Permutation and Combination Questions in Gujarati

(B) $30$ સંખ્યાઓમાંથી $3$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{30}C_3$ છે.
$^{30}C_3 = \frac{30 \times 29 \times 28}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 29 \times 28 = 4060$.
$1$ થી $30$ ની શ્રેણીમાં $15$ બેકી સંખ્યાઓ અને $15$ એકી સંખ્યાઓ છે.
$15$ ઉપલબ્ધ બેકી સંખ્યાઓમાંથી $3$ બેકી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{15}C_3$ છે.
$^{15}C_3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 7 \times 13 = 455$.
ત્રણ સંખ્યાઓ એવી રીતે પસંદ કરવાની રીતો કે જેમાં બધી જ સંખ્યાઓ બેકી ન હોય,તે કુલ રીતોમાંથી બધી જ બેકી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો બાદ કરવાથી મળે છે.
જરૂરી રીતોની સંખ્યા $= ^{30}C_3 - ^{15}C_3 = 4060 - 455 = 3605$.

(C) આપેલા અક્ષરો ${a, b, c, d, e, f}$ છે. જેમાં $2$ સ્વર ${a, e}$ અને $4$ વ્યંજન ${b, c, d, f}$ છે.
આપણે $3$ અક્ષરના એવા શબ્દો બનાવવાના છે જેમાં ઓછામાં ઓછો એક સ્વર હોય.
કિસ્સો $1$: $1$ સ્વર અને $2$ વ્યંજન ધરાવતા શબ્દો.
$2$ માંથી $1$ સ્વર અને $4$ માંથી $2$ વ્યંજન પસંદ કરવાની રીતો $^2C_1 \times ^4C_2 = 2 \times 6 = 12$ છે.
આ $3$ અક્ષરોને $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કુલ શબ્દો = $12 \times 6 = 72$.
કિસ્સો $2$: $2$ સ્વર અને $1$ વ્યંજન ધરાવતા શબ્દો.
$2$ માંથી $2$ સ્વર અને $4$ માંથી $1$ વ્યંજન પસંદ કરવાની રીતો $^2C_2 \times ^4C_1 = 1 \times 4 = 4$ છે.
આ $3$ અક્ષરોને $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કુલ શબ્દો = $4 \times 6 = 24$.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $72 + 24 = 96$.

(C) $CORGOO$ શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે: $C, O, R, G, O, O$. અલગ અક્ષરો $C, O, R, G$ છે. અક્ષરોની આવૃત્તિ આ મુજબ છે: $O$ ત્રણ વાર આવે છે,જ્યારે $C, R, G$ દરેક એક વાર આવે છે.
આપણે $4$ અક્ષરો પસંદ કરવાના છે. શક્ય કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છે:
$(i)$ બધા $4$ અક્ષરો અલગ હોય: અહીં $4$ અલગ અક્ષરો $(C, O, R, G)$ ઉપલબ્ધ છે,તેથી $4$ અક્ષરો પસંદ કરવાની $1$ રીત છે.
$(ii)$ $2$ અક્ષરો સમાન અને $2$ અલગ હોય: આપણે $2$ $O$ (પુનરાવર્તિત અક્ષર) પસંદ કરીએ અને બાકીના $3$ અલગ અક્ષરો $(C, R, G)$ માંથી $2$ પસંદ કરીએ. રીતોની સંખ્યા $^3C_2 = 3$ છે.
$(iii)$ $3$ અક્ષરો સમાન અને $1$ અલગ હોય: આપણે $3$ $O$ પસંદ કરીએ અને બાકીના $3$ અલગ અક્ષરો $(C, R, G)$ માંથી $1$ પસંદ કરીએ. રીતોની સંખ્યા $^3C_1 = 3$ છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $1 + 3 + 3 = 7$.

(A) $1, 2, 3, 4$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને $6$ અંકની સંખ્યા બનાવવા માટે,જ્યાં દરેક અંક ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે,બે કિસ્સાઓ શક્ય છે:
કિસ્સો $(i)$: એક અંક $3$ વાર આવે અને બાકીના ત્રણ અંકો $1$ વાર આવે (દા.ત.,$1, 1, 1, 2, 3, 4$).
$3$ વાર પુનરાવર્તન થતા અંકને પસંદ કરવાની રીતો $= ^4C_1 = 4$.
દરેક પસંદગી માટે ગોઠવણીની સંખ્યા $= \frac{6!}{3!1!1!1!} = 120$.
કિસ્સો $(i)$ માટે કુલ સંખ્યા $= 4 \times 120 = 480$.
કિસ્સો $(ii)$: બે અંકો $2$ વાર આવે અને બાકીના બે અંકો $1$ વાર આવે (દા.ત.,$1, 1, 2, 2, 3, 4$).
$2$ વાર પુનરાવર્તન થતા બે અંકોને પસંદ કરવાની રીતો $= ^4C_2 = 6$.
દરેક પસંદગી માટે ગોઠવણીની સંખ્યા $= \frac{6!}{2!2!1!1!} = 180$.
કિસ્સો $(ii)$ માટે કુલ સંખ્યા $= 6 \times 180 = 1080$.
કુલ સંખ્યા $= 480 + 1080 = 1560$.

(B) $1$ થી $200$ સુધીની સંખ્યાઓમાંથી બે ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{200}C_2 = \frac{200 \times 199}{2} = 19900$ છે.
બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $5$ નો ગુણક ત્યારે જ હોય જો ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા $5$ નો ગુણક હોય.
પૂરક ઘટના ગણવી સરળ છે: એવા ગુણાકારોની સંખ્યા જે $5$ ના ગુણક નથી.
જો બંને પસંદ કરેલી સંખ્યાઓ $5$ ના ગુણક ન હોય, તો તેમનો ગુણાકાર $5$ નો ગુણક ન હોય.
$1$ થી $200$ માં $5$ ના ગુણકોની સંખ્યા $\frac{200}{5} = 40$ છે.
$5$ ના ગુણક ન હોય તેવી સંખ્યાઓ $200 - 40 = 160$ છે.
બે સંખ્યાઓ એવી રીતે પસંદ કરવાની રીતો કે જેમાંથી કોઈ પણ $5$ નો ગુણક ન હોય, તે $^{160}C_2 = \frac{160 \times 159}{2} = 80 \times 159 = 12720$ છે.
તેથી, $5$ ના ગુણક હોય તેવા ગુણાકારોની સંખ્યા = કુલ ગુણાકાર - $5$ ના ગુણક ન હોય તેવા ગુણાકાર:
$19900 - 12720 = 7180$.

