Measurement of Area Questions in Gujarati

(C) ધારો કે મૂળ સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુ $x$ છે.
મૂળ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાના સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુ $\frac{x}{6}$ છે.
એક નાના સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A_{small} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\frac{x}{6})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{x^2}{36}$ થાય.
બનતા નાના ત્રિકોણોની સંખ્યા એ મૂળ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ અને એક નાના ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર છે:
ત્રિકોણોની સંખ્યા $= \frac{A}{A_{small}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} x^2}{\frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{x^2}{36}} = 36$.

(C) ધારો કે ચોરસની બાજુ $= x$ છે.
જ્યારે ચોરસને તેની લંબાઈની દિશામાં વાળીને નળાકાર બનાવવામાં આવે છે,ત્યારે બાજુની લંબાઈ નળાકારના પાયાનો પરિઘ બને છે.
તેથી,પાયાનો પરિઘ $= 2 \pi r = x$.
આના પરથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{x}{2 \pi}$ મળે છે.
નળાકારની પાયાની ત્રિજ્યા અને ચોરસની બાજુનો જરૂરી ગુણોત્તર $\frac{r}{x}$ છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{\frac{x}{2 \pi}}{x} = \frac{1}{2 \pi}$ મળે છે.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,ગુણોત્તર $\frac{1}{2 \times \frac{22}{7}} = \frac{7}{44}$ થાય છે.
આમ,ગુણોત્તર $7: 44$ છે.

(A) વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= 1386 \, cm^2$.
વર્તુળના ક્ષેત્રફળના સૂત્ર મુજબ,$\pi r^2 = 1386$.
$\frac{22}{7} \times r^2 = 1386 \implies r^2 = \frac{1386 \times 7}{22} = 63 \times 7 = 441$.
તેથી,$r = \sqrt{441} = 21 \, cm$.
તારની લંબાઈ એ વર્તુળના પરિઘ જેટલી હોય છે: $C = 2 \pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 = 132 \, cm$.
જ્યારે આ તારને સમબાજુ ત્રિકોણમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તેની પરિમિતિ $132 \, cm$ રહે છે.
ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુ $a$ છે. તેથી $3a = 132$,જેનું મૂલ્ય $a = 44 \, cm$ મળે છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times 44 \times 44 = \sqrt{3} \times 11 \times 44 = 484 \sqrt{3} \, cm^2$.

(D) ધારો કે ગોળાકાર વાટકાની ત્રિજ્યા $r \, cm$ છે.
અર્ધગોળાકાર ભાગનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ (ઢાંકણ સિવાય) $2 \pi r^2 = 616 \, cm^2$ આપેલ છે.
$r^2 = \frac{616 \times 7}{2 \times 22} = \frac{308 \times 7}{22} = 14 \times 7 = 98 \, cm^2$.
$r = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \, cm$.
અર્ધગોળાકાર વાટકાનું ઘનફળ $V = \frac{2}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$V = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (7\sqrt{2})^3$.
$V = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 343 \times 2\sqrt{2}$.
$V = \frac{44}{21} \times 686\sqrt{2} = \frac{44 \times 98\sqrt{2}}{3} = \frac{4312\sqrt{2}}{3}$.
$\sqrt{2} \approx 1.414$ લેતા,$V \approx \frac{4312 \times 1.414}{3} \approx 2032.69 \, cm^3$.

(D) અર્ધગોળાકાર વાટકાની આંતરિક ત્રિજ્યા $R = \frac{54}{2} = 27 \ cm$ છે.
અર્ધગોળાકાર વાટકાનું ઘનફળ $V_{bowl} = \frac{2}{3} \pi R^3 = \frac{2}{3} \pi (27)^3 \ cm^3$ થાય.
એક નળાકાર બોટલનું ઘનફળ $V_{bottle} = \pi r^2 h = \pi (3)^2 (9) = 81 \pi \ cm^3$ થાય.
જરૂરી બોટલોની સંખ્યા પ્રવાહીના કુલ ઘનફળ અને એક બોટલના ઘનફળના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$\text{બોટલોની સંખ્યા} = \frac{V_{bowl}}{V_{bottle}} = \frac{\frac{2}{3} \pi (27)^3}{\pi (3)^2 (9)} = \frac{2}{3} \times \frac{27 \times 27 \times 27}{9 \times 9} = \frac{2}{3} \times \frac{19683}{81} = \frac{2}{3} \times 243 = 2 \times 81 = 162$.
તેથી,વાટકાને ખાલી કરવા માટે $162$ બોટલોની જરૂર પડશે.

(C) આપેલ છે કે ચોરસના વિકર્ણનું અડધું માપ $5 \, cm$ છે.
તેથી,વિકર્ણની કુલ લંબાઈ $d = 5 \times 2 = 10 \, cm$ થાય.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times d^{2}$.
વિકર્ણની કિંમત મૂકતા: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (10)^{2}$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times 100 = 50 \, cm^{2}$.

(C) ધારો કે ચોરસની મૂળ બાજુ $x$ છે.
તેથી,મૂળ ક્ષેત્રફળ $= x^2$ થાય.
જો બાજુમાં $50 \%$ નો વધારો કરવામાં આવે,તો નવી બાજુ $= x + 0.5x = 1.5x$ અથવા $\frac{3x}{2}$ થાય.
નવું ક્ષેત્રફળ $= (1.5x)^2 = 2.25x^2$ અથવા $\frac{9x^2}{4}$ થાય.
ક્ષેત્રફળમાં થયેલ વધારો $= 2.25x^2 - x^2 = 1.25x^2$ થાય.
ક્ષેત્રફળમાં થતો ટકાવારી વધારો $= \frac{\text{ક્ષેત્રફળમાં વધારો}}{\text{મૂળ ક્ષેત્રફળ}} \times 100 = \frac{1.25x^2}{x^2} \times 100 = 125 \%$.

