Measurement of Area Questions in Hindi

(B) आयत के अंदर सबसे बड़ा वृत्त खींचने के लिए,वृत्त का व्यास आयत की छोटी भुजा के बराबर होना चाहिए।
यहाँ,आयत की भुजाएँ $18 \, cm$ और $14 \, cm$ हैं।
इसलिए,सबसे बड़े वृत्त का व्यास $d = 14 \, cm$ होगा।
वृत्त की त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{14}{2} = 7 \, cm$ होगी।
वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \pi r^2$ है।
$r$ का मान रखने पर,$A = \frac{22}{7} \times 7^2 = \frac{22}{7} \times 49 = 22 \times 7 = 154 \, cm^2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: त्रिज्या $R = 5 \, cm$ और चाप की लंबाई $S = 3.5 \, cm$.
चाप द्वारा केंद्र पर बनाए गए कोण $\theta$ (रेडियन में) का सूत्र $\theta = \frac{S}{R}$ है।
मान रखने पर: $\theta = \frac{3.5}{5} = 0.7 \, \text{rad}$.
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} R^2 \theta$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times (5)^2 \times 0.7$.
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 25 \times 0.7 = 12.5 \times 0.7 = 8.75 \, cm^2$.

(D) अर्धवृत्त की परिधि का सूत्र $P = \pi r + 2r$ होता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
दिया गया है $P = 36 \, cm$,इसलिए $(\pi + 2)r = 36$।
$\pi = \frac{22}{7}$ रखने पर,$(\frac{22}{7} + 2)r = 36$।
$(\frac{22 + 14}{7})r = 36 \implies \frac{36}{7}r = 36$।
अतः,$r = 7 \, cm$।
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \pi r^2$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$A = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 7^2 = \frac{1}{2} \times 22 \times 7 = 11 \times 7 = 77 \, cm^2$।

(B) मान लीजिए कि आंतरिक वृत्त की त्रिज्या $r$ है और बाहरी वृत्त की त्रिज्या $R$ है।
मान लीजिए कि पथ की एकसमान चौड़ाई $x$ है।
तब,$R = r + x$,जिसका अर्थ है $R - r = x$.
बाहरी और आंतरिक परिधि के बीच का अंतर $2 \pi R - 2 \pi r = 132 \, m$ दिया गया है।
$2 \pi$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $2 \pi (R - r) = 132$ प्राप्त होता है।
चूंकि $R - r = x$,समीकरण $2 \pi x = 132$ हो जाता है।
$\pi = \frac{22}{7}$ रखने पर,हमें $2 \times \frac{22}{7} \times x = 132$ प्राप्त होता है।
$x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{132 \times 7}{2 \times 22} = \frac{132 \times 7}{44} = 3 \times 7 = 21 \, m$.
अतः,पथ की चौड़ाई $21 \, m$ है।

(B) माना पहिये का व्यास $x \, m$ है।
पहिये की परिधि $\pi x \, m$ होती है।
$113$ चक्करों में तय की गई कुल दूरी $113 \times \pi x$ है।
दी गई कुल दूरी $2 \, km$ $26 \, decametres$ है।
दूरी को मीटर में बदलने पर: $2 \, km = 2000 \, m$ और $26 \, decametres = 260 \, m$।
कुल दूरी $= 2000 + 260 = 2260 \, m$।
समीकरण: $113 \times \frac{22}{7} \times x = 2260$।
$x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{2260 \times 7}{113 \times 22}$।
चूंकि $2260 / 113 = 20$,इसलिए $x = \frac{20 \times 7}{22} = \frac{140}{22} = \frac{70}{11} = 6 \frac{4}{11} \, m$।

(C) माना रस्सी की लंबाई $l$ मीटर है। गाय द्वारा चरा गया क्षेत्रफल $l$ त्रिज्या वाला एक वृत्त बनाता है।
दिया गया है,क्षेत्रफल $= \pi l^{2} = 9856 \, m^{2}$.
$\Rightarrow l^{2} = \frac{9856}{\pi} = \frac{9856 \times 7}{22}$.
$\Rightarrow l^{2} = 448 \times 7 = 3136$.
$\Rightarrow l = \sqrt{3136} = 56 \, m$.
अतः,रस्सी की लंबाई $56 \, m$ है।

(D) दिया गया है,पहिये की त्रिज्या,$r = 0.25\, m$.
तय की जाने वाली कुल दूरी,$D = 11\, km = 11000\, m$.
एक चक्कर में तय की गई दूरी पहिये की परिधि के बराबर होती है,जो $2\pi r$ है।
माना चक्करों की संख्या $N$ है।
अतः,$N \times (2\pi r) = D$.
मान रखने पर: $N \times 2 \times \frac{22}{7} \times 0.25 = 11000$.
$N = \frac{11000 \times 7}{2 \times 22 \times 0.25}$.
$N = \frac{77000}{11} = 7000$.
इस प्रकार,पहिया $7000$ चक्कर लगाएगा।

