Heights and Distances Questions in Hindi

(D) माना भवन $AB$ की ऊँचाई $H$ मीटर है।
माना $Q$ मीनार का शीर्ष है और $P$ मीनार का आधार है। दिया है $QP = 30 \ m$।
$\Delta APQ$ में,$A$ से $Q$ का उन्नयन कोण,$Q$ से $A$ के अवनमन कोण के बराबर होता है,जो $60^{\circ}$ है।
$\tan 60^{\circ} = \frac{QP}{AP} = \frac{30}{AP} = \sqrt{3}$
$AP = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10 \sqrt{3} \ m$।
माना $R$,$QP$ पर एक बिंदु है ताकि $BR$ क्षैतिज हो। अतः $BR = AP = 10 \sqrt{3} \ m$।
$B$ से $Q$ का उन्नयन कोण,$Q$ से $B$ के अवनमन कोण के बराबर होता है,जो $45^{\circ}$ है।
$\Delta BRQ$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{QR}{BR} = 1$।
$QR = BR = 10 \sqrt{3} \ m$।
भवन की ऊँचाई $H = AB = RP = QP - QR$।
$H = 30 - 10 \sqrt{3} = 30 - 10(1.732) = 30 - 17.32 = 12.68 \ m$।

(D) माना $AB$ और $PQ$ समान ऊँचाई $h$ मीटर के दो टावर हैं। माना सड़क $BQ$ पर एक बिंदु $T$ इस प्रकार है कि $BT = x$ और $TQ = 100 - x$ है।
$\Delta ABT$ में, $\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BT} = \frac{h}{x}$.
अतः, $x = \frac{h}{\tan 60^{\circ}} = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
$\Delta PQT$ में, $\tan 30^{\circ} = \frac{PQ}{TQ} = \frac{h}{100 - x}$.
अतः, $100 - x = \frac{h}{\tan 30^{\circ}} = h\sqrt{3}$.
$x = \frac{h}{\sqrt{3}}$ का मान समीकरण $100 - x = h\sqrt{3}$ में रखने पर:
$100 = x + h\sqrt{3} = \frac{h}{\sqrt{3}} + h\sqrt{3}$.
$100 = h \left( \frac{1 + 3}{\sqrt{3}} \right) = h \left( \frac{4}{\sqrt{3}} \right)$.
$h = \frac{100 \sqrt{3}}{4} = 25 \sqrt{3} \, m$.

(C) माना सीढ़ी $AP$ की लंबाई $l \ m$ है।
समकोण त्रिभुज $\Delta ABP$ में,सीढ़ी के आधार $P$ पर उन्नयन कोण $\angle APB = 60^{\circ}$ है।
सीढ़ी के आधार से घर की दूरी $BP = 6.5 \ m$ है।
कोसाइन $(cos)$ के त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करने पर:
$\cos 60^{\circ} = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{BP}{AP}$
$\frac{1}{2} = \frac{6.5}{l}$
$l = 6.5 \times 2 = 13 \ m$.
अतः,सीढ़ी की लंबाई $13 \ m$ है।

(A) माना हवाई जहाज की सड़क से ऊँचाई $H$ मील है।
माना $P$ हवाई जहाज की स्थिति है और $Q$ सड़क पर उसके ठीक नीचे का बिंदु है।
माना $R$ और $S$ सड़क पर स्थित दो क्रमागत मील के पत्थर हैं।
दो क्रमागत मील के पत्थरों के बीच की दूरी $RS = 1 \text{ मील}$ है।
$\Delta PQR$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{H}{QR} \Rightarrow QR = \frac{H}{\sqrt{3}}$.
$\Delta PQS$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{H}{QS} \Rightarrow QS = H\sqrt{3}$.
चूँकि $QS = QR + RS$,इसलिए $H\sqrt{3} = \frac{H}{\sqrt{3}} + 1$.
$\sqrt{3}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $3H = H + \sqrt{3}$.
$2H = \sqrt{3} \Rightarrow H = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ मील}$.

(A) माना मीनार $PQ$ की ऊँचाई $H$ है। माना $S$ चट्टान का शीर्ष है जिसकी ऊँचाई $60 \ m$ है। $R$ जमीन पर स्थित बिंदु है जो $S$ के ठीक नीचे है।
$\Delta SRQ$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{SR}{RQ} = \frac{60}{RQ}$.
अतः,$RQ = \frac{60}{\tan 60^{\circ}} = \frac{60}{\sqrt{3}} = 20\sqrt{3} \ m$.
चूँकि $RQ = TP$,इसलिए $TP = 20\sqrt{3} \ m$.
$\Delta STP$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{ST}{TP} = \frac{60 - H}{20\sqrt{3}}$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{60 - H}{20\sqrt{3}}$.
$20 = 60 - H$.
$H = 60 - 20 = 40 \ m$.

