Measurement of Volume and Surface Area Questions in Hindi

(B) तार की लंबाई वृत्त की परिधि के बराबर होती है।
परिधि $= 2 \pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 42 = 264 \, cm$.
चूंकि तार को एक आयत में मोड़ा गया है,इसलिए आयत का परिमाप तार की लंबाई के बराबर होगा।
परिमाप $= 2(l + b) = 264 \, cm$,अतः $l + b = 132 \, cm$.
भुजाओं का अनुपात $6:5$ है। मान लीजिए भुजाएँ $6x$ और $5x$ हैं।
$6x + 5x = 132 \implies 11x = 132 \implies x = 12$.
भुजाएँ $6 \times 12 = 72 \, cm$ और $5 \times 12 = 60 \, cm$ हैं।
छोटी भुजा $60 \, cm$ है।

(A) माना कि दो घनों की भुजाएँ $a_1$ और $a_2$ हैं।
उनके आयतन का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{a_1^3}{a_2^3} = \frac{8}{125}$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,उनकी भुजाओं का अनुपात $\frac{a_1}{a_2} = \sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,उनकी भुजाओं का अनुपात $2:5$ है।
उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{6a_1^2}{6a_2^2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2$ द्वारा दिया जाता है।
भुजाओं का अनुपात रखने पर,हमें $\left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $4:25$ है।

(C) माना कि उभयनिष्ठ त्रिज्या $r$ है और उभयनिष्ठ ऊँचाई $h$ है। चूँकि वे एक ही आधार पर स्थित हैं और उनकी ऊँचाई समान है,अर्धगोले के लिए $h = r$ होगा।
अतः,तीनों आकृतियों के लिए $h = r$ है।
$1$. आयतनों का अनुपात:
$V_{cylinder} = \pi r^2 h = \pi r^3$
$V_{hemisphere} = \frac{2}{3} \pi r^3$
$V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^3$
अनुपात $= \pi r^3 : \frac{2}{3} \pi r^3 : \frac{1}{3} \pi r^3 = 1 : \frac{2}{3} : \frac{1}{3} = 3 : 2 : 1$.
$2$. वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $(CSA)$:
$CSA_{cylinder} = 2 \pi r h = 2 \pi r^2$
$CSA_{hemisphere} = 2 \pi r^2$
$CSA_{cone} = \pi r l = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} = \pi r \sqrt{r^2 + r^2} = \pi r^2 \sqrt{2}$
अनुपात $= 2 \pi r^2 : 2 \pi r^2 : \sqrt{2} \pi r^2 = 2 : 2 : \sqrt{2} = \sqrt{2} : \sqrt{2} : 1$.

(B) यहाँ त्रिभुज का आधार $r = 6.3 \, m$ और ऊँचाई $h = 10 \, m$ है।
जब त्रिभुज को उसकी ऊँचाई के परितः घुमाया जाता है,तो यह $r = 6.3 \, m$ और $h = 10 \, m$ वाला एक शंकु बनाता है।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (6.3)^2 \times 10 = 415.8 \, m^3$.
तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(6.3)^2 + 10^2} = \sqrt{39.69 + 100} = \sqrt{139.69} \approx 11.81 \, m$.
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi r l = \frac{22}{7} \times 6.3 \times 11.81 = 233.83 \, m^2$.

(D) शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है।
माना दो शंकुओं की ऊँचाइयाँ $h_1$ और $h_2$ हैं,और उनकी त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं।
उनकी ऊँचाइयों का अनुपात $\frac{h_1}{h_2} = \frac{1}{5}$ है।
चूँकि व्यासों का अनुपात $5:6$ है,इसलिए उनकी त्रिज्याओं का अनुपात भी $\frac{r_1}{r_2} = \frac{5}{6}$ होगा।
उनके आयतनों का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1}{\frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \left(\frac{h_1}{h_2}\right)$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\left(\frac{5}{6}\right)^2 \times \left(\frac{1}{5}\right) = \frac{25}{36} \times \frac{1}{5} = \frac{5}{36}$।
अतः,उनके आयतनों का अनुपात $5:36$ है।

(B) माना घनाभ के किनारे $l = 3x,$ $b = 2x,$ और $h = x$ हैं।
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल $2(lb + bh + lh) = 88 \, cm^2$ होता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $2((3x)(2x) + (2x)(x) + (3x)(x)) = 88.$
$2(6x^2 + 2x^2 + 3x^2) = 88.$
$2(11x^2) = 88.$
$22x^2 = 88.$
$x^2 = 4 \implies x = 2 \, cm.$
अब,विमाएँ $l = 3(2) = 6 \, cm,$ $b = 2(2) = 4 \, cm,$ और $h = 2 \, cm$ हैं।
घनाभ का आयतन $V = l \times b \times h = 6 \times 4 \times 2 = 48 \, cm^3$ है।

