Simplification Questions in Gujarati

(C) આશરે કિંમત શોધવા માટે,આપણે આપેલી સંખ્યાઓને નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યાઓમાં ફેરવીએ છીએ:
$25.05 \approx 25$
$123.95 \approx 124$
$388.999 \approx 389$
$15.001 \approx 15$
હવે,આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$25 \times 124 + 389 \times 15$
$= 3100 + 5835$
$= 8935$
આમ,પ્રશ્નાર્થ ચિહ્નની જગ્યાએ $8935$ આવશે.

(A) $561 \div 35.05 \times 19.99$ પદને ઉકેલવા માટે,આપણે આસન્નમૂલ્ય (approximation) નો ઉપયોગ કરીશું.
$1$. $35.05$ ને આશરે $35$ તરીકે લો.
$2$. $19.99$ ને આશરે $20$ તરીકે લો.
$3$. પદ આ મુજબ બનશે: $561 \div 35 \times 20$.
$4$. ભાગાકારની ગણતરી કરો: $561 \div 35 \approx 16.028$.
$5$. $20$ વડે ગુણાકાર કરો: $16.028 \times 20 = 320.56$.
$6$. નજીકના પૂર્ણાંકમાં ફેરવતા,આપણને $320$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $(21)^{2} - 3717 \div 59 = ? \times 8$
સૌ પ્રથમ,$21$ નો વર્ગ શોધો: $(21)^{2} = 441$.
ત્યારબાદ,ભાગાકાર કરો: $3717 \div 59 = 63$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $441 - 63 = ? \times 8$.
બાદબાકી કરતા: $378 = ? \times 8$.
$?$ ની કિંમત શોધતા: $? = \frac{378}{8} = 47.25$.

(D) $?$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવીએ:
$? = 2 \frac{1}{8} - 1 \frac{1}{16} - 1 \frac{1}{32} + 1 \frac{9}{64}$
પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ અને અપૂર્ણાંકોને અલગ કરો:
$? = (2 - 1 - 1 + 1) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{16} - \frac{1}{32} + \frac{9}{64})$
પૂર્ણાંક ભાગની ગણતરી કરો:
$2 - 1 - 1 + 1 = 1$
અપૂર્ણાંક ભાગની ગણતરી કરવા માટે સામાન્ય છેદ $64$ લો:
$\frac{1}{8} - \frac{1}{16} - \frac{1}{32} + \frac{9}{64} = \frac{8}{64} - \frac{4}{64} - \frac{2}{64} + \frac{9}{64}$
$= \frac{8 - 4 - 2 + 9}{64} = \frac{11}{64}$
બંને ભાગોને જોડતા,આપણને મળે છે:
$? = 1 + \frac{11}{64} = 1 \frac{11}{64}$

(C) આપેલ સમીકરણ: $(0.64)^{4} \div (0.512)^{3} \times (0.8)^{4} = (0.8)^{?+3}$
બધા પદોને આધાર $0.8$ માં દર્શાવતા:
$0.64 = (0.8)^{2}$
$0.512 = (0.8)^{3}$
આ કિંમતો મૂકતા:
$[(0.8)^{2}]^{4} \div [(0.8)^{3}]^{3} \times (0.8)^{4} = (0.8)^{?+3}$
ઘાતાંકના નિયમ $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(0.8)^{8} \div (0.8)^{9} \times (0.8)^{4} = (0.8)^{?+3}$
ઘાતાંકના નિયમો $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$ અને $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(0.8)^{8-9+4} = (0.8)^{?+3}$
$(0.8)^{3} = (0.8)^{?+3}$
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$3 = ? + 3$
$? = 3 - 3 = 0$

(D) પદાવલિ $\sqrt{15^{2} \times 12 \div 9 - 125 + 21}$ ને ઉકેલવા માટે,ક્રિયાઓના ક્રમ $(BODMAS)$ ને અનુસરો:
$1$. વર્ગની ગણતરી કરો: $15^{2} = 225$.
$2$. ભાગાકાર કરો: $12 \div 9 = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$.
$3$. ગુણાકાર કરો: $225 \times \frac{4}{3} = 75 \times 4 = 300$.
$4$. સરવાળા અને બાદબાકી કરો: $300 - 125 + 21 = 175 + 21 = 196$.
$5$. વર્ગમૂળ શોધો: $\sqrt{196} = 14$.
તેથી,જવાબ $14$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $7441 \div 34 \times 12 = ? \times 9 + 110$
પગલું $1$: ભાગાકાર અને ગુણાકાર આશરે કરો.
$7441 \div 34 \approx 218.85$
$218.85 \times 12 \approx 2626.2$
પગલું $2$: સમીકરણમાં કિંમત મૂકો.
$2626.2 = ? \times 9 + 110$
પગલું $3$: બંને બાજુથી $110$ બાદ કરો.
$2626.2 - 110 = ? \times 9$
$2516.2 = ? \times 9$
પગલું $4$: $?$ ની કિંમત શોધવા માટે $9$ વડે ભાગો.
$? = 2516.2 / 9 \approx 279.57$
નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યામાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $? \approx 280$ મળે છે.

