Measurement of Volume and Surface Area Questions in Gujarati

(B) તારની લંબાઈ એ વર્તુળના પરિઘ જેટલી હોય છે.
પરિઘ $= 2 \pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 42 = 264 \, cm$.
તારને લંબચોરસમાં વાળવામાં આવતો હોવાથી,લંબચોરસની પરિમિતિ તારની લંબાઈ જેટલી થાય.
પરિમિતિ $= 2(l + b) = 264 \, cm$,તેથી $l + b = 132 \, cm$.
બાજુઓનો ગુણોત્તર $6:5$ છે. ધારો કે બાજુઓ $6x$ અને $5x$ છે.
$6x + 5x = 132 \implies 11x = 132 \implies x = 12$.
બાજુઓ $6 \times 12 = 72 \, cm$ અને $5 \times 12 = 60 \, cm$ છે.
નાની બાજુ $60 \, cm$ છે.

(A) ધારો કે બે સમઘનની બાજુઓ $a_1$ અને $a_2$ છે.
તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{a_1^3}{a_2^3} = \frac{8}{125}$ છે.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,તેમની બાજુઓનો ગુણોત્તર $\frac{a_1}{a_2} = \sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{2}{5}$ મળે.
આમ,તેમની બાજુઓનો ગુણોત્તર $2:5$ છે.
તેમના પૃષ્ઠફળનો ગુણોત્તર $\frac{6a_1^2}{6a_2^2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2$ દ્વારા મળે છે.
બાજુઓનો ગુણોત્તર મૂકતા,આપણને $\left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}$ મળે છે.
તેથી,તેમના પૃષ્ઠફળનો ગુણોત્તર $4:25$ છે.

(C) ધારો કે સામાન્ય ત્રિજ્યા $r$ છે અને સામાન્ય ઊંચાઈ $h$ છે. તેઓ એક જ પાયા પર હોવાથી અને સમાન ઊંચાઈ ધરાવતા હોવાથી,અર્ધગોલક માટે $h = r$ થાય.
આમ,ત્રણેય આકારો માટે $h = r$ છે.
$1$. ઘનફળનો ગુણોત્તર:
$V_{cylinder} = \pi r^2 h = \pi r^3$
$V_{hemisphere} = \frac{2}{3} \pi r^3$
$V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^3$
ગુણોત્તર $= \pi r^3 : \frac{2}{3} \pi r^3 : \frac{1}{3} \pi r^3 = 1 : \frac{2}{3} : \frac{1}{3} = 3 : 2 : 1$.
$2$. વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $(CSA)$:
$CSA_{cylinder} = 2 \pi r h = 2 \pi r^2$
$CSA_{hemisphere} = 2 \pi r^2$
$CSA_{cone} = \pi r l = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} = \pi r \sqrt{r^2 + r^2} = \pi r^2 \sqrt{2}$
ગુણોત્તર $= 2 \pi r^2 : 2 \pi r^2 : \sqrt{2} \pi r^2 = 2 : 2 : \sqrt{2} = \sqrt{2} : \sqrt{2} : 1$.

(B) અહીં ત્રિકોણનો પાયો $r = 6.3 \, m$ અને ઊંચાઈ $h = 10 \, m$ છે.
જ્યારે ત્રિકોણને તેની ઊંચાઈની આસપાસ ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે તે $r = 6.3 \, m$ અને $h = 10 \, m$ ધરાવતો શંકુ બનાવે છે.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (6.3)^2 \times 10 = 415.8 \, m^3$.
ત્રાંસી ઊંચાઈ $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(6.3)^2 + 10^2} = \sqrt{39.69 + 100} = \sqrt{139.69} \approx 11.81 \, m$.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r l = \frac{22}{7} \times 6.3 \times 11.81 = 233.83 \, m^2$.

(D) શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
ધારો કે બે શંકુની ઊંચાઈઓ $h_1$ અને $h_2$ છે,અને તેમની ત્રિજ્યાઓ $r_1$ અને $r_2$ છે.
તેમની ઊંચાઈઓનો ગુણોત્તર $\frac{h_1}{h_2} = \frac{1}{5}$ છે.
વ્યાસનો ગુણોત્તર $5:6$ હોવાથી,તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર પણ $\frac{r_1}{r_2} = \frac{5}{6}$ થશે.
તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1}{\frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \left(\frac{h_1}{h_2}\right)$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\left(\frac{5}{6}\right)^2 \times \left(\frac{1}{5}\right) = \frac{25}{36} \times \frac{1}{5} = \frac{5}{36}$.
આમ,તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $5:36$ છે.

(B) ધારો કે લંબઘનની ધાર $l = 3x,$ $b = 2x,$ અને $h = x$ છે.
લંબઘનનું પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર $2(lb + bh + lh) = 88 \, cm^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે $2((3x)(2x) + (2x)(x) + (3x)(x)) = 88.$
$2(6x^2 + 2x^2 + 3x^2) = 88.$
$2(11x^2) = 88.$
$22x^2 = 88.$
$x^2 = 4 \implies x = 2 \, cm.$
હવે,લંબઘનના માપ $l = 3(2) = 6 \, cm,$ $b = 2(2) = 4 \, cm,$ અને $h = 2 \, cm$ છે.
લંબઘનનું ઘનફળ $V = l \times b \times h = 6 \times 4 \times 2 = 48 \, cm^3$ થાય.

