Permutation and Combination Questions in Gujarati

(C) આપણે નિત્યસમ $^nC_r + ^nC_{r-1} = ^{n+1}C_r$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ: $^nC_r + 2^nC_{r-1} + ^nC_{r-2}$.
વચ્ચેના પદને વિભાજિત કરતા: $^nC_r + ^nC_{r-1} + ^nC_{r-1} + ^nC_{r-2}$.
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા: $(^nC_r + ^nC_{r-1}) + (^nC_{r-1} + ^nC_{r-2})$.
નિત્યસમ લાગુ પાડતા: $^{n+1}C_r + ^{n+1}C_{r-1}$.
ફરીથી નિત્યસમ લાગુ પાડતા: $^{n+2}C_r$.

(D) કુલ હેન્ડશેકની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $8$ વ્યક્તિઓમાંથી $2$ વ્યક્તિઓની પસંદગી કરવાની જરૂર છે જે એક હેન્ડશેક પૂર્ણ કરે.
આ એક સંચય (Combination) નો પ્રશ્ન છે કારણ કે હાથ મિલાવનાર બે વ્યક્તિઓનો ક્રમ મહત્વનો નથી.
$8$ માંથી $2$ વ્યક્તિઓને પસંદ કરવાની રીતો સંચયના સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 8$ અને $r = 2$ છે.
કુલ હેન્ડશેક = $^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$.
તેથી,કુલ હેન્ડશેકની સંખ્યા $28$ છે.

(A) પદાવલિ $^nC_r + ^nC_{r-1}$ એ સંચય માટે પાસ્કલના નિત્યસમનું પાલન કરે છે.
સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$^nC_r + ^nC_{r-1} = \frac{n!}{r!(n-r)!} + \frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!}$
સામાન્ય અવયવો બહાર કાઢતા:
$= \frac{n!}{(r-1)!(n-r)!} \left[ \frac{1}{r} + \frac{1}{n-r+1} \right]$
$= \frac{n!}{(r-1)!(n-r)!} \left[ \frac{n-r+1+r}{r(n-r+1)} \right]$
$= \frac{n!}{(r-1)!(n-r)!} \left[ \frac{n+1}{r(n-r+1)} \right]$
$= \frac{(n+1)n!}{r(r-1)!(n-r+1)(n-r)!} = \frac{(n+1)!}{r!(n+1-r)!} = ^{n+1}C_r$.

(B) આપેલ છે કે $^nC_a = ^nC_b$,તો કાં તો $a = b$ અથવા $a + b = n$ થાય.
અહીં,$^8C_r = ^8C_{r+2}$ છે.
કારણ કે $r \neq r + 2$,તેથી $r + (r + 2) = 8$ લેતા.
$2r + 2 = 8$
$2r = 6$
$r = 3$.
હવે,આપણે $^rC_2$ ની કિંમત શોધવાની છે,જે $^3C_2$ થાય.
$^3C_2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 1} = 3$.

(D) આપેલ સમીકરણ $^{20}C_{n+2} = ^nC_{16}$ છે.
કોમ્બિનેશન $^nC_r$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,શરત $n \ge r$ સંતોષાવી જોઈએ.
$^nC_{16}$ પદ માટે,આપણી પાસે $n \ge 16$ હોવું જોઈએ.
$^{20}C_{n+2}$ પદ માટે,આપણી પાસે $20 \ge n+2$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $n \le 18$.
આમ,$n$ એ $16 \le n \le 18$ ની શ્રેણીમાં હોવું જોઈએ.
જો $n = 16$ હોય,તો $^{20}C_{18} = ^{16}C_{16} \implies 190 = 1$,જે ખોટું છે.
જો $n = 17$ હોય,તો $^{20}C_{19} = ^{17}C_{16} \implies 20 = 17$,જે ખોટું છે.
જો $n = 18$ હોય,તો $^{20}C_{20} = ^{18}C_{16} \implies 1 = 153$,જે ખોટું છે.
કારણ કે માન્ય શ્રેણીમાં $n$ ની કોઈ પૂર્ણાંક કિંમત સમીકરણને સંતોષતી નથી,તેથી $n$ માટે કોઈ કિંમત શક્ય નથી.

(A) અમે સંચય (combinations) ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $^{n}C_r = ^{n}C_{n-r}$.
પ્રથમ,આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને $^{15}C_{13}$ ને સરળ બનાવો:
$^{15}C_{13} = ^{15}C_{15-13} = ^{15}C_2$.
હવે,પાસ્કલના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરો: $^{n}C_r + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_r$.
કિંમતો મૂકતા:
$^{15}C_3 + ^{15}C_2 = ^{15+1}C_3 = ^{16}C_3$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે રૂમમાં રહેલી વ્યક્તિઓની કુલ સંખ્યા $n$ છે.
દરેક વ્યક્તિ અન્ય દરેક વ્યક્તિ સાથે એક વાર હાથ મિલાવે છે,તેથી હાથ મિલાવવાની કુલ સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $^nC_2$ દ્વારા મળે છે,જે $n$ વ્યક્તિઓમાંથી $2$ વ્યક્તિઓની પસંદગી દર્શાવે છે.
આપેલ છે કે હાથ મિલાવવાની કુલ સંખ્યા $66$ છે,તેથી સમીકરણ: $^nC_2 = 66$.
સૂત્ર $^nC_2 = \frac{n(n-1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{n(n-1)}{2} = 66$
$n(n-1) = 132$
$n^2 - n - 132 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(n - 12)(n + 11) = 0$.
વ્યક્તિઓની સંખ્યા $n$ ધન હોવી જોઈએ,તેથી $n = 12$.
આમ,રૂમમાં રહેલી વ્યક્તિઓની કુલ સંખ્યા $12$ છે.