(C) આશરે કિંમત શોધવા માટે,આપણે પદનું સાદું રૂપ આપીએ:
$? = \frac{989}{34} \times \frac{869}{65} \times \frac{515}{207}$
કિંમતોનું આશરે મૂલ્ય લેતા:
$\frac{989}{34} \approx 29.08$
$\frac{869}{65} \approx 13.37$
$\frac{515}{207} \approx 2.48$
ગુણાકાર કરતા: $29.08 \times 13.37 \times 2.48 \approx 964.3$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $970$ છે.

(D) આશરે કિંમત શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાઓને નજીકના પૂર્ણાંકમાં ફેરવીએ છીએ:
$(32.13) \approx 32$
$(23.96) \approx 24$
$(17.11) \approx 17$
હવે,આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકો:
$? = (32)^{2} + (24)^{2} - (17)^{2}$
વર્ગોની ગણતરી કરો:
$? = 1024 + 576 - 289$
સરવાળો અને બાદબાકી કરો:
$? = 1600 - 289$
$? = 1311$
આપેલા વિકલ્પોમાંથી સૌથી નજીકની આશરે કિંમત $1310$ છે.

(D) $4-\frac{5}{1+\frac{1}{3+\frac{1}{2+\frac{1}{4}}}}$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે નીચેથી ઉપર તરફ સાદું રૂપ આપીશું.
પ્રથમ,સૌથી નીચેના અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $2+\frac{1}{4} = \frac{8+1}{4} = \frac{9}{4}$.
ત્યારબાદ,આ કિંમતને પાછી મૂકતા: $3+\frac{1}{9/4} = 3+\frac{4}{9} = \frac{27+4}{9} = \frac{31}{9}$.
પછી,આ કિંમતને પાછી મૂકતા: $1+\frac{1}{31/9} = 1+\frac{9}{31} = \frac{31+9}{31} = \frac{40}{31}$.
અંતે,આ કિંમતને મુખ્ય પદાવલિમાં મૂકતા: $4-\frac{5}{40/31} = 4-\frac{5 \times 31}{40} = 4-\frac{155}{40} = 4-\frac{31}{8}$.
અંતિમ કિંમતની ગણતરી કરતા: $\frac{32-31}{8} = \frac{1}{8}$.

(C) ધારો કે $x = 1 . \overline{27} = 1.272727...$ (સમીકરણ $1$)
અહીં બે અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી બંને બાજુ $100$ વડે ગુણતા:
$100x = 127.272727...$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$100x - x = 127.272727... - 1.272727...$
$99x = 126$
$x = \frac{126}{99}$
અંશ અને છેદને $9$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{14}{11}$

(B) આપેલ સમીકરણ: $2p + \frac{1}{p} = 4$.
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$p + \frac{1}{2p} = 2$.
હવે,સમીકરણની બંને બાજુઓનો ઘન કરતા:
$\left(p + \frac{1}{2p}\right)^{3} = 2^{3}$.
નિત્યસમ $(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$p^{3} + \left(\frac{1}{2p}\right)^{3} + 3(p)\left(\frac{1}{2p}\right)\left(p + \frac{1}{2p}\right) = 8$.
$p^{3} + \frac{1}{8p^{3}} + \frac{3}{2}\left(p + \frac{1}{2p}\right) = 8$.
સમીકરણમાં $p + \frac{1}{2p} = 2$ ની કિંમત મૂકતા:
$p^{3} + \frac{1}{8p^{3}} + \frac{3}{2}(2) = 8$.
$p^{3} + \frac{1}{8p^{3}} + 3 = 8$.
$p^{3} + \frac{1}{8p^{3}} = 8 - 3 = 5$.

(D) આપેલ પદાવલિ $(0.1 \times 0.01 \times 0.001 \times 10^{7})$ ને ઉકેલવા માટે,સૌ પ્રથમ દશાંશ સંખ્યાઓને $10$ ના ઘાતાંક સ્વરૂપમાં ફેરવીએ.
$0.1 = 10^{-1}$
$0.01 = 10^{-2}$
$0.001 = 10^{-3}$
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$10^{-1} \times 10^{-2} \times 10^{-3} \times 10^{7}$
ઘાતાંકના નિયમ $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$ નો ઉપયોગ કરીને,ઘાતાંકોનો સરવાળો કરીએ:
$10^{(-1 + -2 + -3 + 7)} = 10^{(-6 + 7)} = 10^{1} = 10$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\left[\left(\sqrt[5]{x^{-3 / 5}}\right)^{-5 / 3}\right]^{5}$
ઘાતાંકના નિયમ $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sqrt[5]{x^{-3/5}} = (x^{-3/5})^{1/5} = x^{-3/25}$ લખી શકાય.
હવે,ઘાતનો ઘાતનો નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ વારંવાર લાગુ પાડતા:
$= \left( (x^{-3/5})^{1/5} \right)^{-5/3 \times 5}$
$= (x^{-3/5})^{1/5 \times -5/3 \times 5}$
$= (x^{-3/5})^{-25/15}$
$= (x^{-3/5})^{-5/3}$
$= x^{(-3/5) \times (-5/3)}$
$= x^{1} = x$.