(A) वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है $(A \propto r^2)$।
क्षेत्रफलों का दिया गया अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4}{9}$ है।
अतः,त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ होगा।
वृत्त की परिधि $C = 2\pi r$ द्वारा दी जाती है,इसलिए परिधि त्रिज्या के सीधे समानुपाती होती है $(C \propto r)$।
इस प्रकार,उनकी परिधियों का अनुपात $\frac{C_1}{C_2} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3}$ होगा।
अतः,अनुपात $2:3$ है।

(D) वृत्त की परिधि $C = 2 \pi r$ द्वारा दी जाती है।
$r = 42 \, cm$ रखने पर,हमें $C = 2 \times \frac{22}{7} \times 42 = 264 \, cm$ प्राप्त होता है।
चूंकि तार को आयत के रूप में फिर से मोड़ा गया है,इसलिए आयत का परिमाप वृत्त की परिधि के बराबर होगा।
मान लीजिए आयत की भुजाएँ $6x$ और $5x$ हैं (अनुपात $6:5$ के आधार पर)।
आयत का परिमाप $2(6x + 5x) = 2(11x) = 22x$ है।
परिमाप को बराबर करने पर: $22x = 264$.
$x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{264}{22} = 12$.
छोटी भुजा $5x = 5 \times 12 = 60 \, cm$ है।

(C) वर्ग के लिए:
परिमाप $= 4 \times \text{भुजा} = 44\, cm$.
भुजा $= 44 / 4 = 11\, cm$.
वर्ग का क्षेत्रफल $= (\text{भुजा})^2 = 11^2 = 121\, cm^2$.
वृत्त के लिए:
परिधि $= 2\pi r = 44\, cm$.
$2 \times (22/7) \times r = 44$.
$r = (44 \times 7) / (2 \times 22) = 7\, cm$.
वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = (22/7) \times 7^2 = 22 \times 7 = 154\, cm^2$.
क्षेत्रफलों की तुलना करने पर:
वृत्त का क्षेत्रफल - वर्ग का क्षेत्रफल $= 154 - 121 = 33\, cm^2$.
अतः,वृत्त का क्षेत्रफल $33\, cm^2$ अधिक है।

(C) माना कि आयत की मूल लंबाई $l$ और मूल चौड़ाई $b$ है। मूल क्षेत्रफल $A = l \times b$ है।
नई लंबाई $l' = l + 0.05l = 1.05l$ है।
नई चौड़ाई $b' = b - 0.04b = 0.96b$ है।
नया क्षेत्रफल $A' = l' \times b' = (1.05l) \times (0.96b) = 1.008lb$ है।
क्षेत्रफल में हुआ परिवर्तन $A' - A = 1.008lb - 1lb = 0.008lb$ है।
क्षेत्रफल में त्रुटि प्रतिशत $\frac{A' - A}{A} \times 100 = \frac{0.008lb}{lb} \times 100 = 0.8 \%$ है।

(C) समलंब चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times (\text{ऊंचाई})$.
माना समांतर भुजाएँ $5x$ और $3x$ हैं।
ऊंचाई (लंबवत दूरी) $24 \, m$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$1440 = \frac{1}{2} \times (5x + 3x) \times 24$
$1440 = \frac{1}{2} \times (8x) \times 24$
$1440 = 4x \times 24$
$1440 = 96x$
$x = \frac{1440}{96} = 15$.
बड़ी समांतर भुजा की लंबाई $5x = 5 \times 15 = 75 \, m$ है।

(C) मान लीजिए कि विकर्ण $d_{1}$ और $d_{2}$ हैं।
दिया गया है कि $d_{1} = 2d_{2}$ है।
समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र $\text{Area} = \frac{1}{2} \times d_{1} \times d_{2}$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $25 = \frac{1}{2} \times (2d_{2}) \times d_{2}$।
$25 = d_{2}^{2}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$d_{2} = 5\, cm$ प्राप्त होता है।
अब,$d_{1}$ ज्ञात करते हैं: $d_{1} = 2 \times 5 = 10\, cm$।
विकर्णों का योग $d_{1} + d_{2} = 10 + 5 = 15\, cm$ है।

(B) समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र $\text{Area} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ होता है,जहाँ $d_1$ और $d_2$ विकर्णों की लंबाई हैं।
दिया गया है: $\text{Area} = 150 \, cm^2$ और $d_1 = 10 \, cm$.
सूत्र में मान रखने पर:
$150 = \frac{1}{2} \times 10 \times d_2$
$150 = 5 \times d_2$
$d_2 = \frac{150}{5} = 30 \, cm$.
अतः,दूसरे विकर्ण की लंबाई $30 \, cm$ है।

