Permutation and Combination Questions in Gujarati

(B) $3000$ અને $4000$ ની વચ્ચેની સંખ્યા બનાવવા માટે,હજારના સ્થાન પર $3$ હોવો આવશ્યક છે.
સંખ્યા $5$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,એકમના સ્થાન પર $0$ અથવા $5$ હોવો જોઈએ. આપેલ અંકોના સમૂહમાં $0$ ન હોવાથી,એકમના સ્થાન પર $5$ હોવો જ જોઈએ.
આપણી પાસે કુલ $6$ અંકો છે: ${3, 4, 5, 6, 7, 8}$.
હજારના સ્થાન પર $3$ અને એકમના સ્થાન પર $5$ નિશ્ચિત કરતા,આપણે $2$ અંકોનો ઉપયોગ કર્યો છે.
બાકીના $2$ સ્થાનો (સો અને દશક) ભરવા માટે $4$ અંકો ${4, 6, 7, 8}$ બાકી છે.
$4$ બાકીના અંકોને $2$ સ્થાનોમાં ગોઠવવાની રીતો ક્રમચયના સૂત્ર $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 4$ અને $r = 2$ છે,તેથી $^4P_2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 12$.
તેથી,આવી કુલ $12$ સંખ્યાઓ બનાવી શકાય.

(C) $MODESTY$ શબ્દમાં $7$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $D, E, M, O, S, T, Y$.
ક્રમ શોધવા માટે,આપણે અક્ષરોને મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવીએ છીએ: $D, E, M, O, S, T, Y$.
$1$. $D$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $6! = 720$ શબ્દો.
$2$. $E$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $6! = 720$ શબ્દો.
$3$. $MD$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$ શબ્દો.
$4$. $ME$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$ શબ્દો.
$5$. હવે પછીનો શબ્દ $MO$ થી શરૂ થાય છે. બાકી રહેલા અક્ષરો $D, E, S, T, Y$ છે. તેમને મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવતા $D, E, S, T, Y$ મળે છે. આમ,$MO$ થી શરૂ થતો પ્રથમ શબ્દ $MODESTY$ છે.
ક્રમ $= 720 + 720 + 120 + 120 + 1 = 1681$.

(B) આપેલ છે કે $a$ એ $x + 2$ વસ્તુઓને એકસાથે લેતા મળતા ક્રમચયોની સંખ્યા છે,તેથી $a = (x + 2)!$.
$b$ એ $x$ વસ્તુઓને $11$ ના સમૂહમાં લેતા મળતા ક્રમચયોની સંખ્યા છે,તેથી $b = ^xP_{11} = \frac{x!}{(x - 11)!}$.
$c$ એ $x - 11$ વસ્તુઓને એકસાથે લેતા મળતા ક્રમચયોની સંખ્યા છે,તેથી $c = (x - 11)!$.
સમીકરણ $a = 182bc$ માં કિંમતો મૂકતા:
$(x + 2)! = 182 \times \frac{x!}{(x - 11)!} \times (x - 11)!$
$(x + 2)! = 182 \times x!$
$(x + 2)(x + 1)x! = 182x!$
$(x + 2)(x + 1) = 182$
$x^2 + 3x + 2 = 182$
$x^2 + 3x - 180 = 0$
$(x + 15)(x - 12) = 0$
અહીં $x$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ અને $x \ge 11$ હોવું જરૂરી છે ($^xP_{11}$ ની વ્યાખ્યા મુજબ),તેથી $x = 12$ મળે છે.

(C) ચાર અંકની સંખ્યા બેકી હોય જો તેનો એકમનો અંક $0$ અથવા $2$ હોય.
કિસ્સો $1$: એકમનો અંક $0$ હોય.
બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $3$ અંકો $(1, 2, 3)$ દ્વારા $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ રીતે ભરી શકાય છે.
કિસ્સો $2$: એકમનો અંક $2$ હોય.
હજારના સ્થાન પર $0$ કે $2$ ન આવી શકે,તેથી તે $1$ અથવા $3$ દ્વારા ભરી શકાય ($2$ રીતે).
બાકીના $2$ સ્થાનો બાકીના $2$ અંકો દ્વારા $2! = 2 \times 1 = 2$ રીતે ભરી શકાય છે.
કુલ બેકી સંખ્યાઓ $= 6 + (2 \times 2) = 6 + 4 = 10$.

(D) કોઈપણ પ્રતિબંધ વગર $10$ ઉમેદવારોને ક્રમમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $10!$ છે.
કોઈપણ ક્રમમાં,$A_1$ અને $A_{10}$ ના સાપેક્ષ સ્થાન માટે માત્ર બે જ શક્યતાઓ છે: કાં તો $A_1$ એ $A_{10}$ ની ઉપર હોય,અથવા $A_{10}$ એ $A_1$ ની ઉપર હોય.
સમાનતાને કારણે,$A_1$ એ $A_{10}$ ની ઉપર હોય તેવી રીતોની સંખ્યા અને $A_{10}$ એ $A_1$ ની ઉપર હોય તેવી રીતોની સંખ્યા સમાન છે.
ધારો કે $N$ એ એવી રીતોની સંખ્યા છે જેમાં $A_1$ એ $A_{10}$ ની ઉપર છે. તો,કુલ રીતો $N + N = 2N = 10!$ થાય.
તેથી,$N = \frac{1}{2}(10!)$.