(A) સમઘનને $6$ ચોરસ બાજુઓ હોય છે. ધારો કે સમઘનની બાજુની લંબાઈ $a \, cm$ છે.
એક ચોરસ બાજુની પરિમિતિ $4a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $4a = 20 \, cm$,તેથી $a = \frac{20}{4} = 5 \, cm$ મળે છે.
સમઘનનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = a^3$ છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V = 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125 \, cm^3$ મળે છે.

(C) ધારો કે બે સમઘનની બાજુઓ અનુક્રમે $a_1$ અને $a_2$ છે.
સમઘનનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = a^3$ છે.
આપેલ ઘનફળનો ગુણોત્તર: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{27}{1}$.
ઘનફળના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{a_1^3}{a_2^3} = \frac{27}{1}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $\frac{a_1}{a_2} = \sqrt[3]{\frac{27}{1}} = \frac{3}{1}$.
તેથી,તેમની બાજુઓનો ગુણોત્તર $3: 1$ છે.

(B) કાઢી લીધેલા પાણીનું કદ $11 \, \text{લિટર} = 11000 \, \text{cm}^3$ છે.
નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ ઊંચાઈમાં ઘટાડો છે.
આપેલ વ્યાસ $d = 35 \, \text{cm}$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{35}{2} \, \text{cm}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $11000 = \frac{22}{7} \times (\frac{35}{2})^2 \times h$.
$11000 = \frac{22}{7} \times \frac{1225}{4} \times h$.
$11000 = \frac{11 \times 175}{2} \times h$.
$h = \frac{11000 \times 2}{11 \times 175} = \frac{2000}{175} = \frac{80}{7} \, \text{cm}$.
$h = 11 \frac{3}{7} \, \text{cm}$.

(D) આપેલ છે કે ઊંચાઈ $h = 15\, cm$ અને પાયાનો વ્યાસ $d = 16\, cm$.
ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \frac{16}{2} = 8\, cm$.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $l = \sqrt{h^2 + r^2}$ છે.
$l = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17\, cm$.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $\pi r l$ છે.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \pi \times 8 \times 17 = 136\pi\, cm^2$.

(C) ધારો કે અર્ધગોળાકાર વાટકાની ત્રિજ્યા $r$ છે. અર્ધગોળાકાર વાટકાનું ઘનફળ $V_h = \frac{2}{3} \pi r^3$ છે.
નળાકાર પાત્ર માટે,વ્યાસ વાટકા જેટલો જ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા પણ $r$ છે. આપેલ છે કે ત્રિજ્યા $r$ તેની ઊંચાઈ $h$ કરતા $50 \%$ વધારે છે,તેથી $r = h + 0.5h = 1.5h = \frac{3}{2}h$. આમ,$h = \frac{2}{3}r$.
નળાકાર પાત્રનું ઘનફળ $V_c = \pi r^2 h = \pi r^2 (\frac{2}{3}r) = \frac{2}{3} \pi r^3$ છે.
જેમ કે સ્થાનાંતરિત પીણાનું કદ $(V_h)$ એ નળાકાર પાત્રના કદ $(V_c)$ જેટલું જ છે,તેથી પીણું નળાકારને સંપૂર્ણપણે ભરી દે છે. તેથી,નળાકાર પાત્રમાં પીણાનું કદ પાત્રની ક્ષમતાના $100 \%$ છે.

(B) પોલા ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $R$ એ બાહ્ય ત્રિજ્યા છે અને $r$ એ આંતરિક ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: બાહ્ય વ્યાસ $= 8\,cm \implies R = 4\,cm$. આંતરિક વ્યાસ $= 4\,cm \implies r = 2\,cm$.
પોલા ગોળાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi (4^3 - 2^3) = \frac{4}{3} \pi (64 - 8) = \frac{4}{3} \pi \times 56\,cm^3$.
જ્યારે ગોળાને ઓગાળીને શંકુ બનાવવામાં આવે છે,ત્યારે ઘનફળ સમાન રહે છે.
શંકુનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi r_{cone}^2 h$.
આપેલ છે: શંકુના પાયાનો વ્યાસ $= 8\,cm \implies r_{cone} = 4\,cm$.
ઘનફળને સરખાવતા: $\frac{1}{3} \pi (4)^2 h = \frac{4}{3} \pi \times 56$.
$16h = 4 \times 56$.
$h = \frac{224}{16} = 14\,cm$.

(D) ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ઘનફળનો ગુણોત્તર: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{64}{27}$.
કારણ કે $\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1^3}{r_2^3}$,તેથી $\frac{r_1^3}{r_2^3} = \frac{64}{27}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt[3]{\frac{64}{27}} = \frac{4}{3}$.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,સપાટીના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4 \pi r_1^2}{4 \pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$ થાય.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર મૂકતા: $\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$.
આમ,તેમની સપાટીના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $16:9$ છે.

(C) આપેલ છે: તિર્યક ઊંચાઈ $l = 10 \, m$ અને શિરોલંબ ઊંચાઈ $h = 8 \, m$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $l^2 = r^2 + h^2$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને પાયાની ત્રિજ્યા $r$ શોધીશું.
$r^2 = l^2 - h^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$.
$r = \sqrt{36} = 6 \, m$.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi r l$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$A = \pi \times 6 \times 10 = 60 \pi \, m^2$.
આમ,વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $60 \pi \, m^2$ છે.

