Permutation and Combination Questions in Hindi

(B) $3000$ और $4000$ के बीच की संख्या बनाने के लिए,हजार के स्थान पर $3$ होना अनिवार्य है।
संख्या के $5$ से विभाज्य होने के लिए,इकाई के स्थान पर $0$ या $5$ होना चाहिए। चूंकि दिए गए अंकों के समूह में $0$ नहीं है,इसलिए इकाई के स्थान पर $5$ होना ही चाहिए।
हमारे पास कुल $6$ अंक हैं: ${3, 4, 5, 6, 7, 8}$।
हजार के स्थान पर $3$ और इकाई के स्थान पर $5$ को निश्चित करने पर,हमने $2$ अंकों का उपयोग कर लिया है।
शेष $2$ स्थानों (सैकड़ा और दहाई) को भरने के लिए $4$ अंक ${4, 6, 7, 8}$ बचे हैं।
$4$ शेष अंकों को $2$ स्थानों में व्यवस्थित करने के तरीके क्रमचय सूत्र $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ द्वारा प्राप्त किए जाते हैं।
यहाँ,$n = 4$ और $r = 2$ है,इसलिए $^4P_2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 12$।
अतः,ऐसी कुल $12$ संख्याएँ बनाई जा सकती हैं।

(C) $MODESTY$ शब्द में $7$ अलग-अलग अक्षर हैं: $D, E, M, O, S, T, Y$।
रैंक ज्ञात करने के लिए,हम अक्षरों को वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करते हैं: $D, E, M, O, S, T, Y$।
$1$. $D$ से शुरू होने वाले शब्द: $6! = 720$ शब्द।
$2$. $E$ से शुरू होने वाले शब्द: $6! = 720$ शब्द।
$3$. $MD$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$ शब्द।
$4$. $ME$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$ शब्द।
$5$. अगला शब्द $MO$ से शुरू होता है। शेष अक्षर $D, E, S, T, Y$ हैं। इन्हें वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करने पर $D, E, S, T, Y$ प्राप्त होता है। अतः,$MO$ से शुरू होने वाला पहला शब्द $MODESTY$ है।
रैंक $= 720 + 720 + 120 + 120 + 1 = 1681$।

(B) दिया गया है कि $a$,$x + 2$ वस्तुओं को एक साथ लेने पर बनने वाले क्रमचयों की संख्या है,इसलिए $a = (x + 2)!$.
$b$,$x$ वस्तुओं को $11$ के समूह में लेने पर बनने वाले क्रमचयों की संख्या है,इसलिए $b = ^xP_{11} = \frac{x!}{(x - 11)!}$.
$c$,$x - 11$ वस्तुओं को एक साथ लेने पर बनने वाले क्रमचयों की संख्या है,इसलिए $c = (x - 11)!$.
समीकरण $a = 182bc$ में मान रखने पर:
$(x + 2)! = 182 \times \frac{x!}{(x - 11)!} \times (x - 11)!$
$(x + 2)! = 182 \times x!$
$(x + 2)(x + 1)x! = 182x!$
$(x + 2)(x + 1) = 182$
$x^2 + 3x + 2 = 182$
$x^2 + 3x - 180 = 0$
$(x + 15)(x - 12) = 0$
चूंकि $x$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए और $x \ge 11$ होना आवश्यक है ($^xP_{11}$ की परिभाषा के अनुसार),इसलिए $x = 12$ प्राप्त होता है।

(C) चार अंकों की संख्या सम होती है यदि उसका इकाई अंक $0$ या $2$ हो।
स्थिति $1$: इकाई अंक $0$ है।
शेष $3$ स्थानों को शेष $3$ अंकों $(1, 2, 3)$ द्वारा $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
स्थिति $2$: इकाई अंक $2$ है।
हजार के स्थान पर $0$ या $2$ नहीं आ सकता,इसलिए इसे $1$ या $3$ द्वारा भरा जा सकता है ($2$ तरीके)।
शेष $2$ स्थानों को शेष $2$ अंकों द्वारा $2! = 2 \times 1 = 2$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल सम संख्याएँ $= 6 + (2 \times 2) = 6 + 4 = 10$।

(D) बिना किसी प्रतिबंध के $10$ उम्मीदवारों को रैंक करने के कुल तरीके $10!$ हैं।
किसी भी रैंकिंग में,$A_1$ और $A_{10}$ की सापेक्ष स्थिति के लिए केवल दो संभावनाएं हैं: या तो $A_1$,$A_{10}$ से ऊपर है,या $A_{10}$,$A_1$ से ऊपर है।
समरूपता के कारण,जिन तरीकों में $A_1$,$A_{10}$ से ऊपर है,उनकी संख्या उन तरीकों के बराबर है जिनमें $A_{10}$,$A_1$ से ऊपर है।
मान लीजिए $N$ उन तरीकों की संख्या है जिनमें $A_1$,$A_{10}$ से ऊपर है। तब,कुल तरीके $N + N = 2N = 10!$ होंगे।
इसलिए,$N = \frac{1}{2}(10!)$।