(B) ધારો કે ચોરસની બાજુનું માપ $x$ છે।
તેથી, ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= x^2$ થાય।
ચોરસના વિકર્ણનું માપ શોધવાનું સૂત્ર $d = \sqrt{2} \times \text{બાજુ} = \sqrt{2}x$ છે।
તેના વિકર્ણ પર દોરેલા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= (\text{વિકર્ણ})^2 = (\sqrt{2}x)^2 = 2x^2$ થાય।
તેથી, મૂળ ચોરસના ક્ષેત્રફળ અને વિકર્ણ પર દોરેલા ચોરસના ક્ષેત્રફળનો જરૂરી ગુણોત્તર $\frac{x^2}{2x^2} = 1:2$ મળે છે।

(B) આપેલ વર્તુળનો વ્યાસ $= 10 \, cm$.
વર્તુળ ચોરસને પરિબદ્ધ કરતું હોવાથી,વર્તુળનો વ્યાસ એ ચોરસના વિકર્ણની લંબાઈ જેટલો થાય છે.
તેથી,ચોરસનો વિકર્ણ $= 10 \, cm$.
ધારો કે ચોરસની બાજુ $= x \, cm$ છે.
ચોરસના વિકર્ણ $d$ અને બાજુ $x$ વચ્ચેનો સંબંધ $d = x \sqrt{2}$ છે.
વિકર્ણની કિંમત મૂકતા,$10 = x \sqrt{2}$ મળે છે.
$x$ માટે ઉકેલતા,$x = \frac{10}{\sqrt{2}}$ મળે.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,$x = \frac{10 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{10 \sqrt{2}}{2} = 5 \sqrt{2} \, cm$.
આમ,ચોરસની બાજુ $5 \sqrt{2} \, cm$ છે.

(B) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે.
તેથી,વર્તુળનો વ્યાસ $= 2r$ થાય.
ચોરસ વર્તુળમાં અંતર્ગત હોવાથી,ચોરસનો વિકર્ણ એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલો થાય.
ચોરસનો વિકર્ણ $= 2r$.
ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે.
તેથી,$a\sqrt{2} = 2r$,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{2r}{\sqrt{2}} = r\sqrt{2}$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= a^2 = (r\sqrt{2})^2 = 2r^2$.
જરૂરી ગુણોત્તર $= \frac{\text{વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ}}{\text{ચોરસનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{\pi r^2}{2r^2} = \frac{\pi}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $\pi: 2$ છે.

(A) $1$. દીવાલનું કુલ કદ ઘન સેન્ટિમીટરમાં $(cm^3)$ શોધો:
દીવાલના પરિમાણો $12\, m \times 5\, m \times 0.25\, m$ છે.
સેમીમાં રૂપાંતર કરતા: $1200\, cm \times 500\, cm \times 25\, cm = 15,000,000\, cm^3$.
$2$. ઈંટો દ્વારા રોકાયેલ કદ શોધો:
રેતી અને સિમેન્ટનું મિશ્રણ કુલ કદના $5\%$ ભાગ રોકે છે,તેથી ઈંટો કુલ કદના $95\%$ ભાગ રોકે છે.
ઈંટોનું કદ $= 0.95 \times 15,000,000\, cm^3 = 14,250,000\, cm^3$.
$3$. એક ઈંટનું કદ શોધો:
કદ $= 25\, cm \times 12.5\, cm \times 7.5\, cm = 2343.75\, cm^3$.
$4$. જરૂરી ઈંટોની સંખ્યા શોધો:
ઈંટોની સંખ્યા $= \frac{\text{ઈંટોનું કુલ કદ}}{\text{એક ઈંટનું કદ}} = \frac{14,250,000}{2343.75} = 6080$.

(D) એક માણસ દ્વારા પાણીનું સરેરાશ વિસ્થાપન $8\, m^3$ છે.
$150$ માણસો દ્વારા પાણીનું કુલ વિસ્થાપન $150 \times 8\, m^3 = 1200\, m^3$ થાય.
ધારો કે પાણીના સ્તરમાં થતો વધારો $h$ મીટર છે.
વિસ્થાપિત પાણીનું કદ એ પૂલના ક્ષેત્રફળ અને ઊંચાઈમાં થયેલા વધારાના ગુણાકાર જેટલું હોય છે: $90\, m \times 40\, m \times h = 1200\, m^3$.
$3600 \times h = 1200$.
$h = \frac{1200}{3600} = \frac{1}{3}\, m$.
ઊંચાઈને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવવા માટે,$100$ વડે ગુણો: $h = \frac{1}{3} \times 100 = 33.33\, cm$.

(C) આંતરિક ત્રિજ્યા,$r = 10 \, cm$.
બાહ્ય ત્રિજ્યા,$R = 12 \, cm$.
કવચમાં ધાતુનું કદ $= \frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3)$.
કદ $= \frac{4}{3} \times 3.1416 \times (12^3 - 10^3) = \frac{4}{3} \times 3.1416 \times (1728 - 1000) = \frac{4}{3} \times 3.1416 \times 728 \, cm^3$.
કવચનું વજન $= \text{ધાતુનું કદ} \times \text{ધાતુની ઘનતા}$.
વજન $= (\frac{4}{3} \times 3.1416 \times 728) \times 4.9 = 3049.4432 \times 4.9 = 14942.27168 \, gm \approx 14942.28 \, gm$.