(C) મોટા સમઘન બોક્સની ધારની લંબાઈ $1\, m = 100\, cm$ છે.
મોટા સમઘન બોક્સનું ઘનફળ $V_{1} = (100\, cm)^{3} = 1,000,000\, cm^{3}$ થાય.
$10\, cm$ ની ધારવાળા એક નાના સમઘનનું ઘનફળ $V_{2} = (10\, cm)^{3} = 1,000\, cm^{3}$ થાય.
બોક્સમાં મૂકી શકાય તેવા સમઘનની સંખ્યા ઘનફળના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે: $\text{સમઘનની સંખ્યા} = \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1,000,000}{1,000} = 1,000$.

(C) $3 \, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાનું ઘનફળ $V_s = \frac{4}{3} \pi r_s^3 = \frac{4}{3} \pi (3)^3 = 36 \pi \, cm^3$ છે.
જ્યારે ગોળો સંપૂર્ણપણે ડૂબી જાય છે,ત્યારે વિસ્થાપિત થયેલા પાણીનું ઘનફળ ગોળાના ઘનફળ જેટલું હોય છે.
ધારો કે નળાકાર પાત્રમાં પાણીના સ્તરમાં થતો વધારો $h$ છે. નળાકારમાં વિસ્થાપિત પાણીનું ઘનફળ $V_w = A_c \times h$ થાય,જ્યાં $A_c$ એ નળાકારનો આડછેદનો વિસ્તાર છે.
નળાકારની ત્રિજ્યા $r_c = 4 \, cm$ છે,તેથી $A_c = \pi r_c^2 = \pi (4)^2 = 16 \pi \, cm^2$.
ઘનફળને સરખાવતા: $16 \pi \times h = 36 \pi$.
$h$ માટે ઉકેલતા: $h = \frac{36 \pi}{16 \pi} = \frac{9}{4} \, cm$.

(B) $7 \, cm$ ની ધાર $(a)$ ધરાવતા સમઘનમાંથી કાપી શકાતા સૌથી મોટા લંબવૃત્તીય શંકુ માટે:
શંકુના પાયાનો વ્યાસ $d = a = 7 \, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{7}{2} \, cm$.
શંકુની ઊંચાઈ $h = a = 7 \, cm$.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (\frac{7}{2})^2 \times 7$.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{49}{4} \times 7$.
$V = \frac{1}{3} \times 22 \times \frac{49}{4} = \frac{11 \times 49}{6} = \frac{539}{6} \approx 89.83 \, cm^3$.
આમ,ઘનફળ આશરે $89.8 \, cm^3$ છે.

(B) ધારો કે ત્રણ સમઘનની બાજુઓ $3x, 4x,$ અને $5x$ છે.
ત્રણ સમઘનનું કુલ ઘનફળ $V = (3x)^3 + (4x)^3 + (5x)^3$ થાય.
$V = 27x^3 + 64x^3 + 125x^3 = 216x^3$.
ધારો કે નવા સમઘનની બાજુ $S$ છે. તેથી $S^3 = 216x^3$,જેનો અર્થ છે કે $S = \sqrt[3]{216x^3} = 6x$.
$S$ બાજુવાળા સમઘનનો વિકર્ણ $S\sqrt{3}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં વિકર્ણ $12\sqrt{3} \text{ cm}$ આપેલ છે,તેથી $6x\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$.
બંને બાજુને $6\sqrt{3}$ વડે ભાગતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.
તેથી,સમઘનોની બાજુઓ $3(2) = 6 \text{ cm}, 4(2) = 8 \text{ cm},$ અને $5(2) = 10 \text{ cm}$ છે.

(B) સમઘનની અંદર મૂકી શકાય તેવા સૌથી લાંબા સળિયાની લંબાઈ તેના અવકાશી વિકર્ણ (space diagonal) ની લંબાઈ જેટલી હોય છે.
$a$ ધારની લંબાઈ ધરાવતા સમઘન માટે અવકાશી વિકર્ણનું સૂત્ર $d = a \sqrt{3}$ છે.
અહીં ધારની લંબાઈ $a = \sqrt{3}\, m$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા:
$d = \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3\, m$.
ભલે સમઘનની એક બાજુ ખુલ્લી હોય,પરંતુ અવકાશી વિકર્ણ એ સમઘનના કદમાં બે વિરુદ્ધ શિરોબિંદુઓ વચ્ચેનું સૌથી લાંબુ અંતર રહે છે.

(B) ધાતુની લંબચોરસ શીટના પ્રારંભિક પરિમાણો $48\, m \times 36\, m$ છે。
જ્યારે દરેક ચાર ખૂણામાંથી $8\, m$ બાજુવાળો ચોરસ કાપવામાં આવે છે, ત્યારે બનતા ખુલ્લા બોક્સના પાયાની લંબાઈ અને પહોળાઈમાં $2 \times 8\, m = 16\, m$ નો ઘટાડો થાય છે。
પાયાની નવી લંબાઈ $= 48\, m - 16\, m = 32\, m$.
પાયાની નવી પહોળાઈ $= 36\, m - 16\, m = 20\, m$.
બોક્સની ઊંચાઈ કાપેલા ચોરસની બાજુ જેટલી એટલે કે $8\, m$ થશે。
બોક્સનું ઘનફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ} = 32\, m \times 20\, m \times 8\, m = 5120\, m^3$.