(C) આપેલ અસમતા $^{10}C_{x-1} > 2 \cdot ^{10}C_x$ છે.
સૂત્ર $^{n}C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે પદોનું વિસ્તરણ કરીએ:
$\frac{10!}{(x-1)!(10-(x-1))!} > 2 \cdot \frac{10!}{x!(10-x)!}$
$\frac{10!}{(x-1)!(11-x)!} > 2 \cdot \frac{10!}{x!(10-x)!}$
$10!$ સામાન્ય હોવાથી, આપણે તેને સરળ બનાવીએ:
$\frac{1}{(x-1)!(11-x)(10-x)!} > 2 \cdot \frac{1}{x(x-1)!(10-x)!}$
$\frac{1}{11-x} > \frac{2}{x}$
$x$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ અને $1 \le x \le 10$ હોવાથી, આપણે ચોકડી ગુણાકાર કરીએ:
$x > 2(11-x)$
$x > 22 - 2x$
$3x > 22$
$x > \frac{22}{3} \approx 7.33$
$x$ એ પૂર્ણાંક હોવાથી અને $x \le 10$ હોવાથી, $x$ ની શક્ય કિંમતો ${8, 9, 10}$ છે.

(A) આપણે દ્વિપદી સહગુણકોનો ગુણધર્મ જાણીએ છીએ: $^{n}{C_{r}} = ^{n}{C_{n-r}}$.
તેથી,$^{n+r}{C_{n}} = ^{n+r}{C_{(n+r)-n}} = ^{n+r}{C_{r}}$.
આપણે સરવાળો $S = \sum_{r=0}^{m} {^{n+r}{C_{r}}} = ^{n}{C_{0}} + ^{n+1}{C_{1}} + ^{n+2}{C_{2}} + \dots + ^{n+m}{C_{m}}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
હોકી-સ્ટિક ઓળખનો ઉપયોગ કરતા,જે જણાવે છે કે $\sum_{i=r}^{n} {^{i}{C_{r}}} = ^{n+1}{C_{r+1}}$,આપણે આપણા સરવાળાને ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
અહીં,સરવાળો $\sum_{r=0}^{m} {^{n+r}{C_{r}}}$ છે.
ઓળખ $\sum_{k=0}^{m} {^{n+k}{C_{k}}} = ^{n+m+1}{C_{m}}$ મુજબ.
કારણ કે $^{n+m+1}{C_{m}} = ^{n+m+1}{C_{(n+m+1)-m}} = ^{n+m+1}{C_{n+1}}$.
તેથી,સરવાળો $^{n+m+1}{C_{n+1}}$ બરાબર છે.

(B) ધારો કે ટીમોની સંખ્યા $n$ છે.
દરેક ટીમ અન્ય દરેક ટીમ સાથે એક મેચ રમે છે,તેથી કુલ મેચોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $^nC_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $n$ ટીમોમાંથી $2$ ટીમોને મેચ રમવા માટે પસંદ કરવાનું દર્શાવે છે.
આપેલ છે કે કુલ મેચોની સંખ્યા $153$ છે,તેથી:
$^nC_2 = 153$
$\frac{n(n - 1)}{2} = 153$
$n(n - 1) = 306$
$n^2 - n - 306 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણને ઉકેલતા:
$(n - 18)(n + 17) = 0$
ટીમોની સંખ્યા ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $n = 18$.
આમ,ભાગ લેતી ટીમોની સંખ્યા $18$ છે.

(D) દરેક પ્રશ્નનો જવાબ $4$ રીતે આપી શકાય છે.
અહીં $3$ પ્રશ્નો હોવાથી,બધા પ્રશ્નોના જવાબ આપવાની કુલ રીતો $4 \times 4 \times 4 = 4^3 = 64$ છે.
બધા પ્રશ્નોના જવાબ સાચા હોય તેવી માત્ર $1$ જ રીત છે (એટલે કે દરેક પ્રશ્ન માટે સાચો વિકલ્પ પસંદ કરવો).
તેથી,વિદ્યાર્થી બધા જવાબો સાચા ન મેળવી શકે તેવી રીતોની સંખ્યા કુલ રીતોમાંથી બધી સાચી રીતો બાદ કરવાથી મળે છે: $64 - 1 = 63$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha = {^m}{C_2} = \frac{m(m-1)}{2}$.
આપણે ${^\alpha}{C_2} = \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}$ શોધવાનું છે.
$\alpha$ ની કિંમત મૂકતા:
${^\alpha}{C_2} = \frac{\frac{m(m-1)}{2} \left( \frac{m(m-1)}{2} - 1 \right)}{2}$
$= \frac{1}{4} \cdot \frac{m(m-1)}{2} \cdot (m^2 - m - 2)$
$= \frac{1}{8} m(m-1)(m-2)(m+1)$
$= \frac{3}{1} \cdot \frac{(m+1)m(m-1)(m-2)}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
$= 3 \cdot {^{m+1}}{C_4}$.

