Measurement of Volume and Surface Area Questions in Gujarati

(A) $5$ વ્યક્તિઓ માટે જરૂરી કુલ જમીનનો વિસ્તાર $= 16 \times 5 = 80\, m^2$.
$5$ વ્યક્તિઓ માટે જરૂરી હવાનું કુલ કદ $= 100 \times 5 = 500\, m^3$.
શંકુનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \times A \times h$ છે,જ્યાં $A$ એ પાયાનું ક્ષેત્રફળ છે અને $h$ એ ઊંચાઈ છે.
સૌથી નાના તંબુ માટે,આપણે પાયાનું ક્ષેત્રફળ $A = 80\, m^2$ અને ઘનફળ $V = 500\, m^3$ લઈએ છીએ.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $500 = \frac{1}{3} \times 80 \times h$.
$h$ માટે ઉકેલતા: $h = \frac{500 \times 3}{80} = \frac{1500}{80} = \frac{150}{8} = 18.75\, m$.

(B) ધારો કે મોટા શંકુની ઊંચાઈ $H = 30 \, cm$ છે અને નાના શંકુની ઊંચાઈ $h$ છે.
ધારો કે મોટા શંકુનું ઘનફળ $V$ છે અને નાના શંકુનું ઘનફળ $v$ છે.
નાનો શંકુ પાયાને સમાંતર સમતલ દ્વારા કાપવામાં આવતો હોવાથી,નાનો શંકુ અને મોટો શંકુ સમરૂપ છે.
તેથી,તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર તેમની ઊંચાઈના ગુણોત્તરના ઘન જેટલો હોય છે:
$\frac{v}{V} = \left( \frac{h}{H} \right)^3$
આપેલ છે કે $\frac{v}{V} = \frac{1}{27}$,તેથી:
$\frac{1}{27} = \left( \frac{h}{30} \right)^3$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$\frac{1}{3} = \frac{h}{30}$
$h = \frac{30}{3} = 10 \, cm$
આ છેદ પાયાથી કેટલી ઊંચાઈએ બનાવવામાં આવ્યો છે તે મોટા શંકુની ઊંચાઈ અને નાના શંકુની ઊંચાઈ વચ્ચેનો તફાવત છે:
પાયાથી ઊંચાઈ $= H - h = 30 - 10 = 20 \, cm$.

(C) ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $A = 4 \pi r^{2}$ છે.
અહીં $A = 346.5 \, cm^{2}$ અને $\pi = \frac{22}{7}$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$4 \times \frac{22}{7} \times r^{2} = 346.5$
$\Rightarrow r^{2} = \frac{346.5 \times 7}{4 \times 22}$
$\Rightarrow r^{2} = \frac{2425.5}{88}$
$\Rightarrow r^{2} = 27.5625$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$r = \sqrt{27.5625} = 5.25 \, cm$.
આમ,ગોળાની ત્રિજ્યા $5.25 \, cm$ છે.

(A) પિરામિડનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર: $V = \frac{1}{3} \times A \times h$ છે,જ્યાં $V$ એ ઘનફળ છે,$A$ એ પાયાનું ક્ષેત્રફળ છે અને $h$ એ ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે: $V = 500\, m^{3}$ અને $A = 30\, m^{2}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$500 = \frac{1}{3} \times 30 \times h$
$500 = 10 \times h$
$h = \frac{500}{10} = 50\, m$.
આમ,પિરામિડની ઊંચાઈ $50\, m$ છે.

(A) પાયો એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેની બાજુઓ $a = 5 \, cm$ અને $b = 12 \, cm$ છે.
કર્ણ $c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, cm$.
પાયાની પરિમિતિ $P = 5 + 12 + 13 = 30 \, cm$.
પ્રિઝમની પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ $= P \times \text{ઊંચાઈ} = 30 \times 10 = 300 \, cm^2$.
ત્રિકોણાકાર પાયાનું ક્ષેત્રફળ $A_{base} = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30 \, cm^2$.
પ્રિઝમનું કુલ પૃષ્ઠફળ $= \text{પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ} + 2 \times A_{base} = 300 + 2(30) = 300 + 60 = 360 \, cm^2$.

(A) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણાકાર પાયાની બાજુ $a$ છે અને પ્રિઝમની ઊંચાઈ $h$ છે.
પ્રિઝમની પાર્શ્વ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 3 \times a \times h = 120 \, cm^2$.
$\therefore a \times h = \frac{120}{3} = 40 \, cm^2 \dots (1)$
પ્રિઝમનું ઘનફળ $=$ પાયાનું ક્ષેત્રફળ $\times$ ઊંચાઈ $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \times h = 40 \sqrt{3} \, cm^3$.
$\Rightarrow a^2 \times h = \frac{40 \sqrt{3} \times 4}{\sqrt{3}} = 160 \, cm^3 \dots (2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{a^2 \times h}{a \times h} = \frac{160}{40}$
$a = 4 \, cm$.
આમ,પાયાની બાજુનું માપ $4 \, cm$ છે.

(D) સીસાના દડાનો વ્યાસ $4\, cm$ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r = 2\, cm$ છે.
સીસાનું કદ $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (2)^3 = \frac{4}{3} \pi (8) = \frac{32}{3} \pi\, cm^3$.
ધારો કે સોનાના સ્તરની જાડાઈ $x\, cm$ છે.
દડાની કુલ ત્રિજ્યા (સીસું + સોનું) $(2 + x)\, cm$ થાય છે.
સોનાના સ્તરનું કદ એ કુલ કદ અને સીસાના દડાના કદ વચ્ચેનો તફાવત છે:
સોનાનું કદ $= \frac{4}{3} \pi (2 + x)^3 - \frac{4}{3} \pi (2)^3$.
પ્રશ્ન મુજબ,સોનાનું કદ સીસાના કદ જેટલું છે:
$\frac{4}{3} \pi ((2 + x)^3 - 2^3) = \frac{4}{3} \pi (2^3)$.
$(2 + x)^3 - 8 = 8$.
$(2 + x)^3 = 16$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$2 + x = \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \times 2} = 2 \times \sqrt[3]{2}$.
આપેલ છે $\sqrt[3]{2} = 1.259$,તેથી:
$2 + x = 2 \times 1.259 = 2.518$.
$x = 2.518 - 2 = 0.518\, cm$.

