Measurement of Area Questions in Hindi

(B) दिया गया है,पहिये की त्रिज्या $r = 1.4$ डेसीमीटर = $0.14$ मीटर।
तय की जाने वाली दूरी = $0.66$ किमी = $660$ मीटर।
पहिये की परिधि = $2 \pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.14$ मीटर = $2 \times 22 \times 0.02$ मीटर = $0.88$ मीटर।
चक्करों की संख्या = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{परिधि}} = \frac{660}{0.88}$।
चक्करों की संख्या = $\frac{66000}{88} = 750$।

(C) माना आयत की भुजाएँ $l = 7 \text{ cm}$ और $w = x \text{ cm}$ हैं।
दिया गया विकर्ण $d = 25 \text{ cm}$ है।
एक आयत में,विकर्ण भुजाओं के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाता है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$l^2 + w^2 = d^2$
$7^2 + x^2 = 25^2$
$49 + x^2 = 625$
$x^2 = 625 - 49$
$x^2 = 576$
$x = \sqrt{576} = 24 \text{ cm}$।
आयत का परिमाप $P = 2(l + w)$ द्वारा दिया जाता है।
$P = 2(7 + 24)$
$P = 2(31) = 62 \text{ cm}$।

(B) अर्धवृत्त का परिमाप ज्ञात करने का सूत्र $P = \pi r + 2r$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
यहाँ $r = 28\, cm$ दिया गया है और $\pi \approx \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर:
$P = (\frac{22}{7} \times 28) + (2 \times 28)$
$P = (22 \times 4) + 56$
$P = 88 + 56 = 144\, cm$.

(B) वृत्त का क्षेत्रफल $= 38.5 \text{ cm}^2$.
मान लीजिए $r$ वृत्त की त्रिज्या है।
$\pi r^2 = 38.5 \Rightarrow \frac{22}{7} \times r^2 = 38.5 \Rightarrow r^2 = \frac{38.5 \times 7}{22} = 12.25$.
$r = \sqrt{12.25} = 3.5 \text{ cm}$.
वर्ग $LMNO$ की भुजा की लंबाई अंकित वृत्त के व्यास के बराबर होती है।
$LMNO$ की भुजा $= 2r = 2 \times 3.5 = 7 \text{ cm}$.
वर्ग $LMNO$ का क्षेत्रफल $= (\text{भुजा})^2 = 7^2 = 49 \text{ cm}^2$.
जब किसी वर्ग की भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़कर एक नया वर्ग बनाया जाता है,तो उसका क्षेत्रफल बाहरी वर्ग के क्षेत्रफल का आधा होता है।
वर्ग $EFGH$ का क्षेत्रफल $= 2 \times (\text{वर्ग } LMNO \text{ का क्षेत्रफल}) = 2 \times 49 = 98 \text{ cm}^2$.
वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल $= 2 \times (\text{वर्ग } EFGH \text{ का क्षेत्रफल}) = 2 \times 98 = 196 \text{ cm}^2$.

(A) माना $BD = x$ है। तो $DC = 8 - x$ होगा।
$\triangle ADB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AD^2 = AB^2 - BD^2 = 5^2 - x^2 = 25 - x^2$।
$\triangle ADC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AD^2 = AC^2 - DC^2 = (\sqrt{41})^2 - (8 - x)^2 = 41 - (64 - 16x + x^2) = 41 - 64 + 16x - x^2 = 16x - x^2 - 23$।
$AD^2$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$25 - x^2 = 16x - x^2 - 23$
$25 = 16x - 23$
$16x = 48$
$x = 3 \text{ cm}$।
अतः,$BD = 3 \text{ cm}$।
अब,$AD = \sqrt{25 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ cm}$।
$\triangle ABD$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times BD \times AD = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \text{ cm}^2$।

(C) आकृति से,$PQ = 8 \text{ cm}$ और $PR = 10 \text{ cm}$ है।
क्षेत्रफल सूत्र $\text{Area} = \frac{1}{2} ab \sin \theta$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{\text{Area}(\Delta PAB)}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \frac{5 \times 6}{8 \times 10} = \frac{3}{8}$.
$\frac{\text{Area}(\Delta QDC)}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \frac{2 \times 5}{8 \times 8} = \frac{5}{32}$.
$\frac{\text{Area}(\Delta BCR)}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \frac{6 \times 3}{10 \times 8} = \frac{9}{40}$.
तीनों कोनों के त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग = $\text{Area}(\Delta PQR) \times (\frac{3}{8} + \frac{5}{32} + \frac{9}{40}) = \text{Area}(\Delta PQR) \times \frac{121}{160}$.
अतः,चतुर्भुज का क्षेत्रफल = $\text{Area}(\Delta PQR) \times (1 - \frac{121}{160}) = \text{Area}(\Delta PQR) \times \frac{39}{160}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\frac{17 \sqrt{21}}{5}$ है।

(C) $1$. वर्ग $ABCD$ की भुजा $14 \ cm$ है। वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल $= 14 \times 14 = 196 \ cm^2$ है।
$2$. $E$ और $F$ क्रमशः $AB$ और $DC$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए $EF = 14 \ cm$ है। अर्धवृत्त $EPF$ की त्रिज्या $r = EF / 2 = 7 \ cm$ है।
$3$. अर्धवृत्त $EPF$ का क्षेत्रफल $= (1/2) \pi r^2 = (1/2) \times (22/7) \times 7 \times 7 = 77 \ cm^2$ है।
$4$. छायांकित भाग का क्षेत्रफल वर्ग $ABCD$ के क्षेत्रफल में से अर्धवृत्त $EPF$ और वर्ग $LMNO$ के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है। यदि $LMNO$ वर्ग की भुजा $7 \ cm$ है,तो इसका क्षेत्रफल $49 \ cm^2$ होगा।
$5$. छायांकित भाग का क्षेत्रफल $= 196 - 77 - 49 = 70 \ cm^2$।

(C) छायांकित क्षेत्र $8$ समबाहु त्रिभुजों से बना है, जिनमें से प्रत्येक की भुजा की लंबाई $6\, cm$ है।
एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{भुजा})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9\sqrt{3}\, cm^2$.
छायांकित क्षेत्र का कुल क्षेत्रफल $= 8 \times (9\sqrt{3}) = 72\sqrt{3}\, cm^2$.