(D) माना $PQ$ अधूरे टॉवर की ऊँचाई है और $R$ आधार $Q$ से $120 \ m$ की दूरी पर जमीन पर स्थित एक बिंदु है।
$\Delta PQR$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{PQ}{RQ}$ है।
चूँकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $PQ = RQ = 120 \ m$ है।
माना टॉवर को $P'$ ऊँचाई तक बढ़ाया जाता है ताकि $R$ से उन्नयन कोण $60^{\circ}$ हो जाए।
$\Delta P'QR$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{P'Q}{RQ}$ है।
चूँकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,इसलिए $P'Q = RQ \cdot \sqrt{3} = 120 \sqrt{3} \ m$ है।
आवश्यक अतिरिक्त ऊँचाई $P'P = P'Q - PQ = 120 \sqrt{3} - 120 = 120(\sqrt{3} - 1) \ m$ है।
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर,$P'P = 120(1.732 - 1) = 120 \times 0.732 = 87.84 \ m$ प्राप्त होता है।

(D) माना चट्टान की ऊँचाई $PS = 200 \, m$ है। माना दो जहाज $Q$ और $R$ बिंदुओं पर हैं ताकि $S, Q, R$ संरेखीय हों।
$\Delta PQS$ में,उन्नयन कोण $45^{\circ}$ है।
$\tan 45^{\circ} = \frac{PS}{SQ} \implies 1 = \frac{200}{SQ} \implies SQ = 200 \, m$.
$\Delta PRS$ में,उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है।
$\tan 30^{\circ} = \frac{PS}{SR} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{200}{SQ + QR}$.
$SQ + QR = 200\sqrt{3}$.
$200 + QR = 200(1.732) = 346.4$.
$QR = 346.4 - 200 = 146.4 \, m$.
अतः,दोनों जहाजों के बीच की दूरी $146.4 \, m$ है।

(A) मान लीजिए $PQ$ टॉवर है और $R$ तथा $S$ नाव की दो स्थितियाँ हैं। दिया गया है $RQ = 60 \ m$,$\angle PSQ = 30^{\circ}$,और $\angle PRQ = 45^{\circ}$.
$\Delta PQR$ से,$\tan 45^{\circ} = \frac{PQ}{RQ} = 1$.
अतः,$PQ = RQ = 60 \ m$.
$\Delta PQS$ से,$\tan 30^{\circ} = \frac{PQ}{QS} = \frac{60}{RQ + RS} = \frac{60}{60 + RS} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
इसका अर्थ है $60 + RS = 60\sqrt{3}$.
अतः,$RS = 60(\sqrt{3} - 1) \ m$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ लेने पर,$RS = 60(1.732 - 1) = 60 \times 0.732 = 43.92 \ m$.
नाव की गति = $\frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{43.92 \ m}{5 \ s} = 8.784 \ m/s$.
$km/hr$ में बदलने के लिए,$\frac{18}{5}$ से गुणा करें:
गति = $8.784 \times \frac{18}{5} = 31.62 \ km/hr$.
निकटतम पूर्णांक में,गति लगभग $32 \ km/hr$ है।

(C) माना मीनार $QR$ है और जमीन पर स्थित बिंदु $P$ है।
दिया गया है: मीनार की ऊँचाई $QR = 100 \ m$,और उन्नयन कोण $\angle QPR = 30^{\circ}$ है।
माना मीनार के पाद $Q$ से बिंदु $P$ की दूरी $PQ = x$ है।
समकोण त्रिभुज $\Delta PQR$ में:
$\tan(30^{\circ}) = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{QR}{PQ}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{100}{x}$
$x = 100 \sqrt{3} \ m$
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = 100 \times 1.732 = 173.2 \ m$
निकटतम पूर्णांक में,दूरी $173 \ m$ है।

(C) माना $PQ$ टॉवर की ऊँचाई $H$ है। माना कार शुरू में बिंदु $S$ पर है और $12$ मिनट बाद बिंदु $R$ पर है। अवनमन कोण क्रमशः $30^{\circ}$ और $45^{\circ}$ हैं,जो उन्नयन कोण $\angle PSQ = 30^{\circ}$ और $\angle PRQ = 45^{\circ}$ के बराबर हैं।
$\Delta PQR$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{PQ}{RQ} = 1 \implies PQ = RQ = H$.
$\Delta PQS$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{PQ}{SQ} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies SQ = H\sqrt{3}$.
दूरी $SR = SQ - RQ = H\sqrt{3} - H = H(\sqrt{3} - 1)$.
कार $12$ मिनट में $SR$ दूरी तय करती है। माना $RQ$ दूरी तय करने में लगा समय $t$ मिनट है।
चूँकि गति एकसमान है,$\frac{SR}{12} = \frac{RQ}{t}$.
$\frac{H(\sqrt{3} - 1)}{12} = \frac{H}{t} \implies t = \frac{12}{\sqrt{3} - 1} = \frac{12(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = 6(\sqrt{3} + 1) \approx 6(1.732 + 1) = 6(2.732) = 16.392 \text{ मिनट}$.
$0.392 \text{ मिनट} = 0.392 \times 60 \approx 23.5 \text{ सेकंड}$.
अतः,समय $16 \text{ मिनट } 23 \text{ सेकंड}$ है।

(D) माना मीनार की ऊँचाई $NM = H$ और दूरी $LM = x$ है।
$\triangle NQM$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{NM}{QM} \implies \sqrt{3} = \frac{H}{QM} \implies QM = \frac{H}{\sqrt{3}}$.
$\triangle NLM$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{NM}{LM} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{H}{x} \implies x = H\sqrt{3}$.
चूँकि मीनार की ऊँचाई $H$ नहीं दी गई है,इसलिए $x$ का सटीक संख्यात्मक मान ज्ञात नहीं किया जा सकता है।
अतः,आंकड़े अपर्याप्त हैं।

