Measurement of Area Questions in Gujarati

(D) સમઘનની બાજુ $a = 7 \ cm$ છે.
સમઘનનું ઘનફળ $= a^3 = 7^3 = 343 \ cm^3$.
સમઘનમાં સમાયેલા સૌથી મોટા શંકુનો પાયાનો વ્યાસ સમઘનની બાજુ જેટલો અને ઊંચાઈ સમઘનની બાજુ જેટલી હશે.
શંકુની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{a}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 \ cm$.
શંકુની ઊંચાઈ $(h) = a = 7 \ cm$.
શંકુનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \times 7 = \frac{1}{3} \times 22 \times 12.25 = \frac{269.5}{3} \ cm^3$.
શંકુના ઘનફળ અને સમઘનના ઘનફળનો ગુણોત્તર $= \frac{\frac{1}{3} \pi r^2 h}{a^3} = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (\frac{7}{2})^2 \times 7}{7^3} = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{49}{4} \times 7}{343} = \frac{11 \times 49}{6 \times 343} = \frac{11}{42}$.
આમ,ગુણોત્તર $11:42$ છે.

(B) ધારો કે સામાન્ય ગુણોત્તર $x$ છે.
તેથી,લંબાઈ $l = 4x$,પહોળાઈ $b = 3x$ અને ઊંચાઈ $h = 2x$ થાય.
લંબઘનની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $2(lb + bh + lh)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$2(4x \cdot 3x + 3x \cdot 2x + 2x \cdot 4x) = 8788$.
$2(12x^2 + 6x^2 + 8x^2) = 8788$.
$2(26x^2) = 8788$.
$52x^2 = 8788$.
$x^2 = \frac{8788}{52} = 169$.
$x = \sqrt{169} = 13$.
તેથી,લંબાઈ $l = 4x = 4 \times 13 = 52 \text{ cm}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $1$ હેક્ટર $= 10000\, m^2$.
વરસાદની ઊંચાઈ $10\, cm$ છે.
ઊંચાઈને મીટરમાં ફેરવતા: $10\, cm = \frac{10}{100}\, m = 0.1\, m$ અથવા $\frac{1}{10}\, m$.
પાણીનું ઘનફળ $= \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઊંચાઈ}$ દ્વારા ગણવામાં આવે છે.
ઘનફળ $= 10000\, m^2 \times 0.1\, m = 1000\, m^3$.

(C) જ્યારે ગોળાને તારમાં ફેરવવામાં આવે છે ત્યારે પદાર્થનું ઘનફળ સમાન રહે છે.
ગોળાનું ઘનફળ = નળાકાર તારનું ઘનફળ
$\frac{4}{3} \pi r^3 = \pi R^2 h$
આપેલ છે: ગોળાની ત્રિજ્યા $r = 4 \, cm = 40 \, mm$. તારનો વ્યાસ = $4 \, mm$,તેથી તારની ત્રિજ્યા $R = 2 \, mm$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{4}{3} \times \pi \times (40)^3 = \pi \times (2)^2 \times h$
$\frac{4}{3} \times 64000 = 4 \times h$
$h = \frac{64000}{3} \approx 21333.33 \, mm$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,લંબાઈ $21333 \, mm$ મળે છે.

(B) આપેલ છે:
અર્ધગોળાનો વ્યાસ $= 14 \, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 14/2 = 7 \, cm$.
પાત્રની કુલ ઊંચાઈ $= 13 \, cm$.
નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ $h = \text{કુલ ઊંચાઈ} - \text{અર્ધગોળાની ત્રિજ્યા} = 13 - 7 = 6 \, cm$.
પાત્રની ક્ષમતા $=$ નળાકારનું ઘનફળ $+$ અર્ધગોળાનું ઘનફળ
$= \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3$
$= \pi r^2 (h + \frac{2}{3} r)$
$= \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times (6 + \frac{2}{3} \times 7)$
$= 22 \times 7 \times (6 + \frac{14}{3})$
$= 154 \times (\frac{18 + 14}{3})$
$= 154 \times \frac{32}{3}$
$= \frac{4928}{3} \approx 1642.67 \, cm^3$.

(A) છાયાંકિત ભાગ એ બે સમકેન્દ્રી વર્તુળો વચ્ચેનો વિસ્તાર છે.
વર્તુળ $P$ ની ત્રિજ્યા $(R)$ = $\frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{2 \ m}{2} = 1 \ m$.
વર્તુળ $Q$ ની ત્રિજ્યા $(r)$ = $\frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{1 \ m}{2} = 0.5 \ m$.
છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ = વર્તુળ $P$ નું ક્ષેત્રફળ - વર્તુળ $Q$ નું ક્ષેત્રફળ.
ક્ષેત્રફળ = $\pi R^2 - \pi r^2 = \pi(1)^2 - \pi(0.5)^2$.
ક્ષેત્રફળ = $\pi - 0.25\pi = 0.75\pi = \frac{3}{4} \pi \ m^2$.