(C) દીવાલનું કુલ કદ $= 6\,m \times 5\,m \times 0.5\,m = 15\,m^3$ છે.
મોર્ટાર દીવાલના $5\%$ કદને રોકે છે,તેથી ઈંટો દ્વારા રોકાયેલું કદ $= 95\%$ ઓફ $15\,m^3 = 0.95 \times 15\,m^3 = 14.25\,m^3$ થાય.
દીવાલના કદને ઘન સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $14.25\,m^3 = 14.25 \times (100\,cm)^3 = 14.25 \times 1,000,000\,cm^3 = 14,250,000\,cm^3$ થાય.
$1$ ઈંટનું કદ $= 25\,cm \times 12.5\,cm \times 7.5\,cm = 2343.75\,cm^3$ છે.
જરૂરી ઈંટોની સંખ્યા $= \frac{\text{ઈંટોનું કુલ કદ}}{\text{એક ઈંટનું કદ}} = \frac{14,250,000}{2343.75} = 6080$.

(B) ગોળાના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે. અહીં વ્યાસ $6\, cm$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = 3\, cm$ થશે.
ગોળાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi (3)^3 = \frac{4}{3} \pi (27) = 36 \pi\, cm^3$ $...(1)$
શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$ છે. અહીં પાયાનો વ્યાસ $12\, cm$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $R = 6\, cm$ થશે.
શંકુનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi (6)^2 h = \frac{1}{3} \pi (36) h = 12 \pi h$ $...(2)$
ગોળાને ઓગાળીને શંકુ બનાવવામાં આવતો હોવાથી,બંનેના ઘનફળ સમાન રહેશે.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$12 \pi h = 36 \pi$
$h = \frac{36 \pi}{12 \pi} = 3\, cm$
આમ,શંકુની ઊંચાઈ $3\, cm$ છે.

(C) ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાના ટકાવારી ફેરફારો માટે,ઘનફળમાં સાપેક્ષ ભૂલ $\frac{\Delta V}{V} = 3 \times \frac{\Delta r}{r}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યા $1.5 \%$ વધારે છે,તેથી $\frac{\Delta r}{r} = 0.015$.
તેથી,ઘનફળમાં ટકાવારી ભૂલ $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3 \times 1.5 \% = 4.5 \%$ થાય.
ચોક્કસ ગણતરીનો ઉપયોગ કરતા: જો $r' = 1.015r$ હોય,તો $V' = \frac{4}{3} \pi (1.015r)^3 = (1.015)^3 V$.
$(1.015)^3 = 1.045678$.
ટકાવારી ભૂલ $(1.045678 - 1) \times 100 = 4.5678 \%$ થાય.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $4.6 \%$ મળે છે.

(D) ઘનફળનો ઉતરતો ક્રમ શોધવા માટે,આપણે દરેકનું ઘનફળ ગણીએ:
$1.$ લંબઘનનું ઘનફળ $= \text{\text{લંબાઈ}} \times \text{\text{પહોળાઈ}} \times \text{\text{ઊંચાઈ}} = 5 \times 3 \times 4 = 60\,cm^3$.
$2.$ સમઘનનું ઘનફળ $= \text{\text{બાજુ}}^3 = 4^3 = 64\,cm^3$.
$3.$ નળાકારનું ઘનફળ $= pi r^2 h = pi \times (3)^2 \times 3 = 27pi approx 27 \times 3.14 = 84.78\,cm^3$.
$4.$ ગોલકનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} pi r^3 = \frac{4}{3} \times pi \times (3)^3 = 36pi approx 36 \times 3.14 = 113.04\,cm^3$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $113.04 > 84.78 > 64 > 60$.
આમ,ઉતરતો ક્રમ $4, 3, 2, 1$ છે.

(B) ધારો કે બે શંકુઓની ત્રિજ્યાઓ $r_1$ અને $r_2$ છે,અને તેમની ઊંચાઈઓ અનુક્રમે $h_1$ અને $h_2$ છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{1}$ છે.
બંને શંકુઓના ઘનફળ સમાન હોવાથી,$V_1 = V_2$ થાય.
શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
તેથી,$\frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2$.
બંને બાજુથી $\frac{1}{3} \pi$ દૂર કરતા,આપણને $r_1^2 h_1 = r_2^2 h_2$ મળે છે.
ઊંચાઈઓનો ગુણોત્તર શોધવા માટે,$\frac{h_1}{h_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{1}$ મૂકતા,આપણને $\frac{r_2}{r_1} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,$\frac{h_1}{h_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
તેથી,તેમની ઊંચાઈઓનો ગુણોત્તર $1:4$ છે.

(C) ધારો કે શંકુની ત્રિજ્યા $r = 3x$ અને ઊંચાઈ $h = 4x$ છે.
શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $96\pi = \frac{1}{3}\pi (3x)^2 (4x)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $96\pi = \frac{1}{3}\pi (9x^2)(4x) = 12\pi x^3$.
બંને બાજુ $12\pi$ વડે ભાગતા: $x^3 = \frac{96}{12} = 8$.
ઘનમૂળ લેતા: $x = 2$.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = 3(2) = 6\, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 4(2) = 8\, cm$ મળે.
તિર્યક ઊંચાઈ $l$ શોધવાનું સૂત્ર $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ છે.
$l = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\, cm$.