(A) माना $QR$ पेड़ को दर्शाता है और $PQ$ उसकी छाया को दर्शाता है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
यह दिया गया है कि छाया की लंबाई पेड़ की ऊँचाई की $\sqrt{3}$ गुना है,अर्थात $PQ = \sqrt{3} QR$।
समकोण त्रिभुज $\triangle PQR$ में,उन्नयन कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\tan \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{QR}{PQ}$
$PQ$ का मान रखने पर:
$\tan \theta = \frac{QR}{\sqrt{3} QR} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
चूँकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए:
$\theta = 30^{\circ}$

(C) आकृति में,सीढ़ी को $AC$ द्वारा दर्शाया गया है,जहाँ $AC$ समकोण त्रिभुज $ABC$ का कर्ण है।
सीढ़ी के आधार से दीवार की दूरी $AB = 4.242 \ m$ है।
कोसाइन (cosine) के त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करने पर:
$\cos 45^{\circ} = \frac{\text{आसन्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{AC}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4.242}{AC}$
$AC = 4.242 \times \sqrt{2}$
चूँकि $\sqrt{2} \approx 1.414$ दिया गया है,इसलिए:
$AC = 4.242 \times 1.414 \approx 6 \ m$.
अतः,सीढ़ी की लंबाई $6 \ m$ है।

(C) माना पेड़ $BC$ है जिसकी ऊँचाई $H$ है और नदी की चौड़ाई $DB = x$ है।
दी गई आकृति से,$\triangle DBC$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{H}{x}$।
चूँकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,इसलिए $H = x\sqrt{3} \quad \dots(1)$।
$\triangle ABC$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{H}{AB} = \frac{H}{36 + x}$।
चूँकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $H = \frac{36 + x}{\sqrt{3}} \quad \dots(2)$।
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$x\sqrt{3} = \frac{36 + x}{\sqrt{3}}$
$3x = 36 + x$
$2x = 36$
$x = 18 \ m$।
अतः,नदी की चौड़ाई $18 \ m$ है।

(A) मान लीजिए $CD$ ऊँचाई $60 \ m$ वाली मीनार है और $AB$ दूसरी मीनार है जिसकी ऊँचाई $h$ है। मान लीजिए नदी की चौड़ाई $BD = x$ है।
आकृति से,$CD = 60 \ m$ है। $C$ से मीनार $AB$ के शीर्ष (बिंदु $A$) का अवनमन कोण $30^{\circ}$ है,और $C$ से मीनार $AB$ के आधार (बिंदु $B$) का अवनमन कोण $60^{\circ}$ है।
$\Delta CBD$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{CD}{BD} = \frac{60}{x}$ है।
चूँकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ है,इसलिए $\sqrt{3} = \frac{60}{x}$,जिससे $x = \frac{60}{\sqrt{3}} = 20 \sqrt{3} \ m$ प्राप्त होता है। अतः,नदी की चौड़ाई $20 \sqrt{3} \ m$ है।
अब,$A$ से $CD$ तक एक क्षैतिज रेखा खींचिए,जो $CD$ को बिंदु $E$ पर मिलती है। अतः $AE = BD = 20 \sqrt{3} \ m$ और $ED = AB = h$ है।
$\Delta CAE$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{CE}{AE} = \frac{CE}{20 \sqrt{3}}$ है।
चूँकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{CE}{20 \sqrt{3}}$,जिससे $CE = 20 \ m$ प्राप्त होता है।
अतः,दूसरी मीनार की ऊँचाई $AB = ED = CD - CE = 60 - 20 = 40 \ m$ है।

(A) मान लीजिए $AB$ छड़ है और $AC$ उसकी छाया है।
मान लीजिए $\angle ACB = \theta$.
दिया गया है कि छड़ की लंबाई और उसकी छाया का अनुपात $AB : AC = 1 : \sqrt{3}$ है।
मान लीजिए $AB = x$,तो $AC = \sqrt{3}x$ होगा।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ में,हमारे पास है:
$\tan \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{AB}{AC}$
$\tan \theta = \frac{x}{\sqrt{3}x} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
चूंकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\theta = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,सूर्य का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है।

(B) माना खंभे की ऊँचाई $AB = h$ है और उसकी छाया की लंबाई $AC = h$ है।
समकोण त्रिभुज $ABC$ में,जहाँ $\angle A = 90^{\circ}$ और $\angle C = \theta$ सूर्य का उन्नयन कोण है:
$\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{AB}{AC}$
$\tan \theta = \frac{h}{h} = 1$
चूँकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$.

(C) माना मीनार की ऊँचाई $h \ m$ है।
दिया गया है कि मीनार के आधार से दूरी $100 \ m$ है और उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है।
बने हुए समकोण त्रिभुज में,हमारे पास है:
$\tan(30^{\circ}) = \frac{\text{मीनार की ऊँचाई}}{\text{आधार से दूरी}}$
$\tan(30^{\circ}) = \frac{h}{100}$
चूँकि $\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{100}$
$h = \frac{100}{\sqrt{3}} \ m$.