(B) माना वर्ग $PQRS$ की भुजा $a$ है। वर्ग $PQRS$ का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर है।
व्यास $= 2 \times 14 \sqrt{2} = 28 \sqrt{2} \text{ cm}$.
चूंकि वर्ग का विकर्ण $a \sqrt{2}$ होता है,इसलिए $a \sqrt{2} = 28 \sqrt{2}$,जिससे $a = 28 \text{ cm}$ प्राप्त होता है।
वर्ग $PQRS$ की भुजा $28 \text{ cm}$ है।
आकृति से,प्रत्येक छोटे वर्ग की भुजा (माना $s$) इस प्रकार है कि पूरी आकृति की ऊँचाई वृत्त के व्यास के बराबर है।
यहाँ $s = a/5 = 28/5 = 5.6 \text{ cm}$ लेने पर।
एक वर्ग का क्षेत्रफल $= 5.6^2 = 31.36 \text{ cm}^2$.
$4$ वर्गों का कुल क्षेत्रफल $= 4 \times 31.36 = 125.44 \text{ cm}^2$.

(D) $1$. बड़े अर्धवृत्त का व्यास $AB = 56 \ cm$ है,इसलिए इसकी त्रिज्या $R = 28 \ cm$ है।
$2$. चार छोटे अर्धवृत्तों में से प्रत्येक का व्यास $d = 56 / 4 = 14 \ cm$ है,इसलिए उनकी त्रिज्या $r = 7 \ cm$ है।
$3$. मान लीजिए छायांकित वृत्त की त्रिज्या $x$ है। बड़े अर्धवृत्त का केंद्र $AB$ के मध्य बिंदु पर है। इसे मूल बिंदु $(0,0)$ मान लें।
$4$. दो मध्य छोटे अर्धवृत्तों के केंद्र $(-7, 0)$ और $(7, 0)$ पर हैं।
$5$. छायांकित वृत्त बड़े अर्धवृत्त को स्पर्श करता है,इसलिए मूल बिंदु से इसके केंद्र $(0, y_c)$ तक की दूरी $28 - x$ है। अतः,केंद्र $(0, 28 - x)$ पर है।
$6$. छायांकित वृत्त छोटे अर्धवृत्तों को भी स्पर्श करता है। छायांकित वृत्त के केंद्र $(0, 28 - x)$ और छोटे अर्धवृत्त के केंद्र $(7, 0)$ के बीच की दूरी $r + x = 7 + x$ है।
$7$. दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $(7 - 0)^2 + (0 - (28 - x))^2 = (7 + x)^2$.
$8$. $49 + (28 - x)^2 = (7 + x)^2$.
$9$. $49 + 784 - 56x + x^2 = 49 + 14x + x^2$.
$10$. $784 = 70x$,जिससे $x = 784 / 70 = 11.2 \ cm$ प्राप्त होता है।
$11$. छायांकित वृत्त का क्षेत्रफल $\pi x^2 = (22/7) \times 11.2 \times 11.2 = 394.24 \ cm^2$ है।

(B) मान लीजिए कि प्रारंभिक लंबाई $L$ है और प्रारंभिक चौड़ाई $B$ है।
प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_1 = L \times B$.
नई लंबाई $L' = L + 0.10L = 1.1L$.
नई चौड़ाई $B' = B + 0.20B = 1.2B$.
नया क्षेत्रफल $A_2 = L' \times B' = (1.1L) \times (1.2B) = 1.32LB$.
क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि $= \frac{A_2 - A_1}{A_1} \times 100$.
$= \frac{1.32LB - LB}{LB} \times 100 = 0.32 \times 100 = 32 \%$.

(D) तार की कुल लंबाई आयत का परिमाप है,जो $168 \text{ cm}$ है।
माना आयत की भुजाएँ $5x$ और $7x$ हैं।
आयत का परिमाप $2(L + b) = 168$ होता है।
$2(5x + 7x) = 168$
$2(12x) = 168$
$24x = 168$
$x = 168 / 24 = 7$।
अतः,लंबाई $L = 5 \times 7 = 35 \text{ cm}$ और चौड़ाई $b = 7 \times 7 = 49 \text{ cm}$ है।
आयत का विकर्ण $\sqrt{L^2 + b^2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
विकर्ण $= \sqrt{35^2 + 49^2} = \sqrt{1225 + 2401} = \sqrt{3626} \text{ cm}$।

(C) समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार,दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
$\frac{\text{Area}(\Delta ABC)}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \frac{AB^2}{PQ^2}$
यहाँ $\text{Area}(\Delta ABC) = 1024 \ cm^2$,$AB = 16 \ cm$,और $PQ = 9 \ cm$ दिया गया है:
$\frac{1024}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \frac{16^2}{9^2}$
$\frac{1024}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \frac{256}{81}$
$\text{Area}(\Delta PQR) = \frac{1024 \times 81}{256}$
$\text{Area}(\Delta PQR) = 4 \times 81 = 324 \ cm^2$.

