Measurement of Volume and Surface Area Questions in Gujarati

(A) સિક્કાની ત્રિજ્યા $r = \frac{1.5}{2} = 0.75 \, cm = \frac{3}{4} \, cm$.
સિક્કાની જાડાઈ $h = 2 \, mm = 0.2 \, cm = \frac{1}{5} \, cm$.
એક સિક્કાનું ઘનફળ $= \pi r^2 h = \pi \times (\frac{3}{4})^2 \times \frac{1}{5} = \pi \times \frac{9}{16} \times \frac{1}{5} = \frac{9\pi}{80} \, cm^3$.
નળાકારની ત્રિજ્યા $R = \frac{6}{2} = 3 \, cm$.
નળાકારની ઊંચાઈ $H = 8 \, cm$.
નળાકારનું ઘનફળ $= \pi R^2 H = \pi \times (3)^2 \times 8 = 72\pi \, cm^3$.
સિક્કાઓની સંખ્યા $= \frac{\text{નળાકારનું ઘનફળ}}{\text{એક સિક્કાનું ઘનફળ}} = \frac{72\pi}{\frac{9\pi}{80}} = 72 \times \frac{80}{9} = 8 \times 80 = 640$.

(B) ધારો કે શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા $r \, cm$ છે.
ઢાળવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન પદાર્થનું ઘનફળ અચળ રહેતું હોવાથી,અર્ધગોલકનું ઘનફળ = શંકુનું ઘનફળ.
અર્ધગોલકનું ઘનફળ = $\frac{2}{3} \pi R^3$,જ્યાં $R = 6 \, cm$.
શંકુનું ઘનફળ = $\frac{1}{3} \pi r^2 h$,જ્યાં $h = 75 \, cm$.
બંને ઘનફળને સરખાવતા: $\frac{2}{3} \pi (6)^3 = \frac{1}{3} \pi r^2 (75)$.
બંને બાજુથી $\frac{1}{3} \pi$ દૂર કરતા: $2 \times 216 = r^2 \times 75$.
$r^2 = \frac{432}{75} = 5.76$.
વર્ગમૂળ લેતા: $r = \sqrt{5.76} = 2.4 \, cm$.

(B) નળાકારનું કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ $2 \pi r h + 2 \pi r^2 = 231 \, cm^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે વક્ર પૃષ્ઠફળ $(CSA)$ એ કુલ પૃષ્ઠફળના $(2/3)$ ભાગનું છે:
$CSA = 2 \pi r h = (2/3) \times 231 = 154 \, cm^2$.
કારણ કે $TSA = CSA + 2 \pi r^2$,તેથી $231 = 154 + 2 \pi r^2$,જેનો અર્થ છે કે $2 \pi r^2 = 77 \, cm^2$.
આમ,$\pi r^2 = 77/2 = 38.5 \, cm^2$.
$\pi = 22/7$ લેતા,$(22/7) \times r^2 = 38.5$,તેથી $r^2 = (38.5 \times 7) / 22 = 12.25$.
તેથી,$r = \sqrt{12.25} = 3.5 \, cm$ (અથવા $7/2 \, cm$).
હવે,$r$ ની કિંમત $CSA$ ના સૂત્રમાં મૂકતા: $2 \times (22/7) \times (7/2) \times h = 154$.
$22 \times h = 154$,તેથી $h = 154 / 22 = 7 \, cm$.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h = (22/7) \times (7/2) \times (7/2) \times 7 = 269.5 \, cm^3$ થાય.

(B) ટાંકી ભરવા માટે જરૂરી પાણીનું ઘનફળ $10 \ min$ માં $440 \ m^3$ છે.
તેથી,પ્રતિ મિનિટ પાઇપમાંથી વહેતા પાણીનું ઘનફળ $\frac{440}{10} = 44 \ m^3/min$ થાય.
ગોળાકાર પાઇપમાંથી પ્રતિ મિનિટ વહેતા પાણીનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે,જ્યાં $h$ એ પાણીની પ્રતિ મિનિટ ઝડપ છે અને $r$ એ આંતરિક ત્રિજ્યા છે.
અહીં $h = 7 \ m/min$ અને $V = 44 \ m^3/min$ આપેલ છે,તેથી:
$44 = \frac{22}{7} \times r^2 \times 7$
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા:
$44 = 22 \times r^2$
$r^2 = \frac{44}{22} = 2$
$r = \sqrt{2} \ m$.

(B) બાકી રહેલા નક્કર પદાર્થનું ઘનફળ એ નળાકારના ઘનફળમાંથી શંકુનું ઘનફળ બાદ કરવાથી મળે છે.
નળાકારનું ઘનફળ = $\pi r^2 h = \pi \times 6^2 \times 10 = 360\pi \ cm^3$.
શંકુનું ઘનફળ = $\frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times 6^2 \times 10 = 120\pi \ cm^3$.
બાકી રહેલું ઘનફળ = $360\pi - 120\pi = 240\pi \ cm^3$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા,ઘનફળ = $240 \times \frac{22}{7} \approx 754.28 \ cm^3$,જે આશરે $754.3 \ cm^3$ થાય છે.

(A) ધારો કે બે નળાકારની ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 2x$ અને $r_2 = 3x$ છે.
ધારો કે બે નળાકારની ઊંચાઈઓ $h_1 = 5y$ અને $h_2 = 3y$ છે.
નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે.
તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h_1}{\pi r_2^2 h_2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi (2x)^2 (5y)}{\pi (3x)^2 (3y)}$.
$= \frac{\pi (4x^2) (5y)}{\pi (9x^2) (3y)}$.
$= \frac{20 \pi x^2 y}{27 \pi x^2 y}$.
$= \frac{20}{27}$.
આમ,તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $20:27$ છે.

