Measurement of Area Questions in Hindi

(D) घन की भुजा $a = 7 \ cm$ है।
घन का आयतन $= a^3 = 7^3 = 343 \ cm^3$.
घन में बने सबसे बड़े शंकु का आधार व्यास घन की भुजा के बराबर और ऊँचाई घन की भुजा के बराबर होगी।
शंकु की त्रिज्या $(r) = \frac{a}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 \ cm$.
शंकु की ऊँचाई $(h) = a = 7 \ cm$.
शंकु का आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \times 7 = \frac{1}{3} \times 22 \times 12.25 = \frac{269.5}{3} \ cm^3$.
शंकु के आयतन और घन के आयतन का अनुपात $= \frac{\frac{1}{3} \pi r^2 h}{a^3} = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (\frac{7}{2})^2 \times 7}{7^3} = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{49}{4} \times 7}{343} = \frac{11 \times 49}{6 \times 343} = \frac{11}{42}$.
अतः,अनुपात $11:42$ है।

(B) माना कि सामान्य अनुपात $x$ है।
तब,लंबाई $l = 4x$,चौड़ाई $b = 3x$ और ऊँचाई $h = 2x$ है।
आयताकार ब्लॉक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $2(lb + bh + lh)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,$2(4x \cdot 3x + 3x \cdot 2x + 2x \cdot 4x) = 8788$.
$2(12x^2 + 6x^2 + 8x^2) = 8788$.
$2(26x^2) = 8788$.
$52x^2 = 8788$.
$x^2 = \frac{8788}{52} = 169$.
$x = \sqrt{169} = 13$.
अतः,लंबाई $l = 4x = 4 \times 13 = 52 \text{ cm}$ है।

(C) दिया गया है कि $1$ हेक्टेयर $= 10000\, m^2$ है।
वर्षा की ऊँचाई $10\, cm$ है।
ऊँचाई को मीटर में बदलने पर: $10\, cm = \frac{10}{100}\, m = 0.1\, m$ या $\frac{1}{10}\, m$ है।
पानी का आयतन $= \text{क्षेत्रफल} \times \text{ऊँचाई}$ के रूप में ज्ञात किया जाता है।
आयतन $= 10000\, m^2 \times 0.1\, m = 1000\, m^3$ है।

(C) जब गोले को तार में बदला जाता है तो पदार्थ का आयतन समान रहता है।
गोले का आयतन = बेलनाकार तार का आयतन
$\frac{4}{3} \pi r^3 = \pi R^2 h$
दिया गया है: गोले की त्रिज्या $r = 4 \, cm = 40 \, mm$। तार का व्यास = $4 \, mm$,इसलिए तार की त्रिज्या $R = 2 \, mm$ है।
मान रखने पर:
$\frac{4}{3} \times \pi \times (40)^3 = \pi \times (2)^2 \times h$
$\frac{4}{3} \times 64000 = 4 \times h$
$h = \frac{64000}{3} \approx 21333.33 \, mm$।
निकटतम पूर्णांक में,लंबाई $21333 \, mm$ है।

(B) दिया है:
अर्धगोले का व्यास $= 14 \, cm$,अतः त्रिज्या $r = 14/2 = 7 \, cm$.
बर्तन की कुल ऊँचाई $= 13 \, cm$.
बेलनाकार भाग की ऊँचाई $h = \text{कुल ऊँचाई} - \text{अर्धगोले की त्रिज्या} = 13 - 7 = 6 \, cm$.
बर्तन की धारिता $=$ बेलन का आयतन $+$ अर्धगोले का आयतन
$= \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3$
$= \pi r^2 (h + \frac{2}{3} r)$
$= \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times (6 + \frac{2}{3} \times 7)$
$= 22 \times 7 \times (6 + \frac{14}{3})$
$= 154 \times (\frac{18 + 14}{3})$
$= 154 \times \frac{32}{3}$
$= \frac{4928}{3} \approx 1642.67 \, cm^3$.

(A) छायांकित भाग दो संकेंद्रित वृत्तों के बीच का क्षेत्र है।
वृत्त $P$ की त्रिज्या $(R)$ = $\frac{\text{व्यास}}{2} = \frac{2 \ m}{2} = 1 \ m$.
वृत्त $Q$ की त्रिज्या $(r)$ = $\frac{\text{व्यास}}{2} = \frac{1 \ m}{2} = 0.5 \ m$.
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वृत्त $P$ का क्षेत्रफल - वृत्त $Q$ का क्षेत्रफल।
क्षेत्रफल = $\pi R^2 - \pi r^2 = \pi(1)^2 - \pi(0.5)^2$.
क्षेत्रफल = $\pi - 0.25\pi = 0.75\pi = \frac{3}{4} \pi \ m^2$.