(D) કાઢવામાં આવેલી માટીનું ઘનફળ $= 10 \text{ m} \times 4.5 \text{ m} \times 3 \text{ m} = 135 \text{ m}^3$.
ખેતરનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 20 \text{ m} \times 9 \text{ m} = 180 \text{ m}^2$.
ખાડાનું ક્ષેત્રફળ $= 10 \text{ m} \times 4.5 \text{ m} = 45 \text{ m}^2$.
ખેતરનું બાકી રહેલું ક્ષેત્રફળ $= 180 \text{ m}^2 - 45 \text{ m}^2 = 135 \text{ m}^2$.
ધારો કે ખેતરની ઊંચાઈમાં થતો વધારો $h \text{ m}$ છે.
જેમ કે કાઢવામાં આવેલી માટી બાકીના વિસ્તારમાં પાથરવામાં આવે છે,તેથી કાઢવામાં આવેલી માટીનું ઘનફળ એ વધેલા સ્તરના ઘનફળ જેટલું થશે:
$135 \text{ m}^2 \times h \text{ m} = 135 \text{ m}^3$.
$h$ માટે ઉકેલતા:
$h = \frac{135}{135} = 1 \text{ m}$.
તેથી,ખેતરની ઊંચાઈમાં $1 \text{ m}$ નો વધારો થશે.

(A) ધારો કે પ્રથમ શંકુની ત્રિજ્યા અને તિર્યક ઊંચાઈ $r_1$ અને $l_1$ છે,અને બીજા શંકુ માટે $r_2$ અને $l_2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ બીજા શંકુ કરતા ત્રણ ગણું છે: $\pi r_1 l_1 = 3(\pi r_2 l_2)$.
વળી,આપેલ છે કે બીજા શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ પ્રથમ શંકુ કરતા ત્રણ ગણી છે: $l_2 = 3l_1$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $l_2$ ની કિંમત મૂકતા: $\pi r_1 l_1 = 3(\pi r_2 \cdot 3l_1)$.
સાદુરૂપ આપતા: $r_1 l_1 = 9 r_2 l_1$.
બંને બાજુ $l_1$ વડે ભાગતા: $r_1 = 9r_2$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{r_1}{r_2} = 9$.
તેમના પાયાના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = 9^2 = 81$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $81:1$ છે.

(C) ત્રણ વર્તુળોના કેન્દ્રો એક સમબાજુ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ બનાવે છે,જેની દરેક બાજુની લંબાઈ $a = 1 + 1 = 2\, cm$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{\sqrt{3}}{4} \times (2)^2 = \sqrt{3}\, cm^2$.
સમબાજુ ત્રિકોણનો દરેક ખૂણો $60^{\circ}$ હોય છે.
$r$ ત્રિજ્યા અને $\theta$ ખૂણાવાળા વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$ છે.
અહીં,$r = 1\, cm$ અને $\theta = 60^{\circ}$ છે.
એક વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi (1)^2 = \frac{1}{6} \pi\, cm^2$.
ત્રિકોણની અંદર આવા ત્રણ વૃત્તાંશ હોવાથી,ત્રણેય વૃત્તાંશનું કુલ ક્ષેત્રફળ = $3 \times \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}\, cm^2$.
છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ એ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળમાંથી ત્રણેય વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો બાદ કરવાથી મળે છે.
છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ = $\sqrt{3} - \frac{\pi}{2}\, cm^2$.

(A) ધારો કે દરેક ઘનની ધાર $a$ છે.
જ્યારે ત્રણ સમાન ઘનને એક હરોળમાં પાસ-પાસે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે એક લંબઘન બનાવે છે.
આ નવા લંબઘનના પરિમાણો છે: લંબાઈ $(l) = 3a$,પહોળાઈ $(b) = a$,અને ઊંચાઈ $(h) = a$.
નવા લંબઘનનું કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $2(lb + bh + lh)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $2(3a \times a + a \times a + 3a \times a) = 2(3a^2 + a^2 + 3a^2) = 2(7a^2) = 14a^2$.
એક ઘનનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $6a^2$ છે. તેથી,ત્રણ ઘનનાં સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો $3 \times 6a^2 = 18a^2$ થાય.
જરૂરી ગુણોત્તર $\frac{14a^2}{18a^2} = \frac{7}{9}$ છે,એટલે કે $7:9$.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r = 10$ અને ઊંચાઈ $H$ છે.
પ્રારંભિક ઘનફળ $V_1 = \pi r^2 H = \pi (10)^2 H = 100 \pi H$.
ત્રિજ્યામાં $50 \% $ નો વધારો થતો હોવાથી,નવી ત્રિજ્યા $r' = 10 + (10 \text{ ના } 50 \% ) = 10 + 5 = 15$ થાય.
ઊંચાઈ $H$ અચળ રહે છે.
નવું ઘનફળ $V_2 = \pi (r')^2 H = \pi (15)^2 H = 225 \pi H$.
ઘનફળમાં થતો વધારો $= V_2 - V_1 = 225 \pi H - 100 \pi H = 125 \pi H$.
ઘનફળમાં થતો ટકાવારી વધારો $= \left( \frac{V_2 - V_1}{V_1} \right) \times 100 = \left( \frac{125 \pi H}{100 \pi H} \right) \times 100 = 125 \%.$

(C) નળાકાર પાઇપની ત્રિજ્યા $r_p = 2.5 \, mm = 0.25 \, cm$ છે.
એક મિનિટમાં વહેતા પાણીના સ્તંભની લંબાઈ $h_p = 10 \, m = 1000 \, cm$ છે.
એક મિનિટમાં બહાર આવતા પાણીનું કદ $V_p = \pi r_p^2 h_p = \pi (0.25)^2 (1000) = 62.5 \pi \, cm^3$ છે.
શંકુ આકારની ટાંકીની ત્રિજ્યા $R = 20 \, cm$ અને ઊંડાઈ $H = 24 \, cm$ છે.
શંકુ આકારની ટાંકીનું કદ $V_t = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi (20)^2 (24) = 3200 \pi \, cm^3$ છે.
ટાંકી ભરવા માટે લાગતો સમય $T = \frac{V_t}{V_p} = \frac{3200 \pi}{62.5 \pi} = 51.2 \, min$ છે.