(C) '$EAMCET$' શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે: $E, A, M, C, E, T$.
સ્વરો $E, A, E$ છે (જ્યાં $E$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે) અને વ્યંજનો $M, C, T$ છે.
પ્રથમ,આપણે $3$ વ્યંજનો $(M, C, T)$ ને $3! = 6$ રીતે ગોઠવીએ છીએ.
આ $3$ વ્યંજનો $4$ ખાલી જગ્યાઓ બનાવે છે: $ M C T $.
આપણે $3$ સ્વરો $(E, A, E)$ ને આ $4$ જગ્યાઓમાં એવી રીતે ગોઠવવાના છે કે જેથી કોઈ પણ બે સ્વરો પાસ-પાસે ન આવે.
$4$ માંથી $3$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^4C3 = 4$ છે.
બે સમાન સ્વરો $(E)$ હોવાથી,પસંદ કરેલી $3$ જગ્યાઓમાં $E, A, E$ ને ગોઠવવાની રીતો $\frac{3!}{2!} = 3$ છે.
કુલ ગોઠવણીઓ = (વ્યંજનો ગોઠવવાની રીતો) $\times$ (જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો) $\times$ (સ્વરોને જગ્યામાં ગોઠવવાની રીતો)
કુલ ગોઠવણીઓ = $6 \times 4 \times 3 = 72$.

(C) કોઈ પણ બે છોકરીઓ સાથે ન હોય તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે પહેલા $5$ છોકરાઓને એક હરોળમાં ગોઠવીએ છીએ. $5$ છોકરાઓને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $5!$ છે.
છોકરાઓને ગોઠવ્યા પછી,$6$ સંભવિત જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) મળે છે જ્યાં $5$ છોકરીઓને બેસાડી શકાય: _ $B_1$ _ $B_2$ _ $B_3$ _ $B_4$ _ $B_5$ _.
$6$ જગ્યાઓમાંથી $5$ જગ્યાઓ પસંદ કરીને તેમાં $5$ છોકરીઓને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $^6P_5$ દ્વારા મળે છે.
આમ,$^6P_5 = \frac{6!}{(6-5)!} = 6!$ હોવાથી,કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $5! \times 6!$ થશે.

(A) "$BANANA$" શબ્દમાં કુલ $6$ અક્ષરો છે.
દરેક અક્ષરની આવૃત્તિ નીચે મુજબ છે: $B = 1$,$A = 3$,$N = 2$.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{6!}{3! \times 2!} = \frac{720}{6 \times 2} = \frac{720}{12} = 60$.
આમ,કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $60$ છે.

(B) $MOBILE$ શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે: $M, O, B, I, L, E$.
તેમાં $3$ વ્યંજનો $(M, B, L)$ અને $3$ સ્વરો $(O, I, E)$ છે.
કુલ $6$ સ્થાનો છે: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.
એકી સ્થાનો $1, 3, 5$ છે (કુલ $3$ સ્થાનો).
બેકી સ્થાનો $2, 4, 6$ છે (કુલ $3$ સ્થાનો).
વ્યંજનો હંમેશા એકી સ્થાનો પર હોવા જોઈએ,તેથી $3$ વ્યંજનોને $3$ એકી સ્થાનો પર ${}^3P_3 = 3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય.
બાકીના $3$ સ્વરોને બાકીના $3$ બેકી સ્થાનો પર ${}^3P_3 = 3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા $= 6 \times 6 = 36$.

(C) આપેલ અંકો $1, 2, 3, 4, 5$ છે. આપણે $24000$ થી મોટી $5$ અંકની સંખ્યા બનાવવાની છે.
પુનરાવર્તન વગર કુલ $5$ અંકની સંખ્યાઓ $5! = 120$ છે.
$1$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ $(1xxxx)$ = $4! = 24$.
$21$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ $(21xxx)$ = $3! = 6$.
$23$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ $(23xxx)$ = $3! = 6$.
$24$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ $(24xxx)$ જ્યાં બાકીના અંકો ${1, 3, 5}$ છે,તે $3! = 6$ છે.
$24000$ થી મોટી કુલ સંખ્યાઓ = (કુલ સંખ્યાઓ) - ($1$ થી શરૂ થતી) - ($21$ થી શરૂ થતી) - ($23$ થી શરૂ થતી) = $120 - 24 - 6 - 6 = 84$.

(B) $5$ વડે ભાગી શકાય તેવી સંખ્યાઓના એકમના સ્થાન પર અંક $5$ નિશ્ચિત હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $3$ અંકની સંખ્યાઓ.
એકમનું સ્થાન $5$ વડે નિશ્ચિત છે. બાકીના $2$ સ્થાનો (સો અને દશક) બાકીના $3$ અંકો $(3, 4, 6)$ વડે $^3P_2$ રીતે ભરી શકાય છે.
$^3P_2 = \frac{3!}{(3-2)!} = 3 \times 2 = 6$ રીતો.
કિસ્સો $2$: $4$ અંકની સંખ્યાઓ.
એકમનું સ્થાન $5$ વડે નિશ્ચિત છે. બાકીના $3$ સ્થાનો (હજાર,સો અને દશક) બાકીના $3$ અંકો $(3, 4, 6)$ વડે $^3P_3$ રીતે ભરી શકાય છે.
$^3P_3 = \frac{3!}{(3-3)!} = 3 \times 2 \times 1 = 6$ રીતો.
કુલ સંખ્યાઓ $= 6 + 6 = 12$.

(A) આપેલ અંકો $1, 2, 3, 2, 3, 3, 4$ છે. કુલ અંકોની સંખ્યા $n = 7$ છે.
આ અંકોમાં,અંક $3$ એ $3$ વખત પુનરાવર્તિત થાય છે અને અંક $2$ એ $2$ વખત પુનરાવર્તિત થાય છે.
જ્યારે $n$ વસ્તુઓમાંથી $n_1$ એક પ્રકારની,$n_2$ બીજા પ્રકારની હોય,ત્યારે કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $\frac{n!}{n_1! n_2! \dots}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 7$,$n_1 = 3$ (અંક $3$ માટે),અને $n_2 = 2$ (અંક $2$ માટે).
માટે,$7$ અંકની સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા = $\frac{7!}{3! \times 2!} = \frac{5040}{6 \times 2} = \frac{5040}{12} = 420$.