(B) माना $AB$ इमारत है और $AC$ उसकी छाया है।
दिया गया है कि इमारत की ऊँचाई $AB = 50 \ m$ है और सूर्य का उन्नयन कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ में,हमारे पास है:
$\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{AB}{AC}$
$\tan 30^{\circ} = \frac{50}{AC}$
चूँकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{AC}$
$AC = 50 \sqrt{3} \ m$
अतः,छाया की लंबाई $50 \sqrt{3} \ m$ है।

(B) माना $OP$ मूल खंभा है,जो बिंदु $A$ पर टूट जाता है। माना ऊपरी सिरा $P$ जमीन पर $P^{\prime}$ बिंदु पर टकराता है।
दिया है: $OP^{\prime} = 21 \ m$ और $\angle OP^{\prime}A = 30^{\circ}$.
$\triangle AOP^{\prime}$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{OA}{OP^{\prime}}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{OA}{21} \Rightarrow OA = \frac{21}{\sqrt{3}} = 7\sqrt{3} \ m$.
साथ ही,$\cos 30^{\circ} = \frac{OP^{\prime}}{AP^{\prime}}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{21}{AP^{\prime}} \Rightarrow AP^{\prime} = \frac{42}{\sqrt{3}} = 14\sqrt{3} \ m$.
चूँकि टूटा हुआ भाग $AP$,$AP^{\prime}$ के बराबर है,इसलिए खंभे की कुल ऊँचाई $OA + AP = OA + AP^{\prime}$ होगी।
कुल ऊँचाई $= 7\sqrt{3} + 14\sqrt{3} = 21\sqrt{3} \ m$.

(A) माना पेड़ $PQ$ है,जहाँ $Q$ जड़ है और $M$ वह बिंदु है जहाँ से यह टूटता है। जब शीर्ष $P$ जमीन पर $A$ बिंदु पर छूता है,तो हमें एक समकोण त्रिभुज $\triangle MQA$ प्राप्त होता है जिसमें $\angle MAQ = 30^{\circ}$ और $AQ = 10 \ m$ है।
$\triangle MQA$ में:
$\tan 30^{\circ} = \frac{MQ}{AQ} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{MQ}{10} \Rightarrow MQ = \frac{10}{\sqrt{3}} \ m$.
साथ ही,$\cos 30^{\circ} = \frac{AQ}{AM} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10}{AM} \Rightarrow AM = \frac{20}{\sqrt{3}} \ m$.
चूँकि टूटा हुआ भाग $MP$,$AM$ के बराबर है,इसलिए पेड़ की कुल ऊँचाई $MQ + MP = MQ + AM$ होगी।
ऊँचाई $= \frac{10}{\sqrt{3}} + \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3} \ m$.

(D) माना मीनार $AB$ की ऊँचाई $h$ है। सड़क पर दो बिंदु $C$ और $D$ इस प्रकार हैं कि $CD = 500 \ m$ है। माना $AD = x$ है।
$\triangle ABD$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{AD} = \frac{h}{x} \implies x = \frac{h}{\sqrt{3}}$।
$\triangle ABC$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{AB}{AC} = \frac{h}{x+500} \implies 1 = \frac{h}{\frac{h}{\sqrt{3}} + 500}$।
$h = \frac{h}{\sqrt{3}} + 500 \implies h(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}) = 500 \implies h(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}) = 500$।
$h = \frac{500 \sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \ m$।
हर का परिमेयकरण करने पर: $h = \frac{500 \sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{500(3+\sqrt{3})}{2} = 250(3+\sqrt{3}) \ m$।

(C) माना टॉवर की ऊँचाई $h \ m$ है। माना जब सूर्य का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है तब छाया $AB$ है और जब सूर्य का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है तब छाया $AC$ है।
दिया है,$BC = 50 \ m$.
$\triangle TAB$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{h}{AB} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{AB} \Rightarrow AB = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
$\triangle TAC$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{AC} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{AB + 50} \Rightarrow AB + 50 = h\sqrt{3}$.
दूसरे समीकरण में $AB = \frac{h}{\sqrt{3}}$ रखने पर:
$\frac{h}{\sqrt{3}} + 50 = h\sqrt{3}$
$50 = h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}}$
$50 = h \left( \frac{3 - 1}{\sqrt{3}} \right) = h \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)$
$h = \frac{50 \sqrt{3}}{2} = 25 \sqrt{3} \ m$.

(B) माना $ABCD$ एक आयत है जहाँ $\angle BAC = 30^{\circ}$ और विकर्ण $AC = 6 \text{ cm}$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ में:
$\cos 30^{\circ} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AB}{6} \Rightarrow AB = 3\sqrt{3} \text{ cm}$.
$\sin 30^{\circ} = \frac{BC}{AC} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{BC}{6} \Rightarrow BC = 3 \text{ cm}$.
आयत का क्षेत्रफल $= AB \times BC = (3\sqrt{3}) \times 3 = 9\sqrt{3} \text{ cm}^2$ होगा।

(C) माना $AB$ मीनार है जिसकी ऊँचाई $100 \text{ m}$ है। माना जब उन्नयन कोण क्रमशः $30^{\circ}$ और $45^{\circ}$ है,तब छाया की लंबाई $AC$ और $AD$ है।
$\triangle ABD$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{AB}{AD} \Rightarrow 1 = \frac{100}{AD} \Rightarrow AD = 100 \text{ m}$।
$\triangle ABC$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{100}{AC} \Rightarrow AC = 100\sqrt{3} \text{ m}$।
छाया की लंबाई में कमी $x = AC - AD$ है।
$x = 100\sqrt{3} - 100 = 100(\sqrt{3} - 1) \text{ m}$।

(A) मान लीजिए कि बिजली के खंभे की ऊँचाई $PQ = 20 \, m$ है और स्टील के तार की लंबाई $OP$ है। खंभा जमीन के साथ समकोण बनाता है,इसलिए $\triangle OPQ$ बिंदु $Q$ पर एक समकोण त्रिभुज है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\sin \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}}$ का उपयोग करने पर:
$\sin 60^{\circ} = \frac{PQ}{OP}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{20}{OP}$
$OP = \frac{20 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{40}{\sqrt{3}} \, m$.
अतः,स्टील के तार की लंबाई $\frac{40}{\sqrt{3}} \, m$ है।