(B) $20$ વિદ્યાર્થીઓના વર્ગમાં,જો દરેક વિદ્યાર્થી અન્ય દરેક વિદ્યાર્થીને કાર્ડ મોકલે,તો આપણે પહેલા કેટલી જોડીઓ બનાવી શકાય તે ધ્યાનમાં લઈએ. $20$ માંથી $2$ વિદ્યાર્થીઓને પસંદ કરવાની રીતો $^{20}C_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે દરેક જોડીમાં બે કાર્ડની આપ-લે થાય છે (વિદ્યાર્થી $A$ એ $B$ ને કાર્ડ મોકલ્યું અને વિદ્યાર્થી $B$ એ $A$ ને કાર્ડ મોકલ્યું),તેથી આપ-લે થયેલા કાર્ડની કુલ સંખ્યા $2 \times ^{20}C_2$ થાય.
ગણતરી: $2 \times \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 380$ કાર્ડ.

(C) દરેક વ્યક્તિ પાસે દાંત માટે $32$ સંભવિત સ્થાનો છે.
દરેક સ્થાન માટે $2$ શક્યતાઓ છે: કાં તો દાંત હાજર છે અથવા ગેરહાજર છે.
આવા $32$ સ્થાનો હોવાથી,દાંતના સંયોજનોની કુલ સંખ્યા $2 \times 2 \times \dots \times 2$ ($32$ વખત) થશે,જે $2^{32}$ બરાબર છે.
જો કે,પ્રશ્નમાં જણાવ્યા મુજબ એવી કોઈ વ્યક્તિ નથી જેને એક પણ દાંત ન હોય,એટલે કે જે કિસ્સામાં તમામ $32$ સ્થાનો ખાલી હોય તેને બાદ કરવું પડે.
તેથી,શહેરની મહત્તમ વસ્તી $2^{32} - 1$ છે.

(B) આપેલ ગુણોત્તર $^{2n}C_2 : ^nC_2 = 9:2$ છે.
સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2n(2n-1)}{2} : \frac{n(n-1)}{2} = 9:2$
$\frac{2n(2n-1)}{n(n-1)} = \frac{9}{2}$
$4(2n-1) = 9(n-1)$
$8n - 4 = 9n - 9$
$n = 5$
હવે,$n = 5$ ને $^nC_r = 10$ માં મૂકતા:
$^5C_r = 10$
કારણ કે $^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$,તેથી આપણને $r = 2$ મળે છે.

(D) સંચયના ગુણધર્મ મુજબ,જો $^nC_x = ^nC_y$ હોય,તો કાં તો $x = y$ અથવા $x + y = n$ થાય.
અહીં,$^{10}C_r = ^{10}C_{r+2}$ આપેલ છે.
કારણ કે $r \neq r + 2$,તેથી $r + (r + 2) = 10$ લેતા.
$2r + 2 = 10$
$2r = 8$
$r = 4$.
હવે,આપણે $^5C_r$ ની કિંમત શોધવાની છે,જે $^5C_4$ છે.
સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા,$^5C_4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5 \times 4!}{4! \times 1!} = 5$ મળે છે.

(B) આપણને નીચે મુજબના સંચયો આપેલા છે:
$1$) $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{84}{36} = \frac{7}{3}$
સૂત્ર $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{n-r+1}{r} = \frac{7}{3} \implies 3n - 3r + 3 = 7r \implies 3n - 10r = -3$ (સમીકરણ $1$)
$2$) $\frac{^nC_{r+1}}{^nC_r} = \frac{126}{84} = \frac{3}{2}$
સૂત્ર $\frac{^nC_{r+1}}{^nC_r} = \frac{n-r}{r+1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{n-r}{r+1} = \frac{3}{2} \implies 2n - 2r = 3r + 3 \implies 2n - 5r = 3$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ ને $2$ વડે ગુણતા: $4n - 10r = 6$ (સમીકરણ $3$)
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(4n - 10r) - (3n - 10r) = 6 - (-3) \implies n = 9$.
$n=9$ ને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $2(9) - 5r = 3 \implies 18 - 5r = 3 \implies 5r = 15 \implies r = 3$.