(A) આપેલ પદાવલિ $\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right) \ldots \left(1-\frac{1}{25}\right)$ છે.
દરેક પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$= \left(\frac{3-1}{3}\right) \times \left(\frac{4-1}{4}\right) \times \left(\frac{5-1}{5}\right) \times \ldots \times \left(\frac{25-1}{25}\right)$
$= \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} \times \ldots \times \frac{23}{24} \times \frac{24}{25}$
આ ભાત (pattern) જોતા,દરેક અપૂર્ણાંકનો અંશ તેના પછીના અપૂર્ણાંકના છેદ સાથે ઉડી જાય છે.
$= \frac{2}{{3}} \times \frac{{3}}{{4}} \times \frac{{4}}{{5}} \times \ldots \times \frac{{24}}{25}$
$= \frac{2}{25}$

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}}{\sqrt{3+x}-\sqrt{3-x}}=2$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{(\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x})^2}{(\sqrt{3+x}-\sqrt{3-x})(\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x})} = 2$
$\frac{(3+x) + (3-x) + 2\sqrt{(3+x)(3-x)}}{(3+x) - (3-x)} = 2$
$\frac{6 + 2\sqrt{9-x^2}}{2x} = 2$
$\frac{2(3 + \sqrt{9-x^2})}{2x} = 2$
$3 + \sqrt{9-x^2} = 2x$
$\sqrt{9-x^2} = 2x - 3$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$9 - x^2 = (2x - 3)^2$
$9 - x^2 = 4x^2 - 12x + 9$
$5x^2 - 12x = 0$
$x(5x - 12) = 0$
આમ,$x = \frac{12}{5}$ (કારણ કે $x=0$ લેતા મૂળ સમીકરણનું સમાધાન થતું નથી).

(C) ધારો કે $x = 0.121212 \ldots$ (સમીકરણ $1$)
અહીં બે અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી બંને બાજુ $100$ વડે ગુણતા:
$100x = 12.121212 \ldots$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$100x - x = 12.121212 \ldots - 0.121212 \ldots$
$99x = 12$
$x = \frac{12}{99}$
અંશ અને છેદને તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $3$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{12 \div 3}{99 \div 3} = \frac{4}{33}$

(B) સૌ પ્રથમ,મિશ્ર અપૂર્ણાંકોને અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો:
$3 \frac{3}{4} = \frac{15}{4}$,$4 \frac{2}{5} = \frac{22}{5}$,અને $3 \frac{1}{8} = \frac{25}{8}$.
હવે,પદાવલિ આ મુજબ થશે: $\frac{15}{4} + \frac{22}{5} - \frac{25}{8}$.
છેદ $4, 5, \text{ અને } 8$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $40$ છે.
દરેક અપૂર્ણાંકનો છેદ $40$ થાય તે રીતે ફેરવો:
$\frac{15 \times 10}{4 \times 10} = \frac{150}{40}$,$\frac{22 \times 8}{5 \times 8} = \frac{176}{40}$,અને $\frac{25 \times 5}{8 \times 5} = \frac{125}{40}$.
હવે,સરવાળો અને બાદબાકી કરો:
$\frac{150 + 176 - 125}{40} = \frac{326 - 125}{40} = \frac{201}{40}$.
અંતે,$\frac{201}{40}$ ને ફરીથી મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો:
$201 \div 40 = 5$ અને શેષ $1$ વધે,તેથી $\frac{201}{40} = 5 \frac{1}{40}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{5^{2} \times 14 - 6 \times 7 + (4)^{?}} = 18$
બંને બાજુ વર્ગ લેતા:
$5^{2} \times 14 - 6 \times 7 + (4)^{?} = (18)^{2}$
કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$25 \times 14 - 42 + (4)^{?} = 324$
$350 - 42 + (4)^{?} = 324$
$308 + (4)^{?} = 324$
અજ્ઞાત પદને અલગ કરતા:
$(4)^{?} = 324 - 308$
$(4)^{?} = 16$
$16$ ને $4$ ના ઘાત તરીકે દર્શાવતા:
$(4)^{?} = 4^{2}$
તેથી,$? = 2$. આપેલ વિકલ્પો $A, B, C$ માં $2$ નથી,તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(A) આપેલ છે: $x^{1/3} + y^{1/3} = z^{1/3}$ ......$(1)$
સમીકરણની બંને બાજુ ઘન લેતા:
$(x^{1/3} + y^{1/3})^3 = (z^{1/3})^3$
નિત્યસમ $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x + y + 3x^{1/3}y^{1/3}(x^{1/3} + y^{1/3}) = z$
સમીકરણ $(1)$ પરથી $x^{1/3} + y^{1/3} = z^{1/3}$ મૂકતા:
$x + y + 3x^{1/3}y^{1/3}z^{1/3} = z$
પદોને ગોઠવતા:
$x + y - z = -3x^{1/3}y^{1/3}z^{1/3}$
ફરીથી બંને બાજુ ઘન લેતા:
$(x + y - z)^3 = (-3x^{1/3}y^{1/3}z^{1/3})^3$
$(x + y - z)^3 = -27xyz$
તેથી:
$(x + y - z)^3 + 27xyz = 0$

(C) ધારો કે $x = \sqrt{7 \sqrt{7 \sqrt{7 \cdots}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 = 7 \sqrt{7 \sqrt{7 \cdots}} = 7x$ મળે.
અહીં $x \neq 0$ હોવાથી,$x = 7$ થાય.
આપેલ સમીકરણ $(343)^{y-1} = 7$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $343 = 7^3$,તેથી $(7^3)^{y-1} = 7^1$ થાય.
આથી $7^{3(y-1)} = 7^1$ મળે.
ઘાતાંકોને સરખાવતા,$3(y-1) = 1$ મળે.
$3y - 3 = 1 \Rightarrow 3y = 4$.
તેથી,$y = \frac{4}{3}$.

