Permutation and Combination Questions in Hindi

(C) हम सर्वसमिका $^nC_r + ^nC_{r-1} = ^{n+1}C_r$ का उपयोग करते हैं।
दी गई व्यंजक: $^nC_r + 2^nC_{r-1} + ^nC_{r-2}$।
मध्य पद को विभाजित करने पर: $^nC_r + ^nC_{r-1} + ^nC_{r-1} + ^nC_{r-2}$।
पदों को समूहबद्ध करने पर: $(^nC_r + ^nC_{r-1}) + (^nC_{r-1} + ^nC_{r-2})$।
सर्वसमिका लागू करने पर: $^{n+1}C_r + ^{n+1}C_{r-1}$।
पुनः सर्वसमिका लागू करने पर: $^{n+2}C_r$।

(D) कुल हैंडशेक की संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें $8$ व्यक्तियों में से $2$ व्यक्तियों को चुनना होगा जो एक हैंडशेक पूरा करते हैं।
यह एक संचय (Combination) का प्रश्न है क्योंकि हाथ मिलाने वाले दो व्यक्तियों का क्रम मायने नहीं रखता है।
$8$ में से $2$ व्यक्तियों को चुनने के तरीकों की संख्या संचय के सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 8$ और $r = 2$ है।
कुल हैंडशेक = $^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$.
अतः,कुल हैंडशेक की संख्या $28$ है।

(A) व्यंजक $^nC_r + ^nC_{r-1}$ संचय के लिए पास्कल के सर्वसमिका का पालन करता है।
सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$^nC_r + ^nC_{r-1} = \frac{n!}{r!(n-r)!} + \frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!}$
उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालने पर:
$= \frac{n!}{(r-1)!(n-r)!} \left[ \frac{1}{r} + \frac{1}{n-r+1} \right]$
$= \frac{n!}{(r-1)!(n-r)!} \left[ \frac{n-r+1+r}{r(n-r+1)} \right]$
$= \frac{n!}{(r-1)!(n-r)!} \left[ \frac{n+1}{r(n-r+1)} \right]$
$= \frac{(n+1)n!}{r(r-1)!(n-r+1)(n-r)!} = \frac{(n+1)!}{r!(n+1-r)!} = ^{n+1}C_r$.

(B) दिया गया है कि $^nC_a = ^nC_b$,तो या तो $a = b$ होगा या $a + b = n$ होगा।
यहाँ,$^8C_r = ^8C_{r+2}$ है।
चूंकि $r \neq r + 2$,इसलिए $r + (r + 2) = 8$ होगा।
$2r + 2 = 8$
$2r = 6$
$r = 3$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $^rC_2$ का मान ज्ञात करना है,जो कि $^3C_2$ है।
$^3C_2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 1} = 3$।

(D) दिया गया समीकरण $^{20}C_{n+2} = ^nC_{16}$ है।
कॉम्बिनेशन $^nC_r$ को परिभाषित होने के लिए,शर्त $n \ge r$ का पालन होना चाहिए।
$^nC_{16}$ पद के लिए,हमारे पास $n \ge 16$ होना चाहिए।
$^{20}C_{n+2}$ पद के लिए,हमारे पास $20 \ge n+2$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $n \le 18$।
अतः,$n$ को $16 \le n \le 18$ की सीमा में होना चाहिए।
यदि $n = 16$ है,तो $^{20}C_{18} = ^{16}C_{16} \implies 190 = 1$,जो गलत है।
यदि $n = 17$ है,तो $^{20}C_{19} = ^{17}C_{16} \implies 20 = 17$,जो गलत है।
यदि $n = 18$ है,तो $^{20}C_{20} = ^{18}C_{16} \implies 1 = 153$,जो गलत है।
चूंकि मान्य सीमा में $n$ का कोई भी पूर्णांक मान समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है,इसलिए $n$ का कोई मान संभव नहीं है।

(A) हम संचय (combinations) के गुणधर्म का उपयोग करते हैं: $^{n}C_r = ^{n}C_{n-r}$।
सबसे पहले,इस गुणधर्म का उपयोग करके $^{15}C_{13}$ को सरल करें:
$^{15}C_{13} = ^{15}C_{15-13} = ^{15}C_2$।
अब,पास्कल के सर्वसमिका का उपयोग करें: $^{n}C_r + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_r$।
मान रखने पर:
$^{15}C_3 + ^{15}C_2 = ^{15+1}C_3 = ^{16}C_3$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) माना कि कमरे में व्यक्तियों की कुल संख्या $n$ है।
चूंकि प्रत्येक व्यक्ति दूसरे प्रत्येक व्यक्ति के साथ केवल एक बार हाथ मिलाता है,इसलिए हाथ मिलाने की कुल संख्या संचय (combination) के सूत्र $^nC_2$ द्वारा दी जाती है,जो $n$ व्यक्तियों में से $2$ व्यक्तियों के चयन को दर्शाता है।
दिया गया है कि हाथ मिलाने की कुल संख्या $66$ है,इसलिए समीकरण: $^nC_2 = 66$ है।
सूत्र $^nC_2 = \frac{n(n-1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{n(n-1)}{2} = 66$
$n(n-1) = 132$
$n^2 - n - 132 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(n - 12)(n + 11) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि व्यक्तियों की संख्या $n$ धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $n = 12$ है।
अतः,कमरे में व्यक्तियों की कुल संख्या $12$ है।