(A) આપણે પાસ્કલના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $^nC_r + ^nC_{r-1} = ^{n+1}C_r$.
આપેલ અસમતામાં આ લાગુ પાડતા: $^nC_3 + ^nC_4 = ^{n+1}C_4$.
તેથી,અસમતા આ મુજબ બને છે: $^{n+1}C_4 > ^{n+1}C_3$.
સંચયનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{(n+1)!}{4!(n-3)!} > \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!}$.
બંને બાજુ $(n+1)!$ વડે ભાગતા અને ફેક્ટોરિયલનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{4 \times 3!(n-3)!} > \frac{1}{3!(n-2)(n-3)!}$.
$\frac{1}{4} > \frac{1}{n-2}$.
સંચય વ્યાખ્યાયિત હોવા માટે $n > 3$ હોવાથી,$n-2$ ધન છે,તેથી આપણે ચોકડી ગુણાકાર કરી શકીએ:
$n - 2 > 4$.
$n > 6$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે જો ${}^nC_x = {}^nC_y$ હોય,તો કાં તો $x = y$ અથવા $x + y = n$ થાય.
આપેલ સમીકરણ: ${}^{15}C_{r + 3} = {}^{15}C_{2r - 6}$.
કિસ્સો $1$: $r + 3 = 2r - 6$
$r - 2r = -6 - 3$
$-r = -9$
$r = 9$.
કિસ્સો $2$: $(r + 3) + (2r - 6) = 15$
$3r - 3 = 15$
$3r = 18$
$r = 6$.
$r$ એ $0 \le r+3 \le 15$ અને $0 \le 2r-6 \le 15$ ની શરતનું પાલન કરવું જોઈએ,તેથી $r=9$ અને $r=6$ બંને માન્ય ઉકેલો છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$6$ એ સાચો જવાબ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $^{n + 1}{C_3} = 2{\,^n}{C_2}$
સૂત્ર $^{n}{C_r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરીને,બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{(n + 1)!}{3!(n + 1 - 3)!} = 2 \times \frac{n!}{2!(n - 2)!}$
$\frac{(n + 1) \times n!}{6 \times (n - 2)!} = 2 \times \frac{n!}{2 \times (n - 2)!}$
બંને બાજુથી $n!$ અને $(n - 2)!$ ને દૂર કરતા:
$\frac{n + 1}{6} = \frac{2}{2}$
$\frac{n + 1}{6} = 1$
$n + 1 = 6$
$n = 5$

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$.
તેથી,$\binom{n}{n-r} = \binom{n}{r}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\binom{n}{n-r} + \binom{n}{r+1} = \binom{n}{r} + \binom{n}{r+1}$.
પાસ્કલના નિત્યસમ $\binom{n}{r} + \binom{n}{r+1} = \binom{n+1}{r+1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\binom{n}{r} + \binom{n}{r+1} = \binom{n+1}{r+1}$.

(A) પાસ્કલના નિત્યસમ $^nC_r + ^nC_{r-1} = ^{n+1}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $^nC_6 + ^nC_5 = ^{n+1}C_6$।
આપેલ અસમતા: $^{n+1}C_6 > ^{n+1}C_5$ છે.
સંચયનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{(n+1)!}{6!(n-5)!} > \frac{(n+1)!}{5!(n-4)!}$ મળે.
બંને બાજુ $(n+1)!$ વડે ભાગતા અને ફેક્ટોરિયલનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{1}{6 \times 5!(n-5)!} > \frac{1}{5!(n-4)(n-5)!}$ મળે.
$\frac{1}{6} > \frac{1}{n-4}$ થાય.
$n$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવાથી,$n-4 > 6$,જેનો અર્થ છે કે $n > 10$ થાય.
આ શરતનું પાલન કરતી ન્યૂનતમ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n = 11$ છે.

(B) $n$ વ્યક્તિઓની પાર્ટીમાં,જો દરેક વ્યક્તિ અન્ય દરેક વ્યક્તિ સાથે બરાબર એક વાર હાથ મિલાવે,તો કુલ હેન્ડશેકની સંખ્યા એ $n$ માંથી $2$ વ્યક્તિઓની જોડી પસંદ કરવા જેટલી હોય છે.
આની ગણતરી સંચય (Combination) ના સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે: $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.
અહીં,$n = 15$ અને $r = 2$ છે.
કુલ હેન્ડશેક = $^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$.

(D) આપેલ પદાવલિ એ સંચય (combinations) માં પાસ્કલના નિત્યસમ (Pascal's Identity) તરીકે ઓળખાતું પ્રમાણિત સૂત્ર છે.
પાસ્કલના નિત્યસમ મુજબ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકો $n$ અને $r$ માટે જ્યાં $n \ge r$ હોય,ત્યારે બે ક્રમિક દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો નીચે મુજબ થાય છે:
$^nC_{r-1} + ^nC_r = ^{n+1}C_r$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે જો $^nC_a = ^nC_b$ હોય,તો કાં તો $a = b$ અથવા $a + b = n$ થાય.
આપેલ સમીકરણ: $^{43}C_{r-6} = ^{43}C_{3r+1}$.
કિસ્સો $1$: $r - 6 = 3r + 1$
$-7 = 2r$
$r = -3.5$ (આ શક્ય નથી કારણ કે $r$ એ અનૃણ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ).
કિસ્સો $2$: $(r - 6) + (3r + 1) = 43$
$4r - 5 = 43$
$4r = 48$
$r = 12$.
આમ,$r$ ની કિંમત $12$ છે.

(C) આપેલ સંખ્યા $112233$ છે,જેમાં કુલ $6$ અંકો છે.
અંકો $1, 1, 2, 2, 3, 3$ છે.
અહીં,અંક $1$ બે વાર,અંક $2$ બે વાર અને અંક $3$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
આ $6$ અંકોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\text{રીતોની સંખ્યા} = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot n_3!}$
કિંમતો મૂકતા: $n = 6$,$n_1 = 2$,$n_2 = 2$,$n_3 = 2$.
$\text{રીતોની સંખ્યા} = \frac{6!}{2! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{720}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{720}{8} = 90$.
આમ,આવી $90$ સંખ્યાઓ બનાવી શકાય છે.

(C) એક મતદાર $1, 2, 3, 4,$ અથવા $5$ ઉમેદવારોને મત આપી શકે છે.
પસંદગીનો ક્રમ મહત્વનો ન હોવાથી,આપણે સંચય (combinations) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કુલ રીતોની સંખ્યા સંચયના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
કુલ રીતો $= ^8C_1 + ^8C_2 + ^8C_3 + ^8C_4 + ^8C_5$
$= 8 + 28 + 56 + 70 + 56$
$= 218$
આમ,મતદાર માટે મત આપવાની કુલ $218$ રીતો છે.

