Heights and Distances Questions in Gujarati

(D) ધારો કે બિલ્ડિંગ $AB$ ની ઊંચાઈ $H$ મીટર છે.
ધારો કે $Q$ એ ટાવરની ટોચ છે અને $P$ એ ટાવરનો પાયો છે. આપેલ છે કે $QP = 30 \ m$.
$\Delta APQ$ માં,$A$ થી $Q$ નો ઉત્સેધકોણ એ $Q$ થી $A$ ના અવસેધકોણ જેટલો હોય છે,જે $60^{\circ}$ છે.
$\tan 60^{\circ} = \frac{QP}{AP} = \frac{30}{AP} = \sqrt{3}$
$AP = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10 \sqrt{3} \ m$.
ધારો કે $R$ એ $QP$ પરનું એક બિંદુ છે જેથી $BR$ સમક્ષિતિજ હોય. તેથી $BR = AP = 10 \sqrt{3} \ m$.
$B$ થી $Q$ નો ઉત્સેધકોણ એ $Q$ થી $B$ ના અવસેધકોણ જેટલો હોય છે,જે $45^{\circ}$ છે.
$\Delta BRQ$ માં,$\tan 45^{\circ} = \frac{QR}{BR} = 1$.
$QR = BR = 10 \sqrt{3} \ m$.
બિલ્ડિંગની ઊંચાઈ $H = AB = RP = QP - QR$.
$H = 30 - 10 \sqrt{3} = 30 - 10(1.732) = 30 - 17.32 = 12.68 \ m$.

(D) ધારો કે $AB$ અને $PQ$ એ $h$ મીટર સમાન ઊંચાઈના બે ટાવર છે. ધારો કે રસ્તા $BQ$ પરનું બિંદુ $T$ એવું છે કે જેથી $BT = x$ અને $TQ = 100 - x$ થાય.
$\Delta ABT$ માં, $\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BT} = \frac{h}{x}$.
તેથી, $x = \frac{h}{\tan 60^{\circ}} = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
$\Delta PQT$ માં, $\tan 30^{\circ} = \frac{PQ}{TQ} = \frac{h}{100 - x}$.
તેથી, $100 - x = \frac{h}{\tan 30^{\circ}} = h\sqrt{3}$.
$x = \frac{h}{\sqrt{3}}$ ની કિંમત $100 - x = h\sqrt{3}$ સમીકરણમાં મુકતા:
$100 = x + h\sqrt{3} = \frac{h}{\sqrt{3}} + h\sqrt{3}$.
$100 = h \left( \frac{1 + 3}{\sqrt{3}} \right) = h \left( \frac{4}{\sqrt{3}} \right)$.
$h = \frac{100 \sqrt{3}}{4} = 25 \sqrt{3} \, m$.

(C) ધારો કે સીડી $AP$ ની લંબાઈ $l \ m$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABP$ માં,સીડીના પાયા $P$ આગળનો ઉન્નતકોણ $\angle APB = 60^{\circ}$ છે.
સીડીના પાયાથી ઘર સુધીનું અંતર $BP = 6.5 \ m$ છે.
કોસાઈન $(cos)$ ના ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 60^{\circ} = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{BP}{AP}$
$\frac{1}{2} = \frac{6.5}{l}$
$l = 6.5 \times 2 = 13 \ m$.
આમ,સીડીની લંબાઈ $13 \ m$ છે.

(A) ધારો કે વિમાનની રસ્તાથી ઊંચાઈ $H$ માઈલ છે.
ધારો કે $P$ એ વિમાનનું સ્થાન છે અને $Q$ એ તેની બરાબર નીચે રસ્તા પરનું બિંદુ છે.
ધારો કે $R$ અને $S$ એ રસ્તા પરના બે ક્રમિક માઈલસ્ટોન છે.
બે ક્રમિક માઈલસ્ટોન વચ્ચેનું અંતર $RS = 1 \text{ માઈલ}$ છે.
$\Delta PQR$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{H}{QR} \Rightarrow QR = \frac{H}{\sqrt{3}}$.
$\Delta PQS$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{H}{QS} \Rightarrow QS = H\sqrt{3}$.
કારણ કે $QS = QR + RS$,તેથી $H\sqrt{3} = \frac{H}{\sqrt{3}} + 1$.
$\sqrt{3}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $3H = H + \sqrt{3}$.
$2H = \sqrt{3} \Rightarrow H = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ માઈલ}$.

(A) ધારો કે ટાવર $PQ$ ની ઊંચાઈ $H$ છે. ધારો કે $S$ એ $60 \ m$ ઊંચી ટેકરીની ટોચ છે. $R$ એ જમીન પરનું બિંદુ છે જે $S$ ની બરાબર નીચે છે.
$\Delta SRQ$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{SR}{RQ} = \frac{60}{RQ}$.
તેથી,$RQ = \frac{60}{\tan 60^{\circ}} = \frac{60}{\sqrt{3}} = 20\sqrt{3} \ m$.
કારણ કે $RQ = TP$,તેથી $TP = 20\sqrt{3} \ m$.
$\Delta STP$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{ST}{TP} = \frac{60 - H}{20\sqrt{3}}$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{60 - H}{20\sqrt{3}}$.
$20 = 60 - H$.
$H = 60 - 20 = 40 \ m$.