(C) આપેલ સમીકરણો $a+b+c=1$ અને $ab+bc+ca=\frac{1}{3}$ છે.
આપણે નિત્યસમ $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ જાણીએ છીએ.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(1)^2 = a^2+b^2+c^2+2(\frac{1}{3})$.
$1 = a^2+b^2+c^2+\frac{2}{3} \Rightarrow a^2+b^2+c^2 = 1-\frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
હવે,પદ $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 = 2(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+bc+ca)$ ધ્યાનમાં લો.
કિંમતો મૂકતા: $2(\frac{1}{3}) - 2(\frac{1}{3}) = 0$.
વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,દરેક પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ: $a-b=0, b-c=0, c-a=0$.
આમ,$a=b=c$.
$a+b+c=1$ હોવાથી,$3a=1$ મળે,તેથી $a=b=c=\frac{1}{3}$.
તેથી,ગુણોત્તર $a:b:c = \frac{1}{3}:\frac{1}{3}:\frac{1}{3} = 1:1:1$ થાય.

(C) આપેલ સમીકરણ: $a^{2}+b^{2}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=4$
આપણે પદોને નીચે મુજબ ગોઠવી શકીએ છીએ:
$(a^{2}-2+\frac{1}{a^{2}})+(b^{2}-2+\frac{1}{b^{2}})=0$
આને આ રીતે લખી શકાય:
$(a-\frac{1}{a})^{2}+(b-\frac{1}{b})^{2}=0$
વાસ્તવિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય ત્યારે જ થાય જો દરેક પદ શૂન્ય હોય:
$(a-\frac{1}{a})=0 \Rightarrow a^{2}=1$
$(b-\frac{1}{b})=0 \Rightarrow b^{2}=1$
તેથી,$a^{2}+b^{2}$ ની કિંમત $1+1 = 2$ થશે.

(D) આપેલ છે કે $(x + \frac{1}{x})^2 = 3$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $(x + \frac{1}{x}) = \sqrt{3}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$ છે.
$a = x$ અને $b = \frac{1}{x}$ લેતા:
$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x)(\frac{1}{x})(x + \frac{1}{x})$.
$(x + \frac{1}{x}) = \sqrt{3}$ ની કિંમત મૂકતા:
$(\sqrt{3})^3 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(1)(\sqrt{3})$.
$3\sqrt{3} = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3\sqrt{3}$.
બંને બાજુથી $3\sqrt{3}$ બાદ કરતા:
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 0$.

(A) ધારો કે $x = 0.1$ અને $y = 0.02$ છે.
આપેલ પદાવલિ $\frac{x^3 + y^3}{(2x)^3 + (2y)^3}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(2x)^3 = 8x^3$ અને $(2y)^3 = 8y^3$ થાય.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x^3 + y^3}{8x^3 + 8y^3}$ મળે છે.
છેદમાંથી $8$ સામાન્ય કાઢતા,આપણને $\frac{x^3 + y^3}{8(x^3 + y^3)}$ મળે છે.
સમાન પદ $(x^3 + y^3)$ ને છેદતા,આપણી પાસે $\frac{1}{8}$ વધે છે.
દશાંશ મૂલ્યની ગણતરી કરતા,$\frac{1}{8} = 0.125$ થાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x+\frac{1}{x}=2$ છે.
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા,આપણને $x^2+1=2x$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2-2x+1=0$ થાય છે.
આ એક પૂર્ણવર્ગ પદાવલિ છે: $(x-1)^2=0$,જેનો અર્થ છે કે $x=1$.
હવે,$x=1$ ને $x^{100}+\frac{1}{x^{100}}$ પદાવલિમાં મૂકતા:
$1^{100}+\frac{1}{1^{100}} = 1+1 = 2$.
તેથી,તેની કિંમત $2$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^{3}+3x^{2}+3x=7$
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે,સમીકરણની બંને બાજુ $1$ ઉમેરો જેથી ઘન પૂર્ણ થાય:
$x^{3}+3x^{2}+3x+1 = 7+1$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)^{3} = a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$ નો ઉપયોગ કરતા,ડાબી બાજુને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$(x+1)^{3} = 8$
આપણે જાણીએ છીએ કે $8 = 2^{3}$,તેથી:
$(x+1)^{3} = 2^{3}$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$x+1 = 2$
તેથી:
$x = 2-1 = 1$

(B) આપેલ છે કે $2x + \frac{2}{x} = 1$.
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $x + \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a + b)$ છે.
$x + \frac{1}{x}$ માટે આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$(x + \frac{1}{x})^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3(x)(\frac{1}{x})(x + \frac{1}{x})$ મળે.
$x + \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ કિંમત મૂકતા:
$(\frac{1}{2})^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3(1)(\frac{1}{2})$.
$\frac{1}{8} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{2}$.
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = \frac{1}{8} - \frac{3}{2}$.
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = \frac{1 - 12}{8} = -\frac{11}{8}$.