(C) दी गई असमिका $^{10}C_{x-1} > 2 \cdot ^{10}C_x$ है।
सूत्र $^{n}C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करके, हम पदों का विस्तार करते हैं:
$\frac{10!}{(x-1)!(10-(x-1))!} > 2 \cdot \frac{10!}{x!(10-x)!}$
$\frac{10!}{(x-1)!(11-x)!} > 2 \cdot \frac{10!}{x!(10-x)!}$
चूंकि $10!$ उभयनिष्ठ है, हम इसे सरल करते हैं:
$\frac{1}{(x-1)!(11-x)(10-x)!} > 2 \cdot \frac{1}{x(x-1)!(10-x)!}$
$\frac{1}{11-x} > \frac{2}{x}$
चूंकि $x$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए और $1 \le x \le 10$, हम वज्र-गुणन करते हैं:
$x > 2(11-x)$
$x > 22 - 2x$
$3x > 22$
$x > \frac{22}{3} \approx 7.33$
चूंकि $x$ एक पूर्णांक है और $x \le 10$, इसलिए $x$ के संभावित मान ${8, 9, 10}$ हैं।

(A) हम द्विपद गुणांकों का गुणधर्म जानते हैं: $^{n}{C_{r}} = ^{n}{C_{n-r}}$.
अतः,$^{n+r}{C_{n}} = ^{n+r}{C_{(n+r)-n}} = ^{n+r}{C_{r}}$.
हमें योग $S = \sum_{r=0}^{m} {^{n+r}{C_{r}}} = ^{n}{C_{0}} + ^{n+1}{C_{1}} + ^{n+2}{C_{2}} + \dots + ^{n+m}{C_{m}}$ का मान ज्ञात करना है।
हॉकी-स्टिक सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,जो बताती है कि $\sum_{i=r}^{n} {^{i}{C_{r}}} = ^{n+1}{C_{r+1}}$,हम अपने योग को फिर से लिख सकते हैं।
यहाँ,योग $\sum_{r=0}^{m} {^{n+r}{C_{r}}}$ है।
सर्वसमिका $\sum_{k=0}^{m} {^{n+k}{C_{k}}} = ^{n+m+1}{C_{m}}$ के अनुसार।
चूंकि $^{n+m+1}{C_{m}} = ^{n+m+1}{C_{(n+m+1)-m}} = ^{n+m+1}{C_{n+1}}$.
इसलिए,योग $^{n+m+1}{C_{n+1}}$ के बराबर है।

(B) मान लीजिए कि टीमों की संख्या $n$ है।
चूंकि प्रत्येक टीम हर दूसरी टीम के साथ एक मैच खेलती है,इसलिए मैचों की कुल संख्या संचय (combination) के सूत्र $^nC_2$ द्वारा दी जाती है,जो $n$ टीमों में से $2$ टीमों को मैच खेलने के लिए चुनने का प्रतिनिधित्व करता है।
यह दिया गया है कि मैचों की कुल संख्या $153$ है,इसलिए:
$^nC_2 = 153$
$\frac{n(n - 1)}{2} = 153$
$n(n - 1) = 306$
$n^2 - n - 306 = 0$
द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$(n - 18)(n + 17) = 0$
चूंकि टीमों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $n = 18$ है।
अतः,भाग लेने वाली टीमों की संख्या $18$ है।

(D) प्रत्येक प्रश्न का उत्तर $4$ तरीकों से दिया जा सकता है।
चूंकि $3$ प्रश्न हैं,इसलिए सभी प्रश्नों के उत्तर देने के कुल तरीके $4 \times 4 \times 4 = 4^3 = 64$ हैं।
सभी प्रश्नों के उत्तर सही होने का केवल $1$ ही तरीका है (अर्थात प्रत्येक प्रश्न के लिए सही विकल्प चुनना)।
इसलिए,उन तरीकों की संख्या जिनसे एक छात्र सभी उत्तर सही प्राप्त करने में विफल हो सकता है,कुल तरीकों में से सभी सही उत्तरों के तरीके को घटाने पर प्राप्त होती है: $64 - 1 = 63$।

(D) दिया गया है $\alpha = {^m}{C_2} = \frac{m(m-1)}{2}$।
हमें ${^\alpha}{C_2} = \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}$ ज्ञात करना है।
$\alpha$ का मान रखने पर:
${^\alpha}{C_2} = \frac{\frac{m(m-1)}{2} \left( \frac{m(m-1)}{2} - 1 \right)}{2}$
$= \frac{1}{4} \cdot \frac{m(m-1)}{2} \cdot (m^2 - m - 2)$
$= \frac{1}{8} m(m-1)(m-2)(m+1)$
$= \frac{3}{1} \cdot \frac{(m+1)m(m-1)(m-2)}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
$= 3 \cdot {^{m+1}}{C_4}$।