(A) ચાંદીના તારનું ઘનફળ $V = 66 \text{ cm}^3$ આપેલ છે.
તાર નળાકાર હોવાથી,તેનું ઘનફળ $V = \pi r^2 L$ થાય,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $L$ એ લંબાઈ છે.
તારનો વ્યાસ $1 \text{ mm} = 0.1 \text{ cm}$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 0.05 \text{ cm}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $66 = \pi \times (0.05)^2 \times L$.
$L = \frac{66}{\pi \times 0.0025} = \frac{66 \times 7}{22 \times 0.0025} = \frac{3 \times 7}{0.0025} = \frac{21}{0.0025} = 8400 \text{ cm}$.
મીટરમાં ફેરવતા: $8400 \text{ cm} = 84 \text{ m}$.

(C) ધારો કે નળાકાર $X$ અને $Y$ ની ઊંચાઈ $h_1 = h_2 = h$ છે.
ધારો કે $X$ નો વ્યાસ $d_1$ અને $Y$ નો વ્યાસ $d_2$ છે. આપેલ છે કે $d_1 = \frac{1}{2} d_2$,જેનો અર્થ છે કે $d_2 = 2d_1$.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h = \pi (d/2)^2 h = \frac{\pi d^2 h}{4}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$X$ નું ઘનફળ $(V_X)$ = $\frac{\pi d_1^2 h}{4}$.
$Y$ નું ઘનફળ $(V_Y)$ = $\frac{\pi d_2^2 h}{4} = \frac{\pi (2d_1)^2 h}{4} = \frac{4 \pi d_1^2 h}{4} = 4 V_X$.
જો $X$ ની ઊંચાઈ બમણી કરવામાં આવે,તો નવું ઘનફળ $V_X' = \frac{\pi d_1^2 (2h)}{4} = 2 \times \frac{\pi d_1^2 h}{4} = 2 V_X$.
કારણ કે $V_Y = 4 V_X$,તેથી $V_X = \frac{1}{4} V_Y$.
તેથી,$V_X' = 2 \times (\frac{1}{4} V_Y) = \frac{1}{2} V_Y$.
આમ,$X$ નું ઘનફળ $Y$ ના ઘનફળ કરતા અડધું થાય છે.

(A) ધારો કે દીવાલની પહોળાઈ $b$,ઊંચાઈ $h$ અને લંબાઈ $l$ છે.
આપેલ છે: $h = 6b$ અને $l = 7h$.
લંબાઈના સમીકરણમાં $h$ ની કિંમત $b$ ના સ્વરૂપમાં મૂકતા: $l = 7(6b) = 42b$.
દીવાલનું ઘનફળ $V = l \times b \times h$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = (42b) \times (b) \times (6b) = 252b^3$.
આપેલ છે $V = 16128 \, m^3$,તેથી $252b^3 = 16128$.
$b^3 = \frac{16128}{252} = 64$.
$b = \sqrt[3]{64} = 4 \, m$.
આમ,દીવાલની પહોળાઈ $4 \, m$ છે.

(D) આપેલ છે કે,ત્રિજ્યા $r = \frac{h}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $h = 2r$.
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \pi r h = 616 \, cm^{2}$ છે.
ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં $h = 2r$ મૂકતા: $2 \pi r (2r) = 616$.
$4 \pi r^{2} = 616$.
$r^{2} = \frac{616}{4 \pi} = \frac{154}{\frac{22}{7}} = \frac{154 \times 7}{22} = 7 \times 7 = 49$.
તેથી,$r = 7 \, cm$ અને $h = 2 \times 7 = 14 \, cm$.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^{2} h = \frac{22}{7} \times (7)^{2} \times 14$ થાય.
$V = 22 \times 7 \times 14 = 2156 \, cm^{3}$.
$1000 \, cm^{3} = 1 \, \text{લિટર}$ હોવાથી,લિટરમાં ઘનફળ $\frac{2156}{1000} = 2.156 \, \text{લિટર}$ થાય.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આશરે $2.2 \, \text{લિટર}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: ક્ષમતા $V = 246.4$ લિટર. કારણ કે $1000$ લિટર $= 1$ $m^3$,તેથી $V = 246.4 / 1000 = 0.2464$ $m^3$.
ઊંચાઈ $h = 4$ $m$.
નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h = \pi (d/2)^2 h = (\pi d^2 h) / 4$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.2464 = (22/7 \times d^2 \times 4) / 4$.
$0.2464 = (22/7) \times d^2$.
$d^2 = (0.2464 \times 7) / 22$.
$d^2 = 0.0112 \times 7 = 0.0784$.
$d = \sqrt{0.0784} = 0.28$ $m$.

(D) સમઘનનું પૃષ્ઠફળ $6a^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $a$ એ બાજુની લંબાઈ છે.
અહીં $a = 2.5\, m$ આપેલ છે,તેથી પૃષ્ઠફળ $= 6 \times (2.5)^2 = 6 \times 6.25 = 37.5\, m^2$.
$1\, kg$ રંગ $1.5\, m^2$ વિસ્તારને આવરી લે છે,તેથી જરૂરી રંગનો જથ્થો $= \frac{37.5}{1.5} = 25\, kg$.
રંગનો ભાવ ₹ $36/kg$ છે,તેથી કુલ ખર્ચ $= 25 \times 36 = ₹ 900$.