(A) સૌ પ્રથમ,છેદમાં રહેલા વર્ગમૂળના પદોનું સાદું રૂપ આપો.
$\sqrt{16+6 \sqrt{7}} = \sqrt{9+7+2 \times 3 \times \sqrt{7}} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{7})^2 + 2 \times 3 \times \sqrt{7}} = \sqrt{(3+\sqrt{7})^2} = 3+\sqrt{7}$.
તે જ રીતે,$\sqrt{16-6 \sqrt{7}} = \sqrt{9+7-2 \times 3 \times \sqrt{7}} = \sqrt{(3-\sqrt{7})^2} = 3-\sqrt{7}$.
હવે,આ કિંમતો છેદમાં મૂકો:
$\sqrt{16+6 \sqrt{7}} - \sqrt{16-6 \sqrt{7}} = (3+\sqrt{7}) - (3-\sqrt{7}) = 3 + \sqrt{7} - 3 + \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$.
અંતે,આ કિંમત મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{7}} = \frac{1}{2}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $2x + \frac{1}{3x} = 6$
$3x + \frac{1}{2x}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે આપેલ સમીકરણને $\frac{3}{2}$ વડે ગુણીશું:
$\frac{3}{2} \times (2x + \frac{1}{3x}) = \frac{3}{2} \times 6$
ડાબી બાજુએ $\frac{3}{2}$ નું વિતરણ કરતા:
$(\frac{3}{2} \times 2x) + (\frac{3}{2} \times \frac{1}{3x}) = 9$
$3x + \frac{1}{2x} = 9$
આમ,તેની કિંમત $9$ છે.

(A) આપેલ છે કે $x=(\sqrt{2}-1)^{-1/2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $x^2 = ((\sqrt{2}-1)^{-1/2})^2 = (\sqrt{2}-1)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$.
$x^2$ માટે છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $x^2 = \frac{1}{\sqrt{2}-1} \times \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1$.
હવે,$\frac{1}{x^2}$ શોધો: $\frac{1}{x^2} = \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \frac{1}{\sqrt{2}+1} \times \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1$.
અંતે,$x^2 - \frac{1}{x^2} = (\sqrt{2}+1) - (\sqrt{2}-1) = \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} + 1 = 2$.

(B) આપેલ પદાવલિ $\frac{3}{4} \times (1+\frac{1}{3}) \times (1+\frac{2}{3}) \times (1-\frac{2}{5}) \times (1+\frac{6}{7}) \times (1-\frac{12}{13})$ છે.
સૌ પ્રથમ,કૌંસમાં રહેલા દરેક પદનું સાદું રૂપ આપો:
$(1+\frac{1}{3}) = \frac{4}{3}$
$(1+\frac{2}{3}) = \frac{5}{3}$
$(1-\frac{2}{5}) = \frac{3}{5}$
$(1+\frac{6}{7}) = \frac{13}{7}$
$(1-\frac{12}{13}) = \frac{1}{13}$
હવે,આ કિંમતોને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \frac{3}{4} \times \frac{4}{3} \times \frac{5}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{13}{7} \times \frac{1}{13}$
અંશ અને છેદમાં સમાન પદોને ઉડાડતા:
$= (\frac{3}{4} \times \frac{4}{3}) \times (\frac{5}{3} \times \frac{3}{5}) \times (\frac{13}{7} \times \frac{1}{13})$
$= 1 \times 1 \times \frac{1}{7} = \frac{1}{7}$.

(C) ધારો કે $a = 0.87$ અને $b = 0.13$ છે.
આપેલ પદાવલિ $\frac{a^{3} + b^{3}}{a^{2} + b^{2} - ab}$ સ્વરૂપમાં છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} + b^{2} - ab)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદાવલિનું સાદું રૂપ આપી શકીએ છીએ:
$\frac{(a + b)(a^{2} + b^{2} - ab)}{a^{2} + b^{2} - ab} = a + b$.
હવે $a$ અને $b$ ની કિંમતો પાછી મૂકતા:
$0.87 + 0.13 = 1$.
તેથી,આપેલ પદાવલિની કિંમત $1$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^{2}+y^{2}-2x+6y+10=0$
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$(x^{2}-2x+1) + (y^{2}+6y+9) = 0$
આને આ રીતે લખી શકાય:
$(x-1)^{2} + (y+3)^{2} = 0$
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ હંમેશા અઋણ (non-negative) હોય છે,તેથી બે અઋણ સંખ્યાઓનો સરવાળો ત્યારે જ શૂન્ય થઈ શકે જો દરેક પદ શૂન્ય હોય.
તેથી:
$(x-1)^{2} = 0 \implies x = 1$
$(y+3)^{2} = 0 \implies y = -3$
હવે,$(x^{2}+y^{2})$ ની કિંમત શોધીએ:
$x^{2}+y^{2} = (1)^{2} + (-3)^{2}$
$x^{2}+y^{2} = 1 + 9 = 10$

(C) આપેલ સમીકરણ: $23 \times 15 - 60 + \frac{?}{31} = 292$
પગલું $1$: ગુણાકાર $23 \times 15 = 345$ ગણો.
પગલું $2$: આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા: $345 - 60 + \frac{?}{31} = 292$.
પગલું $3$: પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $285 + \frac{?}{31} = 292$.
પગલું $4$: પ્રશ્નાર્થ ચિહ્ન વાળા પદને અલગ કરતા: $\frac{?}{31} = 292 - 285$.
પગલું $5$: તફાવત ગણતા: $\frac{?}{31} = 7$.
પગલું $6$: $?$ માટે ઉકેલતા: $? = 7 \times 31 = 217$.

