Measurement of Area Questions in Hindi

(A) माना समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ $a$ और $b$ हैं,और कर्ण $c = 20\, cm$ है।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a + b + c}{2} = 24\, cm$ है।
अतः,$a + b + 20 = 2 \times 24 = 48$,जिससे $a + b = 28\, cm$ प्राप्त होता है $...(1)$।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$a^2 + b^2 = c^2 = 20^2 = 400$ है।
हम जानते हैं कि $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ होता है।
मान रखने पर,$28^2 = 400 + 2ab$।
$784 = 400 + 2ab$,इसलिए $2ab = 384$,जिसका अर्थ है $ab = 192$।
अब,$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = 28^2 - 4(192) = 784 - 768 = 16$।
इस प्रकार,$a - b = \sqrt{16} = 4\, cm$ $...(2)$।
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,$2a = 32$,इसलिए $a = 16\, cm$।
$(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर,$2b = 24$,इसलिए $b = 12\, cm$।
अतः,अन्य दो भुजाएँ $16\, cm$ और $12\, cm$ हैं।

(B) माना त्रिभुज की भुजाएँ $3x$,$4x$ और $5x$ हैं।
दिया गया है कि परिमाप $36 \text{ cm}$ है,इसलिए:
$3x + 4x + 5x = 36$
$12x = 36$
$x = 3$
अतः,भुजाएँ हैं:
$a = 3(3) = 9 \text{ cm}$
$b = 4(3) = 12 \text{ cm}$
$c = 5(3) = 15 \text{ cm}$
अर्ध-परिमाप $s$ इस प्रकार है:
$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ cm}$
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{18(18-9)(18-12)(18-15)}$
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{18 \times 9 \times 6 \times 3}$
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{2916} = 54 \text{ cm}^2$
वैकल्पिक रूप से,चूंकि $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$,यह एक समकोण त्रिभुज है।
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54 \text{ cm}^2$.

(C) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 50\, m$,$b = 78\, m$ और $c = 112\, m$ हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $s$ की गणना करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{50 + 78 + 112}{2} = \frac{240}{2} = 120\, m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$\text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$\text{Area} = \sqrt{120(120-50)(120-78)(120-112)}$
$\text{Area} = \sqrt{120 \times 70 \times 42 \times 8}$
$\text{Area} = \sqrt{2822400} = 1680\, m^2$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ द्वारा भी ज्ञात किया जाता है।
यहाँ,आधार $112\, m$ है और ऊँचाई $h$ लंब की लंबाई है।
$\frac{1}{2} \times 112 \times h = 1680$
$56 \times h = 1680$
$h = \frac{1680}{56} = 30\, m$.

(A) माना कि दीवार $AC$ है और जमीन $AB$ है,जहाँ $AC = 12\, m$ और $AB = 5\, m$ है।
सीढ़ी को समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ के कर्ण $BC$ द्वारा दर्शाया गया है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$BC^2 = AC^2 + AB^2$ होता है।
$BC^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$ है।
इसलिए,$BC = \sqrt{169} = 13\, m$ है।
अतः,सीढ़ी की लंबाई $13\, m$ है।

(C) माना सीढ़ी $AC$ और $CE$ है,जहाँ $AC = CE = 65 \ cm$ है।
माना $AB = 63 \ cm$ एक तरफ की खिड़की की ऊँचाई है और $ED = 56 \ cm$ दूसरी तरफ के बिंदु की ऊँचाई है।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$BC^2 + AB^2 = AC^2$
$BC^2 + 63^2 = 65^2$
$BC^2 = 4225 - 3969 = 256$
$BC = \sqrt{256} = 16 \ cm$।
समकोण त्रिभुज $\triangle CDE$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$CD^2 + ED^2 = CE^2$
$CD^2 + 56^2 = 65^2$
$CD^2 = 4225 - 3136 = 1089$
$CD = \sqrt{1089} = 33 \ cm$।
अतः,सड़क की चौड़ाई $BD = BC + CD = 16 + 33 = 49 \ cm$ है।

(C) $x$ आधार और $h$ शीर्षलंब वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times x \times h$ होता है।
$x$ भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल $x^2$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,त्रिभुज का क्षेत्रफल वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है:
$\frac{1}{2} \times x \times h = x^2$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने और $x$ से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि $x \neq 0$):
$h = 2x$
अतः,त्रिभुज का शीर्षलंब $2x$ है।

(C) माना त्रिभुज का आधार $3x$ है और ऊँचाई $4x$ है।
त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $150 = \frac{1}{2} \times 3x \times 4x$.
$150 = 6x^{2}$.
$x^{2} = \frac{150}{6} = 25$.
$x = \sqrt{25} = 5$.
अतः,ऊँचाई $4x = 4 \times 5 = 20 \, m$ है।