(C) ધારો કે લંબાઈ $l = 15 \ m$,પહોળાઈ $b = 12 \ m$,અને ઊંચાઈ $h \ m$ છે.
ભોંયતળિયા અને છતનું ક્ષેત્રફળ $2 \times (l \times b) = 2 \times 15 \times 12 = 360 \ m^2$ થાય.
ચાર દીવાલોનું ક્ષેત્રફળ $2 \times (l + b) \times h = 2 \times (15 + 12) \times h = 54h \ m^2$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,ભોંયતળિયા અને છતનું કુલ ક્ષેત્રફળ એ ચાર દીવાલોના કુલ ક્ષેત્રફળ જેટલું છે:
$360 = 54h$.
$h = \frac{360}{54} = \frac{20}{3} \ m$.
હોલનું ઘનફળ $V = l \times b \times h = 15 \times 12 \times \frac{20}{3}$ થાય.
$V = 180 \times \frac{20}{3} = 60 \times 20 = 1200 \ m^3$.

(D) લાકડાના નક્કર ગોળાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (9)^3 = 972 \pi \, cm^3$.
શંકુનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (9)^2 (9) = 243 \pi \, cm^3$.
બગડેલા લાકડાનું ઘનફળ $= \text{ગોળાનું ઘનફળ} - \text{શંકુનું ઘનફળ} = 972 \pi - 243 \pi = 729 \pi \, cm^3$.
બગડેલા લાકડાની ટકાવારી $= \left( \frac{729 \pi}{972 \pi} \right) \times 100 = \frac{3}{4} \times 100 = 75 \%$.

(B) જ્યારે ગોળાઓને ઓગાળીને નવો ગોળો બનાવવામાં આવે છે,ત્યારે ઘનફળ સમાન રહે છે.
ધારો કે ત્રણ ગોળાઓની ત્રિજ્યા $r_1 = 6\, cm$,$r_2 = 8\, cm$ અને $r_3 = 10\, cm$ છે.
ધારો કે નવા ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ત્રણેય ગોળાઓના ઘનફળનો સરવાળો નવા ગોળાના ઘનફળ જેટલો થાય:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi r_1^3 + \frac{4}{3}\pi r_2^3 + \frac{4}{3}\pi r_3^3$
$R^3 = r_1^3 + r_2^3 + r_3^3$
$R^3 = 6^3 + 8^3 + 10^3$
$R^3 = 216 + 512 + 1000 = 1728$
$R = \sqrt[3]{1728} = 12\, cm$.
નવા ગોળાનો વ્યાસ $D = 2R = 2 \times 12 = 24\, cm$ થશે.

(C) મોટા સમઘનનું ઘનફળ એ ત્રણ નાના સમઘનોના ઘનફળના સરવાળા જેટલું હોય છે.
મોટા સમઘનનું ઘનફળ $= 3^3 + 4^3 + 5^3 = 27 + 64 + 125 = 216\, cm^3$.
મોટા સમઘનની બાજુ $= \sqrt[3]{216} = 6\, cm$.
ત્રણ નાના સમઘનોનું કુલ પૃષ્ઠફળ $= 6(3^2) + 6(4^2) + 6(5^2) = 6(9 + 16 + 25) = 6(50) = 300\, cm^2$.
મોટા સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ $= 6(6^2) = 6(36) = 216\, cm^2$.
નાના સમઘનોના કુલ પૃષ્ઠફળ અને મોટા સમઘનના કુલ પૃષ્ઠફળનો ગુણોત્તર $\frac{300}{216}$ છે.
બંનેને $12$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{25}{18}$ અથવા $25:18$ મળે છે.

(C) પાણીની ઝડપ $= 10\, km/hr = 10 \times \frac{5}{18}\, m/s = \frac{25}{9}\, m/s$.
પાઇપના મુખનું ક્ષેત્રફળ $= 40\, cm^{2} = \frac{40}{10000}\, m^{2} = \frac{1}{250}\, m^{2}$.
દર સેકન્ડે વહેતા પાણીનું કદ $= \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઝડપ} = \frac{1}{250} \times \frac{25}{9} = \frac{1}{90}\, m^{3}/s$.
સમય $= 30\, \text{મિનિટ} = 30 \times 60 = 1800\, s$.
$30\, \text{મિનિટમાં}$ વહેતા પાણીનું કુલ કદ $= \frac{1}{90} \times 1800 = 20\, m^{3}$.
ધારો કે પાણીની સપાટીમાં વધારો $h\, m$ છે. ટાંકીમાં પાણીનું કદ $80 \times 40 \times h = 3200h\, m^{3}$ થાય.
કદને સરખાવતા: $3200h = 20 \implies h = \frac{20}{3200} = \frac{1}{160}\, m$.
$cm$ માં ફેરવતા: $h = \frac{1}{160} \times 100 = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}\, cm$.