(B) $3 \frac{3}{4} + 4 \frac{2}{5} - 3 \frac{1}{8}$ પદને ઉકેલવા માટે,આપણે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ અને અપૂર્ણાંકોને અલગ કરીએ છીએ:
$? = (3 + 4 - 3) + \left( \frac{3}{4} + \frac{2}{5} - \frac{1}{8} \right)$
પ્રથમ,પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો સરવાળો અને બાદબાકી કરો: $(3 + 4 - 3) = 4$.
ત્યારબાદ,છેદ $4, 5,$ અને $8$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધો,જે $40$ છે.
અપૂર્ણાંકોને રૂપાંતરિત કરો:
$\frac{3}{4} = \frac{30}{40}$
$\frac{2}{5} = \frac{16}{40}$
$\frac{1}{8} = \frac{5}{40}$
હવે,અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો અને બાદબાકી કરો:
$\frac{30 + 16 - 5}{40} = \frac{41}{40} = 1 \frac{1}{40}$
છેલ્લે,પૂર્ણાંક ભાગ અને અપૂર્ણાંક ભાગનો સરવાળો કરો:
$4 + 1 \frac{1}{40} = 5 \frac{1}{40}$.

(A) $\frac{343 \times 49}{216 \times 16 \times 81}$ પદને ઉકેલવા માટે,દરેક સંખ્યાને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ઘાતાંક તરીકે દર્શાવો:
$343 = 7^{3}$
$49 = 7^{2}$
$216 = 6^{3}$
$16 = 2^{4}$
$81 = 3^{4}$
આ કિંમતોને પદમાં મૂકતા:
$\frac{7^{3} \times 7^{2}}{6^{3} \times 2^{4} \times 3^{4}}$
કારણ કે $2^{4} \times 3^{4} = (2 \times 3)^{4} = 6^{4}$,તેથી પદ આ મુજબ બનશે:
$\frac{7^{3+2}}{6^{3} \times 6^{4}} = \frac{7^{5}}{6^{3+4}} = \frac{7^{5}}{6^{7}}$

(C) ધારો કે ખૂટતી સંખ્યા $x$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $6 \frac{1}{7} + 15 \frac{2}{3} + 11 \frac{1}{6} = 33 \frac{1}{21} - x$.
મિશ્ર અપૂર્ણાંકોને અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા:
$6 \frac{1}{7} = \frac{43}{7}$,$15 \frac{2}{3} = \frac{47}{3}$,$11 \frac{1}{6} = \frac{67}{6}$,$33 \frac{1}{21} = \frac{694}{21}$.
ડાબી બાજુનો સરવાળો: $\frac{43}{7} + \frac{47}{3} + \frac{67}{6}$.
$7, 3, 6$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $42$ છે.
$= \frac{43 \times 6 + 47 \times 14 + 67 \times 7}{42} = \frac{258 + 658 + 469}{42} = \frac{1385}{42}$.
હવે,$x = \frac{694}{21} - \frac{1385}{42}$.
$= \frac{1388 - 1385}{42} = \frac{3}{42} = \frac{1}{14}$.
આમ,ખૂટતી કિંમત $\frac{1}{14}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $57 \frac{4}{7} + 29 \frac{1}{21} + ? = 90 \frac{3}{35}$
અજ્ઞાત પદ '$?$' ને અલગ કરતા:
$? = 90 \frac{3}{35} - 57 \frac{4}{7} - 29 \frac{1}{21}$
પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ અને અપૂર્ણાંકોને અલગ કરતા:
$? = (90 - 57 - 29) + (\frac{3}{35} - \frac{4}{7} - \frac{1}{21})$
પૂર્ણાંક ભાગની ગણતરી:
$90 - 57 - 29 = 4$
અપૂર્ણાંકો માટે સામાન્ય છેદ $(35, 7, 21)$ શોધો,જે $105$ છે:
$\frac{3}{35} = \frac{9}{105}, \frac{4}{7} = \frac{60}{105}, \frac{1}{21} = \frac{5}{105}$
અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો/બાદબાકી:
$\frac{9}{105} - \frac{60}{105} - \frac{5}{105} = \frac{9 - 65}{105} = -\frac{56}{105}$
સમીકરણનું સાદું રૂપ:
$? = 4 - \frac{56}{105} = 3 + (1 - \frac{56}{105}) = 3 + \frac{49}{105}$
$\frac{49}{105}$ ને $7$ વડે ભાગતા:
$\frac{49 \div 7}{105 \div 7} = \frac{7}{15}$
આમ,$? = 3 \frac{7}{15}$.