(A) છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ = (લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ) - (ચાર વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ).
દરેક વૃતાંશ એ $10\, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનો ચતુર્થાંશ ભાગ છે. ચારેય વૃતાંશ મળીને $10\, cm$ ત્રિજ્યાનું એક આખું વર્તુળ બનાવે છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = $28\, cm \times 26\, cm = 728\, cm^2$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = $\pi r^2 = 3.1416 \times (10)^2 = 314.16\, cm^2$.
છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ = $728 - 314.16 = 413.84\, cm^2 \approx 414\, cm^2$.
છાયાંકિત ભાગની પરિમિતિ = (સીધી ધારનો સરવાળો) + (ચાર વૃતાંશની ચાપની લંબાઈનો સરવાળો).
સીધી ધારની લંબાઈ: $(28 - 10 - 10) + (28 - 10 - 10) + (26 - 10 - 10) + (26 - 10 - 10) = 8 + 8 + 6 + 6 = 28\, cm$.
ચાર ચાપ મળીને એક આખા વર્તુળનો પરિઘ બનાવે છે: $2\pi r = 2 \times 3.1416 \times 10 = 62.832\, cm$.
કુલ પરિમિતિ = $28 + 62.832 = 90.832\, cm \approx 90.8\, cm$.

(A) નળાકાર પાત્રનું ઘનફળ $= \pi r^2 h = \pi \times (6)^2 \times 15 = 540\pi \, cm^3$.
આ આઈસ્ક્રીમ $10$ બાળકોમાં સમાન રીતે વહેંચવામાં આવે છે,તેથી એક આઈસ્ક્રીમ યુનિટનું ઘનફળ $= \frac{540\pi}{10} = 54\pi \, cm^3$.
ધારો કે શંકુના પાયાનો વ્યાસ $D$ છે. તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{D}{2}$.
શંકુ આકારના ભાગની ઊંચાઈ $h = 2D$ આપેલ છે.
એક આઈસ્ક્રીમ યુનિટનું ઘનફળ (શંકુ + અર્ધગોલક) $= \frac{1}{3}\pi r^2 h + \frac{2}{3}\pi r^3$.
$r = \frac{D}{2}$ અને $h = 2D$ મૂકતા:
ઘનફળ $= \frac{1}{3}\pi (\frac{D}{2})^2 (2D) + \frac{2}{3}\pi (\frac{D}{2})^3 = \frac{1}{3}\pi (\frac{D^2}{4}) (2D) + \frac{2}{3}\pi (\frac{D^3}{8}) = \frac{\pi D^3}{6} + \frac{\pi D^3}{12} = \frac{2\pi D^3 + \pi D^3}{12} = \frac{3\pi D^3}{12} = \frac{\pi D^3}{4}$.
ઘનફળને સરખાવતા: $\frac{\pi D^3}{4} = 54\pi$.
$D^3 = 54 \times 4 = 216$.
$D = \sqrt[3]{216} = 6 \, cm$.

(B) ખોદેલી માટીનું ઘનફળ $= 4 \times 2.5 \times 6 \, m^3 = 60 \, m^3$.
ખેતરનો બાકી રહેલો વિસ્તાર જ્યાં માટી ફેલાવવામાં આવશે $= (\text{ખેતરનું કુલ ક્ષેત્રફળ}) - (\text{ટાંકીનું ક્ષેત્રફળ})$.
ખેતરનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 10 \times 9 = 90 \, m^2$.
ટાંકીનું ક્ષેત્રફળ $= 4 \times 2.5 = 10 \, m^2$.
બાકી રહેલો વિસ્તાર $= 90 - 10 = 80 \, m^2$.
ધારો કે ખેતરની સપાટીમાં થતો વધારો $h$ છે.
ફેલાવેલી માટીનું ઘનફળ $= \text{બાકી રહેલો વિસ્તાર} \times h$.
$60 = 80 \times h$.
$h = \frac{60}{80} = 0.75 \, m$.
$1 \, m = 100 \, cm$ હોવાથી, સપાટીમાં થતો વધારો $= 0.75 \times 100 = 75 \, cm$.

(D) આંતરિક માપ: $L = 86\, cm, B = 46\, cm, H = 38\, cm.$
પેટી ઉપરથી ખુલ્લી છે અને $2\, cm$ જાડા લાકડાની બનેલી છે:
બાહ્ય લંબાઈ $= 86 + 2 + 2 = 90\, cm = 0.9\, m.$
બાહ્ય પહોળાઈ $= 46 + 2 + 2 = 50\, cm = 0.5\, m.$
બાહ્ય ઊંચાઈ $= 38 + 2 = 40\, cm = 0.4\, m$ (માત્ર તળિયું ઉમેરવામાં આવે છે).
ખુલ્લી પેટીની બહારની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= (2 \times \text{બાહ્ય ઊંચાઈ} \times (\text{બાહ્ય લંબાઈ} + \text{બાહ્ય પહોળાઈ})) + (\text{બાહ્ય લંબાઈ} \times \text{બાહ્ય પહોળાઈ})$.
ક્ષેત્રફળ $= (2 \times 0.4 \times (0.9 + 0.5)) + (0.9 \times 0.5) = (0.8 \times 1.4) + 0.45 = 1.12 + 0.45 = 1.57\, m^2$.
રંગવાનો ખર્ચ $= 1.57\, m^2 \times 10\, Rs./m^2 = 15.7\, Rs.$

(D) શીટને તેની લંબાઈની દિશામાં વાળવામાં આવે છે.
ધારો કે નળાકારની ત્રિજ્યા $r$ છે.
શીટની લંબાઈ એ નળાકારના પાયાનો પરિઘ બને છે.
$2 \pi r = 22 \ m$
$2 \times \frac{22}{7} \times r = 22$
$r = \frac{7}{2} \ m = 3.5 \ m$
શીટની પહોળાઈ એ નળાકારની ઊંચાઈ બને છે.
$h = 8 \ m$
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$V = \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \times 8$
$V = \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 8$
$V = 11 \times 7 \times 4 = 308 \ m^3$.