(B) $20$ छात्रों की कक्षा में,यदि प्रत्येक छात्र अन्य सभी छात्रों को कार्ड भेजता है,तो हम पहले उन जोड़ों की संख्या पर विचार करते हैं जो बनाए जा सकते हैं। $20$ में से $2$ छात्रों को चुनने के तरीके $^{20}C_2$ द्वारा दिए जाते हैं।
चूंकि प्रत्येक जोड़े में दो कार्डों का आदान-प्रदान होता है (छात्र $A$ ने $B$ को कार्ड भेजा,और छात्र $B$ ने $A$ को कार्ड भेजा),इसलिए आदान-प्रदान किए गए कार्डों की कुल संख्या $2 \times ^{20}C_2$ है।
गणना: $2 \times \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 380$ कार्ड।

(C) प्रत्येक व्यक्ति के पास दांतों के लिए $32$ संभावित स्थान हैं।
प्रत्येक स्थान के लिए $2$ संभावनाएं हैं: या तो दांत मौजूद है या अनुपस्थित है।
चूंकि ऐसे $32$ स्थान हैं,इसलिए दांतों के संयोजनों की कुल संख्या $2 \times 2 \times \dots \times 2$ ($32$ बार) होगी,जो $2^{32}$ के बराबर है।
हालाँकि,प्रश्न में कहा गया है कि ऐसा कोई व्यक्ति नहीं है जिसके एक भी दांत न हो,जिसका अर्थ है कि उस स्थिति को बाहर करना होगा जहाँ सभी $32$ स्थान खाली हैं।
इसलिए,शहर की अधिकतम जनसंख्या $2^{32} - 1$ है।

(B) दिया गया अनुपात $^{2n}C_2 : ^nC_2 = 9:2$ है।
सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2n(2n-1)}{2} : \frac{n(n-1)}{2} = 9:2$
$\frac{2n(2n-1)}{n(n-1)} = \frac{9}{2}$
$4(2n-1) = 9(n-1)$
$8n - 4 = 9n - 9$
$n = 5$
अब,$n = 5$ को $^nC_r = 10$ में रखने पर:
$^5C_r = 10$
चूंकि $^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$,इसलिए हमें $r = 2$ प्राप्त होता है।

(D) संचय (combinations) के गुणधर्म के अनुसार,यदि $^nC_x = ^nC_y$ है,तो या तो $x = y$ होगा या $x + y = n$ होगा।
यहाँ,$^{10}C_r = ^{10}C_{r+2}$ दिया गया है।
चूंकि $r \neq r + 2$,इसलिए हमें $r + (r + 2) = 10$ लेना होगा।
$2r + 2 = 10$
$2r = 8$
$r = 4$।
अब,हमें $^5C_r$ का मान ज्ञात करना है,जो कि $^5C_4$ है।
सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर,$^5C_4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5 \times 4!}{4! \times 1!} = 5$ प्राप्त होता है।

(B) हमें निम्नलिखित संचय (combinations) दिए गए हैं:
$1$) $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{84}{36} = \frac{7}{3}$
सूत्र $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{n-r+1}{r} = \frac{7}{3} \implies 3n - 3r + 3 = 7r \implies 3n - 10r = -3$ (समीकरण $1$)
$2$) $\frac{^nC_{r+1}}{^nC_r} = \frac{126}{84} = \frac{3}{2}$
सूत्र $\frac{^nC_{r+1}}{^nC_r} = \frac{n-r}{r+1}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{n-r}{r+1} = \frac{3}{2} \implies 2n - 2r = 3r + 3 \implies 2n - 5r = 3$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ को $2$ से गुणा करने पर: $4n - 10r = 6$ (समीकरण $3$)
समीकरण $3$ में से समीकरण $1$ घटाने पर: $(4n - 10r) - (3n - 10r) = 6 - (-3) \implies n = 9$.
$n=9$ को समीकरण $2$ में रखने पर: $2(9) - 5r = 3 \implies 18 - 5r = 3 \implies 5r = 15 \implies r = 3$.

(A) हम पास्कल के सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $^nC_r + ^nC_{r-1} = ^{n+1}C_r$.
दी गई असमिका में इसे लागू करने पर: $^nC_3 + ^nC_4 = ^{n+1}C_4$.
अतः,असमिका इस प्रकार हो जाती है: $^{n+1}C_4 > ^{n+1}C_3$.
संचय का विस्तार करने पर: $\frac{(n+1)!}{4!(n-3)!} > \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!}$.
दोनों पक्षों को $(n+1)!$ से विभाजित करने और फैक्टोरियल को सरल करने पर:
$\frac{1}{4 \times 3!(n-3)!} > \frac{1}{3!(n-2)(n-3)!}$.
$\frac{1}{4} > \frac{1}{n-2}$.
चूंकि संचय परिभाषित होने के लिए $n > 3$ है,इसलिए $n-2$ धनात्मक है,अतः हम वज्र-गुणन कर सकते हैं:
$n - 2 > 4$.
$n > 6$.

