Measurement of Volume and Surface Area Questions in Gujarati

(C) ગોળાની ત્રિજ્યા $(r_s)$ $6/2 = 3 \, cm$ છે.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r_s^3 = \frac{4}{3} \pi (3)^3 = 36 \pi \, cm^3$ થાય.
તાર નળાકાર આકારનો છે. તારની ત્રિજ્યા $(r_w)$ $0.2/2 = 0.1 \, cm$ છે.
ધારો કે તારની લંબાઈ $l$ છે. તારનું ઘનફળ $V = \pi r_w^2 l = \pi (0.1)^2 l = 0.01 \pi l \, cm^3$ થાય.
ગોળાને ઓગાળીને તાર બનાવવામાં આવતો હોવાથી,બંનેના ઘનફળ સમાન હોય:
$36 \pi = 0.01 \pi l$
$l = \frac{36}{0.01} = 3600 \, cm$.
લંબાઈને મીટરમાં ફેરવતા: $3600 \, cm = 36 \, m$.

(B) ધારો કે શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
આપેલ છે કે,પાયાનો પરિઘ $= 2 \pi r = 44 \, m$.
$\therefore r = \frac{44 \times 7}{2 \times 22} = 7 \, m$.
શંકુની ઊંચાઈ $h = 9 \, m$ છે.
તંબુમાં સમાયેલી હવાનું ઘનફળ એ શંકુના ઘનફળ જેટલું હોય છે.
ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi r^2 h$.
ઘનફળ $= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 9$.
ઘનફળ $= 22 \times 7 \times 3 = 462 \, m^3$.

(C) ધારો કે ગોલકની મૂળ ત્રિજ્યા $r$ છે.
મૂળ પૃષ્ઠફળ $A_1 = 4 \pi r^2$ છે.
જો ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે,તો નવી ત્રિજ્યા $r' = 2r$ થાય.
નવું પૃષ્ઠફળ $A_2 = 4 \pi (2r)^2 = 4 \pi (4r^2) = 16 \pi r^2$ થાય.
પૃષ્ઠફળમાં થયેલો વધારો $A_2 - A_1 = 16 \pi r^2 - 4 \pi r^2 = 12 \pi r^2$ છે.
ટકાવારીમાં વધારો $\frac{\text{વધારો}}{\text{મૂળ પૃષ્ઠફળ}} \times 100 = \frac{12 \pi r^2}{4 \pi r^2} \times 100 = 3 \times 100 = 300 \%$ થાય.

(C) નળાકારનું ઘનફળ $V$ સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ ત્રિજ્યા છે અને $h$ ઊંચાઈ છે.
જ્યાર ત્રિજ્યા $r$ અપરિવર્તિત રહે છે,ત્યારે ઘનફળ $V$ એ ઊંચાઈ $h$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(V \propto h)$.
જો ઊંચાઈ $h$ માં $8 \%$ નો ઘટાડો કરવામાં આવે,તો નવી ઊંચાઈ $h'$ એ $h' = h - 0.08h = 0.92h$ થશે.
નવું ઘનફળ $V'$ એ $V' = \pi r^2 (0.92h) = 0.92 V$ થશે.
ઘનફળમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{V' - V}{V} \times 100 \%$ દ્વારા મળે છે.
$= \frac{0.92V - V}{V} \times 100 \% = -0.08 \times 100 \% = -8 \%$.
ઋણ નિશાની ઘટાડો સૂચવે છે.
તેથી,નળાકારના ઘનફળમાં $8 \%$ નો ઘટાડો થાય છે.

(B) ધારો કે મૂળ ત્રિજ્યા $r$ છે અને મૂળ ઊંચાઈ $h$ છે. મૂળ ઘનફળ $V_1 = \pi r^2 h$ છે.
નવી ત્રિજ્યા $r' = r + 0.20r = 1.2r$ થાય છે. ઊંચાઈ $h$ સમાન રહે છે.
નવું ઘનફળ $V_2 = \pi (1.2r)^2 h = \pi (1.44r^2) h = 1.44 \pi r^2 h$ થાય.
ઘનફળમાં થતો વધારો = $V_2 - V_1 = 1.44 \pi r^2 h - \pi r^2 h = 0.44 \pi r^2 h$.
ટકાવારી વધારો = $\left( \frac{\text{વધારો}}{\text{મૂળ ઘનફળ}} \right) \times 100 = \left( \frac{0.44 \pi r^2 h}{\pi r^2 h} \right) \times 100 = 44 \%$.

(B) ધારો કે શંકુની કુલ ઊંચાઈ $H = 21\, cm$ અને પાયાની ત્રિજ્યા $R = 9\, cm$ છે. તિર્યક ઊંચાઈ $L = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{9^2 + 21^2} = 3\sqrt{58}\, cm$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,શિરોબિંદુથી $h$ ઊંચાઈએ ત્રિજ્યા $r = (R/H)h$ અને તિર્યક ઊંચાઈ $l = (L/H)h$ થાય.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = \pi r l = \pi (R L / H^2) h^2$ થાય.
શિરોબિંદુથી ઊંચાઈઓ $h_1 = 7\, cm$,$h_2 = 14\, cm$,અને $h_3 = 21\, cm$ છે.
ઉપરના ભાગનું ક્ષેત્રફળ $S_1 = k(7^2) = 49k$,જ્યાં $k = \pi R L / H^2$.
ઉપરના બે ભાગોનું કુલ ક્ષેત્રફળ $S_2 = k(14^2) = 196k$.
આખા શંકુનું ક્ષેત્રફળ $S_3 = k(21^2) = 441k$.
ઉપરના ભાગનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = 49k$.
મધ્યના ભાગનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = S_2 - S_1 = 147k$.
નીચેના ભાગનું ક્ષેત્રફળ $A_3 = S_3 - S_2 = 245k$.
ગુણોત્તર $A_1 : A_2 : A_3 = 49 : 147 : 245 = 1 : 3 : 5$ થાય.