(D) ઓછામાં ઓછો એક $1$ હોય તેવી $4$ અંકની સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે પૂરક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીશું:
${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતી કુલ $4$ અંકની સંખ્યાઓ (પુનરાવર્તન વગર):
પ્રથમ અંક $0$ હોઈ શકે નહીં,તેથી પ્રથમ સ્થાન માટે $7$ વિકલ્પો છે ($1$ થી $7$).
બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $7$ અંકોમાંથી $^7P_3$ રીતે ભરી શકાય.
કુલ $4$ અંકની સંખ્યાઓ $= 7 \times 7 \times 6 \times 5 = 1470$.
હવે,એવી $4$ અંકની સંખ્યાઓ શોધો જેમાં અંક $1$ ન હોય:
ઉપલબ્ધ અંકો ${0, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ છે (કુલ $7$ અંકો).
પ્રથમ અંક $0$ કે $1$ હોઈ શકે નહીં,તેથી $6$ વિકલ્પો છે $(2, 3, 4, 5, 6, 7)$.
બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $6$ અંકોમાંથી $^6P_3$ રીતે ભરી શકાય.
$1$ વગરની સંખ્યાઓ $= 6 \times 6 \times 5 \times 4 = 720$.
તેથી,ઓછામાં ઓછો એક $1$ ધરાવતી $4$ અંકની સંખ્યાઓ $= 1470 - 720 = 750$.

(C) $4$ અંકની બેકી સંખ્યા બનાવવા માટે,એકમનો અંક $0, 2, 4,$ અથવા $6$ હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: એકમનો અંક $0$ હોય. બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $6$ અંકો $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$ વડે $^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ રીતે ભરી શકાય.
કિસ્સો $2$: એકમનો અંક $2, 4,$ અથવા $6$ હોય ($3$ રીતો). હજારના સ્થાને $0$ ન હોઈ શકે અને એકમના સ્થાને વપરાયેલ અંક પણ ન હોઈ શકે. આમ,હજારના સ્થાન માટે $7 - 2 = 5$ વિકલ્પો છે. બાકીના $2$ સ્થાનો બાકીના $5$ અંકો વડે $^5P_2 = 5 \times 4 = 20$ રીતે ભરી શકાય. આ કિસ્સા માટે કુલ રીતો $= 3 \times 5 \times 20 = 300$.
બેકી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $= 120 + 300 = 420$.

(D) અંકો ${0, 1, 2, 3, 5, 7}$ નો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન સાથે ચાર અંકની એકી સંખ્યા બનાવવા માટે:
$1$. એકમનો અંક એકી હોવો જોઈએ જેથી સંખ્યા એકી બને. ઉપલબ્ધ એકી અંકો ${1, 3, 5, 7}$ છે. આમ,એકમનું સ્થાન $4$ રીતે ભરી શકાય છે.
$2$. હજારનું સ્થાન $0$ હોઈ શકે નહીં કારણ કે સંખ્યા ચાર અંકની હોવી જોઈએ. આ સ્થાન માટે ઉપલબ્ધ અંકો ${1, 2, 3, 5, 7}$ છે. આમ,હજારનું સ્થાન $5$ રીતે ભરી શકાય છે.
$3$. સોનું સ્થાન ${0, 1, 2, 3, 5, 7}$ માંથી કોઈપણ $6$ અંકો વડે ભરી શકાય છે. આમ,તે $6$ રીતે ભરી શકાય છે.
$4$. દશકનું સ્થાન ${0, 1, 2, 3, 5, 7}$ માંથી કોઈપણ $6$ અંકો વડે ભરી શકાય છે. આમ,તે $6$ રીતે ભરી શકાય છે.
ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંત મુજબ,આવી ચાર અંકની એકી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $5 \times 6 \times 6 \times 4 = 720$ છે.

(A) $BANANA$ શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે: $B, A, N, A, N, A$. અક્ષરોની આવૃત્તિ છે: $A: 3, N: 2, B: 1$.
કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા = $\frac{6!}{3! \times 2!} = \frac{720}{6 \times 2} = 60$.
હવે,જ્યારે બે $N$ સાથે હોય તે કિસ્સો ધ્યાનમાં લો. $(NN)$ ને એક એકમ તરીકે ગણો. હવે અક્ષરો ${B, A, A, A, (NN)}$ છે.
$N$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા = $\frac{5!}{3! \times 1!} = \frac{120}{6} = 20$.
$N$ પાસપાસે ન આવે તેવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા = (કુલ ગોઠવણીઓ) - ($N$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણીઓ) = $60 - 20 = 40$.

(A) દરેક છોકરી બે છોકરાઓની વચ્ચે આવે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે પહેલા $5$ છોકરાઓને એક હરોળમાં ગોઠવીએ છીએ. $5$ છોકરાઓને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $5! = 120$ છે.
ધારો કે છોકરાઓને $B$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. ગોઠવણી આ મુજબ દેખાશે: $\_ B \_ B \_ B \_ B \_ B \_$.
$5$ છોકરાઓની વચ્ચે $4$ સંભવિત જગ્યાઓ છે જ્યાં $3$ છોકરીઓને બેસાડી શકાય છે,જેથી શરત પૂરી થાય કે દરેક છોકરી બે છોકરાઓની વચ્ચે હોય.
આ $4$ જગ્યાઓમાં $3$ છોકરીઓને પસંદ કરવાની અને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $5! \times ^4P_3 = 120 \times 24 = 2880$ થાય.

(C) અહીં $3$ વિષયો છે: ગણિત,ભૌતિકવિજ્ઞાન અને રસાયણવિજ્ઞાન.
સમાન વિષયના પુસ્તકો સાથે રહેવા જોઈએ,તેથી આપણે દરેક વિષયના જૂથને એક એકમ તરીકે ગણીશું.
આવા $3$ એકમો (ગણિત જૂથ,ભૌતિકવિજ્ઞાન જૂથ અને રસાયણવિજ્ઞાન જૂથ) છે,જેમને અંદરોઅંદર $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેમના સંબંધિત જૂથોમાં,$5$ ગણિતના પુસ્તકોને $5!$ રીતે,$4$ ભૌતિકવિજ્ઞાનના પુસ્તકોને $4!$ રીતે અને $2$ રસાયણવિજ્ઞાનના પુસ્તકોને $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,ગોઠવણીની કુલ સંખ્યા $3! \times 5! \times 4! \times 2!$ થશે.

