Measurement of Area Questions in Gujarati

(B) લંબચોરસની અંદર સૌથી મોટું વર્તુળ દોરવા માટે,વર્તુળનો વ્યાસ લંબચોરસની નાની બાજુ જેટલો હોવો જોઈએ.
અહીં,લંબચોરસની બાજુઓ $18 \, cm$ અને $14 \, cm$ છે.
તેથી,સૌથી મોટા વર્તુળનો વ્યાસ $d = 14 \, cm$ થશે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \frac{14}{2} = 7 \, cm$ થાય.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi r^2$ છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,$A = \frac{22}{7} \times 7^2 = \frac{22}{7} \times 49 = 22 \times 7 = 154 \, cm^2$ મળે.

(D) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $R = 5 \, cm$ અને ચાપની લંબાઈ $S = 3.5 \, cm$.
વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ ચાપ દ્વારા બનતા ખૂણા $\theta$ (રેડિયનમાં) માટેનું સૂત્ર $\theta = \frac{S}{R}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\theta = \frac{3.5}{5} = 0.7 \, \text{rad}$.
વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\text{Area} = \frac{1}{2} R^2 \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times (5)^2 \times 0.7$.
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 25 \times 0.7 = 12.5 \times 0.7 = 8.75 \, cm^2$.

(D) અર્ધવર્તુળની પરિમિતિનું સૂત્ર $P = \pi r + 2r$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે $P = 36 \, cm$,તેથી $(\pi + 2)r = 36$.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,$(\frac{22}{7} + 2)r = 36$.
$(\frac{22 + 14}{7})r = 36 \implies \frac{36}{7}r = 36$.
આમ,$r = 7 \, cm$.
અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \pi r^2$ દ્વારા મળે છે.
$A = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 7^2 = \frac{1}{2} \times 22 \times 7 = 11 \times 7 = 77 \, cm^2$.

(B) ધારો કે અંદરના વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે અને બહારના વર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ છે.
ધારો કે રસ્તાની સમાન પહોળાઈ $x$ છે.
તેથી,$R = r + x$,જેનો અર્થ છે કે $R - r = x$.
બહારના અને અંદરના પરિઘ વચ્ચેનો તફાવત $2 \pi R - 2 \pi r = 132 \, m$ આપેલ છે.
$2 \pi$ સામાન્ય લેતા,આપણને $2 \pi (R - r) = 132$ મળે છે.
કારણ કે $R - r = x$,સમીકરણ $2 \pi x = 132$ બને છે.
$\pi = \frac{22}{7}$ મૂકતા,આપણને $2 \times \frac{22}{7} \times x = 132$ મળે છે.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{132 \times 7}{2 \times 22} = \frac{132 \times 7}{44} = 3 \times 7 = 21 \, m$.
તેથી,રસ્તાની પહોળાઈ $21 \, m$ છે.

(B) ધારો કે પૈડાનો વ્યાસ $x \, m$ છે.
પૈડાનો પરિઘ $\pi x \, m$ થાય.
$113$ પરિભ્રમણમાં કાપેલું કુલ અંતર $113 \times \pi x$ થાય.
આપેલ અંતર $2 \, km$ $26 \, decametres$ છે.
અંતરને મીટરમાં ફેરવતા: $2 \, km = 2000 \, m$ અને $26 \, decametres = 260 \, m$.
કુલ અંતર $= 2000 + 260 = 2260 \, m$.
સમીકરણ: $113 \times \frac{22}{7} \times x = 2260$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{2260 \times 7}{113 \times 22}$.
$2260 / 113 = 20$ હોવાથી,$x = \frac{20 \times 7}{22} = \frac{140}{22} = \frac{70}{11} = 6 \frac{4}{11} \, m$.

(C) ધારો કે દોરડાની લંબાઈ $l$ મીટર છે. ગાય દ્વારા ચરાયેલ વિસ્તાર એ $l$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ બનાવે છે.
આપેલ છે,ક્ષેત્રફળ $= \pi l^{2} = 9856 \, m^{2}$.
$\Rightarrow l^{2} = \frac{9856}{\pi} = \frac{9856 \times 7}{22}$.
$\Rightarrow l^{2} = 448 \times 7 = 3136$.
$\Rightarrow l = \sqrt{3136} = 56 \, m$.
આમ,દોરડાની લંબાઈ $56 \, m$ છે.

(D) આપેલ છે,પૈડાની ત્રિજ્યા,$r = 0.25\, m$.
કાપવાનું કુલ અંતર,$D = 11\, km = 11000\, m$.
એક પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર એ પૈડાના પરિઘ જેટલું હોય છે,જે $2\pi r$ છે.
ધારો કે પરિભ્રમણની સંખ્યા $N$ છે.
તેથી,$N \times (2\pi r) = D$.
કિંમતો મૂકતા: $N \times 2 \times \frac{22}{7} \times 0.25 = 11000$.
$N = \frac{11000 \times 7}{2 \times 22 \times 0.25}$.
$N = \frac{77000}{11} = 7000$.
આમ,પૈડું $7000$ પરિભ્રમણ કરશે.