(B) બાકી રહેલા ભાગનું કુલ પૃષ્ઠફળ નીચે મુજબ છે:
$1$. મૂળ નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ: $2\pi Rh = 2 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 15 = 1320\, cm^2$.
$2$. મૂળ નળાકારના બે પાયાનું ક્ષેત્રફળ માઈનસ બે વર્તુળાકાર કાપનું ક્ષેત્રફળ: $2 \times (\pi R^2 - \pi r^2) = 2 \times \pi \times (14^2 - 7^2) = 2 \times \frac{22}{7} \times (196 - 49) = 2 \times \frac{22}{7} \times 147 = 924\, cm^2$.
$3$. કાપેલા બે નાના નળાકારોની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ: $2 \times (2\pi rh) = 2 \times (2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 5) = 880\, cm^2$.
$4$. બે નાના નળાકારોના આંતરિક વર્તુળાકાર પાયાનું ક્ષેત્રફળ: $2 \times (\pi r^2) = 2 \times \frac{22}{7} \times 7^2 = 308\, cm^2$.
કુલ પૃષ્ઠફળ = $1320 + 924 + 880 + 308 = 3432\, cm^2$.

(D) અર્ધગોલકનો વ્યાસ $d = 28\, cm$ છે.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = d / 2 = 28 / 2 = 14\, cm$ થાય.
અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $CSA = 2 \pi r^{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$CSA = 2 \times (22 / 7) \times 14 \times 14$.
$CSA = 2 \times 22 \times 2 \times 14$.
$CSA = 44 \times 28 = 1232\, cm^{2}$.

(D) ધારો કે ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $= 2\pi rh$,ઘનફળ $(V) = \pi r^2h$.
આપેલ છે કે $\frac{2\pi rh}{\pi r^2h} = \frac{1}{7} \Rightarrow \frac{2}{r} = \frac{1}{7} \Rightarrow r = 14$.
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ $= 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(h+r)$.
આપેલ છે કે $\frac{2\pi r(h+r)}{\pi r^2h} = \frac{187}{770}$.
$r = 14$ મૂકતા:
$\frac{2(h+14)}{14h} = \frac{187}{770} \Rightarrow \frac{h+14}{7h} = \frac{187}{770}$.
$\frac{h+14}{7h} = \frac{17}{70} \Rightarrow 10(h+14) = 17h$.
$10h + 140 = 17h \Rightarrow 7h = 140 \Rightarrow h = 20$.
ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈનો ગુણોત્તર $r:h = 14:20 = 7:10$ છે.

(B) ધારો કે સમઘનની બાજુ $a$ છે અને અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $r$ છે. અર્ધગોલક સમઘન પર મૂકેલ હોવાથી,અર્ધગોલકનો વ્યાસ સમઘનની બાજુ જેટલો થાય,તેથી $2r = a$,અથવા $r = a/2$.
આકૃતિની કુલ ઊંચાઈ $a + r = 21 \ cm$ (પ્રશ્નમાં ટાઈપિંગ ભૂલ હોઈ શકે,ગણતરી મુજબ $21$ લેતા).
$r = a/2$ મૂકતા,$a + a/2 = 21$,જે સૂચવે છે કે $3a/2 = 21$,તેથી $a = 14 \ cm$ અને $r = 7 \ cm$.
અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $2\pi r^2$ છે અને સમઘનની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $6a^2$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{2\pi r^2}{6a^2} = \frac{11}{42}$ આપેલ છે.
$r = a/2$ મૂકતા,$\frac{2\pi (a/2)^2}{6a^2} = \frac{\pi}{12} = \frac{11}{42}$ મળે છે.
$\pi \approx 22/7$ લેતા,$\frac{22/7}{12} = \frac{11}{42}$ થાય છે,જે સાચું છે.
કુલ ઘનફળ $V$ એ સમઘન અને અર્ધગોલકના ઘનફળનો સરવાળો છે:
$V = a^3 + \frac{2}{3}\pi r^3 = 14^3 + \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 7^3 = 2744 + 718.67 = 3462.67 \ cm^3$.

(D) એક ગોળાકાર દડાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે,જ્યાં $r = 3 \text{ cm}$ છે.
$10$ દડાઓનું કુલ ઘનફળ $= 10 \times \frac{4}{3} \pi (3)^3 = 10 \times \frac{4}{3} \pi (27) = 360 \pi \text{ cm}^3$.
પ્રક્રિયામાં $20 \%$ પદાર્થનો વ્યય થતો હોવાથી,નવા ગોળાનું ઘનફળ $V_{new}$ એ કુલ પ્રારંભિક ઘનફળના $80 \%$ હશે.
$V_{new} = 0.80 \times 360 \pi = 288 \pi \text{ cm}^3$.
ધારો કે નવા ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ છે. તેથી,$\frac{4}{3} \pi R^3 = 288 \pi$.
બંને બાજુ $\pi$ વડે ભાગતા અને $\frac{3}{4}$ વડે ગુણતા:
$R^3 = 288 \times \frac{3}{4} = 72 \times 3 = 216$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$R = \sqrt[3]{216} = 6 \text{ cm}$.