(A) આ પ્રશ્નમાં $3$ અલગ પ્રકારના સિક્કાઓમાંથી $6$ સિક્કા પસંદ કરવાની રીતો શોધવાની છે.
દરેક પ્રકારના સિક્કાઓની સંખ્યા $(20, 10, 7)$ એ પસંદ કરવાના સિક્કાઓની સંખ્યા $(6)$ કરતા વધારે હોવાથી,આને પુનરાવર્તન સાથેની પસંદગી તરીકે ગણી શકાય.
$n$ પ્રકારની વસ્તુઓમાંથી $r$ વસ્તુઓ પુનરાવર્તન સાથે પસંદ કરવાની રીતોનું સૂત્ર $^{n+r-1}C_r$ છે.
અહીં,$n = 3$ (સિક્કાના પ્રકાર) અને $r = 6$ (પસંદ કરવાના સિક્કા).
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
કુલ રીતો $= ^{3+6-1}C_6 = ^8C_6$.
$^nC_r = ^nC_{n-r}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$^8C_6 = ^8C_2$.
$^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$.
આમ,કુલ રીતોની સંખ્યા $28$ છે.

(B) આ $n$ સમાન વસ્તુઓને $r$ અલગ-અલગ જૂથોમાં વહેંચવાની સમસ્યા છે,જ્યાં દરેક જૂથ શૂન્ય અથવા વધુ વસ્તુઓ મેળવી શકે છે.
આ માટેનું સૂત્ર 'સ્ટાર્સ એન્ડ બાર્સ' પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\binom{n+r-1}{r-1}$.
અહીં,$n = 35$ (સફરજનની સંખ્યા) અને $r = 3$ (છોકરાઓની સંખ્યા).
કિંમતો મૂકતા: $\binom{35+3-1}{3-1} = \binom{37}{2}$.
ગણતરી કરતા: $\binom{37}{2} = \frac{37 \times 36}{2 \times 1} = 37 \times 18 = 666$.
આમ,વહેંચણીની કુલ રીતોની સંખ્યા $666$ છે.

(C) પિતા કેટલી વાર બગીચામાં જઈ શકે તે સંખ્યા $8$ બાળકોમાંથી $3$ બાળકોને પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા જેટલી છે.
કારણ કે જૂથમાં બાળકોનો ક્રમ મહત્વનો નથી,તેથી આપણે સંચય (combination) ના સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$n = 8$ અને $r = 3$ છે.
તેથી,જરૂરી રીતોની સંખ્યા $^8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ છે.
આમ,પિતા $56$ વખત બગીચામાં જશે.

(B) $10$ લાલ દડામાંથી $5$ લાલ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{10}C_5$ છે.
$8$ સફેદ દડામાંથી $4$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^8C_4$ છે.
આ બંને સ્વતંત્ર ઘટનાઓ એકસાથે બનતી હોવાથી,આપણે ગુણાકારના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીશું.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $^{10}C_5 \times ^8C_4$ થશે.

(B) આપેલ પદાવલિ $^{14}C_4 + \sum_{j=1}^4 {^{18-j}C_3}$ છે.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા: $^{14}C_4 + (^{17}C_3 + ^{16}C_3 + ^{15}C_3 + ^{14}C_3)$ મળે.
પદોને ગોઠવતા: $(^{14}C_4 + ^{14}C_3) + ^{15}C_3 + ^{16}C_3 + ^{17}C_3$.
પાસ્કલના નિત્યસમ $^{n}C_r + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા,$^{14}C_4 + ^{14}C_3 = ^{15}C_4$ થાય.
હવે,પદાવલિ: $(^{15}C_4 + ^{15}C_3) + ^{16}C_3 + ^{17}C_3$ બને.
ફરીથી,નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $^{15}C_4 + ^{15}C_3 = ^{16}C_4$.
તેથી,પદાવલિ: $(^{16}C_4 + ^{16}C_3) + ^{17}C_3$ બને.
ફરીથી,નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $^{16}C_4 + ^{16}C_3 = ^{17}C_4$.
અંતે,પદાવલિ: $^{17}C_4 + ^{17}C_3 = ^{18}C_4$ થાય.

(D) '$MATHEMATICS$' શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $2M, 2T, 2A, H, E, I, C, S$. કુલ $8$ પ્રકારના અક્ષરો છે: ${M, T, A, H, E, I, C, S}$.
આપણે $4$ અક્ષરોની ગોઠવણી કરવાની છે. કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છે:
કિસ્સો $I$: $2$ સમાન એક પ્રકારના અને $2$ સમાન બીજા પ્રકારના.
$3$ ઉપલબ્ધ જોડીઓમાંથી $2$ જોડી પસંદ કરવાની રીતો $^3C_2 = 3$ છે.
ગોઠવણીની સંખ્યા = $3 \times \frac{4!}{2!2!} = 3 \times 6 = 18$.
કિસ્સો $II$: $2$ સમાન એક પ્રકારના અને $2$ અલગ.
$3$ જોડીમાંથી $1$ જોડી પસંદ કરવાની રીતો $^3C_1 = 3$ છે. બાકીના $7$ પ્રકારમાંથી $2$ અલગ અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતો $^7C_2 = 21$ છે.
ગોઠવણીની સંખ્યા = $3 \times 21 \times \frac{4!}{2!} = 63 \times 12 = 756$.
કિસ્સો $III$: બધા $4$ અક્ષરો અલગ હોય.
$8$ પ્રકારમાંથી $4$ અલગ અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતો $^8C_4 = 70$ છે.
ગોઠવણીની સંખ્યા = $70 \times 4! = 70 \times 24 = 1680$.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા = $18 + 756 + 1680 = 2454$.