(C) हम जानते हैं कि यदि ${}^nC_x = {}^nC_y$ है,तो या तो $x = y$ या $x + y = n$ होता है।
दिया गया समीकरण: ${}^{15}C_{r + 3} = {}^{15}C_{2r - 6}$।
स्थिति $1$: $r + 3 = 2r - 6$
$r - 2r = -6 - 3$
$-r = -9$
$r = 9$।
स्थिति $2$: $(r + 3) + (2r - 6) = 15$
$3r - 3 = 15$
$3r = 18$
$r = 6$।
चूंकि $r$ को $0 \le r+3 \le 15$ और $0 \le 2r-6 \le 15$ की शर्त को पूरा करना चाहिए,इसलिए $r=9$ और $r=6$ दोनों मान्य समाधान हैं। दिए गए विकल्पों को देखते हुए,$6$ सही उत्तर है।

(C) दिया गया समीकरण: $^{n + 1}{C_3} = 2{\,^n}{C_2}$
सूत्र $^{n}{C_r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करते हुए,दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$\frac{(n + 1)!}{3!(n + 1 - 3)!} = 2 \times \frac{n!}{2!(n - 2)!}$
$\frac{(n + 1) \times n!}{6 \times (n - 2)!} = 2 \times \frac{n!}{2 \times (n - 2)!}$
दोनों पक्षों से $n!$ और $(n - 2)!$ को हटाने पर:
$\frac{n + 1}{6} = \frac{2}{2}$
$\frac{n + 1}{6} = 1$
$n + 1 = 6$
$n = 5$

(D) हम जानते हैं कि $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ होता है।
इसलिए,$\binom{n}{n-r} = \binom{n}{r}$ होगा।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\binom{n}{n-r} + \binom{n}{r+1} = \binom{n}{r} + \binom{n}{r+1}$।
पास्कल के सर्वसमिका सूत्र $\binom{n}{r} + \binom{n}{r+1} = \binom{n+1}{r+1}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\binom{n}{r} + \binom{n}{r+1} = \binom{n+1}{r+1}$।

(A) पास्कल के सर्वसमिका $^nC_r + ^nC_{r-1} = ^{n+1}C_r$ का उपयोग करने पर,हमें $^nC_6 + ^nC_5 = ^{n+1}C_6$ प्राप्त होता है।
दी गई असमिका: $^{n+1}C_6 > ^{n+1}C_5$ है।
संचय का विस्तार करने पर: $\frac{(n+1)!}{6!(n-5)!} > \frac{(n+1)!}{5!(n-4)!}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $(n+1)!$ से विभाजित करने और फैक्टोरियल को सरल करने पर:
$\frac{1}{6 \times 5!(n-5)!} > \frac{1}{5!(n-4)(n-5)!}$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{6} > \frac{1}{n-4}$ होता है।
चूंकि $n$ एक प्राकृतिक संख्या है,इसलिए $n-4 > 6$,जिसका अर्थ है कि $n > 10$ है।
इस शर्त को संतुष्ट करने वाली न्यूनतम प्राकृतिक संख्या $n = 11$ है।

(B) $n$ व्यक्तियों की एक पार्टी में,यदि प्रत्येक व्यक्ति अन्य सभी व्यक्तियों के साथ ठीक एक बार हाथ मिलाता है,तो कुल हैंडशेक की संख्या $n$ में से $2$ व्यक्तियों को चुनकर जोड़ी बनाने के बराबर होती है।
इसकी गणना संचय (Combination) के सूत्र द्वारा की जाती है: $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$।
यहाँ,$n = 15$ और $r = 2$ है।
कुल हैंडशेक = $^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$।

(D) दी गई अभिव्यक्ति संचय (combinations) में पास्कल के सर्वसमिका (Pascal's Identity) के रूप में जाना जाने वाला एक मानक सूत्र है।
पास्कल की सर्वसमिका के अनुसार,किन्हीं भी धनात्मक पूर्णांकों $n$ और $r$ के लिए जहाँ $n \ge r$ है,दो क्रमागत द्विपद गुणांकों का योग इस प्रकार होता है:
$^nC_{r-1} + ^nC_r = ^{n+1}C_r$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) हम जानते हैं कि यदि $^nC_a = ^nC_b$ है,तो या तो $a = b$ होगा या $a + b = n$ होगा।
दिया गया समीकरण: $^{43}C_{r-6} = ^{43}C_{3r+1}$।
स्थिति $1$: $r - 6 = 3r + 1$
$-7 = 2r$
$r = -3.5$ (यह संभव नहीं है क्योंकि $r$ एक ऋणेतर पूर्णांक होना चाहिए)।
स्थिति $2$: $(r - 6) + (3r + 1) = 43$
$4r - 5 = 43$
$4r = 48$
$r = 12$।
अतः,$r$ का मान $12$ है।