(C) जुताई की कुल लागत ₹ $495.72$ है और दर ₹ $36.72$ प्रति हेक्टेयर है।
खेत का क्षेत्रफल हेक्टेयर में $= \frac{495.72}{36.72} = 13.5 \text{ हेक्टेयर}$.
चूँकि $1 \text{ हेक्टेयर} = 10,000 \, m^2$,इसलिए वर्ग मीटर में क्षेत्रफल $= 13.5 \times 10,000 = 135,000 \, m^2$ होगा।
माना त्रिभुजाकार खेत की ऊँचाई $h = x \, m$ है।
तब,आधार $b = 3x \, m$ होगा।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = 135,000$.
$\frac{1}{2} \times 3x \times x = 135,000$.
$1.5x^2 = 135,000$.
$x^2 = \frac{135,000}{1.5} = 90,000$.
$x = \sqrt{90,000} = 300$.
अतः,ऊँचाई $= 300 \, m$ और आधार $= 3 \times 300 = 900 \, m$ है।

(C) मान लीजिए त्रिभुज की मूल भुजाएँ $a, b,$ और $c$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{1}{2}(a + b + c)$ द्वारा दिया जाता है।
मूल त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ है।
यदि भुजाओं को दोगुना कर दिया जाए,तो नई भुजाएँ $2a, 2b,$ और $2c$ हो जाती हैं।
नया अर्ध-परिमाप $S = \frac{1}{2}(2a + 2b + 2c) = a + b + c = 2s$ है।
नए त्रिभुज का क्षेत्रफल $A' = \sqrt{S(S - 2a)(S - 2b)(S - 2c)}$ है।
$S = 2s$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A' = \sqrt{2s(2s - 2a)(2s - 2b)(2s - 2c)}$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल के अंदर प्रत्येक पद से $2$ कॉमन लेने पर,$A' = \sqrt{2s \cdot 2(s - a) \cdot 2(s - b) \cdot 2(s - c)} = \sqrt{16s(s - a)(s - b)(s - c)}$ प्राप्त होता है।
$A' = 4 \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = 4A$.
अतः,क्षेत्रफल मूल क्षेत्रफल का $4$ गुना हो जाता है।

(A) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 85 \, m$,$b = 154 \, m$ और तीसरी भुजा $c$ है।
दिया गया परिमाप $P = 324 \, m$ है।
अतः,$c = P - (a + b) = 324 - (85 + 154) = 324 - 239 = 85 \, m$।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{P}{2} = \frac{324}{2} = 162 \, m$ है।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ है।
क्षेत्रफल $= \sqrt{162(162-85)(162-154)(162-85)} = \sqrt{162 \times 77 \times 8 \times 77}$।
क्षेत्रफल $= \sqrt{162 \times 8 \times 77^2} = \sqrt{1296 \times 5929} = 36 \times 77 = 2772 \, m^2$।
₹ $10$ प्रति $m^2$ की दर से जुताई का कुल खर्च $2772 \times 10 = ₹ 27720$ होगा।

(C) समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र $\frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{भुजा})^2$ होता है।
यहाँ भुजा की लंबाई $2 \sqrt{3} \text{ cm}$ दी गई है।
सूत्र में मान रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times (2 \sqrt{3})^2$
क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times (4 \times 3)$
क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12$
क्षेत्रफल $= 3 \sqrt{3} \text{ cm}^2$।

(C) समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई $(h)$ और भुजा की लंबाई $(a)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a$
यहाँ दिया गया है कि ऊँचाई $h = 2 \sqrt{3} \text{ cm}$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a$
दोनों पक्षों को $\sqrt{3}$ से विभाजित करने पर:
$2 = \frac{a}{2}$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$a = 4 \text{ cm}$।
अतः,समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई $4 \text{ cm}$ है।

(B) समबाहु त्रिभुज का परिमाप $3 \times \text{भुजा}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$3 \times \text{भुजा} = 12\, m$.
इसलिए,$\text{भुजा} = \frac{12}{3} = 4\, m$.
समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र $\frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{भुजा})^2$ है।
भुजा का मान रखने पर: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (4)^2$.
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 16 = 4\sqrt{3}\, m^2$.