(A) एक घन में $6$ वर्गाकार फलक होते हैं। मान लीजिए कि घन की भुजा की लंबाई $a \, cm$ है।
एक वर्गाकार फलक का परिमाप $4a$ होता है।
दिया गया है कि $4a = 20 \, cm$,इसलिए $a = \frac{20}{4} = 5 \, cm$ प्राप्त होता है।
घन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = a^3$ है।
$a$ का मान रखने पर,हमें $V = 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125 \, cm^3$ प्राप्त होता है।

(C) माना कि दो घनों की भुजाएँ क्रमशः $a_1$ और $a_2$ हैं।
घन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = a^3$ है।
दिया गया आयतन का अनुपात: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{27}{1}$ है।
आयतन के सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{a_1^3}{a_2^3} = \frac{27}{1}$ है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $\frac{a_1}{a_2} = \sqrt[3]{\frac{27}{1}} = \frac{3}{1}$ प्राप्त होता है।
अतः,उनकी भुजाओं का अनुपात $3: 1$ है।

(B) निकाले गए पानी का आयतन $11 \, \text{लीटर} = 11000 \, \text{cm}^3$ है।
बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $h$ ऊँचाई में गिरावट है।
दिया गया व्यास $d = 35 \, \text{cm}$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{35}{2} \, \text{cm}$ होगी।
मान रखने पर: $11000 = \frac{22}{7} \times (\frac{35}{2})^2 \times h$.
$11000 = \frac{22}{7} \times \frac{1225}{4} \times h$.
$11000 = \frac{11 \times 175}{2} \times h$.
$h = \frac{11000 \times 2}{11 \times 175} = \frac{2000}{175} = \frac{80}{7} \, \text{cm}$.
$h = 11 \frac{3}{7} \, \text{cm}$.

(D) दिया गया है कि ऊँचाई $h = 15\, cm$ और आधार का व्यास $d = 16\, cm$ है।
त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{16}{2} = 8\, cm$.
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l$ का सूत्र $l = \sqrt{h^2 + r^2}$ है।
$l = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17\, cm$.
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $\pi r l$ है।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi \times 8 \times 17 = 136\pi\, cm^2$.

(C) मान लीजिए कि अर्धगोलाकार कटोरे की त्रिज्या $r$ है। अर्धगोलाकार कटोरे का आयतन $V_h = \frac{2}{3} \pi r^3$ है।
बेलनाकार बर्तन के लिए,व्यास कटोरे के समान है,इसलिए इसकी त्रिज्या भी $r$ है। यह दिया गया है कि त्रिज्या $r$ उसकी ऊंचाई $h$ से $50 \%$ अधिक है,इसलिए $r = h + 0.5h = 1.5h = \frac{3}{2}h$। अतः,$h = \frac{2}{3}r$।
बेलनाकार बर्तन का आयतन $V_c = \pi r^2 h = \pi r^2 (\frac{2}{3}r) = \frac{2}{3} \pi r^3$ है।
चूंकि स्थानांतरित पेय का आयतन $(V_h)$ बेलनाकार बर्तन के आयतन $(V_c)$ के बराबर है,इसलिए पेय बेलन को पूरी तरह से भर देता है। अतः,बेलनाकार बर्तन में पेय का आयतन बर्तन की क्षमता का $100 \%$ है।

(B) खोखले गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ बाहरी त्रिज्या है और $r$ आंतरिक त्रिज्या है।
दिया गया है: बाहरी व्यास $= 8\,cm \implies R = 4\,cm$. आंतरिक व्यास $= 4\,cm \implies r = 2\,cm$.
खोखले गोले का आयतन $= \frac{4}{3} \pi (4^3 - 2^3) = \frac{4}{3} \pi (64 - 8) = \frac{4}{3} \pi \times 56\,cm^3$.
जब गोले को पिघलाकर शंकु बनाया जाता है,तो आयतन समान रहता है।
शंकु का आयतन $= \frac{1}{3} \pi r_{cone}^2 h$.
दिया गया है: शंकु के आधार का व्यास $= 8\,cm \implies r_{cone} = 4\,cm$.
आयतन की तुलना करने पर: $\frac{1}{3} \pi (4)^2 h = \frac{4}{3} \pi \times 56$.
$16h = 4 \times 56$.
$h = \frac{224}{16} = 14\,cm$.

(D) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया आयतन का अनुपात: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{64}{27}$.
चूंकि $\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1^3}{r_2^3}$,इसलिए $\frac{r_1^3}{r_2^3} = \frac{64}{27}$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt[3]{\frac{64}{27}} = \frac{4}{3}$.
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4 \pi r_1^2}{4 \pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$ होगा।
त्रिज्याओं का अनुपात रखने पर: $\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$.
अतः,उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $16:9$ है।

(C) दिया है: तिर्यक ऊँचाई $l = 10 \, m$ और ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h = 8 \, m$ है।
सबसे पहले,हम $l^2 = r^2 + h^2$ संबंध का उपयोग करके आधार की त्रिज्या $r$ ज्ञात करते हैं।
$r^2 = l^2 - h^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$.
$r = \sqrt{36} = 6 \, m$.
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \pi r l$ है।
मान रखने पर,$A = \pi \times 6 \times 10 = 60 \pi \, m^2$.
अतः,वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $60 \pi \, m^2$ है।