(C) '$EAMCET$' शब्द में $6$ अक्षर हैं: $E, A, M, C, E, T$।
स्वर $E, A, E$ हैं (जहाँ $E$ दो बार आता है) और व्यंजन $M, C, T$ हैं।
सबसे पहले,हम $3$ व्यंजनों $(M, C, T)$ को $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित करते हैं।
ये $3$ व्यंजन $4$ रिक्त स्थान बनाते हैं: $ M C T $।
हमें $3$ स्वरों $(E, A, E)$ को इन $4$ स्थानों में इस प्रकार रखना है कि कोई भी दो स्वर एक-दूसरे के बगल में न हों।
$4$ में से $3$ स्थानों को चुनने के तरीके $^4C3 = 4$ हैं।
चूंकि दो स्वर समान $(E)$ हैं,इसलिए चुने गए $3$ स्थानों में $E, A, E$ को व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{3!}{2!} = 3$ हैं।
कुल व्यवस्थाएं = (व्यंजनों को व्यवस्थित करने के तरीके) $\times$ (स्थान चुनने के तरीके) $\times$ (स्थानों में स्वरों को व्यवस्थित करने के तरीके)
कुल व्यवस्थाएं = $6 \times 4 \times 3 = 72$।

(C) यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न हों,हम पहले $5$ लड़कों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करते हैं। $5$ लड़कों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $5!$ है।
लड़कों को व्यवस्थित करने के बाद,$6$ संभावित स्थान (सिरों सहित) बनते हैं जहाँ $5$ लड़कियों को खड़ा किया जा सकता है: _ $B_1$ _ $B_2$ _ $B_3$ _ $B_4$ _ $B_5$ _.
$6$ स्थानों में से $5$ स्थानों को चुनकर उनमें $5$ लड़कियों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $^6P_5$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि $^6P_5 = \frac{6!}{(6-5)!} = 6!$,इसलिए कुल व्यवस्थाओं की संख्या $5! \times 6!$ होगी।

(A) "$BANANA$" शब्द में कुल $6$ अक्षर हैं।
प्रत्येक अक्षर की आवृत्ति इस प्रकार है: $B = 1$,$A = 3$,$N = 2$।
कुल क्रमचयों की संख्या का सूत्र $\frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!}$ है।
मान रखने पर: $\frac{6!}{3! \times 2!} = \frac{720}{6 \times 2} = \frac{720}{12} = 60$।
अतः,कुल क्रमचयों की संख्या $60$ है।

(B) $MOBILE$ शब्द में $6$ अक्षर हैं: $M, O, B, I, L, E$.
इसमें $3$ व्यंजन $(M, B, L)$ और $3$ स्वर $(O, I, E)$ हैं।
कुल $6$ स्थान हैं: $1, 2, 3, 4, 5, 6$।
विषम स्थान $1, 3, 5$ हैं (कुल $3$ स्थान)।
सम स्थान $2, 4, 6$ हैं (कुल $3$ स्थान)।
चूंकि व्यंजन हमेशा विषम स्थानों पर होने चाहिए,इसलिए $3$ व्यंजनों को $3$ विषम स्थानों पर ${}^3P_3 = 3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
शेष $3$ स्वरों को शेष $3$ सम स्थानों पर ${}^3P_3 = 3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल शब्दों की संख्या $= 6 \times 6 = 36$।

(C) दिए गए अंक $1, 2, 3, 4, 5$ हैं। हमें $24000$ से बड़ी $5$ अंकों की संख्या बनानी है।
पुनरावृत्ति के बिना कुल $5$ अंकों की संख्याएँ $5! = 120$ हैं।
$1$ से शुरू होने वाली संख्याएँ $(1xxxx)$ = $4! = 24$ हैं।
$21$ से शुरू होने वाली संख्याएँ $(21xxx)$ = $3! = 6$ हैं।
$23$ से शुरू होने वाली संख्याएँ $(23xxx)$ = $3! = 6$ हैं।
$24$ से शुरू होने वाली संख्याएँ $(24xxx)$ जहाँ शेष अंक ${1, 3, 5}$ हैं,वे $3! = 6$ हैं।
$24000$ से बड़ी कुल संख्याएँ = (कुल संख्याएँ) - ($1$ से शुरू होने वाली) - ($21$ से शुरू होने वाली) - ($23$ से शुरू होने वाली) = $120 - 24 - 6 - 6 = 84$।

(B) $5$ से विभाज्य संख्याओं के इकाई स्थान पर अंक $5$ निश्चित होना चाहिए।
स्थिति $1$: $3$ अंकों की संख्याएँ।
इकाई का स्थान $5$ से निश्चित है। शेष $2$ स्थानों (सैकड़ा और दहाई) को शेष $3$ अंकों $(3, 4, 6)$ द्वारा $^3P_2$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$^3P_2 = \frac{3!}{(3-2)!} = 3 \times 2 = 6$ तरीके।
स्थिति $2$: $4$ अंकों की संख्याएँ।
इकाई का स्थान $5$ से निश्चित है। शेष $3$ स्थानों (हजार,सैकड़ा और दहाई) को शेष $3$ अंकों $(3, 4, 6)$ द्वारा $^3P_3$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$^3P_3 = \frac{3!}{(3-3)!} = 3 \times 2 \times 1 = 6$ तरीके।
कुल संख्याएँ $= 6 + 6 = 12$।

(A) दिए गए अंक $1, 2, 3, 2, 3, 3, 4$ हैं। कुल अंकों की संख्या $n = 7$ है।
इन अंकों में,अंक $3$ तीन बार और अंक $2$ दो बार दोहराया गया है।
जब $n$ वस्तुओं में से $n_1$ एक प्रकार की,$n_2$ दूसरे प्रकार की हों,तो कुल क्रमचय (permutations) की संख्या $\frac{n!}{n_1! n_2! \dots}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 7$,$n_1 = 3$ (अंक $3$ के लिए),और $n_2 = 2$ (अंक $2$ के लिए)।
अतः,$7$ अंकों की संख्याओं की आवश्यक संख्या = $\frac{7!}{3! \times 2!} = \frac{5040}{6 \times 2} = \frac{5040}{12} = 420$.