(D) ધારો કે મોટા ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
મોટા ગોળાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi R^3$.
$R$ ત્રિજ્યા અને $R$ ઊંચાઈ ધરાવતા શંકુનું ઘનફળ $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi R^3$.
ધારો કે એક શંકુને ઓગાળીને બનતા નાના ગોળાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
નાના ગોળાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3$.
ઘનફળને સરખાવતા: $\frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{1}{3} \pi R^3$.
$4r^3 = R^3 \Rightarrow r^3 = \frac{R^3}{4} \Rightarrow r = \frac{R}{4^{1/3}} = \frac{R}{2^{2/3}}$.
નાના ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને મોટા ગોળાની સપાટીના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{4 \pi r^2}{4 \pi R^2} = \frac{r^2}{R^2}$ થાય.
$r$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{(R / 2^{2/3})^2}{R^2} = \frac{R^2 / 2^{4/3}}{R^2} = \frac{1}{2^{4/3}}$.
આમ,ગુણોત્તર $1 : 2^{4/3}$ છે.

(A) આઈસ્ક્રીમનું કુલ ઘનફળ એ અર્ધગોળાના ઘનફળ અને શંકુના ઘનફળનો સરવાળો છે.
આપેલ છે કે,અર્ધગોળાની ત્રિજ્યા $r = 7 \, cm$.
અર્ધગોળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા શંકુની ઊંચાઈ જેટલી હોવાથી,શંકુની ઊંચાઈ $h = 7 \, cm$.
અર્ધગોળાનું ઘનફળ $= \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 7^3 = \frac{2}{3} \times 22 \times 49 = \frac{2156}{3} \, cm^3$.
શંકુનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7^2 \times 7 = \frac{1}{3} \times 22 \times 49 = \frac{1078}{3} \, cm^3$.
કુલ ઘનફળ $= \frac{2156}{3} + \frac{1078}{3} = \frac{3234}{3} = 1078 \, cm^3$.

(C) ધારો કે ઘનની મૂળ બાજુ $s$ છે. મૂળ ઘનફળ $V_1 = s^3$ છે.
જો બાજુમાં $10 \%$ નો વધારો કરવામાં આવે,તો નવી બાજુ $s' = s + 0.1s = 1.1s$ થશે.
નવું ઘનફળ $V_2 = (1.1s)^3 = 1.331s^3$ થશે.
ઘનફળમાં થતો વધારો $V_2 - V_1 = 1.331s^3 - s^3 = 0.331s^3$ છે.
ઘનફળમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{0.331s^3}{s^3} \times 100 \% = 33.1 \%$ છે.

(D) લંબચોરસ પ્લોટ $LMNO$ નું ક્ષેત્રફળ $= 36 \times 28 = 1008 \, m^{2}$.
રસ્તાઓનું ક્ષેત્રફળ = લંબાઈને સમાંતર રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ + પહોળાઈને સમાંતર રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ - સામાન્ય છેદતા ચોરસ $PQRS$ નું ક્ષેત્રફળ.
રસ્તાઓનું ક્ષેત્રફળ $= (36 \times 5) + (28 \times 5) - (5 \times 5) = 180 + 140 - 25 = 295 \, m^{2}$.
રસ્તાઓ દ્વારા આવરી લેવાયેલ વિસ્તારને બાદ કરતાં લંબચોરસ પ્લોટનું ક્ષેત્રફળ $= 1008 - 295 = 713 \, m^{2}$.
પ્લોટમાં કાંકરી પાથરવાનો કુલ ખર્ચ $= 713 \times 3.60 = ₹ 2566.80$.

(A) આપેલ છે: શંકુની ઊંચાઈ $h = 12\, cm$ અને શંકુની ત્રિજ્યા $R = 6\, cm$.
ધારો કે અર્ધગોળાની ત્રિજ્યા (જે ગોળાની ત્રિજ્યા જેટલી જ છે) $r\, cm$ છે.
અર્ધગોળાનું ઘનફળ $V_h = \frac{2}{3} \pi r^3$ છે.
શંકુનું ઘનફળ $V_c = \frac{1}{3} \pi R^2 h$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$8$ અર્ધગોળાકાર વાટકા શંકુ આકારના પાત્રને ભરે છે:
$8 \times V_h = V_c$
$8 \times \left( \frac{2}{3} \pi r^3 \right) = \frac{1}{3} \pi R^2 h$
કિંમતો મૂકતા:
$8 \times \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{1}{3} \pi (6)^2 (12)$
બંને બાજુ $\frac{1}{3} \pi$ વડે ભાગતા:
$16 r^3 = 36 \times 12$
$16 r^3 = 432$
$r^3 = \frac{432}{16} = 27$
$r = \sqrt[3]{27} = 3\, cm$.
આમ,ગોળાની ત્રિજ્યા $3\, cm$ છે.

(A) કાટકોણ $\Delta DAB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$BD = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\, cm$.
$\Delta DAB$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times AB \times AD = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54\, cm^2$.
$\Delta BCD$ માટે,બાજુઓ $BC = 14\, cm$,$CD = 13\, cm$ અને $BD = 15\, cm$ છે. અર્ધ-પરિમિતિ $S = \frac{14 + 13 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21\, cm$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\Delta BCD$ નું ક્ષેત્રફળ = $\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)} = \sqrt{21(21-14)(21-13)(21-15)} = \sqrt{21 \times 7 \times 8 \times 6} = \sqrt{7056} = 84\, cm^2$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ = $\Delta DAB$ નું ક્ષેત્રફળ + $\Delta BCD$ નું ક્ષેત્રફળ = $54 + 84 = 138\, cm^2$.
પ્રિઝમનું ઘનફળ = પાયાનું ક્ષેત્રફળ $\times$ ઊંચાઈ.
$2070 = 138 \times h \implies h = \frac{2070}{138} = 15\, cm$.
પાર્શ્વ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(LSA)$ = પાયાની પરિમિતિ $\times$ ઊંચાઈ.
પરિમિતિ = $AB + BC + CD + DA = 9 + 14 + 13 + 12 = 48\, cm$.
$LSA$ = $48 \times 15 = 720\, cm^2$.