(C) बड़े घनाकार बक्से के किनारे की लंबाई $1\, m = 100\, cm$ है।
बड़े घनाकार बक्से का आयतन $V_{1} = (100\, cm)^{3} = 1,000,000\, cm^{3}$ है।
$10\, cm$ किनारे वाले एक छोटे घन का आयतन $V_{2} = (10\, cm)^{3} = 1,000\, cm^{3}$ है।
बक्से में रखे जा सकने वाले घनों की संख्या आयतनों के अनुपात द्वारा प्राप्त की जाती है: $\text{घनों की संख्या} = \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1,000,000}{1,000} = 1,000$.

(C) $3 \, cm$ त्रिज्या वाले गोले का आयतन $V_s = \frac{4}{3} \pi r_s^3 = \frac{4}{3} \pi (3)^3 = 36 \pi \, cm^3$ है।
जब गोला पूरी तरह से डूब जाता है,तो विस्थापित पानी का आयतन गोले के आयतन के बराबर होता है।
मान लीजिए कि बेलनाकार बर्तन में पानी के स्तर में वृद्धि $h$ है। बेलन में विस्थापित पानी का आयतन $V_w = A_c \times h$ है,जहाँ $A_c$ बेलन का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
बेलन की त्रिज्या $r_c = 4 \, cm$ है,इसलिए $A_c = \pi r_c^2 = \pi (4)^2 = 16 \pi \, cm^2$ है।
आयतन को बराबर करने पर: $16 \pi \times h = 36 \pi$।
$h$ के लिए हल करने पर: $h = \frac{36 \pi}{16 \pi} = \frac{9}{4} \, cm$।

(B) $7 \, cm$ भुजा $(a)$ वाले घन से काटे जा सकने वाले सबसे बड़े लंब वृत्तीय शंकु के लिए:
शंकु के आधार का व्यास $d = a = 7 \, cm$,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{7}{2} \, cm$ है।
शंकु की ऊँचाई $h = a = 7 \, cm$ है।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है।
मान रखने पर: $V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (\frac{7}{2})^2 \times 7$।
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{49}{4} \times 7$।
$V = \frac{1}{3} \times 22 \times \frac{49}{4} = \frac{11 \times 49}{6} = \frac{539}{6} \approx 89.83 \, cm^3$।
अतः,आयतन लगभग $89.8 \, cm^3$ है।

(B) मान लीजिए कि तीन घनों की भुजाएँ $3x, 4x,$ और $5x$ हैं।
तीनों घनों का कुल आयतन $V = (3x)^3 + (4x)^3 + (5x)^3$ है।
$V = 27x^3 + 64x^3 + 125x^3 = 216x^3$।
मान लीजिए कि नए एकल घन की भुजा $S$ है। तब $S^3 = 216x^3$,जिसका अर्थ है $S = \sqrt[3]{216x^3} = 6x$।
$S$ भुजा वाले घन का विकर्ण $S\sqrt{3}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि विकर्ण $12\sqrt{3} \text{ cm}$ दिया गया है,हमारे पास $6x\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ है।
दोनों पक्षों को $6\sqrt{3}$ से विभाजित करने पर,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,घनों की भुजाएँ $3(2) = 6 \text{ cm}, 4(2) = 8 \text{ cm},$ और $5(2) = 10 \text{ cm}$ हैं।

(B) एक घन के अंदर रखे जा सकने वाले सबसे लंबे खंभे की लंबाई उसके अंतरिक्ष विकर्ण (space diagonal) की लंबाई के बराबर होती है।
$a$ किनारे की लंबाई वाले घन के लिए अंतरिक्ष विकर्ण का सूत्र $d = a \sqrt{3}$ होता है।
यहाँ किनारे की लंबाई $a = \sqrt{3}\, m$ दी गई है।
सूत्र में $a$ का मान रखने पर:
$d = \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3\, m$.
भले ही घन का एक फलक खुला हो,अंतरिक्ष विकर्ण घन के आयतन के भीतर दो विपरीत शीर्षों के बीच की सबसे लंबी दूरी बनी रहती है।

(B) आयताकार धात्विक शीट के प्रारंभिक आयाम $48\, m \times 36\, m$ हैं。
जब प्रत्येक चार कोनों से $8\, m$ भुजा वाला एक वर्ग काटा जाता है, तो परिणामी खुले बॉक्स के आधार की लंबाई और चौड़ाई में $2 \times 8\, m = 16\, m$ की कमी आती है。
आधार की नई लंबाई $= 48\, m - 16\, m = 32\, m$.
आधार की नई चौड़ाई $= 36\, m - 16\, m = 20\, m$.
बॉक्स की ऊंचाई काटे गए वर्ग की भुजा के बराबर यानी $8\, m$ होगी。
बॉक्स का आयतन $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊंचाई} = 32\, m \times 20\, m \times 8\, m = 5120\, m^3$.