(A) $10$ અલગ-અલગ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને $5$ અક્ષરોના કુલ શબ્દો (જ્યાં પુનરાવર્તન શક્ય છે) = $10^5 = 100000$.
$5$ અક્ષરોના એવા શબ્દો જેમાં કોઈ પણ અક્ષરનું પુનરાવર્તન ન થતું હોય = $10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30240$.
તેથી,ઓછામાં ઓછો એક અક્ષર પુનરાવર્તિત થતો હોય તેવા શબ્દોની સંખ્યા = કુલ શબ્દો - પુનરાવર્તન ન થતા હોય તેવા શબ્દો = $100000 - 30240 = 69760$.

(A) $8$ સજ્જનો અને $4$ મહિલાઓમાંથી $6$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવી છે જેમાં ઓછામાં ઓછી $3$ મહિલાઓ હોય,તેના માટે નીચેના કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લેવા પડે:
કિસ્સો $1$: સમિતિમાં $3$ મહિલાઓ અને $3$ સજ્જનો હોય.
તેના પ્રકારોની સંખ્યા = $\binom{4}{3} \times \binom{8}{3} = 4 \times \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 4 \times 56 = 224$.
કિસ્સો $2$: સમિતિમાં $4$ મહિલાઓ અને $2$ સજ્જનો હોય.
તેના પ્રકારોની સંખ્યા = $\binom{4}{4} \times \binom{8}{2} = 1 \times \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 1 \times 28 = 28$.
કુલ પ્રકારોની સંખ્યા = $224 + 28 = 252$.

(A) $(2n + 1)$ અલગ-અલગ સિક્કાઓમાંથી ઓછામાં ઓછો એક અને વધુમાં વધુ $n$ સિક્કા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $T = {}^{2n+1}C_1 + {}^{2n+1}C_2 + \dots + {}^{2n+1}C_n = 255$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો ${}^{2n+1}C_0 + {}^{2n+1}C_1 + \dots + {}^{2n+1}C_{2n+1} = 2^{2n+1}$ થાય છે.
કારણ કે ${}^{2n+1}C_r = {}^{2n+1}C_{2n+1-r}$,તેથી ${}^{2n+1}C_0 = {}^{2n+1}C_{2n+1} = 1$ થાય.
વધુમાં,${}^{2n+1}C_1 = {}^{2n+1}C_{2n}$,${}^{2n+1}C_2 = {}^{2n+1}C_{2n-1}$,વગેરે.
આમ,$2({}^{2n+1}C_1 + {}^{2n+1}C_2 + \dots + {}^{2n+1}C_n) + {}^{2n+1}C_0 + {}^{2n+1}C_{2n+1} = 2^{2n+1}$.
$T = 255$ મૂકતા,આપણને $2(255) + 1 + 1 = 2^{2n+1}$ મળે છે.
$510 + 2 = 2^{2n+1} \Rightarrow 512 = 2^{2n+1}$.
કારણ કે $512 = 2^9$,તેથી $2n + 1 = 9$.
$2n = 8 \Rightarrow n = 4$.

(D) $10$ મિત્રોમાંથી દરેક માટે,માણસ પાસે $2$ વિકલ્પો છે: કાં તો તેમને આમંત્રિત કરવા અથવા આમંત્રિત ન કરવા.
$10$ મિત્રો હોવાથી,કોઈપણ સંખ્યામાં મિત્રોને આમંત્રિત કરવાની કુલ રીતો (જેમાં કોઈને પણ આમંત્રિત ન કરવાના કિસ્સાનો સમાવેશ થાય છે) $2 \times 2 \times 2 \times ... \times 2$ ($10$ વખત) છે,જે $2^{10}$ થાય છે.
પ્રશ્નમાં સ્પષ્ટતા કરવામાં આવી છે કે તેણે 'એક અથવા વધુ' મિત્રોને આમંત્રિત કરવાના છે.
તેથી,આપણે તે એક કિસ્સો બાદ કરવો પડશે જેમાં કોઈ પણ મિત્રને આમંત્રિત કરવામાં આવતા નથી (એટલે કે,$^{10}C_0 = 1$).
જરૂરી રીતોની સંખ્યા = $2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$.

(B) વિદ્યાર્થીએ $13$ માંથી $10$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે. પ્રથમ $5$ પ્રશ્નો એક ચોક્કસ જૂથ છે અને બાકીના $8$ પ્રશ્નો બીજું જૂથ બનાવે છે.
કિસ્સો $1$: પ્રથમ $5$ માંથી $4$ પ્રશ્નો અને બાકીના $8$ માંથી $6$ પ્રશ્નો પસંદ કરવા.
પસંદગીની રીતો $= {^5C_4} \times {^8C_6} = 5 \times 28 = 140$.
કિસ્સો $2$: પ્રથમ $5$ માંથી $5$ પ્રશ્નો અને બાકીના $8$ માંથી $5$ પ્રશ્નો પસંદ કરવા.
પસંદગીની રીતો $= {^5C_5} \times {^8C_5} = 1 \times 56 = 56$.
કુલ પસંદગીઓની સંખ્યા $= 140 + 56 = 196$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $^nC_{r+1} + ^nC_{r-1} + 2 \times ^nC_r$
આપણે $2 \times ^nC_r$ ને $^nC_r + ^nC_r$ તરીકે લખી શકીએ:
$= ^nC_{r+1} + ^nC_{r-1} + ^nC_r + ^nC_r$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$= (^nC_{r+1} + ^nC_r) + (^nC_r + ^nC_{r-1})$
પાસ્કલના નિત્યસમ $^nC_r + ^nC_{r-1} = ^{n+1}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= ^{n+1}C_{r+1} + ^{n+1}C_r$
ફરીથી આ જ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= ^{n+2}C_{r+1}$