(D) ધારો કે નળાકારની ત્રિજ્યા $r$ છે અને તેની ઊંચાઈ $h$ છે.
ધારો કે ગોલકની ત્રિજ્યા $R$ છે.
આપેલ છે કે નળાકારની ત્રિજ્યા એ ગોલકના વ્યાસ જેટલી છે,તેથી $r = 2R$,જેનો અર્થ છે કે $R = r/2$.
નળાકારનું ઘનફળ $V_c = \pi r^2 h$ છે.
ગોલકનું ઘનફળ $V_s = \frac{4}{3} \pi R^3$ છે.
બંને ઘનફળ સમાન હોવાથી,$\pi r^2 h = \frac{4}{3} \pi R^3$.
સમીકરણમાં $R = r/2$ મૂકતા:
$\pi r^2 h = \frac{4}{3} \pi (r/2)^3$
$\pi r^2 h = \frac{4}{3} \pi (r^3 / 8)$
$r^2 h = \frac{4}{24} r^3$
$r^2 h = \frac{1}{6} r^3$
બંને બાજુ $r^2$ વડે ભાગતા ($r \neq 0$ ધારતા):
$h = \frac{1}{6} r$
તેથી,નળાકારની ઊંચાઈ અને ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $h/r = 1/6$ થાય.

(C) જ્યારે લંબચોરસ શીટને તેની લંબાઈની દિશામાં વાળીને નળાકાર બનાવવામાં આવે છે,ત્યારે શીટની લંબાઈ નળાકારના પાયાનો પરિઘ બને છે અને શીટની પહોળાઈ નળાકારની ઊંચાઈ બને છે.
આપેલ છે: શીટની લંબાઈ $= 12 \, cm$,શીટની પહોળાઈ $= 5 \, cm$.
નળાકારના પાયાનો પરિઘ $= 2 \pi R = 12 \, cm$.
$R = \frac{12}{2 \pi} = \frac{6}{\pi} \, cm$.
નળાકારની ઊંચાઈ $(h) = 5 \, cm$.
નળાકારનું ઘનફળ $= \pi R^2 h = \pi \left( \frac{6}{\pi} \right)^2 \times 5$.
ઘનફળ $= \pi \times \frac{36}{\pi^2} \times 5 = \frac{180}{\pi} \, cm^3$.

(A) શંકુની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} = \pi r(r + l)$,જ્યાં $r$ એ પાયાની ત્રિજ્યા છે અને $l$ એ તિર્યક ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે: ઊંચાઈ $h = 24 \text{ cm}$,ત્રિજ્યા $r = 7 \text{ cm}$.
સૌ પ્રથમ,પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને તિર્યક ઊંચાઈ $l$ શોધો: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \text{ cm}$.
હવે,સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\text{કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{22}{7} \times 7 \times (7 + 25)$.
$= 22 \times 32 = 704 \text{ cm}^2$.

(D) ધારો કે ઈંટોની સંખ્યા $n$ છે.
ઢગલાનું ઘનફળ $= 20 \, m^3 = 20 \times 100 \times 100 \times 100 \, cm^3 = 20,000,000 \, cm^3$.
એક ઈંટનું ઘનફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ} = 25 \, cm \times 12.5 \, cm \times 8 \, cm$.
$25 \times 12.5 = 312.5$.
$312.5 \times 8 = 2500 \, cm^3$.
ઈંટો વચ્ચે કોઈ જગ્યા ન હોવાથી, ઢગલાનું કુલ ઘનફળ એ $n$ ઈંટોના કુલ ઘનફળ જેટલું થશે:
$n \times (\text{એક ઈંટનું ઘનફળ}) = \text{ઢગલાનું ઘનફળ}$.
$n \times 2500 = 20,000,000$.
$n = \frac{20,000,000}{2500} = \frac{200,000}{25} = 8000$.
તેથી, ઈંટોની સંખ્યા $8000$ છે.

(C) લંબવૃત્તીય શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
પ્રથમ શંકુ માટે:
ત્રિજ્યા $r_1 = 1.6 \ cm$,ઊંચાઈ $h_1 = 3.6 \ cm$.
ઘનફળ $V_1 = \frac{1}{3} \pi (1.6)^2 (3.6) = \pi \times 1.6 \times 1.6 \times 1.2 \ cm^3$.
જ્યારે શંકુને ઓગાળીને ફરીથી બનાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું ઘનફળ સમાન રહે છે. ધારો કે નવા શંકુની ઊંચાઈ $H$ છે.
બીજા શંકુ માટે:
ત્રિજ્યા $r_2 = 1.2 \ cm$,ઊંચાઈ $H$.
ઘનફળ $V_2 = \frac{1}{3} \pi (1.2)^2 H$.
બંને ઘનફળને સરખાવતા $(V_1 = V_2)$:
$\frac{1}{3} \pi (1.2)^2 H = \pi (1.6)^2 (1.2)$
$H = \frac{1.6 \times 1.6 \times 1.2 \times 3}{1.2 \times 1.2}$
$H = \frac{2.56 \times 3}{1.2} = \frac{7.68}{1.2} = 6.4 \ cm$.

(D) ધારો કે શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા $r$ એકમ છે.
ઘનફળ $v = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ છે.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $c = \pi r \sqrt{h^{2} + r^{2}}$ છે.
હવે,આ કિંમતોને $3 \pi v h^{3} - c^{2} h^{2} + 9 v^{2}$ માં મૂકતા:
$3 \pi v h^{3} = 3 \pi (\frac{1}{3} \pi r^{2} h) h^{3} = \pi^{2} r^{2} h^{4}$.
$c^{2} h^{2} = (\pi r \sqrt{h^{2} + r^{2}})^{2} h^{2} = \pi^{2} r^{2} (h^{2} + r^{2}) h^{2} = \pi^{2} r^{2} h^{4} + \pi^{2} r^{4} h^{2}$.
$9 v^{2} = 9 (\frac{1}{3} \pi r^{2} h)^{2} = 9 (\frac{1}{9} \pi^{2} r^{4} h^{2}) = \pi^{2} r^{4} h^{2}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(\pi^{2} r^{2} h^{4}) - (\pi^{2} r^{2} h^{4} + \pi^{2} r^{4} h^{2}) + (\pi^{2} r^{4} h^{2}) = \pi^{2} r^{2} h^{4} - \pi^{2} r^{2} h^{4} - \pi^{2} r^{4} h^{2} + \pi^{2} r^{4} h^{2} = 0$.