(C) ધારો કે ખૂટતી સંખ્યા $x$ છે.
$12 \frac{5}{7} + 23 \frac{3}{5} - 14 \frac{1}{3} = 28 \frac{4}{7} - x$
$x = 28 \frac{4}{7} + 14 \frac{1}{3} - 23 \frac{3}{5} - 12 \frac{5}{7}$
પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ અને અપૂર્ણાંકોને અલગ કરો:
$x = (28 + 14 - 23 - 12) + (\frac{4}{7} + \frac{1}{3} - \frac{3}{5} - \frac{5}{7})$
$x = 7 + (\frac{4}{7} - \frac{5}{7} + \frac{1}{3} - \frac{3}{5})$
$x = 7 + (-\frac{1}{7} + \frac{5 - 9}{15})$
$x = 7 - \frac{1}{7} - \frac{4}{15}$
અપૂર્ણાંકો માટે સામાન્ય છેદ $(105)$ શોધો:
$x = 7 - (\frac{15 + 28}{105})$
$x = 7 - \frac{43}{105}$
$x = 6 + (1 - \frac{43}{105}) = 6 + \frac{62}{105} = 6 \frac{62}{105}$

(A) આપેલ પદાવલિ: $7^{5} \div 7^{3} \div 7^{2} \times 7^{4} \times \frac{1}{7^{3}} = 7^{?}$
ઘાતાંકના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા,$a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$ અને $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$.
વળી,$\frac{1}{7^{3}} = 7^{-3}$ થાય.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$7^{5-3-2+4-3} = 7^{?}$
ઘાતાંકની ગણતરી કરતા: $5 - 3 - 2 + 4 - 3 = 1$.
તેથી,$7^{1} = 7^{?}$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,$?$ ની કિંમત $1$ મળે છે.

(C) ધારો કે ખૂટતી સંખ્યા $x$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $13 \frac{4}{x} + (5 \frac{3}{4} \text{ of } 3 \frac{1}{5}) \div 4 \frac{3}{5} = 17 \frac{4}{5}$
સૌ પ્રથમ,'of' (ગુણાકાર) ની ક્રિયા ઉકેલો: $5 \frac{3}{4} \text{ of } 3 \frac{1}{5} = \frac{23}{4} \times \frac{16}{5} = \frac{23 \times 4}{5} = \frac{92}{5} = 18 \frac{2}{5}$.
હવે,ભાગાકારની ક્રિયા કરો: $(18 \frac{2}{5}) \div 4 \frac{3}{5} = \frac{92}{5} \div \frac{23}{5} = \frac{92}{5} \times \frac{5}{23} = 4$.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા: $13 \frac{4}{x} + 4 = 17 \frac{4}{5}$.
બંને બાજુથી $4$ બાદ કરતા: $13 \frac{4}{x} = 17 \frac{4}{5} - 4 = 13 \frac{4}{5}$.
બંને બાજુની સરખામણી કરતા,આપણને $x = 5$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $47 \frac{1}{17} \div 1 \frac{49}{51} + 23 \frac{5}{7} + ? = 67 \frac{4}{9}$
મિશ્ર અપૂર્ણાંકોને અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો:
$\frac{800}{17} \div \frac{100}{51} + \frac{166}{7} + ? = \frac{607}{9}$
ભાગાકારની પ્રક્રિયા કરો:
$\frac{800}{17} \times \frac{51}{100} + \frac{166}{7} + ? = \frac{607}{9}$
$8 \times 3 + \frac{166}{7} + ? = \frac{607}{9}$
$24 + \frac{166}{7} + ? = \frac{607}{9}$
ચલ $?$ ને અલગ કરો:
$? = \frac{607}{9} - 24 - \frac{166}{7}$
સામાન્ય છેદ $(63)$ શોધો:
$? = \frac{607 \times 7 - 24 \times 63 - 166 \times 9}{63}$
$? = \frac{4249 - 1512 - 1494}{63} = \frac{1243}{63}$
મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો:
$? = 19 \frac{46}{63}$

(C) આપેલ સમીકરણ: $22 \frac{2}{9} + 33 \frac{4}{7} - ? = 28 \frac{4}{45}$
$?$ માટે ગોઠવતા: $? = 22 \frac{2}{9} + 33 \frac{4}{7} - 28 \frac{4}{45}$
પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ અને અપૂર્ણાંકોને અલગ કરતા: $? = (22 + 33 - 28) + (\frac{2}{9} + \frac{4}{7} - \frac{4}{45})$
પૂર્ણાંક ભાગની ગણતરી: $22 + 33 - 28 = 27$
અપૂર્ણાંકો માટે સામાન્ય છેદ $(9, 7, 45)$ શોધતા: $9, 7, 45$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $315$ છે.
અપૂર્ણાંકોનું રૂપાંતર: $\frac{2}{9} = \frac{70}{315}$,$\frac{4}{7} = \frac{180}{315}$,$\frac{4}{45} = \frac{28}{315}$
અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો અને બાદબાકી: $\frac{70 + 180 - 28}{315} = \frac{222}{315}$
અપૂર્ણાંકનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ: $\frac{222 \div 3}{315 \div 3} = \frac{74}{105}$
પરિણામ: $27 + \frac{74}{105} = 27 \frac{74}{105}$

(C) સૌ પ્રથમ,પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ અને અપૂર્ણાંકોને અલગ કરો:
$1 + 1 + 1 + \frac{4}{7} + \frac{3}{5} + \frac{1}{3}$
$= 3 + \left( \frac{4}{7} + \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \right)$
અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરવા માટે,$7, 5$ અને $3$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધો,જે $105$ છે.
$= 3 + \left( \frac{4 \times 15 + 3 \times 21 + 1 \times 35}{105} \right)$
$= 3 + \left( \frac{60 + 63 + 35}{105} \right)$
$= 3 + \frac{158}{105}$
કારણ કે $\frac{158}{105} = 1 \frac{53}{105}$,તેથી:
$= 3 + 1 + \frac{53}{105} = 4 \frac{53}{105}$

