટરી દ્વારા $V$ પોટેન્શિયલ સુધી ચાર્જ થાય છે. સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{Q^2}{2C}$ છે,જ્યાં $Q$ એ પ્રારંભિક ચાર્જ છે.
જ્યારે બેટરીને ડિસ્કનેક્ટ કરવામાં આવે છે અને સમાન કેપેસીટન્સ $C$ ધરાવતું બીજું કેપેસિટર સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ ચાર્જ $Q$ બંને કેપેસિટરો વચ્ચે પુનઃવિતરિત થાય છે.
કેપેસિટરો સમાંતરમાં હોવાથી,તેઓ ચાર્જને સમાન રીતે વહેંચશે,તેથી દરેક કેપેસિટર પર હવે $Q' = \frac{Q}{2}$ ચાર્જ હશે.
દરેક કેપેસિટર પર નવો પોટેન્શિયલ તફાવત $V' = \frac{Q'}{C} = \frac{Q}{2C} = \frac{V}{2}$ છે.
દરેક કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U' = \frac{1}{2} C(V')^2 = \frac{1}{2} C \left(\frac{V}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} C \frac{V^2}{4} = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{2} CV^2\right) = \frac{U}{4}$ છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ તે સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભારના $\frac{1}{\varepsilon_0}$ ગણું હોય છે.
જ્યારે $Q$ વિદ્યુતભારને ઘનના ખૂણા પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે $8$ સમાન ઘનો દ્વારા ઘેરાયેલી એક મોટી સંમિત બંધ સપાટી (ગોસિયન સપાટી) બનાવે છે.
તેથી,સમગ્ર ગોસિયન સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\frac{Q}{\varepsilon_0}$ થાય.
આ વિદ્યુતભાર $8$ ઘનોમાં સમાન રીતે વહેંચાયેલો હોવાથી,એક ઘનમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ કુલ ફ્લક્સના $\frac{1}{8}$ ભાગનું હોય છે.
આમ,ઘનમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi = \frac{Q}{8\varepsilon_0}$ છે.

(A) સમિતિની ધરી $PO$ સાથે $\theta$ ખૂણે $dl = a d\theta$ લંબાઈનો એક નાનો ખંડ ધ્યાનમાં લો. આ ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda dl = \lambda a d\theta$ છે.
આ ખંડને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $dE = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{dq}{a^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\lambda a d\theta}{a^2} = \frac{\lambda d\theta}{4\pi \varepsilon_0 a}$ છે.
સમિતિને કારણે,સમિતિની ધરી $PO$ ને લંબ વિદ્યુતક્ષેત્રના ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,જ્યારે $PO$ ની દિશામાંના ઘટકોનો સરવાળો થાય છે.
$PO$ ની દિશામાં $dE$ નો ઘટક $dE_{\parallel} = dE \cos \theta = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 a} \cos \theta d\theta$ છે.
$\theta = -\pi/2$ થી $\pi/2$ સુધી સંકલન કરતા:
$E = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 a} \cos \theta d\theta = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 a} [\sin \theta]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 a} (1 - (-1)) = \frac{2\lambda}{4\pi \varepsilon_0 a} = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 a}$.