$^nC_r + ^nC_{r-1}$ किसके बराबर है?

आठ कुर्सियों को $1$ से $8$ तक क्रमांकित किया गया है। दो महिलाएं और तीन पुरुष प्रत्येक एक कुर्सी पर बैठना चाहते हैं। पहले महिलाएं $1$ से $4$ तक चिह्नित कुर्सियों में से कुर्सियों का चयन करती हैं और फिर पुरुष शेष कुर्सियों में से चयन करते हैं। संभावित व्यवस्थाओं की संख्या है

$\sum\limits_{r = 0}^{n - 1} {\frac{{^n{C_r}}}{{^n{C_r} + {\,^n}{C_{r + 1}}}}} $ का मान क्या है?

यदि कोई भी दो लड़के एक साथ न बैठें,तो $3$ लड़कों और $4$ लड़कियों को एक गोलाकार मेज के चारों ओर कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है?

एक कोड वर्ड में $2$ अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षर और उसके बाद $1$ से $9$ के बीच की $2$ अलग-अलग संख्याएँ होनी चाहिए। उदाहरण के लिए,$CA23$ एक कोड वर्ड है। ऐसे कुल कितने कोड वर्ड हो सकते हैं?

विभिन्न रंगों के $5$ मोतियों से हार बनाने के तरीकों की संख्या क्या है?