(A) एक समबाहु त्रिभुज की परिधि $3 \times \text{भुजा} = 24 \, cm$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,भुजा की लंबाई $\text{भुजा} = \frac{24}{3} = 8 \, cm$ है।
समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई $(h)$ का सूत्र $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{भुजा}$ है।
भुजा का मान रखने पर,हमें $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 8 = 4 \sqrt{3} \, cm$ प्राप्त होता है।

(B) माना समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ $a$ और $b$ हैं,और कर्ण $c = 39\, cm$ है।
दिया गया परिमाप $P = a + b + c = 90\, cm$ है।
अतः,$a + b + 39 = 90$,जिसका अर्थ है $a + b = 51\, cm$।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$a^2 + b^2 = c^2 = 39^2 = 1521$ है।
हम जानते हैं कि $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ होता है।
मान रखने पर: $51^2 = 1521 + 2ab$।
$2601 = 1521 + 2ab \Rightarrow 2ab = 1080 \Rightarrow ab = 540$।
अब,हमारे पास $a + b = 51$ और $ab = 540$ है। ये द्विघात समीकरण $t^2 - 51t + 540 = 0$ के मूल हैं।
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{51 \pm \sqrt{51^2 - 4(540)}}{2} = \frac{51 \pm \sqrt{2601 - 2160}}{2} = \frac{51 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{51 \pm 21}{2}$।
$t_1 = \frac{72}{2} = 36$ और $t_2 = \frac{30}{2} = 15$।
अतः,अन्य दो भुजाएँ $36\, cm$ और $15\, cm$ हैं।

(B) माना समद्विबाहु त्रिभुज का आधार $b$ है और प्रत्येक समान भुजा $a$ है।
दिया गया है कि $a = \frac{5}{8} b$.
त्रिभुज का परिमाप $2a + b = 306\, m$ है।
परिमाप के समीकरण में $a$ का मान रखने पर: $2(\frac{5}{8} b) + b = 306$.
$\frac{5}{4} b + b = 306 \Rightarrow \frac{9}{4} b = 306$.
$b = \frac{306 \times 4}{9} = 34 \times 4 = 136\, m$.
अब,$a = \frac{5}{8} \times 136 = 5 \times 17 = 85\, m$.
समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{b}{4} \sqrt{4a^2 - b^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $= \frac{136}{4} \sqrt{4(85)^2 - (136)^2}$.
क्षेत्रफल $= 34 \sqrt{4(7225) - 18496} = 34 \sqrt{28900 - 18496}$.
क्षेत्रफल $= 34 \sqrt{10404} = 34 \times 102 = 3468\, m^2$.

(C) एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज में,मान लीजिए कि दो समान भुजाएँ $a$ हैं।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,कर्ण $h = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ होता है।
यहाँ कर्ण $h = 8\, cm$ दिया गया है,इसलिए $a\sqrt{2} = 8$ है।
अतः,$a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}\, cm$ है।
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ होता है।
चूँकि आधार और ऊँचाई दोनों $a$ हैं,इसलिए क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times a^2$ होगा।
$a$ का मान रखने पर,क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (4\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \times (16 \times 2) = \frac{1}{2} \times 32 = 16\, cm^{2}$।

(B) माना कि समान भुजा $= 5x$ और आधार $= 4x$ है।
चूंकि यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है,इसलिए दो समान भुजाएं बराबर होती हैं।
परिमाप $= 5x + 5x + 4x = 14x$.
दिया गया परिमाप $= 14 \ cm$ है,इसलिए $14x = 14 \Rightarrow x = 1$.
अतः,भुजाएं $5 \ cm, 5 \ cm$ और $4 \ cm$ हैं।
समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र: $\text{Area} = \frac{b}{4} \sqrt{4a^2 - b^2}$,जहाँ $a = 5$ और $b = 4$.
$\text{Area} = \frac{4}{4} \sqrt{4(5)^2 - (4)^2} = \sqrt{100 - 16} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21} \ cm^2$.

(C) मान लीजिए कि त्रिभुज की मूल भुजाएँ $a, b,$ और $c$ हैं। मूल क्षेत्रफल $A$ हेरॉन के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$,जहाँ $s = \frac{a+b+c}{2}$ है।
जब प्रत्येक भुजा में $200 \%$ की वृद्धि होती है,तो नई भुजाएँ $a' = a + 2a = 3a$,$b' = b + 2b = 3b$,और $c' = c + 2c = 3c$ हो जाती हैं।
नया अर्ध-परिमाप $s'$ है: $s' = \frac{3a+3b+3c}{2} = 3 \left( \frac{a+b+c}{2} \right) = 3s$।
नया क्षेत्रफल $A'$ है: $A' = \sqrt{s'(s'-a')(s'-b')(s'-c')} = \sqrt{3s(3s-3a)(3s-3b)(3s-3c)}$।
वर्गमूल के अंदर प्रत्येक पद से $3$ कॉमन लेने पर: $A' = \sqrt{3s \cdot 3(s-a) \cdot 3(s-b) \cdot 3(s-c)} = \sqrt{81 \cdot s(s-a)(s-b)(s-c)} = 9 \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 9A$।
क्षेत्रफल में वृद्धि $A' - A = 9A - A = 8A$ है।
प्रतिशत वृद्धि $\frac{8A}{A} \times 100 \% = 800 \%$ है।