(C) दीवार का कुल आयतन $= 6\,m \times 5\,m \times 0.5\,m = 15\,m^3$ है।
चूंकि मसाला $5\%$ आयतन घेरता है,इसलिए ईंटों द्वारा घेरा गया आयतन $= 95\%$ का $15\,m^3 = 0.95 \times 15\,m^3 = 14.25\,m^3$ होगा।
दीवार के आयतन को घन सेंटीमीटर में बदलने पर: $14.25\,m^3 = 14.25 \times (100\,cm)^3 = 14.25 \times 1,000,000\,cm^3 = 14,250,000\,cm^3$ होगा।
$1$ ईंट का आयतन $= 25\,cm \times 12.5\,cm \times 7.5\,cm = 2343.75\,cm^3$ है।
आवश्यक ईंटों की संख्या $= \frac{\text{ईंटों का कुल आयतन}}{\text{एक ईंट का आयतन}} = \frac{14,250,000}{2343.75} = 6080$।

(B) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ के सूत्र द्वारा दिया जाता है। यहाँ व्यास $6\, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 3\, cm$ होगी।
गोले का आयतन $= \frac{4}{3} \pi (3)^3 = \frac{4}{3} \pi (27) = 36 \pi\, cm^3$ $...(1)$
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$ के सूत्र द्वारा दिया जाता है। यहाँ आधार का व्यास $12\, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $R = 6\, cm$ होगी।
शंकु का आयतन $= \frac{1}{3} \pi (6)^2 h = \frac{1}{3} \pi (36) h = 12 \pi h$ $...(2)$
चूंकि गोले को पिघलाकर शंकु बनाया गया है,इसलिए दोनों के आयतन समान होंगे।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$12 \pi h = 36 \pi$
$h = \frac{36 \pi}{12 \pi} = 3\, cm$
अतः,शंकु की ऊँचाई $3\, cm$ है।

(C) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
प्रतिशत में छोटे परिवर्तनों के लिए,आयतन में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta V}{V} = 3 \times \frac{\Delta r}{r}$ होती है।
दिया गया है कि त्रिज्या $1.5 \%$ अधिक है,इसलिए $\frac{\Delta r}{r} = 0.015$ है।
अतः,आयतन में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3 \times 1.5 \% = 4.5 \%$ है।
सटीक गणना का उपयोग करते हुए: यदि $r' = 1.015r$ है,तो $V' = \frac{4}{3} \pi (1.015r)^3 = (1.015)^3 V$ होगा।
$(1.015)^3 = 1.045678$ है।
प्रतिशत त्रुटि $(1.045678 - 1) \times 100 = 4.5678 \%$ है।
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $4.6 \%$ प्राप्त होता है।

(D) आयतन का घटता क्रम ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक का आयतन निकालते हैं:
$1.$ घनाभ का आयतन $= \text{\text{लंबाई}} \times \text{\text{चौड़ाई}} \times \text{\text{ऊंचाई}} = 5 \times 3 \times 4 = 60\,cm^3$.
$2.$ घन का आयतन $= \text{\text{भुजा}}^3 = 4^3 = 64\,cm^3$.
$3.$ बेलन का आयतन $= pi r^2 h = pi \times (3)^2 \times 3 = 27pi approx 27 \times 3.14 = 84.78\,cm^3$.
$4.$ गोले का आयतन $= \frac{4}{3} pi r^3 = \frac{4}{3} \times pi \times (3)^3 = 36pi approx 36 \times 3.14 = 113.04\,cm^3$.
मानों की तुलना करने पर: $113.04 > 84.78 > 64 > 60$.
अतः,घटता क्रम $4, 3, 2, 1$ है।

(B) माना कि दो शंकुओं की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं,और उनकी ऊंचाइयाँ क्रमशः $h_1$ और $h_2$ हैं।
दिया गया है कि त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{1}$ है।
चूंकि दोनों शंकुओं के आयतन समान हैं,इसलिए $V_1 = V_2$ होगा।
शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है।
अतः,$\frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2$।
दोनों पक्षों से $\frac{1}{3} \pi$ को हटाने पर,हमें $r_1^2 h_1 = r_2^2 h_2$ प्राप्त होता है।
ऊंचाइयों का अनुपात ज्ञात करने के लिए,$\frac{h_1}{h_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$।
दिए गए अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{1}$ को रखने पर,हमें $\frac{r_2}{r_1} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\frac{h_1}{h_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$।
अतः,उनकी ऊंचाइयों का अनुपात $1:4$ है।

(C) माना शंकु की त्रिज्या $r = 3x$ और ऊँचाई $h = 4x$ है।
शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $96\pi = \frac{1}{3}\pi (3x)^2 (4x)$.
समीकरण को सरल करने पर: $96\pi = \frac{1}{3}\pi (9x^2)(4x) = 12\pi x^3$.
दोनों पक्षों को $12\pi$ से विभाजित करने पर: $x^3 = \frac{96}{12} = 8$.
घनमूल लेने पर: $x = 2$.
अतः,त्रिज्या $r = 3(2) = 6\, cm$ और ऊँचाई $h = 4(2) = 8\, cm$ प्राप्त होती है।
तिर्यक ऊँचाई $l$ का सूत्र $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ है।
$l = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\, cm$.