(C) છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ એ ચોરસના ક્ષેત્રફળમાંથી વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,ચોરસની બાજુ $(a)$ $= 21\,cm$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r)$ $= 10.5\,cm$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= a^2 = 21 \times 21 = 441\,cm^2$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 = 22 \times 1.5 \times 10.5 = 346.5\,cm^2$.
છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ $= 441 - 346.5 = 94.5\,cm^2$.

(B) સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $a = 8 \text{ cm}$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણની અંતઃત્રિજ્યા $r$ શોધવાનું સૂત્ર $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,$r = \frac{8}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \text{ cm}$ મળે.
અંતઃવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_c = \pi r^2 = \pi \left( \frac{4}{\sqrt{3}} \right)^2 = \pi \times \frac{16}{3} \text{ cm}^2$ થાય.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A_t = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (8)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 64 = 16\sqrt{3} \text{ cm}^2$ થાય.
ત્રિકોણ અને વર્તુળ વચ્ચેના ભાગનું ક્ષેત્રફળ $A = A_t - A_c = 16\sqrt{3} - \frac{16\pi}{3}$ છે.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ અને $\pi \approx 3.14159$ લેતા:
$A = 16(1.732) - \frac{16(3.14159)}{3} \approx 27.712 - 16.755 = 10.957 \text{ cm}^2$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ક્ષેત્રફળ આશરે $10.95 \text{ cm}^2$ મળે છે.

(C) $12 \, cm$,$18 \, cm$ અને $26 \, cm$ બાજુઓ ધરાવતા ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ $(s)$ નીચે મુજબ છે:
$s = \frac{12 + 18 + 26}{2} = \frac{56}{2} = 28 \, cm$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{28(28-12)(28-18)(28-26)}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{28 \times 16 \times 10 \times 2} = \sqrt{8960} = 16 \sqrt{35} \, cm^2$.
ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ મૂળ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના ચોથા ભાગનું હોય છે.
નવા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4} \times 16 \sqrt{35} = 4 \sqrt{35} \, cm^2$.

(D) જમીનનું માપ $19.25$ $\text{મીટર}$ અને $12.5$ $\text{મીટર}$ છે (કારણ કે $1$ $\text{ડેસીમીટર }= 0.1$ $\text{મીટર}$).
અહીં બે રસ્તાઓ છે: એક લંબાઈને સમાંતર અને એક પહોળાઈને સમાંતર.
લંબાઈને સમાંતર રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $19.25 \times 2 = 38.5$ $\text{ચોરસ}$ $\text{મીટર}$ છે.
પહોળાઈને સમાંતર રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $12.5 \times 2 = 25$ $\text{ચોરસ}$ $\text{મીટર}$ છે.
આ બંને રસ્તાઓનું છેદબિંદુ $2$ $\text{મીટર}$ બાજુવાળો એક ચોરસ છે,જે બે વાર ગણવામાં આવ્યો છે. તેનું ક્ષેત્રફળ $2 \times 2 = 4$ $\text{ચોરસ}$ $\text{મીટર}$ છે.
રસ્તાઓનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 38.5 + 25 - 4 = 59.5$ $\text{ચોરસ}$ $\text{મીટર}$ છે.
પેવિંગ કરવાનો ખર્ચ $= 59.5 \times 12.32 = Rs. 733.04$.

(A) આપેલ છે: $OP = 14 \, cm$ અને $PQ = 14 \, cm$. તેથી,$OQ = OP + PQ = 14 + 14 = 28 \, cm$.
છાયાંકિત પ્રદેશ ત્રણ અર્ધવર્તુળાકાર ચાપો દ્વારા ઘેરાયેલો છે:
$1$. $OQ$ વ્યાસ ધરાવતા અર્ધવર્તુળની ચાપ (લંબાઈ = $\frac{1}{2} \pi \times 28 = 14\pi \, cm$).
$2$. $OP$ વ્યાસ ધરાવતા અર્ધવર્તુળની ચાપ (લંબાઈ = $\frac{1}{2} \pi \times 14 = 7\pi \, cm$).
$3$. $PQ$ વ્યાસ ધરાવતા અર્ધવર્તુળની ચાપ (લંબાઈ = $\frac{1}{2} \pi \times 14 = 7\pi \, cm$).
છાયાંકિત ભાગની પરિમિતિ આ ત્રણ ચાપોની લંબાઈનો સરવાળો છે:
પરિમિતિ = $14\pi + 7\pi + 7\pi = 28\pi \, cm$.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,આપણને મળે છે:
પરિમિતિ = $28 \times \frac{22}{7} = 4 \times 22 = 88 \, cm$.