(C) दी गई संख्या $112233$ है,जिसमें कुल $6$ अंक हैं।
अंक $1, 1, 2, 2, 3, 3$ हैं।
यहाँ,अंक $1$ दो बार,अंक $2$ दो बार और अंक $3$ दो बार पुनरावृत्त होते हैं।
इन $6$ अंकों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\text{तरीकों की संख्या} = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot n_3!}$
मान रखने पर: $n = 6$,$n_1 = 2$,$n_2 = 2$,$n_3 = 2$।
$\text{तरीकों की संख्या} = \frac{6!}{2! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{720}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{720}{8} = 90$।
अतः,ऐसी $90$ संख्याएँ बनाई जा सकती हैं।

(C) एक मतदाता $1, 2, 3, 4,$ या $5$ उम्मीदवारों को वोट दे सकता है।
चूंकि चयन का क्रम मायने नहीं रखता,इसलिए हम संचय (combinations) का उपयोग करते हैं।
कुल तरीकों की संख्या संचयों के योग द्वारा दी जाती है:
कुल तरीके $= ^8C_1 + ^8C_2 + ^8C_3 + ^8C_4 + ^8C_5$
$= 8 + 28 + 56 + 70 + 56$
$= 218$
अतः,एक मतदाता के लिए वोट देने के $218$ तरीके हैं।

(C) माना उम्मीदवारों की संख्या $n$ है। चुने जाने वाले व्यक्तियों की संख्या $n-1$ है।
एक मतदाता $1$ से $n-1$ तक के उम्मीदवारों में से किसी को भी वोट दे सकता है।
मतदाता द्वारा मतदान करने के कुल तरीकों की संख्या संचयों का योग है:
$^nC_1 + {}^nC_2 + \cdots + {}^nC_{n-1} = 254$
हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का योग:
$\sum_{r=0}^{n} {}^nC_r = 2^n$
इसलिए,
$^nC_0 + {}^nC_1 + {}^nC_2 + \cdots + {}^nC_{n-1} + {}^nC_n = 2^n$
ज्ञात मान रखने पर:
$1 + 254 + 1 = 2^n$
$256 = 2^n$
$2^8 = 2^n$
अतः, $n = 8$

(A) यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो हिंदी पुस्तकें एक साथ न हों,हम पहले $21$ अंग्रेजी पुस्तकों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करते हैं।
ये $21$ अंग्रेजी पुस्तकें $22$ संभावित स्थान (सिरों सहित) बनाती हैं जहाँ हिंदी पुस्तकें रखी जा सकती हैं: $\bullet E_1 \bullet E_2 \bullet E_3 \bullet ... \bullet E_{21} \bullet$.
चूंकि $19$ हिंदी पुस्तकें हैं,हमें $22$ उपलब्ध स्थानों में से $19$ स्थानों का चयन करना होगा।
इन स्थानों को चुनने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 22$ और $r = 19$ है।
कुल तरीके = $^{22}C_{19} = ^{22}C_{22-19} = ^{22}C_{3}$.
मान की गणना करने पर: $^{22}C_{3} = \frac{22 \times 21 \times 20}{3 \times 2 \times 1} = 22 \times 7 \times 10 = 1540$.
अतः,पुस्तकों को व्यवस्थित करने के $1540$ तरीके हैं।

(B) दी गई व्यंजक संचय का योग है: $S = ^rC_r + ^{r+1}C_r + ^{r+2}C_r + ...... + ^{n-1}C_r + ^nC_r$.
हम यहाँ 'हॉकी-स्टिक आइडेंटिटी' (Hockey-Stick Identity) का उपयोग करेंगे,जिसके अनुसार $\sum_{i=r}^{n} {^iC_r} = ^{n+1}C_{r+1}$ होता है।
चरण-दर-चरण गणना:
$1$. चूँकि $^rC_r = 1$ और $^{r+1}C_{r+1} = 1$,इसलिए हम $^rC_r$ को $^{r+1}C_{r+1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$2$. पास्कल के नियम (Pascal's Identity) के अनुसार: $^nC_r + ^nC_{r-1} = ^{n+1}C_r$.
$3$. इस नियम का क्रमिक उपयोग करने पर:
$(^{r+1}C_{r+1} + ^{r+1}C_r) + ^{r+2}C_r + ...... + ^nC_r$
$= ^{r+2}C_{r+1} + ^{r+2}C_r + ...... + ^nC_r$
$= ^{r+3}C_{r+1} + ...... + ^nC_r$
$= ^{n+1}C_{r+1}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) चरण $1$: $5$ उपलब्ध व्यंजनों में से $3$ व्यंजन चुनें,जिसे $^5C_3$ तरीकों से किया जा सकता है।
चरण $2$: $4$ उपलब्ध स्वरों में से $2$ स्वर चुनें,जिसे $^4C_2$ तरीकों से किया जा सकता है।
चरण $3$: अक्षरों को चुनने के कुल तरीके $^5C_3 \times ^4C_2$ हैं।
चरण $4$: चूंकि हमने कुल $5$ अक्षर चुने हैं ($3$ व्यंजन + $2$ स्वर),इन $5$ अक्षरों को आपस में $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
चरण $5$: इसलिए,बनाए जा सकने वाले शब्दों की कुल संख्या $(^5C_3 \times ^4C_2) \times 5!$ है।

(B) कुल उपलब्ध खिलाड़ी = $25$.
जिन्हें हमेशा शामिल करना है वे खिलाड़ी = $6$.
जिन्हें हमेशा बाहर रखना है वे खिलाड़ी = $5$.
शेष खिलाड़ी जिनसे चयन करना है = $25 - 6 - 5 = 14$.
पहले से चुने गए खिलाड़ी = $6$.
$11$ खिलाड़ियों की टीम पूरी करने के लिए अभी और आवश्यक खिलाड़ी = $11 - 6 = 5$.
इसलिए,शेष $14$ खिलाड़ियों में से $5$ खिलाड़ियों को चुनने के तरीकों की संख्या संचय के सूत्र $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
$^{14}C_{5} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 14 \times 13 \times 11 = 2002$.