(C) ધારો કે દરેક વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે.
આપેલ છે કે દરેક વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^{2} = 2 \pi$ છે.
બંને બાજુ $\pi$ વડે ભાગતા,આપણને $r^{2} = 2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r = \sqrt{2}$.
દરેક વર્તુળનો વ્યાસ $d = 2r = 2\sqrt{2}$ છે.
આકૃતિ પરથી,ચોરસ $QRST$ ની બાજુની લંબાઈ બે વર્તુળોના વ્યાસના સરવાળા જેટલી છે,તેથી બાજુની લંબાઈ $s = 2d = 2(2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}$ છે.
ચોરસ $QRST$ નું ક્ષેત્રફળ $s^{2} = (4\sqrt{2})^{2} = 16 \times 2 = 32$ ચોરસ એકમ છે.

(B) $1$. મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા $(R)$ = $y$.
$2$. મોટા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = $\pi R^{2} = \pi y^{2}$.
$3$. નાના વર્તુળનો વ્યાસ $(d)$ = $y$,તેથી તેની ત્રિજ્યા $(r)$ = $\frac{y}{2}$.
$4$. નાના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = $\pi r^{2} = \pi (\frac{y}{2})^{2} = \frac{\pi y^{2}}{4}$.
$5$. છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ એ મોટા વર્તુળના ક્ષેત્રફળમાંથી નાના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે.
$6$. છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ = $\pi y^{2} - \frac{\pi y^{2}}{4} = \frac{4\pi y^{2} - \pi y^{2}}{4} = \frac{3}{4} \pi y^{2}$.

(A) $OP$ અને $OQ$ સમાન બાજુઓ છે કારણ કે તે વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ છે. તેથી,$\Delta POQ$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોવાથી,આપણી પાસે $\angle OPQ = \angle OQP = 51^{\circ}$ છે.
$\Delta POQ$ માં,બધા આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$y + 51^{\circ} + 51^{\circ} = 180^{\circ}$.
$y + 102^{\circ} = 180^{\circ}$.
$y = 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ}$.

(A) ધારો કે લંબચોરસ પ્લોટની પહોળાઈ $b \ m$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્લોટની લંબાઈ $3b \ m$ છે.
લંબચોરસના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $3b \times b = 7803$.
$3b^2 = 7803$.
બંને બાજુ $3$ વડે ભાગતા: $b^2 = \frac{7803}{3} = 2601$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $b = \sqrt{2601} = 51$.
તેથી,લંબચોરસ પ્લોટની પહોળાઈ $51 \ m$ છે.

(D) ધારો કે લંબચોરસ પ્લોટની લંબાઈ $8x$ અને પહોળાઈ $5x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પહોળાઈ એ લંબાઈ કરતા $60\, m$ ઓછી છે:
$8x - 5x = 60$
$3x = 60$
$x = 20\, m$
હવે,લંબાઈ અને પહોળાઈની ગણતરી કરો:
લંબાઈ $= 8 \times 20 = 160\, m$
પહોળાઈ $= 5 \times 20 = 100\, m$
લંબચોરસની પરિમિતિનું સૂત્ર $P = 2 \times (\text{લંબાઈ} + \text{પહોળાઈ})$ છે.
$P = 2 \times (160 + 100) = 2 \times 260 = 520\, m$.

(B) ધારો કે લંબચોરસની પહોળાઈ $b \, m$ છે.
આપેલ છે કે લંબાઈ $l = 2b$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $l \times b = 18 \, m^2$ દ્વારા મળે છે.
$l = 2b$ મૂકતા,આપણને $(2b) \times b = 18$ મળે છે.
$2b^2 = 18 \Rightarrow b^2 = 9 \Rightarrow b = 3 \, m$.
આમ,લંબાઈ $l = 2 \times 3 = 6 \, m$ છે.
લંબચોરસની પરિમિતિ $2(l + b)$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
પરિમિતિ $= 2(6 + 3) = 2(9) = 18 \, m$.

(B) ધારો કે લંબચોરસની પહોળાઈ $b$ મીટર છે.
આપેલ છે કે લંબાઈ તેની પહોળાઈ કરતાં બમણી છે,તેથી લંબાઈ $l = 2b$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $Area = l \times b$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $18 = (2b) \times b$.
$18 = 2b^{2}$.
$b^{2} = 9$.
$b = 3 \, m$ (કારણ કે પહોળાઈ ઋણ ન હોઈ શકે).
તેથી,લંબાઈ $l = 2 \times 3 = 6 \, m$.
લંબચોરસની પરિમિતિનું સૂત્ર $P = 2(l + b)$ છે.
$P = 2(6 + 3) = 2(9) = 18 \, m$.

(D) ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે અને લંબચોરસની લંબાઈ $l$ અને પહોળાઈ $b$ છે.
ચોરસની પરિમિતિ = $4a$.
લંબચોરસની પરિમિતિ = $2(l + b)$.
પ્રશ્ન મુજબ,$4a = 2 \times [2(l + b)]$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $4a = 4(l + b)$ મળે,એટલે કે $a = l + b$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $l \times b = 240 \, cm^2$ આપેલું છે.
આપણે ચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે,જે $a^2 = (l + b)^2 = l^2 + b^2 + 2lb$ થાય.
અહીં આપણી પાસે માત્ર $lb = 240$ ની કિંમત છે,તેથી $l$ અને $b$ ની અલગ-અલગ કિંમતો અથવા તેમનો સરવાળો જાણ્યા વગર $l^2 + b^2$ ની કિંમત નક્કી કરી શકાતી નથી. આમ,ચોરસનું ક્ષેત્રફળ નિશ્ચિત રીતે શોધી શકાતું નથી.