(A) નળાકારના પાયાની ત્રિજ્યા $r = \frac{28}{2} = 14 \, m$ છે.
ધારો કે ટાંકીની ઊંડાઈ (ઊંચાઈ) $h$ છે.
ટાંકીની ક્ષમતા (ઘનફળ) $V = \pi r^2 h = 6160 \, m^3$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times h = 6160$.
$22 \times 2 \times 14 \times h = 6160 \implies 616 \times h = 6160 \implies h = 10 \, m$.
અંદરની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \pi r h = 2 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 10 = 880 \, m^2$ છે.
અંદરની વક્ર સપાટીને રંગવાનો ખર્ચ ₹ $2.8$ પ્રતિ $m^2$ ના દરે $880 \times 2.8 = ₹ 2464$ થાય.

(C) આપેલ છે: $r + h = 37\, m$ અને કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA) = 2\pi r(r + h) = 1628\, m^2$.
$TSA$ સૂત્રમાં $(r + h)$ ની કિંમત મૂકતા:
$2 \times \frac{22}{7} \times r \times 37 = 1628$
$r = \frac{1628 \times 7}{2 \times 22 \times 37} = \frac{1628 \times 7}{1628} = 7\, m$.
કારણ કે $r + h = 37$,તેથી $h = 37 - 7 = 30\, m$.
પાયાનો પરિઘ $= 2\pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 = 44\, m$.
નળાકારનું ઘનફળ $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times 7^2 \times 30 = 22 \times 7 \times 30 = 4620\, m^3$.
આમ,પાયાનો પરિઘ $44\, m$ અને નળાકારનું ઘનફળ $4620\, m^3$ છે.

(B) જ્યારે કાગળને તેની લંબાઈની દિશામાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે કાગળની લંબાઈ નળાકારના પાયાનો પરિઘ બને છે અને કાગળની પહોળાઈ નળાકારની ઊંચાઈ બને છે.
આપેલ છે: પરિઘ $(2 \pi r) = 22 \text{ cm}$ અને ઊંચાઈ $(h) = 10 \text{ cm}$.
$2 \pi r = 22$ પરથી,$2 \times \frac{22}{7} \times r = 22$,જેનું સાદુરૂપ આપતા $r = \frac{7}{2} \text{ cm}$ મળે છે.
નળાકારનું ઘનફળ $(V)$ શોધવાનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{22}{7} \times (\frac{7}{2})^2 \times 10$.
$V = \frac{22}{7} \times \frac{49}{4} \times 10 = 22 \times \frac{7}{4} \times 10 = 11 \times 7 \times 5 = 385 \text{ cm}^3$.

(D) નળાકારના કુલ પૃષ્ઠફળનું સૂત્ર $2 \pi r(h + r)$ છે.
નળાકારની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $2 \pi rh$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{2 \pi r(h + r)}{2 \pi rh}$ દ્વારા મળે છે.
પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{h + r}{h}$ મળે છે.
અહીં $r = 80 \text{ cm}$ અને $h = 20 \text{ cm}$ આપેલ છે.
કિંમતો મુકતા: $\frac{20 + 80}{20} = \frac{100}{20} = 5$.
આમ,ગુણોત્તર $5:1$ છે.

(B) ધારો કે નળાકારની ત્રિજ્યા $r$ અને તેની ઊંચાઈ $h$ છે. નળાકારનું ઘનફળ $V_{cylinder} = \pi r^{2} h$ છે.
સમાન ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ ધરાવતા શંકુનું ઘનફળ $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ છે.
ધારો કે નળાકારમાંથી પાણી સંગ્રહિત કરવા માટે જરૂરી શંકુની સંખ્યા $x$ છે.
તેથી,$x \times V_{cone} = V_{cylinder}$.
કિંમતો મૂકતા,$x \times (\frac{1}{3} \pi r^{2} h) = \pi r^{2} h$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(C) નળાકાર ડોલની ત્રિજ્યા $r = \frac{28}{2} = 14\, cm$ છે.
ડોલની ઊંચાઈ $h = 72\, cm$ છે.
ડોલમાં રહેલા પાણીનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ દ્વારા મળે છે.
$V = \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 72 = 22 \times 2 \times 14 \times 72 = 44,352\, cm^3$.
ધારો કે લંબચોરસ ટાંકીમાં પાણીના સ્તરની ઊંચાઈ $H$ છે.
ટાંકીમાં પાણીનું ઘનફળ $V = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times H = 66 \times 28 \times H$ થાય.
બંને ઘનફળને સરખાવતા: $66 \times 28 \times H = 44,352$.
$H = \frac{44,352}{66 \times 28} = \frac{44,352}{1,848} = 24\, cm$.

(C) નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે.
આપેલ છે: લંબાઈ $(h)$ = $70\, cm$,વ્યાસ = $2\, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $(r)$ = $1\, cm$.
ઘનફળ = $\frac{22}{7} \times (1)^2 \times 70 = 220\, cm^3$.
$1\, cm^3$ લોખંડનું વજન = $10\, grams$.
કુલ વજન = $220 \times 10 = 2200\, grams$.
$kg$ માં ફેરવવા માટે,$1000$ વડે ભાગતા: $\frac{2200}{1000} = 2.2\, kg$.