(A) चांदी के तार का आयतन $V = 66 \text{ cm}^3$ दिया गया है।
चूंकि तार बेलनाकार है,इसलिए इसका आयतन $V = \pi r^2 L$ होता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $L$ लंबाई है।
तार का व्यास $1 \text{ mm} = 0.1 \text{ cm}$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 0.05 \text{ cm}$ होगी।
मान रखने पर: $66 = \pi \times (0.05)^2 \times L$.
$L = \frac{66}{\pi \times 0.0025} = \frac{66 \times 7}{22 \times 0.0025} = \frac{3 \times 7}{0.0025} = \frac{21}{0.0025} = 8400 \text{ cm}$.
मीटर में बदलने पर: $8400 \text{ cm} = 84 \text{ m}$.

(C) माना बेलन $X$ और $Y$ की ऊँचाई $h_1 = h_2 = h$ है।
माना $X$ का व्यास $d_1$ और $Y$ का व्यास $d_2$ है। दिया गया है कि $d_1 = \frac{1}{2} d_2$,जिसका अर्थ है $d_2 = 2d_1$.
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h = \pi (d/2)^2 h = \frac{\pi d^2 h}{4}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$X$ का आयतन $(V_X)$ = $\frac{\pi d_1^2 h}{4}$.
$Y$ का आयतन $(V_Y)$ = $\frac{\pi d_2^2 h}{4} = \frac{\pi (2d_1)^2 h}{4} = \frac{4 \pi d_1^2 h}{4} = 4 V_X$.
यदि $X$ की ऊँचाई दोगुनी कर दी जाए,तो नया आयतन $V_X' = \frac{\pi d_1^2 (2h)}{4} = 2 \times \frac{\pi d_1^2 h}{4} = 2 V_X$.
चूँकि $V_Y = 4 V_X$,इसलिए $V_X = \frac{1}{4} V_Y$.
अतः,$V_X' = 2 \times (\frac{1}{4} V_Y) = \frac{1}{2} V_Y$.
इस प्रकार,$X$ का आयतन $Y$ के आयतन का आधा हो जाता है।

(A) माना दीवार की चौड़ाई $b$,ऊँचाई $h$ और लंबाई $l$ है।
दिया गया है: $h = 6b$ और $l = 7h$.
लंबाई के समीकरण में $h$ का मान $b$ के पदों में रखने पर: $l = 7(6b) = 42b$.
दीवार का आयतन $V = l \times b \times h$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $V = (42b) \times (b) \times (6b) = 252b^3$.
दिया गया है $V = 16128 \, m^3$,अतः $252b^3 = 16128$.
$b^3 = \frac{16128}{252} = 64$.
$b = \sqrt[3]{64} = 4 \, m$.
अतः,दीवार की चौड़ाई $4 \, m$ है।

(D) दिया गया है,त्रिज्या $r = \frac{h}{2}$,जिसका अर्थ है $h = 2r$.
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 2 \pi r h = 616 \, cm^{2}$ है।
क्षेत्रफल के सूत्र में $h = 2r$ रखने पर: $2 \pi r (2r) = 616$.
$4 \pi r^{2} = 616$.
$r^{2} = \frac{616}{4 \pi} = \frac{154}{\frac{22}{7}} = \frac{154 \times 7}{22} = 7 \times 7 = 49$.
अतः,$r = 7 \, cm$ और $h = 2 \times 7 = 14 \, cm$.
बेलन का आयतन $V = \pi r^{2} h = \frac{22}{7} \times (7)^{2} \times 14$ है।
$V = 22 \times 7 \times 14 = 2156 \, cm^{3}$.
चूंकि $1000 \, cm^{3} = 1 \, \text{लीटर}$,इसलिए लीटर में आयतन $\frac{2156}{1000} = 2.156 \, \text{लीटर}$ होगा।
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,यह लगभग $2.2 \, \text{लीटर}$ है।

(A) दिया गया है: क्षमता $V = 246.4$ लीटर। चूँकि $1000$ लीटर $= 1$ $m^3$,इसलिए $V = 246.4 / 1000 = 0.2464$ $m^3$.
ऊँचाई $h = 4$ $m$.
बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h = \pi (d/2)^2 h = (\pi d^2 h) / 4$ है।
मान रखने पर: $0.2464 = (22/7 \times d^2 \times 4) / 4$.
$0.2464 = (22/7) \times d^2$.
$d^2 = (0.2464 \times 7) / 22$.
$d^2 = 0.0112 \times 7 = 0.0784$.
$d = \sqrt{0.0784} = 0.28$ $m$.