(B) વિદ્યાર્થીને $(2n + 1)$ પુસ્તકોમાંથી ઓછામાં ઓછું એક અને વધુમાં વધુ $n$ પુસ્તકો પસંદ કરવાની છૂટ છે.
તેથી,પસંદગીના કુલ પ્રકારો $T$ નીચે મુજબ છે:
$T = {^{2n+1}C_1} + {^{2n+1}C_2} + ... + {^{2n+1}C_n} = 63$ ..... $(i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો:
${^{2n+1}C_0} + {^{2n+1}C_1} + ... + {^{2n+1}C_n} + {^{2n+1}C_{n+1}} + ... + {^{2n+1}C_{2n+1}} = 2^{2n+1}$
ગુણધર્મ ${^mC_r} = {^mC_{m-r}}$ નો ઉપયોગ કરતા,${^{2n+1}C_0} = {^{2n+1}C_{2n+1}} = 1$ મળે.
તેથી,સરવાળાને આ રીતે લખી શકાય:
$1 + ({^{2n+1}C_1} + ... + {^{2n+1}C_n}) + ({^{2n+1}C_{n+1}} + ... + {^{2n+1}C_{2n+1}}) = 2^{2n+1}$
અહીં ${^{2n+1}C_1} + ... + {^{2n+1}C_n} = 63$ અને સંમિતતા મુજબ,${^{2n+1}C_{n+1}} + ... + {^{2n+1}C_{2n+1}} = 63$ થાય.
તેથી,$1 + 63 + 63 = 2^{2n+1}$ એ ખોટું છે,સાચું સમીકરણ $1 + 63 = 2^{2n}$ છે.
$64 = 2^{2n} \Rightarrow 2^6 = 2^{2n}$.
આમ,$2n = 6$,તેથી $n = 3$ મળે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $^{n - 1}C_r = (k^2 - 3) \cdot ^nC_{r + 1}$.
સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરીને,બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{(n - 1)!}{r!(n - r - 1)!} = (k^2 - 3) \cdot \frac{n!}{(r + 1)!(n - r - 1)!}$.
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $(n - r - 1)!$ અને $(n - 1)!$ ને દૂર કરતા:
$1 = (k^2 - 3) \cdot \frac{n}{r + 1}$.
$k^2$ માટે પદ ગોઠવતા:
$k^2 - 3 = \frac{r + 1}{n} \Rightarrow k^2 = \frac{r + 1}{n} + 3$.
અહીં $0 \le r \le n - 1$ હોવાથી,$1 \le r + 1 \le n$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{n} \le \frac{r + 1}{n} \le 1$.
આમ,$k^2 \in [\frac{1}{n} + 3, 4]$.
$n \ge 2$ માટે,$k^2$ નો વિસ્તાર $(3, 4]$ છે.
વર્ગમૂળ લેતા,$k \in [-2, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, 2]$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,અંતરાલ $(\sqrt{3}, 2)$ એ સાચો ઉપગણ છે.

(B) ધારો કે $S = \sum\limits_{r = 0}^{n - 1} {\frac{{^n{C_r}}}{{^n{C_r} + {\,^n}{C_{r + 1}}}}} $.
ગુણધર્મ $\frac{^n{C_{r+1}}}{^n{C_r}} = \frac{n-r}{r+1}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સરવાળાની અંદરના પદને ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$\frac{{^n{C_r}}}{{^n{C_r} + {\,^n}{C_{r + 1}}}} = \frac{1}{1 + \frac{^n{C_{r+1}}}{^n{C_r}}} = \frac{1}{1 + \frac{n-r}{r+1}} = \frac{r+1}{n+1}$.
હવે,આને સરવાળામાં મૂકતા:
$S = \sum\limits_{r = 0}^{n - 1} \frac{r+1}{n+1} = \frac{1}{n+1} \sum\limits_{r = 0}^{n - 1} (r+1)$.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા: $\sum\limits_{r = 0}^{n - 1} (r+1) = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$.
તેથી,$S = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n}{2}$.

(A) ધારો કે બે વ્યક્તિઓ $P_1$ અને $P_2$ છે. આપણે $15$ ફળો એવી રીતે વહેંચવાના છે કે જેથી સફરજનની સંખ્યા $a \le 5$,કેરીની સંખ્યા $m \le 10$ અને નારંગીની સંખ્યા $o \le 15$ હોય.
એક વ્યક્તિ માટેનું જનરેટિંગ ફંક્શન $f(x) = (1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)(1+x+x^2+...+x^{10})(1+x+x^2+...+x^{15})$ છે.
ભૌમિતિક શ્રેણીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $f(x) = \frac{1-x^6}{1-x} \cdot \frac{1-x^{11}}{1-x} \cdot \frac{1-x^{16}}{1-x} = (1-x^6)(1-x^{11})(1-x^{16})(1-x)^{-3}$.
આપણે $(1 - x^6 - x^{11} + x^{17} + ...)(1 + 3x + 6x^2 + ... + \binom{n+3-1}{3-1}x^n + ...)$ ના વિસ્તરણમાં $x^{15}$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.
$x^{15}$ નો સહગુણક $= 1 \cdot \binom{15+3-1}{3-1} - 1 \cdot \binom{15-6+3-1}{3-1} - 1 \cdot \binom{15-11+3-1}{3-1}$.
$= \binom{17}{2} - \binom{11}{2} - \binom{6}{2} = 136 - 55 - 15 = 66$.

(B) આપેલ પદાવલિ ${}^{50}{C_4} + \sum_{r = 1}^6 {^{56 - r}{C_3}}$ છે.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા: ${}^{50}{C_4} + {}^{55}{C_3} + {}^{54}{C_3} + {}^{53}{C_3} + {}^{52}{C_3} + {}^{51}{C_3} + {}^{50}{C_3}$ મળે.
પદોને ક્રમમાં ગોઠવતા: ${}^{50}{C_4} + {}^{50}{C_3} + {}^{51}{C_3} + {}^{52}{C_3} + {}^{53}{C_3} + {}^{54}{C_3} + {}^{55}{C_3}$ મળે.
પાસ્કલના નિત્યસમ ${}^{n}{C_r} + {}^{n}{C_{r-1}} = {}^{n+1}{C_r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$({}^{50}{C_4} + {}^{50}{C_3}) + {}^{51}{C_3} + {}^{52}{C_3} + {}^{53}{C_3} + {}^{54}{C_3} + {}^{55}{C_3} = {}^{51}{C_4} + {}^{51}{C_3} + {}^{52}{C_3} + {}^{53}{C_3} + {}^{54}{C_3} + {}^{55}{C_3}$.
$({}^{51}{C_4} + {}^{51}{C_3}) + {}^{52}{C_3} + {}^{53}{C_3} + {}^{54}{C_3} + {}^{55}{C_3} = {}^{52}{C_4} + {}^{52}{C_3} + {}^{53}{C_3} + {}^{54}{C_3} + {}^{55}{C_3}$.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,આપણને ${}^{53}{C_4} + {}^{53}{C_3} + {}^{54}{C_3} + {}^{55}{C_3} = {}^{54}{C_4} + {}^{54}{C_3} + {}^{55}{C_3} = {}^{55}{C_4} + {}^{55}{C_3} = {}^{56}{C_4}$ મળે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) સંચયના ગુણધર્મ મુજબ,જો $^nC_r = ^nC_k$ હોય,તો કાં તો $r = k$ અથવા $n = r + k$ થાય.
અહીં $12 \neq 6$ હોવાથી,$n = 12 + 6 = 18$ થશે.
હવે,આપણે $n = 18$ માટે $^nC_2$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$^nC_2 = ^{18}C_2 = \frac{18 \times 17}{2 \times 1} = 9 \times 17 = 153$.