(D) मान लीजिए कि त्रिभुज और समांतर चतुर्भुज दोनों का आधार $b$ है।
मान लीजिए कि त्रिभुज का शीर्षलंब $h_1$ है और समांतर चतुर्भुज का शीर्षलंब $h_2$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $A_t = \frac{1}{2} \times b \times h_1$ द्वारा दिया जाता है।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $A_p = b \times h_2$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,क्षेत्रफल समान हैं,इसलिए $A_t = A_p$ है।
अतः,$\frac{1}{2} \times b \times h_1 = b \times h_2$ है।
दोनों पक्षों को $b$ से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि $b \neq 0$),हमें $\frac{1}{2} h_1 = h_2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $h_1 = 2 h_2$ है।
दिया गया है कि समांतर चतुर्भुज का शीर्षलंब $h_2 = 100 \, m$ है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $h_1 = 2 \times 100 \, m = 200 \, m$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि मूल त्रिभुज की भुजाएँ $a$,$b$ और $c$ हैं। अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2}$ है।
हीरोन के सूत्र के अनुसार,मूल त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ है।
यदि प्रत्येक भुजा को दोगुना कर दिया जाए,तो नई भुजाएँ $2a$,$2b$ और $2c$ हो जाती हैं।
नया अर्ध-परिमाप $s'$ का मान $s' = \frac{2a+2b+2c}{2} = 2s$ होगा।
नया क्षेत्रफल $\Delta' = \sqrt{s'(s'-2a)(s'-2b)(s'-2c)}$ है।
मान रखने पर: $\Delta' = \sqrt{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}$.
$\Delta' = \sqrt{2s \cdot 2(s-a) \cdot 2(s-b) \cdot 2(s-c)}$.
$\Delta' = \sqrt{16 \cdot s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
$\Delta' = 4 \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 4\Delta$.
अतः,नया क्षेत्रफल पुराने क्षेत्रफल का $4$ गुना है,इसलिए $K = 4$।

(C) दिया गया है: परिमाप $P = 30 \text{ cm}$,इसलिए अर्ध-परिमाप $s = P/2 = 15 \text{ cm}$.
मान लीजिए भुजाएँ $a, b, c$ हैं जहाँ $a = 13 \text{ cm}$.
परिमाप $a + b + c = 30 \implies 13 + b + c = 30 \implies b + c = 17$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 30$.
$\sqrt{15(15-13)(15-b)(15-c)} = 30$.
$\sqrt{15 \times 2 \times (15-b)(15-c)} = 30$.
$30(15-b)(15-c) = 30^2 = 900$.
$(15-b)(15-c) = 30$.
$225 - 15(b+c) + bc = 30$.
$b+c = 17$ रखने पर: $225 - 15(17) + bc = 30$.
$225 - 255 + bc = 30 \implies bc - 30 = 30 \implies bc = 60$.
हमारे पास $b+c = 17$ और $bc = 60$ है। द्विघात समीकरण $x^2 - 17x + 60 = 0$ को हल करने पर भुजाएँ प्राप्त होती हैं।
$(x-5)(x-12) = 0$,इसलिए भुजाएँ $5 \text{ cm}$ और $12 \text{ cm}$ हैं।
त्रिभुज की भुजाएँ $5 \text{ cm}, 12 \text{ cm}, 13 \text{ cm}$ हैं।
सबसे छोटी भुजा $5 \text{ cm}$ है।

(D) भुजाओं का अनुपात $a: b: c = \frac{1}{2}: \frac{1}{3}: \frac{1}{4}$ दिया गया है।
अनुपात को सरल बनाने के लिए,प्रत्येक पद को हरों के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ यानी $2, 3, 4$ का ल.स.प. $12$ से गुणा करें।
$a: b: c = (\frac{1}{2} \times 12) : (\frac{1}{3} \times 12) : (\frac{1}{4} \times 12) = 6: 4: 3$.
मान लीजिए भुजाएँ $6x, 4x$ और $3x$ सेंटीमीटर हैं।
त्रिभुज का परिमाप उसकी भुजाओं का योग होता है,जो $52 \text{ cm}$ दिया गया है।
$6x + 4x + 3x = 52$.
$13x = 52$.
$x = \frac{52}{13} = 4$.
सबसे छोटी भुजा सबसे छोटे अनुपात मान के अनुरूप है,जो $3x$ है।
सबसे छोटी भुजा $= 3 \times 4 = 12 \text{ cm}$.

(D) माना वर्ग की भुजा $a \text{ cm}$ है।
अतः,आयत की लंबाई $l = (a + 5) \text{ cm}$ और आयत की चौड़ाई $b = (a - 3) \text{ cm}$ है।
दिया गया है कि वर्ग का क्षेत्रफल और आयत का क्षेत्रफल बराबर है:
$a^2 = (a + 5)(a - 3)$
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$a^2 = a^2 - 3a + 5a - 15$
$a^2 = a^2 + 2a - 15$
दोनों पक्षों से $a^2$ घटाने पर:
$0 = 2a - 15$
$2a = 15$
$a = 7.5 \text{ cm}$
अब,आयत की विमाएँ ज्ञात करते हैं:
लंबाई $l = 7.5 + 5 = 12.5 \text{ cm}$
चौड़ाई $b = 7.5 - 3 = 4.5 \text{ cm}$
आयत का परिमाप $P = 2(l + b)$ है:
$P = 2(12.5 + 4.5) = 2(17) = 34 \text{ cm}$.