(D) कम से कम एक $1$ वाली $4$ अंकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पूरक विधि का उपयोग करेंगे:
${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली कुल $4$ अंकों की संख्याएँ (बिना पुनरावृत्ति के):
पहला अंक $0$ नहीं हो सकता,इसलिए पहले स्थान के लिए $7$ विकल्प हैं ($1$ से $7$)।
शेष $3$ स्थानों को शेष $7$ अंकों से $^7P_3$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल $4$ अंकों की संख्याएँ $= 7 \times 7 \times 6 \times 5 = 1470$.
अब,ऐसी $4$ अंकों की संख्याएँ ज्ञात करें जिनमें अंक $1$ न हो:
उपलब्ध अंक ${0, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ हैं (कुल $7$ अंक)।
पहला अंक $0$ या $1$ नहीं हो सकता,इसलिए $6$ विकल्प हैं $(2, 3, 4, 5, 6, 7)$।
शेष $3$ स्थानों को शेष $6$ अंकों से $^6P_3$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$1$ के बिना संख्याएँ $= 6 \times 6 \times 5 \times 4 = 720$.
अतः,कम से कम एक $1$ वाली $4$ अंकों की संख्याएँ $= 1470 - 720 = 750$.

(C) $4$ अंकों की सम संख्या बनाने के लिए,इकाई का स्थान $0, 2, 4,$ या $6$ से भरा जाना चाहिए।
स्थिति $1$: इकाई का स्थान $0$ है। शेष $3$ स्थानों को शेष $6$ अंकों $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$ द्वारा $^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ तरीकों से भरा जा सकता है।
स्थिति $2$: इकाई का स्थान $2, 4,$ या $6$ है ($3$ तरीके)। हजार के स्थान पर $0$ नहीं हो सकता और न ही वह अंक हो सकता है जो इकाई के स्थान पर पहले ही उपयोग किया जा चुका है। अतः,हजार के स्थान के लिए $7 - 2 = 5$ विकल्प हैं। शेष $2$ स्थानों को शेष $5$ अंकों द्वारा $^5P_2 = 5 \times 4 = 20$ तरीकों से भरा जा सकता है। इस स्थिति के लिए कुल तरीके $= 3 \times 5 \times 20 = 300$।
सम संख्याओं की कुल संख्या $= 120 + 300 = 420$।

(D) अंकों ${0, 1, 2, 3, 5, 7}$ का उपयोग करके पुनरावृत्ति के साथ चार अंकों की विषम संख्या बनाने के लिए:
$1$. इकाई का अंक विषम होना चाहिए ताकि संख्या विषम हो। उपलब्ध विषम अंक ${1, 3, 5, 7}$ हैं। अतः,इकाई का स्थान $4$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$2$. हजार का स्थान $0$ नहीं हो सकता क्योंकि संख्या चार अंकों की होनी चाहिए। इस स्थान के लिए उपलब्ध अंक ${1, 2, 3, 5, 7}$ हैं। अतः,हजार का स्थान $5$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$3$. सैकड़े का स्थान ${0, 1, 2, 3, 5, 7}$ में से किसी भी $6$ अंकों से भरा जा सकता है। अतः,इसे $6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$4$. दहाई का स्थान ${0, 1, 2, 3, 5, 7}$ में से किसी भी $6$ अंकों से भरा जा सकता है। अतः,इसे $6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
गणना के मूलभूत सिद्धांत के अनुसार,ऐसी चार अंकों की विषम संख्याओं की कुल संख्या $5 \times 6 \times 6 \times 4 = 720$ है।

(A) $BANANA$ शब्द में $6$ अक्षर हैं: $B, A, N, A, N, A$। अक्षरों की आवृत्ति है: $A: 3, N: 2, B: 1$।
कुल विन्यासों की संख्या = $\frac{6!}{3! \times 2!} = \frac{720}{6 \times 2} = 60$।
अब,उस स्थिति पर विचार करें जहाँ दोनों $N$ एक साथ हैं। $(NN)$ को एक इकाई के रूप में मानें। अब अक्षर ${B, A, A, A, (NN)}$ हैं।
$N$ के एक साथ होने वाले विन्यासों की संख्या = $\frac{5!}{3! \times 1!} = \frac{120}{6} = 20$।
उन विन्यासों की संख्या जिनमें $N$ एक साथ नहीं आते हैं = (कुल विन्यास) - ($N$ के एक साथ होने वाले विन्यास) = $60 - 20 = 40$।

(A) यह सुनिश्चित करने के लिए कि प्रत्येक लड़की दो लड़कों के बीच में हो,हम पहले $5$ लड़कों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करते हैं। $5$ लड़कों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $5! = 120$ है।
मान लीजिए लड़कों को $B$ द्वारा दर्शाया गया है। व्यवस्था इस प्रकार दिखती है: $\_ B \_ B \_ B \_ B \_ B \_$.
$5$ लड़कों के बीच $4$ संभावित स्थान हैं जहाँ $3$ लड़कियों को बैठाया जा सकता है ताकि यह शर्त पूरी हो सके कि प्रत्येक लड़की दो लड़कों के बीच में हो।
इन $4$ स्थानों में $3$ लड़कियों को चुनने और व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$ है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $5! \times ^4P_3 = 120 \times 24 = 2880$ है।