(A) ધારો કે નળાકારની પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે.
મૂળ નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = 2 \pi r h$ છે.
નવા નળાકાર માટે,ત્રિજ્યા $r' = 2r$ અને ઊંચાઈ $h' = \frac{h}{2}$ છે.
નવા નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = 2 \pi r' h' = 2 \pi (2r) \left( \frac{h}{2} \right) = 2 \pi r h$ થાય.
તેથી,નવી વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને અગાઉની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{A_2}{A_1} = \frac{2 \pi r h}{2 \pi r h} = 1:1$ છે.

(D) નળાકાર પાત્રની ત્રિજ્યા $R = 24/2 = 12\, cm$ છે.
પાણીની સપાટીમાં થયેલો વધારો $h = 67.5\, mm = 6.75\, cm$ છે.
ગોળાકાર દડાનું કદ એ તેના દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પાણીના કદ જેટલું હોય છે.
વિસ્થાપિત પાણીનું કદ $= \pi R^2 h = \pi \times (12)^2 \times 6.75\, cm^3$.
ધારો કે દડાની ત્રિજ્યા $r$ છે. ગોળાનું કદ $\frac{4}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
બંને કદને સરખાવતા: $\frac{4}{3} \pi r^3 = \pi \times 144 \times 6.75$.
$r^3 = \frac{144 \times 6.75 \times 3}{4} = 36 \times 6.75 \times 3 = 108 \times 6.75 = 729$.
$r^3 = 9^3$,જેનો અર્થ છે કે $r = 9\, cm$.
દડાનો વ્યાસ $= 2r = 2 \times 9 = 18\, cm$.

(B) નક્કર શંકુનું ઘનફળ $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_{cone}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નક્કર નળાકારનું ઘનફળ $V_{cylinder} = \pi r^2 h_{cylinder}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શંકુના દ્રવ્યમાંથી નળાકાર બનાવવામાં આવતો હોવાથી,બંનેના ઘનફળ સમાન રહેશે: $V_{cone} = V_{cylinder}$.
તેથી,$\frac{1}{3} \pi r^2 h_{cone} = \pi r^2 h_{cylinder}$.
બંનેની ત્રિજ્યા સમાન હોવાથી,આપણે બંને બાજુથી $\pi r^2$ ને દૂર કરી શકીએ છીએ:
$\frac{1}{3} h_{cone} = h_{cylinder}$.
અહીં $h_{cylinder} = 5\,cm$ આપેલ છે,તેથી $\frac{1}{3} h_{cone} = 5\,cm$.
આમ,$h_{cone} = 3 \times 5\,cm = 15\,cm$.

(B) નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1$ અને ઊંચાઈ $h_1$ છે. તેથી $V_1 = \pi r_1^2 h_1 = 3850\, mm^3$.
નવા નળાકાર માટે,લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે છે $(h_2 = 2h_1)$ અને વ્યાસ અડધો કરવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે ત્રિજ્યા પણ અડધી થાય છે $(r_2 = r_1 / 2)$.
નવું ઘનફળ $V_2 = \pi r_2^2 h_2$ દ્વારા મળે છે.
નવી કિંમતો મૂકતા: $V_2 = \pi (r_1 / 2)^2 (2h_1) = \pi (r_1^2 / 4) (2h_1) = \frac{1}{2} \pi r_1^2 h_1$.
કારણ કે $V_1 = \pi r_1^2 h_1 = 3850$,તેથી $V_2 = \frac{1}{2} \times 3850 = 1925\, mm^3$.

(C) દરેક નળાકાર સ્તંભની ત્રિજ્યા $(r)$ એ વ્યાસના અડધા છે: $r = \frac{50\, cm}{2} = 25\, cm = 0.25\, m = \frac{1}{4}\, m.$
દરેક સ્તંભની ઊંચાઈ $(h)$ $4\, m$ છે.
એક નળાકાર સ્તંભની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $2\pi rh$ છે.
એક સ્તંભની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 3.14 \times \frac{1}{4} \times 4 = 6.28\, m^{2}.$
આવા $50$ સ્તંભોનું કુલ વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 50 \times 6.28\, m^{2} = 314\, m^{2}.$
સફાઈનો દર $50$ પૈસા પ્રતિ $m^{2}$ છે,જે $₹ 0.50$ પ્રતિ $m^{2}$ ની બરાબર છે.
કુલ મજૂરી ખર્ચ $= 314\, m^{2} \times ₹ 0.50/m^{2} = ₹ 157.$

(A) ધારો કે મૂળ ત્રિજ્યા $r$ છે અને મૂળ ઊંચાઈ $h$ છે. મૂળ ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ છે.
જો નવી ત્રિજ્યા $R = 2r$ હોય અને નવી ઊંચાઈ $H$ હોય,તો નવું ઘનફળ $V'$ મૂળ ઘનફળ $V$ જેટલું જ રહેવું જોઈએ.
તેથી,$V' = \pi R^2 H = \pi (2r)^2 H = \pi (4r^2) H = 4 \pi r^2 H$.
$V' = V$ હોવાથી,$4 \pi r^2 H = \pi r^2 h$.
બંને બાજુ $\pi r^2$ વડે ભાગતા,આપણને $4H = h$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $H = \frac{1}{4} h$.
આમ,ઊંચાઈ મૂળ ઊંચાઈના $1/4$ ભાગની હોવી જોઈએ.