(D) ધારો કે $PQ$ એ અધૂરા ટાવરની ઊંચાઈ છે અને $R$ એ પાયા $Q$ થી $120 \ m$ દૂર જમીન પરનું બિંદુ છે.
$\Delta PQR$ માં,$\tan 45^{\circ} = \frac{PQ}{RQ}$.
$\tan 45^{\circ} = 1$ હોવાથી,$PQ = RQ = 120 \ m$ મળે.
ધારો કે ટાવરને $P'$ ઊંચાઈ સુધી વધારવામાં આવે છે જેથી $R$ થી ઉત્સેધકોણ $60^{\circ}$ થાય.
$\Delta P'QR$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{P'Q}{RQ}$.
$\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ હોવાથી,$P'Q = RQ \cdot \sqrt{3} = 120 \sqrt{3} \ m$ મળે.
જરૂરી વધારાની ઊંચાઈ $P'P = P'Q - PQ = 120 \sqrt{3} - 120 = 120(\sqrt{3} - 1) \ m$ છે.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા,$P'P = 120(1.732 - 1) = 120 \times 0.732 = 87.84 \ m$ મળે.

(D) ધારો કે ખડકની ઊંચાઈ $PS = 200 \, m$ છે. ધારો કે બે વહાણો $Q$ અને $R$ બિંદુઓ પર છે જેથી $S, Q, R$ એકરેખસ્થ છે.
$\Delta PQS$ માં,ઉત્સેધકોણ $45^{\circ}$ છે.
$\tan 45^{\circ} = \frac{PS}{SQ} \implies 1 = \frac{200}{SQ} \implies SQ = 200 \, m$.
$\Delta PRS$ માં,ઉત્સેધકોણ $30^{\circ}$ છે.
$\tan 30^{\circ} = \frac{PS}{SR} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{200}{SQ + QR}$.
$SQ + QR = 200\sqrt{3}$.
$200 + QR = 200(1.732) = 346.4$.
$QR = 346.4 - 200 = 146.4 \, m$.
આમ,બે વહાણો વચ્ચેનું અંતર $146.4 \, m$ છે.

(A) ધારો કે $PQ$ એ ટાવર છે અને $R$ અને $S$ એ હોડીના બે સ્થાનો છે. આપેલ છે કે $RQ = 60 \ m$,$\angle PSQ = 30^{\circ}$,અને $\angle PRQ = 45^{\circ}$.
$\Delta PQR$ માંથી,$\tan 45^{\circ} = \frac{PQ}{RQ} = 1$.
તેથી,$PQ = RQ = 60 \ m$.
$\Delta PQS$ માંથી,$\tan 30^{\circ} = \frac{PQ}{QS} = \frac{60}{RQ + RS} = \frac{60}{60 + RS} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $60 + RS = 60\sqrt{3}$.
તેથી,$RS = 60(\sqrt{3} - 1) \ m$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા,$RS = 60(1.732 - 1) = 60 \times 0.732 = 43.92 \ m$.
હોડીની ઝડપ = $\frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{43.92 \ m}{5 \ s} = 8.784 \ m/s$.
$km/hr$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,$\frac{18}{5}$ વડે ગુણો:
ઝડપ = $8.784 \times \frac{18}{5} = 31.62 \ km/hr$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,ઝડપ આશરે $32 \ km/hr$ છે.

(C) ધારો કે ટાવર $QR$ છે અને જમીન પરનું બિંદુ $P$ છે.
આપેલ છે: ટાવરની ઊંચાઈ $QR = 100 \ m$,અને ઉત્સેધકોણ $\angle QPR = 30^{\circ}$.
ધારો કે ટાવરના પાયા $Q$ થી બિંદુ $P$ નું અંતર $PQ = x$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta PQR$ માં:
$\tan(30^{\circ}) = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{QR}{PQ}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{100}{x}$
$x = 100 \sqrt{3} \ m$
$\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા,આપણને મળે છે:
$x = 100 \times 1.732 = 173.2 \ m$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,અંતર $173 \ m$ થાય.

(C) ધારો કે $PQ$ એ ટાવરની ઊંચાઈ $H$ છે. ધારો કે કાર શરૂઆતમાં $S$ બિંદુ પર છે અને $12$ મિનિટ પછી $R$ બિંદુ પર છે. અવસેધકોણ અનુક્રમે $30^{\circ}$ અને $45^{\circ}$ છે,જે ઉત્સેધકોણ $\angle PSQ = 30^{\circ}$ અને $\angle PRQ = 45^{\circ}$ ની બરાબર છે.
$\Delta PQR$ માં,$\tan 45^{\circ} = \frac{PQ}{RQ} = 1 \implies PQ = RQ = H$.
$\Delta PQS$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{PQ}{SQ} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies SQ = H\sqrt{3}$.
અંતર $SR = SQ - RQ = H\sqrt{3} - H = H(\sqrt{3} - 1)$.
કાર $12$ મિનિટમાં $SR$ અંતર કાપે છે. ધારો કે $RQ$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t$ મિનિટ છે.
ઝડપ સમાન હોવાથી,$\frac{SR}{12} = \frac{RQ}{t}$.
$\frac{H(\sqrt{3} - 1)}{12} = \frac{H}{t} \implies t = \frac{12}{\sqrt{3} - 1} = \frac{12(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = 6(\sqrt{3} + 1) \approx 6(1.732 + 1) = 6(2.732) = 16.392 \text{ મિનિટ}$.
$0.392 \text{ મિનિટ} = 0.392 \times 60 \approx 23.5 \text{ સેકન્ડ}$.
આમ,સમય $16 \text{ મિનિટ } 23 \text{ સેકન્ડ}$ છે.

(D) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $NM = H$ અને અંતર $LM = x$ છે.
$\triangle NQM$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{NM}{QM} \implies \sqrt{3} = \frac{H}{QM} \implies QM = \frac{H}{\sqrt{3}}$.
$\triangle NLM$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{NM}{LM} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{H}{x} \implies x = H\sqrt{3}$.
અહીં ટાવરની ઊંચાઈ $H$ આપેલી ન હોવાથી,$x$ નું ચોક્કસ આંકડાકીય મૂલ્ય શોધી શકાતું નથી.
તેથી,આપેલી માહિતી અપૂરતી છે.