(C) मान लीजिए $T$ लाइटहाउस का शीर्ष है और $L$ समुद्र तल पर लाइटहाउस का आधार है। मान लीजिए $B$ नाव की स्थिति है।
दिया गया है,लाइटहाउस की ऊँचाई $TL = 50 \ m$ है।
शीर्ष $T$ से नाव $B$ का अवनमन कोण $30^{\circ}$ है।
चूँकि दृष्टि रेखा समुद्र तल के समानांतर है,इसलिए नाव $B$ से शीर्ष $T$ का उन्नयन कोण भी $30^{\circ}$ होगा (एकांतर अंतःकोण)।
समकोण त्रिभुज $\triangle TBL$ में:
$\tan(30^{\circ}) = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{TL}{BL}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{BL}$
$BL = 50 \sqrt{3} \ m$
अतः,नाव लाइटहाउस से $50 \sqrt{3} \ m$ की दूरी पर है।

(C) माना $AB$ ऊँचाई $25 \ m$ की चट्टान है और $CD$ मीनार है।
माना चट्टान के शीर्ष $B$ से मीनार के शीर्ष $D$ का उन्नयन कोण $\alpha$ है।
माना चट्टान के शीर्ष $B$ से मीनार के पाद $C$ का अवनमन कोण $\alpha$ है।
$BE \perp CD$ खींचिए,जहाँ $E$,$CD$ पर स्थित है।
$\triangle ABC$ में,$\tan \alpha = \frac{AB}{AC} = \frac{25}{AC}$ है।
$\triangle BDE$ में,$\tan \alpha = \frac{DE}{BE}$ है।
चूँकि $BE = AC$,इसलिए $\frac{DE}{BE} = \frac{25}{BE}$,जिसका अर्थ है कि $DE = 25 \ m$ है।
चूँकि $CE = AB = 25 \ m$,इसलिए मीनार की कुल ऊँचाई $CD = CE + DE = 25 + 25 = 50 \ m$ है।

(B) माना खंभे की ऊँचाई $h$ है और छाया की लंबाई $x$ है।
दिया गया है कि छाया की लंबाई खंभे की ऊँचाई के बराबर है,इसलिए $h = x$ है।
खंभे और उसकी छाया द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,उन्नयन कोण $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\tan \theta = \frac{\text{खंभे की ऊँचाई}}{\text{छाया की लंबाई}} = \frac{h}{x}$
चूँकि $h = x$,हमें प्राप्त होता है:
$\tan \theta = \frac{h}{h} = 1$
हम जानते हैं कि $\tan 45^{\circ} = 1$ होता है।
अतः,$\theta = 45^{\circ}$।

(B) माना $AC$ प्रकाशस्तंभ की ऊँचाई $60 \ m$ है और $B$ नाव की स्थिति है।
माना प्रकाशस्तंभ के आधार से नाव की दूरी $x$ है $(AB = x)$।
शीर्ष $C$ से नाव $B$ का अवनमन कोण $15^{\circ}$ है,इसलिए नाव से शीर्ष का उन्नयन कोण भी $15^{\circ}$ होगा।
$\triangle ABC$ में,$\tan 15^{\circ} = \frac{AC}{AB} = \frac{60}{x}$।
अतः,$x = \frac{60}{\tan 15^{\circ}}$।
हम जानते हैं कि $\tan 15^{\circ} = \tan(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \frac{\tan 45^{\circ} - \tan 30^{\circ}}{1 + \tan 45^{\circ} \tan 30^{\circ}} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$।
इस मान को $x$ के समीकरण में रखने पर:
$x = 60 \div \left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\right) = 60 \left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\right) \ m$।

(B) माना टॉवर की ऊँचाई $h$ है और टॉवर से दूसरे बिंदु की दूरी $x$ है।
$\triangle BAQ$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{h}{x} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{x} \implies h = x\sqrt{3} \quad \dots(1)$
$\triangle BAP$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{x+20} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x+20} \implies x+20 = h\sqrt{3} \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ से $x = \frac{h}{\sqrt{3}}$ का मान $(2)$ में रखने पर:
$\frac{h}{\sqrt{3}} + 20 = h\sqrt{3}$
$20 = h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}}$
$20 = h \left( \frac{3-1}{\sqrt{3}} \right)$
$20 = h \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)$
$h = \frac{20 \times \sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \ m$.

(B) माना मीनार की ऊँचाई $h \ m$ है।
दिया गया है कि मीनार के आधार से प्रेक्षण बिंदु की दूरी $20 \ m$ है।
उन्नयन कोण $45^{\circ}$ है।
बनने वाले समकोण त्रिभुज में,हमारे पास है:
$\tan(45^{\circ}) = \frac{\text{मीनार की ऊँचाई}}{\text{आधार से दूरी}}$
$\tan(45^{\circ}) = \frac{h}{20}$
चूँकि $\tan(45^{\circ}) = 1$,इसलिए:
$1 = \frac{h}{20}$
$h = 20 \ m$.
अतः,मीनार की ऊँचाई $20 \ m$ है।