(D) घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $6a^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ भुजा की लंबाई है।
यहाँ $a = 2.5\, m$ दिया गया है,इसलिए पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6 \times (2.5)^2 = 6 \times 6.25 = 37.5\, m^2$.
चूंकि $1\, kg$ पेंट $1.5\, m^2$ को कवर करता है,इसलिए आवश्यक पेंट की मात्रा $= \frac{37.5}{1.5} = 25\, kg$.
पेंट की कीमत ₹ $36/kg$ है,इसलिए कुल खर्च $= 25 \times 36 = ₹ 900$.

(C) माना लंबाई $l = 15 \ m$,चौड़ाई $b = 12 \ m$,और ऊँचाई $h \ m$ है।
फर्श और छत का क्षेत्रफल $2 \times (l \times b) = 2 \times 15 \times 12 = 360 \ m^2$ है।
चार दीवारों का क्षेत्रफल $2 \times (l + b) \times h = 2 \times (15 + 12) \times h = 54h \ m^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,फर्श और छत के क्षेत्रफलों का योग चार दीवारों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है:
$360 = 54h$.
$h = \frac{360}{54} = \frac{20}{3} \ m$.
हॉल का आयतन $V = l \times b \times h = 15 \times 12 \times \frac{20}{3}$ है।
$V = 180 \times \frac{20}{3} = 60 \times 20 = 1200 \ m^3$.

(D) ठोस लकड़ी के गोले का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (9)^3 = 972 \pi \, cm^3$.
शंकु का आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (9)^2 (9) = 243 \pi \, cm^3$.
बर्बाद हुई लकड़ी का आयतन $= \text{गोले का आयतन} - \text{शंकु का आयतन} = 972 \pi - 243 \pi = 729 \pi \, cm^3$.
बर्बाद हुई लकड़ी का प्रतिशत $= \left( \frac{729 \pi}{972 \pi} \right) \times 100 = \frac{3}{4} \times 100 = 75 \%$.

(B) जब गोलों को पिघलाकर एक नया गोला बनाया जाता है,तो आयतन संरक्षित रहता है।
माना तीन गोलों की त्रिज्याएँ $r_1 = 6\, cm$,$r_2 = 8\, cm$ और $r_3 = 10\, cm$ हैं।
माना नए गोले की त्रिज्या $R$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
तीनों गोलों के आयतनों का योग नए गोले के आयतन के बराबर होगा:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi r_1^3 + \frac{4}{3}\pi r_2^3 + \frac{4}{3}\pi r_3^3$
$R^3 = r_1^3 + r_2^3 + r_3^3$
$R^3 = 6^3 + 8^3 + 10^3$
$R^3 = 216 + 512 + 1000 = 1728$
$R = \sqrt[3]{1728} = 12\, cm$.
नए गोले का व्यास $D = 2R = 2 \times 12 = 24\, cm$ होगा।

(C) बड़े घन का आयतन तीन छोटे घनों के आयतन के योग के बराबर होता है।
बड़े घन का आयतन $= 3^3 + 4^3 + 5^3 = 27 + 64 + 125 = 216\, cm^3$.
बड़े घन की भुजा $= \sqrt[3]{216} = 6\, cm$.
तीनों छोटे घनों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6(3^2) + 6(4^2) + 6(5^2) = 6(9 + 16 + 25) = 6(50) = 300\, cm^2$.
बड़े घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6(6^2) = 6(36) = 216\, cm^2$.
छोटे घनों के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और बड़े घन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{300}{216}$ है।
दोनों को $12$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{25}{18}$ या $25:18$ प्राप्त होता है।

(C) पानी की गति $= 10\, km/hr = 10 \times \frac{5}{18}\, m/s = \frac{25}{9}\, m/s$.
पाइप के मुख का क्षेत्रफल $= 40\, cm^{2} = \frac{40}{10000}\, m^{2} = \frac{1}{250}\, m^{2}$.
प्रति सेकंड बहने वाले पानी का आयतन $= \text{क्षेत्रफल} \times \text{गति} = \frac{1}{250} \times \frac{25}{9} = \frac{1}{90}\, m^{3}/s$.
समय $= 30\, \text{मिनट} = 30 \times 60 = 1800\, s$.
$30\, \text{मिनट में}$ बहने वाले पानी का कुल आयतन $= \frac{1}{90} \times 1800 = 20\, m^{3}$.
माना पानी के स्तर में वृद्धि $h\, m$ है। टंकी में पानी का आयतन $80 \times 40 \times h = 3200h\, m^{3}$ होगा।
आयतन की तुलना करने पर: $3200h = 20 \implies h = \frac{20}{3200} = \frac{1}{160}\, m$.
$cm$ में बदलने पर: $h = \frac{1}{160} \times 100 = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}\, cm$.