(B) વિદ્યાર્થીએ $13$ માંથી $10$ પ્રશ્નોના જવાબ આપવાના છે. પ્રથમ $5$ પ્રશ્નો એક જૂથમાં છે અને બાકીના $8$ પ્રશ્નો બીજા જૂથમાં છે.
તેણે પ્રથમ $5$ પ્રશ્નોમાંથી ઓછામાં ઓછા $4$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે. આનાથી બે કિસ્સાઓ બને છે:
કિસ્સો $1$: તે પ્રથમ $5$ માંથી $4$ પ્રશ્નો અને બાકીના $8$ માંથી $6$ પ્રશ્નો પસંદ કરે છે.
પસંદગીની રીતો $= ^5C_4 \times ^8C_6 = 5 \times 28 = 140$.
કિસ્સો $2$: તે પ્રથમ $5$ માંથી $5$ પ્રશ્નો અને બાકીના $8$ માંથી $5$ પ્રશ્નો પસંદ કરે છે.
પસંદગીની રીતો $= ^5C_5 \times ^8C_5 = 1 \times 56 = 56$.
કુલ પસંદગીની રીતો $= 140 + 56 = 196$.

(C) ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણને $3$ અસમરેખ બિંદુઓની જરૂર છે.
કુલ બિંદુઓની સંખ્યા = $5 + 3 = 8$.
$8$ માંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^8C_3$ છે.
જો કે,જો $3$ બિંદુઓ સમરેખ હોય,તો તે ત્રિકોણ બનાવતા નથી.
એક રેખા પર $5$ બિંદુઓ છે,તેથી તેમાંથી $3$ સમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^5C_3$ છે.
બીજી સમાંતર રેખા પર $3$ બિંદુઓ છે,તેથી તેમાંથી $3$ સમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^3C_3$ છે.
તેથી,ત્રિકોણની સંખ્યા = કુલ પસંદગીઓ - સમરેખ પસંદગીઓ = $^8C_3 - ^5C_3 - ^3C_3$.

(B) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n(n-3)}{2}$ છે.
અષ્ટકોણ માટે,બાજુઓની સંખ્યા $n = 8$ છે.
સૂત્રમાં $n = 8$ મૂકતા:
વિકર્ણોની સંખ્યા $= \frac{8(8-3)}{2} = \frac{8 \times 5}{2} = \frac{40}{2} = 20$.
વૈકલ્પિક રીતે,સંચય (combinations) નો ઉપયોગ કરતા: $8$ શિરોબિંદુઓમાંથી $2$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ છે. અષ્ટકોણની $8$ બાજુઓને બાદ કરતા,આપણને $28 - 8 = 20$ વિકર્ણો મળે છે.

(B) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર: $\frac{n(n-3)}{2}$ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણોની સંખ્યા $44$ છે,તેથી આપણે સમીકરણ બનાવીએ:
$\frac{n(n-3)}{2} = 44$
$n(n-3) = 88$
$n^2 - 3n - 88 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(n - 11)(n + 8) = 0$
બાજુઓની સંખ્યા $n$ હંમેશા ધન હોવી જોઈએ,તેથી $n = 11$.
આમ,બહુકોણને $11$ બાજુઓ છે.

(A) ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે $3$ અસમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવાની જરૂર છે.
વર્તુળ પરના તમામ બિંદુઓ હોવાથી,કોઈ પણ ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ નથી.
તેથી,$4$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરીને બનાવી શકાતા ત્રિકોણની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 4$ અને $r = 3$ છે.
ત્રિકોણની સંખ્યા = $^4C_3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times 1} = 4$.

(A) ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે આપેલા બિંદુઓમાંથી $3$ અસમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવાની જરૂર છે.
કારણ કે બધા $9$ બિંદુઓ અસમરેખ છે,તેથી કોઈપણ $3$ બિંદુઓની પસંદગી એક અનન્ય ત્રિકોણ બનાવશે.
$9$ માંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 9$ અને $r = 3$ છે.
તેથી,ત્રિકોણની સંખ્યા = $^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$.

(C) $m$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે પહેલા કોઈપણ બે શિરોબિંદુઓને જોડવાની કુલ રીતો વિચારીએ,જે $^mC_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમાં બહુકોણની $m$ બાજુઓનો સમાવેશ થાય છે.
વિકર્ણો એ અડીને ન હોય તેવા શિરોબિંદુઓને જોડતી રેખાઓ હોવાથી,આપણે કુલ જોડાણોમાંથી બાજુઓની સંખ્યા બાદ કરીએ છીએ.
વિકર્ણોની સંખ્યા = $^mC_2 - m$
$= \frac{m(m - 1)}{2} - m$
$= \frac{m(m - 1) - 2m}{2}$
$= \frac{m^2 - m - 2m}{2}$
$= \frac{m(m - 3)}{2}$.