(C) माना कि वर्ग की भुजा $x \, cm$ है।
जब सम्मुख भुजाओं के एक युग्म में $5 \, cm$ की वृद्धि की जाती है,तो आयत की नई विमाएँ $(x + 5) \, cm$ और $x \, cm$ हो जाती हैं।
प्रश्न के अनुसार,लंबाई और चौड़ाई का अनुपात $3:2$ है:
$\frac{x + 5}{x} = \frac{3}{2}$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर:
$2(x + 5) = 3x$
$2x + 10 = 3x$
$x = 10 \, cm$
अतः मूल वर्ग का क्षेत्रफल $x^2 = 10^2 = 100 \, cm^2$ है।

(B) माना कि वर्ग की मूल भुजा $s$ है। मूल क्षेत्रफल $A_1 = s^2$ है।
माना कि नई भुजा $s'$ है। नया क्षेत्रफल $A_2 = A_1 + 0.69 A_1 = 1.69 s^2$ है।
चूंकि $A_2 = (s')^2$,इसलिए $(s')^2 = 1.69 s^2$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$s' = \sqrt{1.69} s = 1.3 s$ प्राप्त होता है।
भुजा में हुई वृद्धि $s' - s = 1.3 s - s = 0.3 s$ है।
भुजा में प्रतिशत वृद्धि = $(0.3 s / s) \times 100 = 30 \%$ है।

(B) माना बाहरी वर्ग की भुजा की लंबाई $x \, m$ है।
चूंकि रास्ता $3 \, m$ चौड़ा है और वर्ग के अंदर की ओर है,इसलिए आंतरिक वर्ग की भुजा की लंबाई $(x - 3 - 3) = (x - 6) \, m$ होगी।
रास्ते का क्षेत्रफल बाहरी वर्ग और आंतरिक वर्ग के क्षेत्रफल का अंतर है:
$\text{रास्ते का क्षेत्रफल} = x^{2} - (x - 6)^{2} = 1764 \, m^{2}$.
सर्वसमिका $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर:
$(x - (x - 6))(x + (x - 6)) = 1764$
$(6)(2x - 6) = 1764$
$2x - 6 = \frac{1764}{6} = 294$
$2x = 294 + 6 = 300$
$x = 150 \, m$.
रास्ते के बाहरी किनारे की परिधि बाहरी वर्ग की परिधि है:
$\text{परिधि} = 4 \times x = 4 \times 150 = 600 \, m$.

(B) वर्ग का परिमाप $= 48\, cm$.
वर्ग की भुजा $= \frac{48}{4} = 12\, cm$.
वर्ग का क्षेत्रफल $= (12)^2 = 144\, cm^2$.
आयत का क्षेत्रफल $= 144 - 4 = 140\, cm^2$.
आयत की दी गई लंबाई $= 14\, cm$.
आयत की चौड़ाई $= \frac{\text{क्षेत्रफल}}{\text{लंबाई}} = \frac{140}{14} = 10\, cm$.
आयत का परिमाप $= 2(l + b) = 2(14 + 10) = 2(24) = 48\, cm$.

(D) माना कि आयताकार भूखंड की लंबाई $l$ और चौड़ाई $b$ है।
दिया गया है कि भूखंड का क्षेत्रफल $l \times b = 96 \text{ m}^2$ है।
भूखंड के अंदर $2 \text{ m}$ चौड़ा रास्ता बनाया गया है।
आंतरिक आयत (रास्ते को छोड़कर) के आयाम $(l - 4)$ और $(b - 4)$ होंगे,क्योंकि रास्ता दोनों तरफ से लंबाई और चौड़ाई को कम करता है।
रास्ते का क्षेत्रफल इस प्रकार है: $\text{रास्ते का क्षेत्रफल} = \text{कुल क्षेत्रफल} - \text{आंतरिक क्षेत्रफल} = lb - (l - 4)(b - 4)$.
$lb = 96$ प्रतिस्थापित करने पर: $\text{रास्ते का क्षेत्रफल} = 96 - (lb - 4l - 4b + 16) = 96 - (96 - 4(l + b) + 16) = 4(l + b) - 16$.
चूंकि $l$ और $b$ के मान अलग-अलग ज्ञात नहीं हैं,इसलिए केवल $lb = 96$ से $(l + b)$ का योग निर्धारित नहीं किया जा सकता है।
अतः,रास्ते का क्षेत्रफल ज्ञात नहीं किया जा सकता है और परिणामस्वरूप निर्माण की कुल लागत निर्धारित नहीं की जा सकती है।
इस प्रकार,दिए गए आंकड़े अपर्याप्त हैं।

(C) माना आयताकार भूखंड की लंबाई $L$ और चौड़ाई $B$ है।
परिमाप $= 2(L + B) = 340 \text{ m}$,इसलिए $L + B = 170 \text{ m}$।
भूखंड के चारों ओर $1 \text{ m}$ चौड़ी सीमा (पथ) का क्षेत्रफल निकालने का सूत्र: $\text{Area} = 2(L + B) \times w + 4w^2$,जहाँ $w$ पथ की चौड़ाई है।
यहाँ,$w = 1 \text{ m}$।
$\text{Area} = 340 \times 1 + 4(1)^2 = 340 + 4 = 344 \text{ m}^2$।
बागवानी का खर्च $₹ 10$ प्रति वर्ग मीटर की दर से है।
$\text{Total Cost} = 344 \text{ m}^2 \times 10 \text{ ₹/m}^2 = ₹ 3440$।