(A) વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી ક્ષેત્રફળ એ ત્રિજ્યાના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(A \propto r^2)$.
આપેલ ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4}{9}$ છે.
તેથી,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ થશે.
વર્તુળનો પરિઘ $C = 2\pi r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી પરિઘ એ ત્રિજ્યાના સીધા સમપ્રમાણમાં હોય છે $(C \propto r)$.
આમ,તેમના પરિઘનો ગુણોત્તર $\frac{C_1}{C_2} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3}$ થશે.
તેથી,ગુણોત્તર $2:3$ છે.

(D) વર્તુળનો પરિઘ $C = 2 \pi r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r = 42 \, cm$ મૂકતા,આપણને $C = 2 \times \frac{22}{7} \times 42 = 264 \, cm$ મળે છે.
તારને લંબચોરસમાં ફરીથી વાળવામાં આવતો હોવાથી,લંબચોરસની પરિમિતિ વર્તુળના પરિઘ જેટલી જ રહેશે.
ધારો કે લંબચોરસની બાજુઓ $6x$ અને $5x$ છે (ગુણોત્તર $6:5$ મુજબ).
લંબચોરસની પરિમિતિ $2(6x + 5x) = 2(11x) = 22x$ થાય.
પરિમિતિને સરખાવતા: $22x = 264$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{264}{22} = 12$.
નાની બાજુ $5x = 5 \times 12 = 60 \, cm$ છે.

(C) ચોરસ માટે:
પરિમિતિ $= 4 \times \text{બાજુ} = 44\, cm$.
બાજુ $= 44 / 4 = 11\, cm$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= (\text{બાજુ})^2 = 11^2 = 121\, cm^2$.
વર્તુળ માટે:
પરિઘ $= 2\pi r = 44\, cm$.
$2 \times (22/7) \times r = 44$.
$r = (44 \times 7) / (2 \times 22) = 7\, cm$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = (22/7) \times 7^2 = 22 \times 7 = 154\, cm^2$.
ક્ષેત્રફળની સરખામણી કરતા:
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ - ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= 154 - 121 = 33\, cm^2$.
આમ,વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $33\, cm^2$ જેટલું વધારે છે.

(C) ધારો કે લંબચોરસની મૂળ લંબાઈ $l$ અને મૂળ પહોળાઈ $b$ છે. મૂળ ક્ષેત્રફળ $A = l \times b$ છે.
નવી લંબાઈ $l' = l + 0.05l = 1.05l$ છે.
નવી પહોળાઈ $b' = b - 0.04b = 0.96b$ છે.
નવું ક્ષેત્રફળ $A' = l' \times b' = (1.05l) \times (0.96b) = 1.008lb$ છે.
ક્ષેત્રફળમાં થયેલ ફેરફાર $A' - A = 1.008lb - 1lb = 0.008lb$ છે.
ક્ષેત્રફળમાં ભૂલની ટકાવારી $\frac{A' - A}{A} \times 100 = \frac{0.008lb}{lb} \times 100 = 0.8 \%$ છે.

(C) સમલંબ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times (\text{ઊંચાઈ})$.
ધારો કે સમાંતર બાજુઓ $5x$ અને $3x$ છે.
ઊંચાઈ (લંબ અંતર) $24 \, m$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$1440 = \frac{1}{2} \times (5x + 3x) \times 24$
$1440 = \frac{1}{2} \times (8x) \times 24$
$1440 = 4x \times 24$
$1440 = 96x$
$x = \frac{1440}{96} = 15$.
મોટી સમાંતર બાજુની લંબાઈ $5x = 5 \times 15 = 75 \, m$ થાય.

(C) ધારો કે વિકર્ણો $d_{1}$ અને $d_{2}$ છે.
આપેલ છે કે $d_{1} = 2d_{2}$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\text{Area} = \frac{1}{2} \times d_{1} \times d_{2}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $25 = \frac{1}{2} \times (2d_{2}) \times d_{2}$.
$25 = d_{2}^{2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$d_{2} = 5\, cm$ મળે.
હવે,$d_{1}$ શોધીએ: $d_{1} = 2 \times 5 = 10\, cm$.
વિકર્ણોનો સરવાળો $d_{1} + d_{2} = 10 + 5 = 15\, cm$ થાય.

(B) સમબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\text{Area} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ છે,જ્યાં $d_1$ અને $d_2$ એ વિકર્ણોની લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $\text{Area} = 150 \, cm^2$ અને $d_1 = 10 \, cm$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$150 = \frac{1}{2} \times 10 \times d_2$
$150 = 5 \times d_2$
$d_2 = \frac{150}{5} = 30 \, cm$.
તેથી,બીજા વિકર્ણની લંબાઈ $30 \, cm$ છે.