(D) સીધી રેખા બનાવવા માટે,આપણે આપેલા $8$ બિંદુઓમાંથી કોઈપણ $2$ ભિન્ન બિંદુઓ પસંદ કરવા પડે.
વર્તુળ પરના તમામ $8$ બિંદુઓ હોવાથી,કોઈ પણ $3$ બિંદુઓ સમરેખ નથી.
તેથી,સીધી રેખાઓની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $^nC_r$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n = 8$ અને $r = 2$ છે.
રેખાઓની સંખ્યા $= ^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે આપેલા બિંદુઓના સમૂહમાંથી $3$ અસમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવાની જરૂર છે.
$12$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{12}C_3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
કારણ કે $7$ બિંદુઓ સમરેખ છે,તેથી આ $7$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓની કોઈપણ પસંદગી ત્રિકોણ બનાવશે નહીં.
આ $7$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{7}C_3$ છે.
$^{7}C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.
તેથી,બનાવી શકાતા ત્રિકોણની સંખ્યા એ કુલ પસંદગીઓમાંથી સમરેખ પસંદગીઓની સંખ્યા બાદ કરવાથી મળે છે:
ત્રિકોણની સંખ્યા $= ^{12}C_3 - ^{7}C_3 = 220 - 35 = 185$.

(B) ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે આપેલા બિંદુઓમાંથી $3$ અસમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવા પડે.
$10$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{10}C_3$ છે.
$^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
કારણ કે $4$ બિંદુઓ સમરેખ છે,તેથી આ $4$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાથી ત્રિકોણને બદલે એક સીધી રેખા બનશે.
આ $4$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^4C_3$ છે.
$^4C_3 = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$.
તેથી,બની શકતા ત્રિકોણની સંખ્યા એ કુલ પસંદગીઓમાંથી સીધી રેખા બનાવતી પસંદગીઓને બાદ કરવાથી મળે:
ત્રિકોણની સંખ્યા $= 120 - 4 = 116$.

(A) $n$ બિંદુઓમાંથી રેખાઓની સંખ્યા શોધવા માટે, જ્યાં $m$ બિંદુઓ સમરેખ હોય, આપણે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\text{રેખાઓની સંખ્યા} = ^{n}C_{2} - ^{m}C_{2} + 1$.
અહીં, $n = 16$ અને $m = 6$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\text{રેખાઓની સંખ્યા} = ^{16}C_{2} - ^{6}C_{2} + 1$
$= \frac{16 \times 15}{2} - \frac{6 \times 5}{2} + 1$
$= 120 - 15 + 1$
$= 106$.
આમ, કુલ $106$ રેખાઓ દોરી શકાય છે.

(B) કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $m + n + k$ છે.
આ $m + n + k$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{m+n+k}C_3$ છે.
જો કે,જો $3$ પસંદ કરેલા બિંદુઓ સમરેખ (એટલે કે એક જ સીધી રેખા પર) હોય,તો ત્રિકોણ રચી શકાતો નથી.
$l_1$ પરના $m$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^mC_3$ છે.
$l_2$ પરના $n$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^nC_3$ છે.
$l_3$ પરના $k$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^kC_3$ છે.
તેથી,બની શકતા ત્રિકોણોની સંખ્યા એ કુલ સંચયોમાંથી સમરેખ બિંદુઓના સંચયોને બાદ કરવાથી મળે છે:
જરૂરી ત્રિકોણની સંખ્યા $= ^{m+n+k}C_3 - ^mC_3 - ^nC_3 - ^kC_3$.

(B) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બનાવવા માટે,આપણે ચાર સમાંતર રેખાઓના પ્રથમ સમૂહમાંથી બે રેખાઓ અને ત્રણ સમાંતર રેખાઓના બીજા સમૂહમાંથી બે રેખાઓ પસંદ કરવાની જરૂર છે.
$n$ માંથી $r$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$4$ માંથી $2$ રેખાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $= ^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
$3$ માંથી $2$ રેખાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $= ^3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$.
આ પસંદગીઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની કુલ સંખ્યા આ બે મૂલ્યોનો ગુણાકાર છે:
કુલ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $= 6 \times 3 = 18$.

(C) $6$ બિંદુઓને જોડીને બનતી રેખાઓની સંખ્યા $^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ છે.
જો કોઈ પણ ત્રણ રેખાઓ સંગામી ન હોય અને કોઈ પણ બે રેખાઓ સમાંતર ન હોય,તો $15$ રેખાઓ દ્વારા બનતા કુલ છેદબિંદુઓની સંખ્યા $^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2} = 105$ થાય.
જોકે,મૂળ $6$ બિંદુઓમાંથી દરેક પર $5$ રેખાઓ પસાર થાય છે. આ $5$ રેખાઓ એક જ બિંદુ પર છેદે છે,પરંતુ $^{15}C_2$ સૂત્ર આ $5$ રેખાઓની તમામ જોડીઓને અલગ છેદબિંદુઓ તરીકે ગણે છે.
દરેક $6$ બિંદુઓ માટે,તેમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીઓની સંખ્યા $^5C_2 = 10$ છે. આ $10$ જોડીઓને $105$ ના કુલ આંકડામાં $10$ અલગ બિંદુઓ તરીકે ગણવામાં આવે છે,પરંતુ તે વાસ્તવમાં એક જ મૂળ બિંદુ છે.
તેથી,દરેક મૂળ બિંદુ માટે,આપણે $10$ બાદ કરીશું અને $1$ ઉમેરીશું (તે બિંદુ પોતે).
કુલ અલગ છેદબિંદુઓ $= 105 - 6 \times (10 - 1) = 105 - 6 \times 9 = 105 - 54 = 51$.

(A) કિસ્સો $I$: જ્યારે $A$ ને બાકાત રાખવામાં આવે.
ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે $3$ અસમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવા પડે. રેખા $AB$ પર $m$ બિંદુઓ અને $AC$ પર $n$ બિંદુઓ હોવાથી,આપણે $AB$ માંથી $2$ અને $AC$ માંથી $1$ બિંદુ,અથવા $AB$ માંથી $1$ અને $AC$ માંથી $2$ બિંદુઓ પસંદ કરી શકીએ.
ત્રિકોણની સંખ્યા $= ^mC_2 \cdot ^nC_1 + ^mC_1 \cdot ^nC_2 = \frac{mn(m + n - 2)}{2}$.
કિસ્સો $II$: જ્યારે $A$ નો સમાવેશ કરવામાં આવે.
જો $A$ એક શિરોબિંદુ હોય,તો આપણે અન્ય $2$ બિંદુઓ પસંદ કરવા પડે. આ બિંદુઓ $AB$ માંથી $1$ અને $AC$ માંથી $1$ હોઈ શકે,અથવા $AB$ માંથી $2$ હોઈ શકે,અથવા $AC$ માંથી $2$ હોઈ શકે.
કુલ ત્રિકોણ $= mn + ^mC_2 + ^nC_2$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,ગુણોત્તર $\frac{m + n - 2}{m + n}$ મળે છે.