(A) बेलन से सबसे बड़ा गोला काटने के लिए,गोले का व्यास बेलन के छोटे आयाम द्वारा सीमित होना चाहिए।
दिया गया है: बेलन के आधार की त्रिज्या $(r_{cyl})$ $= 1 \, cm$,बेलन की ऊँचाई $(h)$ $= 5 \, cm$.
गोले का व्यास बेलन के व्यास $(2 \times 1 = 2 \, cm)$ या बेलन की ऊँचाई $(5 \, cm)$ से अधिक नहीं हो सकता है।
अतः,गोले का अधिकतम व्यास $2 \, cm$ है,जिसका अर्थ है कि गोले की त्रिज्या $(R)$ $= 1 \, cm$ है।
गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ होता है।
सूत्र में $R = 1 \, cm$ रखने पर:
$V = \frac{4}{3} \pi (1)^3 = \frac{4}{3} \pi \, cm^3$.
इसलिए,आयतन $\frac{4}{3} \pi \, cm^3$ है।

(D) बेलन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = \pi r^2 h$ है।
दिया गया है: त्रिज्या $r = 8\, cm$ और ऊंचाई $h = 2\, cm$ है।
बेलन का आयतन $= \pi \times (8)^2 \times 2 = 128\pi\, cm^3$ है।
माना शंकु की त्रिज्या $r_c$ है और उसकी ऊंचाई $h_c = 6\, cm$ है।
शंकु का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r_c^2 h_c$ है।
चूंकि बेलन को पिघलाकर शंकु बनाया गया है,इसलिए दोनों के आयतन समान होंगे:
$128\pi = \frac{1}{3} \pi r_c^2 \times 6$.
$128\pi = 2\pi r_c^2$.
दोनों पक्षों को $2\pi$ से विभाजित करने पर,हमें $r_c^2 = 64$ प्राप्त होता है।
अतः,$r_c = \sqrt{64} = 8\, cm$ है।

(C) सबसे पहले,सभी मापों को सेंटीमीटर $(cm)$ में बदलें:
दीवार की विमाएँ: $8\, m = 800\, cm$,$6\, m = 600\, cm$,$22.5\, cm$.
दीवार का आयतन $= 800\, cm \times 600\, cm \times 22.5\, cm = 10,800,000\, cm^3$.
एक ईंट का आयतन $= 25\, cm \times 11.25\, cm \times 6\, cm = 1,687.5\, cm^3$.
ईंटों की संख्या $= \frac{\text{दीवार का आयतन}}{\text{ईंट का आयतन}} = \frac{800 \times 600 \times 22.5}{25 \times 11.25 \times 6}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{800 \times 600 \times 22.5}{1687.5} = \frac{10,800,000}{1,687.5} = 6400$.
अतः,$6400$ ईंटों की आवश्यकता होगी।

(C) डाले जाने वाले पानी का आयतन इस सूत्र द्वारा प्राप्त होता है: $V = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊंचाई में वृद्धि}$.
दिया गया है: $\text{लंबाई} = 16 \, m$, $\text{चौड़ाई} = 23 \, m$.
ऊंचाई में वृद्धि $16 \frac{2}{3} \, cm = \frac{50}{3} \, cm$ है।
ऊंचाई को मीटर में बदलने पर: $\frac{50}{3 \times 100} \, m = \frac{50}{300} \, m = \frac{1}{6} \, m$.
अब, आयतन की गणना करने पर: $V = 16 \times 23 \times \frac{1}{6} \, m^3$.
$V = \frac{368}{6} \, m^3 = 61.33 \, m^3$.

(B) चूँकि लकड़ी $1 \text{ cm}$ मोटी है,इसलिए आंतरिक विमाएँ ज्ञात करने के लिए प्रत्येक बाहरी विमा में से मोटाई का दोगुना (क्योंकि लकड़ी दोनों तरफ होती है) घटाया जाता है।
आंतरिक लंबाई $(l)$ $= 12 \text{ cm} - 2 \times 1 \text{ cm} = 10 \text{ cm}$.
आंतरिक चौड़ाई $(b)$ $= 10 \text{ cm} - 2 \times 1 \text{ cm} = 8 \text{ cm}$.
आंतरिक ऊँचाई $(h)$ $= 8 \text{ cm} - 2 \times 1 \text{ cm} = 6 \text{ cm}$.
बक्से की क्षमता $= l \times b \times h$.
क्षमता $= 10 \text{ cm} \times 8 \text{ cm} \times 6 \text{ cm} = 480 \text{ cm}^3$.

(D) टंकी का आयतन इस प्रकार है: $V = 2.4 \, m \times 2.0 \, m \times 1.5 \, m = 7.2 \, m^3$.
टंकी को भरने में लगा समय $2 \, \text{घंटे} \, 30 \, \text{मिनट} = 2.5 \, \text{घंटे}$ है।
पानी के प्रवाह की दर: $\text{दर} = \frac{\text{आयतन}}{\text{समय}} = \frac{7.2 \, m^3}{2.5 \, \text{घंटे}} = 2.88 \, m^3/h$.
चूंकि दिए गए विकल्पों में से कोई भी $2.88 \, m^3/h$ से मेल नहीं खाता है, इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(B) मान लीजिए कि आयताकार बक्से की विमाएँ (लंबाई,चौड़ाई और ऊँचाई) क्रमशः $x, y$ और $z$ हैं।
तीन आसन्न फलकों का क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$p = xy$
$q = yz$
$r = zx$
आयताकार बक्से का आयतन $V = xyz$ होता है।
तीनों क्षेत्रफलों का गुणा करने पर:
$p \times q \times r = (xy) \times (yz) \times (zx)$
$pqr = x^2 y^2 z^2$
$pqr = (xyz)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$xyz = \sqrt{pqr}$
अतः,बक्से का आयतन $\sqrt{pqr} \, cm^3$ है।