(B) ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
મોટા દડાની ત્રિજ્યા $R = \frac{3}{2} = 1.5 \, cm$ છે.
ત્રણ નાના દડાની ત્રિજ્યાઓ $r_1, r_2,$ અને $r_3$ છે.
આપેલ છે કે $r_1 = \frac{1.5}{2} = 0.75 \, cm$ અને $r_2 = \frac{2}{2} = 1 \, cm$.
ઓગાળતી વખતે અને ફરીથી બનાવતી વખતે ઘનફળ સમાન રહે છે:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi r_1^3 + \frac{4}{3} \pi r_2^3 + \frac{4}{3} \pi r_3^3$
$R^3 = r_1^3 + r_2^3 + r_3^3$
$(1.5)^3 = (0.75)^3 + (1)^3 + r_3^3$
$3.375 = 0.421875 + 1 + r_3^3$
$3.375 = 1.421875 + r_3^3$
$r_3^3 = 3.375 - 1.421875 = 1.953125$
$r_3 = \sqrt[3]{1.953125} = 1.25 \, cm$.
ત્રીજા દડાનો વ્યાસ $2 \times r_3 = 2 \times 1.25 = 2.5 \, cm$ થાય.

(D) ધારો કે શંકુ અને નળાકાર બંનેના પાયાની ત્રિજ્યા $r$ છે. કારણ કે તેમના પાયાનું ક્ષેત્રફળ સમાન છે,તેથી તેમની ત્રિજ્યાઓ સમાન છે.
ધારો કે શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l$ છે અને નળાકારની ઊંચાઈ $h = 2 \, m$ છે.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_{cone} = \pi r l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_{cylinder} = 2 \pi r h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$A_{cone} = A_{cylinder}$.
તેથી,$\pi r l = 2 \pi r h$.
બંને બાજુને $\pi r$ વડે ભાગતા (કારણ કે $r \neq 0$),આપણને $l = 2h$ મળે છે.
$h = 2 \, m$ મૂકતા,આપણને $l = 2 \times 2 = 4 \, m$ મળે છે.
આમ,શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $4 \, m$ છે.

(B) ધારો કે નળાકાર અને શંકુ બંનેની ત્રિજ્યા $r$ છે.
ધારો કે નળાકારની ઊંચાઈ $h$ છે અને શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l$ છે.
આપેલ છે કે નળાકારની ઊંચાઈ એ શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ જેટલી છે,તેથી $h = l$.
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi r h$ થાય.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r l$ થાય.
અહીં $h = l$ હોવાથી,શંકુની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં $l$ ની જગ્યાએ $h$ મૂકતા: $CSA_{cone} = \pi r h$.
નળાકાર અને શંકુની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{2 \pi r h}{\pi r h} = \frac{2}{1}$ થાય.
તેથી,જરૂરી ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(A) $1 \, m$ બાજુવાળા સમઘનનું ઘનફળ $V_{cube} = (1)^3 = 1 \, m^3$ થાય.
આ સમઘનમાંથી કાપવામાં આવતા મહત્તમ ઘનફળવાળા નળાકાર માટે,તેના પાયાનો વ્યાસ સમઘનની બાજુ જેટલો ($d = 1 \, m$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 0.5 \, m$) અને ઊંચાઈ સમઘનની બાજુ જેટલી $(h = 1 \, m)$ હોવી જોઈએ.
નળાકારનું ઘનફળ $V_{cylinder} = \pi r^2 h = \pi \times (0.5)^2 \times 1 = \frac{\pi}{4} \, m^3$ થાય.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા,નળાકારનું ઘનફળ $V_{cylinder} = \frac{22}{7 \times 4} = \frac{11}{14} \, m^3$ થાય.
બાકી રહેલા લાકડાનું ઘનફળ $V_{remaining} = V_{cube} - V_{cylinder} = 1 - \frac{11}{14} = \frac{3}{14} \, m^3$ થાય.

(C) નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V_{\text{cylinder}} = \pi r^2 h$ છે,જ્યાં $r$ ત્રિજ્યા છે અને $h$ ઊંચાઈ છે.
અહીં $h = 3 \text{ cm}$ આપેલ છે,તેથી $V_{\text{cylinder}} = \pi r^2 (3) = 3 \pi r^2 \text{ cm}^3$.
શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V_{\text{cone}} = \frac{1}{3} \pi r^2 H$ છે,જ્યાં $H$ એ શંકુની ઊંચાઈ છે.
નળાકારને સમાન ત્રિજ્યાવાળા શંકુમાં ઓગાળીને બનાવવામાં આવતો હોવાથી,બંનેના ઘનફળ સમાન રહેશે.
તેથી,$3 \pi r^2 = \frac{1}{3} \pi r^2 H$.
બંને બાજુ $\pi r^2$ વડે ભાગતા,આપણને $3 = \frac{1}{3} H$ મળે છે.
$3$ વડે ગુણતા,$H = 9 \text{ cm}$ મળે છે.

(C) વરસાદના પાણીનું કુલ કદ = ક્ષેત્રફળ $\times$ ઊંચાઈ.
આપેલ છે,ક્ષેત્રફળ = $1\, km^2 = (1000\, m)^2 = 1,000,000\, m^2$.
ઊંચાઈ = $2\, cm = 0.02\, m$.
કુલ કદ = $1,000,000\, m^2 \times 0.02\, m = 20,000\, m^3$.
એકત્રિત કરેલ પાણીનું કદ = $20,000\, m^3$ ના $50\% = 0.5 \times 20,000 = 10,000\, m^3$.
પૂલના પાયાનું ક્ષેત્રફળ = $100\, m \times 10\, m = 1,000\, m^2$.
પાણીના સ્તરમાં વધારો = $\frac{\text{એકત્રિત કરેલ કદ}}{\text{પૂલના પાયાનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{10,000\, m^3}{1,000\, m^2} = 10\, m$.
તેથી,પૂલમાં પાણીનું સ્તર $10\, m$ જેટલું વધશે.