(A) दिया गया है कि $DE \parallel BC,$ इसलिए $AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ है।
चूंकि $D,$ $AB$ को $1:4$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $AD:DB = 1:4$ है। इसका अर्थ है कि $AD:AB = 1:(1+4) = 1:5$ है।
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
अतः,$\frac{\text{Area}(\triangle ADE)}{\text{Area}(\triangle ABC)} = \left(\frac{AD}{AB}\right)^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{25}$ है।
$\text{Area}(\triangle ABC) = 200 \text{ cm}^2$ दिया गया है,इसलिए $\text{Area}(\triangle ADE) = \frac{1}{25} \times 200 = 8 \text{ cm}^2$ होगा।
चतुर्भुज $DECB$ का क्षेत्रफल = $\text{Area}(\triangle ABC) - \text{Area}(\triangle ADE) = 200 - 8 = 192 \text{ cm}^2$ है।

(D) माना $AB = 3x$ और $BC = 3y.$ तब $PB = x$ और $BQ = y.$
$ABCD$ आयत का क्षेत्रफल $= 3x \times 3y = 9xy.$
$\Delta PDB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times PB \times BC = \frac{1}{2} \times x \times 3y = 1.5xy.$
$\Delta BDQ$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times BQ \times AB = \frac{1}{2} \times y \times 3x = 1.5xy.$
$BPDQ$ का क्षेत्रफल $= \text{Area}(\Delta PDB) + \text{Area}(\Delta BDQ) = 1.5xy + 1.5xy = 3xy.$
दिया गया है कि $3xy = 20 \, cm^{2}.$
$ABCD$ का कुल क्षेत्रफल $= 9xy = 3 \times (3xy) = 3 \times 20 = 60 \, cm^{2}.$

(C) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है और वर्ग की भुजा $a$ है।
दिया गया है कि वृत्त का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल: $\pi r^{2} = a^{2}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें प्राप्त होता है $a = \sqrt{\pi} r$।
वृत्त का व्यास $D = 2r$ है।
वर्ग का विकर्ण $d = \sqrt{2} a$ है।
विकर्ण के सूत्र में $a$ का मान रखने पर: $d = \sqrt{2} (\sqrt{\pi} r) = \sqrt{2\pi} r$।
वृत्त के व्यास और वर्ग के विकर्ण का अनुपात $\frac{D}{d} = \frac{2r}{\sqrt{2\pi} r}$ है।
व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{2}{\sqrt{2\pi}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{\pi}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}$।
अतः,अनुपात $\sqrt{2} : \sqrt{\pi}$ है।

(B) दिया गया है कि $AE$,$\angle BAD$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle BAE = \angle EAD = 30^{\circ}$ है।
चूंकि $AD$,$\angle BAC$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle CAD = \angle BAD = \angle BAE + \angle EAD = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}$ है।
$\Delta AEC$ में,हमारे पास भुजा $AE = 9 \text{ cm}$ और $EC = 15 \text{ cm}$ है।
यह मानते हुए कि $\Delta AEC$,$A$ पर एक समकोण त्रिभुज है (दिए गए समाधान के तर्क के आधार पर),हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके तीसरी भुजा $AC$ ज्ञात करते हैं: $AC = \sqrt{EC^2 - AE^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}$।
$\Delta AEC$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54 \text{ cm}^2$ है।

(C) मान लीजिए वृत्त का केंद्र $O$ है। चूँकि $AB$,$A$ पर स्पर्श रेखा है,त्रिज्या $OA$,$AB$ पर लंब है। अतः,$\triangle OAB$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle OAB = 90^{\circ}$ है।
दिया है $OA = 10 \, cm$ (त्रिज्या) और $AB = 24 \, cm$। $\triangle OAB$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$OB^2 = OA^2 + AB^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$.
अतः,$OB = \sqrt{676} = 26 \, cm$.
हमें दिया गया है कि $BC$ केंद्र $O$ से होकर गुजरता है। चूँकि $C$ वृत्त पर स्थित है,$OC$ वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $OC = 10 \, cm$.
इस प्रकार,$BC = BO + OC = 26 + 10 = 36 \, cm$,जो दी गई जानकारी से मेल खाता है।
अब,$\triangle ABC$ पर विचार करें। यदि $BC$ को आधार माना जाए,तो $A$ से $BC$ पर लंब की लंबाई $h$ है। $\triangle OAB$ में,$\sin(\angle OBA) = \frac{OA}{OB} = \frac{10}{26} = \frac{5}{13}$।
$A$ से $BC$ पर लंब की लंबाई $h = AB \sin(\angle OBA) = 24 \times \frac{5}{13} = \frac{120}{13}$।
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 36 \times \frac{120}{13} \approx 166.15 \, cm^2$। निकटतम विकल्प $168$ है।

(D) $\Delta OAP$ में,$\angle OAP = 90^{\circ}$ (स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब होती है)।
$\angle AOP = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$।
$\Delta OAP$ में,$\tan(\angle AOP) = \frac{AP}{OA} \Rightarrow \tan(60^{\circ}) = \frac{6}{OA} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{6}{OA} \Rightarrow OA = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \text{ cm}$।
$OP = \sqrt{OA^{2} + AP^{2}} = \sqrt{(2\sqrt{3})^{2} + 6^{2}} = \sqrt{12 + 36} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ cm}$।
माना $M$,$AB$ और $OP$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। चूँकि $OP$,$\angle AOB$ का कोण समद्विभाजक है,इसलिए $OP \perp AB$ और $AM = MB$ होगा।
$\Delta OAP$ में,$AM$ कर्ण $OP$ पर लंब है। $\Delta OAP$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times OA \times AP = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times 6 = 6\sqrt{3} \text{ cm}^{2}$।
साथ ही,$\Delta OAP$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times OP \times AM \Rightarrow 6\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} \times AM \Rightarrow 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \times AM \Rightarrow AM = 3 \text{ cm}$।
$AB = 2 \times AM = 2 \times 3 = 6 \text{ cm}$ और $PM = OP - OM$। $\Delta OAM$ में,$OM = \sqrt{OA^{2} - AM^{2}} = \sqrt{(2\sqrt{3})^{2} - 3^{2}} = \sqrt{12 - 9} = \sqrt{3} \text{ cm}$।
$PM = 4\sqrt{3} - \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \text{ cm}$।
$\Delta APB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AB \times PM = \frac{1}{2} \times 6 \times 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \text{ cm}^{2}$।