(D) આપેલ છે: શંકુનું ઘનફળ $V = 1232 \, m^3$,પાયાનું ક્ષેત્રફળ $A = 154 \, m^2$,કેનવાસની પહોળાઈ $w = 2 \, m$.
પગલું $1$: ત્રિજ્યા $r$ શોધો.
$A = \pi r^2 = 154$
$\frac{22}{7} \times r^2 = 154 \Rightarrow r^2 = \frac{154 \times 7}{22} = 49 \Rightarrow r = 7 \, m$.
પગલું $2$: ઊંચાઈ $h$ શોધો.
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = 1232$
$\frac{1}{3} \times 154 \times h = 1232 \Rightarrow h = \frac{1232 \times 3}{154} = 8 \times 3 = 24 \, m$.
પગલું $3$: તિર્યક ઊંચાઈ $l$ શોધો.
$l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25 \, m$.
પગલું $4$: કેનવાસનું ક્ષેત્રફળ (વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ) શોધો.
$CSA = \pi r l = \frac{22}{7} \times 7 \times 25 = 550 \, m^2$.
પગલું $5$: કેનવાસની લંબાઈ શોધો.
$Length = \frac{Area}{Width} = \frac{550}{2} = 275 \, m$.

(D) ધારો કે શંકુ આકારના ગ્લાસની ઊંચાઈ $h \text{ cm}$ છે.
ગ્લાસની ઊંચાઈ તેના કાંઠાના વ્યાસ જેટલી હોવાથી,કાંઠાની ત્રિજ્યા $r = \frac{h}{2} \text{ cm}$ થશે.
શંકુ આકારના ગ્લાસનું ઘનફળ $V_{\text{glass}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (\frac{h}{2})^2 h = \frac{\pi h^3}{12}$ છે.
પાણીના ગોળાકાર ટીપાનો વ્યાસ $\frac{1}{10} \text{ cm}$ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r_d = \frac{1}{20} \text{ cm}$ થશે.
એક ટીપાનું ઘનફળ $V_{\text{drop}} = \frac{4}{3} \pi r_d^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{1}{20})^3 = \frac{4 \pi}{3 \times 8000} = \frac{\pi}{6000} \text{ cm}^3$ છે.
આપેલ છે કે $32,000$ ટીપાં ગ્લાસને ભરે છે,તેથી $V_{\text{glass}} = 32000 \times V_{\text{drop}}$.
$\frac{\pi h^3}{12} = 32000 \times \frac{\pi}{6000}$.
$\frac{h^3}{12} = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$.
$h^3 = \frac{16}{3} \times 12 = 16 \times 4 = 64$.
$h = \sqrt[3]{64} = 4 \text{ cm}$.

(B) લંબઘન બ્લોકનું ઘનફળ $= 11 \times 10 \times 5 = 550 \text{ m}^3$.
$1 \text{ m} = 10 \text{ dm}$ હોવાથી,$1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ dm}^3$.
બ્લોકનું કુલ ઘનફળ $= 550 \times 1000 = 550,000 \text{ dm}^3$.
દરેક ગોળાકાર ગોળીનો વ્યાસ $= 5 \text{ dm}$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 2.5 \text{ dm} = \frac{5}{2} \text{ dm}$.
એક ગોળાકાર ગોળીનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times (\frac{5}{2})^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times \frac{125}{8} = \frac{125\pi}{6} \text{ dm}^3$.
આપેલ છે કે $\pi > 3$,તેથી એક ગોળીનું ઘનફળ $V_b = \frac{125\pi}{6} > \frac{125 \times 3}{6} = 62.5 \text{ dm}^3$.
ગોળીઓની સંખ્યા $n = \frac{\text{કુલ ઘનફળ}}{\text{એક ગોળીનું ઘનફળ}} = \frac{550,000}{V_b} < \frac{550,000}{62.5} = 8800$.
દરેક ગોળીનું ઘનફળ $62.5 \text{ dm}^3$ કરતા વધારે હોવાથી,ગોળીઓની કુલ સંખ્યા $8800$ કરતા ઓછી હશે.

(A) લંબઘન બ્લોકનું ઘનફળ $V = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ} = 21 \times 77 \times 24 \, cm^3$ છે.
ધારો કે ગોલકની ત્રિજ્યા $r \, cm$ છે.
બ્લોકને ઓગાળીને ગોલક બનાવવામાં આવતો હોવાથી, ગોલકનું ઘનફળ એ લંબઘન બ્લોકના ઘનફળ જેટલું જ હોય.
ગોલકનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3$.
બંને ઘનફળને સરખાવતા: $\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times r^3 = 21 \times 77 \times 24$.
$r^3$ માટે ગણતરી કરતા: $r^3 = \frac{21 \times 77 \times 24 \times 3 \times 7}{4 \times 22}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા: $r^3 = \frac{21 \times 77 \times 24 \times 21}{88} = 21 \times 7 \times 3 \times 21 = 21 \times 21 \times 21 = 21^3$.
તેથી, $r = 21 \, cm$.

(A) ધારો કે શંકુની ત્રિજ્યા $r\, cm$ છે.
આપેલ છે કે ઊંચાઈ $h = 24\, cm$ અને ઘનફળ $V = 1232\, cm^{3}$.
શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times r^{2} \times 24 = 1232$.
$r^{2} = \frac{1232 \times 3 \times 7}{22 \times 24} = 49$.
તેથી,$r = \sqrt{49} = 7\, cm$.
ત્રાંસી ઊંચાઈ $l = \sqrt{h^{2} + r^{2}} = \sqrt{24^{2} + 7^{2}} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25\, cm$.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $\pi r l = \frac{22}{7} \times 7 \times 25 = 22 \times 25 = 550\, cm^{2}$ થાય.