(C) यहाँ $3$ विषय हैं: गणित,भौतिकी और रसायन विज्ञान।
चूंकि एक ही विषय की पुस्तकें एक साथ रहनी चाहिए,इसलिए हम प्रत्येक विषय के समूह को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
ऐसे $3$ समूह (गणित समूह,भौतिकी समूह और रसायन विज्ञान समूह) हैं,जिन्हें आपस में $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अपने संबंधित समूहों के भीतर,$5$ गणित की पुस्तकों को $5!$ तरीकों से,$4$ भौतिकी की पुस्तकों को $4!$ तरीकों से और $2$ रसायन विज्ञान की पुस्तकों को $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,व्यवस्थाओं की कुल संख्या $3! \times 5! \times 4! \times 2!$ होगी।

(C) $ARTICLE$ शब्द में $7$ अलग-अलग अक्षर हैं: $A, R, T, I, C, L, E$.
इसमें $3$ स्वर $(A, I, E)$ और $4$ व्यंजन $(R, T, C, L)$ हैं।
$7$ अक्षरों वाले शब्द में,स्थान $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ हैं। सम स्थान $2, 4, 6$ हैं (कुल $3$ स्थान)।
$3$ स्वरों को इन $3$ सम स्थानों पर आना है। $3$ स्वरों को $3$ स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $^3P_3 = 3! = 6$ हैं।
शेष $4$ व्यंजनों को $4$ विषम स्थानों $(1, 3, 5, 7)$ पर आना है। $4$ व्यंजनों को $4$ स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $^4P_4 = 4! = 24$ हैं।
कुल शब्दों की संख्या = $^3P_3 \times ^4P_4 = 6 \times 24 = 144$.

(D) $9$ व्यक्तियों को तीन समान समूहों में विभाजित करने के लिए,हम पहले $9$ में से $3$ व्यक्तियों का चयन करते हैं,फिर शेष $6$ में से $3$ का,और अंत में शेष $3$ में से $3$ का चयन करते हैं।
$n$ वस्तुओं को $m$ आकार के $k$ समूहों में विभाजित करने के तरीकों की संख्या (जहाँ $n = km$) सूत्र $\frac{n!}{(m!)^k \cdot k!}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 9$,$m = 3$,और $k = 3$ है।
कुल तरीके $= \frac{9!}{(3!)^3 \cdot 3!} = \frac{362880}{(6)^3 \cdot 6} = \frac{362880}{216 \cdot 6} = \frac{362880}{1296} = 280$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) बस में $5$ सीटें खाली हैं।
पुरुष $5$ खाली सीटों में से किसी एक को $5$ अलग-अलग तरीकों से चुन सकता है।
पुरुष के बैठने के बाद,$4$ सीटें खाली बचती हैं।
पत्नी शेष $4$ सीटों में से किसी एक को $4$ अलग-अलग तरीकों से चुन सकती है।
अतः,उनके बैठने के कुल तरीकों की संख्या $5 \times 4 = 20$ है।

(C) $SACHIN$ शब्द के अक्षरों का वर्णानुक्रम $A, C, H, I, N, S$ है।
$1$. $A$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$ शब्द।
$2$. $C$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$ शब्द।
$3$. $H$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$ शब्द।
$4$. $I$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$ शब्द।
$5$. $N$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$ शब्द।
$S$ से शुरू होने वाले शब्दों से पहले कुल शब्द $5 \times 120 = 600$ हैं।
शब्दकोश के क्रम में अगला शब्द $S$ से शुरू होने वाला पहला शब्द है,जो कि $SACHIN$ है।
अतः,$SACHIN$ का क्रम $600 + 1 = 601$ है।

(C) पूर्णांकों का समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ है।
इस समुच्चय में $6$ विषम संख्याएँ $\{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$ और $5$ सम संख्याएँ $\{2, 4, 6, 8, 10\}$ हैं।
मान लीजिए गुणनफल $P = \prod_{i=1}^{11} (X_i - i)$ है, जहाँ $X_i$, $S$ का एक क्रमचय है।
सभी पदों का योग $\sum_{i=1}^{11} (X_i - i) = \sum X_i - \sum i = 0$ है।
$11$ पूर्णांकों का योग $0$ (जो एक सम संख्या है) होने के लिए, योग में विषम पदों की संख्या सम होनी चाहिए।
चूँकि $11$ विषम है, यदि सभी पद विषम होते तो योग विषम होता। अतः, गुणनफल में कम से कम एक पद सम होना चाहिए।
वैकल्पिक रूप से, समता (parity) पर विचार करें: समुच्चय में $6$ विषम संख्याएँ हैं। गुणनफल में, हम $11$ संख्याओं में से $11$ संख्याओं को घटा रहे हैं। पिजनहोल सिद्धांत (Pigeonhole Principle) के अनुसार, चूँकि $6$ विषम संख्याएँ घटाई जा रही हैं, इसलिए कम से कम एक विषम संख्या को दूसरी विषम संख्या से घटाया जाना चाहिए, जिससे परिणाम एक सम संख्या प्राप्त होगी।
इसलिए, कम से कम एक गुणनखंड $(X_i - i)$ सम होना चाहिए, जिससे पूरा गुणनफल सम हो जाता है।