(C) माना कि समकोण समद्विबाहु त्रिभुज की प्रत्येक समान भुजा की लंबाई $x \text{ m}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^2 + x^2 = (50 \sqrt{2})^2$.
$2x^2 = 2500 \times 2 = 5000$.
$x^2 = 2500$,जिससे $x = 50 \text{ m}$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज का परिमाप सभी भुजाओं का योग है: $P = x + x + 50 \sqrt{2} = 50 + 50 + 50 \times 1.414 = 100 + 70.7 = 170.7 \text{ m}$.
बाड़ लगाने की कुल लागत $170.7 \times 3 = ₹512.1$ होगी।
चूंकि $512.1 > 500$,इसलिए सही विकल्प ₹$500$ से अधिक है।

(D) आधार $b$ और समान भुजाओं $a$ वाले समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल का सूत्र: $\text{Area} = \frac{b}{4} \sqrt{4a^2 - b^2}$ है।
यहाँ $b = 16 \, cm$ और $a = 10 \, cm$ दिया गया है:
$\text{Area} = \frac{16}{4} \sqrt{4(10)^2 - (16)^2} = 4 \sqrt{400 - 256} = 4 \sqrt{144} = 4 \times 12 = 48 \, cm^2$.
मान लीजिए समबाहु त्रिभुज की भुजा $s$ है। समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ होता है।
क्षेत्रफलों की तुलना करने पर: $\frac{\sqrt{3}}{4} s^2 = 48$.
$s^2 = \frac{48 \times 4}{\sqrt{3}} = \frac{192}{1.732} \approx 110.85$.
$s = \sqrt{110.85} \approx 10.53 \, cm$.
चूँकि $10.53$ का मान $10.5$ के बराबर नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ (इनमें से कोई नहीं) है।

(C) माना कि समकोण समद्विबाहु त्रिभुज की दो समान भुजाएँ $x \, m$ हैं।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,कर्ण $h = \sqrt{x^2 + x^2} = x\sqrt{2}$ होता है।
परिमाप $P$ सभी भुजाओं का योग है: $P = x + x + x\sqrt{2} = 2x + x\sqrt{2} = x(2 + \sqrt{2})$.
इसे हम $P = x\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1) = h(\sqrt{2} + 1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
दिया गया परिमाप $P = 4\sqrt{2} + 4 = 4(\sqrt{2} + 1) \, m$ है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $h(\sqrt{2} + 1) = 4(\sqrt{2} + 1)$.
अतः,कर्ण $h = 4 \, m$ है।

(A) मान लीजिए समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ $a = 60 \, m$ और $b = 40 \, m$ हैं,और विकर्ण $d = 80 \, m$ है।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल दो भुजाओं और विकर्ण द्वारा बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का दोगुना होता है।
सबसे पहले,त्रिभुज का अर्ध-परिमाप $(s)$ ज्ञात करें:
$s = \frac{a + b + d}{2} = \frac{60 + 40 + 80}{2} = \frac{180}{2} = 90 \, m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-d)}$
$= \sqrt{90(90-60)(90-40)(90-80)}$
$= \sqrt{90 \times 30 \times 50 \times 10}$
$= \sqrt{1350000} = 300 \sqrt{15} \, m^2$.
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल त्रिभुज के क्षेत्रफल का दोगुना है:
$\text{समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल} = 2 \times 300 \sqrt{15} = 600 \sqrt{15} \, m^2$.

(C) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$.
यहाँ, आधार समांतर चतुर्भुज की भुजा है, जो $14\, cm$ है।
विपरीत भुजा से दूरी समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई (शीर्षलंब) है, जो $16\, cm$ है।
अतः, $\text{क्षेत्रफल} = 14\, cm \times 16\, cm = 224\, cm^2$.

(B) माना समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ $a = 65 \, m$,$b = 119 \, m$ और विकर्ण $d = 156 \, m$ हैं।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल इन तीन भुजाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज के क्षेत्रफल का दोगुना होता है।
सबसे पहले,त्रिभुज का अर्ध-परिमाप $s$ ज्ञात करें:
$s = \frac{a + b + d}{2} = \frac{65 + 119 + 156}{2} = \frac{340}{2} = 170 \, m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-d)}$
$= \sqrt{170(170-65)(170-119)(170-156)}$
$= \sqrt{170 \times 105 \times 51 \times 14}$
$= \sqrt{12751200} = 3570 \, m^2$.
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $= 2 \times 3570 = 7140 \, m^2$.
बजरी बिछाने की लागत $= \text{क्षेत्रफल} \times \text{दर} = 7140 \times 10 = ₹ 71400$.

