यदि $^{43}C_{r-6} = ^{43}C_{3r+1}$ है,तो $r$ का मान ज्ञात कीजिए।

'$NUTAN$' शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है यदि व्यंजन विषम स्थानों पर और स्वर सम स्थानों पर आएं?

'$BHARAT$' शब्द के अक्षरों का उपयोग करके कितने अलग-अलग शब्द बनाए जा सकते हैं? इनमें से कितने शब्दों में '$B$' और '$H$' कभी भी एक साथ नहीं होंगे?

यदि सबसे अच्छा और सबसे खराब पेपर कभी भी एक साथ न आएं,तो छह परीक्षा पत्रों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?

समुच्चय $S = \{1, 2, 3, \ldots, 12\}$ को समान आकार के तीन समुच्चयों $A, B, C$ में विभाजित किया जाना है। इस प्रकार $A \cup B \cup C = S$ और $A \cap B = B \cap C = C \cap A = \emptyset$ है। $S$ को विभाजित करने के तरीकों की संख्या है

एक खंभे पर $3$ लाल,$2$ पीली और $2$ हरी झंडियों को व्यवस्थित करके कितने अलग-अलग संकेत भेजे जा सकते हैं? [मान लीजिए कि संकेत भेजने के लिए सभी $7$ झंडियों का उपयोग किया जाता है।]