Measurement of Area Questions in Hindi

(A) माना कि खेत की लंबाई $6x \, m$ और चौड़ाई $5x \, m$ है।
दिया गया है कि आयताकार खेत का क्षेत्रफल $27000 \, m^2$ है।
चूंकि आयत का क्षेत्रफल = $\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई}$ होता है,इसलिए:
$6x \times 5x = 27000$
$30x^2 = 27000$
$x^2 = \frac{27000}{30} = 900$
$x = \sqrt{900} = 30$
अतः,लंबाई $6 \times 30 = 180 \, m$ और चौड़ाई $5 \times 30 = 150 \, m$ है।

(C) वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{चाप की लंबाई} \times \text{त्रिज्या}$.
यहाँ,$\text{चाप की लंबाई} = 3.5 \, cm$ और $\text{त्रिज्या} = 5 \, cm$ दी गई है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 3.5 \times 5 \, cm^2$.
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{17.5}{2} \, cm^2$.
$\text{क्षेत्रफल} = 8.75 \, cm^2$.

(C) माना प्लॉट की चौड़ाई $w \, m$ है। तो प्लॉट की लंबाई $l = 2w \, m$ होगी。
प्लॉट का क्षेत्रफल $= l \times w = (2w) \times w = 2w^2 \, m^2$.
यह दिया गया है कि $150 \, m^2$ क्षेत्रफल वाला जमीन का एक वर्गाकार टुकड़ा प्लॉट के कुल क्षेत्रफल का $\frac{1}{3}$ भाग है。
इसलिए,$\frac{1}{3} \times (\text{प्लॉट का क्षेत्रफल}) = 150 \, m^2$.
प्लॉट का क्षेत्रफल $= 150 \times 3 = 450 \, m^2$.
क्षेत्रफल के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $2w^2 = 450$.
$w^2 = 225$.
$w = \sqrt{225} = 15 \, m$.
प्लॉट की लंबाई $l = 2w = 2 \times 15 = 30 \, m$ है।

(B) अर्धवृत्त के आकार में मुड़े हुए तार की लंबाई अर्धवृत्त की परिधि के बराबर होती है।
अर्धवृत्त की परिधि का सूत्र है: $P = \pi r + 2r$,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
दिया गया है $r = 7 \, cm$ और $\pi = \frac{22}{7}$ लेने पर:
$P = (\frac{22}{7} \times 7) + (2 \times 7)$
$P = 22 + 14$
$P = 36 \, cm$.
अतः,तार की लंबाई $36 \, cm$ होगी।

(B) माना बाहरी वृत्त की त्रिज्या $R$ है और आंतरिक वृत्त की त्रिज्या $r$ है।
सड़क की चौड़ाई त्रिज्याओं के बीच का अंतर है,जो $(R - r)$ है।
बाहरी वृत्त की परिधि $2 \pi R$ है और आंतरिक वृत्त की परिधि $2 \pi r$ है।
दिया गया है कि परिधियों के बीच का अंतर $66 \, m$ है:
$2 \pi R - 2 \pi r = 66$
$2 \pi (R - r) = 66$
$2 \times \frac{22}{7} \times (R - r) = 66$
$(R - r) = 66 \times \frac{7}{22} \times \frac{1}{2}$
$(R - r) = 3 \times 7 \times \frac{1}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 \, m$.
अतः,सड़क की चौड़ाई $10.5 \, m$ है।

(A) माना कि वर्ग की भुजा $a$ है।
दिया गया है कि वर्ग का क्षेत्रफल $a^2 = 50$ है।
वर्ग का विकर्ण $d = a\sqrt{2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$a^2 = 50$ रखने पर,हमें $a = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,विकर्ण $d = (5\sqrt{2}) \times \sqrt{2} = 10$ इकाई है।
वृत्त को विकर्ण पर व्यास के रूप में खींचा गया है,इसलिए वृत्त का व्यास $10$ इकाई है।
वृत्त की त्रिज्या $r = d/2 = 10/2 = 5$ इकाई है।
वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = \pi (5)^2 = 25\pi$ वर्ग इकाई है।

(C) आयताकार शीट का क्षेत्रफल $Area_{rect} = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 4 \, cm \times 2 \, cm = 8 \, cm^{2}$ है।
आयताकार शीट से सबसे बड़े संभव क्षेत्रफल वाला वृत्त काटने के लिए,वृत्त का व्यास आयत की छोटी भुजा के बराबर होना चाहिए।
यहाँ,छोटी भुजा $2 \, cm$ है,इसलिए व्यास $d = 2 \, cm$,जिसका अर्थ है कि त्रिज्या $r = 1 \, cm$ है।
इस वृत्त का क्षेत्रफल $Area_{circle} = \pi r^{2} = \pi \times (1)^{2} = \pi \, cm^{2}$ है।
शेष भाग का क्षेत्रफल आयत के क्षेत्रफल और वृत्त के क्षेत्रफल का अंतर है।
$Area_{remaining} = Area_{rect} - Area_{circle} = 8 - \pi \, cm^{2}$.