(A) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \text{आधार} \times \text{संगत ऊँचाई}$।
यहाँ,$\text{आधार} = 10\, m$ और $\text{ऊँचाई} = 7\, m$ दी गई है।
अतः,$\text{क्षेत्रफल} = 10\, m \times 7\, m = 70\, m^2$ होगा।

(B) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार और उसके संगत ऊँचाई (समांतर भुजाओं के बीच की दूरी) के गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है。
माना भुजाएँ $a = 8\, m$ और $b = 5\, m$ हैं。
लंबी भुजाओं $(8\, m)$ के बीच की दूरी $h_1 = 4\, m$ दी गई है。
अतः,समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = 8\, m \times 4\, m = 32\, m^2$.
माना छोटी भुजाओं $(5\, m)$ के बीच की दूरी $h_2$ है。
चूँकि क्षेत्रफल समान रहता है,इसलिए $5\, m \times h_2 = 32\, m^2$.
$h_2 = \frac{32}{5} = 6.4\, m$.
इस प्रकार,छोटी भुजाओं के बीच की दूरी $6.4\, m$ है。

(C) चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times d \times (p_{1} + p_{2})$,जहाँ $d$ विकर्ण की लंबाई है और $p_{1}, p_{2}$ विपरीत शीर्षों से विकर्ण पर डाले गए लंब की लंबाई हैं।
दिया गया है: $\text{क्षेत्रफल} = 420 \, m^{2}$,$p_{1} = 18 \, m$,और $p_{2} = 12 \, m$.
सूत्र में मान रखने पर:
$420 = \frac{1}{2} \times d \times (18 + 12)$
$420 = \frac{1}{2} \times d \times 30$
$420 = 15 \times d$
$d = \frac{420}{15}$
$d = 28 \, m$.
अतः,विकर्ण की लंबाई $28 \, m$ है।

(A) माना समांतर चतुर्भुज का आधार $x \, cm$ है।
दिया गया है कि शीर्षलंब इसके संगत आधार का दोगुना है,इसलिए शीर्षलंब $2x \, cm$ होगा।
समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \text{आधार} \times \text{शीर्षलंब}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $72 = x \times 2x$.
$72 = 2x^{2}$.
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $x^{2} = 36$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$x = 6$.
अतः,आधार की लंबाई $6 \, cm$ है।

(B) समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$.
यहाँ दिया गया है कि क्षेत्रफल $240 \, cm^{2}$ है और ऊँचाई $12 \, cm$ है।
माना कि आधार $x \, cm$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $240 = x \times 12$.
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों को $12$ से विभाजित करने पर: $x = \frac{240}{12} = 20 \, cm$.
अतः,समांतर चतुर्भुज का आधार $20 \, cm$ है।

(A) चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $\Delta ABC$ और $\Delta ADC$ के क्षेत्रफलों का योग है।
$\Delta ABC$ के लिए,भुजाएँ $a = 20\, m, b = 13\, m, c = 21\, m$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s_1 = \frac{20 + 13 + 21}{2} = \frac{54}{2} = 27\, m$.
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s_1(s_1 - a)(s_1 - b)(s_1 - c)} = \sqrt{27(27 - 20)(27 - 13)(27 - 21)} = \sqrt{27 \times 7 \times 14 \times 6} = \sqrt{15876} = 126\, m^2$.
$\Delta ADC$ के लिए,भुजाएँ $a = 10\, m, b = 17\, m, c = 21\, m$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s_2 = \frac{10 + 17 + 21}{2} = \frac{48}{2} = 24\, m$.
$\Delta ADC$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s_2(s_2 - a)(s_2 - b)(s_2 - c)} = \sqrt{24(24 - 10)(24 - 17)(24 - 21)} = \sqrt{24 \times 14 \times 7 \times 3} = \sqrt{7056} = 84\, m^2$.
चतुर्भुज $ABCD$ का कुल क्षेत्रफल $= 126\, m^2 + 84\, m^2 = 210\, m^2$।

(A) माना समांतर चतुर्भुज $ABCD$ है जिसके विकर्ण $AC = 72 \, cm$ और $BD = 30 \, cm$ हैं।
समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को बिंदु $O$ पर समद्विभाजित करते हैं।
अतः,$OA = OC = \frac{72}{2} = 36 \, cm$ और $OB = OD = \frac{30}{2} = 15 \, cm$.
समचतुर्भुज में विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं,इसलिए भुजा की लंबाई $s = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2}$ द्वारा प्राप्त होती है।
$s = \sqrt{36^2 + 15^2} = \sqrt{1296 + 225} = \sqrt{1521} = 39 \, cm$.
चूंकि समचतुर्भुज की चारों भुजाएँ समान होती हैं,इसलिए परिमाप $4 \times 39 = 156 \, cm$ होगा।
नोट: यदि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण समकोण पर समद्विभाजित करते हैं,तो वह एक समचतुर्भुज होता है।

