श्रेणी 1^2 + 2.2^2 + 3^2 + 2.4^2 + 5^2 + 2.6^ | vedclass

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Question

(B) श्रेणी $1^2, 2.2^2, 3^2, 2.4^2, 5^2, 2.6^2, \dots$ है।जब $n$ विषम है,तो $n$-वां पद $n^2$ है।चूंकि $n$ विषम है,इसलिए $n-1$ एक सम संख्या है।प्रथम $n

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$\frac{1}{2}n^2(n + 1)$

Vedclass · Answer

(B) श्रेणी $1^2, 2.2^2, 3^2, 2.4^2, 5^2, 2.6^2, \dots$ है।जब $n$ विषम है,तो $n$-वां पद $n^2$ है।चूंकि $n$ विषम है,इसलिए $n-1$ एक सम संख्या है।प्रथम $n-1$ पदों का योग सम पदों के लिए दिए गए सूत्र में $n$ के स्थान पर $n-1$ रखकर प्राप्त किया जा सकता है:$S_{n-1} = \frac{(n-1)((n-1) + 1)^2}{2} = \frac{(n-1)n^2}{2}$.$n$ पदों का योग $S_n = S_{n-1} + T_n$ है।$S_n = \frac{(n-1)n^2}{2} + n^2 = n^2 \left( \frac{n-1}{2} + 1 ight) = n^2 \left( \frac{n-1+2}{2} ight) = \frac{n^2(n+1)}{2}$.सत्यापन: $n=1$ के लिए,$S_1 = 1^2 = 1$. विकल्प $(b)$ में मान रखने पर $\frac{1^2(1+1)}{2} = 1$ प्राप्त होता है। $n=3$ के लिए,$S_3 = 1^2 + 2.2^2 + 3^2 = 1 + 8 + 9 = 18$. विकल्प $(b)$ में मान रखने पर $\frac{3^2(3+1)}{2} = \frac{9 	imes 4}{2} = 18$ प्राप्त होता है।

श्रेणी $1^2 + 2.2^2 + 3^2 + 2.4^2 + 5^2 + 2.6^2 + \dots$ के प्रथम $n$ पदों का योग जब $n$ सम (even) है,तो $\frac{n(n + 1)^2}{2}$ है। जब $n$ विषम (odd) है,तो योग क्या होगा?

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