(C) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r\, cm$ છે.
વર્તુળના પરિઘનું સૂત્ર $C = 2\pi r$ છે.
આપેલ છે કે $C = 88\, cm$,તેથી $2 \times \frac{22}{7} \times r = 88$.
$r$ માટે ઉકેલતા: $r = \frac{88 \times 7}{2 \times 22} = \frac{88 \times 7}{44} = 2 \times 7 = 14\, cm$.
વર્તુળના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \pi r^2$ છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા: $A = \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 22 \times 2 \times 14 = 44 \times 14 = 616\, Sq\, cm$.

(C) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r \, cm$ છે.
વર્તુળના પરિઘનું સૂત્ર $C = 2 \pi r$ છે.
આપેલ છે કે $C = 22 \, cm$,તેથી $2 \times \frac{22}{7} \times r = 22$.
$r$ માટે ઉકેલતા: $r = \frac{22 \times 7}{2 \times 22} = \frac{7}{2} = 3.5 \, cm$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા: $A = \frac{22}{7} \times (3.5)^2 = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 = 22 \times 0.5 \times 3.5 = 11 \times 3.5 = 38.5 \, sq \, cm$.

(C) ધારો કે બે વર્તુળોની ત્રિજ્યા અનુક્રમે $r_1$ અને $r_2$ છે.
વર્તુળનો પરિઘ $C = 2\pi r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાના વર્તુળ માટે: $2 \times \frac{22}{7} \times r_1 = 132 \Rightarrow r_1 = \frac{132 \times 7}{44} = 21\, m$.
મોટા વર્તુળ માટે: $2 \times \frac{22}{7} \times r_2 = 176 \Rightarrow r_2 = \frac{176 \times 7}{44} = 28\, m$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળમાં તફાવત $= \pi r_2^2 - \pi r_1^2 = \pi(r_2^2 - r_1^2)$.
તફાવત $= \frac{22}{7} \times (28^2 - 21^2) = \frac{22}{7} \times (28 - 21)(28 + 21)$.
તફાવત $= \frac{22}{7} \times 7 \times 49 = 22 \times 49 = 1078\, sq\, m$.

(A) વર્તુળાકાર પ્લોટનો પરિઘ વાડ કરવાના કુલ ખર્ચને પ્રતિ મીટરના દર વડે ભાગીને મેળવવામાં આવે છે:
પરિઘ $= \frac{3300}{15} = 220 \ m$.
પરિઘના સૂત્ર $C = 2\pi r$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે ત્રિજ્યા $r$ શોધીએ છીએ:
$220 = 2 \times \frac{22}{7} \times r$
$r = \frac{220 \times 7}{44} = 5 \times 7 = 35 \ m$.
વર્તુળાકાર પ્લોટનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા મળે છે:
$A = \frac{22}{7} \times 35 \times 35 = 22 \times 5 \times 35 = 3850 \ m^2$.
ભોંયતળિયું બનાવવાનો ખર્ચ એ ક્ષેત્રફળ અને પ્રતિ ચોરસ મીટરના દરનો ગુણાકાર છે:
ખર્ચ $= 3850 \times 100 = Rs. 385000$.

(A) લંબચોરસની પરિમિતિ $= 2 \times (8 + 7) = 2 \times 15 = 30\, cm$.
ચોરસની પરિમિતિ $= 2 \times 30 = 60\, cm$.
ચોરસની બાજુ $= \frac{60}{4} = 15\, cm$.
અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ $= 15\, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{15}{2} = 7.5\, cm$.
અર્ધવર્તુળનો પરિઘ $= \pi r + d = \pi r + 2r = r(\pi + 2)$.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,પરિઘ $= 7.5 \times (3.1428 + 2) = 7.5 \times 5.1428 = 38.57\, cm$.

(D) ધારો કે લંબચોરસ પ્લોટની લંબાઈ $L \, m$ છે.
આપેલ છે કે પહોળાઈ $B = L \text{ ના } 75 \% = 0.75L = \frac{3}{4}L$.
લંબચોરસની પરિમિતિનું સૂત્ર $P = 2(L + B)$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $2(L + \frac{3}{4}L) = 1050$.
$2(\frac{7}{4}L) = 1050$.
$\frac{7}{2}L = 1050$.
$L = \frac{1050 \times 2}{7} = 150 \times 2 = 300 \, m$.
હવે,પહોળાઈ શોધો: $B = \frac{3}{4} \times 300 = 3 \times 75 = 225 \, m$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = L \times B = 300 \times 225 = 67500 \, m^2$ થાય.

(D) ધારો કે દરેક સિક્કાની ત્રિજ્યા $r = 1\, cm$ છે.
જ્યારે આવા ચાર સિક્કાઓને એવી રીતે ગોઠવવામાં આવે કે દરેક સિક્કો બીજા બે સિક્કાઓને સ્પર્શે,ત્યારે તેમના કેન્દ્રો એક ચોરસ બનાવે છે જેની બાજુની લંબાઈ $s = 2r = 2\, cm$ છે.
આ ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $s^2 = (2)^2 = 4\, cm^2$ થાય.
આ ચોરસની અંદર ચાર વૃતાંશ (sectors) છે,જેનો દરેકનો કેન્દ્રિય ખૂણો $90^\circ$ છે (કારણ કે તે ચોરસ છે).
આ ચાર વૃતાંશના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો $4 \times (\frac{90}{360} \times \pi r^2) = \pi r^2 = \pi(1)^2 = \pi \approx 3.14\, cm^2$ થાય.
સિક્કાઓ વચ્ચેની ખાલી જગ્યા એ ચોરસના ક્ષેત્રફળમાંથી ચાર વૃતાંશના ક્ષેત્રફળને બાદ કરતાં મળે છે.
ખાલી જગ્યા $= 4 - \pi = 4 - 3.14 = 0.86\, cm^2$.