(A) ધારો કે $QR$ એ ઝાડ દર્શાવે છે અને $PQ$ એ તેનો પડછાયો દર્શાવે છે,જે આકૃતિમાં બતાવ્યા મુજબ છે.
આપેલ છે કે પડછાયાની લંબાઈ એ ઝાડની ઊંચાઈ કરતાં $\sqrt{3}$ ગણી છે,એટલે કે $PQ = \sqrt{3} QR$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PQR$ માં,ઉત્સેધકોણ $\theta$ નીચે મુજબ શોધી શકાય:
$\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{QR}{PQ}$
$PQ$ ની આપેલી કિંમત મૂકતા:
$\tan \theta = \frac{QR}{\sqrt{3} QR} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી:
$\theta = 30^{\circ}$

(C) આકૃતિમાં,સીડીને $AC$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવી છે,જ્યાં $AC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ નો કર્ણ છે.
સીડીના પાયાથી દીવાલનું અંતર $AB = 4.242 \ m$ છે.
કોસાઇન (cosine) માટે ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 45^{\circ} = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{AB}{AC}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4.242}{AC}$
$AC = 4.242 \times \sqrt{2}$
આપેલ છે કે $\sqrt{2} \approx 1.414$,તેથી:
$AC = 4.242 \times 1.414 \approx 6 \ m$.
આમ,સીડીની લંબાઈ $6 \ m$ છે.

(C) ધારો કે ઝાડ $BC$ છે જેની ઊંચાઈ $H$ છે અને નદીની પહોળાઈ $DB = x$ છે.
આપેલ આકૃતિ પરથી,$\triangle DBC$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{H}{x}$.
કારણ કે $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,તેથી $H = x\sqrt{3} \quad \dots(1)$.
$\triangle ABC$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{H}{AB} = \frac{H}{36 + x}$.
કારણ કે $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $H = \frac{36 + x}{\sqrt{3}} \quad \dots(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$x\sqrt{3} = \frac{36 + x}{\sqrt{3}}$
$3x = 36 + x$
$2x = 36$
$x = 18 \ m$.
આમ,નદીની પહોળાઈ $18 \ m$ છે.

(A) ધારો કે $CD$ એ $60 \ m$ ઊંચાઈનો ટાવર છે અને $AB$ એ $h$ ઊંચાઈનો બીજો ટાવર છે. ધારો કે નદીની પહોળાઈ $BD = x$ છે.
આકૃતિ પરથી,$CD = 60 \ m$. $C$ થી ટાવર $AB$ ની ટોચ (બિંદુ $A$) નો અવસેધકોણ $30^{\circ}$ છે અને $C$ થી ટાવર $AB$ ના તળિયા (બિંદુ $B$) નો અવસેધકોણ $60^{\circ}$ છે.
$\Delta CBD$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{CD}{BD} = \frac{60}{x}$.
$\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ હોવાથી,$\sqrt{3} = \frac{60}{x}$,જે આપણને $x = \frac{60}{\sqrt{3}} = 20 \sqrt{3} \ m$ આપે છે. આમ,નદીની પહોળાઈ $20 \sqrt{3} \ m$ છે.
હવે,$A$ થી $CD$ સુધી એક આડી રેખા દોરો,જે $CD$ ને બિંદુ $E$ પર મળે છે. તેથી $AE = BD = 20 \sqrt{3} \ m$ અને $ED = AB = h$.
$\Delta CAE$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{CE}{AE} = \frac{CE}{20 \sqrt{3}}$.
$\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{CE}{20 \sqrt{3}}$,જે આપણને $CE = 20 \ m$ આપે છે.
તેથી,બીજા ટાવરની ઊંચાઈ $AB = ED = CD - CE = 60 - 20 = 40 \ m$ છે.

(A) ધારો કે $AB$ એ સળિયો છે અને $AC$ તેનો પડછાયો છે.
ધારો કે $\angle ACB = \theta$.
આપેલ છે કે સળિયાની લંબાઈ અને તેના પડછાયાનો ગુણોત્તર $AB : AC = 1 : \sqrt{3}$ છે.
ધારો કે $AB = x$,તો $AC = \sqrt{3}x$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ માં,આપણી પાસે છે:
$\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{AB}{AC}$
$\tan \theta = \frac{x}{\sqrt{3}x} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\theta = 30^{\circ}$.
આમ,સૂર્યનો ઉન્નતકોણ $30^{\circ}$ છે.

(B) ધારો કે થાંભલાની ઊંચાઈ $AB = h$ છે અને તેના પડછાયાની લંબાઈ $AC = h$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,જ્યાં $\angle A = 90^{\circ}$ અને $\angle C = \theta$ એ સૂર્યનો ઉન્નતકોણ છે:
$\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{AB}{AC}$
$\tan \theta = \frac{h}{h} = 1$
કારણ કે $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $\theta = 45^{\circ}$.

(C) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h \ m$ છે.
આપેલ છે કે ટાવરના પાયાથી અંતર $100 \ m$ છે અને ઉત્સેધકોણ $30^{\circ}$ છે.
બનેલા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,આપણી પાસે છે:
$\tan(30^{\circ}) = \frac{\text{ટાવરની ઊંચાઈ}}{\text{પાયાથી અંતર}}$
$\tan(30^{\circ}) = \frac{h}{100}$
કારણ કે $\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી આપણને મળે છે:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{100}$
$h = \frac{100}{\sqrt{3}} \ m$.

(B) ધારો કે $AB$ એ ઇમારત છે અને $AC$ તેનો પડછાયો છે.
આપેલ છે કે,ઇમારતની ઊંચાઈ $AB = 50 \ m$ અને સૂર્યનો ઉત્સેધકોણ $\theta = 30^{\circ}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ માં,આપણી પાસે છે:
$\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{AB}{AC}$
$\tan 30^{\circ} = \frac{50}{AC}$
કારણ કે $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{AC}$
$AC = 50 \sqrt{3} \ m$
તેથી,પડછાયાની લંબાઈ $50 \sqrt{3} \ m$ છે.