(B) माना कि नए वृत्त की त्रिज्या $R$ है। नए वृत्त का क्षेत्रफल दिए गए तीन वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।
$\pi R^{2} = \pi(22)^{2} + \pi(19)^{2} + \pi(8)^{2}$
दोनों पक्षों को $\pi$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$R^{2} = 22^{2} + 19^{2} + 8^{2}$
$R^{2} = 484 + 361 + 64$
$R^{2} = 909$
$R = \sqrt{909} \approx 30.15$
निकटतम $cm$ में पूर्णांकित करने पर,हमें $R = 30\, cm$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि मूल लंबाई $l$ है और मूल चौड़ाई $b$ है। मूल क्षेत्रफल $A = l \times b$ है।
लंबाई में $33.33 \%$ की वृद्धि होती है,जो $\frac{1}{3}$ की वृद्धि के बराबर है।
नई लंबाई $l' = l + \frac{1}{3}l = \frac{4}{3}l$ होगी।
माना कि नई चौड़ाई $b'$ है। क्षेत्रफल को समान रखने के लिए,$l \times b = l' \times b'$ होना चाहिए।
$l \times b = \frac{4}{3}l \times b'$.
$b' = \frac{3}{4}b = 0.75b$ प्राप्त होता है।
चौड़ाई में कमी $b - b' = b - 0.75b = 0.25b$ है।
चौड़ाई में प्रतिशत कमी $= \frac{0.25b}{b} \times 100 \% = 25 \%$ होगी।

(D) आयत का क्षेत्रफल $\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई}$ के रूप में परिकलित किया जाता है।
दिया गया है,$\text{लंबाई} = 6.4 \, m$ और $\text{चौड़ाई} = 2.5 \, m$ है।
$\text{आयत का क्षेत्रफल} = 6.4 \, m \times 2.5 \, m = 16 \, m^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,वर्ग का क्षेत्रफल आयत के क्षेत्रफल के बराबर है।
इसलिए,$\text{वर्ग का क्षेत्रफल} = 16 \, m^2$ है।
चूंकि $\text{वर्ग का क्षेत्रफल} = \text{भुजा}^2$ होता है,इसलिए $\text{भुजा}^2 = 16 \, m^2$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\text{भुजा} = \sqrt{16} \, m = 4 \, m$ प्राप्त होता है।
अतः,वर्ग की प्रत्येक भुजा का माप $4 \, m$ है।

(D) बड़े वृत्त का व्यास $10\, cm$ है,इसलिए इसकी त्रिज्या $R = 10/2 = 5\, cm$ है।
छोटे वृत्त का व्यास $8\, cm$ है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r = 8/2 = 4\, cm$ है।
दो संकेंद्रीय वृत्तों के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \pi R^2 - \pi r^2$ है।
मान रखने पर: $\text{Area} = \pi(5)^2 - \pi(4)^2$.
$\text{Area} = 25\pi - 16\pi = 9\pi\, cm^2$.

(B) आयताकार कमरे की लंबाई $4\, m$ है।
चूंकि कमरे को दो समान वर्गाकार कमरों में विभाजित किया गया है,इसलिए आयत की लंबाई को दो समान भागों में विभाजित किया जाना चाहिए जो वर्गों की भुजाएं बनाते हैं।
प्रत्येक वर्ग की भुजा की लंबाई $4\, m / 2 = 2\, m$ होगी।
विभाजन वह रेखाखंड है जो आयत को विभाजित करता है,जो वर्ग की भुजा के बराबर होता है।
अतः,विभाजन की लंबाई $2\, m$ है।

(C) माना लंबाई $a \, m$ और चौड़ाई $b \, m$ है।
आयत का परिमाप $2(a + b) = 46 \, m$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$a + b = 23 \, m$ है।
आयत का क्षेत्रफल $a \times b = 120 \, m^{2}$ है।
विकर्ण $d$ की लंबाई का सूत्र $d = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं कि $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2ab$.
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $a^{2} + b^{2} = (23)^{2} - 2(120) = 529 - 240 = 289$.
अतः,विकर्ण $d = \sqrt{289} = 17 \, m$ है।

(C) वर्ग का परिमाप $P = 4 \times \text{भुजा}$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
यहाँ भुजा $22 \, m$ दी गई है,इसलिए परिमाप $P = 4 \times 22 \, m = 88 \, m$ होगा।
माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है। वृत्त की परिधि $C = 2 \pi r$ होती है।
प्रश्न के अनुसार,वृत्त की परिधि वर्ग के परिमाप के बराबर है,इसलिए $2 \pi r = 88 \, m$ होगा।
$\pi \approx \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर,$2 \times \frac{22}{7} \times r = 88$.
$r = 88 \times \frac{7}{2 \times 22} = 88 \times \frac{7}{44} = 2 \times 7 = 14 \, m$.
अतः,वृत्त की त्रिज्या $14 \, m$ है।