(D) ધારો કે ત્રિકોણ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બંનેનો પાયો $b$ છે.
ધારો કે ત્રિકોણનો વેધ $h_1$ છે અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો વેધ $h_2$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A_t = \frac{1}{2} \times b \times h_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $A_p = b \times h_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બંનેના ક્ષેત્રફળ સમાન છે,તેથી $A_t = A_p$.
તેથી,$\frac{1}{2} \times b \times h_1 = b \times h_2$.
બંને બાજુને $b$ વડે ભાગતા (ધારીએ કે $b \neq 0$),આપણને $\frac{1}{2} h_1 = h_2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $h_1 = 2 h_2$.
આપેલ છે કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો વેધ $h_2 = 100 \, m$ છે.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $h_1 = 2 \times 100 \, m = 200 \, m$ મળે છે.

(D) ધારો કે મૂળ ત્રિકોણની બાજુઓ $a$,$b$ અને $c$ છે. અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2}$ છે.
હેરોનના સૂત્ર મુજબ,મૂળ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ છે.
જો દરેક બાજુ બમણી કરવામાં આવે,તો નવી બાજુઓ $2a$,$2b$ અને $2c$ થાય છે.
નવી અર્ધ-પરિમિતિ $s'$ એ $s' = \frac{2a+2b+2c}{2} = 2s$ થશે.
નવું ક્ષેત્રફળ $\Delta' = \sqrt{s'(s'-2a)(s'-2b)(s'-2c)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta' = \sqrt{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}$.
$\Delta' = \sqrt{2s \cdot 2(s-a) \cdot 2(s-b) \cdot 2(s-c)}$.
$\Delta' = \sqrt{16 \cdot s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
$\Delta' = 4 \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 4\Delta$.
આમ,નવું ક્ષેત્રફળ જૂના ક્ષેત્રફળ કરતાં $4$ ગણું છે,તેથી $K = 4$.

(C) આપેલ છે: પરિમિતિ $P = 30 \text{ cm}$,તેથી અર્ધ-પરિમિતિ $s = P/2 = 15 \text{ cm}$.
ધારો કે બાજુઓ $a, b, c$ છે જ્યાં $a = 13 \text{ cm}$.
પરિમિતિ $a + b + c = 30 \implies 13 + b + c = 30 \implies b + c = 17$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 30$.
$\sqrt{15(15-13)(15-b)(15-c)} = 30$.
$\sqrt{15 \times 2 \times (15-b)(15-c)} = 30$.
$30(15-b)(15-c) = 30^2 = 900$.
$(15-b)(15-c) = 30$.
$225 - 15(b+c) + bc = 30$.
$b+c = 17$ મૂકતા: $225 - 15(17) + bc = 30$.
$225 - 255 + bc = 30 \implies bc - 30 = 30 \implies bc = 60$.
આપણી પાસે $b+c = 17$ અને $bc = 60$ છે. દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 17x + 60 = 0$ ઉકેલતા બાજુઓ મળે છે.
$(x-5)(x-12) = 0$,તેથી બાજુઓ $5 \text{ cm}$ અને $12 \text{ cm}$ છે.
ત્રિકોણની બાજુઓ $5 \text{ cm}, 12 \text{ cm}, 13 \text{ cm}$ છે.
સૌથી નાની બાજુ $5 \text{ cm}$ છે.

(D) બાજુઓનો ગુણોત્તર $a: b: c = \frac{1}{2}: \frac{1}{3}: \frac{1}{4}$ આપેલ છે.
ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે,દરેક પદને છેદના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ એટલે કે $2, 3, 4$ નો લ.સા.અ. $12$ વડે ગુણો.
$a: b: c = (\frac{1}{2} \times 12) : (\frac{1}{3} \times 12) : (\frac{1}{4} \times 12) = 6: 4: 3$.
ધારો કે બાજુઓ $6x, 4x$ અને $3x$ સેન્ટિમીટર છે.
ત્રિકોણની પરિમિતિ તેની બાજુઓનો સરવાળો છે,જે $52 \text{ cm}$ આપેલ છે.
$6x + 4x + 3x = 52$.
$13x = 52$.
$x = \frac{52}{13} = 4$.
સૌથી નાની બાજુ સૌથી નાના ગુણોત્તરના મૂલ્યને અનુરૂપ છે,જે $3x$ છે.
સૌથી નાની બાજુ $= 3 \times 4 = 12 \text{ cm}$.

(D) ધારો કે ચોરસની બાજુનું માપ $a \text{ cm}$ છે.
તેથી,લંબચોરસની લંબાઈ $l = (a + 5) \text{ cm}$ અને લંબચોરસની પહોળાઈ $b = (a - 3) \text{ cm}$ થાય.
આપેલ છે કે ચોરસનું ક્ષેત્રફળ અને લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ સમાન છે:
$a^2 = (a + 5)(a - 3)$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$a^2 = a^2 - 3a + 5a - 15$
$a^2 = a^2 + 2a - 15$
બંને બાજુથી $a^2$ બાદ કરતા:
$0 = 2a - 15$
$2a = 15$
$a = 7.5 \text{ cm}$
હવે,લંબચોરસના માપ શોધીએ:
લંબાઈ $l = 7.5 + 5 = 12.5 \text{ cm}$
પહોળાઈ $b = 7.5 - 3 = 4.5 \text{ cm}$
લંબચોરસની પરિમિતિ $P = 2(l + b)$ છે:
$P = 2(12.5 + 4.5) = 2(17) = 34 \text{ cm}$.