(B) ધારો કે $OP$ એ મૂળ થાંભલો છે,જે બિંદુ $A$ પર તૂટે છે. ધારો કે ઉપરનો ભાગ $P$ જમીન પર $P^{\prime}$ બિંદુએ સ્પર્શે છે.
આપેલ છે: $OP^{\prime} = 21 \ m$ અને $\angle OP^{\prime}A = 30^{\circ}$.
$\triangle AOP^{\prime}$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{OA}{OP^{\prime}}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{OA}{21} \Rightarrow OA = \frac{21}{\sqrt{3}} = 7\sqrt{3} \ m$.
વળી,$\cos 30^{\circ} = \frac{OP^{\prime}}{AP^{\prime}}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{21}{AP^{\prime}} \Rightarrow AP^{\prime} = \frac{42}{\sqrt{3}} = 14\sqrt{3} \ m$.
તૂટેલો ભાગ $AP$ એ $AP^{\prime}$ જેટલો હોવાથી,થાંભલાની કુલ ઊંચાઈ $OA + AP = OA + AP^{\prime}$ થશે.
કુલ ઊંચાઈ $= 7\sqrt{3} + 14\sqrt{3} = 21\sqrt{3} \ m$.

(A) ધારો કે ઝાડ $PQ$ છે,જ્યાં $Q$ મૂળ છે અને $M$ એ બિંદુ છે જ્યાંથી તે તૂટે છે. જ્યારે ટોચ $P$ જમીન પર $A$ બિંદુએ સ્પર્શે છે,ત્યારે આપણને કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle MQA$ મળે છે જેમાં $\angle MAQ = 30^{\circ}$ અને $AQ = 10 \ m$ છે.
$\triangle MQA$ માં:
$\tan 30^{\circ} = \frac{MQ}{AQ} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{MQ}{10} \Rightarrow MQ = \frac{10}{\sqrt{3}} \ m$.
વળી,$\cos 30^{\circ} = \frac{AQ}{AM} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10}{AM} \Rightarrow AM = \frac{20}{\sqrt{3}} \ m$.
તૂટેલો ભાગ $MP$ એ $AM$ જેટલો હોવાથી,ઝાડની કુલ ઊંચાઈ $MQ + MP = MQ + AM$ થાય.
ઊંચાઈ $= \frac{10}{\sqrt{3}} + \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3} \ m$.

(D) ધારો કે ટાવર $AB$ ની ઊંચાઈ $h$ છે. રસ્તા પરના બે બિંદુઓ $C$ અને $D$ છે જેથી $CD = 500 \ m$ થાય. ધારો કે $AD = x$ છે.
$\triangle ABD$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{AD} = \frac{h}{x} \implies x = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
$\triangle ABC$ માં,$\tan 45^{\circ} = \frac{AB}{AC} = \frac{h}{x+500} \implies 1 = \frac{h}{\frac{h}{\sqrt{3}} + 500}$.
$h = \frac{h}{\sqrt{3}} + 500 \implies h(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}) = 500 \implies h(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}) = 500$.
$h = \frac{500 \sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \ m$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $h = \frac{500 \sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{500(3+\sqrt{3})}{2} = 250(3+\sqrt{3}) \ m$.

(C) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h \ m$ છે. ધારો કે જ્યારે સૂર્યનો ઉન્નતકોણ $60^{\circ}$ હોય ત્યારે પડછાયો $AB$ છે અને જ્યારે સૂર્યનો ઉન્નતકોણ $30^{\circ}$ હોય ત્યારે પડછાયો $AC$ છે.
આપેલ છે કે,$BC = 50 \ m$.
$\triangle TAB$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{h}{AB} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{AB} \Rightarrow AB = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
$\triangle TAC$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{AC} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{AB + 50} \Rightarrow AB + 50 = h\sqrt{3}$.
બીજા સમીકરણમાં $AB = \frac{h}{\sqrt{3}}$ મૂકતા:
$\frac{h}{\sqrt{3}} + 50 = h\sqrt{3}$
$50 = h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}}$
$50 = h \left( \frac{3 - 1}{\sqrt{3}} \right) = h \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)$
$h = \frac{50 \sqrt{3}}{2} = 25 \sqrt{3} \ m$.

(B) ધારો કે $ABCD$ એ લંબચોરસ છે જ્યાં $\angle BAC = 30^{\circ}$ અને વિકર્ણ $AC = 6 \text{ cm}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ માં:
$\cos 30^{\circ} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AB}{6} \Rightarrow AB = 3\sqrt{3} \text{ cm}$.
$\sin 30^{\circ} = \frac{BC}{AC} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{BC}{6} \Rightarrow BC = 3 \text{ cm}$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= AB \times BC = (3\sqrt{3}) \times 3 = 9\sqrt{3} \text{ cm}^2$ થાય.

(C) ધારો કે $AB$ એ $100 \text{ m}$ ઊંચાઈ ધરાવતો ટાવર છે. ધારો કે જ્યારે ઉત્સેધકોણ અનુક્રમે $30^{\circ}$ અને $45^{\circ}$ હોય ત્યારે પડછાયાની લંબાઈ $AC$ અને $AD$ છે.
$\triangle ABD$ માં,$\tan 45^{\circ} = \frac{AB}{AD} \Rightarrow 1 = \frac{100}{AD} \Rightarrow AD = 100 \text{ m}$.
$\triangle ABC$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{100}{AC} \Rightarrow AC = 100\sqrt{3} \text{ m}$.
પડછાયાની લંબાઈમાં ઘટાડો $x = AC - AD$ છે.
$x = 100\sqrt{3} - 100 = 100(\sqrt{3} - 1) \text{ m}$.