(A) પદાવલિ $12 \frac{1}{3} + 10 \frac{5}{6} - 7 \frac{2}{3} - 1 \frac{4}{7}$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ અને અપૂર્ણાંકોને અલગ કરીશું.
પગલું $1$: પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ અને અપૂર્ણાંકોને અલગ કરો:
$= (12 + 10 - 7 - 1) + (\frac{1}{3} + \frac{5}{6} - \frac{2}{3} - \frac{4}{7})$
પગલું $2$: પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો સરવાળો કરો:
$= 14 + (\frac{1}{3} + \frac{5}{6} - \frac{2}{3} - \frac{4}{7})$
પગલું $3$: અપૂર્ણાંકો $(3, 6, 7)$ માટે સામાન્ય છેદ શોધો. લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $42$ છે:
$= 14 + (\frac{14}{42} + \frac{35}{42} - \frac{28}{42} - \frac{24}{42})$
પગલું $4$: અપૂર્ણાંક ભાગનું સાદું રૂપ આપો:
$= 14 + (\frac{14 + 35 - 28 - 24}{42}) = 14 + (\frac{-3}{42})$
પગલું $5$: અંતિમ ગણતરી:
$= 14 - \frac{1}{14} = 13 + (1 - \frac{1}{14}) = 13 \frac{13}{14}$

(C) આપેલ પદાવલિ $4 \frac{3}{4} + 2 \frac{1}{8} + 7 \frac{1}{4} + 3 \frac{7}{8} + 11 \frac{12}{13}$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ અને અપૂર્ણાંકોને અલગ-અલગ જૂથમાં વહેંચીશું.
પ્રથમ,પદોને જૂથબદ્ધ કરો:
$= (4 + 7 + 2 + 3 + 11) + (\frac{3}{4} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{8} + \frac{7}{8}) + \frac{12}{13}$
પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો સરવાળો કરો:
$4 + 7 + 2 + 3 + 11 = 27$
અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરો:
$(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}) = \frac{4}{4} = 1$
$(\frac{1}{8} + \frac{7}{8}) = \frac{8}{8} = 1$
બધા પરિણામોનો સરવાળો કરો:
$= 27 + 1 + 1 + \frac{12}{13} = 29 \frac{12}{13}$

(A) આપેલ પદાવલિ $7 \frac{11}{18} + 13 \frac{1}{9} + 5 \frac{7}{9} - 16 \frac{2}{3}$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ અને અપૂર્ણાંકોને અલગ કરીએ:
$= (7 + 13 + 5 - 16) + \left( \frac{11}{18} + \frac{1}{9} + \frac{7}{9} - \frac{2}{3} \right)$
પ્રથમ,પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો સરવાળો અને બાદબાકી કરીએ:
$7 + 13 + 5 - 16 = 9$
ત્યારબાદ,અપૂર્ણાંકો માટે સામાન્ય છેદ $18$ લઈએ:
$= \frac{11}{18} + \frac{2}{18} + \frac{14}{18} - \frac{12}{18}$
$= \frac{11 + 2 + 14 - 12}{18} = \frac{15}{18}$
અપૂર્ણાંક $\frac{15}{18}$ ને અંશ અને છેદને $3$ વડે ભાગીને સાદું રૂપ આપીએ:
$= \frac{5}{6}$
પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંકને જોડતા,આપણને મળે છે:
$= 9 \frac{5}{6}$

(A) ધારો કે ખૂટતી કિંમત $x$ છે.
$1 \frac{7}{9} + 3 \frac{5}{8} - 2 \frac{1}{18} + 4 \frac{7}{16} - 9 \frac{5}{18} + x = 0$
પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ અને અપૂર્ણાંકોને અલગ કરો:
$(1 + 3 - 2 + 4 - 9) + (\frac{7}{9} + \frac{5}{8} - \frac{1}{18} + \frac{7}{16} - \frac{5}{18}) + x = 0$
$-3 + (\frac{7}{9} - \frac{6}{18}) + \frac{5}{8} + \frac{7}{16} + x = 0$
$-3 + (\frac{14 - 6}{18}) + \frac{10 + 7}{16} + x = 0$
$-3 + \frac{8}{18} + \frac{17}{16} + x = 0$
$-3 + \frac{4}{9} + \frac{17}{16} + x = 0$
$-3 + \frac{64 + 153}{144} + x = 0$
$-3 + \frac{217}{144} + x = 0$
$-3 + 1 \frac{73}{144} + x = 0$
$-1 \frac{71}{144} + x = 0$
$x = 1 \frac{71}{144}$

(C) આપેલ સમીકરણ: $425 \div 16.95 \times ? = 225$
$16.95$ ને આશરે $17$ લેતા,સમીકરણ નીચે મુજબ બનશે:
$\frac{425}{17} \times ? = 225$
$425 \div 17$ ની ગણતરી કરતા:
$425 \div 17 = 25$
હવે,આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$25 \times ? = 225$
$?$ માટે ઉકેલતા:
$? = \frac{225}{25}$
$? = 9$