(A) ધારો કે ઘનની મૂળ બાજુ $a$ છે.
મૂળ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S_1 = 6a^2$ છે.
નવી બાજુની લંબાઈ $a' = a + 0.50a = 1.5a$ છે.
નવું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S_2 = 6(1.5a)^2 = 6(2.25a^2) = 13.5a^2$ છે.
સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં વધારો $= S_2 - S_1 = 13.5a^2 - 6a^2 = 7.5a^2$ છે.
ટકાવારી વધારો $= \left(\frac{7.5a^2}{6a^2}\right) \times 100 = 1.25 \times 100 = 125 \%$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર માટે ક્રમિક ટકાવારી સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{ટકાવારી ફેરફાર} = (x + y + \frac{xy}{100}) \%$,જ્યાં $x = y = 50$ છે.
ટકાવારી વધારો $= (50 + 50 + \frac{50 \times 50}{100}) \% = (100 + 25) \% = 125 \%$ છે.

(C) ધારો કે બે ગોળાઓની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે $r_1$ અને $r_2$ છે.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સપાટીના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર: $\frac{4 \pi r_1^2}{4 \pi r_2^2} = \frac{4}{9}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{4}{9}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{4}{3} \pi r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$ છે.
ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર મૂકતા: $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$.
આમ,તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $8:27$ છે.

(D) ધારો કે ઘનની મૂળ ધાર $a$ છે. મૂળ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S_1 = 6a^2$ છે.
જો ધારમાં $50 \%$ નો વધારો કરવામાં આવે,તો નવી ધાર $a' = a + 0.5a = 1.5a$ થાય.
નવું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S_2 = 6(1.5a)^2 = 6(2.25a^2) = 13.5a^2$ થાય.
સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થયેલ વધારો $S_2 - S_1 = 13.5a^2 - 6a^2 = 7.5a^2$ છે.
ટકાવારી વધારો $\frac{7.5a^2}{6a^2} \times 100 = 1.25 \times 100 = 125 \%$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ક્ષેત્રફળ માટે ક્રમિક ટકાવારી ફેરફારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $x + y + \frac{xy}{100} = 50 + 50 + \frac{50 \times 50}{100} = 100 + 25 = 125 \%$.

(D) ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ વ્યાસ $= 18 \, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 9 \, cm$.
ઘનફળ $= \frac{4}{3} \times \pi \times (9)^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 729 = 972 \pi \, cm^3$.
તાર એક નળાકાર છે જેની લંબાઈ $h = 108 \, m = 10800 \, cm$ છે.
ધારો કે તારની ત્રિજ્યા $R \, cm$ છે.
તારનું ઘનફળ $\pi R^2 h = \pi R^2 \times 10800$ થાય.
ઘનફળ સમાન રહેતું હોવાથી,$\pi R^2 \times 10800 = 972 \pi$.
$R^2 = \frac{972}{10800} = 0.09$.
$R = \sqrt{0.09} = 0.3 \, cm$.
તારનો વ્યાસ $2R = 2 \times 0.3 = 0.6 \, cm$ થાય.

(B) અર્ધવર્તુળાકાર શીટનો વ્યાસ $28 \, cm$ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $R = 14 \, cm$ છે.
જ્યારે આ શીટને શંકુમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા એ શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l$ બને છે,તેથી $l = 14 \, cm$.
શંકુના પાયાનો પરિઘ એ અર્ધવર્તુળની ચાપની લંબાઈ જેટલો હોય છે.
પાયાનો પરિઘ $= \pi R = \frac{22}{7} \times 14 = 44 \, cm$.
ધારો કે શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા $r$ છે. તો $2 \pi r = 44$.
$2 \times \frac{22}{7} \times r = 44 \implies r = 7 \, cm$.
શંકુની ઊંચાઈ $h$ એ $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{14^2 - 7^2} = \sqrt{196 - 49} = \sqrt{147} = 7\sqrt{3} \, cm$ દ્વારા મળે છે.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા,$h \approx 7 \times 1.732 = 12.124 \, cm$.
કપની ક્ષમતા (ઘનફળ) $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 7\sqrt{3} = \frac{1078\sqrt{3}}{3} \approx 622.36 \, cm^3$.

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi r^{2}$ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલકનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ છે.
આપણે $\frac{S^{3}}{V^{2}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,$S^{3} = (4 \pi r^{2})^{3} = 64 \pi^{3} r^{6}$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$V^{2} = (\frac{4}{3} \pi r^{3})^{2} = \frac{16}{9} \pi^{2} r^{6}$ મેળવો.
હવે,$S^{3}$ ને $V^{2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{S^{3}}{V^{2}} = \frac{64 \pi^{3} r^{6}}{\frac{16}{9} \pi^{2} r^{6}} = \frac{64 \pi^{3} r^{6} \times 9}{16 \pi^{2} r^{6}} = \frac{64 \times 9}{16} \times \frac{\pi^{3}}{\pi^{2}} = 4 \times 9 \times \pi = 36 \pi$.
આમ,જવાબ $36 \pi$ છે.

(C) બરફના સમઘનની ધાર $a = 14 \, cm$ છે.
આ સમઘનમાંથી સૌથી મોટો નળાકાર બનાવવા માટે,નળાકારનો વ્યાસ સમઘનની ધાર જેટલો અને નળાકારની ઊંચાઈ પણ સમઘનની ધાર જેટલી હોવી જોઈએ.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{a}{2} = \frac{14}{2} = 7 \, cm$ થશે.
ઊંચાઈ $h = a = 14 \, cm$ થશે.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 14$.
$V = 22 \times 7 \times 14 = 154 \times 14 = 2156 \, cm^3$.

(D) ધારો કે ઘનની શરૂઆતની બાજુ $x$ છે. શરૂઆતનું ઘનફળ $V_1 = x^3$ છે.
જો બાજુમાં $100 \%$ નો વધારો કરવામાં આવે,તો નવી બાજુ $x + 1.00x = 2x$ થાય છે.
નવું ઘનફળ $V_2 = (2x)^3 = 8x^3$ થાય છે.
ઘનફળમાં થયેલો વધારો $V_2 - V_1 = 8x^3 - x^3 = 7x^3$ છે.
ઘનફળમાં ટકાવારી વધારો $\frac{V_2 - V_1}{V_1} \times 100 = \frac{7x^3}{x^3} \times 100 = 700 \%$ થાય છે.