(A) माना $MP$ घर की ऊँचाई $15 \, m$ को दर्शाता है।
माना $O$ जमीन पर स्थित वह बिंदु है जो घर के आधार $M$ से $15 \, m$ की दूरी पर है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OMP$ में,बिंदु $O$ से शीर्ष $P$ का उन्नयन कोण $\theta$ है।
टैंजेंट के त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करते हुए:
$\tan \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{MP}{OM}$
$\tan \theta = \frac{15 \, m}{15 \, m} = 1$
चूँकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$।

(C) माना $MA$ एक लाइटहाउस है जिसकी ऊँचाई $h$ मीटर है। माना $P$ और $Q$ दो नावों की स्थितियाँ हैं जहाँ $PQ = 60 \, m$ है।
$\triangle AMP$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{MA}{MP} \implies 1 = \frac{h}{MP} \implies MP = h$.
$\triangle AMQ$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{MA}{MQ} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{MP + PQ} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{h + 60}$.
तिर्यक गुणा करने पर,$h + 60 = h\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$h(\sqrt{3} - 1) = 60$.
$h = \frac{60}{\sqrt{3} - 1}$.
हर का परिमेयकरण करने पर,$h = \frac{60(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{60(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{60(\sqrt{3} + 1)}{2} = 30(\sqrt{3} + 1) \, m$.

(B) माना पहाड़ी की ऊँचाई $h$ है और क्षैतिज तल पर पहाड़ी का आधार $O$ है।
चूँकि प्रत्येक शीर्ष $A, B, C$ से उन्नयन कोण $\alpha$ है,इसलिए $OA = OB = OC = h \cot \alpha$ होगा।
इसका अर्थ है कि $O$,$\triangle ABC$ का परिकेंद्र है,जिसकी परिवृत्त त्रिज्या $R = h \cot \alpha$ है।
किसी भी त्रिभुज $ABC$ में,परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{a}{2 \sin A}$ द्वारा दी जाती है।
$R$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $h \cot \alpha = \frac{a}{2 \sin A}$।
अतः,$h = \frac{a \tan \alpha}{2 \sin A} = \frac{a}{2} \tan \alpha \operatorname{cosec} A$।

(A) माना $PQ = x$ मीनार की ऊँचाई है और $A$ मीनार के आधार $Q$ के स्तर पर स्थित एक बिंदु है। दिया गया है कि $\angle PAQ = 30^{\circ}$ है।
माना $B$,$A$ से ऊर्ध्वाधर $h \ m$ ऊपर स्थित एक बिंदु है,इसलिए $AB = h$ है। $B$ से मीनार के आधार $Q$ का अवनमन कोण $60^{\circ}$ है,जिसका अर्थ है कि $\angle BQA = 60^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABQ$ में:
$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{AQ}$
$\sqrt{3} = \frac{h}{AQ}$
$AQ = \frac{h}{\sqrt{3}} = h \cot 60^{\circ}$ है।
अतः,बिंदु $A$ से मीनार की क्षैतिज दूरी $h \cot 60^{\circ}$ है।

(A) माना $OP$ ऊंचाई $h \, m$ की मीनार है और $PQ$ ऊंचाई $6 \, m$ का ध्वजदंड है। माना सूर्य जमीन के साथ $\theta$ कोण बनाता है। माना $OA = x$ मीनार की परछाई है और $AB = 2 \sqrt{3} \, m$ ध्वजदंड की परछाई है।
$\triangle OAP$ में,$\tan \theta = \frac{OP}{OA} = \frac{h}{x}$.
$\triangle OBQ$ में,$\tan \theta = \frac{OQ}{OB} = \frac{h + 6}{x + 2 \sqrt{3}}$.
$\tan \theta$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{h}{x} = \frac{h + 6}{x + 2 \sqrt{3}}$
$h(x + 2 \sqrt{3}) = x(h + 6)$
$hx + 2 \sqrt{3}h = hx + 6x$
$2 \sqrt{3}h = 6x$
$\frac{h}{x} = \frac{6}{2 \sqrt{3}} = \sqrt{3}$.
चूंकि $\tan \theta = \frac{h}{x}$,इसलिए $\tan \theta = \sqrt{3}$.
अतः,$\theta = 60^{\circ}$.

(C) माना $OP$ पेड़ की ऊँचाई है और $OA$ नदी की चौड़ाई है।
$\triangle OAP$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{OP}{OA} = \sqrt{3} \implies OP = OA \sqrt{3}$.
जब व्यक्ति $40 \ m$ पीछे हटता है,तो किनारे से नई दूरी $OB = OA + 40$ हो जाती है।
$\triangle OBP$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{OP}{OB} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
दूसरे समीकरण में $OP = OA \sqrt{3}$ रखने पर:
$\frac{OA \sqrt{3}}{OA + 40} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$3 OA = OA + 40$
$2 OA = 40$
$OA = 20 \ m$.