(B) મૂળ નળાકારનું કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ $2 \pi r(r + h)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $TSA_{original} = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (7 + 18) = 44 \times 25 = 1100 \, cm^2$.
જ્યારે નળાકારને પાયાને સમાંતર $2$ કાપ મૂકીને $3$ સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક નવા નળાકારની ઊંચાઈ $h' = \frac{18}{3} = 6 \, cm$ અને ત્રિજ્યા $r = 7 \, cm$ રહે છે.
એક નાના નળાકારનું $TSA = 2 \pi r(r + h') = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (7 + 6) = 44 \times 13 = 572 \, cm^2$.
ત્રણ નાના નળાકારોનું કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $3 \times 572 = 1716 \, cm^2$ થાય.
સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં વધારો $1716 - 1100 = 616 \, cm^2$ છે.
ટકાવારીમાં વધારો $\frac{616}{1100} \times 100 = 56 \%$ છે.

(A) ધારો કે શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા $R = 8\, cm$ અને ઊંચાઈ $H = 15\, cm$ છે.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $L = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\, cm$ થાય.
ધારો કે શંકુમાં સમાઈ શકે તેવા સૌથી મોટા ગોળાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
શંકુમાં અંતર્ગત ગોળાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r = \frac{R \cdot H}{R + L}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{8 \cdot 15}{8 + 17} = \frac{120}{25} = 4.8\, cm$.
આપણે શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા $(R)$ અને ગોળાની ત્રિજ્યા $(r)$ નો ગુણોત્તર શોધવાનો છે:
ગુણોત્તર $= R : r = 8 : 4.8$.
સરળ બનાવવા માટે,બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા: $80 : 48$.
$16$ વડે ભાગતા: $80/16 : 48/16 = 5 : 3$.
આમ,ગુણોત્તર $5:3$ છે.

(A) અર્ધગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $TSA = 3\pi r^2$ છે.
આપેલ છે કે $TSA = 41.58 \text{ cm}^2$,તેથી $3\pi r^2 = 41.58$.
બંને બાજુ $3$ વડે ભાગતા,આપણને $\pi r^2 = \frac{41.58}{3} = 13.86 \text{ cm}^2$ મળે છે.
અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $CSA = 2\pi r^2$ છે.
$\pi r^2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $CSA = 2 \times 13.86 = 27.72 \text{ cm}^2$ મળે છે.

(B) નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $CSA = 2 \pi rh$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 14 \, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 10 \, cm$ આપેલ છે.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,કિંમતો મૂકતા:
$CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 10$
$CSA = 2 \times 22 \times 2 \times 10$
$CSA = 880 \, cm^2$.

(B) લંબવૃત્તીય શંકુના પાયાની પરિમિતિ $2 \pi r = 132 \, cm$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,$2 \times \frac{22}{7} \times r = 132$.
$r = \frac{132 \times 7}{44} = 21 \, cm$.
ત્રાંસી ઊંચાઈ $l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{72^2 + 21^2} = \sqrt{5184 + 441} = \sqrt{5625} = 75 \, cm$.
શંકુનું કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ = $\pi r(l + r)$.
$TSA = \frac{22}{7} \times 21 \times (75 + 21) = 22 \times 3 \times 96 = 66 \times 96 = 6336 \, cm^2$.

(C) નળાકાર પાત્રનું ઘનફળ $V_{cyl} = \pi r_1^2 h_1 = \pi \times 5^2 \times 8 = 200\pi\, cm^3$.
નક્કર શંકુનું ઘનફળ $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2 = \frac{1}{3} \times \pi \times 4^2 \times 7 = \frac{112}{3}\pi\, cm^3$.
જરૂરી પાણીનું ઘનફળ = $V_{cyl} - V_{cone} = 200\pi - \frac{112}{3}\pi = \frac{600\pi - 112\pi}{3} = \frac{488}{3}\pi\, cm^3$.
$\pi \approx 3.14159$ લેતા,ઘનફળ $\approx \frac{488}{3} \times 3.14159 \approx 511.03\, cm^3$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સૌથી નજીકની કિંમત $511.24\, cm^3$ છે.

(D) નહેરની મહત્તમ ક્ષમતા એ નહેરના ઘનફળ જેટલી હોય છે,જે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને નહેરની લંબાઈનો ગુણાકાર છે.
આડછેદ એ સમદ્વિબાજુ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેની સમાંતર બાજુઓ $a = 4 \ m$ અને $b = 5 \ m$ છે,અને ઊંચાઈ (ઊંડાઈ) $h = 2 \ m$ છે.
સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (a + b) \times h$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (4 + 5) \times 2 = 9 \ m^2$
ઘનફળ (ક્ષમતા) $= \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{લંબાઈ} = 9 \times 120 = 1080 \ m^3$.

(B) અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $2 \pi r^2$ છે.
આપેલ છે કે $CSA = 27.72 \text{ cm}^2$.
$2 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 27.72$
$r^2 = \frac{27.72 \times 7}{44} = 0.63 \times 7 = 4.41$
$r = \sqrt{4.41} = 2.1 \text{ cm}$.
ઘનફળ સાથે ચકાસણી કરતા: અર્ધગોલકના ઘનફળ $(V)$ નું સૂત્ર $\frac{2}{3} \pi r^3$ છે.
$V = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.1)^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 9.261 = 44 \times 0.441 = 19.404 \text{ cm}^3$.
બંને શરતો સંતોષાય છે,તેથી ત્રિજ્યા $2.1 \text{ cm}$ છે.