(C) $ARTICLE$ શબ્દમાં $7$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $A, R, T, I, C, L, E$.
તેમાં $3$ સ્વરો $(A, I, E)$ અને $4$ વ્યંજનો $(R, T, C, L)$ છે.
$7$ અક્ષરોના શબ્દમાં,સ્થાનો $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ છે. બેકી સ્થાનો $2, 4, 6$ છે (કુલ $3$ સ્થાનો).
$3$ સ્વરોએ આ $3$ બેકી સ્થાનો પર આવવું પડે. $3$ સ્વરોને $3$ સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $^3P_3 = 3! = 6$ છે.
બાકીના $4$ વ્યંજનોએ $4$ એકી સ્થાનો $(1, 3, 5, 7)$ પર આવવું પડે. $4$ વ્યંજનોને $4$ સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $^4P_4 = 4! = 24$ છે.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $^3P_3 \times ^4P_4 = 6 \times 24 = 144$.

(D) $9$ વ્યક્તિઓને ત્રણ સમાન જૂથોમાં વહેંચવા માટે,આપણે પહેલા $9$ માંથી $3$ વ્યક્તિઓ પસંદ કરીએ છીએ,પછી બાકીની $6$ માંથી $3$ અને અંતે બાકીની $3$ માંથી $3$ વ્યક્તિઓ પસંદ કરીએ છીએ.
$n$ વસ્તુઓને $m$ કદના $k$ જૂથોમાં વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા (જ્યાં $n = km$) સૂત્ર $\frac{n!}{(m!)^k \cdot k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 9$,$m = 3$,અને $k = 3$ છે.
કુલ રીતો $= \frac{9!}{(3!)^3 \cdot 3!} = \frac{362880}{(6)^3 \cdot 6} = \frac{362880}{216 \cdot 6} = \frac{362880}{1296} = 280$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) બસમાં $5$ બેઠકો ખાલી છે.
પુરુષ $5$ ખાલી બેઠકોમાંથી કોઈપણ એક બેઠક $5$ અલગ અલગ રીતે પસંદ કરી શકે છે.
પુરુષ બેસી જાય પછી,$4$ બેઠકો ખાલી રહે છે.
પત્ની બાકીની $4$ બેઠકોમાંથી કોઈપણ એક બેઠક $4$ અલગ અલગ રીતે પસંદ કરી શકે છે.
તેથી,તેઓ કુલ $5 \times 4 = 20$ રીતે બેસી શકે છે.

(C) $SACHIN$ શબ્દના અક્ષરો મૂળાક્ષર ક્રમમાં $A, C, H, I, N, S$ છે.
$1$. $A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$ શબ્દો.
$2$. $C$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$ શબ્દો.
$3$. $H$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$ શબ્દો.
$4$. $I$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$ શબ્દો.
$5$. $N$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$ શબ્દો.
$S$ થી શરૂ થતા શબ્દો પહેલાના કુલ શબ્દો $5 \times 120 = 600$ છે.
શબ્દકોશના ક્રમમાં ત્યારપછીનો પ્રથમ શબ્દ $S$ થી શરૂ થાય છે,જે $SACHIN$ છે.
તેથી,$SACHIN$ નો ક્રમ $600 + 1 = 601$ છે.

(C) પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો સમૂહ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ છે.
આ સમૂહમાં $6$ એકી સંખ્યાઓ $\{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$ અને $5$ બેકી સંખ્યાઓ $\{2, 4, 6, 8, 10\}$ છે.
ધારો કે ગુણાકાર $P = \prod_{i=1}^{11} (X_i - i)$ છે, જ્યાં $X_i$ એ $S$ નો ક્રમચય છે.
બધા પદોનો સરવાળો $\sum_{i=1}^{11} (X_i - i) = \sum X_i - \sum i = 0$ થાય છે.
$11$ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો $0$ (જે બેકી સંખ્યા છે) થવા માટે, સરવાળામાં એકી પદોની સંખ્યા બેકી હોવી જોઈએ.
અહીં $11$ એ એકી સંખ્યા છે, તેથી જો બધા પદો એકી હોત તો સરવાળો એકી આવત. આથી, ગુણાકારમાં ઓછામાં ઓછું એક પદ બેકી હોવું જ જોઈએ.
વૈકલ્પિક રીતે, પેરિટી (parity) ધ્યાનમાં લેતા: સમૂહમાં $6$ એકી સંખ્યાઓ છે. ગુણાકારમાં, આપણે $11$ સંખ્યાઓમાંથી $11$ સંખ્યાઓ બાદ કરીએ છીએ. કબૂતરખાનાના સિદ્ધાંત (Pigeonhole Principle) મુજબ, કારણ કે $6$ એકી સંખ્યાઓ બાદ કરવામાં આવે છે, તેથી ઓછામાં ઓછી એક એકી સંખ્યા બીજી એકી સંખ્યામાંથી બાદ થવી જોઈએ, જેનું પરિણામ બેકી સંખ્યા મળે.
તેથી, ઓછામાં ઓછો એક અવયવ $(X_i - i)$ બેકી હોવો જોઈએ, જેનાથી સમગ્ર ગુણાકાર બેકી બને છે.