(B) કાપવાનું કુલ અંતર $= 11 \text{ km} = 11000 \text{ m}$ છે.
પૈડાની ત્રિજ્યા $r = 1 \frac{3}{4} \text{ m} = \frac{7}{4} \text{ m}$ છે.
પૈડાનો પરિઘ $C = 2 \pi r$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$C = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{4} = 11 \text{ m}$ મળે.
પરિભ્રમણની સંખ્યા શોધવા માટે કુલ અંતરને પૈડાના પરિઘ વડે ભાગવામાં આવે છે.
પરિભ્રમણની સંખ્યા $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{પરિઘ}} = \frac{11000}{11} = 1000$.

(B) ધારો કે રૂમની ઊંચાઈ $h \text{ m}$ છે.
ચાર દીવાલોનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times (7 + 5) \times h = 24h \text{ m}^2$.
કાગળ લગાવવાનું ક્ષેત્રફળ $= (24h - 5) \text{ m}^2$.
કાગળની પહોળાઈ $= 75 \text{ cm} = 0.75 \text{ m}$.
કાગળના એક ટુકડાનું ક્ષેત્રફળ $= 13 \text{ m} \times 0.75 \text{ m} = 9.75 \text{ m}^2$.
જરૂરી ટુકડાઓની સંખ્યા $= \frac{24h - 5}{9.75}$.
એક ટુકડાનો ખર્ચ $= ₹ 4.20$.
કુલ ખર્ચ $= \frac{24h - 5}{9.75} \times 4.20 = 39.20$.
$\frac{24h - 5}{9.75} = \frac{39.20}{4.20} = \frac{392}{42} = \frac{28}{3}$.
$3(24h - 5) = 28 \times 9.75$.
$72h - 15 = 273$.
$72h = 288$.
$h = 4 \text{ m}$.

(NONE) ધારો કે ઓરડાની ઊંચાઈ $h \text{ m}$ છે.
ચાર દીવાલોનું ક્ષેત્રફળ $= 2(l + b) \times h = 2(7 + 5) \times h = 24h \text{ m}^2$.
કાગળ લગાવવાનો વિસ્તાર $= (24h - 5) \text{ m}^2$.
કાગળની પહોળાઈ $= 75 \text{ cm} = 0.75 \text{ m}$.
કાગળના એક ટુકડાની લંબાઈ $= 13 \text{ m}$.
કાગળના એક ટુકડાનું ક્ષેત્રફળ $= 13 \times 0.75 = 9.75 \text{ m}^2$.
એક ટુકડાનો ખર્ચ $= ₹ 4.20$.
કુલ ખર્ચ $= ₹ 39.20$.
જરૂરી ટુકડાઓની સંખ્યા $= \frac{39.20}{4.20} = \frac{392}{42} = \frac{28}{3} \text{ ટુકડા}$.
કાગળનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= \frac{28}{3} \times 9.75 = 28 \times 3.25 = 91 \text{ m}^2$.
ક્ષેત્રફળને સરખાવતા: $24h - 5 = 91$.
$24h = 96$.
$h = 4 \text{ m}$.
$1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$ હોવાથી,ઊંચાઈ $400 \text{ cm}$ થાય.

(B) સમબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$,જ્યાં $d_1$ અને $d_2$ એ વિકર્ણોની લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $d_1 = 10 \text{ cm}$ અને $d_2 = 12 \text{ cm}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times 10 \times 12$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times 120$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 60 \text{ cm}^2$.

(C) ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે.
આપેલ છે કે ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $a^2 = 69696 \text{ cm}^2$ છે.
બાજુની લંબાઈ $a$ શોધવા માટે,આપણે વર્ગમૂળ લઈએ: $a = \sqrt{69696} = 264 \text{ cm}$.
ચોરસના વિકર્ણનું સૂત્ર $d = a\sqrt{2}$ છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા: $d = 264 \times \sqrt{2}$.
$\sqrt{2} \approx 1.41421356$ ની કિંમતનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $d = 264 \times 1.41421356 = 373.35237984 \text{ cm}$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $373.296$ છે.

(C) ધારો કે બે ચોરસની બાજુઓ અનુક્રમે $a_1$ અને $a_2$ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $\text{Area} = a^2$ છે.
આપેલ ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{a_1^2}{a_2^2} = \frac{225}{256}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને મળે: $\frac{a_1}{a_2} = \sqrt{\frac{225}{256}} = \frac{15}{16}$.
ચોરસની પરિમિતિ શોધવાનું સૂત્ર $P = 4a$ છે.
તેમની પરિમિતિનો ગુણોત્તર: $\frac{P_1}{P_2} = \frac{4a_1}{4a_2} = \frac{a_1}{a_2} = \frac{15}{16}$.
આમ,તેમની પરિમિતિનો ગુણોત્તર $15:16$ છે.