(B) આપેલ છે: લંબ ઊંચાઈ $h = 4 \frac{2}{3} \text{ m} = \frac{14}{3} \text{ m}$.
પાયાનો વ્યાસ $d = 6 \text{ m}$,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = 3 \text{ m}$.
શંકુ આકારના તંબુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (3)^2 \times \frac{14}{3}$.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 9 \times \frac{14}{3} = 22 \times 2 = 44 \text{ m}^3$.
તંબુમાં $11$ વ્યક્તિઓ સૂઈ શકે છે,તેથી વ્યક્તિ દીઠ સરેરાશ હવાનું ઘનફળ $= \frac{\text{કુલ ઘનફળ}}{\text{વ્યક્તિઓની સંખ્યા}} = \frac{44}{11} = 4 \text{ m}^3$.

(A) આપેલ છે,શંકુ આકારના તંબુની ઊંચાઈ,$h = 9\, m$.
પાયાનો પરિઘ $= 2\pi r = 44\, m$.
$2 \times \frac{22}{7} \times r = 44$.
$r = \frac{44 \times 7}{2 \times 22} = 7\, m$.
તંબુમાં રહેલી હવાનું ઘનફળ એ શંકુના ઘનફળ જેટલું હોય છે,$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 \times 9$.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 49 \times 9$.
$V = 22 \times 7 \times 3 = 462\, m^3$.

(C) શંકુ આકારના પાત્રનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
આપેલ કિંમતો $r = 2 \ cm$ અને $h = 3 \ cm$ મૂકતા:
$V = \frac{1}{3} \times \pi \times (2)^2 \times 3 = 4\pi \ cm^3$.
જ્યારે આ પ્રવાહીને $R = 2 \ cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નળાકાર પાત્રમાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે ધારો કે કેરોસીનના સ્તરની ઊંચાઈ $h_{jar}$ છે.
પ્રવાહીનું ઘનફળ સમાન રહે છે,તેથી નળાકારમાં પ્રવાહીનું ઘનફળ $V = \pi R^2 h_{jar}$ થશે.
$4\pi = \pi \times (2)^2 \times h_{jar}$.
$4\pi = 4\pi \times h_{jar}$.
તેથી,$h_{jar} = 1 \ cm$.

(B) ધારો કે નક્કર નળાકારની ત્રિજ્યા $r\,cm$ છે અને તેની ઊંચાઈ $H = 9\,cm$ છે।
પોલા નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi(R^2 - r_{in}^2)h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $R = 4.3\,cm$,$r_{in} = 1.1\,cm$,અને $h = 3\,cm$.
$V = \pi(4.3^2 - 1.1^2) \times 3 = \pi(18.49 - 1.21) \times 3 = \pi(17.28) \times 3 = 51.84\pi\,cm^3$.
નક્કર નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 H$ છે। અહીં $H = 9\,cm$ આપેલ છે:
$51.84\pi = \pi r^2 \times 9$.
$r^2 = \frac{51.84}{9} = 5.76$.
$r = \sqrt{5.76} = 2.4\,cm$.

(C) ધારો કે નળાકારની ઊંચાઈ $H$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે. શંકુ નળાકાર પર બરાબર બંધ બેસતો હોવાથી,શંકુની ત્રિજ્યા પણ $r$ થશે.
નળાકારનું ઘનફળ $V_{cyl} = \pi r^2 H$ છે.
શંકુનું ઘનફળ $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
ઘન પદાર્થનું કુલ ઘનફળ $V_{total} = V_{cyl} + V_{cone} = \pi r^2 H + \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$V_{total} = 3 \times V_{cone}$.
તેથી,$\pi r^2 H + \frac{1}{3} \pi r^2 h = 3 \times (\frac{1}{3} \pi r^2 h)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\pi r^2 H + \frac{1}{3} \pi r^2 h = \pi r^2 h$.
બંને બાજુથી $\frac{1}{3} \pi r^2 h$ બાદ કરતા:
$\pi r^2 H = \pi r^2 h - \frac{1}{3} \pi r^2 h$.
$\pi r^2 H = \frac{2}{3} \pi r^2 h$.
બંને બાજુ $\pi r^2$ વડે ભાગતા,આપણને $H = \frac{2}{3} h$ મળે છે.

(D) $1$. કૂવામાંથી ખોદવામાં આવેલી માટીનું ઘનફળ શોધો:
કૂવાની ત્રિજ્યા $(r)$ = $11.2 / 2 = 5.6 \, m$.
કૂવાની ઊંડાઈ $(h)$ = $8 \, m$.
ઘનફળ $(V)$ = $\pi r^2 h = (22/7) \times (5.6)^2 \times 8 = 788.48 \, m^3$.
$2$. વર્તુળાકાર પાળનું ક્ષેત્રફળ શોધો:
પાળની પહોળાઈ $7 \, m$ છે. આંતરિક ત્રિજ્યા $r = 5.6 \, m$ અને બાહ્ય ત્રિજ્યા $(R)$ = $5.6 + 7 = 12.6 \, m$ છે.
પાળનું ક્ષેત્રફળ = $\pi (R^2 - r^2) = \pi (12.6^2 - 5.6^2) = \pi (7)(18.2) = 400.4 \, m^2$.
$3$. પાળની ઊંચાઈ $(H)$ શોધો:
માટીનું ઘનફળ = પાળનું ક્ષેત્રફળ $\times$ પાળની ઊંચાઈ $(H)$.
$788.48 = 400.4 \times H$.
$H = 788.48 / 400.4 \approx 1.97 \, m$.