(C) चरण $1$: Rs. $100$ के $4$ नोटों को $3$ बच्चों में इस प्रकार वितरित करें कि प्रत्येक बच्चे को कम से कम एक नोट मिले। यह $x_1 + x_2 + x_3 = 4$ के धनात्मक पूर्णांक समाधान खोजने के बराबर है,जहाँ $x_i \ge 1$ है। स्टार्स और बार्स सूत्र का उपयोग करते हुए,तरीकों की संख्या $\binom{4-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$ है।
चरण $2$: अन्य $5$ नोटों (Rs. $1, 2, 5, 20, 50$) को $3$ बच्चों में वितरित करें। इन $5$ नोटों में से प्रत्येक नोट को $3$ बच्चों में से किसी को भी $3$ तरीकों से दिया जा सकता है। अतः,इन $5$ नोटों के लिए कुल तरीके $3^5$ हैं।
चरण $3$: कुल तरीकों की संख्या चरण $1$ और चरण $2$ के तरीकों का गुणनफल है। हालाँकि,दिए गए विकल्प एक सरलीकरण का सुझाव देते हैं। यदि हम $9$ नोटों के कुल वितरण पर विचार करें जिसमें प्रत्येक बच्चे को कम से कम एक Rs. $100$ का नोट मिले,तो गणना $3 \times 3^5 = 3^6$ होती है।

(C) $999$ और $10000$ के बीच की सभी संख्याएँ $4$ अंकों की संख्याएँ हैं।
हमारे पास $6$ उपलब्ध अंक हैं: ${0, 2, 3, 6, 7, 8}$।
इन $6$ अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली कुल $4$ अंकों की संख्याएँ ($0$ से शुरू होने वाली संख्याओं सहित) $= ^6P_4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ हैं।
हालाँकि,$4$ अंकों की संख्या $0$ से शुरू नहीं हो सकती है। यदि पहला अंक $0$ है,तो शेष $3$ स्थानों को शेष $5$ अंकों द्वारा $^5P_3$ तरीकों से भरा जा सकता है।
ऐसे मामलों की संख्या $= ^5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ है।
अतः,आवश्यक $4$ अंकों की संख्याएँ $= 360 - 60 = 300$।

(C) समिति के $11$ सदस्यों को एक गोल मेज पर इस प्रकार बैठाने के लिए कि अध्यक्ष और सचिव हमेशा एक साथ बैठें,हम अध्यक्ष और सचिव को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास एक वृत्त में व्यवस्थित करने के लिए $(11 - 2 + 1) = 10$ इकाइयाँ हैं।
$n$ वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $(n - 1)!$ होती है।
इस प्रकार,$10$ इकाइयों को $(10 - 1)! = 9!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
एक इकाई के भीतर,अध्यक्ष और सचिव अपने स्थानों को $2! = 2$ तरीकों से आपस में बदल सकते हैं।
इसलिए,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $9! \times 2$ है।

(A) $n$ भिन्न वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $(n - 1)!$ होती है।
हालाँकि,छल्ले में चाबियों या हार में मोतियों जैसी व्यवस्थाओं के लिए,दक्षिणावर्त (clockwise) और वामावर्त (anticlockwise) व्यवस्थाओं को समान माना जाता है क्योंकि छल्ले को पलटा जा सकता है।
इसलिए,$n$ चाबियों को एक छल्ले में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $\frac{(n - 1)!}{2}$ है।
$n = 5$ चाबियों के लिए,तरीकों की संख्या $\frac{(5 - 1)!}{2} = \frac{4!}{2}$ होगी।

(B) $5$ लड़कों और $5$ लड़कियों को एक वृत्त में इस प्रकार बैठाने के लिए कि कोई भी दो लड़के एक साथ न बैठें,हम पहले $5$ लड़कियों को एक वृत्त में बैठाते हैं।
$n$ वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $(n-1)!$ होती है। अतः,$5$ लड़कियों को $(5-1)! = 4!$ तरीकों से बैठाया जा सकता है।
लड़कियों को बैठाने के बाद,उनके बीच $5$ स्थान (gaps) बनते हैं। यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो लड़के एक साथ न बैठें,हमें $5$ लड़कों को इन $5$ स्थानों में बैठाना होगा।
$5$ लड़कों को $5$ स्थानों में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $5!$ है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $4! \times 5!$ है।

(D) $12$ सज्जनों को एक गोल मेज के चारों ओर इस प्रकार व्यवस्थित करने के लिए कि $3$ निर्दिष्ट सज्जन हमेशा एक साथ रहें,हम उन $3$ सज्जनों को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास एक वृत्त में व्यवस्थित करने के लिए $(12 - 3 + 1) = 10$ इकाइयाँ हैं।
एक वृत्त में $n$ वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $(n - 1)!$ होती है।
इस प्रकार,$10$ इकाइयों को $(10 - 1)! = 9!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इकाई के भीतर,$3$ निर्दिष्ट सज्जन आपस में $3!$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकते हैं।
इसलिए,कुल तरीकों की संख्या $3! \times 9!$ है।

(A) एक गोलाकार मेज के चारों ओर $15$ सदस्यों को विशिष्ट शर्तों के साथ व्यवस्थित करने के लिए,हम अध्यक्ष,सचिव और उप-सचिव को एक ब्लॉक के रूप में मानते हैं।
चूंकि सचिव और उप-सचिव को अध्यक्ष के दोनों ओर बैठना है,इसलिए ब्लॉक को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है (सचिव-अध्यक्ष-उप-सचिव या उप-सचिव-अध्यक्ष-सचिव)।
इन $3$ सदस्यों को $1$ इकाई में समूहित करने के बाद,हमारे पास एक वृत्त में व्यवस्थित करने के लिए $15 - 3 + 1 = 13$ इकाइयाँ बचती हैं।
एक वृत्त में $n$ वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $(n-1)!$ होती है।
यहाँ,$n = 13$ है,इसलिए गोलाकार व्यवस्थाओं की संख्या $(13-1)! = 12!$ है।
ब्लॉक की आंतरिक व्यवस्था को ध्यान में रखते हुए,कुल तरीकों की संख्या $2 \times 12!$ है।