(C) समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \text{आधार} \times \text{शीर्षलंब}$.
दिया गया है,$\text{आधार} = (x+4)$,$\text{शीर्षलंब} = (x-3)$ और $\text{क्षेत्रफल} = (x^{2}-4)$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$(x^{2}-4) = (x+4)(x-3)$
$x^{2}-4 = x^{2} - 3x + 4x - 12$
$x^{2}-4 = x^{2} + x - 12$
दोनों पक्षों से $x^{2}$ घटाने पर:
$-4 = x - 12$
$x = 12 - 4 = 8$.
अब,क्षेत्रफल के व्यंजक में $x = 8$ रखने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = x^{2}-4 = (8)^{2}-4 = 64 - 4 = 60$ वर्ग इकाई।

(B) किसी भी समांतर चतुर्भुज के लिए जिसकी आसन्न भुजाएँ $a$ और $b$ हैं और विकर्ण $d_1$ और $d_2$ हैं,समांतर चतुर्भुज का नियम है: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$।
यहाँ $a = 12\, cm$,$b = 14\, cm$,और $d_1 = 16\, cm$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$16^2 + d_2^2 = 2(12^2 + 14^2)$
$256 + d_2^2 = 2(144 + 196)$
$256 + d_2^2 = 2(340)$
$256 + d_2^2 = 680$
$d_2^2 = 680 - 256 = 424$
$d_2 = \sqrt{424} \approx 20.59\, cm \approx 20.6\, cm$।

(B) वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \pi r^{2}$ है।
यहाँ $A = 154 \, m^{2}$ और $\pi = \frac{22}{7}$ लेने पर:
$\frac{22}{7} \times r^{2} = 154$
$r^{2} = 154 \times \frac{7}{22}$
$r^{2} = 7 \times 7 = 49$
$r = \sqrt{49} = 7 \, m$.
वृत्त का परिमाप (परिधि) ज्ञात करने का सूत्र $P = 2 \pi r$ है।
$P = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 = 44 \, m$.

(A) माना कि वर्ग की भुजा $x$ है और वृत्त की त्रिज्या $r$ है।
प्रश्न के अनुसार,वृत्त का परिमाप और वर्ग का परिमाप समान है:
$2 \pi r = 4x$
$x = \frac{\pi r}{2}$
अब,हम वृत्त के क्षेत्रफल $(A_c = \pi r^2)$ और वर्ग के क्षेत्रफल $(A_s = x^2)$ की तुलना करते हैं:
$\frac{A_c}{A_s} = \frac{\pi r^2}{x^2} = \frac{\pi r^2}{(\frac{\pi r}{2})^2} = \frac{\pi r^2}{\frac{\pi^2 r^2}{4}}$
$\frac{A_c}{A_s} = \frac{4}{\pi} = \frac{4}{22/7} = \frac{4 \times 7}{22} = \frac{28}{22} = \frac{14}{11}$
अतः,उनके क्षेत्रफलों का अनुपात $14: 11$ है।

(D) माना कि आयत की चौड़ाई $x \, m$ है।
तब,आयत की लंबाई $3x \, m$ होगी।
आयत का परिमाप $P = 2(l + b)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि परिमाप $96 \, m$ है,इसलिए $2(3x + x) = 96$ होगा।
$2(4x) = 96 \Rightarrow 8x = 96$.
$x = 12 \, m$.
अतः,चौड़ाई $12 \, m$ है और लंबाई $3 \times 12 = 36 \, m$ है।
आयत का क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 36 \times 12 = 432 \, m^2$ होगा।

(D) चूंकि गाय को एक आयताकार खेत के कोने पर बांधा गया है,इसलिए वह जिस क्षेत्र को चर सकती है,वह एक वृत्त का त्रिज्यखंड (sector) बनाता है जिसकी त्रिज्या $r = 14\, m$ है और केंद्रीय कोण $90^{\circ}$ है (क्योंकि आयत का कोना $90^{\circ}$ होता है)।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$.
मान रखने पर: $\text{Area} = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14$.
$\text{Area} = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 196$.
$\text{Area} = \frac{1}{4} \times 22 \times 28$.
$\text{Area} = 154\, m^2$.

(C) स्कूटर की गति $66\, km/h$ है।
एक मिनट में तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए,गति को $cm/min$ में बदलें:
प्रति मिनट दूरी $= \frac{66 \times 1000 \times 100}{60} = 110000\, cm/min$.
एक चक्कर में तय की गई दूरी पहिये की परिधि के बराबर होती है:
परिधि $= \pi \times d = \frac{22}{7} \times 70 = 220\, cm$.
प्रति मिनट चक्करों की संख्या एक मिनट में तय की गई कुल दूरी को एक चक्कर में तय की गई दूरी से विभाजित करने पर प्राप्त होती है:
चक्करों की संख्या $= \frac{110000}{220} = 500$.