(A) $n$ सदस्यों के समूह में से किसी भी संख्या के सदस्यों की समिति बनाने के कुल तरीके संचय के योग द्वारा दिए जाते हैं: $\sum_{r=1}^{n} {^nC_r} = 2^n - 1$.
यहाँ,$n = 12$ है।
अतः,एक या अधिक सदस्यों वाली समिति बनाने के तरीके $2^{12} - 1$ हैं।
मान की गणना करने पर: $2^{12} = 4096$।
इस प्रकार,$4096 - 1 = 4095$।

(C) विभिन्न प्रकार की समान वस्तुओं के समूह में से एक या अधिक वस्तुओं का चयन करने के लिए,हम सूत्र $(n_1 + 1)(n_2 + 1)(n_3 + 1) - 1$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $n_1, n_2, n_3$ प्रत्येक रंग की गेंदों की संख्या है।
यहाँ,$n_1 = 10$ (सफेद),$n_2 = 9$ (काली),और $n_3 = 7$ (लाल) है।
एक या अधिक गेंदों का चयन करने के कुल तरीके $(10 + 1)(9 + 1)(7 + 1) - 1$ द्वारा दिए जाते हैं।
$= 11 \times 10 \times 8 - 1$.
$= 880 - 1 = 879$.
अतः,कुल तरीकों की संख्या $879$ है।

(C) $n$ वस्तुओं में से एक समय में $r$ वस्तुओं को लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या ज्ञात करने के लिए,जब $p$ विशिष्ट वस्तुएं हमेशा शामिल हों:
$1$. सबसे पहले,हम $r$ वस्तुओं का चयन करते हैं। चूंकि $p$ वस्तुएं हमेशा शामिल होनी चाहिए,इसलिए हमें शेष $n-p$ वस्तुओं में से $r-p$ वस्तुओं का चयन करना होगा। यह चयन $^{n-p}C_{r-p}$ तरीकों से किया जा सकता है।
$2$. एक बार जब $r$ वस्तुओं का चयन हो जाता है,तो उन्हें आपस में $r!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$3$. अतः,कुल क्रमचयों की संख्या $^{n-p}C_{r-p} \times r!$ है।

(A) $52$ अलग-अलग प्रकार के पत्ते (सूट और मूल्य का संयोजन) होते हैं। चूंकि दो पैकेट हैं,इसलिए इन $52$ प्रकारों में से प्रत्येक पत्ता दो बार आता है।
$26$ पत्ते इस प्रकार चुनने के लिए कि कोई भी दो पत्ते समान सूट और समान मूल्य के न हों,हमें पहले उपलब्ध $52$ प्रकारों में से $26$ अलग प्रकार चुनने होंगे। यह $^{52}C_{26}$ तरीकों से किया जा सकता है।
चुने गए प्रत्येक $26$ पत्तों के लिए,हमारे पास $2$ विकल्प हैं (या तो पहले पैकेट से या दूसरे पैकेट से)।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $^{52}C_{26} \times 2^{26}$ है।

(B) कुल खिलाड़ी = $16$.
गेंदबाजों की संख्या = $5$.
विकेट-कीपर की संख्या = $2$.
शेष खिलाड़ी = $16 - (5 + 2) = 9$.
हमें $11$ खिलाड़ियों की एक टीम चुननी है जिसमें $3$ गेंदबाज,$1$ विकेट-कीपर और शेष $11 - (3 + 1) = 7$ खिलाड़ी शेष $9$ खिलाड़ियों में से चुने जाने हैं।
टीम चुनने के तरीकों की संख्या:
$= ^5C_3 \times ^2C_1 \times ^9C_7$
$= 10 \times 2 \times 36 = 720$.