(C) माना कि प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या $r$ है।
दिया गया है कि प्रत्येक वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^{2} = 2 \pi$ है।
दोनों पक्षों को $\pi$ से विभाजित करने पर,हमें $r^{2} = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r = \sqrt{2}$।
प्रत्येक वृत्त का व्यास $d = 2r = 2\sqrt{2}$ है।
आकृति से,वर्ग $QRST$ की भुजा की लंबाई दो वृत्तों के व्यास के योग के बराबर है,इसलिए भुजा की लंबाई $s = 2d = 2(2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}$ है।
वर्ग $QRST$ का क्षेत्रफल $s^{2} = (4\sqrt{2})^{2} = 16 \times 2 = 32$ वर्ग इकाई है।

(B) $1$. बड़े वृत्त की त्रिज्या $(R)$ = $y$ है।
$2$. बड़े वृत्त का क्षेत्रफल = $\pi R^{2} = \pi y^{2}$ है।
$3$. छोटे वृत्त का व्यास $(d)$ = $y$ है,इसलिए इसकी त्रिज्या $(r)$ = $\frac{y}{2}$ होगी।
$4$. छोटे वृत्त का क्षेत्रफल = $\pi r^{2} = \pi (\frac{y}{2})^{2} = \frac{\pi y^{2}}{4}$ है।
$5$. छायांकित भाग का क्षेत्रफल बड़े वृत्त के क्षेत्रफल में से छोटे वृत्त के क्षेत्रफल को घटाकर प्राप्त किया जाता है।
$6$. छायांकित भाग का क्षेत्रफल = $\pi y^{2} - \frac{\pi y^{2}}{4} = \frac{4\pi y^{2} - \pi y^{2}}{4} = \frac{3}{4} \pi y^{2}$।

(A) $OP$ और $OQ$ समान भुजाएँ हैं क्योंकि वे वृत्त की त्रिज्याएँ हैं। अतः,$\Delta POQ$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
चूँकि समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle OPQ = \angle OQP = 51^{\circ}$ है।
$\Delta POQ$ में,सभी आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$y + 51^{\circ} + 51^{\circ} = 180^{\circ}$।
$y + 102^{\circ} = 180^{\circ}$।
$y = 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ}$।

(A) माना कि आयताकार भूखंड की चौड़ाई $b \ m$ है।
प्रश्न के अनुसार,भूखंड की लंबाई $3b \ m$ है।
आयत के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $3b \times b = 7803$.
$3b^2 = 7803$.
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर: $b^2 = \frac{7803}{3} = 2601$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $b = \sqrt{2601} = 51$.
अतः,आयताकार भूखंड की चौड़ाई $51 \ m$ है।

(D) मान लीजिए कि आयताकार भूखंड की लंबाई $8x$ और चौड़ाई $5x$ है।
प्रश्न के अनुसार,चौड़ाई लंबाई से $60\, m$ कम है:
$8x - 5x = 60$
$3x = 60$
$x = 20\, m$
अब,लंबाई और चौड़ाई की गणना करें:
लंबाई $= 8 \times 20 = 160\, m$
चौड़ाई $= 5 \times 20 = 100\, m$
आयत का परिमाप $P = 2 \times (\text{लंबाई} + \text{चौड़ाई})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$P = 2 \times (160 + 100) = 2 \times 260 = 520\, m$.

(B) माना आयत की चौड़ाई $b \, m$ है।
दिया गया है कि लंबाई $l = 2b$ है।
आयत का क्षेत्रफल $l \times b = 18 \, m^2$ होता है।
$l = 2b$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(2b) \times b = 18$ प्राप्त होता है।
$2b^2 = 18 \Rightarrow b^2 = 9 \Rightarrow b = 3 \, m$।
अतः,लंबाई $l = 2 \times 3 = 6 \, m$ है।
आयत का परिमाप $2(l + b)$ के रूप में गणना की जाती है।
परिमाप $= 2(6 + 3) = 2(9) = 18 \, m$।

(B) माना आयत की चौड़ाई $b$ मीटर है।
दिया गया है कि लंबाई चौड़ाई की दोगुनी है,इसलिए लंबाई $l = 2b$ है।
आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $Area = l \times b$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $18 = (2b) \times b$.
$18 = 2b^{2}$.
$b^{2} = 9$.
$b = 3 \, m$ (चूंकि चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती)।
अतः,लंबाई $l = 2 \times 3 = 6 \, m$ है।
आयत का परिमाप $P = 2(l + b)$ द्वारा दिया जाता है।
$P = 2(6 + 3) = 2(9) = 18 \, m$।

(D) माना कि वर्ग की भुजा $a$ है और आयत की लंबाई $l$ तथा चौड़ाई $b$ है।
वर्ग का परिमाप = $4a$ है।
आयत का परिमाप = $2(l + b)$ है।
प्रश्न के अनुसार,$4a = 2 \times [2(l + b)]$,जिसे सरल करने पर $4a = 4(l + b)$ प्राप्त होता है,अर्थात $a = l + b$ है।
आयत का क्षेत्रफल $l \times b = 240 \, cm^2$ दिया गया है।
हमें वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करना है,जो $a^2 = (l + b)^2 = l^2 + b^2 + 2lb$ होता है।
चूंकि हमारे पास केवल $lb = 240$ का मान है,इसलिए $l$ और $b$ के व्यक्तिगत मानों या उनके योग को जाने बिना $l^2 + b^2$ का मान निर्धारित नहीं किया जा सकता है। अतः,वर्ग का क्षेत्रफल निश्चित रूप से ज्ञात नहीं किया जा सकता है।