(C) ધારો કે ઉમેદવારોની સંખ્યા $n$ છે. ચૂંટાયેલા વ્યક્તિઓની સંખ્યા $n-1$ છે।
એક મતદાર $1$ થી $n-1$ સુધીના કોઈપણ ઉમેદવારને મત આપી શકે છે।
મતદાર કુલ કેટલી રીતે મત આપી શકે તે સંચયનો સરવાળો છે:
$^nC_1 + {}^nC_2 + \cdots + {}^nC_{n-1} = 254$
આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો:
$\sum_{r=0}^{n} {}^nC_r = 2^n$
તેથી,
$^nC_0 + {}^nC_1 + {}^nC_2 + \cdots + {}^nC_{n-1} + {}^nC_n = 2^n$
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા:
$1 + 254 + 1 = 2^n$
$256 = 2^n$
$2^8 = 2^n$
આમ, $n = 8$

(A) કોઈ પણ બે હિન્દી પુસ્તકો સાથે ન આવે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે પહેલા $21$ અંગ્રેજી પુસ્તકોને એક હારમાં ગોઠવીએ છીએ.
આ $21$ અંગ્રેજી પુસ્તકો $22$ સંભવિત જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) બનાવે છે જ્યાં હિન્દી પુસ્તકો મૂકી શકાય છે: $\bullet E_1 \bullet E_2 \bullet E_3 \bullet ... \bullet E_{21} \bullet$.
અહીં $19$ હિન્દી પુસ્તકો હોવાથી,આપણે $22$ ઉપલબ્ધ જગ્યાઓમાંથી $19$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની જરૂર છે.
આ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 22$ અને $r = 19$ છે.
કુલ રીતો = $^{22}C_{19} = ^{22}C_{22-19} = ^{22}C_{3}$.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $^{22}C_{3} = \frac{22 \times 21 \times 20}{3 \times 2 \times 1} = 22 \times 7 \times 10 = 1540$.
આમ,પુસ્તકોને ગોઠવવાની કુલ $1540$ રીતો છે.

(B) આપેલ પદાવલિ સંચયનો સરવાળો છે: $S = ^rC_r + ^{r+1}C_r + ^{r+2}C_r + ...... + ^{n-1}C_r + ^nC_r$.
અહીં આપણે 'હોકી-સ્ટિક આઈડેન્ટિટી' (Hockey-Stick Identity) નો ઉપયોગ કરીશું,જે મુજબ $\sum_{i=r}^{n} {^iC_r} = ^{n+1}C_{r+1}$ થાય છે.
પગલાંવાર ગણતરી:
$1$. કારણ કે $^rC_r = 1$ અને $^{r+1}C_{r+1} = 1$,તેથી આપણે $^rC_r$ ને $^{r+1}C_{r+1}$ તરીકે લખી શકીએ.
$2$. પાસ્કલના નિયમ (Pascal's Identity) મુજબ: $^nC_r + ^nC_{r-1} = ^{n+1}C_r$.
$3$. આ નિયમનો વારંવાર ઉપયોગ કરતા:
$(^{r+1}C_{r+1} + ^{r+1}C_r) + ^{r+2}C_r + ...... + ^nC_r$
$= ^{r+2}C_{r+1} + ^{r+2}C_r + ...... + ^nC_r$
$= ^{r+3}C_{r+1} + ...... + ^nC_r$
$= ^{n+1}C_{r+1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) પગલું $1$: $5$ ઉપલબ્ધ વ્યંજનોમાંથી $3$ વ્યંજનો પસંદ કરો,જે $^5C_3$ રીતે કરી શકાય છે.
પગલું $2$: $4$ ઉપલબ્ધ સ્વરોમાંથી $2$ સ્વરો પસંદ કરો,જે $^4C_2$ રીતે કરી શકાય છે.
પગલું $3$: અક્ષરો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^5C_3 \times ^4C_2$ છે.
પગલું $4$: આપણે કુલ $5$ અક્ષરો પસંદ કર્યા હોવાથી ($3$ વ્યંજનો + $2$ સ્વરો),આ $5$ અક્ષરોને તેમની વચ્ચે $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
પગલું $5$: તેથી,બનાવી શકાય તેવા શબ્દોની કુલ સંખ્યા $(^5C_3 \times ^4C_2) \times 5!$ છે.

(B) કુલ ઉપલબ્ધ ખેલાડીઓ = $25$.
જેમને હંમેશા સામેલ કરવાના છે તે ખેલાડીઓ = $6$.
જેમને હંમેશા બાકાત રાખવાના છે તે ખેલાડીઓ = $5$.
બાકી રહેલા ખેલાડીઓ જેમાંથી પસંદગી કરવાની છે = $25 - 6 - 5 = 14$.
પહેલેથી પસંદ થયેલા ખેલાડીઓ = $6$.
$11$ ખેલાડીઓની ટીમ પૂર્ણ કરવા માટે હજુ જરૂરી ખેલાડીઓ = $11 - 6 = 5$.
તેથી,બાકી રહેલા $14$ ખેલાડીઓમાંથી $5$ ખેલાડીઓને પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
$^{14}C_{5} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 14 \times 13 \times 11 = 2002$.