(C) પગલું $1$: Rs. $100$ ની $4$ નોટોને $3$ બાળકો વચ્ચે એવી રીતે વહેંચો કે દરેક બાળકને ઓછામાં ઓછી એક નોટ મળે. આ $x_1 + x_2 + x_3 = 4$ ના ધન પૂર્ણાંક ઉકેલો શોધવા સમાન છે,જ્યાં $x_i \ge 1$. સ્ટાર્સ અને બાર્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,રીતોની સંખ્યા $\binom{4-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$ છે.
પગલું $2$: અન્ય $5$ નોટો (Rs. $1, 2, 5, 20, 50$) ને $3$ બાળકો વચ્ચે વહેંચો. આ $5$ નોટોમાંથી દરેક નોટ $3$ બાળકોમાંથી કોઈને પણ $3$ રીતે આપી શકાય છે. તેથી,આ $5$ નોટો માટે કુલ રીતો $3^5$ છે.
પગલું $3$: કુલ રીતો એ પગલું $1$ અને પગલું $2$ ની રીતોનો ગુણાકાર છે. જો કે,આપેલા વિકલ્પો એક સરળીકરણ સૂચવે છે. જો આપણે $9$ નોટોની કુલ વહેંચણી ધ્યાનમાં લઈએ કે જેમાં દરેક બાળકને ઓછામાં ઓછી એક Rs. $100$ ની નોટ મળે,તો ગણતરી $3 \times 3^5 = 3^6$ થાય છે.

(C) $999$ અને $10000$ ની વચ્ચેની તમામ સંખ્યાઓ $4$ અંકની સંખ્યાઓ છે.
આપણી પાસે $6$ ઉપલબ્ધ અંકો છે: ${0, 2, 3, 6, 7, 8}$.
આ $6$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતી કુલ $4$ અંકની સંખ્યાઓ ($0$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ સહિત) $= ^6P_4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ છે.
જોકે,$4$ અંકની સંખ્યા $0$ થી શરૂ થઈ શકે નહીં. જો પ્રથમ અંક $0$ હોય,તો બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $5$ અંકો દ્વારા $^5P_3$ રીતે ભરી શકાય છે.
આવા કિસ્સાઓની સંખ્યા $= ^5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ છે.
તેથી,જરૂરી $4$ અંકની સંખ્યાઓ $= 360 - 60 = 300$.

(C) સમિતિના $11$ સભ્યોને ગોળાકાર ટેબલ પર એવી રીતે ગોઠવવા માટે કે જેથી પ્રમુખ અને સચિવ હંમેશા સાથે બેસે,આપણે પ્રમુખ અને સચિવને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
હવે,આપણી પાસે વર્તુળમાં ગોઠવવા માટે $(11 - 2 + 1) = 10$ એકમો છે.
$n$ વસ્તુઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $(n - 1)!$ છે.
આમ,$10$ એકમોને $(10 - 1)! = 9!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
એક એકમની અંદર,પ્રમુખ અને સચિવ તેમની જગ્યાઓ $2! = 2$ રીતે અદલાબદલી કરી શકે છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $9! \times 2$ છે.

(A) $n$ ભિન્ન વસ્તુઓને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $(n - 1)!$ છે.
જોકે,કડીમાં ચાવીઓ અથવા માળામાં મણકા જેવી ગોઠવણીઓ માટે,ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) અને ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં (anticlockwise) થતી ગોઠવણીઓને સમાન ગણવામાં આવે છે કારણ કે કડીને ઉલટાવી શકાય છે.
તેથી,$n$ ચાવીઓને કડીમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{(n - 1)!}{2}$ છે.
$n = 5$ ચાવીઓ માટે,રીતોની સંખ્યા $\frac{(5 - 1)!}{2} = \frac{4!}{2}$ થાય.

(B) $5$ છોકરાઓ અને $5$ છોકરીઓને વર્તુળમાં એવી રીતે ગોઠવવા માટે કે જેથી કોઈ પણ બે છોકરાઓ સાથે ન બેસે,આપણે પહેલા $5$ છોકરીઓને વર્તુળમાં ગોઠવીશું.
$n$ વસ્તુઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $(n-1)!$ છે. તેથી,$5$ છોકરીઓને $(5-1)! = 4!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
છોકરીઓને ગોઠવ્યા પછી,તેમની વચ્ચે $5$ જગ્યાઓ (gaps) બને છે. કોઈ પણ બે છોકરાઓ સાથે ન બેસે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે $5$ છોકરાઓને આ $5$ જગ્યાઓમાં બેસાડવા પડશે.
$5$ છોકરાઓને $5$ જગ્યાઓમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $5!$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $4! \times 5!$ છે.

(D) $12$ સજ્જનોને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ એવી રીતે ગોઠવવા માટે કે જેથી $3$ નિર્દિષ્ટ સજ્જનો હંમેશા સાથે રહે,આપણે તે $3$ સજ્જનોને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
હવે,આપણી પાસે વર્તુળમાં ગોઠવવા માટે $(12 - 3 + 1) = 10$ એકમો છે.
વર્તુળમાં $n$ વસ્તુઓને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $(n - 1)!$ છે.
આમ,$10$ એકમોને $(10 - 1)! = 9!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
એકમના અંદર,$3$ નિર્દિષ્ટ સજ્જનો પોતાની વચ્ચે $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $3! \times 9!$ છે.

(A) ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ $15$ સભ્યોને ચોક્કસ શરતો સાથે ગોઠવવા માટે,આપણે ચેરમેન,સેક્રેટરી અને ડેપ્યુટી સેક્રેટરીને એક બ્લોક તરીકે ગણીએ છીએ.
કારણ કે સેક્રેટરી અને ડેપ્યુટી સેક્રેટરીએ ચેરમેનની બંને બાજુએ બેસવું પડે છે,તેથી આ બ્લોકને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે (સેક્રેટરી-ચેરમેન-ડેપ્યુટી સેક્રેટરી અથવા ડેપ્યુટી સેક્રેટરી-ચેરમેન-સેક્રેટરી).
આ $3$ સભ્યોને $1$ એકમમાં જૂથબદ્ધ કર્યા પછી,આપણી પાસે વર્તુળમાં ગોઠવવા માટે $15 - 3 + 1 = 13$ એકમો બાકી રહે છે.
વર્તુળમાં $n$ વસ્તુઓને ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે.
અહીં,$n = 13$ છે,તેથી ગોળાકાર ગોઠવણીની સંખ્યા $(13-1)! = 12!$ છે.
બ્લોકની આંતરિક ગોઠવણીને ધ્યાનમાં લેતા,કુલ રીતોની સંખ્યા $2 \times 12!$ થાય છે.