(A) નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A_{cylinder} = 2 \pi r h$ છે,જ્યાં $r$ ત્રિજ્યા છે અને $h$ ઊંચાઈ છે.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A_{cone} = \pi r l$ છે,જ્યાં $r$ ત્રિજ્યા છે અને $l$ તિર્યક ઊંચાઈ છે.
અહીં આપેલ છે કે શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l = 2h$ છે અને નળાકારના પાયાની ત્રિજ્યા $r$ સમાન છે,તેથી શંકુનું ક્ષેત્રફળ:
$A_{cone} = \pi \times r \times (2h) = 2 \pi r h$ થાય.
બંને ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર લેતા:
ગુણોત્તર $= A_{cylinder} : A_{cone} = 2 \pi r h : 2 \pi r h = 1 : 1$.

(B) શંકુનું ઘનફળ $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ ત્રિજ્યા છે અને $h_1$ શંકુની ઊંચાઈ છે.
નળાકારનું ઘનફળ $V_{cylinder} = \pi r^2 h_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ ત્રિજ્યા છે અને $h_2$ નળાકારની ઊંચાઈ છે.
જ્યારે એક આકારને બીજા આકારમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેમનું ઘનફળ સમાન રહે છે: $V_{cone} = V_{cylinder}$.
$\frac{1}{3} \pi r^2 h_1 = \pi r^2 h_2$.
અહીં ત્રિજ્યા સમાન છે અને નળાકારની ઊંચાઈ $h_2 = 5\, cm$ આપેલ છે,તેથી બંને બાજુથી $\pi r^2$ ઉડાડતા:
$\frac{1}{3} h_1 = 5$.
$h_1 = 5 \times 3 = 15\, cm$.
તેથી,શંકુની ઊંચાઈ $15\, cm$ છે.

(A) સમઘનનું ઘનફળ $V_{cube} = a^3 = 343 \, c.c.$ છે.
તેથી,સમઘનની બાજુની લંબાઈ $a = \sqrt[3]{343} = 7 \, cm$ છે.
શંકુને સમઘનની અંદર એવી રીતે ગોઠવવામાં આવ્યો છે કે તેનો પાયો સમઘનની એક બાજુની ધારને સ્પર્શે છે,તેથી શંકુના પાયાનો વ્યાસ સમઘનની બાજુ જેટલો થાય,$d = 7 \, cm$. તેથી,ત્રિજ્યા $r = 3.5 \, cm$ થાય.
શંકુની ઊંચાઈ સમઘનની બાજુ જેટલી જ હોય,એટલે કે $h = 7 \, cm$.
શંકુનું ઘનફળ $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$V_{cone} = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \times 7$.
$V_{cone} = \frac{1}{3} \times 22 \times 12.25 = \frac{269.5}{3} \approx 89.83 \, c.c.$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,ઘનફળ આશરે $90 \, c.c.$ થાય.

(C) શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $r = 50 \ cm$ અને $h = 25 \ cm$ આપેલ છે,તેથી ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi (50)^2 (25) = \frac{62500 \pi}{3} \ cm^3$ થાય.
જ્યારે શંકુને ઓગાળીને ગોળામાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઘનફળ સમાન રહે છે. ધારો કે ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
ગોળાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi R^3$.
બંને ઘનફળને સરખાવતા: $\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{62500 \pi}{3}$.
$4 R^3 = 62500 \Rightarrow R^3 = 15625$.
ઘનમૂળ લેતા,$R = \sqrt[3]{15625} = 25 \ cm$ મળે.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi R^2$ છે.
$A = 4 \times \frac{22}{7} \times (25)^2 = 4 \times \frac{22}{7} \times 625 = \frac{55000}{7} \approx 7857.14 \ cm^2$.

(A) ધારો કે ત્રિજ્યા $r = 5x$ અને ઊંચાઈ $h = 12x$ છે.
શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
આપેલ છે કે $V = 314 \frac{3}{7} = \frac{2200}{7} \text{ m}^3$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (5x)^2 \times (12x) = \frac{2200}{7}$.
$\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 25x^2 \times 12x = \frac{2200}{7}$.
$\frac{22}{7} \times 100x^3 = \frac{2200}{7}$.
$100x^3 = 100$.
$x^3 = 1$,તેથી $x = 1$.
આમ,ત્રિજ્યા $r = 5x = 5 \times 1 = 5 \text{ m}$ થાય.

(A) ધારો કે પાયાની ત્રિજ્યા $r$ છે. તેમની ઊંચાઈ સમાન હોવાથી,શંકુ અને નળાકારની ઊંચાઈ $h = r$ થશે.
$1$. શંકુનું ઘનફળ: $V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^2 (r) = \frac{1}{3} \pi r^3$.
$2$. અર્ધગોલકનું ઘનફળ: $V_2 = \frac{2}{3} \pi r^3$.
$3$. નળાકારનું ઘનફળ: $V_3 = \pi r^2 h = \pi r^2 (r) = \pi r^3$.
ગુણોત્તર $V_1 : V_2 : V_3 = \frac{1}{3} \pi r^3 : \frac{2}{3} \pi r^3 : \pi r^3$.
$\frac{1}{3} \pi r^3$ વડે ભાગતા,આપણને $1 : 2 : 3$ ગુણોત્તર મળે છે.