(A) वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \pi r^2$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
पहले पार्क के लिए,व्यास $16 \ m$ है,इसलिए त्रिज्या $r_1 = 16 / 2 = 8 \ m$ है।
पहले पार्क का क्षेत्रफल $A_1 = \pi (8)^2 = 64\pi \ m^2$ है।
दूसरे पार्क के लिए,व्यास $12 \ m$ है,इसलिए त्रिज्या $r_2 = 12 / 2 = 6 \ m$ है।
दूसरे पार्क का क्षेत्रफल $A_2 = \pi (6)^2 = 36\pi \ m^2$ है।
दोनों पार्कों का कुल क्षेत्रफल $A_{total} = 64\pi + 36\pi = 100\pi \ m^2$ है।
मान लीजिए कि नए पार्क की त्रिज्या $R$ है। चूंकि नया पार्क उतना ही स्थान घेरता है,इसलिए इसका क्षेत्रफल दो छोटे पार्कों के कुल क्षेत्रफल के बराबर होना चाहिए:
$\pi R^2 = 100\pi$
$R^2 = 100$
$R = \sqrt{100} = 10 \ m$.
अतः,नए पार्क की त्रिज्या $10 \ m$ होगी।

(C) आयताकार पार्क की लंबाई $L = 65\, m$ और चौड़ाई $W = 50\, m$ है।
रास्तों की चौड़ाई $w = 2\, m$ है।
लंबाई के समानांतर रास्ते का क्षेत्रफल $L \times w = 65 \times 2 = 130\, m^2$ है।
चौड़ाई के समानांतर रास्ते का क्षेत्रफल $W \times w = 50 \times 2 = 100\, m^2$ है।
चूंकि दोनों रास्ते केंद्र में एक-दूसरे को काटते हैं,इसलिए प्रतिच्छेदन का क्षेत्रफल $w^2 = 2 \times 2 = 4\, m^2$ का एक वर्ग है।
रास्तों का कुल क्षेत्रफल $(130 + 100 - 4) = 226\, m^2$ है।
निर्माण की कुल लागत $226 \times 17.25 = ₹ 3898.50$ है।

(D) समलंब चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र $\text{Area} = \frac{1}{2} \times (a + b) \times h$ है,जहाँ $a$ और $b$ समांतर भुजाओं की लंबाई हैं और $h$ ऊँचाई (उनके बीच की दूरी) है।
दिया गया है: $\text{Area} = 2500 \, m^2$,$a = 75 \, m$,और $h = 40 \, m$.
सूत्र में मान रखने पर:
$2500 = \frac{1}{2} \times (75 + b) \times 40$
$2500 = (75 + b) \times 20$
दोनों पक्षों को $20$ से विभाजित करने पर:
$125 = 75 + b$
$b = 125 - 75$
$b = 50 \, m$.
अतः,दूसरी समांतर भुजा की लंबाई $50 \, m$ है।

(C) माना आयत की चौड़ाई $x \, cm$ है।
तब,आयत की लंबाई $(x + 3) \, cm$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,क्षेत्रफल का संख्यात्मक मान और परिमाप का संख्यात्मक मान समान है।
क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = x(x + 3) \, cm^2$.
परिमाप $= 2(\text{लंबाई} + \text{चौड़ाई}) = 2(x + 3 + x) = 2(2x + 3) = (4x + 6) \, cm$.
दोनों को बराबर करने पर: $x(x + 3) = 4x + 6$.
$x^2 + 3x = 4x + 6$.
$x^2 - x - 6 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 3)(x + 2) = 0$.
इससे $x = 3$ या $x = -2$ प्राप्त होता है।
चूंकि चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए चौड़ाई $3 \, cm$ है।

(C) माना कि दो वर्गों की भुजाएँ क्रमशः $x$ और $y$ हैं।
वर्ग का क्षेत्रफल $\text{Area} = \text{side}^2$ के सूत्र द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{x^2}{y^2} = \frac{9}{1}$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{x}{y} = \sqrt{\frac{9}{1}} = \frac{3}{1}$ प्राप्त होता है।
वर्ग का परिमाप $\text{Perimeter} = 4 \times \text{side}$ के सूत्र द्वारा दिया जाता है।
उनके परिमापों का अनुपात $\frac{4x}{4y} = \frac{x}{y}$ होगा।
$\frac{x}{y}$ का मान रखने पर,परिमापों का अनुपात $3: 1$ प्राप्त होता है।

(D) माना रास्ते की चौड़ाई $x$ (मीटर में) है।
आंतरिक वर्ग की भुजा $30\, m$ है।
बाहरी वर्ग की भुजा $(30 + 2x)\, m$ होगी।
रास्ते का क्षेत्रफल बाहरी वर्ग के क्षेत्रफल और आंतरिक वर्ग के क्षेत्रफल का अंतर होता है।
रास्ते का क्षेत्रफल $= (30 + 2x)^2 - 30^2 = 256$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $(900 + 120x + 4x^2) - 900 = 256$.
$4x^2 + 120x = 256$.
$4$ से भाग देने पर: $x^2 + 30x = 64$.
$x^2 + 30x - 64 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x + 32)(x - 2) = 0$.
इससे $x = -32$ या $x = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 2\, m$ है।