(C) शीट का कुल क्षेत्रफल $= 20\, cm \times 30\, cm = 600\, cm^2$.
टाइपिंग के लिए उपलब्ध चौड़ाई $= 20\, cm - (2\, cm + 2\, cm) = 20\, cm - 4\, cm = 16\, cm$.
टाइपिंग के लिए उपलब्ध ऊँचाई $= 30\, cm - (3\, cm + 3\, cm) = 30\, cm - 6\, cm = 24\, cm$.
टाइपिंग के लिए उपयोग किया गया क्षेत्रफल $= 16\, cm \times 24\, cm = 384\, cm^2$.
टाइपिंग के लिए उपयोग किए गए पृष्ठ का प्रतिशत $= \left( \frac{384}{600} \right) \times 100 = \frac{384}{6} = 64\%$.

(C) माना समलंब चतुर्भुज की समानांतर भुजाएँ $l_1$ और $l_2$ हैं,जहाँ $l_1 > l_2$ है।
दिया गया है कि समानांतर भुजाओं के बीच का अंतर $4\, cm$ है,इसलिए $l_1 - l_2 = 4$,जिसका अर्थ है $l_1 = l_2 + 4$।
समानांतर भुजाओं के बीच की लंबवत दूरी (ऊँचाई) $h = 19\, cm$ है।
समलंब चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times (l_1 + l_2) \times h$।
दिए गए मानों को रखने पर: $475 = \frac{1}{2} \times (l_2 + 4 + l_2) \times 19$।
$475 = \frac{19}{2} \times (2l_2 + 4)$।
$475 = 19 \times (l_2 + 2)$।
$l_2 + 2 = \frac{475}{19} = 25$।
$l_2 = 25 - 2 = 23\, cm$।
अब,$l_1$ ज्ञात करें: $l_1 = l_2 + 4 = 23 + 4 = 27\, cm$।
अतः,समानांतर भुजाओं की लंबाई $27\, cm$ और $23\, cm$ है।

(A) मान लीजिए कि मूल लंबाई $L$ है और मूल चौड़ाई $B$ है।
मूल क्षेत्रफल $A_1 = L \times B$ है।
नई लंबाई $L' = L + 0.50L = 1.5L$ है।
नई चौड़ाई $B' = B + 0.20B = 1.2B$ है।
नया क्षेत्रफल $A_2 = L' \times B' = (1.5L) \times (1.2B) = 1.8 \times (L \times B) = 1.8 A_1$ है।
क्षेत्रफल में हुई वृद्धि $A_2 - A_1 = 1.8 A_1 - A_1 = 0.8 A_1$ है।
अतः,क्षेत्रफल में मूल क्षेत्रफल का $0.8$ गुना वृद्धि होगी।

(C) माना प्रारंभिक लंबाई $l$ है और प्रारंभिक चौड़ाई $b$ है। प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_1 = l \times b$ है।
यदि प्रत्येक भुजा में $20 \%$ की वृद्धि की जाती है,तो नई लंबाई $l' = l + 0.20l = 1.2l$ और नई चौड़ाई $b' = b + 0.20b = 1.2b$ होगी।
नया क्षेत्रफल $A_2 = l' \times b' = (1.2l) \times (1.2b) = 1.44lb = 1.44A_1$ होगा।
क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि $\frac{A_2 - A_1}{A_1} \times 100 = \frac{1.44A_1 - A_1}{A_1} \times 100 = 0.44 \times 100 = 44 \%$ है।
वैकल्पिक रूप से,क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन के सूत्र का उपयोग करते हुए: $x + y + \frac{xy}{100} = 20 + 20 + \frac{20 \times 20}{100} = 40 + 4 = 44 \%$।

(A) माना कि आयताकार कागज की लंबाई $l$ और चौड़ाई $b$ है।
जब चौड़ाई के अनुदिश मोड़ा जाता है,तो नए आयाम $l/2$ और $b$ होते हैं। परिमाप $2(l/2 + b) = 34$ है,जो सरल होकर $l + 2b = 34$ हो जाता है $....(1)$
जब लंबाई के अनुदिश मोड़ा जाता है,तो नए आयाम $l$ और $b/2$ होते हैं। परिमाप $2(l + b/2) = 38$ है,जो सरल होकर $2l + b = 38$ हो जाता है $....(2)$
समीकरण $(1)$ को $2$ से गुणा करने पर,हमें $2l + 4b = 68$ प्राप्त होता है $....(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर,$(2l + 4b) - (2l + b) = 68 - 38$,जिससे $3b = 30$ प्राप्त होता है,अतः $b = 10\, cm$.
$b = 10$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर,$l + 2(10) = 34$,अतः $l + 20 = 34$,जिससे $l = 14\, cm$ प्राप्त होता है।
कागज का क्षेत्रफल $= l \times b = 14 \times 10 = 140\, cm^2$ है।