(C) ધારો કે ચોરસ પ્લોટની બાજુ $a$ છે.
બે કિનારીઓ પર કાપેલું અંતર $= a + a = 2a$.
વિકર્ણ પર કાપેલું અંતર $= a\sqrt{2}$.
બચાવેલું અંતર $= 2a - a\sqrt{2} = a(2 - \sqrt{2})$.
બચાવેલ ટકાવારી $= \frac{\text{બચાવેલ અંતર}}{\text{કિનારીઓ પરનું કુલ અંતર}} \times 100$.
બચાવેલ ટકાવારી $= \frac{a(2 - \sqrt{2})}{2a} \times 100 = \frac{2 - 1.414}{2} \times 100$.
બચાવેલ ટકાવારી $= \frac{0.586}{2} \times 100 = 0.293 \times 100 = 29.3 \%$.
નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યામાં લેતા,બચાવેલ ટકાવારી આશરે $30 \%$ છે.

(B) ધારો કે રસ્તાની પહોળાઈ $x \, m$ છે.
બગીચાનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 60 \times 40 = 2400 \, m^2$.
લૉનનું ક્ષેત્રફળ $= 2109 \, m^2$.
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $= \text{કુલ ક્ષેત્રફળ} - \text{લૉનનું ક્ષેત્રફળ} = 2400 - 2109 = 291 \, m^2$.
બે રસ્તાઓનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $x(L + W - x) = \text{રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ}$, જ્યાં $L = 60 \, m$ અને $W = 40 \, m$.
$x(60 + 40 - x) = 291$
$x(100 - x) = 291$
$100x - x^2 = 291$
$x^2 - 100x + 291 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતા:
$x = \frac{100 \pm \sqrt{(-100)^2 - 4(1)(291)}}{2(1)}$
$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 1164}}{2}$
$x = \frac{100 \pm \sqrt{8836}}{2}$
$x = \frac{100 \pm 94}{2}$
$x_1 = \frac{194}{2} = 97$ (શક્ય નથી કારણ કે પહોળાઈ બગીચાના પરિમાણ કરતા વધારે ન હોઈ શકે)
$x_2 = \frac{6}{2} = 3$
તેથી, રસ્તાની પહોળાઈ $3 \, m$ છે.

(A) ધારો કે મૂળ લંબાઈ $L$ છે અને મૂળ પહોળાઈ $W$ છે. મૂળ ક્ષેત્રફળ $A = L \times W$ છે.
નવી લંબાઈ $L' = L + 0.60L = 1.6L$ થાય.
ધારો કે નવી પહોળાઈ $W'$ છે. ક્ષેત્રફળ સમાન રાખવા માટે,$L' \times W' = L \times W$ થવું જોઈએ.
$1.6L \times W' = L \times W \implies W' = \frac{W}{1.6} = 0.625W$.
પહોળાઈમાં ઘટાડો $W - 0.625W = 0.375W$ છે.
ટકાવારીમાં ઘટાડો $\frac{0.375W}{W} \times 100 = 37.5 \%$ થાય.
$37.5 = 37 \frac{1}{2}$ હોવાથી,પહોળાઈમાં $37 \frac{1}{2} \%$ નો ઘટાડો કરવો પડે.

(C) ધારો કે બંને પૈડાં દ્વારા પ્રતિ સેકન્ડ કરવામાં આવતા પરિભ્રમણની સંખ્યા $n$ છે.
નાના પૈડાનો પરિઘ $(d_1 = 7\, cm)$ $C_1 = \pi d_1 = 7\pi\, cm$ છે.
મોટા પૈડાનો પરિઘ $(d_2 = 14\, cm)$ $C_2 = \pi d_2 = 14\pi\, cm$ છે.
$10\, \text{સેકન્ડ}$ માં નાના પૈડા દ્વારા કાપેલું અંતર $D_1 = n \times C_1 \times 10 = n \times 7\pi \times 10 = 70n\pi\, cm$ છે.
$10\, \text{સેકન્ડ}$ માં મોટા પૈડા દ્વારા કાપેલું અંતર $D_2 = n \times C_2 \times 10 = n \times 14\pi \times 10 = 140n\pi\, cm$ છે.
તેઓ $10\, \text{સેકન્ડ}$ પછી મળે છે,તેથી કાપેલા અંતરનો સરવાળો $X$ અને $Y$ વચ્ચેના કુલ અંતર જેટલો થાય છે:
$D_1 + D_2 = 1980$
$70n\pi + 140n\pi = 1980$
$210n\pi = 1980$
$n = \frac{1980}{210\pi} = \frac{198}{21\pi} = \frac{66}{7\pi}$ પરિભ્રમણ પ્રતિ સેકન્ડ.
નાના પૈડાની ઝડપ $v_1 = n \times C_1 = \left(\frac{66}{7\pi}\right) \times 7\pi = 66\, cm/sec$ છે.