(C) કારણ કે કોઈ પણ બે રેખાઓ સમાંતર નથી અને કોઈ પણ ત્રણ રેખાઓ સંગામી નથી,તેથી $n$ સીધી રેખાઓ $N = ^nC_2 = \frac{n(n-1)}{2}$ બિંદુઓ પર છેદે છે.
રેખા બનાવવા માટે,આપણને $2$ બિંદુઓની જરૂર છે. આ $N$ બિંદુઓને જોડીને બનતી રેખાઓની કુલ સંખ્યા $^NC_2$ છે.
જો કે,આ કુલ સંખ્યામાં મૂળ $n$ રેખાઓનો સમાવેશ થાય છે. દરેક મૂળ રેખા પર $(n-1)$ છેદબિંદુઓ હોય છે. એક મૂળ રેખા પરના આ $(n-1)$ બિંદુઓ દ્વારા બનતી રેખાઓની સંખ્યા $^{n-1}C_2$ છે. આવી $n$ રેખાઓ હોવાથી,આપણે મૂળ રેખાઓને બાદ કરવી પડશે.
નવી રેખાઓની સંખ્યા $^NC_2 - n \times ^{n-1}C_2$ છે.
$N = \frac{n(n-1)}{2}$ મૂકતા:
$= \frac{N(N-1)}{2} - n \frac{(n-1)(n-2)}{2}$
$= \frac{\frac{n(n-1)}{2} (\frac{n(n-1)}{2} - 1)}{2} - \frac{n(n-1)(n-2)}{2}$
$= \frac{n(n-1)(n^2-n-2)}{8} - \frac{4n(n-1)(n-2)}{8}$
$= \frac{n(n-1)(n-2)(n+1) - 4n(n-1)(n-2)}{8}$
$= \frac{n(n-1)(n-2)(n+1-4)}{8} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{8}$.

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બે જોડી સમાંતર રેખાઓ દ્વારા ઘેરાયેલું હોય છે.
શરૂઆતમાં,દરેક બાજુની જોડી માટે $2$ સમાંતર રેખાઓ હોય છે.
જ્યારે દરેક બાજુને સમાંતર $m$ રેખાઓ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક સમૂહમાં સમાંતર રેખાઓની કુલ સંખ્યા $m + 2$ થાય છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બનાવવા માટે,આપણે પ્રથમ $m + 2$ રેખાઓના સમૂહમાંથી $2$ રેખાઓ અને બીજા $m + 2$ રેખાઓના સમૂહમાંથી $2$ રેખાઓ પસંદ કરવાની જરૂર છે.
$m + 2$ રેખાઓમાંથી $2$ રેખાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{m+2}C_2$ દ્વારા મળે છે.
આપણે બંને સમૂહોમાંથી પસંદગી કરવાની હોવાથી,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની કુલ સંખ્યા $^{m+2}C_2 \times ^{m+2}C_2 = (^{m+2}C_2)^2$ થશે.

(A) $37$ સીધી રેખાઓ માટે કુલ છેદબિંદુઓની સંખ્યા,જો કોઈ પણ ત્રણ રેખાઓ સંગામી ન હોય અને કોઈ પણ બે રેખાઓ સમાંતર ન હોય,તો $^{37}C_2$ થાય.
કારણ કે $13$ રેખાઓ બિંદુ $A$ માંથી પસાર થાય છે,તેઓએ $^{13}C_2$ છેદબિંદુઓ બનાવવા જોઈતા હતા,પરંતુ તેઓ માત્ર $1$ બિંદુ બનાવે છે. તેથી,આપણે $^{13}C_2$ બાદ કરીએ છીએ અને $1$ ઉમેરીએ છીએ.
તે જ રીતે,$11$ રેખાઓ બિંદુ $B$ માંથી પસાર થાય છે,જેણે $^{11}C_2$ છેદબિંદુઓ બનાવવા જોઈતા હતા,પરંતુ તેઓ માત્ર $1$ બિંદુ બનાવે છે. તેથી,આપણે $^{11}C_2$ બાદ કરીએ છીએ અને $1$ ઉમેરીએ છીએ.
છેદબિંદુઓની કુલ સંખ્યા $^{37}C_2 - ^{13}C_2 - ^{11}C_2 + 1 + 1$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતોની ગણતરી કરતા: $^{37}C_2 = \frac{37 \times 36}{2} = 666$,$^{13}C_2 = \frac{13 \times 12}{2} = 78$,અને $^{11}C_2 = \frac{11 \times 10}{2} = 55$.
કુલ બિંદુઓ $= 666 - 78 - 55 + 2 = 535$.

(D) છેદબિંદુઓની મહત્તમ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે નીચેની આંતરક્રિયાઓ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ:
$1$. $8$ સીધી રેખાઓ વચ્ચેનું છેદન: બિંદુઓની મહત્તમ સંખ્યા $^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ દ્વારા મળે છે.
$2$. $4$ વર્તુળો વચ્ચેનું છેદન: દરેક વર્તુળોની જોડી $2$ બિંદુઓ પર છેદી શકે છે. બિંદુઓની મહત્તમ સંખ્યા $^4C_2 \times 2 = 6 \times 2 = 12$ છે.
$3$. $8$ સીધી રેખાઓ અને $4$ વર્તુળો વચ્ચેનું છેદન: દરેક રેખા દરેક વર્તુળને $2$ બિંદુઓ પર છેદી શકે છે. બિંદુઓની મહત્તમ સંખ્યા $^8C_1 \times ^4C_1 \times 2 = 8 \times 4 \times 2 = 64$ છે.
કુલ બિંદુઓ $= 28 + 12 + 64 = 104$.