(D) $n$ भिन्न वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n - 1)!$ होते हैं।
माला (या हार) के लिए,दक्षिणावर्त और वामावर्त व्यवस्थाओं को समान माना जाता है क्योंकि माला को पलटा जा सकता है।
इसलिए,$n$ फूलों से माला बनाने के तरीकों की संख्या $\frac{(n - 1)!}{2}$ होती है।
यहाँ $n = 10$ दिया गया है,इसलिए तरीकों की संख्या $\frac{(10 - 1)!}{2} = \frac{9!}{2}$ होगी।

(B) कुल व्यक्तियों की संख्या $= 20$ (अतिथि) $+ 1$ (मेज़बान) $= 21$ व्यक्ति।
मान लीजिए मेज़बान $H$ है और दो विशेष व्यक्ति $P_1$ और $P_2$ हैं। चूंकि $P_1$ और $P_2$ को मेज़बान के दोनों ओर बैठना है,इसलिए हम $(P_1, H, P_2)$ को एक इकाई के रूप में मान सकते हैं।
इस इकाई के भीतर,व्यवस्था $(P_1, H, P_2)$ या $(P_2, H, P_1)$ हो सकती है,जो $2! = 2$ तरीकों से संभव है।
तीनों को एक इकाई मानने के बाद,शेष व्यक्तियों की संख्या $21 - 3 = 18$ है। उस एक इकाई को शामिल करने पर,हमारे पास एक वृत्त में व्यवस्थित करने के लिए $18 + 1 = 19$ इकाइयाँ हैं।
$n$ वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं। यहाँ,$n = 19$ है,इसलिए तरीकों की संख्या $(19-1)! = 18!$ होगी।
कुल तरीके $= 2 \times 18!$।

(A) $n$ भिन्न वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $(n - 1)!$ होती है।
हार के लिए,दक्षिणावर्त (clockwise) और वामावर्त (anticlockwise) व्यवस्थाओं को समान माना जाता है क्योंकि हार को पलटा जा सकता है।
इसलिए,$n$ मोतियों से हार बनाने के तरीकों की संख्या $\frac{(n - 1)!}{2}$ होती है।
यहाँ $n = 5$ दिया गया है,अतः तरीकों की संख्या $\frac{(5 - 1)!}{2} = \frac{4!}{2} = \frac{24}{2} = 12$ है।

(B) $n$ अलग-अलग वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $(n - 1)!$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
ऐसा इसलिए है क्योंकि वृत्ताकार व्यवस्था में सापेक्ष स्थान मायने रखते हैं,न कि निरपेक्ष स्थान।
घूर्णी समरूपता को तोड़ने के लिए एक व्यक्ति के स्थान को स्थिर करके,शेष $(n - 1)$ लोगों को $(n - 1)!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।

(A) $5$ पुरुषों और $2$ महिलाओं को एक गोल मेज के चारों ओर इस प्रकार बैठाने के लिए कि $2$ महिलाएं एक साथ न हों,हम गैप विधि का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$5$ पुरुषों को गोल मेज के चारों ओर बैठाएं। $n$ वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं। अतः,$5$ पुरुषों को $(5-1)! = 4! = 24$ तरीकों से बैठाया जा सकता है।
$5$ पुरुषों को बैठाने के बाद,उनके बीच $5$ रिक्त स्थान (गैप) बनते हैं।
हमें $2$ महिलाओं को इन $5$ स्थानों में इस प्रकार बैठाना है कि कोई भी दो महिलाएं एक साथ न हों। $5$ स्थानों में से $2$ महिलाओं को चुनने और व्यवस्थित करने के तरीके ${}^5P_2$ हैं।
${}^5P_2 = \frac{5!}{(5-2)!} = 5 \times 4 = 20$.
अतः,कुल तरीकों की संख्या $24 \times 20 = 480$ है।

(B) $7$ पुरुषों और $7$ महिलाओं को एक गोल मेज के चारों ओर इस प्रकार बैठाने के लिए कि कोई भी दो महिलाएं एक साथ न बैठें,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
$1$. सबसे पहले,$7$ पुरुषों को गोल मेज के चारों ओर व्यवस्थित करें। $n$ भिन्न वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं। अतः,$7$ पुरुषों को $(7-1)! = 6!$ तरीकों से बैठाया जा सकता है।
$2$. $7$ पुरुषों को बैठाने के बाद,उनके बीच $7$ रिक्त स्थान बन जाते हैं।
$3$. यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो महिलाएं एक साथ न बैठें,हमें $7$ महिलाओं को इन $7$ रिक्त स्थानों में बैठाना होगा। $7$ महिलाओं को $7$ अलग-अलग स्थानों में व्यवस्थित करने के तरीके $7!$ हैं।
$4$. गणना के मूलभूत सिद्धांत के अनुसार,कुल तरीकों की संख्या $6! \times 7!$ है।

(D) रैखिक व्यवस्था में,$n$ विभिन्न वस्तुओं को $n!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
वृत्तीय व्यवस्था में,व्यवस्था को घुमाने से कोई नया क्रमचय प्राप्त नहीं होता है।
इस घूर्णन सममिति (rotational symmetry) को ध्यान में रखने के लिए,हम एक वस्तु को एक स्थान पर स्थिर करते हैं और शेष $(n - 1)$ वस्तुओं को $(n - 1)!$ तरीकों से व्यवस्थित करते हैं।
अतः,$n$ विभिन्न वस्तुओं के वृत्तीय क्रमचयों की संख्या $(n - 1)!$ है।