(B) વર્તુળાકાર મેદાનનો પરિઘ $C = 2 \pi r = 2 \pi \times 50 = 100 \pi\, m$ છે。
$20$ ચક્કર માટે, કાપવાનું કુલ અંતર $D = 20 \times 100 \pi = 2000 \pi\, m$ થશે。
માણસની ઝડપ $12\, km/hr$ છે। તેને $m/s$ માં ફેરવતા:
$v = 12 \times \frac{5}{18} = \frac{10}{3}\, m/s$。
સેકન્ડમાં લાગતો સમય $T = \frac{D}{v} = \frac{2000 \pi}{10/3} = 2000 \pi \times \frac{3}{10} = 600 \pi\, s$。
સમયને મિનિટમાં ફેરવતા:
$T_{min} = \frac{600 \pi}{60} = 10 \pi\, \text{મિનિટ}$。
$\pi \approx 3.14$ લેતા, $T_{min} = 10 \times 3.14 = 31.4\, \text{મિનિટ}$。
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, લાગતો સમય આશરે $32\, \text{મિનિટ}$ છે。

(C) ધારો કે લંબચોરસની પહોળાઈ $x\, cm$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,લંબાઈ તેની પહોળાઈ કરતા $60\%$ વધારે છે,તેથી લંબાઈ $x + 0.60x = 1.6x\, cm$ થાય.
લંબાઈ અને પહોળાઈ વચ્ચેનો તફાવત $24\, cm$ આપેલ છે.
તેથી,$1.6x - x = 24$.
$0.6x = 24$.
$x = \frac{24}{0.6} = 40\, cm$.
આમ,પહોળાઈ $40\, cm$ છે અને લંબાઈ $1.6 \times 40 = 64\, cm$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 64 \times 40 = 2560\, cm^2$ થાય.

(D) ધારો કે લંબચોરસ પ્લોટની પહોળાઈ $x \ m$ છે.
તેથી,પ્લોટની લંબાઈ $(x + 20) \ m$ થશે.
લંબચોરસની પરિમિતિનું સૂત્ર $P = 2 \times (\text{લંબાઈ} + \text{પહોળાઈ})$ છે.
$P = 2 \times ((x + 20) + x) = 2 \times (2x + 20) = (4x + 40) \ m$.
વાડ કરવાનો કુલ ખર્ચ $₹ 5300$ છે અને દર $₹ 26.50/m$ છે.
તેથી,$\text{પરિમિતિ} = \frac{\text{કુલ ખર્ચ}}{\text{દર}} = \frac{5300}{26.50} = 200 \ m$.
પરિમિતિને સરખાવતા: $4x + 40 = 200$.
$4x = 200 - 40 = 160$.
$x = 40 \ m$ (પહોળાઈ).
લંબાઈ $= x + 20 = 40 + 20 = 60 \ m$.

(B) ધારો કે ઘરની દીવાલને સમાંતર બાજુની લંબાઈ $l$ છે અને બાકીની બે બાજુઓની પહોળાઈ $b$ છે.
લંબચોરસ બગીચાનું ક્ષેત્રફળ $A = l \times b = 100 \, m^2$ છે.
ત્રણ બાજુઓ માટે વપરાયેલ કાંટાળી તારની કુલ લંબાઈ $l + 2b = 30 \, m$ છે.
ક્ષેત્રફળના સમીકરણ પરથી,$l = 100/b$.
આ કિંમતને પરિમિતિના સમીકરણમાં મૂકતા: $(100/b) + 2b = 30$.
$b$ વડે ગુણતા: $100 + 2b^2 = 30b$,જેનું સાદું રૂપ $2b^2 - 30b + 100 = 0$ થાય છે.
$2$ વડે ભાગતા: $b^2 - 15b + 50 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(b - 10)(b - 5) = 0$.
આમ,$b = 10$ અથવા $b = 5$.
જો $b = 5 \, m$ હોય,તો $l = 100/5 = 20 \, m$. પરિમિતિ તપાસતા: $20 + 2(5) = 30 \, m$ (સાચું છે).
જો $b = 10 \, m$ હોય,તો $l = 100/10 = 10 \, m$. પરિમિતિ તપાસતા: $10 + 2(10) = 30 \, m$ (સાચું છે).
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$20 \, m \times 5 \, m$ પરિમાણો યોગ્ય છે.

(B) લંબચોરસનું મૂળ ક્ષેત્રફળ $A_1 = a \times b = ab$ છે.
નવી પહોળાઈ $a' = a - 0.20a = 0.80a$ છે.
નવી લંબાઈ $b' = b + 0.10b = 1.10b$ છે.
નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = a' \times b' = (0.80a) \times (1.10b) = 0.88ab$ છે.
નવા ક્ષેત્રફળને મૂળ ક્ષેત્રફળના ટકા તરીકે દર્શાવવા માટે,આપણે $(A_2 / A_1) \times 100 = (0.88ab / ab) \times 100 = 88 \%$ ગણીએ છીએ.
તેથી,નવા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ મૂળ ક્ષેત્રફળ $ab$ ના $88 \%$ છે.

(D) ધારો કે સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે,જેમાં બાજુ $AB = 26 \ cm$ અને વિકર્ણ $AC = 48 \ cm$ છે. સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે,જે બિંદુ $O$ પર છે.
તેથી,$OA = OC = \frac{48}{2} = 24 \ cm$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta OAB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$(OB)^2 = (AB)^2 - (OA)^2$
$(OB)^2 = (26)^2 - (24)^2$
$(OB)^2 = (26 - 24)(26 + 24) = 2 \times 50 = 100$
$OB = \sqrt{100} = 10 \ cm$.
બીજો વિકર્ણ $BD = 2 \times OB = 2 \times 10 = 20 \ cm$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 48 \times 20 = 480 \ cm^2$.