(C) ચોરસ પાયાનો વિકર્ણ $d = 6\sqrt{2}\, cm$ આપેલ છે.
$a$ બાજુવાળા ચોરસનો વિકર્ણ $d = a\sqrt{2}$ હોવાથી,$a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$,જેનો અર્થ છે કે $a = 6\, cm$.
ચોરસ પાયાનું ક્ષેત્રફળ $A = a^{2} = 6^{2} = 36\, cm^{2}$ થાય.
પિરામિડનું ઘનફળ $V$ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \times \text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઊંચાઈ}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$V = \frac{1}{3} \times 36 \times 12$.
$V = 12 \times 12 = 144\, cm^{3}$.

(C) નક્કર શંકુનું ઘનફળ $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 = \frac{1}{3} \times \pi \times 8^2 \times 24 = 512 \pi \, cm^3$ છે.
બનાવવામાં આવેલા નક્કર નળાકારનું ઘનફળ $V_{cylinder} = \pi r_2^2 h_2 = \pi \times 6^2 \times 6 = 216 \pi \, cm^3$ છે.
બગડેલા પદાર્થનું ઘનફળ $V_{wasted} = V_{cone} - V_{cylinder} = 512 \pi - 216 \pi = 296 \pi \, cm^3$ છે.
બગડેલા પદાર્થની ટકાવારી $\frac{V_{wasted}}{V_{cone}} \times 100 = \frac{296 \pi}{512 \pi} \times 100 = \frac{296}{512} \times 100 = 57.8125 \% \approx 57.8 \%$ થાય છે.

(B) મૂળ નક્કર નળાકારનું કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ શોધવાનું સૂત્ર: $TSA = 2 \pi r(r + h)$ છે.
અહીં $r = 7 \, cm$ અને $h = 20 \, cm$ કિંમતો મૂકતા:
$TSA_{original} = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (7 + 20) = 44 \times 27 = 1188 \, cm^2$.
જ્યારે નળાકારને તેની ઊંચાઈથી બે ભાગમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે આપણને બે સમાન નળાકાર મળે છે,જેની ઊંચાઈ $h' = \frac{20}{2} = 10 \, cm$ થાય છે.
દરેક નવા નળાકારનું $TSA = 2 \pi r(r + h') = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (7 + 10) = 44 \times 17 = 748 \, cm^2$.
બંને નવા નળાકારોનું કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ: $2 \times 748 = 1496 \, cm^2$.
સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થયેલો વધારો: $1496 - 1188 = 308 \, cm^2$.
ટકાવારીમાં વધારો: $\frac{308}{1188} \times 100 \approx 25.93 \%$.

(A) ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ત્રણેય ગોળાઓનું કુલ ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi (2^3 + 4^3 + 6^3) = \frac{4}{3} \pi (8 + 64 + 216) = \frac{4}{3} \pi (288) = 384 \pi \, cm^3$.
$25 \%$ પદાર્થનો વ્યય થતો હોવાથી,નવા ગોળાનું ઘનફળ કુલ પ્રારંભિક ઘનફળના $75 \%$ હશે.
નવા ગોળાનું ઘનફળ $= 0.75 \times 384 \pi = 288 \pi \, cm^3$.
ધારો કે નવા ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ છે. તેથી,$\frac{4}{3} \pi R^3 = 288 \pi$.
$R^3 = 288 \times \frac{3}{4} = 72 \times 3 = 216$.
$R = \sqrt[3]{216} = 6 \, cm$.

(A) શંકુનું ઘનફળ $V_1 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 = \frac{1}{3} \pi (9)^2 (36) = \frac{1}{3} \pi (81) (36) = 972 \pi \, cm^3$.
નળાકારનું ઘનફળ $V_2 = \pi r_2^2 h_2 = \pi (9)^2 (9) = 729 \pi \, cm^3$.
બગડેલા પદાર્થનું ઘનફળ $= V_1 - V_2 = 972 \pi - 729 \pi = 243 \pi \, cm^3$.
બગડેલા પદાર્થની ટકાવારી $= \left( \frac{\text{બગડેલું ઘનફળ}}{\text{મૂળ ઘનફળ}} \right) \times 100 = \left( \frac{243 \pi}{972 \pi} \right) \times 100$.
$= \frac{1}{4} \times 100 = 25 \%$.

(B) પૈડાનો પરિઘ એ એક પૂર્ણ પરિભ્રમણમાં તેણે કાપેલું અંતર છે,જે સૂત્ર $C = 2 \pi r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ત્રિજ્યા $r = 3.5 \, cm$ માટે,પરિઘ:
$C = 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 = 2 \times 22 \times 0.5 = 22 \, cm$.
$20$ પરિભ્રમણમાં કાપેલું કુલ અંતર શોધવા માટે,આપણે પરિઘને પરિભ્રમણની સંખ્યા સાથે ગુણીએ છીએ:
$\text{કુલ અંતર} = \text{પરિઘ} \times \text{પરિભ્રમણની સંખ્યા} = 22 \, cm \times 20 = 440 \, cm$.

(B) રૂમમાં મૂકી શકાય તેવા સૌથી લાંબા સળિયાની લંબાઈ એ લંબઘનના અવકાશી વિકર્ણની લંબાઈ જેટલી હોય છે.
લંબઘનના અવકાશી વિકર્ણનું સૂત્ર $\sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$ છે,જ્યાં $l$ લંબાઈ છે,$b$ પહોળાઈ છે અને $h$ ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે: $l = 2 \text{ m}$,$b = 2 \text{ m}$,$h = 6 \text{ m}$.
સૌથી લાંબો સળિયો $= \sqrt{2^2 + 2^2 + 6^2}$
$= \sqrt{4 + 4 + 36}$
$= \sqrt{44}$
$= \sqrt{4 \times 11}$
$= 2 \sqrt{11} \text{ m}$.