(C) ધારો કે ચોરસની બાજુ $x \, cm$ છે.
જ્યારે સામસામેની બાજુઓની એક જોડીમાં $5 \, cm$ નો વધારો કરવામાં આવે,ત્યારે લંબચોરસના નવા માપ $(x + 5) \, cm$ અને $x \, cm$ થાય છે.
પ્રશ્ન મુજબ,લંબાઈ અને પહોળાઈનો ગુણોત્તર $3:2$ છે:
$\frac{x + 5}{x} = \frac{3}{2}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$2(x + 5) = 3x$
$2x + 10 = 3x$
$x = 10 \, cm$
મૂળ ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $x^2 = 10^2 = 100 \, cm^2$ થાય.

(B) ધારો કે ચોરસની મૂળ બાજુ $s$ છે. મૂળ ક્ષેત્રફળ $A_1 = s^2$ છે.
ધારો કે નવી બાજુ $s'$ છે. નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = A_1 + 0.69 A_1 = 1.69 s^2$ છે.
કારણ કે $A_2 = (s')^2$,તેથી $(s')^2 = 1.69 s^2$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$s' = \sqrt{1.69} s = 1.3 s$ મળે.
બાજુમાં થયેલો વધારો $s' - s = 1.3 s - s = 0.3 s$ છે.
બાજુમાં ટકાવારી વધારો = $(0.3 s / s) \times 100 = 30 \%$ થાય.

(B) ધારો કે બહારના ચોરસની બાજુની લંબાઈ $x \, m$ છે.
રસ્તો $3 \, m$ પહોળો છે અને તે ચોરસની અંદરની બાજુએ છે,તેથી અંદરના ચોરસની બાજુની લંબાઈ $(x - 3 - 3) = (x - 6) \, m$ થશે.
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ એ બહારના ચોરસ અને અંદરના ચોરસના ક્ષેત્રફળનો તફાવત છે:
$\text{રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ} = x^{2} - (x - 6)^{2} = 1764 \, m^{2}$.
નિત્યસમ $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(x - (x - 6))(x + (x - 6)) = 1764$
$(6)(2x - 6) = 1764$
$2x - 6 = \frac{1764}{6} = 294$
$2x = 294 + 6 = 300$
$x = 150 \, m$.
રસ્તાની બહારની કિનારીની પરિમિતિ એ બહારના ચોરસની પરિમિતિ છે:
$\text{પરિમિતિ} = 4 \times x = 4 \times 150 = 600 \, m$.

(B) ચોરસની પરિમિતિ $= 48\, cm$.
ચોરસની બાજુ $= \frac{48}{4} = 12\, cm$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= (12)^2 = 144\, cm^2$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= 144 - 4 = 140\, cm^2$.
લંબચોરસની આપેલી લંબાઈ $= 14\, cm$.
લંબચોરસની પહોળાઈ $= \frac{\text{ક્ષેત્રફળ}}{\text{લંબાઈ}} = \frac{140}{14} = 10\, cm$.
લંબચોરસની પરિમિતિ $= 2(l + b) = 2(14 + 10) = 2(24) = 48\, cm$.

(D) ધારો કે લંબચોરસ પ્લોટની લંબાઈ $l$ અને પહોળાઈ $b$ છે.
આપેલ છે કે,પ્લોટનું ક્ષેત્રફળ $l \times b = 96 \text{ m}^2$ છે.
પ્લોટની અંદરની તરફ $2 \text{ m}$ પહોળો રસ્તો બનાવવામાં આવે છે.
અંદરના લંબચોરસના માપ (રસ્તા સિવાયના) $(l - 4)$ અને $(b - 4)$ થશે,કારણ કે રસ્તો બંને બાજુથી લંબાઈ અને પહોળાઈમાં ઘટાડો કરે છે.
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ આ રીતે ગણવામાં આવે છે: $\text{રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ} = \text{કુલ ક્ષેત્રફળ} - \text{અંદરનું ક્ષેત્રફળ} = lb - (l - 4)(b - 4)$.
$lb = 96$ મૂકતા: $\text{રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ} = 96 - (lb - 4l - 4b + 16) = 96 - (96 - 4(l + b) + 16) = 4(l + b) - 16$.
અહીં $l$ અને $b$ ની કિંમતો અલગથી જાણીતી ન હોવાથી,માત્ર $lb = 96$ પરથી $(l + b)$ નો સરવાળો નક્કી કરી શકાતો નથી.
તેથી,રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ ગણી શકાતું નથી અને પરિણામે બાંધકામનો કુલ ખર્ચ નક્કી કરી શકાતો નથી.
આમ,આપેલી માહિતી અપૂરતી છે.

(C) ધારો કે લંબચોરસ પ્લોટની લંબાઈ $L$ અને પહોળાઈ $B$ છે.
પરિમિતિ $= 2(L + B) = 340 \text{ m}$,તેથી $L + B = 170 \text{ m}$.
પ્લોટની આસપાસ $1 \text{ m}$ પહોળી કિનારી (રસ્તો) નું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = 2(L + B) \times w + 4w^2$,જ્યાં $w$ એ રસ્તાની પહોળાઈ છે.
અહીં,$w = 1 \text{ m}$.
$\text{Area} = 340 \times 1 + 4(1)^2 = 340 + 4 = 344 \text{ m}^2$.
બાગાયત કરવાનો ખર્ચ $₹ 10$ પ્રતિ ચોરસ મીટરના દરે છે.
$\text{Total Cost} = 344 \text{ m}^2 \times 10 \text{ ₹/m}^2 = ₹ 3440$.