(C) बछड़े द्वारा चरा गया क्षेत्र उस वृत्त का क्षेत्रफल है जिसकी त्रिज्या रस्सी की लंबाई है।
प्रारंभिक त्रिज्या $(r_1)$ = $12 \ m$.
अंतिम त्रिज्या $(r_2)$ = $23 \ m$.
अतिरिक्त चरा गया क्षेत्र = $r_2$ त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल - $r_1$ त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल।
अतिरिक्त क्षेत्रफल = $\pi r_2^2 - \pi r_1^2 = \pi(r_2^2 - r_1^2)$.
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर:
अतिरिक्त क्षेत्रफल = $\pi(23 - 12)(23 + 12) = \pi(11)(35)$.
$\pi = \frac{22}{7}$ लेने पर:
अतिरिक्त क्षेत्रफल = $\frac{22}{7} \times 11 \times 35 = 22 \times 11 \times 5 = 1210 \ m^2$.

(B) जब $r = 7\, cm$ त्रिज्या वाले चार वृत्तों को इस प्रकार रखा जाता है कि प्रत्येक वृत्त अन्य दो को स्पर्श करे,तो उनके केंद्र $s = 2r = 14\, cm$ भुजा वाले एक वर्ग का निर्माण करते हैं।
इस वर्ग का क्षेत्रफल $s^2 = 14 \times 14 = 196\, cm^2$ है।
चारों टुकड़ों द्वारा घिरा हुआ स्थान,वर्ग के क्षेत्रफल में से वर्ग के अंदर स्थित चार चतुर्थांशों (quadrants) के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है।
प्रत्येक चतुर्थांश का कोण $90^\circ$ है। चारों चतुर्थांशों का कुल क्षेत्रफल $4 \times (\frac{90}{360} \times \pi r^2) = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 154\, cm^2$ है।
अतः,अभीष्ट घिरा हुआ क्षेत्रफल $196 - 154 = 42\, cm^2$ है।

(C) जुताई की कुल लागत ₹ $6000$ है और दर $25$ पैसे प्रति वर्ग मीटर है।
चूँकि $100$ पैसे $= ₹ 1$,इसलिए दर ₹ $0.25$ प्रति $m^2$ है।
खेत का क्षेत्रफल $= \frac{\text{कुल लागत}}{\text{दर}} = \frac{6000}{0.25} = 24000 \, m^2$.
माना लंबाई $5x$ और चौड़ाई $3x$ है।
आयत का क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई}$.
अतः,$5x \times 3x = 24000$.
$15x^2 = 24000$.
$x^2 = \frac{24000}{15} = 1600$.
$x = \sqrt{1600} = 40$.
इसलिए,लंबाई $= 5 \times 40 = 200 \, m$ और चौड़ाई $= 3 \times 40 = 120 \, m$.

(C) कालीन बिछाने का कुल खर्च ₹ $105$ है और दर ₹ $3.50$ प्रति $m^2$ है।
कालीन का क्षेत्रफल = $\frac{\text{कुल खर्च}}{\text{दर}} = \frac{105}{3.50} = 30 \ m^2$.
चूंकि कालीन का क्षेत्रफल कमरे के क्षेत्रफल के बराबर है,इसलिए कमरे का क्षेत्रफल $30 \ m^2$ है।
कमरे की चौड़ाई $5 \ m$ दी गई है।
कमरे का क्षेत्रफल = $\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई}$.
$30 = \text{लंबाई} \times 5$.
लंबाई = $\frac{30}{5} = 6 \ m$.

(A) आयताकार खेत का क्षेत्रफल $= \frac{28000}{3500} = 8$ हेक्टेयर।
चूंकि $1$ हेक्टेयर $= 10000 \text{ m}^2$,इसलिए क्षेत्रफल $= 8 \times 10000 = 80000 \text{ m}^2$ है।
माना चौड़ाई $x$ मीटर है और लंबाई $2x$ मीटर है।
क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 2x \times x = 2x^2$।
$2x^2 = 80000 \implies x^2 = 40000 \implies x = 200 \text{ m}$।
चौड़ाई $= 200 \text{ m}$,लंबाई $= 400 \text{ m}$।
परिमाप $= 2(\text{लंबाई} + \text{चौड़ाई}) = 2(400 + 200) = 2(600) = 1200 \text{ m}$।
बाड़ लगाने का खर्च $= 1200 \times 5 = ₹ 6000$।