(B) એક પરિભ્રમણમાં પૈડા દ્વારા કાપવામાં આવેલું અંતર તેના પરિઘ જેટલું હોય છે.
પૈડાનો પરિઘ $= 2 \pi r$
આપેલ છે,ત્રિજ્યા $r = 21 \, cm$.
પરિઘ $= 2 \times \frac{22}{7} \times 21 = 2 \times 22 \times 3 = 132 \, cm$.
$10$ પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર $= 10 \times (\text{પરિઘ})$
$= 10 \times 132 = 1320 \, cm$.

(B) ટનલ એક લંબવૃત્તીય નળાકાર છે. જરૂરી લોખંડની શીટનું ક્ષેત્રફળ એ નળાકારની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આપેલ છે: વ્યાસ $d = 5\, m$,તેથી ત્રિજ્યા $r = d/2 = 2.5\, m$.
લંબાઈ (ઊંચાઈ) $h = 10\, m$.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2\pi rh$.
કિંમતો મૂકતા: ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \pi \times 2.5 \times 10 = 50\pi\, m^2$.
આમ,જરૂરી ક્ષેત્રફળ $50\pi\, m^2$ છે.

(D) $1$. તમામ એકમોને મીટર અને કલાકમાં ફેરવો:
ટાંકીના પાયાનું ક્ષેત્રફળ = $80 \, m \times 40 \, m = 3200 \, m^2$.
પાઇપના મુખનું ક્ષેત્રફળ = $40 \, cm^2 = 40 \times 10^{-4} \, m^2 = 0.004 \, m^2$.
પાણીની ઝડપ = $10 \, km/h = 10000 \, m/h$.
સમય = $0.5 \, h$.
$2$. $0.5 \, h$ માં ટાંકીમાં આવતા પાણીનું ઘનફળ:
ઘનફળ = $\text{પાઇપનું ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઝડપ} \times \text{સમય} = 0.004 \, m^2 \times 10000 \, m/h \times 0.5 \, h = 20 \, m^3$.
$3$. પાણીની સપાટીમાં વધારો $(h)$ શોધો:
ઘનફળ = $\text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ} \times h$
$20 \, m^3 = 3200 \, m^2 \times h$
$h = 20 / 3200 \, m = 1 / 160 \, m$.
$4$. $h$ ને સેમીમાં ફેરવો:
$h = (1 / 160) \times 100 \, cm = 100 / 160 \, cm = 5/8 \, cm$.

(A) નળાકારનું ઘનફળ $= \pi R^2 H = \pi \times (10.5)^2 \times 38 = 4189.5\pi\, cm^3$.
એક આઈસ્ક્રીમ કોનનું ઘનફળ (શંકુ + અર્ધગોલક) $= \frac{1}{3}\pi r^2 h + \frac{2}{3}\pi r^3$.
અહીં $r = 3.5\, cm$ અને $h = 12\, cm$ છે.
ઘનફળ $= \frac{1}{3}\pi (3.5)^2 (12) + \frac{2}{3}\pi (3.5)^3 = \pi (49) + \pi (\frac{343}{12}) = \frac{931}{12}\pi\, cm^3$.
કોનની સંખ્યા $= \frac{\text{નળાકારનું ઘનફળ}}{\text{એક કોનનું ઘનફળ}} = \frac{4189.5\pi}{931\pi / 12} = \frac{4189.5 \times 12}{931} = 54$.

(B) માછલીઘરનું કુલ કદ એ માછલીઓની સંખ્યા અને દરેક માછલી માટે જરૂરી પાણીના કદના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
આપેલ છે:
માછલીઓની સંખ્યા $= 11$
દરેક માછલી માટે જરૂરી કદ $= 1.54 \, m^3$
કુલ કદ $= 11 \times 1.54 \, m^3$
કુલ કદ $= 16.94 \, m^3$

(B) પ્રિઝમનું ઘનફળ $V = \text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઊંચાઈ}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $V = 100\, cm^3$ અને ઊંચાઈ $h = 25\, cm$ આપેલ છે.
તેથી, $\text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{V}{h} = \frac{100}{25} = 4\, cm^2$.
પાયો એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે. ધારો કે ટૂંકી બાજુઓ $x$ અને $2x$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times x \times 2x = x^2$ થાય.
ક્ષેત્રફળને સરખાવતા, $x^2 = 4$, જેથી $x = 2\, cm$ મળે.
ત્રિકોણની બાજુઓ $x = 2\, cm$ અને $2x = 4\, cm$ છે.
સૌથી લાંબી બાજુ (કર્ણ) $\sqrt{x^2 + (2x)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\, cm$ થાય.

(D) પોલા અર્ધગોળાકાર વાટકાનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{2}{3} \pi (R^3 - r^3)$ છે,જ્યાં $R$ એ બહારની ત્રિજ્યા અને $r$ એ અંદરની ત્રિજ્યા છે.
અહીં $R = 8\, cm$ અને $r = 4\, cm$ આપેલ છે,તેથી ઘનફળ $V = \frac{2}{3} \pi (8^3 - 4^3) = \frac{2}{3} \pi (512 - 64) = \frac{2}{3} \pi (448) = \frac{896}{3} \pi\, cm^3$ થાય.
જ્યારે વાટકાને ઓગાળીને નક્કર શંકુ બનાવવામાં આવે છે,ત્યારે ઘનફળ સમાન રહે છે.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r_c^2 h$ છે,જ્યાં $r_c = 8\, cm$ એ શંકુની ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ તેની ઊંચાઈ છે.
બંને ઘનફળને સરખાવતા: $\frac{896}{3} \pi = \frac{1}{3} \pi (8^2) h$.
$\frac{896}{3} = \frac{64}{3} h$.
$896 = 64h$.
$h = \frac{896}{64} = 14\, cm$.