(A) दिया गया है कि $DE \parallel BC$,इसलिए आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार,$\Delta ADE \sim \Delta ABC$ है।
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
दिया है $\frac{AD}{DB} = \frac{2}{3}$,इसलिए $AD = 2k$ और $DB = 3k$ लेने पर।
अतः,$AB = AD + DB = 2k + 3k = 5k$ होगा।
क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{\text{Area}(\Delta ADE)}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \left(\frac{AD}{AB}\right)^2 = \left(\frac{2k}{5k}\right)^2 = \frac{4}{25}$ है।
माना $\text{Area}(\Delta ADE) = 4x$ और $\text{Area}(\Delta ABC) = 25x$ है।
तब,$\text{Area}(BDEC) = \text{Area}(\Delta ABC) - \text{Area}(\Delta ADE) = 25x - 4x = 21x$ होगा।
अतः,$\Delta ADE$ के क्षेत्रफल और चतुर्भुज $BDEC$ के क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{4x}{21x} = 4:21$ है।

(A) तीनों वृत्तों के केंद्र $s = 21 + 21 = 42 \, cm$ भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} \times s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 42^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 1764 = 441 \sqrt{3} \, sq \cdot cm$ होता है।
समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक आंतरिक कोण $60^\circ$ होता है।
त्रिभुज के अंदर के तीन त्रिज्यखंडों (sectors) का क्षेत्रफल $3 \times (\frac{60}{360} \times \pi \times r^2) = 3 \times (\frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 21^2) = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 441 = 11 \times 63 = 693 \, sq \cdot cm$ है।
तीनों वृत्तों द्वारा घिरे भाग का क्षेत्रफल त्रिभुज के क्षेत्रफल में से तीन त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है: $441 \sqrt{3} - 693 \, sq \cdot cm$।

(D) माना कि वर्ग की प्रारंभिक भुजा $s_1 = 10 \text{ cm}$ है।
अतः,वर्ग का प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_1 = (s_1)^2 = 10^2 = 100 \text{ cm}^2$ है।
दिया गया है कि क्षेत्रफल में $44 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए नया क्षेत्रफल $A_2$ होगा:
$A_2 = A_1 + 44\% \text{ of } A_1 = 100 + 44 = 144 \text{ cm}^2$।
माना कि वर्ग की नई भुजा $s_2$ है। चूंकि $A_2 = (s_2)^2$,इसलिए:
$s_2 = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}$ प्राप्त होता है।
भुजा में प्रतिशत वृद्धि की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\text{प्रतिशत वृद्धि} = \frac{s_2 - s_1}{s_1} \times 100 = \frac{12 - 10}{10} \times 100 = \frac{2}{10} \times 100 = 20 \%$.
अतः,प्रत्येक भुजा में $20 \%$ की वृद्धि होती है।

(A) बेलनाकार पात्र का आयतन $=$ शंकु का आयतन
$\pi r_{1}^{2} h_{1} = \frac{1}{3} \pi r_{2}^{2} h_{2}$
यहाँ,बेलन के लिए $r_{1} = 4\, cm$ और $h_{1} = 5\, cm$ है।
शंकु के लिए $r_{2} = 6\, cm$ है और हमें $h_{2}$ ज्ञात करना है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\pi \times (4)^2 \times 5 = \frac{1}{3} \times \pi \times (6)^2 \times h_{2}$
$16 \times 5 = \frac{1}{3} \times 36 \times h_{2}$
$80 = 12 \times h_{2}$
$h_{2} = \frac{80}{12} = \frac{20}{3} = 6.67\, cm$.

(A) गोले का आयतन $V_s = \frac{4}{3} \pi r_1^3$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_1 = 21\, cm$ है।
शंकु का आयतन $V_c = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ आधार का व्यास $21\, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $r_2 = \frac{21}{2}\, cm$ है।
चूँकि गोले को पिघलाकर शंकु बनाया गया है,इसलिए उनके आयतन समान होंगे: $V_s = V_c$।
$\frac{4}{3} \pi r_1^3 = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h$
$4 \times (21)^3 = (\frac{21}{2})^2 \times h$
$4 \times 21 \times 21 \times 21 = \frac{21}{2} \times \frac{21}{2} \times h$
$4 \times 21 = \frac{h}{4}$
$h = 4 \times 21 \times 4 = 336\, cm$।

(C) मान लीजिए कि तीन वृत्तों के केंद्र $A, B,$ और $C$ हैं। चूंकि प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या $r = 1$ है,इसलिए किन्हीं दो केंद्रों के बीच की दूरी $AB = BC = CA = 2r = 2$ है।
यह $s = 2$ भुजा की लंबाई वाला एक समबाहु त्रिभुज $ABC$ बनाता है।
इस त्रिभुज का केंद्रक $O$ परिगत वृत्त का केंद्र है।
केंद्रक से किसी भी शीर्ष तक की दूरी (त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या $R_{tri}$) $R_{tri} = \frac{s}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ द्वारा दी जाती है।
बड़े परिगत वृत्त की त्रिज्या $R$,केंद्रक से शीर्ष तक की दूरी और छोटे वृत्त की त्रिज्या का योग है: $R = R_{tri} + r = \frac{2}{\sqrt{3}} + 1 = \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$।
परिगत वृत्त का क्षेत्रफल $\pi R^2 = \pi \left( \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right)^2 = \pi \frac{(2+\sqrt{3})^2}{3} = \frac{\pi}{3}(2+\sqrt{3})^2$ है।