(A) ધારો કે વીજળીના થાંભલાની ઊંચાઈ $PQ = 20 \, m$ છે અને સ્ટીલના તારની લંબાઈ $OP$ છે. થાંભલો જમીન સાથે કાટખૂણો બનાવે છે,તેથી $\triangle OPQ$ એ $Q$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર $\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 60^{\circ} = \frac{PQ}{OP}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{20}{OP}$
$OP = \frac{20 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{40}{\sqrt{3}} \, m$.
આમ,સ્ટીલના તારની લંબાઈ $\frac{40}{\sqrt{3}} \, m$ છે.

(C) ધારો કે $T$ એ દીવાદાંડીની ટોચ છે અને $L$ એ સમુદ્ર સપાટી પર દીવાદાંડીનો પાયો છે. ધારો કે $B$ એ હોડીનું સ્થાન છે.
આપેલ છે કે,દીવાદાંડીની ઊંચાઈ $TL = 50 \ m$ છે.
ટોચ $T$ થી હોડી $B$ નો અવસેધકોણ $30^{\circ}$ છે.
દ્રષ્ટિરેખા સમુદ્ર સપાટીને સમાંતર હોવાથી,હોડી $B$ થી ટોચ $T$ નો ઉત્સેધકોણ પણ $30^{\circ}$ થશે (યુગ્મકોણ).
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle TBL$ માં:
$\tan(30^{\circ}) = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{TL}{BL}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{BL}$
$BL = 50 \sqrt{3} \ m$
તેથી,હોડી દીવાદાંડીથી $50 \sqrt{3} \ m$ દૂર છે.

(C) ધારો કે $AB$ એ $25 \ m$ ઊંચી ટેકરી છે અને $CD$ એ ટાવર છે.
ધારો કે ટેકરીની ટોચ $B$ થી ટાવરની ટોચ $D$ નો ઉત્સેધકોણ $\alpha$ છે.
ધારો કે ટેકરીની ટોચ $B$ થી ટાવરના તળિયા $C$ નો અવસેધકોણ $\alpha$ છે.
$BE \perp CD$ દોરો,જ્યાં $E$ એ $CD$ પર છે.
$\triangle ABC$ માં,$\tan \alpha = \frac{AB}{AC} = \frac{25}{AC}$.
$\triangle BDE$ માં,$\tan \alpha = \frac{DE}{BE}$.
કારણ કે $BE = AC$,તેથી $\frac{DE}{BE} = \frac{25}{BE}$,જેનો અર્થ છે કે $DE = 25 \ m$.
કારણ કે $CE = AB = 25 \ m$,તેથી ટાવરની કુલ ઊંચાઈ $CD = CE + DE = 25 + 25 = 50 \ m$ થાય.

(B) ધારો કે થાંભલાની ઊંચાઈ $h$ છે અને પડછાયાની લંબાઈ $x$ છે.
આપેલ છે કે પડછાયાની લંબાઈ થાંભલાની ઊંચાઈ જેટલી છે,તેથી $h = x$.
થાંભલા અને તેના પડછાયા દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,ઉત્સેધકોણ $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tan \theta = \frac{\text{થાંભલાની ઊંચાઈ}}{\text{પડછાયાની લંબાઈ}} = \frac{h}{x}$
કારણ કે $h = x$,તેથી આપણને મળે:
$\tan \theta = \frac{h}{h} = 1$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 45^{\circ} = 1$.
તેથી,$\theta = 45^{\circ}$.

(B) ધારો કે $AC$ એ $60 \ m$ ઊંચી દીવાદાંડી છે અને $B$ એ હોડીનું સ્થાન છે.
ધારો કે દીવાદાંડીના પાયાથી હોડીનું અંતર $x$ છે $(AB = x)$.
ટોચ $C$ થી હોડી $B$ નો અવસેધકોણ $15^{\circ}$ છે,તેથી હોડીથી ટોચનો ઉત્સેધકોણ પણ $15^{\circ}$ થશે.
$\triangle ABC$ માં,$\tan 15^{\circ} = \frac{AC}{AB} = \frac{60}{x}$.
તેથી,$x = \frac{60}{\tan 15^{\circ}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 15^{\circ} = \tan(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \frac{\tan 45^{\circ} - \tan 30^{\circ}}{1 + \tan 45^{\circ} \tan 30^{\circ}} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.
આ કિંમત $x$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = 60 \div \left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\right) = 60 \left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\right) \ m$.

(B) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને ટાવરથી બીજા બિંદુનું અંતર $x$ છે.
$\triangle BAQ$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{h}{x} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{x} \implies h = x\sqrt{3} \quad \dots(1)$
$\triangle BAP$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{x+20} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x+20} \implies x+20 = h\sqrt{3} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $x = \frac{h}{\sqrt{3}}$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$\frac{h}{\sqrt{3}} + 20 = h\sqrt{3}$
$20 = h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}}$
$20 = h \left( \frac{3-1}{\sqrt{3}} \right)$
$20 = h \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)$
$h = \frac{20 \times \sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \ m$.

(B) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h \ m$ છે.
આપેલ છે કે ટાવરના પાયાથી અવલોકન બિંદુનું અંતર $20 \ m$ છે.
ઉત્સેધકોણ $45^{\circ}$ છે.
બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,આપણી પાસે છે:
$\tan(45^{\circ}) = \frac{\text{ટાવરની ઊંચાઈ}}{\text{પાયાથી અંતર}}$
$\tan(45^{\circ}) = \frac{h}{20}$
કારણ કે $\tan(45^{\circ}) = 1$,તેથી:
$1 = \frac{h}{20}$
$h = 20 \ m$.
આમ,ટાવરની ઊંચાઈ $20 \ m$ છે.