(C) શીટનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 20\, cm \times 30\, cm = 600\, cm^2$.
ટાઈપિંગ માટે ઉપલબ્ધ પહોળાઈ $= 20\, cm - (2\, cm + 2\, cm) = 20\, cm - 4\, cm = 16\, cm$.
ટાઈપિંગ માટે ઉપલબ્ધ ઊંચાઈ $= 30\, cm - (3\, cm + 3\, cm) = 30\, cm - 6\, cm = 24\, cm$.
ટાઈપિંગ માટે વપરાયેલ ક્ષેત્રફળ $= 16\, cm \times 24\, cm = 384\, cm^2$.
ટાઈપિંગ માટે વપરાયેલ પેજનો ટકાવારી ભાગ $= \left( \frac{384}{600} \right) \times 100 = \frac{384}{6} = 64\%$.

(C) ધારો કે સમલંબ ચતુષ્કોણની સમાંતર બાજુઓ $l_1$ અને $l_2$ છે,જ્યાં $l_1 > l_2$ છે.
આપેલ છે કે સમાંતર બાજુઓ વચ્ચેનો તફાવત $4\, cm$ છે,તેથી $l_1 - l_2 = 4$,જેનો અર્થ છે કે $l_1 = l_2 + 4$.
સમાંતર બાજુઓ વચ્ચેનું લંબ અંતર (ઊંચાઈ) $h = 19\, cm$ છે.
સમલંબ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times (l_1 + l_2) \times h$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $475 = \frac{1}{2} \times (l_2 + 4 + l_2) \times 19$.
$475 = \frac{19}{2} \times (2l_2 + 4)$.
$475 = 19 \times (l_2 + 2)$.
$l_2 + 2 = \frac{475}{19} = 25$.
$l_2 = 25 - 2 = 23\, cm$.
હવે,$l_1$ શોધો: $l_1 = l_2 + 4 = 23 + 4 = 27\, cm$.
આમ,સમાંતર બાજુઓની લંબાઈ $27\, cm$ અને $23\, cm$ છે.

(A) ધારો કે મૂળ લંબાઈ $L$ છે અને મૂળ પહોળાઈ $B$ છે.
મૂળ ક્ષેત્રફળ $A_1 = L \times B$.
નવી લંબાઈ $L' = L + 0.50L = 1.5L$.
નવી પહોળાઈ $B' = B + 0.20B = 1.2B$.
નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = L' \times B' = (1.5L) \times (1.2B) = 1.8 \times (L \times B) = 1.8 A_1$.
ક્ષેત્રફળમાં થયેલો વધારો $A_2 - A_1 = 1.8 A_1 - A_1 = 0.8 A_1$ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળમાં મૂળ ક્ષેત્રફળ કરતા $0.8$ ગણો વધારો થશે.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $l$ છે અને પ્રારંભિક પહોળાઈ $b$ છે. પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = l \times b$ છે.
જો દરેક બાજુમાં $20 \%$ નો વધારો કરવામાં આવે,તો નવી લંબાઈ $l' = l + 0.20l = 1.2l$ અને નવી પહોળાઈ $b' = b + 0.20b = 1.2b$ થાય.
નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = l' \times b' = (1.2l) \times (1.2b) = 1.44lb = 1.44A_1$ થાય.
ક્ષેત્રફળમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{A_2 - A_1}{A_1} \times 100 = \frac{1.44A_1 - A_1}{A_1} \times 100 = 0.44 \times 100 = 44 \%$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ક્રમિક ટકાવારી ફેરફારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $x + y + \frac{xy}{100} = 20 + 20 + \frac{20 \times 20}{100} = 40 + 4 = 44 \%$.

(A) ધારો કે લંબચોરસ કાગળની લંબાઈ $l$ અને પહોળાઈ $b$ છે.
જ્યારે પહોળાઈની દિશામાં વાળવામાં આવે,ત્યારે નવા પરિમાણો $l/2$ અને $b$ થાય છે. પરિમિતિ $2(l/2 + b) = 34$ છે,જેનું સાદું રૂપ $l + 2b = 34$ થાય છે $....(1)$
જ્યારે લંબાઈની દિશામાં વાળવામાં આવે,ત્યારે નવા પરિમાણો $l$ અને $b/2$ થાય છે. પરિમિતિ $2(l + b/2) = 38$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2l + b = 38$ થાય છે $....(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $2l + 4b = 68$ મળે છે $....(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા,$(2l + 4b) - (2l + b) = 68 - 38$,એટલે કે $3b = 30$,તેથી $b = 10\, cm$.
$b = 10$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,$l + 2(10) = 34$,તેથી $l + 20 = 34$,જે આપણને $l = 14\, cm$ આપે છે.
કાગળનું ક્ષેત્રફળ $= l \times b = 14 \times 10 = 140\, cm^2$ થાય છે.