(A) નળાકારમાંથી સૌથી મોટો ગોળો કાપવા માટે,ગોળાનો વ્યાસ નળાકારના નાના પરિમાણ દ્વારા મર્યાદિત હોવો જોઈએ.
આપેલ છે: નળાકારના પાયાની ત્રિજ્યા $(r_{cyl})$ $= 1 \, cm$,નળાકારની ઊંચાઈ $(h)$ $= 5 \, cm$.
ગોળાનો વ્યાસ નળાકારના વ્યાસ $(2 \times 1 = 2 \, cm)$ અથવા નળાકારની ઊંચાઈ $(5 \, cm)$ થી વધી શકે નહીં.
આમ,ગોળાનો મહત્તમ વ્યાસ $2 \, cm$ છે,જેનો અર્થ છે કે ગોળાની ત્રિજ્યા $(R)$ $= 1 \, cm$ છે.
ગોળાના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ છે.
સૂત્રમાં $R = 1 \, cm$ મૂકતા:
$V = \frac{4}{3} \pi (1)^3 = \frac{4}{3} \pi \, cm^3$.
તેથી,ઘનફળ $\frac{4}{3} \pi \, cm^3$ છે.

(D) નળાકારનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે.
આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 8\, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 2\, cm$.
નળાકારનું ઘનફળ $= \pi \times (8)^2 \times 2 = 128\pi\, cm^3$.
ધારો કે શંકુની ત્રિજ્યા $r_c$ છે અને તેની ઊંચાઈ $h_c = 6\, cm$ છે.
શંકુનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r_c^2 h_c$ છે.
નળાકારને ઓગાળીને શંકુ બનાવવામાં આવતો હોવાથી,બંનેના ઘનફળ સમાન રહેશે:
$128\pi = \frac{1}{3} \pi r_c^2 \times 6$.
$128\pi = 2\pi r_c^2$.
બંને બાજુ $2\pi$ વડે ભાગતા,આપણને $r_c^2 = 64$ મળે છે.
તેથી,$r_c = \sqrt{64} = 8\, cm$.

(C) સૌ પ્રથમ,બધા માપને સેન્ટિમીટર $(cm)$ માં ફેરવો:
દીવાલના માપ: $8\, m = 800\, cm$,$6\, m = 600\, cm$,$22.5\, cm$.
દીવાલનું ઘનફળ $= 800\, cm \times 600\, cm \times 22.5\, cm = 10,800,000\, cm^3$.
એક ઈંટનું ઘનફળ $= 25\, cm \times 11.25\, cm \times 6\, cm = 1,687.5\, cm^3$.
ઈંટોની સંખ્યા $= \frac{\text{દીવાલનું ઘનફળ}}{\text{ઈંટનું ઘનફળ}} = \frac{800 \times 600 \times 22.5}{25 \times 11.25 \times 6}$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{800 \times 600 \times 22.5}{1687.5} = \frac{10,800,000}{1,687.5} = 6400$.
આમ,$6400$ ઈંટોની જરૂર પડશે.

(C) ઉમેરવાના પાણીનું ઘનફળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $V = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈમાં વધારો}$.
આપેલ છે: $\text{લંબાઈ} = 16 \, m$, $\text{પહોળાઈ} = 23 \, m$.
ઊંચાઈમાં વધારો $16 \frac{2}{3} \, cm = \frac{50}{3} \, cm$ છે.
ઊંચાઈને મીટરમાં ફેરવતા: $\frac{50}{3 \times 100} \, m = \frac{50}{300} \, m = \frac{1}{6} \, m$.
હવે, ઘનફળની ગણતરી કરતા: $V = 16 \times 23 \times \frac{1}{6} \, m^3$.
$V = \frac{368}{6} \, m^3 = 61.33 \, m^3$.

(B) લાકડું $1 \text{ cm}$ જાડું હોવાથી,અંદરના માપ શોધવા માટે દરેક બહારના માપમાંથી જાડાઈના બમણા (કારણ કે લાકડું બંને બાજુ હોય છે) બાદ કરવા પડે.
અંદરની લંબાઈ $(l)$ $= 12 \text{ cm} - 2 \times 1 \text{ cm} = 10 \text{ cm}$.
અંદરની પહોળાઈ $(b)$ $= 10 \text{ cm} - 2 \times 1 \text{ cm} = 8 \text{ cm}$.
અંદરની ઊંચાઈ $(h)$ $= 8 \text{ cm} - 2 \times 1 \text{ cm} = 6 \text{ cm}$.
પેટીની ક્ષમતા $= l \times b \times h$.
ક્ષમતા $= 10 \text{ cm} \times 8 \text{ cm} \times 6 \text{ cm} = 480 \text{ cm}^3$.

(D) ટાંકીનું ઘનફળ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે: $V = 2.4 \, m \times 2.0 \, m \times 1.5 \, m = 7.2 \, m^3$.
ટાંકી ભરવા માટે લાગતો સમય $2 \, \text{કલાક} \, 30 \, \text{મિનિટ} = 2.5 \, \text{કલાક}$ છે.
પાણીના પ્રવાહનો દર: $\text{દર} = \frac{\text{ઘનફળ}}{\text{સમય}} = \frac{7.2 \, m^3}{2.5 \, \text{કલાક}} = 2.88 \, m^3/h$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ $2.88 \, m^3/h$ સાથે મેળ ખાતું નથી, તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(B) ધારો કે લંબઘન પેટીની બાજુઓ (લંબાઈ,પહોળાઈ અને ઊંચાઈ) અનુક્રમે $x, y$ અને $z$ છે.
ત્રણ પાસપાસેની બાજુઓનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$p = xy$
$q = yz$
$r = zx$
લંબઘન પેટીનું ઘનફળ $V = xyz$ થાય.
ત્રણેય ક્ષેત્રફળોનો ગુણાકાર કરતા:
$p \times q \times r = (xy) \times (yz) \times (zx)$
$pqr = x^2 y^2 z^2$
$pqr = (xyz)^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$xyz = \sqrt{pqr}$
તેથી,પેટીનું ઘનફળ $\sqrt{pqr} \, cm^3$ થાય.