(C) प्रत्येक आकृति का परिमाप $P = 132 \, cm$ है।
$1$. समबाहु त्रिभुज के लिए: $3a = 132 \implies a = 44 \, cm$। क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 44^2 \approx 838.31 \, cm^2$।
$2$. वर्ग के लिए: $4a = 132 \implies a = 33 \, cm$। क्षेत्रफल $= a^2 = 33^2 = 1089 \, cm^2$।
$3$. नियमित षट्भुज के लिए: $6a = 132 \implies a = 22 \, cm$। क्षेत्रफल $= \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 22^2 \approx 1257.47 \, cm^2$।
$4$. वृत्त के लिए: $2\pi r = 132 \implies r = \frac{132}{2 \times (22/7)} = 21 \, cm$। क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 21^2 = 1386 \, cm^2$।
क्षेत्रफलों की तुलना करने पर: $838.31 < 1089 < 1257.47 < 1386$। अतः,वृत्त का क्षेत्रफल सबसे अधिक है।

(C) माना कि छोटे वृत्त की त्रिज्या $r$ है।
तब,बड़े वृत्त की त्रिज्या $R = 12r$ होगी।
छोटे वृत्त का क्षेत्रफल $A_1 = \pi r^2$ है।
बड़े वृत्त का क्षेत्रफल $A_2 = \pi R^2 = \pi (12r)^2 = 144\pi r^2$ है।
यह ज्ञात करने के लिए कि बड़े वृत्त का क्षेत्रफल छोटे वृत्त के क्षेत्रफल का कितना गुना है,हम अनुपात निकालते हैं:
$\frac{A_2}{A_1} = \frac{144\pi r^2}{\pi r^2} = 144$.
अतः,बड़े वृत्त का क्षेत्रफल छोटे वृत्त के क्षेत्रफल का $144$ गुना है।

(B) माना वर्ग की भुजा $a$ है और वृत्त की त्रिज्या $r$ है।
दिया गया है कि वृत्त की परिधि = वर्ग का परिमाप:
$2 \pi r = 4a$
$r = \frac{4a}{2 \pi} = \frac{2a}{\pi}$
अब,वृत्त का क्षेत्रफल $A_c = \pi r^2$ है और वर्ग का क्षेत्रफल $A_s = a^2$ है।
वृत्त के क्षेत्रफल और वर्ग के क्षेत्रफल का अनुपात:
$\frac{A_c}{A_s} = \frac{\pi r^2}{a^2} = \frac{\pi (\frac{2a}{\pi})^2}{a^2}$
$= \frac{\pi \cdot \frac{4a^2}{\pi^2}}{a^2} = \frac{4}{\pi}$
$\pi = \frac{22}{7}$ रखने पर:
$= \frac{4}{22/7} = \frac{4 \times 7}{22} = \frac{28}{22} = \frac{14}{11}$
अतः,अनुपात $14: 11$ है।

(C) माना आयताकार भूखंड की चौड़ाई $x \ ft$ है। तब,भूखंड की लंबाई $3x \ ft$ होगी।
भूखंड का क्षेत्रफल $\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 3x \times x = 3x^2 \ ft^2$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि $1200 \ ft^2$ का खेल का मैदान भूखंड के कुल क्षेत्रफल का $\frac{1}{4}$ भाग है।
इसलिए,$\frac{1}{4} \times \text{कुल क्षेत्रफल} = 1200 \ ft^2$.
$\text{कुल क्षेत्रफल} = 1200 \times 4 = 4800 \ ft^2$.
क्षेत्रफल के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $3x^2 = 4800$.
$x^2 = \frac{4800}{3} = 1600$.
$x = \sqrt{1600} = 40 \ ft$.
चूंकि लंबाई $3x$ है,इसलिए लंबाई $= 3 \times 40 = 120 \ ft$ होगी।

(B) वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $\text{Area} = \text{side}^2$ है।
मान लीजिए कि वर्गों $s_{1}$ और $s_{2}$ की भुजाएँ क्रमशः $a_{1}$ और $a_{2}$ हैं।
उनके क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{a_{1}^2}{a_{2}^2} = \frac{4}{25}$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें उनकी भुजाओं का अनुपात प्राप्त होता है: $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}$.
यह दिया गया है कि $s_{1}$ की भुजा $(a_{1})$ $6 \text{ cm}$ है,इसलिए हम समीकरण बना सकते हैं: $\frac{6}{a_{2}} = \frac{2}{5}$.
$a_{2}$ के लिए हल करने पर: $a_{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 3 \times 5 = 15 \text{ cm}$.
अतः,$s_{2}$ की भुजा $15 \text{ cm}$ है।