(A) $n$ સભ્યોના જૂથમાંથી કોઈપણ સંખ્યાના સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની કુલ રીતો સંચયના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\sum_{r=1}^{n} {^nC_r} = 2^n - 1$.
અહીં,$n = 12$ છે.
તેથી,એક અથવા વધુ સભ્યો સાથે સમિતિ બનાવવાની રીતો $2^{12} - 1$ છે.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $2^{12} = 4096$.
આમ,$4096 - 1 = 4095$.

(C) જુદા જુદા પ્રકારની સમાન વસ્તુઓના સમૂહમાંથી એક અથવા વધુ વસ્તુઓ પસંદ કરવા માટે,આપણે $(n_1 + 1)(n_2 + 1)(n_3 + 1) - 1$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $n_1, n_2, n_3$ એ દરેક રંગના દડાઓની સંખ્યા છે.
અહીં,$n_1 = 10$ (સફેદ),$n_2 = 9$ (કાળી),અને $n_3 = 7$ (લાલ).
એક અથવા વધુ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $(10 + 1)(9 + 1)(7 + 1) - 1$ દ્વારા મળે છે.
$= 11 \times 10 \times 8 - 1$.
$= 880 - 1 = 879$.
આમ,કુલ રીતોની સંખ્યા $879$ છે.

(C) $n$ વસ્તુઓમાંથી એક સમયે $r$ વસ્તુઓ લઈને બનતા ક્રમચયોની સંખ્યા શોધો,જ્યારે $p$ વસ્તુઓ હંમેશા સામેલ હોય:
$1$. સૌ પ્રથમ,આપણે $r$ વસ્તુઓની પસંદગી કરીએ છીએ. કારણ કે $p$ વસ્તુઓ હંમેશા સામેલ હોવી જોઈએ,આપણે બાકીની $n-p$ વસ્તુઓમાંથી $r-p$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની જરૂર છે. આ પસંદગી $^{n-p}C_{r-p}$ રીતે કરી શકાય છે.
$2$. એકવાર $r$ વસ્તુઓ પસંદ થઈ જાય,પછી તેમને $r!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
$3$. તેથી,કુલ ક્રમચયોની સંખ્યા $^{n-p}C_{r-p} \times r!$ થાય છે.

(A) $52$ અલગ-અલગ પ્રકારના પત્તા (સૂટ અને મૂલ્યનું સંયોજન) હોય છે. બે પેક હોવાથી,આ $52$ પ્રકારના દરેક પત્તા બે વાર આવે છે.
$26$ પત્તા એવી રીતે પસંદ કરવા માટે કે જેથી કોઈ પણ બે પત્તા સમાન સૂટ અને સમાન મૂલ્યના ન હોય,આપણે પહેલા ઉપલબ્ધ $52$ પ્રકારોમાંથી $26$ અલગ પ્રકારો પસંદ કરવા પડે. આ $^{52}C_{26}$ રીતે કરી શકાય છે.
પસંદ કરેલા દરેક $26$ પત્તા માટે,આપણી પાસે $2$ વિકલ્પો છે (પહેલા પેકમાંથી અથવા બીજા પેકમાંથી).
આમ,કુલ રીતોની સંખ્યા $^{52}C_{26} \times 2^{26}$ થાય છે.

(B) કુલ ખેલાડીઓ = $16$.
બોલરોની સંખ્યા = $5$.
વિકેટ-કીપરની સંખ્યા = $2$.
બાકીના ખેલાડીઓ = $16 - (5 + 2) = 9$.
આપણે $11$ ખેલાડીઓની ટીમ પસંદ કરવાની છે જેમાં $3$ બોલર,$1$ વિકેટ-કીપર અને બાકીના $11 - (3 + 1) = 7$ ખેલાડીઓ બાકીના $9$ ખેલાડીઓમાંથી પસંદ કરવાના છે.
ટીમ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા:
$= ^5C_3 \times ^2C_1 \times ^9C_7$
$= 10 \times 2 \times 36 = 720$.

(B) $n$ ભિન્ન પુસ્તકોમાંથી કોઈપણ સંખ્યામાં પુસ્તકો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $2^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમાં એ કિસ્સો પણ સામેલ છે જેમાં કોઈ પુસ્તક પસંદ કરવામાં આવતું નથી (ખાલી ગણ).
આપણે એક અથવા વધુ પુસ્તકો પસંદ કરવાના હોવાથી,આપણે શૂન્ય પુસ્તકો પસંદ કરવાના કિસ્સાને બાદ કરવો પડશે.
તેથી,જરૂરી રીતોની સંખ્યા $2^n - 1$ છે.
$n = 6$ માટે,રીતોની સંખ્યા $2^6 - 1 = 64 - 1 = 63$ થાય છે.