(A) दिया गया है कि $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में,$\angle B = \angle Q$ और $\angle C = \angle R$ है।
$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है।
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
इसलिए,$\frac{\text{area}(\Delta ABC)}{\text{area}(\Delta PQR)} = \left(\frac{AB}{PQ}\right)^2 = \left(\frac{7}{4}\right)^2 = \frac{49}{16}$।
चूंकि $M$,$QR$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए माध्यिका $PM$,$\Delta PQR$ को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
अतः,$\text{area}(\Delta PMR) = \frac{1}{2} \times \text{area}(\Delta PQR)$।
इस मान को अनुपात में रखने पर: $\frac{\text{area}(\Delta ABC)}{\text{area}(\Delta PMR)} = \frac{\text{area}(\Delta ABC)}{\frac{1}{2} \times \text{area}(\Delta PQR)} = 2 \times \frac{\text{area}(\Delta ABC)}{\text{area}(\Delta PQR)} = 2 \times \frac{49}{16} = \frac{49}{8}$।

(D) माना समबाहु त्रिभुज $ABC$ की भुजा की लंबाई $2a$ है। चूँकि $D, E,$ और $F$ क्रमशः भुजाओं $BC, AB,$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए रेखाखंडों की लंबाई $BD = DC = CE = EA = AF = FB = a$ होगी।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज $ABC$ चार सर्वांगसम समबाहु त्रिभुजों में विभाजित होता है: $\triangle AEF, \triangle EBD, \triangle DFC,$ और $\triangle FED$,जिनमें से प्रत्येक की भुजा की लंबाई $a$ है।
चूँकि ये चारों त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके क्षेत्रफल समान हैं।
अतः,$\text{Area}(\triangle DEF) = \text{Area}(\triangle DFC)$।
इस प्रकार,$\triangle DEF$ और $\triangle DFC$ के क्षेत्रफल का अनुपात $1:1$ है।

(D) दिया गया है कि $DE \parallel BC$.
$\Delta ADE$ और $\Delta ABC$ में:
$\angle ADE = \angle ABC$ (संगत कोण)
$\angle AED = \angle ACB$ (संगत कोण)
$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta ADE \sim \Delta ABC$.
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
इसलिए,$\frac{\text{Area}(\Delta ADE)}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \frac{DE^2}{BC^2}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{15}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \frac{3^2}{6^2}$
$\frac{15}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \frac{9}{36}$
$\frac{15}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \frac{1}{4}$
$\text{Area}(\Delta ABC) = 15 \times 4 = 60 \text{ cm}^2$.

(B) माना कि लंबाई $5x$ है और चौड़ाई $3x$ है।
आयताकार भूमि का परिमाप कुल खर्च को प्रति मीटर की दर से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है:
परिमाप $= 6000 / 7.5 = 800 \text{ m}$.
आयत के परिमाप का सूत्र $2 \times (\text{लंबाई} + \text{चौड़ाई})$ होता है।
इसलिए,$2(5x + 3x) = 800$.
$2(8x) = 800$.
$16x = 800$.
$x = 800 / 16 = 50$.
अब,आयामों की गणना करें:
लंबाई $= 5 \times 50 = 250 \text{ m}$.
चौड़ाई $= 3 \times 50 = 150 \text{ m}$.
लंबाई और चौड़ाई के बीच का अंतर $250 - 150 = 100 \text{ m}$ है।

(D) समलंब चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊँचाई}$.
यहाँ,समांतर भुजाएँ $a = 16 \ m$ और $b = 20 \ m$ हैं,और ऊँचाई $h = 10 \ m$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (16 + 20) \times 10$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 36 \times 10$
$\text{क्षेत्रफल} = 18 \times 10 = 180 \ m^2$.

(B) त्रिभुज का केंद्रक $G$ त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले छह छोटे त्रिभुजों में विभाजित करता है।
इसलिए,इन छह त्रिभुजों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल $\Delta ABC$ के कुल क्षेत्रफल का $\frac{1}{6}$ भाग होता है।
$\Delta CGE$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{6} \times \Delta ABC$ का क्षेत्रफल।
दिया गया है कि $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= 36 \text{ cm}^2$ है।
$\Delta CGE$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{6} \times 36 = 6 \text{ cm}^2$।

(A) माना कि आयताकार भूखंड की चौड़ाई $B$ है और लंबाई $L$ है।
रास्ता चौड़ाई के समानांतर है,इसलिए रास्ते की लंबाई भूखंड की चौड़ाई $B$ के बराबर है।
दिया गया है,रास्ते की चौड़ाई $3 \, m$ है।
यह कहा गया है कि रास्ते की लंबाई उसकी चौड़ाई से $2 \, m$ अधिक है। चूँकि रास्ते की लंबाई $B$ है और इसकी चौड़ाई $3 \, m$ है,इसलिए $B = 3 + 2 = 5 \, m$ होगा।
रास्ते का क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 5 \, m \times 3 \, m = 15 \, m^2$.
लॉन का क्षेत्रफल $240 \, m^2$ है।
आयताकार भूखंड का कुल क्षेत्रफल $= \text{लॉन का क्षेत्रफल} + \text{रास्ते का क्षेत्रफल} = 240 \, m^2 + 15 \, m^2 = 255 \, m^2$.