(B) पहिये की परिधि $C = 2 \pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 70\, cm = 440\, cm$ है।
$10$ चक्करों में तय की गई दूरी $= 10 \times 440\, cm = 4400\, cm = 44\, m$ है।
लिया गया समय $5\, seconds$ है।
गति ($m/s$ में) $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{44}{5}\, m/s = 8.8\, m/s$ है।
गति को $m/s$ से $km/h$ में बदलने के लिए,हम इसे $\frac{18}{5}$ से गुणा करते हैं:
गति $= 8.8 \times \frac{18}{5}\, km/h = 31.68\, km/h$।

(D) माना कालीन की लंबाई $l$ और चौड़ाई $b$ है। दिया गया है,$l \times b = 60 \, m^{2}$।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,विकर्ण $d = \sqrt{l^{2} + b^{2}}$,इसलिए $d^{2} = l^{2} + b^{2}$।
प्रश्न के अनुसार,$d + l = 5b$,जिसका अर्थ है $d = 5b - l$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$d^{2} = (5b - l)^{2} = 25b^{2} + l^{2} - 10bl$।
$d^{2} = l^{2} + b^{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $l^{2} + b^{2} = 25b^{2} + l^{2} - 10bl$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$b^{2} = 25b^{2} - 10(60)$,जिससे $24b^{2} = 600$ मिलता है।
अतः,$b^{2} = 25$,इसलिए $b = 5 \, m$।
चूंकि $l \times b = 60$,इसलिए $l = 60 / 5 = 12 \, m$।

(B) खेल का मैदान एक आयत और उसकी छोटी भुजाओं पर बने दो अर्धवृत्तों से मिलकर बना है।
आयत की लंबाई $(l)$ $= 36 \, m$।
आयत की चौड़ाई $(b)$ $= 24.5 \, m$।
प्रत्येक अर्धवृत्त का व्यास $= 24.5 \, m$।
प्रत्येक अर्धवृत्त की त्रिज्या $(r)$ $= \frac{24.5}{2} = 12.25 \, m$।
मैदान का क्षेत्रफल $=$ आयत का क्षेत्रफल $+$ दो अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल
मैदान का क्षेत्रफल $= (l \times b) + \pi r^2$
मैदान का क्षेत्रफल $= (36 \times 24.5) + \left( \frac{22}{7} \times 12.25 \times 12.25 \right)$
मैदान का क्षेत्रफल $= 882 + \left( \frac{22}{7} \times 150.0625 \right)$
मैदान का क्षेत्रफल $= 882 + 471.625 = 1353.625 \, m^2$।

(C) वृत्त की त्रिज्या $r = 50\, m$ है।
वृत्त की परिधि $C = 2 \pi r = 2 \times 3.14 \times 50 = 314\, m$ है।
$10$ चक्करों के लिए तय की गई कुल दूरी $D = 10 \times C = 10 \times 314 = 3140\, m$ है।
व्यक्ति की गति $v = 12\, km/h$ है। इसे $m/s$ में बदलने पर:
$v = 12 \times \frac{5}{18} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}\, m/s$.
सेकंड में लगा समय $t = \frac{D}{v} = \frac{3140}{10/3} = 3140 \times \frac{3}{10} = 314 \times 3 = 942\, s$.
समय को मिनट में बदलने के लिए, $60$ से भाग देने पर:
$t = \frac{942}{60} = 15.7\, \text{मिनट}$.

(D) कमरे का आयाम $5\, m$ और $8\, m$ है।
प्रत्येक चार दीवारों से $10\, cm$ $(0.1\, m)$ का मार्जिन छोड़ा गया है।
इसलिए,कालीन वाले क्षेत्र की लंबाई $= 8\, m - (0.1\, m + 0.1\, m) = 8 - 0.2 = 7.8\, m$.
कालीन वाले क्षेत्र की चौड़ाई $= 5\, m - (0.1\, m + 0.1\, m) = 5 - 0.2 = 4.8\, m$.
कालीन बिछाने का क्षेत्रफल $= 7.8\, m \times 4.8\, m = 37.44\, m^2$.
कालीन बिछाने की कुल लागत $= 37.44\, m^2 \times ₹ 18/m^2 = ₹ 673.92$.

(B) मान लीजिए कि बड़े आयत की लंबाई $L$ है और चौड़ाई $W_1 = 2 \ m$ है।
बड़े आयत का क्षेत्रफल $= L \times W_1 = L \times 2 = 2L \ m^2$.
मान लीजिए कि छोटे आयत की लंबाई $L$ है (जैसा कि दिया गया है,लंबाइयाँ समान हैं) और चौड़ाई $W_2$ है।
छोटे आयत का क्षेत्रफल $= L \times W_2$.
प्रश्न के अनुसार,बड़े आयत का क्षेत्रफल छोटे आयत के क्षेत्रफल के बराबर है।
इसलिए,$2L = L \times W_2$.
दोनों पक्षों को $L$ से विभाजित करने पर ($L \neq 0$ मानते हुए),हमें $W_2 = 2 \ m$ प्राप्त होता है।
अतः,छोटे आयत की चौड़ाई $2 \ m$ है।