(A) ધારો કે $MP$ એ $15 \, m$ ઊંચાઈ ધરાવતું ઘર છે.
ધારો કે $O$ એ જમીન પરનું બિંદુ છે જે ઘરના પાયા $M$ થી $15 \, m$ ના અંતરે છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OMP$ માં,બિંદુ $O$ થી ટોચ $P$ નો ઉત્સેધકોણ $\theta$ છે.
ટેન્જન્ટના ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{MP}{OM}$
$\tan \theta = \frac{15 \, m}{15 \, m} = 1$
કારણ કે $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $\theta = 45^{\circ}$.

(C) ધારો કે $MA$ એ $h$ મીટર ઊંચાઈ ધરાવતું લાઇટહાઉસ છે. ધારો કે $P$ અને $Q$ એ બે હોડીઓના સ્થાન છે જેથી $PQ = 60 \, m$ થાય.
$\triangle AMP$ માં,$\tan 45^{\circ} = \frac{MA}{MP} \implies 1 = \frac{h}{MP} \implies MP = h$.
$\triangle AMQ$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{MA}{MQ} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{MP + PQ} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{h + 60}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$h + 60 = h\sqrt{3}$ મળે.
પદોની ગોઠવણી કરતા,$h(\sqrt{3} - 1) = 60$.
$h = \frac{60}{\sqrt{3} - 1}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,$h = \frac{60(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{60(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{60(\sqrt{3} + 1)}{2} = 30(\sqrt{3} + 1) \, m$.

(B) ધારો કે ટેકરીની ઊંચાઈ $h$ છે અને સમક્ષિતિજ સમતલ પર ટેકરીનો પાયો $O$ છે.
દરેક શિરોબિંદુ $A, B, C$ થી ઉત્સેધકોણ $\alpha$ હોવાથી,$OA = OB = OC = h \cot \alpha$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $O$ એ $\triangle ABC$ નું પરિકેન્દ્ર છે,જેની પરિત્રિજ્યા $R = h \cot \alpha$ છે.
કોઈપણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,પરિત્રિજ્યા $R = \frac{a}{2 \sin A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $h \cot \alpha = \frac{a}{2 \sin A}$.
તેથી,$h = \frac{a \tan \alpha}{2 \sin A} = \frac{a}{2} \tan \alpha \operatorname{cosec} A$.

(A) ધારો કે $PQ = x$ એ ટાવરની ઊંચાઈ છે અને $A$ એ ટાવરના પાયા $Q$ ના સ્તર પરનું બિંદુ છે. આપેલ છે કે $\angle PAQ = 30^{\circ}$.
ધારો કે $B$ એ $A$ થી શિરોલંબ $h \ m$ ઊંચાઈએ આવેલું બિંદુ છે,તેથી $AB = h$. $B$ થી ટાવરના પાયા $Q$ નો અવસેધકોણ $60^{\circ}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\angle BQA = 60^{\circ}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABQ$ માં:
$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{AQ}$
$\sqrt{3} = \frac{h}{AQ}$
$AQ = \frac{h}{\sqrt{3}} = h \cot 60^{\circ}$.
આમ,બિંદુ $A$ થી ટાવરનું સમક્ષિતિજ અંતર $h \cot 60^{\circ}$ છે.

(A) ધારો કે $OP$ એ $h \, m$ ઊંચાઈનો ટાવર છે અને $PQ$ એ $6 \, m$ ઊંચાઈનો ધ્વજદંડ છે. ધારો કે સૂર્ય જમીન સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. ધારો કે $OA = x$ એ ટાવરનો પડછાયો છે અને $AB = 2 \sqrt{3} \, m$ એ ધ્વજદંડનો પડછાયો છે.
$\triangle OAP$ માં,$\tan \theta = \frac{OP}{OA} = \frac{h}{x}$.
$\triangle OBQ$ માં,$\tan \theta = \frac{OQ}{OB} = \frac{h + 6}{x + 2 \sqrt{3}}$.
$\tan \theta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{h}{x} = \frac{h + 6}{x + 2 \sqrt{3}}$
$h(x + 2 \sqrt{3}) = x(h + 6)$
$hx + 2 \sqrt{3}h = hx + 6x$
$2 \sqrt{3}h = 6x$
$\frac{h}{x} = \frac{6}{2 \sqrt{3}} = \sqrt{3}$.
કારણ કે $\tan \theta = \frac{h}{x}$,તેથી $\tan \theta = \sqrt{3}$.
આમ,$\theta = 60^{\circ}$.

(C) ધારો કે $OP$ એ ઝાડની ઊંચાઈ છે અને $OA$ એ નદીની પહોળાઈ છે.
$\triangle OAP$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{OP}{OA} = \sqrt{3} \implies OP = OA \sqrt{3}$.
જ્યારે વ્યક્તિ $40 \ m$ દૂર જાય છે,ત્યારે કિનારાથી નવું અંતર $OB = OA + 40$ થાય છે.
$\triangle OBP$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{OP}{OB} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
બીજા સમીકરણમાં $OP = OA \sqrt{3}$ મૂકતા:
$\frac{OA \sqrt{3}}{OA + 40} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$3 OA = OA + 40$
$2 OA = 40$
$OA = 20 \ m$.

(A) ધારો કે થાંભલાની ઊંચાઈ $AB = h$ છે અને પડછાયાની લંબાઈ $AC = \sqrt{3}h$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ માં,ઉન્નતકોણ $\theta$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{AB}{AC}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\tan \theta = \frac{h}{\sqrt{3}h} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
કારણ કે $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\theta = 30^{\circ}$.