(A) $n$ भिन्न वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $(n - 1)!$ होती है।
$8$ अलग-अलग मोतियों के लिए,वृत्ताकार व्यवस्थाओं की संख्या $(8 - 1)! = 7! = 5040$ है।
हार के मामले में,दक्षिणावर्त (clockwise) और वामावर्त (anticlockwise) व्यवस्थाओं को एक समान माना जाता है क्योंकि हार को पलटा जा सकता है।
इसलिए,भिन्न हारों की संख्या $\frac{(n - 1)!}{2}$ होती है।
$n = 8$ रखने पर,हमें $\frac{7!}{2} = \frac{5040}{2} = 2520$ प्राप्त होता है।

(A) $6$ पुरुषों और $5$ महिलाओं को एक गोल मेज पर इस तरह व्यवस्थित करने के लिए कि कोई भी दो महिलाएँ एक साथ न बैठें,हम गैप विधि का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$6$ पुरुषों को गोल मेज पर व्यवस्थित करें। $n$ अलग-अलग वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं।
इसलिए,$6$ पुरुषों को व्यवस्थित करने के तरीके $(6-1)! = 5!$ हैं।
यह व्यवस्था पुरुषों के बीच $6$ रिक्त स्थान (गैप) बनाती है।
चूंकि $5$ महिलाएँ हैं और उन्हें एक साथ नहीं बैठना चाहिए,इसलिए हमें उन्हें इन $6$ उपलब्ध स्थानों में बैठाना होगा।
$6$ में से $5$ स्थानों को चुनने के तरीके $^6C_5$ हैं,और $5$ महिलाओं को इन स्थानों में व्यवस्थित करने के तरीके $5!$ हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $5! \times ^6C_5 \times 5! = 5! \times 6 \times 5! = 6! \times 5!$ है।

(A) द्विपद गुणांक $^nC_r$ का मान तब अधिकतम होता है जब $r$ विस्तार का मध्य पद होता है।
किसी दिए गए $n$ के लिए,$^nC_r$ का मान $r$ के $0$ से $n/2$ तक बढ़ने पर बढ़ता है और $n/2$ से $n$ तक बढ़ने पर घटता है।
यदि $n$ एक सम पूर्णांक है,तो केवल एक मध्य पद होता है,जो $r = n/2$ पर प्राप्त होता है।
अतः,$^nC_r$ का मान $r = n/2$ होने पर अधिकतम होता है।

(C) $7$ मित्रों में से प्रत्येक के लिए,व्यक्ति के पास $2$ विकल्प हैं: या तो उन्हें आमंत्रित करना या आमंत्रित न करना।
चूंकि $7$ मित्र हैं,इसलिए किसी भी संख्या में मित्रों को आमंत्रित करने के कुल तरीके (जिसमें किसी को भी आमंत्रित न करने का मामला शामिल है) $2^7 = 128$ हैं।
हालाँकि,प्रश्न में निर्दिष्ट है कि उसे 'एक या अधिक' मित्रों को आमंत्रित करना है,जिसका अर्थ है कि हमें उस मामले को बाहर करना होगा जिसमें किसी भी मित्र को आमंत्रित नहीं किया जाता है।
किसी भी मित्र को आमंत्रित न करने का तरीका $^7C_0 = 1$ है।
इसलिए,आवश्यक तरीकों की संख्या $2^7 - 1 = 128 - 1 = 127$ है।

(D) कुल खिलाड़ियों की संख्या = $12$.
टीम के लिए चुने जाने वाले खिलाड़ियों की संख्या = $9$.
चूंकि कप्तान निश्चित है,इसलिए हमने पहले ही $1$ खिलाड़ी चुन लिया है।
अतः,हमें शेष $12 - 1 = 11$ खिलाड़ियों में से शेष $9 - 1 = 8$ खिलाड़ियों का चयन करना है।
$11$ में से $8$ खिलाड़ियों को चुनने के तरीकों की संख्या संचय के सूत्र $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
तरीकों की संख्या = $^{11}C_{8} = ^{11}C_{11-8} = ^{11}C_{3}$.
$^{11}C_{3} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 11 \times 5 \times 3 = 165$.
इस प्रकार,टीम $165$ तरीकों से बनाई जा सकती है।

(A) $15$ लड़कों में से एक लड़के को चुनने के तरीकों की संख्या $^{15}C_1 = 15$ है।
$8$ लड़कियों में से एक लड़की को चुनने के तरीकों की संख्या $^{8}C_1 = 8$ है।
गणना के मूलभूत सिद्धांत (गुणन सिद्धांत) के अनुसार,एक लड़के और एक लड़की को चुनने के कुल तरीकों की संख्या $15 \times 8$ है।

(A) हम जानते हैं कि यदि $^nC_x = ^nC_y$ है,तो या तो $x = y$ होगा या $x + y = n$ होगा।
दिया गया समीकरण $^{15}C_{3r} = ^{15}C_{r+3}$ है।
स्थिति $1$: $3r = r + 3 \Rightarrow 2r = 3 \Rightarrow r = 1.5$। चूंकि $r$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए यह स्थिति अमान्य है।
स्थिति $2$: $3r + (r + 3) = 15$।
$4r + 3 = 15$।
$4r = 12$।
$r = 3$।