(B) माना वृत्त की मूल त्रिज्या $r$ है।
मूल परिधि $C_1 = 2 \pi r$ है।
यदि त्रिज्या में $40 \%$ की कमी की जाती है,तो नई त्रिज्या $r' = r - 0.40r = 0.60r$ होगी।
नई परिधि $C_2 = 2 \pi (0.60r) = 1.2 \pi r$ होगी।
परिधि में हुई कमी $C_1 - C_2 = 2 \pi r - 1.2 \pi r = 0.8 \pi r$ है।
परिधि में प्रतिशत कमी $\frac{C_1 - C_2}{C_1} \times 100$ द्वारा प्राप्त की जाती है।
प्रतिशत कमी $= \frac{0.8 \pi r}{2 \pi r} \times 100 = 0.4 \times 100 = 40 \%$.

(D) कुल क्षेत्रफल वर्ग के क्षेत्रफल और चार अर्धवृत्तों के क्षेत्रफल का योग है।
वर्ग का क्षेत्रफल $= a^{2}$.
वर्ग की प्रत्येक भुजा एक अर्धवृत्त के व्यास के रूप में कार्य करती है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{a}{2}$ है।
एक अर्धवृत्त का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \pi r^{2} = \frac{1}{2} \pi (\frac{a}{2})^{2} = \frac{\pi a^{2}}{8}$.
चूंकि ऐसे चार अर्धवृत्त हैं,इसलिए चार अर्धवृत्तों का कुल क्षेत्रफल $= 4 \times \frac{\pi a^{2}}{8} = \frac{\pi a^{2}}{2}$.
अतः,आकृति का कुल क्षेत्रफल $= a^{2} + \frac{\pi a^{2}}{2}$ होगा।

(A) वर्गाकार खेत का क्षेत्रफल $6050\, m^2$ है। मान लीजिए वर्ग की भुजा $a$ है। अतः $a^2 = 6050$ है।
वर्ग का विकर्ण $d = a\sqrt{2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
इसलिए,$d^2 = 2a^2 = 2 \times 6050 = 12100\, m^2$ है।
अतः,विकर्ण की लंबाई $d = \sqrt{12100} = 110\, m$ है।
गति $30$ सेकंड में $10\, m$ दी गई है,जो कि $0.5$ मिनट में $10\, m$ है।
लिया गया समय = $\frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{110\, m}{10\, m / 0.5\, \text{min}} = 11 \times 0.5 = 5.5$ मिनट।
यह $5 \frac{1}{2}$ मिनट के बराबर है।

(B) $r$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित एक सम षट्भुज $6$ समबाहु त्रिभुजों से बना होता है,जिनमें से प्रत्येक की भुजा की लंबाई वृत्त की त्रिज्या $r$ के बराबर होती है।
इसलिए,सम षट्भुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई $r$ है।
सम षट्भुज का परिमाप उसकी $6$ भुजाओं की लंबाइयों का योग होता है।
परिमाप $= 6 \times r = 6r$.
अतः,इसका परिमाप $6r$ है।

(B) माना $AL$ और $BM$ क्रमशः $15\, m$ और $30\, m$ ऊँचाई वाले दो खंभे हैं,जो जमीन $AB = 36\, m$ पर खड़े हैं।
$AB$ के समानांतर एक रेखा $LN$ खींचिए ताकि $LN = AB = 36\, m$ हो और $N, BM$ पर स्थित हो।
तब,$BN = AL = 15\, m$ होगा।
इसलिए,$MN = BM - BN = 30\, m - 15\, m = 15\, m$ होगा।
समकोण त्रिभुज $\triangle LNM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$LM^2 = LN^2 + MN^2$
$LM^2 = 36^2 + 15^2$
$LM^2 = 1296 + 225 = 1521$
$LM = \sqrt{1521} = 39\, m$.
अतः,उनके शीर्षों के बीच की दूरी $39\, m$ है।

(D) माना आयताकार हॉल की चौड़ाई $x \, m$ है।
प्रश्न के अनुसार,लंबाई उसकी चौड़ाई की $\frac{4}{3}$ है,इसलिए लंबाई $= \frac{4x}{3} \, m$ है।
आयत का क्षेत्रफल = $\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई}$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{4x}{3} \times x = 300$.
$\frac{4x^2}{3} = 300$.
$x^2 = 300 \times \frac{3}{4} = 75 \times 3 = 225$.
$x = \sqrt{225} = 15 \, m$.
अतः,चौड़ाई $15 \, m$ है।
लंबाई $= \frac{4}{3} \times 15 = 20 \, m$ है।
लंबाई और चौड़ाई के बीच का अंतर $= 20 \, m - 15 \, m = 5 \, m$ है।