(D) माना त्रिभुज की भुजाएँ $3x, 4x$ और $5x$ हैं।
चूंकि अनुपात $3:4:5$ पाइथागोरस प्रमेय $(3^2 + 4^2 = 5^2)$ को संतुष्ट करता है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ होता है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 3x \times 4x = 6x^2$.
दिया गया है कि क्षेत्रफल $7776 \ cm^2$ है,इसलिए $6x^2 = 7776$.
$x^2 = \frac{7776}{6} = 1296$.
$x = \sqrt{1296} = 36$.
त्रिभुज का परिमाप उसकी भुजाओं का योग है: $3x + 4x + 5x = 12x$.
परिमाप $= 12 \times 36 = 432 \ cm$.

(C) त्रिभुज $\Delta ABD$ और $\Delta ADC$ का शीर्ष $A$ समान है और उनके आधार $BD$ और $DC$ एक ही रेखा $BC$ पर स्थित हैं।
इसलिए,शीर्ष $A$ से आधार $BC$ तक उनकी ऊँचाई $h$ समान होगी।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ द्वारा दिया जाता है।
$\Delta ABD$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times BD \times h = 60 \, cm^2$.
दिया गया है कि $BD : DC = 4 : 5,$ मान लीजिए $BD = 4x$ और $DC = 5x$ है।
अतः,$\frac{1}{2} \times 4x \times h = 60 \implies 2xh = 60 \implies xh = 30$.
अब,$\Delta ADC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times DC \times h = \frac{1}{2} \times 5x \times h$.
$xh = 30$ का मान रखने पर,$\Delta ADC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 5 \times (xh) = \frac{1}{2} \times 5 \times 30 = 75 \, cm^2$.

(D) माना समांतर भुजाएँ $AD = 4x \, cm$ और $BC = 7x \, cm$ हैं।
ऊँचाई $h = \frac{2}{11} \times (AD + BC) = \frac{2}{11} \times (4x + 7x) = \frac{2}{11} \times 11x = 2x \, cm$ है।
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times (AD + BC) \times h = 176$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{2} \times (4x + 7x) \times 2x = 176$.
$11x^2 = 176 \implies x^2 = 16 \implies x = 4$.
अतः,$AD = 16 \, cm$ और $BC = 28 \, cm$ है। ऊँचाई $h = 2 \times 4 = 8 \, cm$ है।
समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज में,असमांतर भुजा का आधार पर प्रक्षेप $\frac{BC - AD}{2} = \frac{28 - 16}{2} = 6 \, cm$ होता है।
ऊँचाई,प्रक्षेप और विकर्ण द्वारा बनने वाले समकोण त्रिभुज को ध्यान में रखते हुए,विकर्ण के लिए त्रिभुज का आधार $AD + 6 = 16 + 6 = 22 \, cm$ है।
विकर्ण $d = \sqrt{h^2 + (AD + 6)^2} = \sqrt{8^2 + 22^2} = \sqrt{64 + 484} = \sqrt{548} = \sqrt{4 \times 137} = 2\sqrt{137} \, cm$ है।

(A) समलंब चतुर्भुज $ABCD$ में,चूंकि $AB || CD$,इसलिए $\Delta AOB$ और $\Delta COD$ $AA$ समरूपता कसौटी द्वारा समरूप त्रिभुज हैं (एकांतर अंतःकोण होने के कारण $\angle OAB = \angle OCD$ और $\angle OBA = \angle ODC$)।
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
$\frac{\text{Area}(\Delta AOB)}{\text{Area}(\Delta COD)} = \left( \frac{AB}{CD} \right)^2$
यहाँ $AB = 2 \, CD$ दिया गया है,इसलिए $\frac{AB}{CD} = 2$.
$\frac{84}{\text{Area}(\Delta COD)} = (2)^2 = 4$
$\text{Area}(\Delta COD) = \frac{84}{4} = 21 \, cm^2$.

(B) समचतुर्भुज का परिमाप $P = 4 \times \text{भुजा}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि परिमाप $60 \, cm$ है, इसलिए भुजा की लंबाई $a = 60 / 4 = 15 \, cm$ है।
समचतुर्भुज में, विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। मान लीजिए विकर्ण $d_1 = 24 \, cm$ और $d_2$ हैं। विकर्णों के आधे भाग $d_1/2 = 12 \, cm$ और $d_2/2$ हैं।
विकर्णों द्वारा निर्मित चार समकोण त्रिभुजों में से एक में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $(d_1/2)^2 + (d_2/2)^2 = a^2$.
$12^2 + (d_2/2)^2 = 15^2$.
$144 + (d_2/2)^2 = 225$.
$(d_2/2)^2 = 225 - 144 = 81$.
$d_2/2 = 9 \, cm$, इसलिए $d_2 = 18 \, cm$.
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = (1/2) \times d_1 \times d_2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$\text{Area} = (1/2) \times 24 \times 18 = 12 \times 18 = 216 \, cm^2$.