(A) $n$ ભિન્ન વસ્તુઓને $m$ કદના $k$ સમાન જૂથોમાં વહેંચવા માટે (જ્યાં $n = m \cdot k$),રીતોની સંખ્યાનું સૂત્ર $\frac{n!}{(m!)^k \cdot k!}$ છે.
અહીં,$n = 15$,$m = 3$,અને $k = 5$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને રીતોની સંખ્યા $\frac{15!}{(3!)^5 \cdot 5!}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) $52$ પત્તાને ચાર ખેલાડીઓ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચવા માટે,દરેક ખેલાડીને $13$ પત્તા મળે છે.
પ્રથમ ખેલાડી માટે $52$ માંથી $13$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{52}C_{13}$ છે.
બીજા ખેલાડી માટે બાકી રહેલા $39$ માંથી $13$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{39}C_{13}$ છે.
ત્રીજા ખેલાડી માટે બાકી રહેલા $26$ માંથી $13$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{26}C_{13}$ છે.
ચોથા ખેલાડી માટે બાકી રહેલા $13$ માંથી $13$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{13}C_{13}$ છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $^{52}C_{13} \times ^{39}C_{13} \times ^{26}C_{13} \times ^{13}C_{13}$
$= \frac{52!}{39! \cdot 13!} \times \frac{39!}{26! \cdot 13!} \times \frac{26!}{13! \cdot 13!} \times \frac{13!}{0! \cdot 13!}$
$= \frac{52!}{(13!)^4}$.

(B) પગલું $1$: $6$ ઉપલબ્ધ વ્યંજનોમાંથી $4$ વ્યંજનો પસંદ કરો. પસંદગીના પ્રકારો $^6C_4 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ છે.
પગલું $2$: $5$ ઉપલબ્ધ સ્વરોમાંથી $3$ સ્વરો પસંદ કરો. પસંદગીના પ્રકારો $^5C_3 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ છે.
પગલું $3$: અક્ષરો પસંદ કરવાના કુલ પ્રકારો $15 \times 10 = 150$ છે.
પગલું $4$: આ $7$ પસંદ કરેલા અક્ષરોને તેમની વચ્ચે $7!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$.
પગલું $5$: બનાવી શકાય તેવા શબ્દોની કુલ સંખ્યા $150 \times 5040 = 756000$ છે.

(C) કુલ ખેલાડીઓ = $13$,બોલરો = $4$,અન્ય ખેલાડીઓ = $9$. આપણે ઓછામાં ઓછા $2$ બોલરો સાથે $11$ ખેલાડીઓની પસંદગી કરવાની છે.
કિસ્સો $1$: $2$ બોલરો અને $9$ અન્ય ખેલાડીઓ
રીતોની સંખ્યા = $^4C_2 \times ^9C_9 = 6 \times 1 = 6$
કિસ્સો $2$: $3$ બોલરો અને $8$ અન્ય ખેલાડીઓ
રીતોની સંખ્યા = $^4C_3 \times ^9C_8 = 4 \times 9 = 36$
કિસ્સો $3$: $4$ બોલરો અને $7$ અન્ય ખેલાડીઓ
રીતોની સંખ્યા = $^4C_4 \times ^9C_7 = 1 \times 36 = 36$
કુલ રીતોની સંખ્યા = $6 + 36 + 36 = 78$.

(C) કોઈ પણ બે '$-$' ચિહ્નો સાથે ન આવે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે પહેલા છ '$+$' ચિહ્નોને હરોળમાં ગોઠવીએ છીએ.
આનાથી $7$ સંભવિત જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) બને છે જ્યાં '$-$' ચિહ્નો મૂકી શકાય છે: $\_ + \_ + \_ + \_ + \_ + \_ \_$.
આપણી પાસે $7$ ઉપલબ્ધ જગ્યાઓમાં મૂકવા માટે $4$ '$-$' ચિહ્નો છે.
$7$ માંથી $4$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર ${^n}C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા ${^7}C_4 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ છે.

(B) જૂથ બનાવવા માટે,આપણે ઓછામાં ઓછો એક લીલો દડો,ઓછામાં ઓછો એક વાદળી દડો અને લાલ દડાઓની કોઈપણ સંખ્યા (શૂન્ય સહિત) પસંદ કરવી આવશ્યક છે.
$1$. $5$ અલગ-અલગ લીલા દડામાંથી ઓછામાં ઓછો એક લીલો દડો પસંદ કરવાની રીતો $2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$ છે.
$2$. $4$ અલગ-અલગ વાદળી દડામાંથી ઓછામાં ઓછો એક વાદળી દડો પસંદ કરવાની રીતો $2^4 - 1 = 16 - 1 = 15$ છે.
$3$. $3$ અલગ-અલગ લાલ દડામાંથી કોઈપણ સંખ્યામાં લાલ દડા પસંદ કરવાની રીતો (શૂન્ય લાલ દડા પસંદ કરવાના કિસ્સા સહિત) $2^3 = 8$ છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $31 \times 15 \times 8 = 3720$.

(C) $12$ વ્યક્તિઓ ($4$ અધિકારીઓ + $8$ કોન્સ્ટેબલ) માંથી $6$ વ્યક્તિઓની પસંદગી કરવાની કુલ રીતો $^{12}C_6$ છે.
કોઈપણ અધિકારી ન હોય તેવી રીતે $6$ વ્યક્તિઓની પસંદગી કરવાની રીતો (એટલે કે $8$ કોન્સ્ટેબલમાંથી $6$ ની પસંદગી) $^8C_6$ છે.
શરત મુજબ,ઓછામાં ઓછા એક અધિકારીનો સમાવેશ થવો જોઈએ. તેથી,જરૂરી રીતો:
કુલ રીતો - અધિકારી ન હોય તેવી રીતો = $^{12}C_6 - ^8C_6$.
કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$^{12}C_6 = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 924$.
$^8C_6 = ^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$.
જરૂરી રીતો = $924 - 28 = 896$.