(D) माना आयत की लंबाई $l$ और चौड़ाई $w$ है।
विकर्ण $d = \sqrt{l^2 + w^2}$.
$A$ द्वारा विकर्णतः तय की गई दूरी $= \frac{52 \text{ m}}{60 \text{ s}} \times 15 \text{ s} = 13 \text{ m}$.
अतः,$l^2 + w^2 = 13^2 = 169$.
$B$ द्वारा भुजाओं के अनुदिश तय की गई दूरी $= l + w = \frac{68 \text{ m}}{60 \text{ s}} \times 15 \text{ s} = 17 \text{ m}$.
हम जानते हैं कि $(l + w)^2 = l^2 + w^2 + 2lw$.
मान रखने पर: $17^2 = 169 + 2lw$.
$289 = 169 + 2lw$.
$2lw = 289 - 169 = 120$.
खेत का क्षेत्रफल $= l \times w = \frac{120}{2} = 60 \text{ m}^2$.

(D) माना आयताकार कमरे की लंबाई $l$ और चौड़ाई $b$ है।
पहली शर्त के अनुसार:
$(l+1)(b+1) - lb = 21$
$lb + l + b + 1 - lb = 21$
$l + b + 1 = 21$
$l + b = 20$ $...(1)$
दूसरी शर्त के अनुसार:
$(l+1)(b-1) - lb = -5$
$lb - l + b - 1 - lb = -5$
$-l + b - 1 = -5$
$-l + b = -4$
$l - b = 4$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(l + b) + (l - b) = 20 + 4$
$2l = 24$
$l = 12\, m$
$l = 12$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$12 + b = 20$
$b = 8\, m$
फर्श का परिमाप $P = 2(l + b)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$P = 2(12 + 8) = 2(20) = 40\, m$.

(D) माना त्रिभुज की भुजाएँ $3x$,$4x$ और $5x$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{3x + 4x + 5x}{2} = \frac{12x}{2} = 6x$ है।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
$\Delta = \sqrt{6x(6x-3x)(6x-4x)(6x-5x)} = \sqrt{6x \cdot 3x \cdot 2x \cdot x} = \sqrt{36x^{4}} = 6x^{2}$.
दिया गया है कि क्षेत्रफल $216 \, cm^{2}$ है,इसलिए $6x^{2} = 216$.
$x^{2} = 36$,जिसका अर्थ है $x = 6 \, cm$.
त्रिभुज का परिमाप $3x + 4x + 5x = 12x$ है।
परिमाप $= 12 \times 6 = 72 \, cm$.

(C) मान लीजिए कि दो त्रिभुजों के आधार $b_1$ और $b_2$ हैं,और उनके शीर्षलंब (ऊंचाई) क्रमशः $h_1$ और $h_2$ हैं।
दिया गया है कि उनके आधारों का अनुपात $\frac{b_1}{b_2} = \frac{x}{y}$ है और उनके क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{\Delta_1}{\Delta_2} = \frac{a}{b}$ है।
त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र $\Delta = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{शीर्षलंब}$ होता है।
अतः,$\frac{\Delta_1}{\Delta_2} = \frac{\frac{1}{2} b_1 h_1}{\frac{1}{2} b_2 h_2} = \frac{b_1}{b_2} \times \frac{h_1}{h_2}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{a}{b} = \frac{x}{y} \times \frac{h_1}{h_2}$.
शीर्षलंबों के अनुपात $\frac{h_1}{h_2}$ के लिए हल करने पर,हमें मिलता है $\frac{h_1}{h_2} = \frac{a}{b} \times \frac{y}{x} = \frac{ay}{bx}$.
इस प्रकार,उनके संगत शीर्षलंबों का अनुपात $ay: bx$ है।

(C) वर्ग का क्षेत्रफल $= 484 \, cm^2$ है।
माना वर्ग की भुजा $a$ है। तब $a^2 = 484$,जिससे $a = \sqrt{484} = 22 \, cm$ प्राप्त होता है।
वर्ग का परिमाप $= 4 \times a = 4 \times 22 = 88 \, cm$ है।
जब उसी तार को वृत्त के रूप में मोड़ा जाता है,तो वृत्त की परिधि वर्ग के परिमाप के बराबर होती है।
परिधि $= 2\pi r = 88 \, cm$ है।
$2 \times \frac{22}{7} \times r = 88$ है।
$r = \frac{88 \times 7}{44} = 14 \, cm$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 14 \times 14$ है।
क्षेत्रफल $= 22 \times 2 \times 14 = 616 \, cm^2$ है।

(A) पहिए का व्यास $d = 40 \, cm$ है।
पहिए की परिधि $C = \pi d = \frac{22}{7} \times 40 = \frac{880}{7} \, cm$ है।
तय की जाने वाली कुल दूरी $176 \, m$ है। इसे सेंटीमीटर में बदलने पर,$176 \times 100 = 17600 \, cm$ प्राप्त होता है।
चक्करों की संख्या ज्ञात करने के लिए कुल दूरी को परिधि से विभाजित करने पर:
$\text{चक्करों की संख्या} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{परिधि}} = \frac{17600}{\frac{880}{7}} = \frac{17600 \times 7}{880} = 20 \times 7 = 140$.