(C) एक चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ में,जब भुजाओं $AB$ और $DC$ को बढ़ाया जाता है और वे वृत्त के बाहर एक बिंदु $P$ पर मिलती हैं,तो छेदक रेखाओं (secants) के गुणधर्म के अनुसार:
$PA \times PB = PD \times PC$
दिया गया है:
$PA = 8 \ cm$
$PB = 6 \ cm$
$PC = 4 \ cm$
समीकरण में मान रखने पर:
$8 \times 6 = PD \times 4$
$48 = PD \times 4$
$PD = \frac{48}{4} = 12 \ cm$
अतः,$PD$ की लंबाई $12 \ cm$ है।

(A) माना कि दो वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ cm हैं।
चूँकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $r_1 + r_2 = 14$ होगी।
अतः,$r_2 = 14 - r_1$.
उनके क्षेत्रफलों का योग $\pi r_1^2 + \pi r_2^2 = 130 \pi$ दिया गया है।
$\pi$ से भाग देने पर,हमें $r_1^2 + r_2^2 = 130$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $r_2 = 14 - r_1$ रखने पर:
$r_1^2 + (14 - r_1)^2 = 130$
$r_1^2 + 196 + r_1^2 - 28r_1 = 130$
$2r_1^2 - 28r_1 + 66 = 0$
$2$ से भाग देने पर,हमें $r_1^2 - 14r_1 + 33 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(r_1 - 11)(r_1 - 3) = 0$.
अतः,$r_1 = 11$ या $r_1 = 3$.
यदि $r_1 = 3$ है,तो $r_2 = 14 - 3 = 11$. यदि $r_1 = 11$ है,तो $r_2 = 14 - 11 = 3$.
छोटे वृत्त की त्रिज्या $3 \text{ cm}$ है।

(B) माना वृत्ताकार पूल की त्रिज्या $r \ m$ है।
कंक्रीट की दीवार की चौड़ाई $4 \ m$ है।
अतः,बाहरी वृत्त (पूल + दीवार) की त्रिज्या $(r + 4) \ m$ है।
पूल का क्षेत्रफल $A_{pool} = \pi r^2$ है।
दीवार का क्षेत्रफल $A_{wall} = \pi(r + 4)^2 - \pi r^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,$A_{wall} = \frac{11}{25} A_{pool}$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\pi(r + 4)^2 - \pi r^2 = \frac{11}{25} \pi r^2$.
$\pi$ से विभाजित करने पर: $(r^2 + 8r + 16) - r^2 = \frac{11}{25} r^2$.
$8r + 16 = \frac{11}{25} r^2$.
$25$ से गुणा करने पर: $200r + 400 = 11r^2$.
द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $11r^2 - 200r - 400 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(r - 20)(11r + 20) = 0$.
चूंकि त्रिज्या ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $r = 20 \ m$।

(C) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है और केंद्र $O$ है।
माना $OM \perp AB$ और $ON \perp CD$,जहाँ $M$ और $N$ क्रमशः जीवा $AB$ और $CD$ के मध्य बिंदु हैं।
दिया है $AB = 10 \, cm$,इसलिए $AM = MB = 5 \, cm$.
दिया है $CD = 24 \, cm$,इसलिए $CN = ND = 12 \, cm$.
माना $ON = x$ है। चूँकि जीवाएँ केंद्र के विपरीत दिशा में हैं,इसलिए $OM = 17 - x$.
समकोण $\Delta ONA$ में,$OA^2 = ON^2 + CN^2 \implies r^2 = x^2 + 12^2 = x^2 + 144 \dots(1)$.
समकोण $\Delta OMA$ में,$OA^2 = OM^2 + AM^2 \implies r^2 = (17 - x)^2 + 5^2 = 289 + x^2 - 34x + 25 = x^2 - 34x + 314 \dots(2)$.
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$x^2 + 144 = x^2 - 34x + 314$
$34x = 314 - 144$
$34x = 170$
$x = 5 \, cm$.
$x = 5$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$r^2 = 5^2 + 144 = 25 + 144 = 169$
$r = \sqrt{169} = 13 \, cm$.

(A) शंक्वाकार लोहे के टुकड़े का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ,त्रिज्या $r = \frac{28}{2} = 14 \, cm$ और ऊँचाई $h = 30 \, cm$ है।
शंकु का आयतन $= \frac{1}{3} \pi (14)^2 (30) = 10 \pi (196) = 1960 \pi \, cm^3$.
जब इस टुकड़े को एक बेलनाकार बर्तन में डुबोया जाता है,तो विस्थापित पानी का आयतन शंकु के आयतन के बराबर होता है। विस्थापित पानी एक बेलन का आकार लेता है जिसकी ऊँचाई $H = 6.4 \, cm$ और त्रिज्या $R$ है।
विस्थापित पानी का आयतन $= \pi R^2 H = \pi R^2 (6.4)$.
आयतन की तुलना करने पर: $1960 \pi = \pi R^2 (6.4)$.
$R^2 = \frac{1960}{6.4} = \frac{19600}{64} = 306.25$.
$R = \sqrt{306.25} = 17.5 \, cm$.
बर्तन का व्यास $2R = 2 \times 17.5 = 35 \, cm$ है।

(D) समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई $h$ का सूत्र $h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ होता है,जहाँ $a$ भुजा की लंबाई है।
यहाँ $h = 12 \sqrt{3} \text{ cm}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{\sqrt{3}}{2} a = 12 \sqrt{3}$ होगा।
दोनों पक्षों से $\sqrt{3}$ को हटाने पर,हमें $\frac{a}{2} = 12$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 24 \text{ cm}$।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A$ निकालने का सूत्र $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ है।
$a = 24$ का मान रखने पर,$A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (24)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 576$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = 144 \sqrt{3} \text{ cm}^2$।

(D) माना $EF$ समांतर भुजाओं $AD$ और $BC$ के बीच की लंबवत दूरी है,जहाँ $F$,$AD$ पर स्थित है।
समलंब चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (AD + BC) \times EF$.
$\Delta AED$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AD \times EF$.
अतः,अभीष्ट अनुपात:
$\frac{ABCD \text{ का क्षेत्रफल}}{\Delta AED \text{ का क्षेत्रफल}} = \frac{\frac{1}{2} \times (AD + BC) \times EF}{\frac{1}{2} \times AD \times EF} = \frac{AD + BC}{AD}$.