(D) લંબચોરસની પરિમિતિ $P = 2(l + b) = 2(18 + 26) = 2(44) = 88 \, cm$ છે.
વર્તુળની પરિમિતિ લંબચોરસની પરિમિતિ જેટલી હોવાથી,$2 \pi r = 88 \, cm$ થાય.
ત્રિજ્યા $r$ શોધતા,$r = \frac{88}{2 \pi} = \frac{44}{\pi} \, cm$ મળે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,$A = \pi \left( \frac{44}{\pi} \right)^2 = \pi \times \frac{44 \times 44}{\pi^2} = \frac{44 \times 44}{\pi}$ મળે.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા,$A = \frac{44 \times 44 \times 7}{22} = 2 \times 44 \times 7 = 616 \, cm^2$ થાય.

(A) વર્તુળાકાર મેદાનનો વ્યાસ $35 \ m$ છે,તેથી મેદાનની ત્રિજ્યા $(r)$ $35 / 2 = 17.5 \ m$ થાય.
બગીચો મેદાનની આસપાસ $1.4 \ m$ પહોળો છે,તેથી બહારના વર્તુળની ત્રિજ્યા $(R)$ $17.5 + 1.4 = 18.9 \ m$ થાય.
બગીચાનું ક્ષેત્રફળ એ બહારના વર્તુળના ક્ષેત્રફળ અને અંદરના વર્તુળાકાર મેદાનના ક્ષેત્રફળ વચ્ચેનો તફાવત છે.
બગીચાનું ક્ષેત્રફળ $= \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2) = \pi (R + r)(R - r)$.
બગીચાનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{22}{7} \times (18.9 + 17.5) \times (18.9 - 17.5)$.
બગીચાનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{22}{7} \times 36.4 \times 1.4$.
બગીચાનું ક્ષેત્રફળ $= 22 \times 36.4 \times 0.2 = 22 \times 7.28 = 160.16 \ m^2$.

(C) વર્તુળના પરિઘનું સૂત્ર $C = 2 \pi r$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
અહીં $2 \pi$ અચળ હોવાથી,પરિઘ $C$ એ ત્રિજ્યા $r$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(C \propto r)$.
જો ત્રિજ્યા $r$ માં $75 \%$ નો વધારો કરવામાં આવે,તો નવી ત્રિજ્યા $r'$ એ $r + 0.75r = 1.75r$ થશે.
નવો પરિઘ $C'$ એ $2 \pi (1.75r) = 1.75(2 \pi r) = 1.75C$ થશે.
પરિઘમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{C' - C}{C} \times 100 = \frac{1.75C - C}{C} \times 100 = 0.75 \times 100 = 75 \%$ મળે.
આમ,પરિઘમાં $75 \%$ નો વધારો થશે.

(C) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુ $a$ છે અને ચોરસની બાજુ $b$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $X = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે અને તેની પરિમિતિ $P = 3a$ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $Y = b^2$ છે અને તેની પરિમિતિ $P = 4b$ છે.
બંનેની પરિમિતિ સમાન હોવાથી,$3a = 4b$,જેનો અર્થ છે કે $b = \frac{3a}{4}$.
હવે,$Y = b^2 = (\frac{3a}{4})^2 = \frac{9a^2}{16}$.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ પરથી,આપણી પાસે $a^2 = \frac{4X}{\sqrt{3}}$ છે.
આ કિંમત $Y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,$Y = \frac{9}{16} \times \frac{4X}{\sqrt{3}} = \frac{9X}{4\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}X}{4}$ મળે છે.
ચૂક $\sqrt{3} \approx 1.732$ હોવાથી,$Y \approx \frac{3 \times 1.732}{4} X = 1.299X$ થાય છે.
તેથી,$Y > X$,જેનો અર્થ છે કે $X < Y$.

(D) ધારો કે ચોરસની બાજુ $x$ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = x^2$ છે.
આપેલ છે કે બાજુ માપવામાં $2 \%$ ભૂલ થાય છે,તેથી નવી બાજુ $x' = x + 0.02x = 1.02x$ થશે.
નવું ક્ષેત્રફળ $A' = (1.02x)^2 = 1.0404x^2$ થશે.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = A' - A = 1.0404x^2 - x^2 = 0.0404x^2$ છે.
ક્ષેત્રફળમાં ભૂલની ટકાવારી $\frac{\Delta A}{A} \times 100 = \frac{0.0404x^2}{x^2} \times 100 = 4.04 \%$ છે.

(C) ધારો કે મૂળ વ્યાસ $D$ છે અને મૂળ પરિઘ $C = \pi D$ છે.
$8$ આંટા મારવા માટે લાગતો સમય = $40$ મિનિટ.
$1$ આંટો મારવા માટે લાગતો સમય = $40 / 8 = 5$ મિનિટ.
ઝડપ $v = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{C}{5} = \frac{\pi D}{5}$.
નવો વ્યાસ $D' = 10D$.
નવો પરિઘ $C' = \pi D' = 10 \pi D = 10C$.
ઝડપ $v$ સમાન રહેતી હોવાથી,$1$ આંટો પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો નવો સમય $T'$:
$T' = \frac{C'}{v} = \frac{10C}{C/5} = 10 \times 5 = 50$ મિનિટ.