(C) माना समबाहु त्रिभुज की मूल भुजा $a$ है।
मूल क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ है।
नई भुजा की लंबाई $a' = a + 1.5\% \text{ of } a = a(1 + 0.015) = 1.015a$ है।
नया क्षेत्रफल $A' = \frac{\sqrt{3}}{4} (a')^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (1.015a)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 (1.015)^2$ है।
चूंकि $A' = A \times (1.015)^2$,हम $(1.015)^2 = 1.030225$ की गणना करते हैं।
अतः,$A' = 1.030225 A$ है।
क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि $= \frac{A' - A}{A} \times 100 = (1.030225 - 1) \times 100 = 0.030225 \times 100 = 3.0225 \%.$

(C) घोड़े द्वारा चरा गया क्षेत्रफल उस वृत्त का क्षेत्रफल है जिसकी त्रिज्या रस्सी की लंबाई के बराबर है।
प्रारंभिक त्रिज्या $r = 12 \ m$.
अंतिम त्रिज्या $R = 23 \ m$.
चरा गया अतिरिक्त क्षेत्रफल दो संकेंद्रित वृत्तों के बीच का क्षेत्र है,जिसे $\pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2) = \pi(R+r)(R-r)$ द्वारा दिया जाता है।
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर:
अतिरिक्त क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times (23 + 12) \times (23 - 12) \ m^2$
$= \frac{22}{7} \times 35 \times 11 \ m^2$
$= 22 \times 5 \times 11 \ m^2$
$= 110 \times 11 \ m^2$
$= 1210 \ m^2$.

(A) माना कि वर्ग का मूल विकर्ण $d$ है।
विकर्ण के संदर्भ में वर्ग के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{Area} = \frac{1}{2} d^2$.
मूल क्षेत्रफल $A_1 = \frac{1}{2} d^2$.
यदि विकर्ण को दोगुना कर दिया जाए,तो नया विकर्ण $d' = 2d$ होगा।
नया क्षेत्रफल $A_2 = \frac{1}{2} (d')^2 = \frac{1}{2} (2d)^2 = \frac{1}{2} (4d^2) = 2d^2$.
नए क्षेत्रफल की मूल क्षेत्रफल से तुलना करने पर:
$A_2 = 4 \times (\frac{1}{2} d^2) = 4 A_1$.
अतः,वर्ग का क्षेत्रफल $4$ गुना हो जाता है।

(C) मान लीजिए कि आयत की लंबाई $L$ है और इसकी चौड़ाई $B$ है। मूल परिमाप $P_1 = 2(L + B)$ है।
जब भुजाओं में $20 \%$ की वृद्धि की जाती है,तो नई लंबाई $L' = L + 0.2L = 1.2L$ और नई चौड़ाई $B' = B + 0.2B = 1.2B$ हो जाती है।
नया परिमाप $P_2 = 2(L' + B') = 2(1.2L + 1.2B)$ है।
इसे सरल करने पर,हमें $P_2 = 2 \times 1.2(L + B) = 2.4(L + B)$ प्राप्त होता है।
परिमाप में वृद्धि $\Delta P = P_2 - P_1 = 2.4(L + B) - 2(L + B) = 0.4(L + B)$ है।
परिमाप में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta P}{P_1} \times 100 = \frac{0.4(L + B)}{2(L + B)} \times 100 = 0.2 \times 100 = 20 \%$ है।

(B) माना बाहरी वृत्त की त्रिज्या $R$ है और आंतरिक वृत्त की त्रिज्या $r$ है।
सड़क की चौड़ाई $(R - r)$ द्वारा दी जाती है।
बाहरी वृत्त की परिधि $2 \pi R$ है और आंतरिक वृत्त की परिधि $2 \pi r$ है।
दिया गया है कि परिधियों के बीच का अंतर $44\, m$ है:
$2 \pi R - 2 \pi r = 44$
$2 \pi (R - r) = 44$
$R - r = \frac{44}{2 \pi}$
$R - r = \frac{44}{2 \times (22/7)}$
$R - r = \frac{44 \times 7}{44} = 7\, m$.
अतः,सड़क की चौड़ाई $7\, m$ है।

(A) वर्गाकार तालाब का क्षेत्रफल $= 8 \, m \times 8 \, m = 64 \, m^2$ है।
दिया गया है कि तालाब का क्षेत्रफल खेत के क्षेत्रफल का $\frac{1}{8}$ है,इसलिए खेत का क्षेत्रफल $= 8 \times 64 \, m^2 = 512 \, m^2$ होगा।
माना आयताकार खेत की लंबाई $L$ है और उसकी चौड़ाई $W$ है।
प्रश्न के अनुसार,$L = 2W$,जिसका अर्थ है कि $W = \frac{L}{2}$।
आयताकार खेत का क्षेत्रफल $= L \times W = L \times \frac{L}{2} = \frac{L^2}{2}$ है।
इस मान को गणना किए गए क्षेत्रफल के बराबर रखने पर: $\frac{L^2}{2} = 512$।
$L^2 = 512 \times 2 = 1024$।
$L = \sqrt{1024} = 32 \, m$।

(B) वृत्ताकार डिस्क का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = 0.49 \pi \, m^2$ दिया गया है।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,$r^2 = 0.49$,जिसका अर्थ है $r = 0.7 \, m$.
डिस्क की परिधि $C = 2 \pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.7 = 4.4 \, m$ है।
कुल तय की गई दूरी $1.76 \, km = 1760 \, m$ है।
चक्करों की संख्या कुल दूरी और परिधि के अनुपात से प्राप्त होती है: $\text{चक्करों की संख्या} = \frac{1760}{4.4} = 400$.

