यदि $\alpha = {^m}{C_2}$ है,तो ${^\alpha}{C_2}$ का मान क्या होगा?

एक पात्र में $5$ लाल कंचे,$4$ काले कंचे और $3$ सफेद कंचे हैं। $4$ कंचों को चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि उनमें से अधिकतम $3$ लाल हों।

$APPLICATION$ शब्द के सभी अक्षरों से कितने अलग-अलग शब्द बनाए जा सकते हैं ताकि दो स्वर कभी भी एक साथ न आएं?

अक्षरों $a, b, c, d, e, f$ से $3$ अक्षरों को एक साथ लेकर,बिना पुनरावृत्ति के और प्रत्येक विन्यास में कम से कम एक स्वर शामिल हो,ऐसे कितने विन्यास बनाए जा सकते हैं?

$9$ महिलाओं और $8$ पुरुषों में से $12$ सदस्यों की एक समिति बनाई जानी है,जिसमें कम से कम $5$ महिलाओं को शामिल करना अनिवार्य है। तो उन समितियों की संख्या जिनमें महिलाएं बहुमत में हैं और पुरुष बहुमत में हैं,क्रमशः क्या होगी?

$6$ पुरुष और $5$ महिलाएँ एक गोल मेज पर भोजन करते हैं,यदि कोई भी दो महिलाएँ एक साथ न बैठें,तो इसे कितने तरीकों से किया जा सकता है?