(D) ધારો કે લંબચોરસની લંબાઈ $l$ અને પહોળાઈ $w$ છે.
વિકર્ણ $d = \sqrt{l^2 + w^2}$.
$A$ દ્વારા વિકર્ણ રીતે કાપેલું અંતર $= \frac{52 \text{ m}}{60 \text{ s}} \times 15 \text{ s} = 13 \text{ m}$.
તેથી,$l^2 + w^2 = 13^2 = 169$.
$B$ દ્વારા બાજુઓ પર કાપેલું અંતર $= l + w = \frac{68 \text{ m}}{60 \text{ s}} \times 15 \text{ s} = 17 \text{ m}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(l + w)^2 = l^2 + w^2 + 2lw$.
કિંમતો મૂકતા: $17^2 = 169 + 2lw$.
$289 = 169 + 2lw$.
$2lw = 289 - 169 = 120$.
ખેતરનું ક્ષેત્રફળ $= l \times w = \frac{120}{2} = 60 \text{ m}^2$.

(D) ધારો કે લંબચોરસ ઓરડાની લંબાઈ $l$ અને પહોળાઈ $b$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ:
$(l+1)(b+1) - lb = 21$
$lb + l + b + 1 - lb = 21$
$l + b + 1 = 21$
$l + b = 20$ $...(1)$
બીજી શરત મુજબ:
$(l+1)(b-1) - lb = -5$
$lb - l + b - 1 - lb = -5$
$-l + b - 1 = -5$
$-l + b = -4$
$l - b = 4$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(l + b) + (l - b) = 20 + 4$
$2l = 24$
$l = 12\, m$
$l = 12$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$12 + b = 20$
$b = 8\, m$
ભોંયતળિયાની પરિમિતિનું સૂત્ર $P = 2(l + b)$ છે.
$P = 2(12 + 8) = 2(20) = 40\, m$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $3x$,$4x$ અને $5x$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{3x + 4x + 5x}{2} = \frac{12x}{2} = 6x$ થાય.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
$\Delta = \sqrt{6x(6x-3x)(6x-4x)(6x-5x)} = \sqrt{6x \cdot 3x \cdot 2x \cdot x} = \sqrt{36x^{4}} = 6x^{2}$.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $216 \, cm^{2}$ છે,તેથી $6x^{2} = 216$.
$x^{2} = 36$,જેનો અર્થ છે કે $x = 6 \, cm$.
ત્રિકોણની પરિમિતિ $3x + 4x + 5x = 12x$ છે.
પરિમિતિ $= 12 \times 6 = 72 \, cm$.

(C) ધારો કે બે ત્રિકોણના પાયા $b_1$ અને $b_2$ છે,અને તેમના વેધ (ઊંચાઈ) અનુક્રમે $h_1$ અને $h_2$ છે.
આપેલ છે કે તેમના પાયાનો ગુણોત્તર $\frac{b_1}{b_2} = \frac{x}{y}$ અને તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta_1}{\Delta_2} = \frac{a}{b}$ છે.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\Delta = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ છે.
તેથી,$\frac{\Delta_1}{\Delta_2} = \frac{\frac{1}{2} b_1 h_1}{\frac{1}{2} b_2 h_2} = \frac{b_1}{b_2} \times \frac{h_1}{h_2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{a}{b} = \frac{x}{y} \times \frac{h_1}{h_2}$.
વેધના ગુણોત્તર $\frac{h_1}{h_2}$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $\frac{h_1}{h_2} = \frac{a}{b} \times \frac{y}{x} = \frac{ay}{bx}$.
આમ,તેમના અનુરૂપ વેધનો ગુણોત્તર $ay: bx$ છે.

(C) ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= 484 \, cm^2$.
ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે. તેથી $a^2 = 484$,જે આપણને $a = \sqrt{484} = 22 \, cm$ આપે છે.
ચોરસની પરિમિતિ $= 4 \times a = 4 \times 22 = 88 \, cm$.
જ્યારે તે જ તારને વર્તુળના સ્વરૂપમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે વર્તુળનો પરિઘ એ ચોરસની પરિમિતિ જેટલો થાય છે.
પરિઘ $= 2\pi r = 88 \, cm$.
$2 \times \frac{22}{7} \times r = 88$.
$r = \frac{88 \times 7}{44} = 14 \, cm$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 14 \times 14$.
ક્ષેત્રફળ $= 22 \times 2 \times 14 = 616 \, cm^2$.

(A) પૈડાનો વ્યાસ $d = 40 \, cm$ છે.
પૈડાનો પરિઘ $C = \pi d = \frac{22}{7} \times 40 = \frac{880}{7} \, cm$ થાય.
કાપવાનું કુલ અંતર $176 \, m$ છે. તેને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા,$176 \times 100 = 17600 \, cm$ મળે.
પરિભ્રમણની સંખ્યા શોધવા માટે કુલ અંતરને પરિઘ વડે ભાગતા:
$\text{પરિભ્રમણની સંખ્યા} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{પરિઘ}} = \frac{17600}{\frac{880}{7}} = \frac{17600 \times 7}{880} = 20 \times 7 = 140$.