(D) નક્કર ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે. અહીં $r = 1 \, cm$ આપેલ છે,તેથી ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi (1)^3 = \frac{4}{3} \pi \, cm^3$ થાય.
તાર નળાકાર આકારનો હોય છે. નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r_w^2 h$ છે,જ્યાં $r_w$ એ તારની ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ તારની લંબાઈ છે.
અહીં $h = 100 \, cm$ આપેલ છે,તેથી તારનું ઘનફળ $V = \pi r_w^2 (100) = 100 \pi r_w^2 \, cm^3$ થાય.
ગોળાને ઓગાળીને તાર બનાવવામાં આવતો હોવાથી,બંનેના ઘનફળ સમાન હોય:
$100 \pi r_w^2 = \frac{4}{3} \pi$
બંને બાજુ $\pi$ વડે ભાગતા:
$100 r_w^2 = \frac{4}{3}$
$r_w^2 = \frac{4}{300} = \frac{1}{75}$
$r_w = \sqrt{\frac{1}{75}} = \frac{1}{\sqrt{25 \times 3}} = \frac{1}{5 \sqrt{3}}$
$\sqrt{3} = 1.732$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r_w = \frac{1}{5 \times 1.732} = \frac{1}{8.66} \approx 0.115 \, cm$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ત્રિજ્યા આશરે $0.11 \, cm$ મળે છે.

(C) ખોદવામાં આવેલી માટીનું ઘનફળ $= (7.5 \times 6 \times 0.8) \, m^3 = 36 \, m^3$.
બાકી રહેલા ખેતરનું ક્ષેત્રફળ $= (18 \times 15) - (7.5 \times 6) \, m^2 = 270 - 45 = 225 \, m^2$.
ધારો કે ખેતરની સપાટીમાં થતો વધારો $h$ મીટર છે.
માટીનું ઘનફળ બાકીના ખેતરના ક્ષેત્રફળ પર પથરાયેલું હોવાથી:
$225 \times h = 36$.
$h = \frac{36}{225} \, m = 0.16 \, m$.
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $0.16 \times 100 = 16 \, cm$.

(C) પાયાનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = 4 \sqrt{3} \text{ cm}^2$.
સમબાજુ ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્રથી કોઈપણ બાજુના મધ્યબિંદુ સુધીનું અંતર $r = \frac{1}{3} \times \text{મધ્યગા} = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \text{ cm}$ થાય.
ધારો કે પિરામિડની ઊંચાઈ $h$ છે અને ત્રાંસી ઊંચાઈ $l$ છે. આપેલ છે કે $h = \frac{l}{2}$,તેથી $l = 2h$.
ઊંચાઈ,અંતર $r$ અને ત્રાંસી ઊંચાઈ $l$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$l^2 = h^2 + r^2$ થાય.
$l = 2h$ મૂકતા,આપણને $(2h)^2 = h^2 + (\frac{2 \sqrt{3}}{3})^2$ મળે.
$4h^2 - h^2 = \frac{4 \times 3}{9} \Rightarrow 3h^2 = \frac{4}{3} \Rightarrow h^2 = \frac{4}{9} \Rightarrow h = \frac{2}{3} \text{ cm}$.
ઘનફળ $= \frac{1}{3} \times \text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ} \times h = \frac{1}{3} \times 4 \sqrt{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8 \sqrt{3}}{9} \text{ cm}^3$.

(A) પ્રથમ,પાણીની ઝડપને $km/h$ માંથી $m/h$ માં ફેરવો: $15\, km/h = 15000\, m/h$.
ત્યારબાદ,પાઇપના આડછેદના માપને $dm$ માંથી $m$ માં ફેરવો: $2\, dm = 0.2\, m$ અને $1.5\, dm = 0.15\, m$.
એક કલાકમાં પાઇપમાંથી વહેતા પાણીનું ઘનફળ: $V_{pipe} = 0.2\, m \times 0.15\, m \times 15000\, m/h = 450\, m^3/h$.
ટાંકીમાં જરૂરી પાણીનું ઘનફળ: $V_{tank} = 150\, m \times 100\, m \times 3\, m = 45000\, m^3$.
ટાંકીને $3\, m$ ની ઊંડાઈ સુધી ભરવા માટે લાગતો સમય: $\text{Time} = \frac{V_{tank}}{V_{pipe}} = \frac{45000\, m^3}{450\, m^3/h} = 100\, \text{કલાક}$.

(C) નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ $h_1 = 3\, m$ છે.
તંબુની કુલ ઊંચાઈ $H = 13.5\, m$ છે.
શંકુ આકારના ભાગની ઊંચાઈ $h_2 = H - h_1 = 13.5 - 3 = 10.5\, m$ થશે.
પાયાની ત્રિજ્યા $r = 14\, m$ છે.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = \sqrt{r^2 + h_2^2} = \sqrt{14^2 + 10.5^2} = \sqrt{196 + 110.25} = \sqrt{306.25} = 17.5\, m$.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r l = \frac{22}{7} \times 14 \times 17.5 = 22 \times 2 \times 17.5 = 770\, m^2$.
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi r h_1 = 2 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 3 = 2 \times 22 \times 2 \times 3 = 264\, m^2$.
રંગકામ કરવા માટેનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 770 + 264 = 1034\, m^2$.
રંગકામ કરવાનો કુલ ખર્ચ $= 1034 \times 2 = ₹ 2068$.

(C) ધારો કે મૂળ વ્યાસ $D$ છે. ત્રિજ્યા $r = D/2$ છે.
ગોળાની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi r^2 = 4 \pi (D/2)^2 = \pi D^2$ છે.
જો વ્યાસમાં $25 \%$ નો ઘટાડો કરવામાં આવે,તો નવો વ્યાસ $D' = D - 0.25D = 0.75D$ થાય.
નવું ક્ષેત્રફળ $A' = \pi (D')^2 = \pi (0.75D)^2 = 0.5625 \pi D^2$ થાય.
ક્ષેત્રફળમાં ઘટાડો $A - A' = \pi D^2 - 0.5625 \pi D^2 = 0.4375 \pi D^2$ છે.
ટકાવારીમાં ઘટાડો $\frac{0.4375 \pi D^2}{\pi D^2} \times 100 \% = 43.75 \%$ થાય.