(C) શંકુ આકારના તંબુનો વ્યાસ $12 \ m$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{12}{2} = 6 \ m$ થાય.
તિર્યક ઊંચાઈ $l = 6.3 \ m$ છે.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi r l$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $A = \frac{22}{7} \times 6 \times 6.3 = 22 \times 6 \times 0.9 = 118.8 \ m^2$.
કેનવાસ લંબચોરસ છે જેની પહોળાઈ $w = 2 \ m$ છે. ધારો કે તેની લંબાઈ $L$ છે.
કેનવાસનું ક્ષેત્રફળ એ તંબુની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોવું જોઈએ: $L \times w = A$.
$L \times 2 = 118.8$.
$L = \frac{118.8}{2} = 59.4 \ m$.

(C) ધારો કે નળાકારની પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે.
પ્રારંભિક ઘનફળ $V_{1}$ નું સૂત્ર $V_{1} = \pi r^{2} h$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવી ત્રિજ્યા $r' = 2r$ અને નવી ઊંચાઈ $h' = \frac{h}{2}$ છે.
નવું ઘનફળ $V_{2} = \pi (r')^{2} h' = \pi (2r)^{2} \left(\frac{h}{2}\right)$ થશે.
$V_{2}$ માટેના પદને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $V_{2} = \pi (4r^{2}) \left(\frac{h}{2}\right) = 2 \pi r^{2} h$ મળે છે.
નવા ઘનફળ અને અગાઉના ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{2 \pi r^{2} h}{\pi r^{2} h} = \frac{2}{1}$ થાય છે.
તેથી,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(C) તંબુના પાયાની ત્રિજ્યા $r = 105/2 = 52.5\, m$ છે.
નળાકાર ભાગની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $2\pi rh = 2 \times (22/7) \times 52.5 \times 3 = 990\, m^2$ છે.
શંકુ આકારના ભાગની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $\pi rl = (22/7) \times 52.5 \times 53 = 8745\, m^2$ છે.
જરૂરી કેનવાસનું કુલ ક્ષેત્રફળ આ બંને ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો છે: $990 + 8745 = 9735\, m^2$.
કેનવાસની પહોળાઈ $5\, m$ આપેલી હોવાથી,કેનવાસની લંબાઈ: $\text{લંબાઈ} = \text{કુલ ક્ષેત્રફળ} / \text{પહોળાઈ} = 9735 / 5 = 1947\, m$ થાય.

(A) ધારો કે શંકુની પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r$ છે અને પ્રારંભિક તિર્યક ઊંચાઈ $l$ છે.
શંકુનું પ્રારંભિક વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi rl$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવી ત્રિજ્યા $r' = r + 0.20r = 1.2r$ છે.
નવી તિર્યક ઊંચાઈ $l' = 2l$ છે.
શંકુનું નવું વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi r' l' = \pi (1.2r)(2l) = 2.4 \pi rl$ છે.
વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થયેલો વધારો $\Delta A = A_2 - A_1 = 2.4 \pi rl - \pi rl = 1.4 \pi rl$ છે.
ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta A}{A_1} \times 100 = \frac{1.4 \pi rl}{\pi rl} \times 100 = 140 \%$ છે.
તેથી,શંકુની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં $140 \%$ નો વધારો થશે.

(C) શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા $r = 5 \, m$ અને ઊંચાઈ $h = 12 \, m$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l$ ની ગણતરી $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરીશું.
$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, m$.
શંકુ આકારના તંબુ માટે જરૂરી કેનવાસનું ક્ષેત્રફળ એ શંકુની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે,જેનું સૂત્ર $\pi r l$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \pi \times 5 \times 13 = 65 \pi \, m^2$.
આમ,જરૂરી ક્ષેત્રફળ $65 \pi \, m^2$ છે.

(A) $1$. લંબચોરસ બ્લોકનું ઘનફળ શોધો: $V_{\text{block}} = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ} = 10 \text{ cm} \times 5 \text{ cm} \times 2 \text{ cm} = 100 \text{ cm}^3$.
$2$. શંકુનું ઘનફળ શોધો: $V_{\text{cone}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (3 \text{ cm})^2 \times 7 \text{ cm} = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 9 \times 7 = 66 \text{ cm}^3$.
$3$. બગડેલા લાકડાનું ઘનફળ શોધો: $V_{\text{wasted}} = V_{\text{block}} - V_{\text{cone}} = 100 \text{ cm}^3 - 66 \text{ cm}^3 = 34 \text{ cm}^3$.
$4$. બગડેલા લાકડાની ટકાવારી શોધો: $\text{ટકાવારી} = \left( \frac{V_{\text{wasted}}}{V_{\text{block}}} \right) \times 100 = \left( \frac{34}{100} \right) \times 100 = 34 \%$.

(B) આપેલ છે:
શંકુ આકારના મકબરાનો વ્યાસ $(d)$ = $28\, m$.
ત્રિજ્યા $(r)$ = $d / 2 = 28 / 2 = 14\, m$.
તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ = $50\, m$.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર:
$CSA = \pi r l$
$CSA = (22 / 7) \times 14 \times 50$
$CSA = 22 \times 2 \times 50 = 2200\, m^2$.
સફેદ રંગ કરવાનો દર $80$ પૈસા પ્રતિ $m^2$ છે,જે $Rs. 0.80$ પ્રતિ $m^2$ થાય.
કુલ ખર્ચ = $CSA \times \text{દર}$
કુલ ખર્ચ = $2200 \times 0.80 = Rs. 1760$.