(D) $n$ ભિન્ન વસ્તુઓને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતો $(n - 1)!$ છે.
હાર (કે માળા) માટે,ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં અને તેની વિરુદ્ધ દિશામાંની ગોઠવણી સમાન ગણાય છે કારણ કે હારને ઉલટાવી શકાય છે.
તેથી,$n$ ફૂલોમાંથી હાર બનાવવાની રીતો $\frac{(n - 1)!}{2}$ છે.
અહીં $n = 10$ આપેલ હોવાથી,રીતોની સંખ્યા $\frac{(10 - 1)!}{2} = \frac{9!}{2}$ થશે.

(B) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $= 20$ (મહેમાનો) $+ 1$ (યજમાન) $= 21$ વ્યક્તિઓ.
ધારો કે યજમાન $H$ છે અને બે ચોક્કસ વ્યક્તિઓ $P_1$ અને $P_2$ છે. કારણ કે $P_1$ અને $P_2$ ને યજમાનની બંને બાજુએ બેસવાનું છે,તેથી આપણે $(P_1, H, P_2)$ ને એક બ્લોક તરીકે ગણી શકીએ.
આ બ્લોકની અંદર,ગોઠવણી $(P_1, H, P_2)$ અથવા $(P_2, H, P_1)$ હોઈ શકે છે,જે $2! = 2$ રીતે થઈ શકે.
ત્રણ વ્યક્તિઓને એક એકમ તરીકે ગણ્યા પછી,બાકી રહેલી વ્યક્તિઓની સંખ્યા $21 - 3 = 18$ છે. તે એક બ્લોકને ઉમેરતા,આપણી પાસે વર્તુળાકાર ગોઠવણી માટે $18 + 1 = 19$ એકમો છે.
$n$ વસ્તુઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે. અહીં,$n = 19$ હોવાથી,રીતોની સંખ્યા $(19-1)! = 18!$ થશે.
કુલ રીતો $= 2 \times 18!$.

(A) $n$ ભિન્ન વસ્તુઓને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $(n - 1)!$ છે.
હાર માટે,ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં અને તેની વિરુદ્ધ દિશામાંની ગોઠવણી સમાન ગણવામાં આવે છે કારણ કે હારને ઉલટાવી શકાય છે.
તેથી,$n$ મણકા વડે હાર બનાવવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{(n - 1)!}{2}$ થાય.
અહીં $n = 5$ આપેલ હોવાથી,રીતોની સંખ્યા $\frac{(5 - 1)!}{2} = \frac{4!}{2} = \frac{24}{2} = 12$ થાય.

(B) $n$ ભિન્ન વસ્તુઓને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $(n - 1)!$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું કારણ એ છે કે વર્તુળાકાર ગોઠવણીમાં સાપેક્ષ સ્થાન મહત્વનું છે,નિરપેક્ષ સ્થાન નહીં.
પરિભ્રમણીય સંમિતિને તોડવા માટે એક વ્યક્તિનું સ્થાન નિશ્ચિત કરીને,બાકીના $(n - 1)$ લોકોને $(n - 1)!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.

(A) $5$ પુરુષો અને $2$ સ્ત્રીઓને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ એવી રીતે બેસાડવા માટે કે જેથી $2$ સ્ત્રીઓ એકસાથે ન આવે,આપણે ગેપ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીશું.
પ્રથમ,$5$ પુરુષોને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ બેસાડો. $n$ વસ્તુઓને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે. આમ,$5$ પુરુષોને $(5-1)! = 4! = 24$ રીતે બેસાડી શકાય.
$5$ પુરુષોને બેસાડ્યા પછી,તેમની વચ્ચે $5$ ખાલી જગ્યાઓ (ગેપ) બને છે.
આપણે $2$ સ્ત્રીઓને આ $5$ જગ્યાઓમાંથી બે જગ્યાએ એવી રીતે બેસાડવાની છે કે જેથી કોઈ પણ બે સ્ત્રીઓ પાસપાસે ન આવે. $5$ જગ્યાઓમાંથી $2$ સ્ત્રીઓને પસંદ કરીને ગોઠવવાની રીતો ${}^5P_2$ છે.
${}^5P_2 = \frac{5!}{(5-2)!} = 5 \times 4 = 20$.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $24 \times 20 = 480$ છે.

(B) $7$ પુરુષો અને $7$ સ્ત્રીઓને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ એવી રીતે બેસાડવા માટે કે જેથી કોઈ પણ બે સ્ત્રીઓ સાથે ન બેસે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
$1$. પ્રથમ,$7$ પુરુષોને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ ગોઠવો. $n$ ભિન્ન વસ્તુઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે. આમ,$7$ પુરુષોને $(7-1)! = 6!$ રીતે બેસાડી શકાય.
$2$. $7$ પુરુષોને બેસાડ્યા પછી,તેમની વચ્ચે $7$ ખાલી જગ્યાઓ બને છે.
$3$. કોઈ પણ બે સ્ત્રીઓ સાથે ન બેસે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે $7$ સ્ત્રીઓને આ $7$ ખાલી જગ્યાઓમાં બેસાડવી પડશે. $7$ સ્ત્રીઓને $7$ ભિન્ન જગ્યાઓમાં ગોઠવવાની રીતો $7!$ છે.
$4$. ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ રીતોની સંખ્યા $6! \times 7!$ છે.

(D) રેખીય ગોઠવણીમાં,$n$ ભિન્ન વસ્તુઓને $n!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
વર્તુળાકાર ગોઠવણીમાં,ગોઠવણીને ફેરવવાથી નવો ક્રમચય મળતો નથી.
આ પરિભ્રમણીય સંમિતિને ધ્યાનમાં લેવા માટે,આપણે એક વસ્તુને નિશ્ચિત સ્થાન પર રાખીએ છીએ અને બાકીની $(n - 1)$ વસ્તુઓને $(n - 1)!$ રીતે ગોઠવીએ છીએ.
તેથી,$n$ ભિન્ન વસ્તુઓની વર્તુળાકાર ક્રમચયોની સંખ્યા $(n - 1)!$ છે.