(C) ધારો કે પરિમિતિ $P$ છે. પરિમિતિ સમાન હોવાથી,$3a = 4b = 2\pi r = P$,જ્યાં $a$ એ ત્રિકોણની બાજુ,$b$ એ ચોરસની બાજુ અને $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
$1$. સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ: $T = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{P}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{36} P^2 \approx 0.0481 P^2$.
$2$. ચોરસનું ક્ષેત્રફળ: $S = b^2 = \left(\frac{P}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} P^2 = 0.0625 P^2$.
$3$. વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ: $C = \pi r^2 = \pi \left(\frac{P}{2\pi}\right)^2 = \frac{P^2}{4\pi} \approx 0.0796 P^2$.
$P^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $0.0481 < 0.0625 < 0.0796$.
આમ,$T < S < C$.

(C) ધારો કે $r$ એ અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 11\, cm$,$b = 6\, cm$ અને $c = 15\, cm$ છે.
સૌ પ્રથમ,ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ $s$ શોધો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{11 + 6 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16\, cm$.
હવે,હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $(\Delta)$ શોધો:
$\Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$\Delta = \sqrt{16(16 - 11)(16 - 6)(16 - 15)}$
$\Delta = \sqrt{16 \times 5 \times 10 \times 1} = \sqrt{800} = 20 \sqrt{2}\, cm^2$.
અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા $r$ શોધવાનું સૂત્ર $r = \frac{\Delta}{s}$ છે.
$r = \frac{20 \sqrt{2}}{16} = \frac{5 \sqrt{2}}{4}\, cm$.

(D) વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 4\, cm$ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \pi \times (4)^2 = 16 \pi\, cm^2$.
ચોરસ વર્તુળમાં અંતર્ગત હોવાથી,ચોરસનો વિકર્ણ એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલો થાય.
વર્તુળનો વ્યાસ $= 2 \times r = 2 \times 4 = 8\, cm$.
ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે. ચોરસનો વિકર્ણ $a\sqrt{2}$ થાય.
તેથી,$a\sqrt{2} = 8$,જે આપણને $a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}\, cm$ આપે છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \times 2 = 32\, cm^2$.
વર્તુળ અને ચોરસ વચ્ચેના ભાગનું ક્ષેત્રફળ એ વર્તુળના ક્ષેત્રફળ અને ચોરસના ક્ષેત્રફળનો તફાવત છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $= (16 \pi - 32)\, cm^2$.

(C) આપેલ છે કે વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = 220 \text{ cm}^2$ છે.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,$\frac{22}{7} \times r^2 = 220$.
$r^2 = \frac{220 \times 7}{22} = 70$.
તેથી,$r = \sqrt{70} \text{ cm}$.
વર્તુળમાં અંતર્ગત ચોરસનો વિકર્ણ એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલો હોય છે.
વ્યાસ $d = 2r = 2\sqrt{70} \text{ cm}$.
ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે. ચોરસનો વિકર્ણ $a\sqrt{2}$ થાય.
તેથી,$a\sqrt{2} = 2\sqrt{70}$.
$a = \frac{2\sqrt{70}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{35}$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $a^2 = (2\sqrt{35})^2 = 4 \times 35 = 140 \text{ cm}^2$ થાય.

(C) ટાંકી એક ખુલ્લું લંબઘન છે. પ્લાસ્ટર કરવા માટેનો વિસ્તાર ચાર દીવાલો અને તળિયાનો સમાવેશ કરે છે.
ચાર દીવાલોનું ક્ષેત્રફળ $= 2(\text{લંબાઈ }+ \text{પહોળાઈ}) \times \text{ઊંચાઈ }= 2(25 + 12) \times 6 = 2(37) \times 6 = 444 \ m^2$.
તળિયાનું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ }\times \text{પહોળાઈ }= 25 \times 12 = 300 \ m^2$.
પ્લાસ્ટર કરવા માટેનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 444 + 300 = 744 \ m^2$.
પ્લાસ્ટર કરવાનો ખર્ચ $= 744 \times 0.75 \ Rs./m^2 = 744 \times \frac{3}{4} = 186 \times 3 = ₹ 558$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે અને અર્ધ-પરિમિતિ $s$ છે.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ એ પરિમિતિ જેટલું છે,તેથી $A = 2s$ થાય.
અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા $(r)$ શોધવાનું સૂત્ર $r = \frac{A}{s}$ છે.
સૂત્રમાં $A = 2s$ મૂકતા,આપણને $r = \frac{2s}{s} = 2$ મળે છે.
તેથી,અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા $2$ છે.

(C) $a = 42 \ cm$ બાજુ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા $r$ શોધવાનું સૂત્ર $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ છે.
$a = 42 \ cm$ મૂકતા:
$r = \frac{42}{2\sqrt{3}} = \frac{21}{\sqrt{3}} = 7\sqrt{3} \ cm$.
અંતઃવૃત્તનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2$ દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{22}{7} \times (7\sqrt{3})^2$
$= \frac{22}{7} \times 49 \times 3$
$= 22 \times 7 \times 3$
$= 462 \ cm^2$.