(A) આપેલ છે: લંબચોરસ શીટનું ક્ષેત્રફળ $= 264 \text{ cm}^2$,પહોળાઈ $= 11 \text{ cm}$.
શીટની લંબાઈ $= \frac{\text{ક્ષેત્રફળ}}{\text{પહોળાઈ}} = \frac{264}{11} = 24 \text{ cm}$.
જ્યારે શીટને તેની પહોળાઈની દિશામાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે શીટની પહોળાઈ એ નળાકારના પાયાનો પરિઘ બને છે અને શીટની લંબાઈ એ નળાકારની ઊંચાઈ બને છે.
પરિઘ $= 2\pi r = 11 \text{ cm}$.
$r = \frac{11}{2\pi} = \frac{11 \times 7}{2 \times 22} = \frac{7}{4} \text{ cm}$.
ઊંચાઈ $(h) = 24 \text{ cm}$.
નળાકારનું ઘનફળ $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (\frac{7}{4})^2 \times 24$.
ઘનફળ $= \frac{22}{7} \times \frac{49}{16} \times 24 = 22 \times \frac{7}{16} \times 24 = 231 \text{ cm}^3$.

(C) ધારો કે નળાકાર અને શંકુની ઊંચાઈઓ અનુક્રમે $h_1 = 2x$ અને $h_2 = 3x$ છે.
ધારો કે નળાકાર અને શંકુની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે $r_1 = 3y$ અને $r_2 = 4y$ છે.
નળાકારનું ઘનફળ $V_1 = \pi r_1^2 h_1$ દ્વારા મળે છે.
શંકુનું ઘનફળ $V_2 = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2$ દ્વારા મળે છે.
તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h_1}{\frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2} = \frac{3 r_1^2 h_1}{r_2^2 h_2}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{3 \times (3y)^2 \times (2x)}{(4y)^2 \times (3x)} = \frac{3 \times 9y^2 \times 2x}{16y^2 \times 3x} = \frac{54}{48} = \frac{9}{8}$.
આમ,તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $9:8$ છે.

(A) શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ ઊંચાઈ છે.
ધારો કે મૂળ ઘનફળ $V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
જો ઊંચાઈ બમણી કરવામાં આવે,તો નવી ઊંચાઈ $h' = 2h$ થાય.
નવું ઘનફળ $V_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 (2h) = 2 \times (\frac{1}{3} \pi r^2 h) = 2V_1$ થાય.
ઘનફળમાં વધારો $V_2 - V_1 = 2V_1 - V_1 = V_1$ છે.
ટકાવારીમાં વધારો $\frac{\text{વધારો}}{\text{મૂળ ઘનફળ}} \times 100 = \frac{V_1}{V_1} \times 100 = 100 \%$ થાય.

(B) બાજુવાળા સમઘનનું ઘનફળ $V = a^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ત્રણ સમઘનનું ઘનફળ અનુક્રમે $3^3 = 27 \text{ cm}^3$,$4^3 = 64 \text{ cm}^3$ અને $5^3 = 125 \text{ cm}^3$ છે.
જ્યારે આ સમઘનને ઓગાળીને એક નવો સમઘન બનાવવામાં આવે છે,ત્યારે નવા સમઘનનું કુલ ઘનફળ એ ત્રણેય વ્યક્તિગત સમઘનના ઘનફળના સરવાળા જેટલું હોય છે.
કુલ ઘનફળ $= 27 + 64 + 125 = 216 \text{ cm}^3$.
ધારો કે નવા સમઘનની બાજુ $S$ છે. તેથી $S^3 = 216$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$S = \sqrt[3]{216} = 6 \text{ cm}$.

(D) ધારો કે શંકુની મૂળ ત્રિજ્યા $r$ છે અને મૂળ ઊંચાઈ $h$ છે.
શંકુનું મૂળ ઘનફળ $V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈ બંનેમાં $100 \%$ નો વધારો થતો હોવાથી,નવી ત્રિજ્યા $r' = r + 100 \% \text{ of } r = 2r$ અને નવી ઊંચાઈ $h' = h + 100 \% \text{ of } h = 2h$ થશે.
શંકુનું નવું ઘનફળ $V_2 = \frac{1}{3} \pi (r')^2 (h') = \frac{1}{3} \pi (2r)^2 (2h)$ થશે.
$V_2 = \frac{1}{3} \pi (4r^2) (2h) = 8 \times (\frac{1}{3} \pi r^2 h) = 8 V_1$.
તેથી,શંકુનું ઘનફળ મૂળ ઘનફળ કરતા $8$ ગણું થશે.

(C) ધારો કે ગોલકની મૂળ ત્રિજ્યા $r$ છે.
મૂળ ઘનફળ $V_1 = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
જો ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે,તો નવી ત્રિજ્યા $R = 2r$ થાય.
નવું ઘનફળ $V_2 = \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = \frac{4}{3} \pi (8r^3) = 8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = 8V_1$ થાય.
ઘનફળમાં થતો વધારો $V_2 - V_1 = 8V_1 - V_1 = 7V_1$ છે.
ટકાવારીમાં વધારો $\frac{\text{વધારો}}{\text{મૂળ ઘનફળ}} \times 100 = \frac{7V_1}{V_1} \times 100 = 700 \%$ થાય.