(A) माना खंभे की ऊँचाई $AB = h$ है और छाया की लंबाई $AC = \sqrt{3}h$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ में,उन्नयन कोण $\theta$ है।
हम जानते हैं कि $\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{AB}{AC}$ होता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\tan \theta = \frac{h}{\sqrt{3}h} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
चूँकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ होता है,इसलिए $\theta = 30^{\circ}$।

(C) माना $OP = h$ टॉवर की ऊँचाई है,जहाँ $O$ टॉवर का आधार है।
$\triangle OAP$ में,$\angle OAP = \alpha$ है। अतः,$OA = h \cot \alpha$.
$\triangle OBP$ में,$\angle OBP = 2 \alpha$ है। अतः,$OB = h \cot 2 \alpha$.
दिया गया है कि $AB = a$,इसलिए $OA - OB = a$.
अतः,$h \cot \alpha - h \cot 2 \alpha = a$.
$h (\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos 2 \alpha}{\sin 2 \alpha}) = a$.
$h (\frac{\sin 2 \alpha \cos \alpha - \cos 2 \alpha \sin \alpha}{\sin \alpha \sin 2 \alpha}) = a$.
$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$h (\frac{\sin(2 \alpha - \alpha)}{\sin \alpha \sin 2 \alpha}) = a$.
$h (\frac{\sin \alpha}{\sin \alpha \sin 2 \alpha}) = a$.
$h (\frac{1}{\sin 2 \alpha}) = a$.
$h = a \sin 2 \alpha$.
अतः,टॉवर की ऊँचाई $a \sin 2 \alpha$ है।

(B) माना टॉवर की प्रारंभिक ऊंचाई $h$ है और आवश्यक अतिरिक्त ऊंचाई $x$ है। आधार से दूरी $120 \ m$ है।
पहली शर्त के अनुसार,उन्नयन कोण $45^{\circ}$ है:
$\tan 45^{\circ} = \frac{h}{120}$
$1 = \frac{h}{120} \implies h = 120 \ m$.
दूसरी शर्त के अनुसार,नए शीर्ष का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है:
$\tan 60^{\circ} = \frac{h+x}{120}$
$\sqrt{3} = \frac{120+x}{120}$
$120\sqrt{3} = 120 + x$
$x = 120\sqrt{3} - 120$
$x = 120(\sqrt{3}-1) \ m$.
अतः,टॉवर को $120(\sqrt{3}-1) \ m$ तक बढ़ाया जाना चाहिए।

(A) माना पहाड़ी $QP$ की ऊँचाई $h$ है और दूसरे बिंदु $A$ से पहाड़ी के आधार $P$ तक की दूरी $x$ है।
$\triangle QPA$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{h}{x} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{x} \implies h = \sqrt{3}x$.
$\triangle QPO$ में,दूरी $OA = \sqrt{3} \text{ km}$ है,इसलिए $OP = OA + AP = \sqrt{3} + x$.
$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{\sqrt{3} + x} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{\sqrt{3} + x} \implies \sqrt{3}h = \sqrt{3} + x$.
समीकरण में $h = \sqrt{3}x$ रखने पर: $\sqrt{3}(\sqrt{3}x) = \sqrt{3} + x \implies 3x = \sqrt{3} + x \implies 2x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ km}$.
अतः,$h = \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} \text{ km}$.

(A) माना कि दो खंभों की ऊँचाई $h_1 = 20 \ m$ और $h_2 = 14 \ m$ है।
खंभों की ऊँचाई का अंतर $h_1 - h_2 = 20 \ m - 14 \ m = 6 \ m$ है।
माना कि तार की लंबाई $l$ है।
तार,क्षैतिज रेखा और खंभों के बीच के ऊर्ध्वाधर अंतर से बनने वाले समकोण त्रिभुज में,उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है।
ज्या (sine) अनुपात का उपयोग करते हुए: $\sin 30^{\circ} = \frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}} = \frac{6}{l}$.
चूँकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{1}{2} = \frac{6}{l}$ है।
अतः,$l = 6 \times 2 = 12 \ m$।

(C) माना खंभे की ऊँचाई $H = 6 \, m$ है और उसकी छाया की लंबाई $S = 8 \, m$ है।
माना आदमी की ऊँचाई $h$ है और उसकी छाया की लंबाई $s = 2.4 \, m$ है।
चूँकि सूर्य का उन्नयन कोण खंभे और आदमी दोनों के लिए समान है,इसलिए ऊँचाई और छाया की लंबाई का अनुपात स्थिर रहेगा।
$\frac{H}{S} = \frac{h}{s}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{6}{8} = \frac{h}{2.4}$
$\frac{3}{4} = \frac{h}{2.4}$
$h = \frac{3}{4} \times 2.4$
$h = 3 \times 0.6 = 1.8 \, m$.
अतः,आदमी की ऊँचाई $1.8 \, m$ है।

(D) माना $AB = h$ मीनार की ऊँचाई है और $A$ मीनार का आधार है।
माना $GA = x$ मीनार से प्रारंभिक दूरी है।
$\triangle GAB$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{GA} = \frac{h}{x}$.
चूँकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\frac{h}{x} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,अर्थात $x = h\sqrt{3}$.
मीनार की ओर $20 \ m$ चलने के बाद,नई दूरी $HA = x - 20$ है।
$\triangle HAB$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{HA} = \frac{h}{x - 20}$.
चूँकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,इसलिए $\frac{h}{x - 20} = \sqrt{3}$,अर्थात $h = \sqrt{3}(x - 20)$.
$x = h\sqrt{3}$ को समीकरण में रखने पर: $h = \sqrt{3}(h\sqrt{3} - 20)$.
$h = 3h - 20\sqrt{3}$.
$2h = 20\sqrt{3}$.
$h = 10\sqrt{3} \ m$.