(B) વર્તુળાકાર ખેતરનો પરિઘ $2 \pi r = 440 \, m$ છે.
$2 \times \frac{22}{7} \times r = 440 \, m \Rightarrow r = 70 \, m$.
રસ્તાની પહોળાઈ $10 \, m$ છે.
બહારના વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = r + 10 = 70 + 10 = 80 \, m$ થશે.
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $\pi(R^2 - r^2) = \frac{22}{7} \times (80^2 - 70^2) = \frac{22}{7} \times (6400 - 4900) = \frac{22}{7} \times 1500 \, m^2$ છે.
કાંકરી પાથરવાનો દર $70 \, \text{paise} = 0.70 \, Rs. / m^2$ છે.
કુલ ખર્ચ $= \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{દર} = \frac{22}{7} \times 1500 \times 0.70 = 22 \times 1500 \times 0.1 = 3300 \, Rs.$

(C) લંબાઈ અને પહોળાઈનો ગુણોત્તર $11: 5$ છે.
ધારો કે લંબાઈ $11x$ છે અને પહોળાઈ $5x$ છે.
સમતલ કરવાનો ખર્ચ $50$ પૈસા (અથવા $Rs. 0.50$) પ્રતિ ચોરસ મીટરના દરે $Rs. 110$ છે.
લંબચોરસ ખેતરનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\text{કુલ ખર્ચ}}{\text{દર}} = \frac{110}{0.50} = 220 \text{ m}^2$.
ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ}$ હોવાથી, $11x \times 5x = 220$.
$55x^2 = 220$.
$x^2 = \frac{220}{55} = 4$.
$x = 2$.
તેથી, ખેતરની લંબાઈ $= 11x = 11 \times 2 = 22 \text{ m}$.

(B) ધારો કે લંબચોરસ પ્લોટની પહોળાઈ $x\, m$ છે.
તેથી,પ્લોટની લંબાઈ $4x\, m$ થશે.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $4$ હેક્ટર છે. $1\, \text{hectare} = 10,000\, m^2$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $40,000\, m^2$ થાય.
ક્ષેત્રફળ $= \text{\text{લંબાઈ}} \times \text{\text{પહોળાઈ}} = 4x \times x = 4x^2$.
તેથી,$4x^2 = 40,000$,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = 10,000$,તેથી $x = 100\, m$.
આમ,પહોળાઈ $100\, m$ અને લંબાઈ $400\, m$ છે.
લંબચોરસ પ્લોટની પરિમિતિ $= 2 \times (\text{\text{લંબાઈ}} + \text{\text{પહોળાઈ}}) = 2 \times (400 + 100) = 2 \times 500 = 1,000\, m = 1\, km$.
કૂતરાની ઝડપ $3\, km/hr$ છે.
લાગતો સમય $= \frac{\text{\text{અંતર}}}{\text{\text{ઝડપ}}} = \frac{1\, km}{3\, km/hr} = \frac{1}{3}\, \text{hours}$.
$1\, \text{hour} = 60\, \text{minutes}$ હોવાથી,લાગતો સમય $= \frac{1}{3} \times 60 = 20\, \text{minutes}$.

(A) બહારના લંબચોરસની લંબાઈ $L = 63 \ m$ અને પહોળાઈ $B = 54 \ m$ છે.
બહારના લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $63 \times 54 = 3402 \ m^2$ છે.
રસ્તો અંદરની તરફ $3 \ m$ પહોળો હોવાથી,અંદરના લંબચોરસની લંબાઈ $l = 63 - (2 \times 3) = 63 - 6 = 57 \ m$ થશે.
અંદરના લંબચોરસની પહોળાઈ $b = 54 - (2 \times 3) = 54 - 6 = 48 \ m$ થશે.
અંદરના લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $57 \times 48 = 2736 \ m^2$ છે.
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ એ બહારના અને અંદરના ક્ષેત્રફળ વચ્ચેનો તફાવત છે: $3402 - 2736 = 666 \ m^2$.
રસ્તા પર પાથરણું પાથરવાનો ખર્ચ $= \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{દર} = 666 \times \frac{37}{2} = 333 \times 37 = 12321 \ Rs.$

(B) રૂમના પરિમાણો છે: લંબાઈ $(l) = 7.5 \text{ m}$,પહોળાઈ $(b) = 6.5 \text{ m}$ અને ઊંચાઈ $(h) = 6 \text{ m}$.
ચાર દીવાલોનું ક્ષેત્રફળ $= 2(l + b) \times h = 2(7.5 + 6.5) \times 6 = 2(14) \times 6 = 168 \text{ m}^2$.
કાગળ વડે ઢાંકવાનું ક્ષેત્રફળ $=$ દીવાલોનું કુલ ક્ષેત્રફળ $-$ દરવાજાનું ક્ષેત્રફળ $= 168 \text{ m}^2 - 8 \text{ m}^2 = 160 \text{ m}^2$.
કાગળની પહોળાઈ $= 2.5 \text{ dm} = 0.25 \text{ m}$.
કાગળની લંબાઈ $= \frac{\text{ઢાંકવાનું ક્ષેત્રફળ}}{\text{કાગળની પહોળાઈ}} = \frac{160}{0.25} = 640 \text{ m}$.

(B) ધારો કે મેદાનની લંબાઈ $L$ અને પહોળાઈ $B$ છે.
આપેલ છે કે $B = L / 2$,એટલે કે $L = 2B$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $L \times B = 24200 \ m^2$ છે.
$L = 2B$ મૂકતા,આપણને $(2B) \times B = 24200$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $2B^2 = 24200$ થાય છે.
$2$ વડે ભાગતા,$B^2 = 12100$ મળે,તેથી $B = \sqrt{12100} = 110 \ m$.
તેથી,લંબાઈ $L = 2 \times 110 = 220 \ m$.
સામેના ખૂણાઓ વચ્ચેનું ન્યૂનતમ અંતર એ લંબચોરસનો વિકર્ણ છે,જે $d = \sqrt{L^2 + B^2}$ દ્વારા મળે છે.
$d = \sqrt{220^2 + 110^2} = \sqrt{48400 + 12100} = \sqrt{60500}$.
$d = 110 \times \sqrt{5} \approx 110 \times 2.236 = 245.96 \ m$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,અંતર આશરે $246 \ m$ થાય છે.

(C) $9\, cm$ ધાર ધરાવતા મોટા સમઘનનું ઘનફળ $V_1 = 9^3 = 729\, cm^3$ છે.
$3\, cm$ ધાર ધરાવતા નાના સમઘનનું ઘનફળ $V_2 = 3^3 = 27\, cm^3$ છે.
કાપી શકાતા નાના સમઘનની સંખ્યા તેમના ઘનફળના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
સમઘનની સંખ્યા $= \frac{V_1}{V_2} = \frac{729}{27} = 27$.