(A) ધારો કે નળાકારની ત્રિજ્યા $r = 10\, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 4\, cm$ છે.
ધારો કે ત્રિજ્યા અથવા ઊંચાઈમાં ઉમેરવામાં આવતી સંખ્યા $x\, cm$ છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે ત્રિજ્યામાં $x$ ઉમેરવામાં આવે,ત્યારે નવી ત્રિજ્યા $(10+x)\, cm$ થાય અને ઊંચાઈ $4\, cm$ રહે.
નવું ઘનફળ $V_1 = \pi(10+x)^2 \times 4$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે ઊંચાઈમાં $x$ ઉમેરવામાં આવે,ત્યારે ત્રિજ્યા $10\, cm$ રહે અને નવી ઊંચાઈ $(4+x)\, cm$ થાય.
નવું ઘનફળ $V_2 = \pi(10)^2 \times (4+x)$.
પ્રશ્ન મુજબ,ઘનફળમાં થતો વધારો સમાન છે,જેનો અર્થ છે કે $V_1 = V_2$.
$\pi(10+x)^2 \times 4 = \pi(10)^2(4+x)$
$(10+x)^2 \times 4 = 100(4+x)$
$4(100 + 20x + x^2) = 400 + 100x$
$400 + 80x + 4x^2 = 400 + 100x$
$4x^2 - 20x = 0$
$4x(x - 5) = 0$
અહીં $x$ શૂન્ય હોઈ શકે નહીં,તેથી $x = 5\, cm$ મળે.

(C) ધારો કે શંકુની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે.
શંકુનું ઘનફળ $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = 27\, \pi\, cm^3$ આપેલ છે.
સમાન ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ ધરાવતા નળાકારનું ઘનફળ $V_{cylinder} = \pi r^2 h$ થાય.
શંકુને નળાકારમાં મૂક્યા પછી બાકી રહેતી ખાલી જગ્યાનું ઘનફળ એ નળાકારના ઘનફળ અને શંકુના ઘનફળનો તફાવત છે.
ખાલી જગ્યાનું ઘનફળ $= V_{cylinder} - V_{cone} = \pi r^2 h - \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{2}{3} \pi r^2 h$.
અહીં $\frac{1}{3} \pi r^2 h = 27\, \pi$ હોવાથી,$\pi r^2 h = 3 \times 27\, \pi = 81\, \pi$ થાય.
તેથી,જરૂરી પાણીનું ઘનફળ $= 81\, \pi - 27\, \pi = 54\, \pi\, cm^3$ થાય.

(B) જમીનનું ક્ષેત્રફળ $= 1 \, Km^2 = (1000 \, m) \times (1000 \, m) = 1,000,000 \, m^2$ છે.
વરસાદની ઊંચાઈ $= 2 \, cm = 0.02 \, m$ છે.
વરસાદનું કુલ કદ $= \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઊંચાઈ} = 1,000,000 \, m^2 \times 0.02 \, m = 20,000 \, m^3$ છે.
પૂલમાં એકત્રિત થયેલ પાણીનું કદ $= 20,000 \, m^3 \text{ ના } 50 \% = 0.5 \times 20,000 = 10,000 \, m^3$ છે.
પૂલના પાયાનું ક્ષેત્રફળ $= 100 \, m \times 10 \, m = 1,000 \, m^2$ છે.
પાણીના સ્તરમાં વધારો $= \frac{\text{એકત્રિત કદ}}{\text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{10,000 \, m^3}{1,000 \, m^2} = 10 \, m$ છે.

(C) ધારો કે નળાકારના આધારની ત્રિજ્યા $r = 3.5 \, cm$ છે.
ગોળો પાત્રમાં બરાબર ફિટ થતો હોવાથી,ગોળાની ત્રિજ્યા પણ $r = 3.5 \, cm$ છે અને ગોળો મૂક્યા પછી પાણીની ઊંચાઈ $H = 2r = 7 \, cm$ થાય છે.
પાત્રમાં પાણીનું કદ એ $H$ ઊંચાઈ સુધીના નળાકારના કુલ કદમાંથી ગોળાનું કદ બાદ કરવા જેટલું થાય.
પાણીનું કદ $= \pi r^2 (2r) - \frac{4}{3} \pi r^3 = 2 \pi r^3 - \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi r^3$.
ધારો કે પાણીની પ્રારંભિક ઊંડાઈ $h$ છે. આ પાણીનું કદ $\pi r^2 h$ છે.
કદને સરખાવતા: $\pi r^2 h = \frac{2}{3} \pi r^3$.
$h$ માટે ઉકેલતા: $h = \frac{2}{3} r = \frac{2}{3} \times 3.5 = \frac{7}{3} \, cm$.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે. પ્રારંભિક વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = 2 \pi r h$ છે.
નવી ઊંચાઈ $h' = 6h$ છે. પાયાનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2$ છે. નવું પાયાનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{9} \pi r^2 = \pi (r')^2$ છે,જેનો અર્થ છે કે $(r')^2 = \frac{1}{9} r^2$,તેથી $r' = \frac{1}{3} r$.
નવું વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = 2 \pi r' h' = 2 \pi (\frac{1}{3} r) (6h) = 2 \pi r h \times (\frac{1}{3} \times 6) = 2 \pi r h \times 2$ છે.
આમ,વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $2$ ના અવયવ દ્વારા વધે છે.

(B) ધારો કે શંકુની ત્રિજ્યા $r\, cm$ છે.
આપેલ છે કે,ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = 1232\, cm^3$ અને ઊંચાઈ $h = 24\, cm$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times r^2 \times 24 = 1232$.
$r^2 = \frac{1232 \times 3 \times 7}{22 \times 24} = 49$.
તેથી,$r = \sqrt{49} = 7\, cm$.
હવે,તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25\, cm$.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi rl$ દ્વારા મળે છે.
$A = \frac{22}{7} \times 7 \times 25 = 550\, cm^2$.