(C) वर्ग का क्षेत्रफल $81 \, cm^2$ है।
चूंकि वर्ग का क्षेत्रफल $= \text{भुजा}^2$ होता है,इसलिए भुजा की लंबाई $\sqrt{81} = 9 \, cm$ है।
तार की परिधि (लंबाई) $4 \times 9 = 36 \, cm$ है।
जब इस तार को अर्धवृत्ताकार आकार में मोड़ा जाता है,तो इसकी परिधि का सूत्र $P = \pi r + 2r = r(\pi + 2)$ होता है।
परिधि को $36 \, cm$ के बराबर रखने पर:
$r(\frac{22}{7} + 2) = 36$
$r(\frac{22 + 14}{7}) = 36$
$r(\frac{36}{7}) = 36$
$r = 7 \, cm$।
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \pi r^2$ होता है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 7^2 = \frac{1}{2} \times 22 \times 7 = 77 \, cm^2$।

(B) वर्गाकार शीट का क्षेत्रफल $784 \, cm^2$ है।
वर्गाकार शीट की भुजा $= \sqrt{784} = 28 \, cm$.
चूंकि वर्ग से अधिकतम व्यास की चार समान आकार की गोलाकार प्लेटें काटी जाती हैं,इसलिए वे $2 \times 2$ ग्रिड में व्यवस्थित होंगी।
प्रत्येक गोलाकार प्लेट का व्यास वर्ग की भुजा का आधा होता है: $d = \frac{28}{2} = 14 \, cm$.
प्रत्येक प्लेट की परिधि $C = \pi d = \frac{22}{7} \times 14 = 44 \, cm$ है।
परिधि को मीटर में बदलने पर: $44 \, cm = 0.44 \, m$।

(A) माना कि समद्विबाहु समकोण त्रिभुज की दो समान भुजाएँ $x$ हैं।
तब,कर्ण $\sqrt{x^2 + x^2} = x\sqrt{2}$ होगा।
परिमाप $x + x + x\sqrt{2} = x(2 + \sqrt{2})$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि परिमाप $(6 + 3\sqrt{2}) \text{ m}$ है,इसलिए:
$x(2 + \sqrt{2}) = 3(2 + \sqrt{2})$।
अतः,$x = 3 \text{ m}$।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times x \times x = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5 \text{ m}^2$ है।

(D) माना हॉल की चौड़ाई $x$ मीटर है।
तब,हॉल की लंबाई $(x + 5)$ मीटर होगी।
आयताकार हॉल का क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 750\, m^{2}$ है।
अतः,$x(x + 5) = 750$.
$x^{2} + 5x - 750 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^{2} + 30x - 25x - 750 = 0$.
$x(x + 30) - 25(x + 30) = 0$.
$(x - 25)(x + 30) = 0$.
चूंकि चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 25$.
अतः,हॉल की लंबाई $x + 5 = 25 + 5 = 30\, m$ है।

(D) माना कि आयत की चौड़ाई $b \, m$ है।
चूंकि लंबाई,चौड़ाई से $15 \%$ अधिक है,इसलिए लंबाई $l = b + 0.15b = 1.15b \, m$ होगी।
आयत के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = l \times b$।
दिए गए मानों को रखने पर: $1.15b \times b = 460$।
$1.15b^2 = 460$।
$b^2 = \frac{460}{1.15} = 400$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $b = \sqrt{400} = 20 \, m$।
अतः,आयताकार खेत की चौड़ाई $20 \, m$ है।

(C) वर्ग की भुजा की लंबाई $s = \frac{\text{परिमाप}}{4}$ द्वारा दी जाती है।
पाँचों वर्गों की भुजाएँ हैं:
$s_1 = \frac{24}{4} = 6 \ cm$,$s_2 = \frac{32}{4} = 8 \ cm$,$s_3 = \frac{40}{4} = 10 \ cm$,$s_4 = \frac{76}{4} = 19 \ cm$,$s_5 = \frac{80}{4} = 20 \ cm$.
इन वर्गों के क्षेत्रफलों का योग है:
$A = (6^2 + 8^2 + 10^2 + 19^2 + 20^2) \ cm^2$
$A = (36 + 64 + 100 + 361 + 400) \ cm^2 = 961 \ cm^2$.
माना नए वर्ग की भुजा $S$ है। चूंकि इसका क्षेत्रफल पाँचों वर्गों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है:
$S^2 = 961 \ cm^2$
$S = \sqrt{961} = 31 \ cm$.
नए वर्ग का परिमाप $P = 4 \times S = 4 \times 31 = 124 \ cm$ है।