(C) माना कि वृत्त की त्रिज्या $r\, cm$ है।
वृत्त की परिधि का सूत्र $C = 2\pi r$ होता है।
दिया गया है कि $C = 88\, cm$,इसलिए $2 \times \frac{22}{7} \times r = 88$ है।
$r$ के लिए हल करने पर: $r = \frac{88 \times 7}{2 \times 22} = \frac{88 \times 7}{44} = 2 \times 7 = 14\, cm$ प्राप्त होता है।
वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र $A = \pi r^2$ होता है।
$r$ का मान रखने पर: $A = \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 22 \times 2 \times 14 = 44 \times 14 = 616\, Sq\, cm$।

(C) माना कि वृत्त की त्रिज्या $r \, cm$ है।
वृत्त की परिधि का सूत्र $C = 2 \pi r$ होता है।
दिया गया है कि $C = 22 \, cm$,इसलिए $2 \times \frac{22}{7} \times r = 22$ है।
$r$ के लिए हल करने पर: $r = \frac{22 \times 7}{2 \times 22} = \frac{7}{2} = 3.5 \, cm$ प्राप्त होता है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$r$ का मान रखने पर: $A = \frac{22}{7} \times (3.5)^2 = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 = 22 \times 0.5 \times 3.5 = 11 \times 3.5 = 38.5 \, sq \, cm$।

(C) मान लीजिए कि दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः $r_1$ और $r_2$ हैं।
वृत्त की परिधि $C = 2\pi r$ द्वारा दी जाती है।
छोटे वृत्त के लिए: $2 \times \frac{22}{7} \times r_1 = 132 \Rightarrow r_1 = \frac{132 \times 7}{44} = 21\, m$.
बड़े वृत्त के लिए: $2 \times \frac{22}{7} \times r_2 = 176 \Rightarrow r_2 = \frac{176 \times 7}{44} = 28\, m$.
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल में अंतर $= \pi r_2^2 - \pi r_1^2 = \pi(r_2^2 - r_1^2)$.
अंतर $= \frac{22}{7} \times (28^2 - 21^2) = \frac{22}{7} \times (28 - 21)(28 + 21)$.
अंतर $= \frac{22}{7} \times 7 \times 49 = 22 \times 49 = 1078\, sq\, m$.

(A) वृत्ताकार भूखंड की परिधि,बाड़ लगाने की कुल लागत को प्रति मीटर की दर से विभाजित करके ज्ञात की जाती है:
परिधि $= \frac{3300}{15} = 220 \ m$.
परिधि के सूत्र $C = 2\pi r$ का उपयोग करके,हम त्रिज्या $r$ ज्ञात करते हैं:
$220 = 2 \times \frac{22}{7} \times r$
$r = \frac{220 \times 7}{44} = 5 \times 7 = 35 \ m$.
वृत्ताकार भूखंड का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \frac{22}{7} \times 35 \times 35 = 22 \times 5 \times 35 = 3850 \ m^2$.
फर्श बिछाने की लागत क्षेत्रफल और प्रति वर्ग मीटर की दर का गुणनफल है:
लागत $= 3850 \times 100 = Rs. 385000$.

(A) आयत का परिमाप $= 2 \times (8 + 7) = 2 \times 15 = 30\, cm$.
वर्ग का परिमाप $= 2 \times 30 = 60\, cm$.
वर्ग की भुजा $= \frac{60}{4} = 15\, cm$.
अर्धवृत्त का व्यास $= 15\, cm$,अतः त्रिज्या $r = \frac{15}{2} = 7.5\, cm$.
अर्धवृत्त की परिधि $= \pi r + d = \pi r + 2r = r(\pi + 2)$.
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर,परिधि $= 7.5 \times (3.1428 + 2) = 7.5 \times 5.1428 = 38.57\, cm$.

(D) माना कि आयताकार भूखंड की लंबाई $L \, m$ है।
दिया गया है कि चौड़ाई $B = L \text{ का } 75 \% = 0.75L = \frac{3}{4}L$ है।
आयत का परिमाप $P = 2(L + B)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $2(L + \frac{3}{4}L) = 1050$.
$2(\frac{7}{4}L) = 1050$.
$\frac{7}{2}L = 1050$.
$L = \frac{1050 \times 2}{7} = 150 \times 2 = 300 \, m$.
अब,चौड़ाई ज्ञात करें: $B = \frac{3}{4} \times 300 = 3 \times 75 = 225 \, m$.
आयत का क्षेत्रफल $A = L \times B = 300 \times 225 = 67500 \, m^2$ है।