(A) $n$ ભિન્ન વસ્તુઓને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $(n - 1)!$ છે.
$8$ અલગ-અલગ મણકા માટે,વર્તુળાકાર ગોઠવણીની સંખ્યા $(8 - 1)! = 7! = 5040$ થાય.
હારના કિસ્સામાં,ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) અને તેની વિરુદ્ધ દિશામાં (anticlockwise) થતી ગોઠવણી સમાન ગણાય છે કારણ કે હારને ઉલટાવી શકાય છે.
તેથી,ભિન્ન હારની સંખ્યા $\frac{(n - 1)!}{2}$ થાય.
$n = 8$ મૂકતા,આપણને $\frac{7!}{2} = \frac{5040}{2} = 2520$ મળે છે.

(A) $6$ પુરુષો અને $5$ સ્ત્રીઓને ગોળાકાર ટેબલ પર એવી રીતે ગોઠવવા માટે કે જેથી કોઈ પણ બે સ્ત્રીઓ સાથે ન બેસે,આપણે ગેપ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
સૌ પ્રથમ,$6$ પુરુષોને ગોળાકાર ટેબલ પર ગોઠવો. $n$ ભિન્ન વસ્તુઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે.
તેથી,$6$ પુરુષોને ગોઠવવાની રીતો $(6-1)! = 5!$ છે.
આ ગોઠવણી પુરુષોની વચ્ચે $6$ ખાલી જગ્યાઓ (ગેપ) બનાવે છે.
કારણ કે $5$ સ્ત્રીઓ છે અને તેઓએ સાથે બેસવું ન જોઈએ,આપણે તેમને આ $6$ ઉપલબ્ધ જગ્યાઓમાં બેસાડવાની જરૂર છે.
$6$ માંથી $5$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^6C_5$ છે,અને $5$ સ્ત્રીઓને આ જગ્યાઓમાં ગોઠવવાની રીતો $5!$ છે.
આમ,કુલ રીતોની સંખ્યા $5! \times ^6C_5 \times 5! = 5! \times 6 \times 5! = 6! \times 5!$ છે.

(A) દ્વિપદી સહગુણક $^nC_r$ નું મૂલ્ય ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે $r$ એ વિસ્તરણનું મધ્યમ પદ હોય.
આપેલ $n$ માટે,$^nC_r$ નું મૂલ્ય $r$ ની કિંમત $0$ થી $n/2$ સુધી વધતા વધે છે અને $n/2$ થી $n$ સુધી વધતા ઘટે છે.
જો $n$ એ બેકી પૂર્ણાંક હોય,તો માત્ર એક જ મધ્યમ પદ હોય છે,જે $r = n/2$ પર મળે છે.
તેથી,$^nC_r$ નું મૂલ્ય $r = n/2$ હોય ત્યારે મહત્તમ થાય છે.

(C) $7$ મિત્રોમાંથી દરેક માટે,વ્યક્તિ પાસે $2$ વિકલ્પો છે: કાં તો તેમને આમંત્રિત કરવા અથવા આમંત્રિત ન કરવા.
$7$ મિત્રો હોવાથી,કોઈપણ સંખ્યામાં મિત્રોને આમંત્રિત કરવાની કુલ રીતો (જેમાં કોઈને પણ આમંત્રિત ન કરવાના કિસ્સાનો સમાવેશ થાય છે) $2^7 = 128$ છે.
જોકે,પ્રશ્નમાં સ્પષ્ટતા કરવામાં આવી છે કે તેણે 'એક અથવા વધુ' મિત્રોને આમંત્રિત કરવાના છે,જેનો અર્થ છે કે આપણે એ કિસ્સો બાદ કરવો પડશે જેમાં કોઈ પણ મિત્રને આમંત્રિત કરવામાં આવતા નથી.
કોઈપણ મિત્રને આમંત્રિત ન કરવાની રીત $^7C_0 = 1$ છે.
તેથી,જરૂરી રીતોની સંખ્યા $2^7 - 1 = 128 - 1 = 127$ છે.

(D) કુલ ખેલાડીઓની સંખ્યા = $12$.
ટીમ માટે પસંદ કરવાના ખેલાડીઓની સંખ્યા = $9$.
કેપ્ટન નિશ્ચિત હોવાથી,આપણે પહેલેથી જ $1$ ખેલાડી પસંદ કરી લીધો છે.
તેથી,આપણે બાકીના $12 - 1 = 11$ ખેલાડીઓમાંથી બાકીના $9 - 1 = 8$ ખેલાડીઓની પસંદગી કરવાની છે.
$11$ માંથી $8$ ખેલાડીઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
રીતોની સંખ્યા = $^{11}C_{8} = ^{11}C_{11-8} = ^{11}C_{3}$.
$^{11}C_{3} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 11 \times 5 \times 3 = 165$.
આમ,ટીમ $165$ રીતે બનાવી શકાય છે.

(A) $15$ છોકરાઓમાંથી એક છોકરાને પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{15}C_1 = 15$ છે.
$8$ છોકરીઓમાંથી એક છોકરીને પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{8}C_1 = 8$ છે.
ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંત (ગુણાકારનો સિદ્ધાંત) મુજબ,એક છોકરો અને એક છોકરીને પસંદ કરવાની કુલ રીતોની સંખ્યા $15 \times 8$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે જો $^nC_x = ^nC_y$ હોય,તો કાં તો $x = y$ અથવા $x + y = n$ થાય.
આપેલ સમીકરણ $^{15}C_{3r} = ^{15}C_{r+3}$ છે.
કિસ્સો $1$: $3r = r + 3 \Rightarrow 2r = 3 \Rightarrow r = 1.5$. કારણ કે $r$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી આ કિસ્સો અમાન્ય છે.
કિસ્સો $2$: $3r + (r + 3) = 15$.
$4r + 3 = 15$.
$4r = 12$.
$r = 3$.