(B) વિસ્થાપિત પાણીનું કદ એ ડૂબેલા ગોળાના કદ જેટલું હોય છે.
ગોળાની ત્રિજ્યા $(r_s)$ = $30 \ cm$.
નળાકાર પાત્રની ત્રિજ્યા $(r_c)$ = $\text{વ્યાસ} / 2 = 80 \ cm / 2 = 40 \ cm$.
ધારો કે પાણીના સ્તરમાં થતો વધારો $x \ cm$ છે.
નળાકારમાં વિસ્થાપિત પાણીનું કદ $\pi \times (r_c)^2 \times x$ દ્વારા મળે છે.
ગોળાનું કદ $\frac{4}{3} \pi \times (r_s)^3$ દ્વારા મળે છે.
બંને કદને સરખાવતા: $\pi \times (40)^2 \times x = \frac{4}{3} \pi \times (30)^3$.
$1600 \times x = \frac{4}{3} \times 27000$.
$1600 \times x = 4 \times 9000$.
$1600 \times x = 36000$.
$x = 36000 / 1600 = 360 / 16 = 22.5 \ cm$.
આમ,પાણીનું સ્તર $22.5 \ cm$ જેટલું વધે છે.

(B) રસ્તો રિપેર કરવાનો કુલ ખર્ચ $Rs. 22176$ છે અને દર $Rs. 1$ પ્રતિ $sq. m$ છે.
તેથી,વર્તુળાકાર રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $\frac{22176}{1} = 22176 \ m^2$ થાય.
ધારો કે આંતરિક ત્રિજ્યા $r = 112 \ m$ અને બાહ્ય ત્રિજ્યા $R$ છે.
વર્તુળાકાર રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $\pi(R^2 - r^2) = 22176$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{22}{7} \times (R^2 - 112^2) = 22176$.
$R^2 - 12544 = 22176 \times \frac{7}{22}$.
$R^2 - 12544 = 1008 \times 7 = 7056$.
$R^2 = 7056 + 12544 = 19600$.
$R = \sqrt{19600} = 140 \ m$.
રસ્તાની પહોળાઈ $R - r = 140 - 112 = 28 \ m$ થાય.

(C) લંબચોરસ વર્તુળની અંદર આવેલો છે. લંબચોરસનો વિકર્ણ એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલો હોય છે.
લંબચોરસનો વિકર્ણ $= \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \ cm$.
તેથી,વર્તુળનો વ્યાસ $= 10 \ cm$,અને ત્રિજ્યા $r = 10/2 = 5 \ cm$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = (22/7) \times 5 \times 5 = 550/7 \approx 78.57 \ cm^2$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 8 \times 6 = 48 \ cm^2$.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $= \text{વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ} - \text{લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ} = 78.57 - 48 = 30.57 \ cm^2$.

(B) વર્તુળની પરિમિતિ તેના પરિઘ જેટલી હોય છે,જે $2 \pi r$ છે.
અહીં $r = 28\, cm$ આપેલ છે,તેથી પરિઘ $2 \times \frac{22}{7} \times 28 = 176\, cm$ થશે.
તારને ચોરસમાં વાળવામાં આવતો હોવાથી,ચોરસની પરિમિતિ વર્તુળના પરિઘ જેટલી થશે.
ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે. તેથી $4a = 176\, cm$,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $a = 44\, cm$ મળે છે.
ચોરસના વિકર્ણની લંબાઈ શોધવાનું સૂત્ર $d = a \sqrt{2}$ છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $d = 44 \sqrt{2}\, cm$ મળે છે.

(B) પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણનો વર્ગ એ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
ધારો કે પાયો $b = 36015 \ cm$ અને વેધ $p = 48020 \ cm$ છે.
કર્ણ $h = \sqrt{b^2 + p^2}$.
$h = \sqrt{(36015)^2 + (48020)^2}$.
આને સરળ બનાવવા માટે સામાન્ય અવયવ બહાર કાઢતા: $36015 = 12005 \times 3$ અને $48020 = 12005 \times 4$.
તેથી,$h = \sqrt{(12005 \times 3)^2 + (12005 \times 4)^2} = 12005 \times \sqrt{3^2 + 4^2}$.
$h = 12005 \times \sqrt{9 + 16} = 12005 \times \sqrt{25} = 12005 \times 5$.
$h = 60025 \ cm$.

(A) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુ $a$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિ $= 3a$.
આપેલ છે કે,$3a = 72 \sqrt{3} \text{ cm}$.
તેથી,$a = 24 \sqrt{3} \text{ cm}$.
સમબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ $h$ શોધવાનું સૂત્ર $h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા:
$h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times (24 \sqrt{3}) \text{ cm}$.
$h = \frac{3}{2} \times 24 \text{ cm} = 36 \text{ cm}$.
ઊંચાઈને મીટરમાં ફેરવવા માટે,$100$ વડે ભાગતા:
$h = \frac{36}{100} \text{ m} = 0.36 \text{ m}$.

(B) ધારો કે અંદરના વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે અને બહારના વર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ છે.
આપેલ છે કે,અંદરનો પરિઘ $= 2 \pi r = 440 \, cm$.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,$2 \times \frac{22}{7} \times r = 440$.
$r = \frac{440 \times 7}{44} = 70 \, cm$.
ટ્રેકની પહોળાઈ $14 \, cm$ છે,તેથી બહારની ત્રિજ્યા $R = r + 14 = 70 + 14 = 84 \, cm$.
બહારના વર્તુળનો વ્યાસ $D = 2R = 2 \times 84 = 168 \, cm$ થાય.