(D) माना प्रत्येक सिक्के की त्रिज्या $r = 1\, cm$ है।
जब ऐसे चार सिक्कों को इस प्रकार रखा जाता है कि प्रत्येक अन्य दो को स्पर्श करता है,तो उनके केंद्र एक वर्ग बनाते हैं जिसकी भुजा की लंबाई $s = 2r = 2\, cm$ है।
इस वर्ग का क्षेत्रफल $s^2 = (2)^2 = 4\, cm^2$ है।
इस वर्ग के अंदर चार त्रिज्यखंड (sectors) हैं,जिनमें से प्रत्येक का केंद्रीय कोण $90^\circ$ है (क्योंकि यह एक वर्ग है)।
इन चार त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफलों का योग $4 \times (\frac{90}{360} \times \pi r^2) = \pi r^2 = \pi(1)^2 = \pi \approx 3.14\, cm^2$ है।
सिक्कों के बीच का खाली स्थान वर्ग के क्षेत्रफल में से चार त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है।
खाली स्थान $= 4 - \pi = 4 - 3.14 = 0.86\, cm^2$।

(B) तय की जाने वाली कुल दूरी $= 11 \text{ km} = 11000 \text{ m}$ है।
पहिये की त्रिज्या $r = 1 \frac{3}{4} \text{ m} = \frac{7}{4} \text{ m}$ है।
पहिये की परिधि $C = 2 \pi r$ सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है।
मान रखने पर,$C = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{4} = 11 \text{ m}$ प्राप्त होता है।
चक्करों की संख्या ज्ञात करने के लिए कुल दूरी को पहिये की परिधि से विभाजित किया जाता है।
चक्करों की संख्या $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{परिधि}} = \frac{11000}{11} = 1000$.

(B) माना कमरे की ऊंचाई $h \text{ m}$ है।
चारों दीवारों का क्षेत्रफल $= 2 \times (7 + 5) \times h = 24h \text{ m}^2$.
कागज लगाने योग्य क्षेत्रफल $= (24h - 5) \text{ m}^2$.
कागज की चौड़ाई $= 75 \text{ cm} = 0.75 \text{ m}$.
कागज के एक टुकड़े का क्षेत्रफल $= 13 \text{ m} \times 0.75 \text{ m} = 9.75 \text{ m}^2$.
आवश्यक टुकड़ों की संख्या $= \frac{24h - 5}{9.75}$.
एक टुकड़े की लागत $= ₹ 4.20$.
कुल लागत $= \frac{24h - 5}{9.75} \times 4.20 = 39.20$.
$\frac{24h - 5}{9.75} = \frac{39.20}{4.20} = \frac{392}{42} = \frac{28}{3}$.
$3(24h - 5) = 28 \times 9.75$.
$72h - 15 = 273$.
$72h = 288$.
$h = 4 \text{ m}$.

(NONE) माना कमरे की ऊंचाई $h \text{ m}$ है।
चारों दीवारों का क्षेत्रफल $= 2(l + b) \times h = 2(7 + 5) \times h = 24h \text{ m}^2$.
कागज लगाने योग्य क्षेत्रफल $= (24h - 5) \text{ m}^2$.
कागज की चौड़ाई $= 75 \text{ cm} = 0.75 \text{ m}$.
कागज के एक टुकड़े की लंबाई $= 13 \text{ m}$.
कागज के एक टुकड़े का क्षेत्रफल $= 13 \times 0.75 = 9.75 \text{ m}^2$.
एक टुकड़े की लागत $= ₹ 4.20$.
कुल लागत $= ₹ 39.20$.
आवश्यक टुकड़ों की संख्या $= \frac{39.20}{4.20} = \frac{392}{42} = \frac{28}{3} \text{ टुकड़े}$.
कागज का कुल क्षेत्रफल $= \frac{28}{3} \times 9.75 = 28 \times 3.25 = 91 \text{ m}^2$.
क्षेत्रफलों की तुलना करने पर: $24h - 5 = 91$.
$24h = 96$.
$h = 4 \text{ m}$.
चूंकि $1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$,इसलिए ऊंचाई $400 \text{ cm}$ है।

(B) समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$,जहाँ $d_1$ और $d_2$ विकर्णों की लंबाई हैं।
दिया गया है: $d_1 = 10 \text{ cm}$ और $d_2 = 12 \text{ cm}$।
सूत्र में मान रखने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 10 \times 12$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 120$
$\text{क्षेत्रफल} = 60 \text{ cm}^2$।

(C) मान लीजिए कि वर्ग की भुजा $a$ है।
दिया गया है कि वर्ग का क्षेत्रफल $a^2 = 69696 \text{ cm}^2$ है।
भुजा की लंबाई $a$ ज्ञात करने के लिए,हम वर्गमूल लेते हैं: $a = \sqrt{69696} = 264 \text{ cm}$।
वर्ग के विकर्ण का सूत्र $d = a\sqrt{2}$ होता है।
$a$ का मान रखने पर: $d = 264 \times \sqrt{2}$।
$\sqrt{2} \approx 1.41421356$ का मान उपयोग करने पर,हमें $d = 264 \times 1.41421356 = 373.35237984 \text{ cm}$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $373.296$ है।

(C) माना कि दो वर्गों की भुजाएँ क्रमशः $a_1$ और $a_2$ हैं।
वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $\text{Area} = a^2$ है।
दिया गया क्षेत्रफलों का अनुपात: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{a_1^2}{a_2^2} = \frac{225}{256}$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{a_1}{a_2} = \sqrt{\frac{225}{256}} = \frac{15}{16}$।
वर्ग का परिमाप ज्ञात करने का सूत्र $P = 4a$ है।
उनके परिमापों का अनुपात: $\frac{P_1}{P_2} = \frac{4a_1}{4a_2} = \frac{a_1}{a_2} = \frac{15}{16}$ है।
अतः,उनके परिमापों का अनुपात $15:16$ है।