(C) हम पास्कल के सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $^nC_r + ^nC_{r-1} = ^{n+1}C_r$.
योग का विस्तार करने पर: $^{47}C_4 + (^{51}C_3 + ^{50}C_3 + ^{49}C_3 + ^{48}C_3 + ^{47}C_3)$.
सर्वसमिका $^{47}C_4 + ^{47}C_3 = ^{48}C_4$ का उपयोग करने पर,व्यंजक बनता है: $^{51}C_3 + ^{50}C_3 + ^{49}C_3 + ^{48}C_3 + ^{48}C_4$.
पुनः सर्वसमिका लागू करने पर: $^{48}C_3 + ^{48}C_4 = ^{49}C_4$,अतः हमारे पास है: $^{51}C_3 + ^{50}C_3 + ^{49}C_3 + ^{49}C_4$.
इस प्रक्रिया को जारी रखने पर: $^{49}C_3 + ^{49}C_4 = ^{50}C_4$,अतः हमारे पास है: $^{51}C_3 + ^{50}C_3 + ^{50}C_4$.
फिर: $^{50}C_3 + ^{50}C_4 = ^{51}C_4$,अतः हमारे पास है: $^{51}C_3 + ^{51}C_4$.
अंततः: $^{51}C_3 + ^{51}C_4 = ^{52}C_4$.

(C) संचय (combinations) के लिए सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ है।
अब,अनुपात पर विचार करें:
$\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{\frac{n!}{r!(n-r)!}}{\frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!}}$
$= \frac{n!}{r!(n-r)!} \times \frac{(r-1)!(n-r+1)!}{n!}$
$= \frac{(r-1)!}{r!} \times \frac{(n-r+1)!}{(n-r)!}$
चूंकि $r! = r \times (r-1)!$ और $(n-r+1)! = (n-r+1) \times (n-r)!$,इसलिए:
$= \frac{(r-1)!}{r(r-1)!} \times \frac{(n-r+1)(n-r)!}{(n-r)!}$
$= \frac{n-r+1}{r}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया अनुपात: $\frac{^{2n}C_3}{^nC_2} = \frac{44}{3}$.
संचय का विस्तार करने पर: $\frac{\frac{(2n)(2n-1)(2n-2)}{3 \times 2 \times 1}}{\frac{n(n-1)}{2 \times 1}} = \frac{44}{3}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{4n(2n-1)(n-1)}{3n(n-1)} = \frac{44}{3} \Rightarrow 4(2n-1) = 44 \Rightarrow 2n-1 = 11 \Rightarrow 2n = 12 \Rightarrow n = 6$.
अब,हमें $^6C_r = 15$ चाहिए। हम जानते हैं कि $^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ और $^6C_4 = ^6C_2 = 15$ होता है। अतः $r$ के संभावित मान $2$ या $4$ हैं। विकल्पों की तुलना करने पर,$r = 4$ सही उत्तर है।

(B) दिया गया समीकरण: $2 \times {}^nC_5 = 9 \times {}^{n-2}C_5$
सूत्र ${}^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$2 \times \frac{n!}{5!(n-5)!} = 9 \times \frac{(n-2)!}{5!(n-2-5)!}$
$2 \times \frac{n!}{5!(n-5)!} = 9 \times \frac{(n-2)!}{5!(n-7)!}$
दोनों पक्षों से $5!$ को हटाने पर:
$2 \times \frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-5)(n-6)(n-7)!} = 9 \times \frac{(n-2)!}{(n-7)!}$
दोनों पक्षों को $(n-2)!$ से विभाजित करने और $(n-7)!$ से गुणा करने पर:
$2 \times \frac{n(n-1)}{(n-5)(n-6)} = 9$
$2(n^2 - n) = 9(n^2 - 11n + 30)$
$2n^2 - 2n = 9n^2 - 99n + 270$
$7n^2 - 97n + 270 = 0$
द्विघात समीकरण $7n^2 - 97n + 270 = 0$ को हल करने पर:
$7n^2 - 70n - 27n + 270 = 0$
$7n(n - 10) - 27(n - 10) = 0$
$(7n - 27)(n - 10) = 0$
चूंकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए और $n \ge 7$ है,इसलिए हमें $n = 10$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $^{n^2 - n}C_2 = ^{n^2 - n}C_{10}$ है।
संचय के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,यदि $^nC_r = ^nC_k$ है,तो या तो $r = k$ या $r + k = n$ होता है।
यहाँ,$r = 2$ और $k = 10$ है। चूँकि $2 \neq 10$,इसलिए $r + k = n^2 - n$ होना चाहिए।
अतः,$2 + 10 = n^2 - n$।
$12 = n^2 - n$।
$n^2 - n - 12 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(n - 4)(n + 3) = 0$।
इस प्रकार,$n = 4$ या $n = -3$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ होता है।
सबसे पहले,अनुपात $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{84}{36} = \frac{7}{3}$ पर विचार करें।
गुणधर्म $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{n-r+1}{r} = \frac{7}{3} \implies 3n - 3r + 3 = 7r \implies 3n - 10r = -3$ प्राप्त होता है (समीकरण $1$)।
इसके बाद,अनुपात $\frac{^nC_{r+1}}{^nC_r} = \frac{126}{84} = \frac{3}{2}$ पर विचार करें।
गुणधर्म $\frac{^nC_{r+1}}{^nC_r} = \frac{n-r}{r+1}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{n-r}{r+1} = \frac{3}{2} \implies 2n - 2r = 3r + 3 \implies 2n - 5r = 3$ प्राप्त होता है (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ को $2$ से गुणा करने पर: $4n - 10r = 6$ (समीकरण $3$)।
समीकरण $3$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर: $(4n - 10r) - (3n - 10r) = 6 - (-3) \implies n = 9$।
$n = 9$ को समीकरण $2$ में रखने पर: $2(9) - 5r = 3 \implies 18 - 5r = 3 \implies 5r = 15 \implies r = 3$।