(A) समबाहु त्रिभुज की भुजा $a = 24 \ cm$ है।
समबाहु त्रिभुज की अंतःत्रिज्या $r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{24}{2\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \ cm$ होती है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A_t = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 24 \times 24 = 144\sqrt{3} \ cm^2$ है।
$\sqrt{3} = 1.732$ का उपयोग करने पर,$A_t = 144 \times 1.732 = 249.408 \ cm^2$ प्राप्त होता है।
अंतःवृत्त का क्षेत्रफल $A_c = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times (4\sqrt{3})^2 = \frac{22}{7} \times 48 = \frac{1056}{7} \approx 150.857 \ cm^2$ है।
शेष भाग का क्षेत्रफल $A_t - A_c = 249.408 - 150.857 = 98.551 \ cm^2$ है।
दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,क्षेत्रफल $98.55 \ cm^2$ है।

(C) माना समचतुर्भुज की भुजा $a$ है। परिमाप $= 4a = 2p$,इसलिए $a = \frac{p}{2}$।
माना विकर्ण $d_1$ और $d_2$ हैं। दिया गया है कि $d_1 + d_2 = m$।
समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को $90^{\circ}$ पर समद्विभाजित करते हैं। आधे विकर्णों को $x = \frac{d_1}{2}$ और $y = \frac{d_2}{2}$ मानिए।
तब $2x + 2y = m$,अर्थात $x + y = \frac{m}{2}$।
भुजाओं और आधे विकर्णों द्वारा बने समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $x^2 + y^2 = a^2 = (\frac{p}{2})^2 = \frac{p^2}{4}$।
हम जानते हैं कि $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$।
मान रखने पर: $(\frac{m}{2})^2 = \frac{p^2}{4} + 2xy$।
$\frac{m^2}{4} = \frac{p^2}{4} + 2xy \Rightarrow 2xy = \frac{m^2 - p^2}{4}$।
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times (2x) \times (2y) = 2xy$ होता है।
अतः,क्षेत्रफल $= \frac{1}{4}(m^2 - p^2)$ वर्ग इकाई।

(D) मान लीजिए प्लॉट $ABCD$ है जिसमें $AB = 32 \ m$,$BC = 24 \ m$ और $\angle B = 90^{\circ}$ है। अन्य दो भुजाएँ $AD = 25 \ m$ और $CD = 25 \ m$ हैं।
सबसे पहले,$\triangle ABC$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके विकर्ण $AC$ की गणना करें:
$AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{32^{2} + 24^{2}} = \sqrt{1024 + 576} = \sqrt{1600} = 40 \ m$.
अब,$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल ज्ञात करें:
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 24 \times 32 = 384 \ m^{2}$.
इसके बाद,हेरोन के सूत्र का उपयोग करके $40 \ m$,$25 \ m$ और $25 \ m$ भुजाओं वाले $\triangle ADC$ का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{40 + 25 + 25}{2} = \frac{90}{2} = 45 \ m$.
$\triangle ADC$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{45(45-40)(45-25)(45-25)} = \sqrt{45 \times 5 \times 20 \times 20} = \sqrt{225 \times 400} = 15 \times 20 = 300 \ m^{2}$.
प्लॉट का कुल क्षेत्रफल $= \triangle ABC$ का क्षेत्रफल + $\triangle ADC$ का क्षेत्रफल $= 384 + 300 = 684 \ m^{2}$.

(A) केंद्र वाले पहले वृत्त की त्रिज्या $r_1 = 8$ है।
$B$ केंद्र वाले दूसरे वृत्त का व्यास $8$ है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r_2 = \frac{8}{2} = 4$ है।
चूंकि ये दोनों वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए उनके केंद्रों $A$ और $B$ के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं का योग होगी:
$AB = r_1 + r_2 = 8 + 4 = 12$.
अब,हमें $AB = 12$ व्यास वाले वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
इस नए वृत्त की त्रिज्या $R = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $\pi R^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $= \pi \times (6)^2 = 36\pi$.

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक आकृति का परिमाप $P$ है।
वृत्त के लिए: $2\pi r = P \implies r = \frac{P}{2\pi}$
क्षेत्रफल $C = \pi r^2 = \pi \left(\frac{P}{2\pi}\right)^2 = \frac{P^2}{4\pi} \approx \frac{P^2}{12.56}$
वर्ग के लिए: $4b = P \implies b = \frac{P}{4}$
क्षेत्रफल $S = b^2 = \left(\frac{P}{4}\right)^2 = \frac{P^2}{16}$
समबाहु त्रिभुज के लिए: $3a = P \implies a = \frac{P}{3}$
क्षेत्रफल $T = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{P}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}P^2}{36} \approx \frac{1.732P^2}{36} \approx \frac{P^2}{20.78}$
हरों की तुलना करने पर: $12.56 < 16 < 20.78$
चूंकि अंश समान हैं, इसलिए जिस भिन्न का हर सबसे छोटा होता है, वह सबसे बड़ी होती है।
अतः, $C > S > T$

(B) $1$. वृत्त के लिए: परिधि तार की लंबाई के बराबर होती है,इसलिए $2 \pi r = 44 \ cm$.
$2 \times (22/7) \times r = 44 \implies r = 7 \ cm$.
वृत्त का क्षेत्रफल $A_1 = \pi r^2 = (22/7) \times 7^2 = 154 \ cm^2$ है।
$2$. वर्ग के लिए: परिमाप तार की लंबाई के बराबर होता है,इसलिए $4a = 44 \ cm$.
$a = 11 \ cm$.
वर्ग का क्षेत्रफल $A_2 = a^2 = 11^2 = 121 \ cm^2$ है।
$3$. दोनों क्षेत्रफलों के बीच का अंतर $A_1 - A_2 = 154 - 121 = 33 \ cm^2$ है।