(B) $n$ भिन्न पुस्तकों में से किसी भी संख्या में पुस्तकों को चुनने के कुल तरीके $2^n$ द्वारा दिए जाते हैं।
इसमें वह स्थिति भी शामिल है जिसमें कोई भी पुस्तक नहीं चुनी जाती है (रिक्त समुच्चय)।
चूंकि हमें एक या अधिक पुस्तकें चुननी हैं,इसलिए हमें शून्य पुस्तकें चुनने वाली स्थिति को घटाना होगा।
अतः,आवश्यक तरीकों की संख्या $2^n - 1$ है।
$n = 6$ के लिए,तरीकों की संख्या $2^6 - 1 = 64 - 1 = 63$ है।

(A) $n$ भिन्न वस्तुओं को $m$ आकार के $k$ समान समूहों में विभाजित करने के लिए (जहाँ $n = m \cdot k$),तरीकों की संख्या का सूत्र $\frac{n!}{(m!)^k \cdot k!}$ है।
यहाँ,$n = 15$,$m = 3$,और $k = 5$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें तरीकों की संख्या $\frac{15!}{(3!)^5 \cdot 5!}$ प्राप्त होती है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) $52$ ताश के पत्तों को चार खिलाड़ियों में समान रूप से बांटने के लिए,प्रत्येक खिलाड़ी को $13$ पत्ते मिलते हैं।
पहले खिलाड़ी के लिए $52$ में से $13$ पत्ते चुनने के तरीकों की संख्या $^{52}C_{13}$ है।
दूसरे खिलाड़ी के लिए शेष $39$ में से $13$ पत्ते चुनने के तरीकों की संख्या $^{39}C_{13}$ है।
तीसरे खिलाड़ी के लिए शेष $26$ में से $13$ पत्ते चुनने के तरीकों की संख्या $^{26}C_{13}$ है।
चौथे खिलाड़ी के लिए शेष $13$ में से $13$ पत्ते चुनने के तरीकों की संख्या $^{13}C_{13}$ है।
कुल तरीकों की संख्या = $^{52}C_{13} \times ^{39}C_{13} \times ^{26}C_{13} \times ^{13}C_{13}$
$= \frac{52!}{39! \cdot 13!} \times \frac{39!}{26! \cdot 13!} \times \frac{26!}{13! \cdot 13!} \times \frac{13!}{0! \cdot 13!}$
$= \frac{52!}{(13!)^4}$.

(B) चरण $1$: $6$ उपलब्ध व्यंजनों में से $4$ व्यंजन चुनें। चयन के प्रकार $^6C_4 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ हैं।
चरण $2$: $5$ उपलब्ध स्वरों में से $3$ स्वर चुनें। चयन के प्रकार $^5C_3 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ हैं।
चरण $3$: अक्षरों को चुनने के कुल प्रकार $15 \times 10 = 150$ हैं।
चरण $4$: इन $7$ चयनित अक्षरों को आपस में $7!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$.
चरण $5$: बनाए जा सकने वाले शब्दों की कुल संख्या $150 \times 5040 = 756000$ है।

(C) कुल खिलाड़ी = $13$,गेंदबाज = $4$,अन्य खिलाड़ी = $9$। हमें कम से कम $2$ गेंदबाजों के साथ $11$ खिलाड़ियों का चयन करना है।
स्थिति $1$: $2$ गेंदबाज और $9$ अन्य खिलाड़ी
तरीकों की संख्या = $^4C_2 \times ^9C_9 = 6 \times 1 = 6$
स्थिति $2$: $3$ गेंदबाज और $8$ अन्य खिलाड़ी
तरीकों की संख्या = $^4C_3 \times ^9C_8 = 4 \times 9 = 36$
स्थिति $3$: $4$ गेंदबाज और $7$ अन्य खिलाड़ी
तरीकों की संख्या = $^4C_4 \times ^9C_7 = 1 \times 36 = 36$
कुल तरीकों की संख्या = $6 + 36 + 36 = 78$.

(C) यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो '$-$' संकेत एक साथ न आएं,हम पहले छह '$+$' संकेतों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करते हैं।
इससे $7$ संभावित स्थान (सिरों सहित) बनते हैं जहाँ '$-$' संकेतों को रखा जा सकता है: $\_ + \_ + \_ + \_ + \_ + \_ \_$.
हमारे पास इन $7$ उपलब्ध स्थानों में रखने के लिए $4$ '$-$' संकेत हैं।
$7$ में से $4$ स्थानों को चुनने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र ${^n}C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या ${^7}C_4 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ है।

(B) समूह बनाने के लिए,हमें कम से कम एक हरी गेंद,कम से कम एक नीली गेंद और लाल गेंदों की कोई भी संख्या (शून्य सहित) चुननी होगी।
$1$. $5$ अलग-अलग हरी गेंदों में से कम से कम एक हरी गेंद चुनने के तरीके $2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$ हैं।
$2$. $4$ अलग-अलग नीली गेंदों में से कम से कम एक नीली गेंद चुनने के तरीके $2^4 - 1 = 16 - 1 = 15$ हैं।
$3$. $3$ अलग-अलग लाल गेंदों में से लाल गेंदों की कोई भी संख्या चुनने के तरीके (शून्य लाल गेंद चुनने के मामले सहित) $2^3 = 8$ हैं।
कुल तरीकों की संख्या = $31 \times 15 \times 8 = 3720$.