(C) माना कि वर्गाकार भूखंड की भुजा $a$ है।
दो किनारों के साथ तय की गई दूरी $= a + a = 2a$.
विकर्ण के साथ तय की गई दूरी $= a\sqrt{2}$.
बचाई गई दूरी $= 2a - a\sqrt{2} = a(2 - \sqrt{2})$.
बचाई गई प्रतिशत $= \frac{\text{बचाई गई दूरी}}{\text{किनारों के साथ कुल दूरी}} \times 100$.
बचाई गई प्रतिशत $= \frac{a(2 - \sqrt{2})}{2a} \times 100 = \frac{2 - 1.414}{2} \times 100$.
बचाई गई प्रतिशत $= \frac{0.586}{2} \times 100 = 0.293 \times 100 = 29.3 \%$.
निकटतम पूर्णांक में,बचाई गई प्रतिशत लगभग $30 \%$ है।

(B) माना सड़क की चौड़ाई $x \, m$ है।
पार्क का कुल क्षेत्रफल $= 60 \times 40 = 2400 \, m^2$.
लॉन का क्षेत्रफल $= 2109 \, m^2$.
सड़क का क्षेत्रफल $= \text{कुल क्षेत्रफल} - \text{लॉन का क्षेत्रफल} = 2400 - 2109 = 291 \, m^2$.
दो सड़कों का क्षेत्रफल निकालने का सूत्र: $x(L + W - x) = \text{सड़क का क्षेत्रफल}$, जहाँ $L = 60 \, m$ और $W = 40 \, m$ है।
$x(60 + 40 - x) = 291$
$x(100 - x) = 291$
$100x - x^2 = 291$
$x^2 - 100x + 291 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके हल करने पर:
$x = \frac{100 \pm \sqrt{(-100)^2 - 4(1)(291)}}{2(1)}$
$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 1164}}{2}$
$x = \frac{100 \pm \sqrt{8836}}{2}$
$x = \frac{100 \pm 94}{2}$
$x_1 = \frac{194}{2} = 97$ (संभव नहीं है क्योंकि चौड़ाई पार्क के आयामों से अधिक नहीं हो सकती)
$x_2 = \frac{6}{2} = 3$
अतः, सड़क की चौड़ाई $3 \, m$ है।

(A) माना कि मूल लंबाई $L$ है और मूल चौड़ाई $W$ है। मूल क्षेत्रफल $A = L \times W$ है।
नई लंबाई $L' = L + 0.60L = 1.6L$ है।
माना कि नई चौड़ाई $W'$ है। क्षेत्रफल समान रखने के लिए,$L' \times W' = L \times W$ होना चाहिए।
$1.6L \times W' = L \times W \implies W' = \frac{W}{1.6} = 0.625W$।
चौड़ाई में कमी $W - 0.625W = 0.375W$ है।
प्रतिशत कमी $\frac{0.375W}{W} \times 100 = 37.5 \%$ है।
चूंकि $37.5 = 37 \frac{1}{2}$,इसलिए चौड़ाई में $37 \frac{1}{2} \%$ की कमी करनी होगी।

(C) मान लीजिए कि दोनों पहियों द्वारा प्रति सेकंड लगाए गए चक्करों की संख्या $n$ है।
छोटे पहिए की परिधि $(d_1 = 7\, cm)$ $C_1 = \pi d_1 = 7\pi\, cm$ है।
बड़े पहिए की परिधि $(d_2 = 14\, cm)$ $C_2 = \pi d_2 = 14\pi\, cm$ है।
$10\, \text{सेकंड}$ में छोटे पहिए द्वारा तय की गई दूरी $D_1 = n \times C_1 \times 10 = n \times 7\pi \times 10 = 70n\pi\, cm$ है।
$10\, \text{सेकंड}$ में बड़े पहिए द्वारा तय की गई दूरी $D_2 = n \times C_2 \times 10 = n \times 14\pi \times 10 = 140n\pi\, cm$ है।
चूंकि वे $10\, \text{सेकंड}$ बाद मिलते हैं,इसलिए तय की गई दूरियों का योग $X$ और $Y$ के बीच की कुल दूरी के बराबर है:
$D_1 + D_2 = 1980$
$70n\pi + 140n\pi = 1980$
$210n\pi = 1980$
$n = \frac{1980}{210\pi} = \frac{198}{21\pi} = \frac{66}{7\pi}$ चक्कर प्रति सेकंड।
छोटे पहिए की गति $v_1 = n \times C_1 = \left(\frac{66}{7\pi}\right) \times 7\pi = 66\, cm/sec$ है।

