श्रेणी frac{3}{1^2} + frac{5}{1^2 + 2^2} + fr | vedclass

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Question

(C) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{2n + 1}{\sum_{k=1}^{n} k^2}$ द्वारा दिया जाता है।प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग का सूत्र उपयोग कर

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$\frac{6n}{n + 1}$

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(C) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{2n + 1}{\sum_{k=1}^{n} k^2}$ द्वारा दिया जाता है।प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग का सूत्र उपयोग करने पर,$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$।इस मान को $T_n$ के सूत्र में रखने पर:$T_n = \frac{2n + 1}{\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}} = \frac{6}{n(n + 1)}$।आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करते हुए,$T_n = 6 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right)$ लिखा जा सकता है।$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = 6 \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \right)$।यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:$S_n = 6 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) \right]$।$S_n = 6 \left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right) = 6 \left( \frac{n + 1 - 1}{n + 1} \right) = \frac{6n}{n + 1}$।

श्रेणी $\frac{3}{1^2} + \frac{5}{1^2 + 2^2} + \frac{7}{1^2 + 2^2 + 3^2} + ...$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

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