(C) ધારો કે ચોરસ પાયાની બાજુનું માપ $x\, cm$ છે.
પ્રિઝમની ઊંચાઈ $h = 15\, cm$ છે.
પ્રિઝમનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{કુલ પૃષ્ઠફળ} = \text{પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ} + 2 \times \text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ}.$
પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ $= \text{પાયાની પરિમિતિ} \times h = (4x) \times 15 = 60x.$
પાયાનું ક્ષેત્રફળ $= x^2.$
આપેલ છે કે,$\text{કુલ પૃષ્ઠફળ} = 608\, cm^2.$
તેથી,$60x + 2x^2 = 608.$
$2$ વડે ભાગતા,$x^2 + 30x - 304 = 0$ મળે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2 + 38x - 8x - 304 = 0 \Rightarrow x(x + 38) - 8(x + 38) = 0.$
$(x - 8)(x + 38) = 0.$
બાજુનું માપ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 8\, cm.$
પ્રિઝમનું ઘનફળ $= \text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ} \times h = x^2 \times h = 8^2 \times 15 = 64 \times 15 = 960\, cm^3.$

(A) નક્કર અર્ધગોલકનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{2}{3} \pi r^3$ છે.
આપેલ છે કે $V = 19404 \, cm^3$,તેથી $\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times r^3 = 19404$.
$r^3$ માટે ઉકેલતા: $r^3 = \frac{19404 \times 3 \times 7}{2 \times 22} = 9261$.
ઘનમૂળ લેતા: $r = \sqrt[3]{9261} = 21 \, cm$.
નક્કર અર્ધગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $TSA = 3 \pi r^2$ છે.
$TSA = 3 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 3 \times 22 \times 3 \times 21 = 4158 \, cm^2$.

(A) $1$. પાઇપની ત્રિજ્યા $(r)$ = $14/2 = 7 \text{ cm} = 0.07 \text{ m}$.
$2$. પાણીની ઝડપ = $5 \text{ km/h} = 5000 \text{ m/h}$.
$3$. $1$ કલાકમાં પાઇપમાંથી વહેતા પાણીનું ઘનફળ = $\pi r^2 h = (22/7) \times (0.07)^2 \times 5000 = (22/7) \times 0.0049 \times 5000 = 22 \times 0.0007 \times 5000 = 77 \text{ m}^3$.
$4$. ટાંકીમાં જરૂરી પાણીનું ઘનફળ = $\text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ} = 50 \text{ m} \times 44 \text{ m} \times (7/100) \text{ m} = 50 \times 44 \times 0.07 = 154 \text{ m}^3$.
$5$. લાગતો સમય = $\text{કુલ જરૂરી ઘનફળ} / \text{પ્રતિ કલાકનું ઘનફળ} = 154 / 77 = 2$ કલાક.

(D) ધારો કે લંબઘનની લંબાઈ,પહોળાઈ અને ઊંચાઈ અનુક્રમે $x, y$ અને $z$ cm છે.
આપેલ છે કે ત્રણ ક્રમિક બાજુઓના ક્ષેત્રફળ:
$xy = 12 \, cm^2$
$yz = 20 \, cm^2$
$zx = 15 \, cm^2$
આ ત્રણેય સમીકરણોનો ગુણાકાર કરતા:
$(xy) \cdot (yz) \cdot (zx) = 12 \cdot 20 \cdot 15$
$x^2 y^2 z^2 = 3600$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$xyz = \sqrt{3600}$
$xyz = 60$
લંબઘનનું ઘનફળ $V = xyz$ હોવાથી,તેનું ઘનફળ $60 \, cm^3$ થાય.

(B) $1$. ટાંકીનું ઘનફળ શોધો: ટાંકી નળાકાર છે,જેની ત્રિજ્યા $r = 5 \, m$ અને ઊંચાઈ $h = 2 \, m$ છે। ઘનફળ $V = \pi r^2 h = \pi \times (5)^2 \times 2 = 50\pi \, m^3$.
$2$. પાઇપમાંથી દર કલાકે વહેતા પાણીનું ઘનફળ શોધો: પાઇપની ત્રિજ્યા $r_p = 10 \, cm = 0.1 \, m$ છે। પાણીની ઝડપ $3 \, km/h = 3000 \, m/h$ છે। દર કલાકે વહેતા પાણીનું ઘનફળ $V_p = \pi r_p^2 \times \text{ઝડપ} = \pi \times (0.1)^2 \times 3000 = \pi \times 0.01 \times 3000 = 30\pi \, m^3/h$.
$3$. જરૂરી સમય શોધો: સમય = $\frac{\text{ટાંકીનું ઘનફળ}}{\text{દર કલાકે વહેતું પાણી}} = \frac{50\pi}{30\pi} = \frac{5}{3} \, \text{કલાક}$.
$4$. કલાક અને મિનિટમાં રૂપાંતર: $\frac{5}{3} \, \text{કલાક }= 1 \, \text{કલાક }+ \frac{2}{3} \times 60 \, \text{મિનિટ }= 1 \, \text{કલાક }\, 40 \, \text{મિનિટ}$.

(B) નળાકાર બીકરમાં વિસ્થાપિત થયેલા પાણીનું કદ એ ડૂબેલી લખોટીઓના કુલ કદ જેટલું હોય છે.
બીકરની ત્રિજ્યા $R = \frac{7}{2} = 3.5\, cm$.
પાણીની સપાટીમાં થયેલો વધારો $h = 5.6\, cm$.
વધેલા પાણીનું કદ $= \pi R^2 h = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times 5.6 = 215.6\, cm^3$.
એક લખોટીની ત્રિજ્યા $r = \frac{1.4}{2} = 0.7\, cm$.
એક લખોટીનું કદ $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.7 \times 0.7 \times 0.7 = \frac{4}{3} \times 22 \times 0.1 \times 0.49 = \frac{4.312}{3}\, cm^3$.
ધારો કે લખોટીઓની સંખ્યા $n$ છે.
$n \times (\text{એક લખોટીનું કદ}) = \text{વધેલા પાણીનું કદ}$
$n \times \frac{4.312}{3} = 215.6$
$n = \frac{215.6 \times 3}{4.312} = 50 \times 3 = 150$.
આમ,બીકરમાં $150$ લખોટીઓ નાખવામાં આવી હતી.