(B) वृत्ताकार मैदान की परिधि $C = 2 \pi r = 2 \pi \times 50 = 100 \pi\, m$ है。
$20$ चक्करों के लिए, तय की जाने वाली कुल दूरी $D = 20 \times 100 \pi = 2000 \pi\, m$ है。
व्यक्ति की गति $12\, km/hr$ है। इसे $m/s$ में बदलने पर:
$v = 12 \times \frac{5}{18} = \frac{10}{3}\, m/s$ प्राप्त होता है。
सेकंड में लगा समय $T = \frac{D}{v} = \frac{2000 \pi}{10/3} = 2000 \pi \times \frac{3}{10} = 600 \pi\, s$ है。
समय को मिनट में बदलने पर:
$T_{min} = \frac{600 \pi}{60} = 10 \pi\, \text{मिनट}$。
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर, $T_{min} = 10 \times 3.14 = 31.4\, \text{मिनट}$。
निकटतम पूर्णांक में, लिया गया समय लगभग $32\, \text{मिनट}$ है。

(C) माना आयत की चौड़ाई $x\, cm$ है।
प्रश्न के अनुसार,लंबाई चौड़ाई से $60\%$ अधिक है,इसलिए लंबाई $x + 0.60x = 1.6x\, cm$ है।
लंबाई और चौड़ाई के बीच का अंतर $24\, cm$ दिया गया है।
अतः,$1.6x - x = 24$.
$0.6x = 24$.
$x = \frac{24}{0.6} = 40\, cm$.
इस प्रकार,चौड़ाई $40\, cm$ है और लंबाई $1.6 \times 40 = 64\, cm$ है।
आयत का क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 64 \times 40 = 2560\, cm^2$ है।

(D) माना कि आयताकार भूखंड की चौड़ाई $x \ m$ है।
तब,भूखंड की लंबाई $(x + 20) \ m$ होगी।
आयताकार भूखंड का परिमाप $P = 2 \times (\text{लंबाई} + \text{चौड़ाई})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$P = 2 \times ((x + 20) + x) = 2 \times (2x + 20) = (4x + 40) \ m$.
बाड़ लगाने की कुल लागत $₹ 5300$ है और दर $₹ 26.50/m$ है।
अतः,$\text{परिमाप} = \frac{\text{कुल लागत}}{\text{दर}} = \frac{5300}{26.50} = 200 \ m$.
परिमाप की तुलना करने पर: $4x + 40 = 200$.
$4x = 200 - 40 = 160$.
$x = 40 \ m$ (चौड़ाई)।
लंबाई $= x + 20 = 40 + 20 = 60 \ m$।

(B) मान लीजिए कि घर की दीवार के समानांतर भुजा की लंबाई $l$ है और अन्य दो भुजाओं की चौड़ाई $b$ है।
आयताकार बगीचे का क्षेत्रफल $A = l \times b = 100 \, m^2$ है।
तीन भुजाओं के लिए उपयोग किए गए कटीले तार की कुल लंबाई $l + 2b = 30 \, m$ है।
क्षेत्रफल के समीकरण से,$l = 100/b$ है।
इसे परिधि के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(100/b) + 2b = 30$ प्राप्त होता है।
$b$ से गुणा करने पर: $100 + 2b^2 = 30b$,जिसे सरल करने पर $2b^2 - 30b + 100 = 0$ प्राप्त होता है।
$2$ से विभाजित करने पर: $b^2 - 15b + 50 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(b - 10)(b - 5) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$b = 10$ या $b = 5$ है।
यदि $b = 5 \, m$ है,तो $l = 100/5 = 20 \, m$ होगा। परिधि की जाँच करने पर: $20 + 2(5) = 30 \, m$ (सही है)।
यदि $b = 10 \, m$ है,तो $l = 100/10 = 10 \, m$ होगा। परिधि की जाँच करने पर: $10 + 2(10) = 30 \, m$ (सही है)।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$20 \, m \times 5 \, m$ आयाम सही हैं।

(B) आयत का मूल क्षेत्रफल $A_1 = a \times b = ab$ है।
नई चौड़ाई $a' = a - 0.20a = 0.80a$ है।
नई लंबाई $b' = b + 0.10b = 1.10b$ है।
नया क्षेत्रफल $A_2 = a' \times b' = (0.80a) \times (1.10b) = 0.88ab$ है।
नए क्षेत्रफल को मूल क्षेत्रफल के प्रतिशत के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम $(A_2 / A_1) \times 100 = (0.88ab / ab) \times 100 = 88 \%$ की गणना करते हैं।
अतः,नए आयत का क्षेत्रफल मूल क्षेत्रफल $ab$ का $88 \%$ है।

(D) माना समचतुर्भुज $ABCD$ है जिसकी भुजा $AB = 26 \ cm$ और विकर्ण $AC = 48 \ cm$ है। समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को बिंदु $O$ पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
इसलिए,$OA = OC = \frac{48}{2} = 24 \ cm$.
समकोण त्रिभुज $\Delta OAB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$(OB)^2 = (AB)^2 - (OA)^2$
$(OB)^2 = (26)^2 - (24)^2$
$(OB)^2 = (26 - 24)(26 + 24) = 2 \times 50 = 100$
$OB = \sqrt{100} = 10 \ cm$.
दूसरा विकर्ण $BD = 2 \times OB = 2 \times 10 = 20 \ cm$.
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 48 \times 20 = 480 \ cm^2$.