(D) સમઘનનું ઘનફળ $216 \, cm^3$ આપેલું છે.
અહીં એવું જણાવવામાં આવ્યું છે કે આ સમઘનનો 'અમુક ભાગ' ઓગાળીને નળાકાર બનાવવામાં આવે છે.
'અમુક ભાગ' શબ્દ અસ્પષ્ટ છે અને તે એવું દર્શાવતું નથી કે સમઘનનો કેટલો ભાગ કે કેટલું ઘનફળ વાપરવામાં આવ્યું છે.
નળાકાર બનાવવા માટે વપરાયેલ પદાર્થનું ચોક્કસ ઘનફળ આપેલું ન હોવાથી,નળાકારનું ઘનફળ નક્કી કરી શકાય નહીં.
તેથી,આપેલી માહિતી અપૂરતી છે.

(B) બાજુ ધરાવતા સમઘનનું ઘનફળ $V = a^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલા ત્રણ સમઘનનું ઘનફળ નીચે મુજબ છે:
$V_1 = (6\, cm)^3 = 216\, cm^3$
$V_2 = (8\, cm)^3 = 512\, cm^3$
$V_3 = (10\, cm)^3 = 1000\, cm^3$
જ્યારે આ સમઘનને ઓગાળીને એક કરવામાં આવે,ત્યારે નવા સમઘનનું કુલ ઘનફળ $V_{total}$ એ ત્રણેયના ઘનફળનો સરવાળો થશે:
$V_{total} = V_1 + V_2 + V_3 = 216 + 512 + 1000 = 1728\, cm^3$
ધારો કે નવા સમઘનની બાજુ $a$ છે. તેથી:
$a^3 = 1728$
$a = \sqrt[3]{1728}$
$a = 12\, cm$
આમ,નવા બનેલા સમઘનની બાજુનું માપ $12\, cm$ છે.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $(r) = 6\, cm$,ઊંચાઈ $(h) = 8\, cm$.
સૌ પ્રથમ,તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ ની ગણતરી $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરો.
$l = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\, cm$.
હવે,વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA) = \pi r l$ શોધો.
$CSA = \pi \times 6 \times 10 = 60\pi\, cm^2$.
ત્યારબાદ,કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA) = \pi r l + \pi r^2$ શોધો.
$TSA = 60\pi + \pi(6)^2 = 60\pi + 36\pi = 96\pi\, cm^2$.
આમ,વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $60\pi\, cm^2$ અને કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $96\pi\, cm^2$ છે.

(C) કોઈપણ આકારમાં તારની પરિમિતિ સમાન રહે છે.
ધારો કે ચોરસની એક બાજુ $= a \, cm$ છે.
આપેલ છે કે,ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= a^{2} = 484 \, cm^{2}$.
તેથી,$a = \sqrt{484} = 22 \, cm$.
ચોરસની પરિમિતિ $= 4a = 4 \times 22 = 88 \, cm$.
તે જ તારનો ઉપયોગ વર્તુળ બનાવવા માટે કરવામાં આવતો હોવાથી,વર્તુળનો પરિઘ ચોરસની પરિમિતિ જેટલો જ રહેશે.
ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $= r \, cm$ છે.
પરિઘ $= 2\pi r = 88 \, cm$.
$2 \times \frac{22}{7} \times r = 88$.
$r = \frac{88 \times 7}{44} = 14 \, cm$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^{2} = \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 22 \times 2 \times 14 = 616 \, cm^{2}$.

(D) શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l$ એ $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $r = 7\, m$ અને $h = 24\, m$ આપેલ છે,તેથી $l = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25\, m$.
જરૂરી કાપડનું ક્ષેત્રફળ એ શંકુની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે,જે $\pi rl$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{22}{7} \times 7 \times 25 = 550\, m^2$.
કાપડની પહોળાઈ $5\, m$ હોવાથી,જરૂરી કાપડની લંબાઈ $= \frac{\text{ક્ષેત્રફળ}}{\text{પહોળાઈ}} = \frac{550}{5} = 110\, m$ થાય.

(A) જ્યારે $s = 5 \, cm$ બાજુવાળા $7$ સમઘનને એકબીજા સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તે એક લંબઘન બનાવે છે.
પરિણામી લંબઘનની લંબાઈ $(l)$ $= 7 \times 5 \, cm = 35 \, cm$ થાય છે.
લંબઘનની પહોળાઈ $(b)$ અને ઊંચાઈ $(h)$ સમઘનની બાજુ જેટલી જ રહે છે,તેથી $b = 5 \, cm$ અને $h = 5 \, cm$.
લંબઘનનું પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર: $SA = 2(lb + bh + hl)$.
કિંમતો મૂકતા: $SA = 2(35 \times 5 + 5 \times 5 + 5 \times 35)$.
$SA = 2(175 + 25 + 175)$.
$SA = 2(375) = 750 \, cm^2$.

(B) લંબઘનનું ઘનફળ $V_{\text{cuboid}} = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ} = 24 \text{ cm} \times 9 \text{ cm} \times 8 \text{ cm} = 1728 \text{ cm}^3$ છે.
એક નાના સમઘનનું ઘનફળ $V_{\text{cube}} = \text{બાજુ}^3 = 3 \text{ cm} \times 3 \text{ cm} \times 3 \text{ cm} = 27 \text{ cm}^3$ છે.
બનાવી શકાય તેવા સમઘનની સંખ્યા એ લંબઘનના કુલ ઘનફળને એક સમઘનના ઘનફળ વડે ભાગવાથી મળે છે.
$\text{સમઘનની સંખ્યા} = \frac{V_{\text{cuboid}}}{V_{\text{cube}}} = \frac{24 \times 9 \times 8}{3 \times 3 \times 3} = \frac{1728}{27} = 64$.