(B) माना हवाई जहाज की ऊँचाई $h = 4500 \text{ m}$ है।
प्रारंभिक स्थिति $A$ और अंतिम स्थिति $B$ है।
बिंदु $A$ पर, उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है। जमीन पर स्थित बिंदु से $A$ के ठीक नीचे के बिंदु तक की दूरी $x$ मानिए।
$\tan(60^{\circ}) = \frac{4500}{x} \implies \sqrt{3} = \frac{4500}{x} \implies x = \frac{4500}{\sqrt{3}} = 1500\sqrt{3} \text{ m}$.
बिंदु $B$ पर, उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है। जमीन पर स्थित बिंदु से $B$ के ठीक नीचे के बिंदु तक की कुल दूरी $y$ मानिए।
$\tan(30^{\circ}) = \frac{4500}{y} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4500}{y} \implies y = 4500\sqrt{3} \text{ m}$.
हवाई जहाज द्वारा तय की गई दूरी $d = y - x = 4500\sqrt{3} - 1500\sqrt{3} = 3000\sqrt{3} \text{ m}$ है।
लिया गया समय $t = 30 \text{ s}$ है।
गति $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{3000\sqrt{3}}{30} = 100\sqrt{3} \text{ m/s}$.

(D) मान लीजिए कि दो खंभे $AB$ और $CD$ हैं जिनकी ऊँचाई क्रमशः $60 \ m$ और $35 \ m$ है।
मान लीजिए $DE$ बिंदु $D$ से खंभे $AB$ तक की क्षैतिज रेखा है,जो $AB$ को $E$ पर मिलती है।
अतः $BE = CD = 35 \ m$.
ऊँचाई $AE = AB - BE = 60 - 35 = 25 \ m$.
समकोण त्रिभुज $\triangle AED$ में,कोण $\phi$ है।
दिया गया है कि $\tan \phi = \frac{5}{9}$.
$\triangle AED$ में,$\tan \phi = \frac{AE}{DE}$.
मान रखने पर,$\frac{5}{9} = \frac{25}{DE}$.
$DE = \frac{25 \times 9}{5} = 5 \times 9 = 45 \ m$.
अतः,दोनों खंभों के बीच की दूरी $45 \ m$ है।

(D) माना छोटे खंभे की ऊँचाई $CD = h$ और लंबे खंभे की ऊँचाई $AB = 3h$ है।
खंभों के बीच की दूरी $BD = 120 \text{ m}$ है।
माना $E$,$BD$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $BE = ED = 60 \text{ m}$।
$\triangle ABE$ में,$\tan \theta = \frac{AB}{BE} = \frac{3h}{60} = \frac{h}{20} \quad ... (i)$
$\triangle CDE$ में,$\tan(90^\circ - \theta) = \frac{CD}{ED} = \frac{h}{60} \implies \cot \theta = \frac{h}{60} \quad ... (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ का गुणा करने पर:
$\tan \theta \cdot \cot \theta = \frac{h}{20} \cdot \frac{h}{60}$
$1 = \frac{h^2}{1200}$
$h^2 = 1200$
$h = \sqrt{1200} = 20\sqrt{3} \text{ m}$।
लंबे खंभे की ऊँचाई $3h = 3 \times 20\sqrt{3} = 60\sqrt{3} \text{ m}$ है।
$\sqrt{3} = 1.732$ का उपयोग करने पर,ऊँचाई $= 60 \times 1.732 = 103.92 \text{ m}$।

(A) माना झील की सतह से हवाई जहाज की ऊँचाई $H$ है।
अवलोकन बिंदु $P$ पानी की सतह से $30 \ m$ ऊपर है।
बिंदु $P$ से हवाई जहाज की ऊँचाई $(H - 30) \ m$ होगी।
झील में हवाई जहाज के प्रतिबिंब की गहराई पानी की सतह से नीचे $H$ होगी।
अतः,बिंदु $P$ से प्रतिबिंब की कुल गहराई $(H + 30) \ m$ होगी।
माना अवलोकन बिंदु से हवाई जहाज की क्षैतिज दूरी $x$ है।
उन्नयन कोण से: $\tan(30^{\circ}) = \frac{H - 30}{x} \implies x = \frac{H - 30}{\tan(30^{\circ})} = (H - 30)\sqrt{3}$.
प्रतिबिंब के अवनमन कोण से: $\tan(60^{\circ}) = \frac{H + 30}{x} \implies x = \frac{H + 30}{\tan(60^{\circ})} = \frac{H + 30}{\sqrt{3}}$.
$x$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $(H - 30)\sqrt{3} = \frac{H + 30}{\sqrt{3}}$.
$3(H - 30) = H + 30$.
$3H - 90 = H + 30$.
$2H = 120$.
$H = 60 \ m$.

(B) माना $AD$ पेड़ की ऊँचाई $h$ है। माना $C$ और $B$ जमीन पर दो खंभों की स्थिति हैं ताकि $CB = 2 \text{ m}$ हो। माना $DC = x \text{ m}$ है।
$\Delta ADC$ में,उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है:
$\tan 60^{\circ} = \frac{AD}{DC} = \frac{h}{x}$
$\sqrt{3} = \frac{h}{x} \implies x = \frac{h}{\sqrt{3}} \quad \dots(i)$
$\Delta ADB$ में,उन्नयन कोण $45^{\circ}$ है:
$\tan 45^{\circ} = \frac{AD}{DB} = \frac{h}{x+2}$
$1 = \frac{h}{x+2} \implies x+2 = h \implies x = h-2 \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{h}{\sqrt{3}} = h-2$
$2 = h - \frac{h}{\sqrt{3}} = h \left(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = h \left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right)$
$h = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$h = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(3+\sqrt{3})}{3-1} = \frac{2(3+\sqrt{3})}{2} = (3+\sqrt{3}) \text{ m}$.