(C) बाहर निकाले जाने वाले पानी का आयतन पानी के उस आयताकार ब्लॉक के आयतन के बराबर है जिसकी ऊंचाई पानी के स्तर में हुई कमी है。
कम किए गए पानी का आयतन $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{कमी की ऊंचाई}$
$= 30\, m \times 15\, m \times 4\, m = 1800\, m^3$.
दिया गया है कि $1\, m^3$ पानी $= 180$ गैलन।
अतः, बाहर निकाले गए पानी के कुल गैलन $= 1800 \times 180$ गैलन।
$= 324000$ गैलन。

(B) सबसे पहले,सभी मापों को सेंटीमीटर $(cm)$ में बदलें:
दीवार की लंबाई = $5\, m = 500\, cm$
दीवार की ऊँचाई = $3\, m = 300\, cm$
दीवार की मोटाई = $20\, cm$
दीवार का आयतन = $500\, cm \times 300\, cm \times 20\, cm = 3,000,000\, cm^3$
एक ईंट का आयतन = $25\, cm \times 12.5\, cm \times 7.5\, cm = 2343.75\, cm^3$
ईंटों की संख्या = $\frac{\text{दीवार का आयतन}}{\text{एक ईंट का आयतन}}$
ईंटों की संख्या = $\frac{3,000,000}{2343.75} = 1280$

(C) लकड़ी का आयतन $= \frac{31}{2} \times \frac{11}{4} \times \frac{4}{3} \text{ m}^3 = \frac{341}{6} \text{ m}^3 \approx 56.83 \text{ m}^3$.
प्रश्न में दी गई गणना के अनुसार,यदि लकड़ी का आयतन $93.5 \text{ m}^3$ है,
तो लकड़ी की कुल लागत $= 45 \times 93.5 = ₹ 4207.50$।

(C) ईंटों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम दीवार के आयतन को एक ईंट के आयतन से विभाजित करेंगे।
सबसे पहले,दीवार के सभी आयामों को सेंटीमीटर में बदलें:
दीवार की लंबाई $= 15\, m = 1500\, cm$
दीवार की ऊँचाई $= 3\, m = 300\, cm$
दीवार की मोटाई $= 50\, cm$
दीवार का आयतन $= 1500\, cm \times 300\, cm \times 50\, cm = 22,500,000\, cm^3$
एक ईंट का आयतन $= 25\, cm \times 12\, cm \times 6\, cm = 1800\, cm^3$
ईंटों की संख्या $= \frac{\text{दीवार का आयतन}}{\text{ईंट का आयतन}} = \frac{22,500,000}{1800} = 12500$.

(B) $l$,$b$ और $h$ विमाओं वाले घनाभ के विकर्ण की लंबाई का सूत्र $\sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$ होता है।
दी गई विमाएँ $l = 12\, m$,$b = 10\, m$ और $h = 8\, m$ हैं।
विकर्ण $= \sqrt{12^2 + 10^2 + 8^2}\, m$.
विकर्ण $= \sqrt{144 + 100 + 64}\, m$.
विकर्ण $= \sqrt{308}\, m$.
चूँकि $\sqrt{308} \approx 17.55\, m$,इसलिए विकर्ण की लंबाई लगभग $17.55\, m$ है।

(A) बाहरी विमाएँ $l = 12 \text{ cm}, b = 10 \text{ cm}, h = 8 \text{ cm}$ हैं।
बाहरी आयतन $= 12 \text{ cm} \times 10 \text{ cm} \times 8 \text{ cm} = 960 \text{ cm}^3$.
चूँकि बक्सा $1 \text{ cm}$ मोटा है,आंतरिक विमाएँ प्रत्येक विमा से $2 \times \text{मोटाई}$ घटाकर प्राप्त की जाती हैं:
आंतरिक लंबाई $= 12 - 2(1) = 10 \text{ cm}$.
आंतरिक चौड़ाई $= 10 - 2(1) = 8 \text{ cm}$.
आंतरिक ऊँचाई $= 8 - 2(1) = 6 \text{ cm}$.
आंतरिक आयतन $= 10 \text{ cm} \times 8 \text{ cm} \times 6 \text{ cm} = 480 \text{ cm}^3$.
उपयोग की गई लकड़ी का आयतन $= \text{बाहरी आयतन} - \text{आंतरिक आयतन} = 960 \text{ cm}^3 - 480 \text{ cm}^3 = 480 \text{ cm}^3$.
लकड़ी की लागत $= 480 \text{ cm}^3 \times ₹ 3.00/\text{cm}^3 = ₹ 1440$.