(C) ધારો કે $OP = h$ એ ટાવરની ઊંચાઈ છે,જ્યાં $O$ એ ટાવરનો પાયો છે.
$\triangle OAP$ માં,$\angle OAP = \alpha$. તેથી,$OA = h \cot \alpha$.
$\triangle OBP$ માં,$\angle OBP = 2 \alpha$. તેથી,$OB = h \cot 2 \alpha$.
આપેલ છે કે $AB = a$,તેથી $OA - OB = a$.
તેથી,$h \cot \alpha - h \cot 2 \alpha = a$.
$h (\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos 2 \alpha}{\sin 2 \alpha}) = a$.
$h (\frac{\sin 2 \alpha \cos \alpha - \cos 2 \alpha \sin \alpha}{\sin \alpha \sin 2 \alpha}) = a$.
$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$h (\frac{\sin(2 \alpha - \alpha)}{\sin \alpha \sin 2 \alpha}) = a$.
$h (\frac{\sin \alpha}{\sin \alpha \sin 2 \alpha}) = a$.
$h (\frac{1}{\sin 2 \alpha}) = a$.
$h = a \sin 2 \alpha$.
આમ,ટાવરની ઊંચાઈ $a \sin 2 \alpha$ છે.

(B) ધારો કે ટાવરની પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h$ છે અને વધારાની જરૂરી ઊંચાઈ $x$ છે. પાયાથી અંતર $120 \ m$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,ઉત્સેધકોણ $45^{\circ}$ છે:
$\tan 45^{\circ} = \frac{h}{120}$
$1 = \frac{h}{120} \implies h = 120 \ m$.
બીજી શરત મુજબ,નવી ટોચનો ઉત્સેધકોણ $60^{\circ}$ છે:
$\tan 60^{\circ} = \frac{h+x}{120}$
$\sqrt{3} = \frac{120+x}{120}$
$120\sqrt{3} = 120 + x$
$x = 120\sqrt{3} - 120$
$x = 120(\sqrt{3}-1) \ m$.
આમ,ટાવરને $120(\sqrt{3}-1) \ m$ જેટલો વધારવો પડે.

(A) ધારો કે ટેકરી $QP$ ની ઊંચાઈ $h$ છે અને બીજા બિંદુ $A$ થી ટેકરીના પાયા $P$ સુધીનું અંતર $x$ છે.
$\triangle QPA$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{h}{x} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{x} \implies h = \sqrt{3}x$.
$\triangle QPO$ માં,અંતર $OA = \sqrt{3} \text{ km}$ છે,તેથી $OP = OA + AP = \sqrt{3} + x$.
$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{\sqrt{3} + x} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{\sqrt{3} + x} \implies \sqrt{3}h = \sqrt{3} + x$.
સમીકરણમાં $h = \sqrt{3}x$ મૂકતા: $\sqrt{3}(\sqrt{3}x) = \sqrt{3} + x \implies 3x = \sqrt{3} + x \implies 2x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ km}$.
તેથી,$h = \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} \text{ km}$.

(A) ધારો કે બે થાંભલાઓની ઊંચાઈ $h_1 = 20 \ m$ અને $h_2 = 14 \ m$ છે.
થાંભલાઓની ઊંચાઈનો તફાવત $h_1 - h_2 = 20 \ m - 14 \ m = 6 \ m$ છે.
ધારો કે તારની લંબાઈ $l$ છે.
તાર,સમક્ષિતિજ રેખા અને થાંભલાઓ વચ્ચેના ઊભી તફાવત દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,ઉત્સેધકોણ $30^{\circ}$ છે.
સાઇન ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\sin 30^{\circ} = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{6}{l}$.
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{1}{2} = \frac{6}{l}$.
તેથી,$l = 6 \times 2 = 12 \ m$.

(C) ધારો કે થાંભલાની ઊંચાઈ $H = 6 \, m$ છે અને તેના પડછાયાની લંબાઈ $S = 8 \, m$ છે.
ધારો કે માણસની ઊંચાઈ $h$ છે અને તેના પડછાયાની લંબાઈ $s = 2.4 \, m$ છે.
સૂર્યનો ઉત્સેધકોણ થાંભલા અને માણસ બંને માટે સમાન હોવાથી,ઊંચાઈ અને પડછાયાની લંબાઈનો ગુણોત્તર સમાન રહેશે.
$\frac{H}{S} = \frac{h}{s}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{6}{8} = \frac{h}{2.4}$
$\frac{3}{4} = \frac{h}{2.4}$
$h = \frac{3}{4} \times 2.4$
$h = 3 \times 0.6 = 1.8 \, m$.
આમ,માણસની ઊંચાઈ $1.8 \, m$ છે.

(D) ધારો કે $AB = h$ એ ટાવરની ઊંચાઈ છે અને $A$ એ ટાવરનો પાયો છે.
ધારો કે $GA = x$ એ ટાવરથી શરૂઆતનું અંતર છે.
$\triangle GAB$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{GA} = \frac{h}{x}$.
કારણ કે $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\frac{h}{x} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,એટલે કે $x = h\sqrt{3}$.
ટાવર તરફ $20 \ m$ ચાલ્યા પછી,નવું અંતર $HA = x - 20$ થાય છે.
$\triangle HAB$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{HA} = \frac{h}{x - 20}$.
કારણ કે $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,તેથી $\frac{h}{x - 20} = \sqrt{3}$,એટલે કે $h = \sqrt{3}(x - 20)$.
$x = h\sqrt{3}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $h = \sqrt{3}(h\sqrt{3} - 20)$.
$h = 3h - 20\sqrt{3}$.
$2h = 20\sqrt{3}$.
$h = 10\sqrt{3} \ m$.