(A) ધારો કે નક્કર ગોલકની ત્રિજ્યા $r_1$ છે અને નક્કર અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $r_2$ છે.
ગોલકનું કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ $= 4 \pi r_1^2$.
અર્ધગોલકનું કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ $= 3 \pi r_2^2$.
આપેલ છે કે તેમના કુલ પૃષ્ઠફળ સમાન છે:
$4 \pi r_1^2 = 3 \pi r_2^2$
$\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{3}{4}$
$\frac{r_1}{r_2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
હવે,તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_{\text{sphere}}}{V_{\text{hemisphere}}} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{2}{3} \pi r_2^3} = 2 \times \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$.
$\frac{r_1}{r_2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ કિંમત મૂકતા:
ગુણોત્તર $= 2 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 = 2 \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$.

(C) જ્યારે પદાર્થોને ઓગાળીને ફરીથી આકાર આપવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ ઘનફળ અચળ રહે છે.
ધારો કે નવા ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
ગોળાના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ છે.
ત્રણ નાના ગોળાઓના ઘનફળનો સરવાળો એ નવા મોટા ગોળાના ઘનફળ જેટલો થાય છે:
$\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3} + \frac{4}{3} \pi r_{2}^{3} + \frac{4}{3} \pi r_{3}^{3} = \frac{4}{3} \pi R^{3}$
બંને બાજુ $\frac{4}{3} \pi$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$r_{1}^{3} + r_{2}^{3} + r_{3}^{3} = R^{3}$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,નવા ગોળાની ત્રિજ્યા:
$R = (r_{1}^{3} + r_{2}^{3} + r_{3}^{3})^{1/3}$

(A) શંકુ આકારના પાત્રનું ઘનફળ $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 8 = \frac{200\pi}{3}\, cm^3$ છે.
બહાર નીકળેલા પાણીનું ઘનફળ એ શંકુના કુલ ઘનફળના $25\%$ છે,જે પાત્રમાં નાખેલા ગોળાકાર દડાઓના કુલ ઘનફળ જેટલું હોય છે.
બહાર નીકળેલા પાણીનું ઘનફળ $= \frac{1}{4} \times V_{cone} = \frac{1}{4} \times \frac{200\pi}{3} = \frac{50\pi}{3}\, cm^3$.
$r_b = \frac{1}{2}\, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક ગોળાકાર દડાનું ઘનફળ $V_{ball} = \frac{4}{3} \pi r_b^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times (\frac{1}{2})^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times \frac{1}{8} = \frac{\pi}{6}\, cm^3$ થાય.
ધારો કે દડાઓની સંખ્યા $n$ છે. તેથી,$n \times V_{ball} = \text{બહાર નીકળેલા પાણીનું ઘનફળ}$.
$n \times \frac{\pi}{6} = \frac{50\pi}{3}$.
$n = \frac{50\pi}{3} \times \frac{6}{\pi} = 50 \times 2 = 100$.
આમ,દડાઓની સંખ્યા $100$ છે.

(B) ધારો કે નળાકારની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $= 2 \pi r h$ અને કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ $= 2 \pi r h + 2 \pi r^2$ છે.
ગુણોત્તર $CSA : TSA = 4 : 5$ આપેલ છે.
$\frac{2 \pi r h}{2 \pi r h + 2 \pi r^2} = \frac{4}{5}$
$\frac{h}{h + r} = \frac{4}{5}$
$5h = 4h + 4r \implies h = 4r$.
આપેલ છે કે $CSA = 1232 \, cm^2$,તેથી $2 \pi r h = 1232$.
સમીકરણમાં $h = 4r$ મૂકતા:
$2 \times \frac{22}{7} \times r \times (4r) = 1232$
$8 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 1232$
$r^2 = 1232 \times \frac{7}{8 \times 22}$
$r^2 = 1232 \times \frac{7}{176} = 49$
$r = 7 \, cm$.
તેથી $h = 4r = 4 \times 7 = 28 \, cm$.

(A) ધારો કે નાના શંકુ (ઉપરનો ભાગ) નું ઘનફળ $V_1$ છે અને મોટા શંકુનું ઘનફળ $V_2$ છે.
સમતલ શંકુને સમાન ઘનફળવાળા બે ભાગમાં વિભાજિત કરતું હોવાથી,નાના શંકુનું ઘનફળ મોટા શંકુના ઘનફળ કરતા અડધું છે.
તેથી,$\frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{2}$.
જ્યારે શંકુને તેના પાયાને સમાંતર સમતલ દ્વારા કાપવામાં આવે છે,ત્યારે નાના શંકુ અને મોટા શંકુના ઘનફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ ઊંચાઈઓના ગુણોત્તરના ઘન જેટલો હોય છે:
$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{h_1}{h_2}\right)^3 = \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,આપણને $\frac{h_1}{h_2} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ મળે છે.
અહીં,$h_1$ એ નાના શંકુની ઊંચાઈ છે અને $h_2$ એ મોટા શંકુની ઊંચાઈ છે.
ફ્રસ્ટમ (નીચેનો ભાગ) ની ઊંચાઈ $h_2 - h_1$ છે.
ઊંચાઈ જે ગુણોત્તરમાં વિભાજિત થાય છે તે $h_1 : (h_2 - h_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $1 : (\sqrt[3]{2} - 1)$ મળે છે.