(C) કુલ બિંદુઓ $n = 18$. સમરેખ બિંદુઓની સંખ્યા $m = 5$ છે.
$(i)$ સીધી રેખાઓની સંખ્યા: $n$ બિંદુઓ દ્વારા બનતી રેખાઓની સંખ્યા $^{n}C_{2}$ છે. કારણ કે $m$ બિંદુઓ સમરેખ છે,તેઓ $^{m}C_{2}$ રેખાઓને બદલે માત્ર $1$ રેખા બનાવે છે. તેથી,સૂત્ર $^{n}C_{2} - ^{m}C_{2} + 1$ છે.
ગણતરી: $^{18}C_{2} - ^{5}C_{2} + 1 = \frac{18 \times 17}{2} - \frac{5 \times 4}{2} + 1 = 153 - 10 + 1 = 144$.
$(ii)$ ત્રિકોણની સંખ્યા: $n$ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણની સંખ્યા $^{n}C_{3}$ છે. કારણ કે $m$ બિંદુઓ સમરેખ છે,તેઓ કોઈ ત્રિકોણ બનાવતા નથી. તેથી,સૂત્ર $^{n}C_{3} - ^{m}C_{3}$ છે.
ગણતરી: $^{18}C_{3} - ^{5}C_{3} = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} - \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 816 - 10 = 806$.

(A) ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે આપેલા $16$ બિંદુઓમાંથી $3$ અસમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવા પડે.
$16$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{16}C_3 = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 16 \times 5 \times 7 = 560$ છે.
જોકે,$8$ બિંદુઓ સમરેખ છે,જેનો અર્થ છે કે આ $8$ બિંદુઓમાંથી કોઈપણ $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાથી ત્રિકોણ બનશે નહીં.
આ $8$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{8}C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ છે.
તેથી,બનાવી શકાતા ત્રિકોણની સંખ્યા કુલ સંચયોમાંથી અમાન્ય સંચયો બાદ કરવાથી મળે: $560 - 56 = 504$.

(B) $n$ બાજુઓ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણના શિરોબિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતા ત્રિકોણોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $T_n = ^nC_3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $T_{n + 1} - T_n = 21$ માં સૂત્ર મૂકતા:
$^{n + 1}C_3 - ^nC_3 = 21$
સંચયના પાસ્કલના ગુણધર્મ $^nC_r + ^nC_{r-1} = ^{n+1}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $^{n+1}C_3 = ^nC_3 + ^nC_2$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(^nC_3 + ^nC_2) - ^nC_3 = 21$
$^nC_2 = 21$
સંચયના સૂત્રનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{n(n - 1)}{2} = 21$
$n(n - 1) = 42$
$n^2 - n - 42 = 0$
$(n - 7)(n + 6) = 0$
$n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 7$.

(A) ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે $3$ અસમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવા પડે.
$10$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ છે.
કારણ કે $6$ બિંદુઓ સમરેખ છે,તેથી આ $6$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓની કોઈપણ પસંદગી ત્રિકોણ બનાવશે નહીં.
આ $6$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{6}C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ છે.
તેથી,બનતા ત્રિકોણોની કુલ સંખ્યા = $^{10}C_3 - ^{6}C_3 = 120 - 20 = 100$.

(C) કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $n$ છે. $n$ બિંદુઓમાંથી $2$ બિંદુઓ પસંદ કરીને રેખા બનાવવાની રીતોની સંખ્યા $^nC_2$ છે.
કારણ કે $p$ બિંદુઓ સમરેખ છે,તેથી તે બધા એક જ રેખા પર આવેલા છે. આ $p$ બિંદુઓમાંથી કોઈપણ $2$ બિંદુઓ પસંદ કરવાથી એક જ રેખા મળે છે,જે $^nC_2$ માં $^pC_2$ વખત ગણાય છે.
આને સુધારવા માટે,આપણે $p$ સમરેખ બિંદુઓ દ્વારા બનતી તમામ રેખાઓ $(^pC_2)$ બાદ કરીએ છીએ અને $1$ ઉમેરીએ છીએ કારણ કે તે $p$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી એક જ રેખા છે.
તેથી,કુલ અલગ-અલગ રેખાઓની સંખ્યા $^nC_2 - ^pC_2 + 1$ છે.

(A) જો કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોય તો જ ત્રિકોણ બની શકે છે.
$6$ માંથી $3$ રેખાખંડો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ છે.
આપણે એવા સંયોજનો બાદ કરવા પડશે જે ત્રિકોણ બનાવતા નથી (જ્યાં બે નાની બાજુઓનો સરવાળો $\le$ સૌથી મોટી બાજુ).
જે લંબાઈના સમૂહો ત્રિકોણ બનાવતા નથી તે છે:
$(2, 3, 5), (2, 3, 6), (2, 3, 7), (2, 4, 6), (2, 4, 7), (2, 5, 7), (3, 4, 7)$.
આવા કુલ $7$ સંયોજનો છે.
ત્રિકોણની સંખ્યા = $20 - 7 = 13$.
આપેલા વિકલ્પો જોતા,$^6C_3 - 7$ અભિવ્યક્તિ $20 - 7 = 13$ બરાબર થાય છે.

(C) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n(n-3)}{2}$ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણોની સંખ્યા $35$ છે,તેથી:
$\frac{n(n-3)}{2} = 35$
$n(n-3) = 70$
$n^2 - 3n - 70 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(n - 10)(n + 7) = 0$
બાજુઓની સંખ્યા $n$ હંમેશા ધન હોવી જોઈએ,તેથી $n = 10$.
આમ,બહુકોણને $10$ બાજુઓ છે.

(D) સીધી રેખા બનાવવા માટે,આપણને $2$ બિંદુઓની જરૂર છે.
જો કોઈ પણ ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ ન હોત,તો રેખાઓની કુલ સંખ્યા $^{20}C_2$ હોત.
પરંતુ,$4$ બિંદુઓ સમરેખ છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ $^{4}C_2$ રેખાઓને બદલે માત્ર $1$ જ રેખા બનાવે છે.
તેથી,રેખાઓની સંખ્યા આ સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $^{20}C_2 - ^{4}C_2 + 1$.
કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190$.
$^{4}C_2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.
જરૂરી રેખાઓની સંખ્યા $= 190 - 6 + 1 = 185$.