(C) $12$ व्यक्तियों ($4$ अधिकारी + $8$ कांस्टेबल) में से $6$ व्यक्तियों के चयन के कुल तरीके $^{12}C_6$ हैं।
$6$ व्यक्तियों के चयन के ऐसे तरीके जिनमें कोई भी अधिकारी शामिल न हो (अर्थात $8$ कांस्टेबलों में से $6$ का चयन) $^8C_6$ हैं।
शर्त के अनुसार,कम से कम एक अधिकारी को शामिल किया जाना चाहिए। इसलिए,आवश्यक तरीके:
कुल तरीके - बिना किसी अधिकारी वाले तरीके = $^{12}C_6 - ^8C_6$.
मानों की गणना करने पर:
$^{12}C_6 = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 924$.
$^8C_6 = ^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$.
आवश्यक तरीके = $924 - 28 = 896$.

(A) कुल उम्मीदवार = $25$। अनुसूचित जाति के उम्मीदवार = $5$। अन्य उम्मीदवार = $25 - 5 = 20$।
कुल रिक्तियां = $12$। अनुसूचित जाति के लिए आरक्षित रिक्तियां = $3$। सामान्य रिक्तियां = $12 - 3 = 9$।
चरण $1$: $5$ अनुसूचित जाति के उम्मीदवारों में से $3$ आरक्षित रिक्तियों का चयन $^5C_3$ तरीकों से किया जा सकता है।
चरण $2$: $3$ आरक्षित सीटों को भरने के बाद,शेष उम्मीदवार $25 - 3 = 22$ हैं (क्योंकि $2$ अनुसूचित जाति के उम्मीदवार जो आरक्षित सीटों के लिए नहीं चुने गए थे,वे अब $20$ अन्य उम्मीदवारों के साथ सामान्य सीटों के लिए पात्र हैं)।
चरण $3$: शेष $9$ रिक्तियां शेष $22$ उम्मीदवारों के लिए खुली हैं। यह $^{22}C_9$ तरीकों से किया जा सकता है।
चयन करने के कुल तरीके = $^5C_3 \times ^{22}C_9$।

(D) एक मतदाता कम से कम $1$ उम्मीदवार और अधिकतम $3$ उम्मीदवारों को वोट दे सकता है।
चूंकि $5$ उम्मीदवार हैं,इसलिए उम्मीदवारों को चुनने के तरीकों की संख्या संयोजनों के योग द्वारा दी जाती है:
तरीके = $^5C_1 + ^5C_2 + ^5C_3$
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$^5C_1 = 5$
$^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$
$^5C_3 = ^5C_2 = 10$
कुल तरीके = $5 + 10 + 10 = 25$.
अतः,मतदाता $25$ तरीकों से अपना वोट डाल सकता है।

(A) कुल कुर्सियाँ = $9$। कुल व्यक्ति = $6$।
एक व्यक्ति (अतिथि) के लिए एक विशिष्ट कुर्सी आरक्षित है। इसका अर्थ है कि अतिथि के पास बैठने का केवल $1$ तरीका है।
अतिथि के बैठने के बाद,$5$ व्यक्ति शेष बचते हैं और $8$ कुर्सियाँ शेष बचती हैं।
शेष $8$ कुर्सियों पर शेष $5$ व्यक्तियों को बैठाने के तरीकों की संख्या क्रमचय (permutation) के सूत्र $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 8$ और $r = 5$ है।
तरीकों की संख्या = $P(8, 5) = \frac{8!}{(8-5)!} = \frac{8!}{3!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720$।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $1 \times 6720 = 6720$ है।

(C) $7$ सदस्यों का समूह बनाने के लिए जिसमें लड़कों का बहुमत हो,हम निम्नलिखित स्थितियों पर विचार करते हैं:
स्थिति $1$: $6$ लड़के और $1$ लड़की। तरीकों की संख्या $^6C_6 \times ^4C_1 = 1 \times 4 = 4$ है।
स्थिति $2$: $5$ लड़के और $2$ लड़कियाँ। तरीकों की संख्या $^6C_5 \times ^4C_2 = 6 \times 6 = 36$ है।
स्थिति $3$: $4$ लड़के और $3$ लड़कियाँ। तरीकों की संख्या $^6C_4 \times ^4C_3 = 15 \times 4 = 60$ है।
कुल तरीकों की संख्या = $4 + 36 + 60 = 100$।

(B) मान लीजिए कि दो विशेष व्यक्ति $P_1$ और $P_2$ हैं। चूंकि $P_1$ और $P_2$ एक ही नाव में नहीं हो सकते,इसलिए एक व्यक्ति को पहली नाव में और दूसरे को दूसरी नाव में होना चाहिए।
यदि $P_1$ पहली नाव में है,तो हमें शेष $8$ व्यक्तियों में से $4$ व्यक्तियों का चयन करना होगा जो $P_1$ के साथ जुड़ेंगे। यह $^8C_4$ तरीकों से किया जा सकता है।
शेष $4$ व्यक्ति स्वतः ही $P_2$ के साथ दूसरी नाव में चले जाएंगे।
वैकल्पिक रूप से,यदि $P_2$ पहली नाव में है,तो हम शेष $8$ व्यक्तियों में से $4$ व्यक्तियों का चयन $P_2$ के साथ जुड़ने के लिए करते हैं,जिसे $^8C_4$ तरीकों से किया जा सकता है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $^8C_4 + ^8C_4 = 2 \times ^8C_4$ है।