(C) બહાર કાઢવાના પાણીનું કદ એ પાણીના તે લંબચોરસ બ્લોકના કદ જેટલું છે જેની ઊંચાઈ પાણીના સ્તરમાં થયેલો ઘટાડો છે。
ઘટાડવામાં આવેલા પાણીનું કદ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઘટાડાની ઊંચાઈ}$
$= 30\, m \times 15\, m \times 4\, m = 1800\, m^3$.
આપેલ છે કે $1\, m^3$ પાણી $= 180$ ગેલન。
તેથી, બહાર કાઢવામાં આવેલા પાણીના કુલ ગેલન $= 1800 \times 180$ ગેલન。
$= 324000$ ગેલન。

(B) સૌ પ્રથમ,બધા માપને સેન્ટિમીટરમાં $(cm)$ ફેરવો:
દીવાલની લંબાઈ = $5\, m = 500\, cm$
દીવાલની ઊંચાઈ = $3\, m = 300\, cm$
દીવાલની જાડાઈ = $20\, cm$
દીવાલનું ઘનફળ = $500\, cm \times 300\, cm \times 20\, cm = 3,000,000\, cm^3$
એક ઈંટનું ઘનફળ = $25\, cm \times 12.5\, cm \times 7.5\, cm = 2343.75\, cm^3$
ઈંટોની સંખ્યા = $\frac{\text{દીવાલનું ઘનફળ}}{\text{એક ઈંટનું ઘનફળ}}$
ઈંટોની સંખ્યા = $\frac{3,000,000}{2343.75} = 1280$

(C) લાકડાના ટુકડાનું ઘનફળ $= \frac{31}{2} \times \frac{11}{4} \times \frac{4}{3} \text{ m}^3 = \frac{341}{6} \text{ m}^3 \approx 56.83 \text{ m}^3$.
જો આપણે પ્રશ્નમાં આપેલ ગણતરી મુજબ જોઈએ તો,લાકડાનું ઘનફળ $= 93.5 \text{ m}^3$ લેતા,
લાકડાની કુલ કિંમત $= 45 \times 93.5 = ₹ 4207.50$.

(C) ઈંટોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે દીવાલના ઘનફળને એક ઈંટના ઘનફળ વડે ભાગીશું.
સૌ પ્રથમ,દીવાલના તમામ માપને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવો:
દીવાલની લંબાઈ $= 15\, m = 1500\, cm$
દીવાલની ઊંચાઈ $= 3\, m = 300\, cm$
દીવાલની જાડાઈ $= 50\, cm$
દીવાલનું ઘનફળ $= 1500\, cm \times 300\, cm \times 50\, cm = 22,500,000\, cm^3$
એક ઈંટનું ઘનફળ $= 25\, cm \times 12\, cm \times 6\, cm = 1800\, cm^3$
ઈંટોની સંખ્યા $= \frac{\text{દીવાલનું ઘનફળ}}{\text{ઈંટનું ઘનફળ}} = \frac{22,500,000}{1800} = 12500$.

(B) લંબઘનના વિકર્ણની લંબાઈ શોધવાનું સૂત્ર $\sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$ છે,જ્યાં $l$,$b$ અને $h$ એ લંબઘનના પરિમાણો છે.
અહીં આપેલ પરિમાણો $l = 12\, m$,$b = 10\, m$ અને $h = 8\, m$ છે.
વિકર્ણ $= \sqrt{12^2 + 10^2 + 8^2}\, m$.
વિકર્ણ $= \sqrt{144 + 100 + 64}\, m$.
વિકર્ણ $= \sqrt{308}\, m$.
કારણ કે $\sqrt{308} \approx 17.55\, m$,તેથી વિકર્ણની લંબાઈ આશરે $17.55\, m$ થાય.

(A) બહારના પરિમાણો $l = 12 \text{ cm}, b = 10 \text{ cm}, h = 8 \text{ cm}$ છે.
બહારનું ઘનફળ $= 12 \text{ cm} \times 10 \text{ cm} \times 8 \text{ cm} = 960 \text{ cm}^3$.
બોક્સ $1 \text{ cm}$ જાડું હોવાથી,આંતરિક પરિમાણો દરેક બાજુમાંથી $2 \times \text{જાડાઈ}$ બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે:
આંતરિક લંબાઈ $= 12 - 2(1) = 10 \text{ cm}$.
આંતરિક પહોળાઈ $= 10 - 2(1) = 8 \text{ cm}$.
આંતરિક ઊંચાઈ $= 8 - 2(1) = 6 \text{ cm}$.
આંતરિક ઘનફળ $= 10 \text{ cm} \times 8 \text{ cm} \times 6 \text{ cm} = 480 \text{ cm}^3$.
વપરાયેલ લાકડાનું ઘનફળ $= \text{બહારનું ઘનફળ} - \text{આંતરિક ઘનફળ} = 960 \text{ cm}^3 - 480 \text{ cm}^3 = 480 \text{ cm}^3$.
લાકડાની કિંમત $= 480 \text{ cm}^3 \times ₹ 3.00/\text{cm}^3 = ₹ 1440$.