(D) સૌ પ્રથમ,ત્રિકોણાકાર પાયાની અર્ધ-પરિમિતિ $(s)$ શોધો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 20 + 21}{2} = \frac{54}{2} = 27\, cm$
ત્યારબાદ,હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણાકાર પાયાનું ક્ષેત્રફળ શોધો:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$= \sqrt{27(27 - 13)(27 - 20)(27 - 21)}$
$= \sqrt{27 \times 14 \times 7 \times 6}$
$= \sqrt{15876} = 126\, cm^2$
લંબ પ્રિઝમનું ઘનફળ એ પાયાનું ક્ષેત્રફળ અને ઊંચાઈનો ગુણાકાર છે:
$\text{ઘનફળ} = \text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઊંચાઈ}$
$= 126\, cm^2 \times 9\, cm = 1134\, cm^3$

(C) જ્યારે કોઈ ઘન પદાર્થને ઓગાળીને બીજા આકારમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું ઘનફળ સમાન રહે છે.
નળાકારનું ઘનફળ = $\pi r_1^2 h_1 = \pi \times (8)^2 \times 2 = 128\pi\, cm^3$.
શંકુનું ઘનફળ = $\frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2 = \frac{1}{3} \times \pi \times r_2^2 \times 6 = 2\pi r_2^2$.
બંને ઘનફળ સમાન હોવાથી: $128\pi = 2\pi r_2^2$.
બંને બાજુ $2\pi$ વડે ભાગતા,આપણને $r_2^2 = 64$ મળે છે.
તેથી,$r_2 = \sqrt{64} = 8\, cm$.

(C) ખાઈનું ઘનફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંડાઈ} = 48 \ m \times 16.5 \ m \times 4 \ m = 3168 \ m^3$.
ટનલ નળાકાર છે, જેનો વ્યાસ $d = 4 \ m$ છે, તેથી ત્રિજ્યા $r = 2 \ m$ અને લંબાઈ $h = 56 \ m$ થાય.
ટનલમાંથી નીકળેલી માટી અને પથ્થરોનું ઘનફળ $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (2)^2 \times 56 = 22 \times 4 \times 8 = 704 \ m^3$.
ખાઈનો ભરાયેલો ભાગ $= \frac{\text{માટીનું ઘનફળ}}{\text{ખાઈનું ઘનફળ}} = \frac{704}{3168}$.
બંનેને $352$ વડે ભાગતા, આપણને $\frac{704 \div 352}{3168 \div 352} = \frac{2}{9}$ મળે છે.

(B) લંબવૃત્તીય શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(LSA)$ $LSA = \pi r l$ છે,જ્યાં $l = \sqrt{r^{2} + h^{2}}$ એ તિર્યક ઊંચાઈ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ઘનફળ અને વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળના આંકડાકીય મૂલ્યો સમાન છે:
$\frac{1}{3} \pi r^{2} h = \pi r \sqrt{r^{2} + h^{2}}$
બંને બાજુને $\pi r$ વડે ભાગતા ($r \neq 0$ ધારીને):
$\frac{1}{3} r h = \sqrt{r^{2} + h^{2}}$
બંને બાજુનો વર્ગ કરતા:
$\frac{r^{2} h^{2}}{9} = r^{2} + h^{2}$
બંને બાજુને $r^{2} h^{2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{9} = \frac{r^{2} + h^{2}}{r^{2} h^{2}}$
$\frac{1}{9} = \frac{r^{2}}{r^{2} h^{2}} + \frac{h^{2}}{r^{2} h^{2}}$
$\frac{1}{9} = \frac{1}{h^{2}} + \frac{1}{r^{2}}$
તેથી,$\frac{1}{h^{2}} + \frac{1}{r^{2}}$ નું મૂલ્ય $\frac{1}{9}$ છે.

(D) ગોળાનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
બે નક્કર ગોળાઓનું કુલ ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi (1^3 + 6^3) = \frac{4}{3} \pi (1 + 216) = \frac{4}{3} \pi (217) \, cm^3$.
ધારો કે પોલા ગોળાની આંતરિક ત્રિજ્યા $r \, cm$ છે. પોલા ગોળાના દ્રવ્યનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3)$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $R = 9 \, cm$ એ બાહ્ય ત્રિજ્યા છે.
ઘનફળને સરખાવતા: $\frac{4}{3} \pi (217) = \frac{4}{3} \pi (9^3 - r^3)$.
$217 = 729 - r^3$.
$r^3 = 729 - 217 = 512$.
$r = \sqrt[3]{512} = 8 \, cm$.
પોલા ગોળાની જાડાઈ $=$ બાહ્ય ત્રિજ્યા $-$ આંતરિક ત્રિજ્યા $= 9 \, cm - 8 \, cm = 1 \, cm$.

(A) ધારો કે $R$ એ અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા છે અને $r$ એ દરેક નાના ગોલકની ત્રિજ્યા છે.
અર્ધગોલકનું ઘનફળ $V_h = \frac{2}{3} \pi R^3$ છે.
એક ગોલકનું ઘનફળ $V_s = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અર્ધગોલકને ઓગાળીને સમાન કદના ચાર ગોલક બનાવવામાં આવે છે:
$V_h = 4 \times V_s$
સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{2}{3} \pi R^3 = 4 \times (\frac{4}{3} \pi r^3)$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{2}{3} R^3 = \frac{16}{3} r^3$
$R^3 = 8 r^3$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$R = 2r$
તેથી,$r = \frac{R}{2}$,જેનો અર્થ છે કે દરેક ગોલકની ત્રિજ્યા અર્ધગોલકની ત્રિજ્યાના $1/2$ ભાગ જેટલી હશે.