(D) आयत का परिमाप $P = 2(l + b) = 2(18 + 26) = 2(44) = 88 \, cm$ है।
चूँकि वृत्त का परिमाप आयत के परिमाप के बराबर है,इसलिए $2 \pi r = 88 \, cm$ होगा।
त्रिज्या $r$ का मान निकालने पर,$r = \frac{88}{2 \pi} = \frac{44}{\pi} \, cm$ प्राप्त होता है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$r$ का मान रखने पर,$A = \pi \left( \frac{44}{\pi} \right)^2 = \pi \times \frac{44 \times 44}{\pi^2} = \frac{44 \times 44}{\pi}$ प्राप्त होता है।
$\pi \approx \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर,$A = \frac{44 \times 44 \times 7}{22} = 2 \times 44 \times 7 = 616 \, cm^2$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्ताकार मैदान का व्यास $35 \ m$ है,इसलिए मैदान की त्रिज्या $(r)$ $35 / 2 = 17.5 \ m$ है।
बगीचा मैदान के चारों ओर $1.4 \ m$ चौड़ा है,इसलिए बाहरी वृत्त की त्रिज्या $(R)$ $17.5 + 1.4 = 18.9 \ m$ है।
बगीचे का क्षेत्रफल बाहरी वृत्त के क्षेत्रफल और आंतरिक वृत्ताकार मैदान के क्षेत्रफल के बीच का अंतर है।
बगीचे का क्षेत्रफल $= \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2) = \pi (R + r)(R - r)$.
बगीचे का क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times (18.9 + 17.5) \times (18.9 - 17.5)$.
बगीचे का क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times 36.4 \times 1.4$.
बगीचे का क्षेत्रफल $= 22 \times 36.4 \times 0.2 = 22 \times 7.28 = 160.16 \ m^2$.

(C) वृत्त की परिधि का सूत्र $C = 2 \pi r$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
चूँकि $2 \pi$ एक स्थिरांक है,इसलिए परिधि $C$ त्रिज्या $r$ के सीधे समानुपाती होती है $(C \propto r)$।
यदि त्रिज्या $r$ को $75 \%$ बढ़ाया जाता है,तो नई त्रिज्या $r'$ का मान $r + 0.75r = 1.75r$ हो जाएगा।
नई परिधि $C'$ का मान $2 \pi (1.75r) = 1.75(2 \pi r) = 1.75C$ होगा।
परिधि में प्रतिशत वृद्धि $\frac{C' - C}{C} \times 100 = \frac{1.75C - C}{C} \times 100 = 0.75 \times 100 = 75 \%$ होगी।
अतः,परिधि में $75 \%$ की वृद्धि होगी।

(C) माना समबाहु त्रिभुज की भुजा $a$ है और वर्ग की भुजा $b$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $X = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ है और इसका परिमाप $P = 3a$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल $Y = b^2$ है और इसका परिमाप $P = 4b$ है।
चूंकि दोनों का परिमाप समान है,इसलिए $3a = 4b$,जिसका अर्थ है $b = \frac{3a}{4}$।
अब,$Y = b^2 = (\frac{3a}{4})^2 = \frac{9a^2}{16}$।
त्रिभुज के क्षेत्रफल से,हमारे पास $a^2 = \frac{4X}{\sqrt{3}}$ है।
इस मान को $Y$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,$Y = \frac{9}{16} \times \frac{4X}{\sqrt{3}} = \frac{9X}{4\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}X}{4}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sqrt{3} \approx 1.732$,इसलिए $Y \approx \frac{3 \times 1.732}{4} X = 1.299X$ है।
अतः,$Y > X$,जिसका अर्थ है कि $X < Y$।

(D) माना वर्ग की भुजा $x$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल $A = x^2$ है।
यह दिया गया है कि भुजा को मापने में $2 \%$ की त्रुटि है,इसलिए नई भुजा $x' = x + 0.02x = 1.02x$ हो जाती है।
नया क्षेत्रफल $A' = (1.02x)^2 = 1.0404x^2$ है।
क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A' - A = 1.0404x^2 - x^2 = 0.0404x^2$ है।
क्षेत्रफल में त्रुटि का प्रतिशत $\frac{\Delta A}{A} \times 100 = \frac{0.0404x^2}{x^2} \times 100 = 4.04 \%$ है।

(C) माना मूल व्यास $D$ है और मूल परिधि $C = \pi D$ है।
$8$ चक्कर लगाने में लगा समय = $40$ मिनट।
$1$ चक्कर लगाने में लगा समय = $40 / 8 = 5$ मिनट।
गति $v = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{C}{5} = \frac{\pi D}{5}$।
नया व्यास $D' = 10D$।
नई परिधि $C' = \pi D' = 10 \pi D = 10C$।
चूंकि गति $v$ समान रहती है,इसलिए $1$ चक्कर पूरा करने के लिए आवश्यक नया समय $T'$ है:
$T' = \frac{C'}{v} = \frac{10C}{C/5} = 10 \times 5 = 50$ मिनट।

(C) माना परिमाप $P$ है। चूंकि परिमाप समान हैं,इसलिए $3a = 4b = 2\pi r = P$,जहाँ $a$ त्रिभुज की भुजा है,$b$ वर्ग की भुजा है,और $r$ वृत्त की त्रिज्या है।
$1$. समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल: $T = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{P}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{36} P^2 \approx 0.0481 P^2$.
$2$. वर्ग का क्षेत्रफल: $S = b^2 = \left(\frac{P}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} P^2 = 0.0625 P^2$.
$3$. वृत्त का क्षेत्रफल: $C = \pi r^2 = \pi \left(\frac{P}{2\pi}\right)^2 = \frac{P^2}{4\pi} \approx 0.0796 P^2$.
$P^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $0.0481 < 0.0625 < 0.0796$.
अतः,$T < S < C$.

