sumlimits_{r = 0}^m {^{n + r}{C_n} = } | vedclass

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Question

(A) हम द्विपद गुणांकों का गुणधर्म जानते हैं: $^{n}{C_{r}} = ^{n}{C_{n-r}}$.अतः,$^{n+r}{C_{n}} = ^{n+r}{C_{(n+r)-n}} = ^{n+r}{C_{r}}$.हमें योग $S = \su

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$^{n + m + 1}{C_{n + 1}}$

Vedclass · Answer

(A) हम द्विपद गुणांकों का गुणधर्म जानते हैं: $^{n}{C_{r}} = ^{n}{C_{n-r}}$.अतः,$^{n+r}{C_{n}} = ^{n+r}{C_{(n+r)-n}} = ^{n+r}{C_{r}}$.हमें योग $S = \sum_{r=0}^{m} {^{n+r}{C_{r}}} = ^{n}{C_{0}} + ^{n+1}{C_{1}} + ^{n+2}{C_{2}} + \dots + ^{n+m}{C_{m}}$ का मान ज्ञात करना है।हॉकी-स्टिक सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,जो बताती है कि $\sum_{i=r}^{n} {^{i}{C_{r}}} = ^{n+1}{C_{r+1}}$,हम अपने योग को फिर से लिख सकते हैं।यहाँ,योग $\sum_{r=0}^{m} {^{n+r}{C_{r}}}$ है।सर्वसमिका $\sum_{k=0}^{m} {^{n+k}{C_{k}}} = ^{n+m+1}{C_{m}}$ के अनुसार।चूंकि $^{n+m+1}{C_{m}} = ^{n+m+1}{C_{(n+m+1)-m}} = ^{n+m+1}{C_{n+1}}$.इसलिए,योग $^{n+m+1}{C_{n+1}}$ के बराबर है।

$\sum\limits_{r = 0}^m {^{n + r}{C_n} = } $

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