(B) ગોળામાંથી કાપવામાં આવતા સૌથી મોટા શક્ય સમઘન માટે,સમઘનનો વિકર્ણ એ ગોળાના વ્યાસ જેટલો હોય છે.
ધારો કે ગોળાની ત્રિજ્યા $r = 6 \sqrt{3} \text{ cm}$ છે.
ગોળાનો વ્યાસ $D = 2r = 2 \times 6 \sqrt{3} = 12 \sqrt{3} \text{ cm}$.
ધારો કે સમઘનની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. સમઘનનો વિકર્ણ $\sqrt{3}a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમઘનના વિકર્ણને ગોળાના વ્યાસ સાથે સરખાવતા:
$\sqrt{3}a = 12 \sqrt{3}$
$a = 12 \text{ cm}$.
સમઘનનું પૃષ્ઠફળ $6a^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પૃષ્ઠફળ $= 6 \times (12)^2 = 6 \times 144 = 864 \text{ cm}^2$.

(B) ટાંકી શરૂઆતમાં સંપૂર્ણ ભરેલી છે, અને પાણી કાઢ્યા પછી, ટાંકીનો $1/3$ ભાગ ભરેલો રહે છે। તેથી, બહાર કાઢવામાં આવેલ પાણીનું કદ ટાંકીના કુલ કદના $1 - 1/3 = 2/3$ ભાગ જેટલું છે।
ઘનાકાર ટાંકીનું કદ $V = (\text{બાજુ})^3 = (1.2\, m)^3 = 1.728\, m^3$ છે।
$1\, m^3 = 1000\, \text{લીટર}$ હોવાથી, ટાંકીનું કુલ કદ $1.728 \times 1000 = 1728\, \text{લીટર}$ થાય।
$64$ ડોલ દ્વારા બહાર કાઢવામાં આવેલ પાણીનું કદ કુલ કદના $2/3$ ભાગ જેટલું છે: $V_{\text{removed}} = 1728 \times (2/3) = 1152\, \text{લીટર}$।
દરેક ડોલનું કદ એ બહાર કાઢવામાં આવેલ કુલ કદને ડોલની સંખ્યા વડે ભાગતા મળે છે: $V_{\text{bucket}} = 1152 / 64 = 18\, \text{લીટર}$।

(C) પાયાનું ક્ષેત્રફળ $= 10 \times 10 = 100 \text{ cm}^2$.
પાયાની પરિમિતિ $= 4 \times 10 = 40 \text{ cm}$.
પિરામિડની ત્રાંસી ઊંચાઈ $(l)$ એ ઊંચાઈ $(h = 12 \text{ cm})$ અને પાયાની બાજુના અડધા $(a/2 = 5 \text{ cm})$ નો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$l = \sqrt{(a/2)^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm}$.
પિરામિડનું વક્ર પૃષ્ઠફળ $(C.S.A.)$ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયાની પરિમિતિ} \times \text{ત્રાંસી ઊંચાઈ}$
$C.S.A. = \frac{1}{2} \times 40 \times 13 = 20 \times 13 = 260 \text{ cm}^2$.
કુલ પૃષ્ઠફળ $(T.S.A.)$ $= C.S.A. + \text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ}$
$T.S.A. = 260 \text{ cm}^2 + 100 \text{ cm}^2 = 360 \text{ cm}^2$.

(A) આપેલ છે: શંકુની ઊંચાઈ $h = 14 \, m$,પાયાનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^{2} = 346.5 \, m^{2}$.
પ્રથમ,ત્રિજ્યા $r$ શોધો:
$\frac{22}{7} \times r^{2} = 346.5$
$r^{2} = \frac{346.5 \times 7}{22} = 110.25$
$r = \sqrt{110.25} = 10.5 \, m$.
હવે,તિર્યક ઊંચાઈ $l$ શોધો:
$l = \sqrt{r^{2} + h^{2}} = \sqrt{10.5^{2} + 14^{2}} = \sqrt{110.25 + 196} = \sqrt{306.25} = 17.5 \, m$.
તંબુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r l = \frac{22}{7} \times 10.5 \times 17.5 = 22 \times 1.5 \times 17.5 = 577.5 \, m^{2}$.
કેનવાસની પહોળાઈ $= 75 \, cm = 0.75 \, m$.
કેનવાસની લંબાઈ $= \frac{\text{વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ}}{\text{પહોળાઈ}} = \frac{577.5}{0.75} = 770 \, m$.

(D) પ્રિઝમનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર છે: $\text{ઘનફળ} = \text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઊંચાઈ}$.
આપેલ છે:
$\text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} P^{2} \, \text{cm}^{2}$
$\text{ઊંચાઈ} = 100 \sqrt{3} \, \text{cm}$
$\text{ઘનફળ} = 7200 \, \text{cm}^{3}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$7200 = \left( \frac{3 \sqrt{3}}{2} P^{2} \right) \times (100 \sqrt{3})$
$7200 = \frac{3 \times 100 \times (\sqrt{3} \times \sqrt{3})}{2} \times P^{2}$
$7200 = \frac{300 \times 3}{2} \times P^{2}$
$7200 = 450 \times P^{2}$
$P^{2} = \frac{7200}{450}$
$P^{2} = 16$
$P = 4$.

(D) ધારો કે ગોલકની ત્રિજ્યા $r \, cm$ છે.
ગોલકનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોલકનું પૃષ્ઠફળ $A = 4 \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ઘનફળ અને પૃષ્ઠફળનું મૂલ્ય સમાન છે:
$\frac{4}{3} \pi r^3 = 4 \pi r^2$
બંને બાજુને $4 \pi r^2$ વડે ભાગતા ($r \neq 0$ ધારીને):
$\frac{r}{3} = 1$
$r = 3 \, cm$.
ગોલકનો વ્યાસ $d = 2r = 2 \times 3 = 6 \, cm$ થાય.