(B) ધારો કે વિમાનની ઊંચાઈ $h = 4500 \text{ m}$ છે.
પ્રારંભિક સ્થાન $A$ અને અંતિમ સ્થાન $B$ છે.
બિંદુ $A$ પર, ઉત્સેધકોણ $60^{\circ}$ છે. જમીન પરના બિંદુથી $A$ ની નીચેના બિંદુ સુધીનું અંતર $x$ ધારો.
$\tan(60^{\circ}) = \frac{4500}{x} \implies \sqrt{3} = \frac{4500}{x} \implies x = \frac{4500}{\sqrt{3}} = 1500\sqrt{3} \text{ m}$.
બિંદુ $B$ પર, ઉત્સેધકોણ $30^{\circ}$ છે. જમીન પરના બિંદુથી $B$ ની નીચેના બિંદુ સુધીનું કુલ અંતર $y$ ધારો.
$\tan(30^{\circ}) = \frac{4500}{y} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4500}{y} \implies y = 4500\sqrt{3} \text{ m}$.
વિમાને કાપેલું અંતર $d = y - x = 4500\sqrt{3} - 1500\sqrt{3} = 3000\sqrt{3} \text{ m}$ છે.
લાગતો સમય $t = 30 \text{ s}$ છે.
ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{3000\sqrt{3}}{30} = 100\sqrt{3} \text{ m/s}$.

(D) ધારો કે બે થાંભલાઓ $AB$ અને $CD$ છે,જેની ઊંચાઈ અનુક્રમે $60 \ m$ અને $35 \ m$ છે.
ધારો કે $DE$ એ $D$ થી થાંભલા $AB$ સુધીની સમક્ષિતિજ રેખા છે,જે $AB$ ને $E$ બિંદુએ મળે છે.
તેથી $BE = CD = 35 \ m$.
ઊંચાઈ $AE = AB - BE = 60 - 35 = 25 \ m$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AED$ માં,ખૂણો $\phi$ છે.
આપેલ છે કે $\tan \phi = \frac{5}{9}$.
$\triangle AED$ માં,$\tan \phi = \frac{AE}{DE}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{5}{9} = \frac{25}{DE}$.
$DE = \frac{25 \times 9}{5} = 5 \times 9 = 45 \ m$.
આમ,બંને થાંભલાઓ વચ્ચેનું અંતર $45 \ m$ છે.

(D) ધારો કે ટૂંકા સ્તંભની ઊંચાઈ $CD = h$ અને ઊંચા સ્તંભની ઊંચાઈ $AB = 3h$ છે.
સ્તંભો વચ્ચેનું અંતર $BD = 120 \text{ m}$ છે.
ધારો કે $E$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $BE = ED = 60 \text{ m}$.
$\triangle ABE$ માં,$\tan \theta = \frac{AB}{BE} = \frac{3h}{60} = \frac{h}{20} \quad ... (i)$
$\triangle CDE$ માં,$\tan(90^\circ - \theta) = \frac{CD}{ED} = \frac{h}{60} \implies \cot \theta = \frac{h}{60} \quad ... (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો ગુણાકાર કરતા:
$\tan \theta \cdot \cot \theta = \frac{h}{20} \cdot \frac{h}{60}$
$1 = \frac{h^2}{1200}$
$h^2 = 1200$
$h = \sqrt{1200} = 20\sqrt{3} \text{ m}$.
ઊંચા સ્તંભની ઊંચાઈ $3h = 3 \times 20\sqrt{3} = 60\sqrt{3} \text{ m}$ છે.
$\sqrt{3} = 1.732$ નો ઉપયોગ કરતા,ઊંચાઈ $= 60 \times 1.732 = 103.92 \text{ m}$.

(A) ધારો કે તળાવની સપાટીથી વિમાનની ઊંચાઈ $H$ છે.
અવલોકન બિંદુ $P$ એ પાણીની સપાટીથી $30 \ m$ ઉપર છે.
બિંદુ $P$ થી વિમાનની ઊંચાઈ $(H - 30) \ m$ થશે.
તળાવમાં વિમાનના પ્રતિબિંબની ઊંડાઈ પાણીની સપાટીથી નીચે $H$ જેટલી હશે.
તેથી,બિંદુ $P$ થી પ્રતિબિંબની કુલ ઊંડાઈ $(H + 30) \ m$ થશે.
ધારો કે અવલોકન બિંદુથી વિમાનનું સમક્ષિતિજ અંતર $x$ છે.
ઉત્સેધકોણ પરથી: $\tan(30^{\circ}) = \frac{H - 30}{x} \implies x = \frac{H - 30}{\tan(30^{\circ})} = (H - 30)\sqrt{3}$.
પ્રતિબિંબના અવસેધકોણ પરથી: $\tan(60^{\circ}) = \frac{H + 30}{x} \implies x = \frac{H + 30}{\tan(60^{\circ})} = \frac{H + 30}{\sqrt{3}}$.
$x$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $(H - 30)\sqrt{3} = \frac{H + 30}{\sqrt{3}}$.
$3(H - 30) = H + 30$.
$3H - 90 = H + 30$.
$2H = 120$.
$H = 60 \ m$.

(B) ધારો કે $AD$ એ ઝાડની ઊંચાઈ $h$ છે. ધારો કે $C$ અને $B$ એ જમીન પરના બે થાંભલાઓના સ્થાન છે જેથી $CB = 2 \text{ m}$ થાય. ધારો કે $DC = x \text{ m}$ છે.
$\Delta ADC$ માં,ઉત્સેધકોણ $60^{\circ}$ છે:
$\tan 60^{\circ} = \frac{AD}{DC} = \frac{h}{x}$
$\sqrt{3} = \frac{h}{x} \implies x = \frac{h}{\sqrt{3}} \quad \dots(i)$
$\Delta ADB$ માં,ઉત્સેધકોણ $45^{\circ}$ છે:
$\tan 45^{\circ} = \frac{AD}{DB} = \frac{h}{x+2}$
$1 = \frac{h}{x+2} \implies x+2 = h \implies x = h-2 \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{h}{\sqrt{3}} = h-2$
$2 = h - \frac{h}{\sqrt{3}} = h \left(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = h \left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right)$
$h = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$h = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(3+\sqrt{3})}{3-1} = \frac{2(3+\sqrt{3})}{2} = (3+\sqrt{3}) \text{ m}$.