(C) वृत्त की त्रिज्या $r = 6\, cm$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल निकालने का सूत्र $A = \pi r^2$ है।
$A = \pi \times (6)^2 = 36\pi\, cm^2$.
माना त्रिभुज की ऊँचाई $h\, cm$ है और आधार $b = 6\, cm$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ द्वारा प्राप्त होता है।
प्रश्न के अनुसार,त्रिभुज का क्षेत्रफल वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर है:
$\frac{1}{2} \times 6 \times h = 36\pi$.
$3 \times h = 36\pi$.
$h = \frac{36\pi}{3} = 12\pi\, cm$.

(B) माना दीवार की ऊंचाई $h$ फीट है। सीढ़ी की लंबाई भी $h$ फीट है।
जब सीढ़ी को दीवार से $10$ फीट दूर $2$ फीट ऊंचे स्टूल पर रखा जाता है,तो सीढ़ी द्वारा दीवार पर तय की गई ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $(h - 2)$ फीट होती है।
यह एक समकोण त्रिभुज बनाता है जहाँ आधार $10$ फीट है,लंबवत ऊंचाई $(h - 2)$ फीट है,और कर्ण (सीढ़ी) $h$ फीट है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $h^2 = 10^2 + (h - 2)^2$.
$h^2 = 100 + (h^2 - 4h + 4)$.
$h^2 = 100 + h^2 - 4h + 4$.
दोनों पक्षों से $h^2$ घटाने पर: $0 = 104 - 4h$.
$4h = 104$.
$h = 26$ फीट।
अतः,दीवार की ऊंचाई $26$ फीट है।

(A) माना कि मूल वर्ग की भुजा $x \text{ cm}$ है।
मूल वर्ग का विकर्ण $d_1 = \sqrt{2}x \text{ cm}$ है।
मूल वर्ग का क्षेत्रफल $A_1 = \frac{d_1^2}{2} = \frac{(\sqrt{2}x)^2}{2} = x^2 \text{ cm}^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,नए वर्ग का विकर्ण दोगुना कर दिया जाता है,इसलिए $d_2 = 2 \times d_1 = 2\sqrt{2}x \text{ cm}$ होगा।
नए वर्ग का क्षेत्रफल $A_2 = \frac{d_2^2}{2} = \frac{(2\sqrt{2}x)^2}{2} = \frac{8x^2}{2} = 4x^2 \text{ cm}^2$ होगा।
क्षेत्रफलों की तुलना करने पर,$A_2 = 4 \times A_1$ प्राप्त होता है।
अतः,नए वर्ग का क्षेत्रफल $4$ गुना हो जाएगा।

(B) वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^{2} = 154 \, cm^{2}$ दिया गया है।
$\pi = \frac{22}{7}$ रखने पर,$\frac{22}{7} \times r^{2} = 154$.
$r^{2} = \frac{154 \times 7}{22} = 7 \times 7 = 49$.
अतः,त्रिज्या $r = 7 \, cm$ है।
वृत्त की परिधि $C = 2 \pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 = 44 \, cm$ है।
केंद्र पर $\theta = 45^{\circ}$ का कोण अंतरित करने वाले चाप की लंबाई का सूत्र $L = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2 \pi r$ है।
$L = \frac{45}{360} \times 44 = \frac{1}{8} \times 44 = 5.5 \, cm$.

(B) माना त्रिभुज का आधार $2x\, m$ और ऊँचाई $3x\, m$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $1\, \text{हेक्टेयर} = 10000\, m^2$,अतः लॉन का क्षेत्रफल $\frac{1}{12} \times 10000 = \frac{10000}{12} = \frac{2500}{3}\, m^2$ है।
समीकरण बनाने पर: $\frac{1}{2} \times (2x) \times (3x) = \frac{2500}{3}$.
$3x^2 = \frac{2500}{3}$.
$x^2 = \frac{2500}{9}$.
$x = \sqrt{\frac{2500}{9}} = \frac{50}{3}$.
आधार $= 2x = 2 \times \frac{50}{3} = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3}\, m$.
ऊँचाई $= 3x = 3 \times \frac{50}{3} = 50\, m$.