(C) माना कि $r$ अंतःवृत्त की त्रिज्या है।
त्रिभुज की दी गई भुजाएँ $a = 11\, cm$,$b = 6\, cm$ और $c = 15\, cm$ हैं।
सबसे पहले,त्रिभुज का अर्ध-परिमाप $s$ ज्ञात कीजिए:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{11 + 6 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16\, cm$.
अब,हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल $(\Delta)$ ज्ञात कीजिए:
$\Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$\Delta = \sqrt{16(16 - 11)(16 - 6)(16 - 15)}$
$\Delta = \sqrt{16 \times 5 \times 10 \times 1} = \sqrt{800} = 20 \sqrt{2}\, cm^2$.
अंतःवृत्त की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{\Delta}{s}$ है।
$r = \frac{20 \sqrt{2}}{16} = \frac{5 \sqrt{2}}{4}\, cm$.

(D) वृत्त की त्रिज्या $r = 4\, cm$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \pi \times (4)^2 = 16 \pi\, cm^2$.
चूंकि वर्ग वृत्त के भीतर स्थित है,इसलिए वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होगा।
वृत्त का व्यास $= 2 \times r = 2 \times 4 = 8\, cm$.
माना वर्ग की भुजा $a$ है। वर्ग का विकर्ण $a\sqrt{2}$ होता है।
अतः,$a\sqrt{2} = 8$,जिससे $a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}\, cm$ प्राप्त होता है।
वर्ग का क्षेत्रफल $= a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \times 2 = 32\, cm^2$.
वृत्त और वर्ग के बीच के भाग का क्षेत्रफल,वृत्त के क्षेत्रफल और वर्ग के क्षेत्रफल का अंतर है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $= (16 \pi - 32)\, cm^2$.

(C) दिया गया है कि वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = 220 \text{ cm}^2$ है।
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर,$\frac{22}{7} \times r^2 = 220$.
$r^2 = \frac{220 \times 7}{22} = 70$.
अतः,$r = \sqrt{70} \text{ cm}$.
वृत्त के भीतर बने वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है।
व्यास $d = 2r = 2\sqrt{70} \text{ cm}$.
माना वर्ग की भुजा $a$ है। वर्ग का विकर्ण $a\sqrt{2}$ होता है।
इसलिए,$a\sqrt{2} = 2\sqrt{70}$.
$a = \frac{2\sqrt{70}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{35}$.
वर्ग का क्षेत्रफल $a^2 = (2\sqrt{35})^2 = 4 \times 35 = 140 \text{ cm}^2$ होगा।

(C) टैंक एक खुला घनाभ है। प्लास्टर किए जाने वाले क्षेत्र में चार दीवारें और निचला हिस्सा शामिल है।
चार दीवारों का क्षेत्रफल $= 2(\text{लंबाई }+ \text{चौड़ाई}) \times \text{ऊंचाई }= 2(25 + 12) \times 6 = 2(37) \times 6 = 444 \ m^2$.
तल का क्षेत्रफल $= \text{लंबाई }\times \text{चौड़ाई }= 25 \times 12 = 300 \ m^2$.
प्लास्टर किए जाने वाला कुल क्षेत्रफल $= 444 + 300 = 744 \ m^2$.
प्लास्टर करने का खर्च $= 744 \times 0.75 \ Rs./m^2 = 744 \times \frac{3}{4} = 186 \times 3 = ₹ 558$.

(C) माना त्रिभुज का क्षेत्रफल $A$ है और अर्ध-परिमाप $s$ है।
दिया गया है कि क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से परिमाप के बराबर है,इसलिए $A = 2s$ होगा।
अंतःवृत्त की त्रिज्या $(r)$ का सूत्र $r = \frac{A}{s}$ होता है।
सूत्र में $A = 2s$ रखने पर,हमें $r = \frac{2s}{s} = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,अंतःवृत्त की त्रिज्या $2$ है।

(C) $a = 42 \ cm$ भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज के लिए,अंतःवृत्त की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ होता है।
$a = 42 \ cm$ रखने पर:
$r = \frac{42}{2\sqrt{3}} = \frac{21}{\sqrt{3}} = 7\sqrt{3} \ cm$.
अंतःवृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2$ द्वारा प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times (7\sqrt{3})^2$
$= \frac{22}{7} \times 49 \times 3$
$= 22 \times 7 \times 3$
$= 462 \ cm^2$.