(C) ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $81 \, cm^2$ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= \text{બાજુ}^2$ હોવાથી,બાજુની લંબાઈ $\sqrt{81} = 9 \, cm$ થાય.
તારની પરિમિતિ (લંબાઈ) $4 \times 9 = 36 \, cm$ છે.
જ્યારે આ તારને અર્ધવર્તુળાકાર આકારમાં વાળવામાં આવે,ત્યારે તેની પરિમિતિનું સૂત્ર $P = \pi r + 2r = r(\pi + 2)$ છે.
પરિમિતિને $36 \, cm$ સાથે સરખાવતા:
$r(\frac{22}{7} + 2) = 36$
$r(\frac{22 + 14}{7}) = 36$
$r(\frac{36}{7}) = 36$
$r = 7 \, cm$.
અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \pi r^2$ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 7^2 = \frac{1}{2} \times 22 \times 7 = 77 \, cm^2$.

(B) ચોરસ શીટનું ક્ષેત્રફળ $784 \, cm^2$ છે.
ચોરસ શીટની બાજુ $= \sqrt{784} = 28 \, cm$.
ચોરસમાંથી મહત્તમ વ્યાસ ધરાવતી ચાર સમાન કદની વર્તુળાકાર પ્લેટો કાપવામાં આવતી હોવાથી,તેઓ $2 \times 2$ ના ગ્રીડમાં ગોઠવાયેલી હશે.
દરેક વર્તુળાકાર પ્લેટનો વ્યાસ એ ચોરસની બાજુના અડધા જેટલો હોય છે: $d = \frac{28}{2} = 14 \, cm$.
દરેક પ્લેટનો પરિઘ $C = \pi d = \frac{22}{7} \times 14 = 44 \, cm$ થાય.
પરિઘને મીટરમાં ફેરવતા: $44 \, cm = 0.44 \, m$.

(A) ધારો કે સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણની બે સમાન બાજુઓ $x$ છે.
તો,કર્ણ $\sqrt{x^2 + x^2} = x\sqrt{2}$ થાય.
પરિમિતિ $x + x + x\sqrt{2} = x(2 + \sqrt{2})$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે પરિમિતિ $(6 + 3\sqrt{2}) \text{ m}$ છે,તેથી:
$x(2 + \sqrt{2}) = 3(2 + \sqrt{2})$.
તેથી,$x = 3 \text{ m}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times x \times x = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5 \text{ m}^2$ થાય.

(D) ધારો કે હોલની પહોળાઈ $x$ મીટર છે.
તેથી,હોલની લંબાઈ $(x + 5)$ મીટર થાય.
લંબચોરસ હોલનું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 750\, m^{2}$.
માટે,$x(x + 5) = 750$.
$x^{2} + 5x - 750 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^{2} + 30x - 25x - 750 = 0$.
$x(x + 30) - 25(x + 30) = 0$.
$(x - 25)(x + 30) = 0$.
પહોળાઈ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 25$.
આમ,હોલની લંબાઈ $x + 5 = 25 + 5 = 30\, m$ થાય.

(D) ધારો કે લંબચોરસની પહોળાઈ $b \, m$ છે.
લંબાઈ તેની પહોળાઈ કરતા $15 \%$ વધારે હોવાથી,લંબાઈ $l = b + 0.15b = 1.15b \, m$ થાય.
લંબચોરસના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = l \times b$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $1.15b \times b = 460$.
$1.15b^2 = 460$.
$b^2 = \frac{460}{1.15} = 400$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $b = \sqrt{400} = 20 \, m$.
તેથી,લંબચોરસ ખેતરની પહોળાઈ $20 \, m$ છે.

(C) ચોરસની બાજુની લંબાઈ $s = \frac{\text{પરિમિતિ}}{4}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પાંચેય ચોરસની બાજુઓ નીચે મુજબ છે:
$s_1 = \frac{24}{4} = 6 \ cm$,$s_2 = \frac{32}{4} = 8 \ cm$,$s_3 = \frac{40}{4} = 10 \ cm$,$s_4 = \frac{76}{4} = 19 \ cm$,$s_5 = \frac{80}{4} = 20 \ cm$.
આ ચોરસોના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો:
$A = (6^2 + 8^2 + 10^2 + 19^2 + 20^2) \ cm^2$
$A = (36 + 64 + 100 + 361 + 400) \ cm^2 = 961 \ cm^2$.
ધારો કે નવા ચોરસની બાજુ $S$ છે. તેનું ક્ષેત્રફળ આપેલ પાંચ ચોરસના ક્ષેત્રફળના સરવાળા જેટલું હોવાથી:
$S^2 = 961 \ cm^2$
$S = \sqrt{961} = 31 \ cm$.
નવા ચોરસની પરિમિતિ $P = 4 \times S = 4 \times 31 = 124 \ cm$ થાય.