(C) અમે પાસ્કલના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $^nC_r + ^nC_{r-1} = ^{n+1}C_r$.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા: $^{47}C_4 + (^{51}C_3 + ^{50}C_3 + ^{49}C_3 + ^{48}C_3 + ^{47}C_3)$.
નિત્યસમ $^{47}C_4 + ^{47}C_3 = ^{48}C_4$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ બને છે: $^{51}C_3 + ^{50}C_3 + ^{49}C_3 + ^{48}C_3 + ^{48}C_4$.
ફરીથી નિત્યસમ લાગુ કરતા: $^{48}C_3 + ^{48}C_4 = ^{49}C_4$,તેથી આપણી પાસે છે: $^{51}C_3 + ^{50}C_3 + ^{49}C_3 + ^{49}C_4$.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા: $^{49}C_3 + ^{49}C_4 = ^{50}C_4$,તેથી આપણી પાસે છે: $^{51}C_3 + ^{50}C_3 + ^{50}C_4$.
પછી: $^{50}C_3 + ^{50}C_4 = ^{51}C_4$,તેથી આપણી પાસે છે: $^{51}C_3 + ^{51}C_4$.
અંતે: $^{51}C_3 + ^{51}C_4 = ^{52}C_4$.

(C) સંચય (combinations) માટેનું સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ છે.
હવે,ગુણોત્તર ધ્યાનમાં લો:
$\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{\frac{n!}{r!(n-r)!}}{\frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!}}$
$= \frac{n!}{r!(n-r)!} \times \frac{(r-1)!(n-r+1)!}{n!}$
$= \frac{(r-1)!}{r!} \times \frac{(n-r+1)!}{(n-r)!}$
કારણ કે $r! = r \times (r-1)!$ અને $(n-r+1)! = (n-r+1) \times (n-r)!$,તેથી:
$= \frac{(r-1)!}{r(r-1)!} \times \frac{(n-r+1)(n-r)!}{(n-r)!}$
$= \frac{n-r+1}{r}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{^{2n}C_3}{^nC_2} = \frac{44}{3}$.
સંયોજનનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{\frac{(2n)(2n-1)(2n-2)}{3 \times 2 \times 1}}{\frac{n(n-1)}{2 \times 1}} = \frac{44}{3}$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{4n(2n-1)(n-1)}{3n(n-1)} = \frac{44}{3} \Rightarrow 4(2n-1) = 44 \Rightarrow 2n-1 = 11 \Rightarrow 2n = 12 \Rightarrow n = 6$.
હવે,આપણે $^6C_r = 15$ જોઈએ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ અને $^6C_4 = ^6C_2 = 15$ થાય છે. તેથી $r$ ની શક્ય કિંમતો $2$ અથવા $4$ છે. વિકલ્પો તપાસતા,$r = 4$ સાચો જવાબ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $2 \times {}^nC_5 = 9 \times {}^{n-2}C_5$
સૂત્ર ${}^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \times \frac{n!}{5!(n-5)!} = 9 \times \frac{(n-2)!}{5!(n-2-5)!}$
$2 \times \frac{n!}{5!(n-5)!} = 9 \times \frac{(n-2)!}{5!(n-7)!}$
બંને બાજુથી $5!$ ને દૂર કરતા:
$2 \times \frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-5)(n-6)(n-7)!} = 9 \times \frac{(n-2)!}{(n-7)!}$
બંને બાજુને $(n-2)!$ વડે ભાગતા અને $(n-7)!$ વડે ગુણતા:
$2 \times \frac{n(n-1)}{(n-5)(n-6)} = 9$
$2(n^2 - n) = 9(n^2 - 11n + 30)$
$2n^2 - 2n = 9n^2 - 99n + 270$
$7n^2 - 97n + 270 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ $7n^2 - 97n + 270 = 0$ ને ઉકેલતા:
$7n^2 - 70n - 27n + 270 = 0$
$7n(n - 10) - 27(n - 10) = 0$
$(7n - 27)(n - 10) = 0$
$n$ એ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ અને $n \ge 7$ હોવાથી,આપણને $n = 10$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $^{n^2 - n}C_2 = ^{n^2 - n}C_{10}$ છે.
સંચયના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,જો $^nC_r = ^nC_k$ હોય,તો કાં તો $r = k$ અથવા $r + k = n$ થાય.
અહીં,$r = 2$ અને $k = 10$ છે. કારણ કે $2 \neq 10$,તેથી $r + k = n^2 - n$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$2 + 10 = n^2 - n$.
$12 = n^2 - n$.
$n^2 - n - 12 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(n - 4)(n + 3) = 0$.
આમ,$n = 4$ અથવા $n = -3$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.
પ્રથમ,ગુણોત્તર $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{84}{36} = \frac{7}{3}$ લો.
ગુણધર્મ $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{n-r+1}{r} = \frac{7}{3} \implies 3n - 3r + 3 = 7r \implies 3n - 10r = -3$ મળે છે (સમીકરણ $1$).
ત્યારબાદ,ગુણોત્તર $\frac{^nC_{r+1}}{^nC_r} = \frac{126}{84} = \frac{3}{2}$ લો.
ગુણધર્મ $\frac{^nC_{r+1}}{^nC_r} = \frac{n-r}{r+1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{n-r}{r+1} = \frac{3}{2} \implies 2n - 2r = 3r + 3 \implies 2n - 5r = 3$ મળે છે (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ ને $2$ વડે ગુણતા: $4n - 10r = 6$ (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(4n - 10r) - (3n - 10r) = 6 - (-3) \implies n = 9$.
$n = 9$ ને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $2(9) - 5r = 3 \implies 18 - 5r = 3 \implies 5r = 15 \implies r = 3$.