(A) કુલ ઉમેદવારો = $25$. અનુસૂચિત જાતિના ઉમેદવારો = $5$. અન્ય ઉમેદવારો = $25 - 5 = 20$.
કુલ ખાલી જગ્યાઓ = $12$. અનુસૂચિત જાતિ માટે અનામત જગ્યાઓ = $3$. સામાન્ય જગ્યાઓ = $12 - 3 = 9$.
પગલું $1$: $5$ અનુસૂચિત જાતિના ઉમેદવારોમાંથી $3$ અનામત જગ્યાઓ માટેની પસંદગી $^5C_3$ રીતે કરી શકાય છે.
પગલું $2$: $3$ અનામત જગ્યાઓ ભર્યા પછી,બાકી રહેલા ઉમેદવારો $25 - 3 = 22$ છે (કારણ કે $2$ અનુસૂચિત જાતિના ઉમેદવારો જેઓ અનામત જગ્યાઓ માટે પસંદ થયા નથી,તેઓ હવે $20$ અન્ય ઉમેદવારો સાથે સામાન્ય જગ્યાઓ માટે પાત્ર છે).
પગલું $3$: બાકીની $9$ જગ્યાઓ બાકી રહેલા $22$ ઉમેદવારો માટે ખુલ્લી છે. આ પસંદગી $^{22}C_9$ રીતે કરી શકાય છે.
પસંદગી કરવાની કુલ રીતો = $^5C_3 \times ^{22}C_9$.

(D) એક મતદાર ઓછામાં ઓછા $1$ ઉમેદવારને અને વધુમાં વધુ $3$ ઉમેદવારોને મત આપી શકે છે.
અહીં કુલ $5$ ઉમેદવારો હોવાથી,ઉમેદવારોને પસંદ કરવાની રીતોનો સરવાળો નીચે મુજબ થશે:
રીતો = $^5C_1 + ^5C_2 + ^5C_3$
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$^5C_1 = 5$
$^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$
$^5C_3 = ^5C_2 = 10$
કુલ રીતો = $5 + 10 + 10 = 25$.
તેથી,મતદાર $25$ રીતે પોતાનો મત આપી શકે છે.

(A) કુલ ખુરશીઓ = $9$. કુલ વ્યક્તિઓ = $6$.
એક વ્યક્તિ (મહેમાન) માટે એક ચોક્કસ ખુરશી અનામત છે. આનો અર્થ એ છે કે મહેમાન પાસે બેસવાની માત્ર $1$ રીત છે.
મહેમાન બેસી જાય પછી,$5$ વ્યક્તિઓ બાકી રહે છે અને $8$ ખુરશીઓ બાકી રહે છે.
બાકીની $8$ ખુરશીઓ પર બાકીની $5$ વ્યક્તિઓને બેસાડવાની રીતોની સંખ્યા ક્રમચયના સૂત્ર $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 8$ અને $r = 5$ છે.
રીતોની સંખ્યા = $P(8, 5) = \frac{8!}{(8-5)!} = \frac{8!}{3!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720$.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $1 \times 6720 = 6720$ છે.

(C) $7$ સભ્યોનું જૂથ બનાવવા માટે જેમાં છોકરાઓની બહુમતી હોય,આપણે નીચેના કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ:
કિસ્સો $1$: $6$ છોકરાઓ અને $1$ છોકરી. રીતોની સંખ્યા $^6C_6 \times ^4C_1 = 1 \times 4 = 4$ છે.
કિસ્સો $2$: $5$ છોકરાઓ અને $2$ છોકરીઓ. રીતોની સંખ્યા $^6C_5 \times ^4C_2 = 6 \times 6 = 36$ છે.
કિસ્સો $3$: $4$ છોકરાઓ અને $3$ છોકરીઓ. રીતોની સંખ્યા $^6C_4 \times ^4C_3 = 15 \times 4 = 60$ છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $4 + 36 + 60 = 100$.

(B) ધારો કે બે ચોક્કસ વ્યક્તિઓ $P_1$ અને $P_2$ છે. કારણ કે $P_1$ અને $P_2$ એક જ હોડીમાં ન હોઈ શકે,તેથી એક વ્યક્તિ પ્રથમ હોડીમાં અને બીજી વ્યક્તિ બીજી હોડીમાં હોવી જોઈએ.
જો $P_1$ પ્રથમ હોડીમાં હોય,તો આપણે બાકીની $8$ વ્યક્તિઓમાંથી $4$ વ્યક્તિઓની પસંદગી કરવાની રહે જે $P_1$ સાથે જોડાય. આ પસંદગી $^8C_4$ રીતે કરી શકાય.
બાકીની $4$ વ્યક્તિઓ આપોઆપ $P_2$ સાથે બીજી હોડીમાં જશે.
વૈકલ્પિક રીતે,જો $P_2$ પ્રથમ હોડીમાં હોય,તો આપણે બાકીની $8$ વ્યક્તિઓમાંથી $4$ વ્યક્તિઓની પસંદગી $P_2$ સાથે જોડાવા માટે કરીએ,જે $^8C_4$ રીતે કરી શકાય.
આમ,કુલ પ્રકારોની સંખ્યા $^8C_4 + ^8C_4 = 2 \times ^8C_4$ થાય.