(B) ચોરસ રૂમની બાજુનું માપ $3 \text{ m}$ છે.
રૂમનું ક્ષેત્રફળ $= 3 \text{ m} \times 3 \text{ m} = 9 \text{ m}^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$,તેથી $1 \text{ m}^2 = 10,000 \text{ cm}^2$.
તેથી,રૂમનું ક્ષેત્રફળ $\text{cm}^2$ માં $= 9 \times 10,000 = 90,000 \text{ cm}^2$.
એક આરસની લાદીનું ક્ષેત્રફળ $= 20 \text{ cm} \times 30 \text{ cm} = 600 \text{ cm}^2$.
જરૂરી લાદીઓની સંખ્યા $= \frac{\text{રૂમનું કુલ ક્ષેત્રફળ}}{\text{એક લાદીનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{90,000 \text{ cm}^2}{600 \text{ cm}^2} = 150$.

(B) ધારો કે મોટા રેખાખંડની લંબાઈ $x \, cm$ છે.
તેથી,નાના રેખાખંડની લંબાઈ $(x - 2) \, cm$ થશે.
મોટા રેખાખંડ દ્વારા બનતા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $x^2 \, cm^2$ છે.
નાના રેખાખંડ દ્વારા બનતા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $(x - 2)^2 \, cm^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ક્ષેત્રફળનો તફાવત $32 \, cm^2$ છે:
$x^2 - (x - 2)^2 = 32$
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(x - (x - 2))(x + (x - 2)) = 32$
$(2)(2x - 2) = 32$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા:
$2x - 2 = 16$
$2x = 18$
$x = 9$
તેથી,મોટા રેખાખંડની લંબાઈ $9 \, cm$ છે.

(B) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે.
વર્તુળનો પરિઘ $C = 2 \pi r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પરિઘ અને ક્ષેત્રફળ સંખ્યાત્મક રીતે સમાન છે:
$2 \pi r = \pi r^2$
બંને બાજુને $\pi r$ વડે ભાગતા (ધારી લો કે $r \neq 0$):
$2 = r$
આમ,ત્રિજ્યા $r = 2$ મળે છે.
વર્તુળનો વ્યાસ $d = 2r$ થાય:
$d = 2 \times 2 = 4$.
તેથી,વ્યાસ $4$ છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 15 \, m$,$b = 16 \, m$ અને $c = 17 \, m$ છે.
પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી કરો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{15 + 16 + 17}{2} = \frac{48}{2} = 24 \, m$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
કિંમતો મૂકતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{24(24 - 15)(24 - 16)(24 - 17)}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{24 \times 9 \times 8 \times 7}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{12096} = \sqrt{576 \times 21} = 24 \sqrt{21} \, m^{2}$.

(A) પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,ત્રિકોણની ઊંચાઈ નીચે મુજબ મળે છે:
ઊંચાઈ $= \sqrt{(\text{કર્ણ})^2 - (\text{પાયો})^2}$
ઊંચાઈ $= \sqrt{(6.5)^2 - 6^2}$
ઊંચાઈ $= \sqrt{42.25 - 36}$
ઊંચાઈ $= \sqrt{6.25} = 2.5\,m$
કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 6\,m \times 2.5\,m$
ક્ષેત્રફળ $= 3 \times 2.5 = 7.5\,m^2$

(B) સમબાજુ ત્રિકોણની બધી બાજુઓ સમાન હોય છે. આપેલી બાજુ $a = 12\, cm$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ $h$ શોધવાનું સૂત્ર $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a$ છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા:
$h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 12\, cm$
$h = 6 \sqrt{3}\, cm$.
વૈકલ્પિક રીતે,ક્ષેત્રફળના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 144 = 36 \sqrt{3}\, cm^2$.
વળી,ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 12 \times h = 6h$.
બંનેને સરખાવતા: $6h = 36 \sqrt{3}$,તેથી $h = 6 \sqrt{3}\, cm$.

(B) ધારો કે દરેક સમાન બાજુની લંબાઈ $x \, m$ છે.
ત્રિકોણની બાજુઓ $x, x$ અને $64$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{x + x + 64}{2} = x + 32$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
$1600 = \sqrt{(x+32)(x+32-x)(x+32-x)(x+32-64)}$.
$1600 = \sqrt{(x+32)(32)(32)(x-32)}$.
$1600 = 32 \sqrt{(x+32)(x-32)}$.
$50 = \sqrt{x^{2} - 32^{2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$2500 = x^{2} - 1024$.
$x^{2} = 3524$.
$x = \sqrt{3524} \approx 59.36 \, m$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 20\, m$,$b = 21\, m$ અને $c = 29\, m$ છે.
સૌ પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $(s)$ ની ગણતરી કરો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{20 + 21 + 29}{2} = \frac{70}{2} = 35\, m$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે છે:
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
કિંમતો મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{35(35 - 20)(35 - 21)(35 - 29)}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{35 \times 15 \times 14 \times 6}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{(5 \times 7) \times (3 \times 5) \times (2 \times 7) \times (2 \times 3)}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{5^2 \times 7^2 \times 3^2 \times 2^2}$
ક્ષેત્રફળ $= 5 \times 7 \times 3 \times 2 = 210\, m^2$.