(B) वर्गाकार कमरे की भुजा $3 \text{ m}$ है।
कमरे का क्षेत्रफल $= 3 \text{ m} \times 3 \text{ m} = 9 \text{ m}^2$.
चूंकि $1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$,इसलिए $1 \text{ m}^2 = 10,000 \text{ cm}^2$.
अतः,कमरे का क्षेत्रफल $\text{cm}^2$ में $= 9 \times 10,000 = 90,000 \text{ cm}^2$.
एक संगमरमर स्लैब का क्षेत्रफल $= 20 \text{ cm} \times 30 \text{ cm} = 600 \text{ cm}^2$.
आवश्यक स्लैब की संख्या $= \frac{\text{कमरे का कुल क्षेत्रफल}}{\text{एक स्लैब का क्षेत्रफल}} = \frac{90,000 \text{ cm}^2}{600 \text{ cm}^2} = 150$.

(B) माना कि बड़े रेखाखंड की लंबाई $x \, cm$ है।
अतः,छोटे रेखाखंड की लंबाई $(x - 2) \, cm$ होगी।
बड़े रेखाखंड द्वारा बने वर्ग का क्षेत्रफल $x^2 \, cm^2$ है।
छोटे रेखाखंड द्वारा बने वर्ग का क्षेत्रफल $(x - 2)^2 \, cm^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,क्षेत्रफलों का अंतर $32 \, cm^2$ है:
$x^2 - (x - 2)^2 = 32$
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर:
$(x - (x - 2))(x + (x - 2)) = 32$
$(2)(2x - 2) = 32$
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर:
$2x - 2 = 16$
$2x = 18$
$x = 9$
अतः,बड़े रेखाखंड की लंबाई $9 \, cm$ है।

(B) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है।
वृत्त की परिधि $C = 2 \pi r$ द्वारा दी जाती है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,परिधि और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर हैं:
$2 \pi r = \pi r^2$
दोनों पक्षों को $\pi r$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $r \neq 0$):
$2 = r$
अतः,त्रिज्या $r = 2$ है।
वृत्त का व्यास $d = 2r$ होता है:
$d = 2 \times 2 = 4$.
इसलिए,व्यास $4$ है।

(C) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 15 \, m$,$b = 16 \, m$ और $c = 17 \, m$ हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $s$ की गणना करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{15 + 16 + 17}{2} = \frac{48}{2} = 24 \, m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
मान रखने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{24(24 - 15)(24 - 16)(24 - 17)}$
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{24 \times 9 \times 8 \times 7}$
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{12096} = \sqrt{576 \times 21} = 24 \sqrt{21} \, m^{2}$.

(A) पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,त्रिभुज की ऊँचाई इस प्रकार है:
ऊँचाई $= \sqrt{(\text{कर्ण})^2 - (\text{आधार})^2}$
ऊँचाई $= \sqrt{(6.5)^2 - 6^2}$
ऊँचाई $= \sqrt{42.25 - 36}$
ऊँचाई $= \sqrt{6.25} = 2.5\,m$
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार ज्ञात किया जाता है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 6\,m \times 2.5\,m$
क्षेत्रफल $= 3 \times 2.5 = 7.5\,m^2$

(B) एक समबाहु त्रिभुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं। दी गई भुजा $a = 12\, cm$ है।
समबाहु त्रिभुज की ऊंचाई $h$ का सूत्र $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a$ है।
$a$ का मान रखने पर:
$h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 12\, cm$
$h = 6 \sqrt{3}\, cm$.
वैकल्पिक रूप से,क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करते हुए:
क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 144 = 36 \sqrt{3}\, cm^2$.
साथ ही,क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 12 \times h = 6h$.
दोनों को बराबर करने पर: $6h = 36 \sqrt{3}$,इसलिए $h = 6 \sqrt{3}\, cm$.

(B) माना प्रत्येक समान भुजा की लंबाई $x \, m$ है।
त्रिभुज की भुजाएँ $x, x$ और $64$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{x + x + 64}{2} = x + 32$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
$1600 = \sqrt{(x+32)(x+32-x)(x+32-x)(x+32-64)}$.
$1600 = \sqrt{(x+32)(32)(32)(x-32)}$.
$1600 = 32 \sqrt{(x+32)(x-32)}$.
$50 = \sqrt{x^{2} - 32^{2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$2500 = x^{2} - 1024$.
$x^{2} = 3524$.
$x = \sqrt{3524} \approx 59.36 \, m$.

(C) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 20\, m$,$b = 21\, m$ और $c = 29\, m$ हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $(s)$ की गणना करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{20 + 21 + 29}{2} = \frac{70}{2} = 35\, m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार है:
क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
मान रखने पर:
क्षेत्रफल $= \sqrt{35(35 - 20)(35 - 21)(35 - 29)}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{35 \times 15 \times 14 \times 6}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{(5 \times 7) \times (3 \times 5) \times (2 \times 7) \times (2 \times 3)}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{5^2 \times 7^2 \times 3^2 \times 2^2}$
क्षेत्रफल $= 5 \times 7 \times 3 \times 2 = 210\, m^2$.