(B) आयताकार खेत का क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 1200 \ m^2$ है।
दिया गया है कि छोटी भुजा (चौड़ाई) $30 \ m$ है, इसलिए लंबी भुजा की लंबाई $\frac{1200}{30} = 40 \ m$ होगी।
आयत का विकर्ण उसकी भुजाओं के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाता है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, विकर्ण की लंबाई $\sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \ m$ है।
बाड़ के लिए आवश्यक कुल लंबाई एक लंबी भुजा, एक छोटी भुजा और विकर्ण का योग है: $40 + 30 + 50 = 120 \ m$।
चूंकि बाड़ लगाने की लागत ₹ $10$ प्रति $m$ है, इसलिए कार्य की कुल लागत $120 \times 10 = ₹ 1200$ होगी।

(D) माना कि वृत्त का व्यास $d$ है और परिधि $C$ है।
हम जानते हैं कि वृत्त की परिधि $C = \pi d$ द्वारा दी जाती है।
प्रश्न के अनुसार,व्यास परिधि से $105 \, cm$ कम है,इसलिए $d = C - 105$ है।
समीकरण में $C = \pi d$ रखने पर,हमें $d = \pi d - 105$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\pi d - d = 105$,जिसका अर्थ है $d(\pi - 1) = 105$।
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर,हमें $d(\frac{22}{7} - 1) = 105$ प्राप्त होता है।
$d(\frac{22 - 7}{7}) = 105 \Rightarrow d(\frac{15}{7}) = 105$।
$d = 105 \times \frac{7}{15} = 7 \times 7 = 49 \, cm$।
अतः,वृत्त का व्यास $49 \, cm$ है।

(C) बगीचे का क्षेत्रफल $= 24\, m \times 14\, m = 336\, m^2$.
रास्ता बगीचे के बाहर $1\, m$ चौड़ा है,इसलिए नई लंबाई $= 24 + 1 + 1 = 26\, m$ और नई चौड़ाई $= 14 + 1 + 1 = 16\, m$ होगी।
(बगीचा $+$ रास्ता) का कुल क्षेत्रफल $= 26\, m \times 16\, m = 416\, m^2$.
रास्ते का क्षेत्रफल $= 416\, m^2 - 336\, m^2 = 80\, m^2$.
$1$ टाइल का क्षेत्रफल $= 20\, cm \times 20\, cm = 400\, cm^2$.
चूंकि $1\, m^2 = 10000\, cm^2$,इसलिए $1$ टाइल का क्षेत्रफल $m^2$ में $= \frac{400}{10000} = 0.04\, m^2$ होगा।
आवश्यक टाइलों की संख्या $= \frac{\text{रास्ते का क्षेत्रफल}}{\text{1 टाइल का क्षेत्रफल}} = \frac{80}{0.04} = 2000$.

(B) माना कि बड़े विकर्ण की लंबाई $d_1 = x$ है।
तब,छोटे विकर्ण की लंबाई $d_2 = x$ का $80 \% = 0.8x = \frac{4}{5}x$ होगी।
समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र $A = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ है।
मान रखने पर,$A = \frac{1}{2} \times x \times \frac{4}{5}x = \frac{2}{5}x^2$ प्राप्त होता है।
अतः,समचतुर्भुज का क्षेत्रफल बड़े विकर्ण की लंबाई के वर्ग का $\frac{2}{5}$ गुना है।

(D) समलंब चतुर्भुज $ABCD$ में जहाँ $AB \parallel CD$ है,त्रिभुज $\Delta AOB$ और $\Delta COD$ $AA$ समरूपता कसौटी द्वारा समरूप हैं क्योंकि $\angle OAB = \angle OCD$ और $\angle OBA = \angle ODC$ (एकांतर अंतःकोण)।
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
इसलिए,$\frac{\text{Area}(\Delta AOB)}{\text{Area}(\Delta COD)} = \left( \frac{AB}{CD} \right)^2$।
दिया गया है कि $AB = 2CD$,अतः $\frac{AB}{CD} = \frac{2}{1}$ है।
इस प्रकार,$\frac{\text{Area}(\Delta AOB)}{\text{Area}(\Delta COD)} = \left( \frac{2}{1} \right)^2 = \frac{4}{1}$।
अतः,अनुपात $4:1$ है।

(C) समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के प्रमेय के अनुसार,दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
माना भुजाएँ $3x$ और $4x$ हैं।
क्षेत्रफलों का अनुपात $= \frac{(3x)^2}{(4x)^2} = \frac{9x^2}{16x^2} = \frac{9}{16}$.
अतः,उनके क्षेत्रफलों का अनुपात $9:16$ है।

(C) $24 \, cm$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के लिए,ऊँचाई $h = \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 24 = 12 \sqrt{3} \, cm$ होती है।
समबाहु त्रिभुज के अंतःवृत्त की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{h}{3}$ होता है।
$h$ का मान रखने पर,$r = \frac{12 \sqrt{3}}{3} = 4 \sqrt{3} \, cm$ प्राप्त होता है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$r$ का मान रखने पर,$A = \pi (4 \sqrt{3})^2 = \pi (16 \times 3) = 48 \pi \, cm^2$ प्राप्त होता है।